Susitarimas dėl svetainės medžiagų naudojimo

Svetainėje publikuojamus kūrinius prašome naudoti tik asmeniniais tikslais. Draudžiama skelbti medžiagą kitose svetainėse.
Šį darbą (ir visus kitus) galima atsisiųsti visiškai nemokamai. Galite mintyse padėkoti jos autoriui ir svetainės komandai.

Siųsti savo gerą darbą žinių bazėje yra paprasta. Naudokite žemiau esančią formą

Studentai, magistrantai, jaunieji mokslininkai, kurie naudojasi žinių baze savo studijose ir darbe, bus jums labai dėkingi.

Panašūs dokumentai

Sąnaudų sumos apskaičiavimas gamybos planui. Šansai tiesinė lygtis porinė regresija. Grafinio rezultatų interpretavimo charakteristikos. Plėtra ekonominiai procesai. Laiko eilučių ekonometrinio modeliavimo ypatumai.

testas, pridėtas 2011-02-22


Metodas imitacinis modeliavimas, jo tipai, pagrindiniai etapai ir ypatumai: statinis ir dinaminis imituojamos sistemos atvaizdavimas. Imitacinio modeliavimo metodų naudojimo ekonominių procesų ir problemų analizėje praktikos studija.

kursinis darbas, pridėtas 2014-10-26


Metodo charakteristikos ir aprašymas linijinis programavimas, pagrindinės jo taikymo sritys ir naudojimo apribojimai. Sprendimas ūkinius uždavinius, optimizavimo modelio formavimo ypatumai, pelno optimizavimo rezultatų skaičiavimas ir analizė.

kursinis darbas, pridėtas 2010-03-23


Skaičiavimas pasikliautinieji intervalai linijinės tendencijos prognozė naudojant eksponentinę lygtį. Modelių tinkamumo ir tikslumo vertinimas. Naudojimas adaptaciniai metodai V ekonominės prognozės. Laiko eilučių eksponentiniai vidurkiai.

testas, pridėtas 2010-08-13


Matematinis modeliavimas. Ekonominės analizės esmė. Matematiniai metodai V ekonominė analizė. teorija eilėje. Įmonės veiklos planavimo, produktų patikimumo, išteklių paskirstymo ir kainodaros problema.

testas, pridėtas 2002-12-20


Įmonių klasterinės analizės atlikimas naudojant Statgraphics Plus programą. Tiesinės regresijos lygties sudarymas. Tamprumo koeficientų apskaičiavimas pagal regresijos modeliai. Įvertinimas statistinis reikšmingumas lygtys ir determinacijos koeficientas.

užduotis, pridėta 2014-03-16


Informacija apie slankiojo vidurkio metodą, tiesinės poros koreliacijos koeficientą, regresinė analizė. Rodiklio reikšmių pokyčių grafikų braižymas remiantis variantų duomenimis. Gydymas laiko eilutės slankiojo vidurkio metodas ir diagramų sudarymas.

kursinis darbas, pridėtas 2012-08-06

Iki šiol kalbėjome apie netinkamus integralus, turinčius vieną požymį, susijusį su funkcijos neribotumu vienoje iš integravimo ribų arba su pačios šios ribos neribotumu. Čia nurodysime, kokia prasme suprantami kiti galimi variantai netinkamas integralas.

Jei abi integracijos ribos yra vieno ar kito aukščiau paminėtų tipų singuliarumai, tada pagal apibrėžimą darome prielaidą

kur c - savavališkas taškas tarpas

Daroma prielaida, kad kiekvienas neteisingas integralas dešinėje santykio (12) pusėje suartėja. Priešingu atveju jie sako, kad integralas kairėje (12) pusėje skiriasi.

Dėl 2 pastabos ir netinkamo integralo adityvumo savybės (12) apibrėžimas yra teisingas ta prasme, kad jis iš tikrųjų nepriklauso nuo taško su pasirinkimo.

13 pavyzdys.

14 pavyzdys. Integralas

vadinamas Eulerio-Puasono integralu, o kartais ir Gaweso integralu. Akivaizdu, kad jis susilieja aukščiau nurodyta prasme. Vėliau bus parodyta, kad jis yra lygus

15 pavyzdys. Integralas

skiriasi, nes bet kuriam a bent vienas iš dviejų integralų skiriasi

16 pavyzdys. Integralas

konverguoja, jei kiekvienas integralas suartėja

Pirmasis iš šių integralų suartėja, jei už

at Antrasis integralas suartėja, kurį galima patikrinti tiesiogiai integruojant dalimis, panašiai kaip atlikta 12 pavyzdyje, arba remiantis Abelio-Dirichlet testu. Taigi pradinis integralas turi prasmę, kai

Tuo atveju, kai integrandas nėra ribojamas šalia vieno iš vidinių taškų ir integracijos segmento, darome prielaidą, kad

reikalaujama, kad egzistuotų abu dešinėje esantys integralai.

17 pavyzdys. Susitarimo prasme (13)

18 pavyzdys. Integralas – neapibrėžtas.

Taip pat yra susitarimas, kuris skiriasi nuo (13) funkcijos integralui apskaičiuoti, kuris yra neribotas kaimynystėje vidinis taškas ir integracijos segmentas. Būtent, jie tiki

jei dešinėje yra riba. Ši riba, vadovaujantis Koši, vadinama integralu pagrindinės reikšmės prasme, o norint atskirti (13) ir (14) apibrėžimus, antruoju atveju prieš integralo ženklą rašoma pradines raides V. R. prancūzų kalbos žodžiai valeur principal (pagrindinė vertė). Angliškoje versijoje naudojamas pavadinimas. (nuo pagrindinės vertės).

Pagal šią sutartį mes turime

19 pavyzdys.

Taip pat priimtas šis apibrėžimas:

20 pavyzdys.

Galiausiai, jei yra keli ( galutinis skaičius) tam tikrų singuliarumų, esančių intervalo viduje arba sutampančių su jo galais, tada intervalas nevienetiniais taškais dalijamas į baigtinį skaičių tokių intervalų, kurių kiekvienas turi tik vieną singuliarumą, o integralas apskaičiuojamas kaip integralų suma. per pertvaros segmentus.

Galima patikrinti, ar tokio skaičiavimo rezultatas nepriklauso nuo savavališkumo renkantis pertvarą.

21 pavyzdys. Tikslus apibrėžimas integralinis logaritmas dabar gali būti parašytas kaip

IN pastarasis atvejis simbolis V.R nurodo vienintelį vidinį intervalo singuliarumą, esantį taške 1. Atkreipkite dėmesį, kad apibrėžimo (13) prasme šis integralas nėra konvergentinis.

Veiksmingi sprendimo būdai
apibrėžtieji ir netinkamieji integralai

Šiame straipsnyje yra Papildomos medžiagos apie apibrėžtųjų ir netinkamųjų integralų sprendimo būdus. Manoma, kad skaitytojas turi vidutinius ir aukštesnius integravimo įgūdžius. Jei taip nėra, pradėkite nuo pagrindų, skirtų manekenams: Neapibrėžtinis integralas, sprendinių pavyzdžiai.

Kur neapibrėžtasis integralas, ten yra šalia ir Apibrėžtasis integralas, jūs taip pat turėtumėte susipažinti su Niutono-Leibnizo formule. Be to, sugebėti išspręsti paprasčiausią plokštumos figūros ploto skaičiavimo uždaviniai.

Pamoka skirta tiems, kurie nori išmokti greičiau ir efektyviau spręsti apibrėžtuosius ir netinkamus integralus. Pirmiausia pažvelgsiu į lygių ir ne integravimo ypatybes lygi funkcija išilgai intervalo, simetriško nulio atžvilgiu. Tada mes tai išsiaiškinsime apskritimo ploto nustatymo problema naudojant apibrėžtasis integralas. Ši problema taip pat svarbi, nes ji supažindina jus su bendru apibrėžto integralo integravimo metodu - trigonometrinis pakeitimas . Dar niekur neperžiūrėta – nauja medžiaga!

Antrasis skyrius skirtas skaitytojams, susipažinusiems su netinkami integralai. Panašiai panagrinėkime neteisingus lyginių ir nelyginių funkcijų integralus simetriniame intervale. Įskaitant daugiau retos rūšys netinkami integralai, kurie nebuvo įtraukti į pagrindinį straipsnį: kai apatinė riba linkusi į „minus begalybę“, kai abi ribos linkusios į begalybę, kai abiejuose integravimo segmento galuose funkcija patiria begalinį nenuoseklumą (tai jau yra integralas antroji rūšis). Ir labai retas netinkamas integralas – su integravimo segmento nutrūkimo tašku.

Jei jus domina kažkas konkretaus, čia yra nuorodos:

• Lyginės funkcijos apibrėžtasis integralas per simetrišką atkarpą
• Apskritimo ploto apskaičiavimas, trigonometrinis pakeitimas
• Netinkami integralai su begalinėmis integravimo ribomis
• Netinkamas 2 tipo integralas su pertraukomis abiejuose segmento galuose
• Netinkami integralai su integravimo intervalo nenutrūkstamumu

Lyginės funkcijos apibrėžtojo integralo sprendimo būdas

Panagrinėkime apibrėžtąjį formos integralą. Nesunku pastebėti, kad integracijos segmentas yra simetriškas nuliui.

Jei integrando funkcija yra net, tada integralas gali būti apskaičiuokite naudodami pusę atkarpos ir padvigubinkite rezultatą: .

Daugelis atspėjo, kodėl taip yra, vis dėlto pasvarstykime konkretus pavyzdys su piešiniu:

1 pavyzdys

Daug kalbėta apie funkcijos paritetą metodinė medžiaga Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Pakartokime vieną kartą: funkcija yra net tada, jei jai galioja lygybė. Kaip patikrinti funkcijos paritetą? Reikia vietoj pakaitalas "x".

IN tokiu atveju:
, Reiškia, šią funkciją yra lygus.

Pagal taisyklę atkarpoje, simetriškoje nulio atžvilgiu, mūsų lyginės funkcijos integralas gali būti apskaičiuojamas taip:

Ir dabar geometrinė interpretacija. Taip, mes ir toliau kankiname nelaimingą parabolę...

Visų pirma bet kuri lygi funkcija yra simetriška ašies atžvilgiu:

Apibrėžtinis integralas skaitiniu būdu lygus plotui plokščia figūra, kuris yra tamsintas žalias. Tačiau dėl integrando pariteto, taigi ir jo grafiko simetrijos ašies atžvilgiu, pakanka apskaičiuoti mėlynai nuspalvintos figūros plotą ir padvigubinti rezultatą. Identiškos pusės!
Štai kodėl veiksmas yra teisingas

Panaši istorija nutinka su bet kokia lygia funkcija išilgai segmento, simetriško nulio atžvilgiu:

Kai kas pasakys: „Kodėl viso to reikia, vis tiek galite apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą“. Gali. Paskaičiuokime:

Bet ar buvo patogu pakeisti neigiamą apatinę ribą? Ne visai. Beje, ženkluose suklys ne nulis procentas mokinių. Daug lengviau ir maloniau pakeisti nulį. Atkreipiu dėmesį, kad tai buvo tik paprastas demonstravimo pavyzdys praktikoje, viskas gali būti blogiau.

Be to, skaičiuojant dažnai naudojamas aptariamas metodas dvigubi integralai, trigubi integralai, kur jau pakanka skaičiavimų.

Trumpas apšilimo pavyzdys savarankiškas sprendimas:

2 pavyzdys

Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Atkreipkite dėmesį, kad kai jūsų prašoma tiesiog įvertinti apibrėžtąjį integralą, jums nereikia pildyti brėžinio! 1 pavyzdžio iliustracija pateikta tik tam, kad taisyklė būtų aiški. Tiesiog šiuo momentuŠi paprasta problema yra skirta:

3 pavyzdys

1) Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą.
2) Apskaičiuokite plokščios figūros plotą, apribotas linijomis o ašis ant intervalo .

Tai dvi skirtingos užduotys! Tai jau buvo aptarta straipsnyje Kaip apskaičiuoti plokščios figūros plotą? Pirmiausia aptarkime pirmąjį punktą:

1) Integrandas yra lygus, integravimo segmentas yra simetriškas nuliui, todėl:

Apibrėžtasis integralas pasirodė esąs neigiamas ir taip atsitinka!

2) Dabar susiraskime sritį plokščia figūra. Čia sunku išsiversti be piešinio:

Jei jums sunku su naivu kosinusu, skaitykite straipsnį Geometrinės grafikų transformacijos.

Segmente funkcijos grafikas yra žemiau ašies, todėl:

Atkreipkite dėmesį, kad niekas neatšaukė kosinuso pariteto, todėl mes vėl sumažinome segmentą per pusę ir padvigubinome integralą.

Apskritimo ploto apskaičiavimas naudojant apibrėžtąjį integralą
Trigonometrinis pakeitimas

Tai labai svarbi užduotis, nes bus svarstoma standartinis integralas ir sprendimų priėmimo procesas, su kuriuo ateityje teks susidurti daug kartų.

Bet pirmiausia greitas priminimas apie apskritimo lygtį. Formos lygtis nurodo apskritimą, kurio centras yra spindulio taške. Visų pirma, lygtis apibrėžia spindulio apskritimą, kurio centras yra taške.

4 pavyzdys

Apskaičiuokite apskritimo, kurį riboja apskritimas, plotą, pateikta lygtimi

yra apskritimas, kurio centras yra spindulio pradžioje.

Padarykime piešinį:

Pirmiausia apskaičiuokime apskritimo plotą naudodami gerai žinomą mokyklos formulę. Jei apskritimo spindulys yra , tada jo plotas yra:

Norint apskaičiuoti apskritimo plotą naudojant apibrėžtąjį integralą, būtina „Y“ funkciją išreikšti aiškiai iš apskritimo lygties:

Viršutinis puslankis pateikiamas pagal lygtį
Apatinis puslankis pateikiamas pagal lygtį

Ypač paranojiški žmonės, kaip ir aš, gali pakeisti keletą apskritimo taškų į šias lygtis ir patikrinti aukščiau pateiktų teiginių pagrįstumą.

Kaip apskaičiuoti apskritimo plotą? IN šiame pavyzdyje apskritimas yra simetriškas kilmės atžvilgiu, todėl pakanka apskaičiuoti sektoriaus plotą 1 ketvirtyje (nuspalvinti mėlyna spalva), tada rezultatą padauginti iš 4.

Taigi:

Tas pats, bet neapibrėžtas integralas buvo nagrinėjamas 6 pamokos pavyzdyje Sudėtingi integralai, ji buvo išspręsta naudojant ilgą ir daug darbo reikalaujantį integralo redukavimo į save metodą. Galite eiti tuo pačiu keliu, tačiau tam tikram integralui yra patogus ir efektyvus metodas trigonometrinis pakeitimas:

Pakeiskime:

Kodėl būtent šis pakeitimas paaiškės labai greitai, bet dabar suraskime skirtumą:

Sužinokime, į ką pavirs šaknis, aš tai labai išsamiai aprašysiu:

Jei sprendimo metu negalite atspėti, taikykite tokią formulę kaip , tada, deja, iš mokytojo išgirsite: „Grįžk kitą kartą“.

Pakeitę šaknį, galite aiškiai pamatyti, kodėl buvo atliktas pakeitimas, Ypatingas dėmesys Atkreipiu dėmesį į sinuso koeficientą - „du“, šis koeficientas turi būti parinktas taip, kad kvadratuojant viskas būtų gerai išimama iš skliaustų ir iš po šaknies.

Belieka apskaičiuoti naujas integracijos ribas:
Jei tada

Nauja apatinė integravimo riba:
Nauja viršutinė integracijos riba:

Taigi:

Sektoriaus plotas turi būti padaugintas iš 4, todėl viso apskritimo plotas yra:

Tikriausiai kai kurie žmonės klausė, kam vargti su integralu, jei yra trumpas mokyklos formulė? O gudrybė ta, kad galimybė labai tiksliai apskaičiuoti apskritimo plotą atsirado tik tobulėjant matematinė analizė(nors jau senovėje apskritimo plotas buvo skaičiuojamas pakankamai tiksliai).

Analizuojamas pavyzdys gali būti išspręstas bendras vaizdas, tai yra, raskite apskritimo, apriboto savavališko spindulio apskritimo, plotą: . Rezultatas yra tiksliai pagal formulę!

Reikėtų pažymėti, kad sprendžiant šią problemą galima taikyti kitą metodą - apskaičiuoti viršutinio puslankio plotą naudojant integralą , o tada padvigubinkite rezultatą. Tačiau dėl integrando pariteto sprendimas tiesiog sumažinamas iki optimalios versijos:

Dar kartą pabrėžiu trigonometrinio pakeitimo svarbą praktikoje ne kartą ar du. Todėl, norėdami apsaugoti medžiagą šiek tiek daugiau sunki užduotis nepriklausomam sprendimui:

5 pavyzdys

Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

Sąlygai reikia apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą, todėl brėžinio baigti nereikia. Atidžiai pagalvokite apie pakeitimo koeficientą. Jei po pakeitimo kyla sunkumų su integralu, grįžkite į pamoką Trigonometrinių funkcijų integralai. Būk atsargus! Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Nelyginės funkcijos apibrėžtojo integralo sprendimo būdas
išilgai atkarpos, simetriškos nulio atžvilgiu

Tau patiks.

Apsvarstykime tą patį apibrėžtąjį integralą, kurio integravimo segmentas yra simetriškas nulio atžvilgiu: .
Jei integrandas yra nelyginis, Tai.

Kodėl toks integralas lygus nuliui?

6 pavyzdys

Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

Padarykime piešinį:

Čia tuo pat metu yra funkcijos grafikas, kurio niekur anksčiau nemačiau, grafikas yra apversta kubinė parabolė.

Patikrinkime, ar mūsų funkcija lyginė / nelyginė:
, o tai reiškia, kad ši funkcija yra nelyginė, o jos grafikas yra simetriškas kilmės atžvilgiu. Iš grafiko simetrijos matyti, kad raudonai ir mėlynai nuspalvinti plotai yra vienodi..

Skaičiuojant apibrėžtąjį integralą, mėlyna spalva nuspalvinta sritis formaliai yra neigiama. Ir raudonai nuspalvinta sritis yra teigiama. Kadangi plotai yra lygūs ir formaliai priešingi pagal ženklą, jie panaikina vienas kitą.

Ir dar kartą pabrėžiu skirtumą tarp užduočių:

1) Bet koks apibrėžtas integralas (žinoma, jis turi egzistuoti) – formaliai tai vis dar yra sritis(net jei neigiamas). Todėl ypač dėl to, kad zonos funkcijos keistos, jos panaikina viena kitą. Tai iliustruojama konkrečiu pavyzdžiu.

2) Vietos radimo problema yra visai kita užduotis. Taigi, jei mūsų būtų paprašyta šiame pavyzdyje rasti figūros plotą, jis turėtų būti apskaičiuojamas taip:

Dar keli trumpi pavyzdžiai šios taisyklės tema:

Ir panašiai bet kuriai nelyginei funkcijai ir segmentui, simetriškam nulio atžvilgiu.

Ar turėčiau jį naudoti? šis metodas praktikoje? Tiesą sakant, klausimas nėra toks paprastas. Kai tau pasiūlo sudėtingas pavyzdys Su didelė suma skaičiavimus, tada galima ir netgi tikslinga nurodyti, kad toks integralas yra lygus nuliui, nurodant funkcijos nelygumą ir integravimo atkarpos simetriją apie nulį. Kaip sakoma, žinios yra galia, o nežinojimas yra darbo jėga.

Bet kai tau pasiūlo trumpas pavyzdys, tada mokytojas gali visai pagrįstai priversti jus tai išspręsti detaliai: paimkite integralą ir integravimo ribas pakeiskite naudodami Niutono-Leibnizo formulę. Pavyzdžiui, jūsų prašoma apskaičiuoti tą patį apibrėžtąjį integralą. Jei iš karto parašysite, ką turite omenyje, ir paaiškinsite žodžiais, kodėl paaiškės, kad jis yra nulis, tai nebus labai gerai. Daug geriau „žaisti kvailai“ ir atlikti visą sprendimą:

Ir iš anksto žinosite, kad integralas lygus nuliui ;-) Ir šios žinios 100% leis jums išvengti klaidų.

Netinkamo integralo su begaline apatine riba sprendimo metodas

Antroji straipsnio dalis skirta tiems, kurie gerai suprato pamoką Netinkami integralai. Sprendimų pavyzdžiai, arba bent jau daugumą suprato. Kalbėsime apie netinkamus integralus pirmoji rūšis su begaline apatine riba: .

7 pavyzdys

Kuo šis integralas skiriasi nuo „įprasto“ netinkamo integralo su begaliniu viršutinis limitas? Kalbant apie sprendimų technologiją, praktiškai nieko nėra. Taip pat reikia rasti antidarinį (neapibrėžtą integralą), o skaičiuojant integralą taip pat reikia naudoti ribą. Skirtumas tas, kad reikia nukreipti apatinę integravimo ribą į „minuso begalybę“: .

Iš to, kas išdėstyta aukščiau, akivaizdi tokio netinkamo integralo apskaičiavimo formulė:

Šiame pavyzdyje integrandas yra nenutrūkstamas ir:
, tai yra, netinkamasis integralas išsiskiria.

Čia svarbiausia būkite atsargūs su ženklais, ir nepamirškite to. Turite atidžiai suprasti, kas kur vyksta.

8 pavyzdys

Apskaičiuokite netinkamą integralą arba nustatykite jo divergenciją.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Netinkamo integralo sprendimo būdas
su begalinėmis integracijos ribomis

Labai įdomus atvejis. Netinkamas integralas pirmoji rūšis Su begalinės ribos integracija turi tokią formą:

Kaip tai išspręsti?Šis integralas turi būti pavaizduotas kaip dviejų netinkamų integralų suma:
(viskas išradinga yra paprasta) ir pažiūrėkite į situaciją:
Pastaba: Vietoj nulio galima naudoti bet kurį skaičių, bet nulis dažniausiai yra patogiausias.

9 pavyzdys

Apskaičiuokite netinkamą integralą arba nustatykite jo divergenciją.

Integrandas yra tęstinis visoje skaičių eilutėje. Integralą pavaizduojame kaip dviejų integralų sumą:

ir tvarkykite juos atskirai:

Taigi:
, tai yra, netinkamas integralas egzistuoja ir suartėja.

Dabar atkreipkime dėmesį į integrando funkciją. Ji būna net.
Netinkamuose integraluose su begalinėmis ribomis (taigi ir simetriniu integravimo intervalu) GALI būti naudojamas paritetas. Panašiai kaip ir apibrėžtasis integralas, naudinga perpus sumažinti intervalą ir padvigubinti rezultatą:

Kodėl tai įmanoma? Lyginės funkcijos integrando grafikas yra simetriškas ašies atžvilgiu. Vadinasi, jei pusė ploto yra baigtinė (integralas suartėja), tai simetrinė ploto pusė taip pat yra baigtinė. Jei pusė ploto yra begalinė (integralas išsiskiria), vadinasi, skirsis ir simetriška pusė. Nepamirškite ir trečiojo atvejo: jei pusės nėra, tai antrasis ir visas integralas. Pavyzdžiui:
– ši riba neegzistuoja, vadinasi, netinkamas integralas neegzistuoja.

Pereikime prie dar įdomesnio atvejo:

10 pavyzdys

Ištirkite netinkamą konvergencijos integralą.

Atkreipkite dėmesį į užduotį – čia sąlyga nebeteigia integralo egzistavimo fakto.

Integrandas yra ištisinis visoje skaičių tiesėje, o akademiniu stiliumi pacientą suskirstome į dvi dalis:

Išspręskime pirmąjį:

ir antrasis:

Ir, nepaisant to, kad abu integralai atskirai diverge – galutinis integralas in bendras atvejis neegzistuoja, nes suma nenustatyta. Kodėl? Kadangi kintamasis „a“ gali būti linkęs į „minus begalybę“, pavyzdžiui, GREIČIAU nei kintamasis „be“ į „plius begalybė“. (arba atvirkščiai).

Tačiau yra ypatinga ypatinga byla– kai abu kintamieji vienodai linkę į begalybę. Tai išreiškiama riba:

ir yra vadinamas Koši integralo konvergencija . Pati ribos reikšmė vadinama netinkamo integralo pirmaujanti reikšmė .

Ir kadangi sąlyga mūsų reikalavo tyrimai, tada toliau bus raštingi atsakyti: bendruoju atveju netinkamas integralas neegzistuoja, bet vyksta Koši konvergencija ir pagrindinė integralo reikšmė lygi nuliui. Pagrindinė reikšmė paprastai nurodoma taip:

Ir dabar Labai svarbus punktas : integrandas yra nelyginis ir kaip teisingai atspėjote, netinkamuose integraluose su begalinėmis ribomis, keistenybės NETURĖTŲ būti naudojamos!!!

Tai yra skirtumas nuo apibrėžtojo integralo. Ten galite saugiai tai užsirašyti, bet čia galite padaryti tą patį nedaryk to. Kodėl? Kadangi kai kuriais atvejais, kaip, pavyzdžiui, nagrinėjamame pavyzdyje, atsiras automatinė klaida, kuri nėra tiesa.

Subtilumas yra tas, kad kai kurių integralai nelygines funkcijas ir iš tikrųjų yra lygūs nuliui! Ir būtent šis subtilumas yra skirtas sekantis pavyzdys už savarankišką sprendimą.