Simetriškos figūros svorio centras nustatomas pagal formulę. Plokštumos figūrų svorio centro koordinačių nustatymas

Nubraižykite sistemos schemą ir pažymėkite joje svorio centrą. Jei rastas svorio centras yra už objektų sistemos ribų, gavote neteisingą atsakymą. Galbūt išmatavote atstumus nuo skirtingus taškus atgalinis skaičiavimas. Pakartokite matavimus.

• Pavyzdžiui, jei vaikai sėdi ant sūpynių, svorio centras bus kažkur tarp vaikų, o ne sūpynių dešinėje ar kairėje. Be to, svorio centras niekada nesutaps su ta vieta, kurioje vaikas sėdi.
• Šie argumentai galioja dvimatėje erdvėje. Nubraižykite kvadratą, kuriame bus visi sistemos objektai. Svorio centras turi būti šios aikštės viduje.

Patikrinkite matematiniai skaičiavimai, jei pasieksite nedidelį rezultatą. Jei atskaitos taškas yra viename sistemos gale, mažas rezultatas nukelia svorio centrą netoli sistemos galo. Tai gali būti teisingas atsakymas, tačiau daugeliu atvejų šis rezultatas rodo klaidą. Ar skaičiuodami momentus padauginote atitinkamus svorius ir atstumus? Jei vietoj to, kad daugintumėte svorius ir atstumus, gautumėte daug mažesnį rezultatą.

Ištaisykite klaidą, jei radote kelis svorio centrus. Kiekviena sistema turi tik vieną svorio centrą. Jei radote kelis svorio centrus, greičiausiai nesudėjote visų momentų. Svorio centras lygus santykiui„bendras“ momentas iki „bendro“ svorio. Nereikia dalinti „kiekvieno“ momento iš „kiekvieno“ svorio: taip rasite kiekvieno objekto padėtį.

Darbo tikslas – analitiniu ir eksperimentiniu būdu nustatyti sudėtingos figūros svorio centrą.

Teorinis pagrindas. Medžiaginiai kūnai susideda iš elementariosios dalelės, kurių padėtis erdvėje nustatoma pagal jų koordinates. Kiekvienos dalelės traukos į Žemę jėgas galima laikyti sistema lygiagrečios jėgos, šių jėgų rezultatas vadinamas kūno gravitacijos jėga arba kūno svoriu. Kūno svorio centras yra gravitacijos taikymo taškas.

Svorio centras yra geometrinis taškas, kuris gali būti už kūno ribų (pavyzdžiui, diskas su skylute, tuščiaviduris rutulys ir pan.). Didelis praktinę reikšmę turi plonų plokščių vienalyčių plokščių svorio centro apibrėžimą. Jų storis paprastai gali būti nepaisomas ir galima daryti prielaidą, kad svorio centras yra plokštumoje. Jeigu koordinačių plokštuma xOy sulygiuotas su figūros plokštuma, tada svorio centro padėtis nustatoma pagal dvi koordinates:

kur yra figūros dalies plotas, ();

– figūros dalių svorio centro koordinatės, mm (cm).

Figūros atkarpa	A, mm2	X c , mm	Yc, mm
	bh	b/2	h/2
	bh/2	b/3	h/3
	R 2 a
Esant 2α = π πR 2 /2

Darbo tvarka.

Nupieškite figūrą sudėtinga forma, susidedantis iš 3-4 paprastos figūros(stačiakampis, trikampis, apskritimas ir kt.) masteliu 1:1 ir nurodyti jo matmenis.

Nubrėžkite koordinačių ašis taip, kad jos apimtų visą figūrą, suskaidykite sudėtingą figūrą į paprastas dalis, nustatykite kiekvienos paprastos figūros svorio centro plotą ir koordinates pasirinktos koordinačių sistemos atžvilgiu.

Analitiškai apskaičiuokite visos figūros svorio centro koordinates. Iškirpti ši figūra iš plono kartono arba faneros. Išgręžkite dvi skylutes, skylių kraštai turi būti lygūs, o skylių skersmuo turi būti šiek tiek didesnis nei adatos, skirtos figūrai pakabinti, skersmuo.

Pirmiausia pakabinkite figūrą viename taške (skylėje), pieštuku nubrėžkite liniją, kuri sutampa su svambalo linija. Pakartokite tą patį pakabindami figūrą kitame taške. Eksperimentiniu būdu rastos figūros svorio centras turi sutapti.

Analitiškai nustatykite plonos vienalytės plokštės svorio centro koordinates. Patikrinkite eksperimentiškai

Sprendimo algoritmas

1. Analitinis metodas.

a) Nubraižykite piešinį masteliu 1:1.

b) Suskaidykite sudėtingą figūrą į paprastas

c) Pasirinkite ir nubrėžkite koordinačių ašis (jei figūra simetriška, tada išilgai simetrijos ašies, kitu atveju išilgai figūros kontūro)

d) Apskaičiuokite paprastų figūrų ir visos figūros plotą

e) Pažymėkite kiekvienos paprastos figūros svorio centro padėtį brėžinyje

f) Apskaičiuokite kiekvienos figūros svorio centro koordinates

(x ir y ašys)

g) Pagal formulę apskaičiuokite visos figūros svorio centro koordinates

h) C brėžinyje pažymėkite svorio centro padėtį (

2. Eksperimentinis nustatymas.

Problemos sprendimo teisingumą galima patikrinti eksperimentiškai. Iškirpkite šią figūrą iš plono kartono ar faneros. Išgręžkite tris skylutes, skylių kraštai turi būti lygūs, o skylių skersmuo turi būti šiek tiek didesnis nei adatos, skirtos figūrai pakabinti, skersmuo.

Pirmiausia pakabinkite figūrą viename taške (skylėje), pieštuku nubrėžkite liniją, kuri sutampa su svambalo linija. Tą patį pakartokite kabindami figūrą kituose taškuose. Figūros svorio centro koordinačių reikšmė, nustatyta pakabinus figūrą dviejuose taškuose: . Eksperimentiniu būdu rastos figūros svorio centras turi sutapti.

3. Išvada apie svorio centro padėtį atliekant analitinį ir eksperimentinį nustatymą.

Pratimas

Analitiniu ir eksperimentiniu būdu nustatykite plokščios dalies svorio centrą.

Vykdymo pavyzdys

Užduotis

Nustatykite plonos vienalytės plokštės svorio centro koordinates.

I Analitinis metodas

1. Brėžinys nupieštas pagal mastelį (matmenys dažniausiai pateikiami mm)

2. Sudėtingą figūrą skaidome į paprastas.

1 - stačiakampis

2 – trikampis (stačiakampis)

3- Puslankio plotas (jo nėra, minuso ženklas).

Randame paprastų taškų figūrų svorio centro padėtį ir

3. Nubraižykite koordinačių ašis kaip patogu ir pažymėkite koordinačių kilmę.

4. Apskaičiuokite paprastų figūrų plotus ir visos figūros plotą. [dydis cm]

(3. ne, ženklas -).

Visos figūros plotas

5. Raskite centrinio taško koordinatę. , ir brėžinyje.

6. Apskaičiuokite taškų C 1, C 2 ir C 3 koordinates

7. Apskaičiuokite taško C koordinates

8. Piešinyje pažymėkite tašką

II Patyręs

Svorio centro koordinatės eksperimentiškai.

Testo klausimai.

1. Ar galima kūno traukos jėgą laikyti lygiagrečių jėgų rezultuojančia sistema?

2. Ar gali būti viso kūno svorio centras?

3. Kokia yra esmė eksperimentinis nustatymas plokščios figūros svorio centras?

4. Kaip nustatomas sudėtingos figūros, susidedančios iš kelių paprastų figūrų, svorio centras?

5. Kaip, nustatant visos figūros svorio centrą, sudėtingos formos figūrą reikia racionaliai padalinti į paprastas figūras?

6. Kokį ženklą turi skylių plotas svorio centro nustatymo formulėje?

7. Kurių trikampio tiesių sankirtoje yra jo svorio centras?

8. Jei figūrą sunku išskaidyti į nedidelį skaičių paprastų figūrų, koks svorio centro nustatymo metodas gali pateikti greičiausią atsakymą?

Praktinis darbas №6

„Sudėtingų problemų sprendimas“

Darbo tikslas: gebėti spręsti sudėtingas problemas (kinematika, dinamika)

Teorinis pagrindas: Greitis yra kinematinis taško judėjimo matas, apibūdinantis jo padėties kitimo greitį. Taško greitis yra vektorius, apibūdinantis taško judėjimo greitį ir kryptį šiuo metu laiko. Nurodant taško judėjimą greičio projekcijos ašyje lygtimis Dekarto koordinatės yra lygūs:

Taško greičio modulis nustatomas pagal formulę

Greičio kryptis nustatoma pagal krypties kosinusus:

Greičio kitimo greičio charakteristika yra pagreitis a. Taško pagreitis yra lygus greičio vektoriaus laiko išvestinei:

Nurodant taško judėjimą, pagreičio projekcijos į koordinačių ašis lygtys yra lygios:

Pagreičio modulis:

Modulis visiškas pagreitis

Tangentinio pagreičio modulis nustatomas pagal formulę

Normalus pagreičio modulis nustatomas pagal formulę

kur yra trajektorijos kreivumo spindulys tam tikrame taške.

Pagreičio kryptis nustatoma pagal krypties kosinusus

Lygtis sukamasis judėjimas kietas aplinkui fiksuota ašis atrodo kaip

Kūno kampinis greitis:

Kartais kampinis greitis apibūdinamas apsisukimų per minutę skaičiumi ir žymimas raide . Priklausomybė tarp ir turi formą

Kūno kampinis pagreitis:

Jėga, lygi tam tikro taško masės sandaugai pagal jo pagreitį ir kryptį taško pagreičiui priešinga kryptimi, vadinama inercijos jėga.

Galia yra darbas, kurį jėga atlieka per laiko vienetą.

Pagrindinė sukamojo judėjimo dinamikos lygtis

– kūno inercijos momentas sukimosi ašies atžvilgiu yra materialių taškų masių sandaugų suma kvadratu jų atstumo iki šios ašies

Pratimas

m masės kūnas d skersmens būgne užvynioto troso pagalba juda aukštyn arba žemyn išilgai pasvirusi plokštuma su polinkio kampu α. Kūno judėjimo lygtis S=f(t), būgno sukimosi lygtis, kur S metrais; φ - radianais; t – sekundėmis. P ir ω yra atitinkamai galia ir kampinis greitis ant būgno veleno pagreičio pabaigos arba stabdymo pradžios momentu. Laikas t 1 – įsibėgėjimo laikas (nuo ramybės iki nustatyto greičio) arba stabdymo (nuo nurodyto greičio iki sustojimo). Slydimo trinties tarp kūno ir plokštumos koeficientas –f. Nepaisykite būgno trinties nuostolių, taip pat būgno masės. Spręsdami uždavinius, imkite g=10 m/s 2

Vykdymo pavyzdys

P, ω 1 problema

(1 pav.). 1 sprendimas. Tiesus judėjimas (1 pav., a). Gautas taškas, vienodai judantis tam tikru laiko momentu naujas įstatymas judėjimas, o po tam tikro laiko sustojo. Apibrėžkite viską kinematinės charakteristikos taškiniai judesiai dviem atvejais; a) judėjimas kartu tiesus kelias ; b) judėjimas kartu kreivinė trajektorija

pastovus kreivio spindulys r=100cm

1 paveikslas (a).

Taškinio greičio kitimo dėsnis

Pradinį taško greitį randame iš sąlygos:

Mes nustatome stabdymo laiką sustoti iš šios sąlygos:

adresu , iš čia .

Taško judėjimo dėsnis tolygaus judėjimo laikotarpiu

atstumas, kurį taškas nuvažiuoja išilgai trajektorijos stabdymo laikotarpiu,

Taško tangentinio pagreičio kitimo dėsnis

Iš to išplaukia, kad stabdymo laikotarpiu taškas judėjo vienodai lėtai, nes tangentinis pagreitis yra neigiamas ir pastovios vertės.

Tiesios trajektorijos taško normalus pagreitis lygus nuliui, t.y. . 2 sprendimas.

Kreivinis judėjimas (1 pav., b).

1 paveikslas (b) Šiuo atveju lyginant su byla tiesinis judėjimas

Visos kinematinės charakteristikos išlieka nepakitusios, išskyrus įprastą pagreitį.

Normaliojo taško pagreičio kitimo dėsnis Normalus taško pagreitis ties pradžios momentas

stabdymas Taškų pozicijų numeracija trajektorijoje, priimta brėžinyje: 1 – taškai tolygiai juda prieš prasidedant stabdymui; 2 – taško padėtis stabdymo momentu; 3 – esama taško padėtis stabdymo laikotarpiu; 4 – galutinė taško padėtis.

2 užduotis.

Krovinys (2 pav., a) pakeliamas naudojant būgninę gervę. Būgno skersmuo yra d=0,3 m, o jo sukimosi dėsnis yra .

Būgno pagreitis truko iki kampinis greitis. Nustatykite visas būgno ir apkrovos judėjimo kinematines charakteristikas.

Sprendimas. Būgno kampinio greičio kitimo dėsnis. Pradinį kampinį greitį randame iš sąlygos: ; todėl įsibėgėjimas prasidėjo iš ramybės būsenos. Pagreičio laiką rasime iš sąlygos: . Būgno sukimosi kampas pagreičio laikotarpiu.

Pokyčių dėsnis kampinis pagreitis būgnas, iš to seka, kad pagreičio laikotarpiu būgnas sukasi tolygiai pagreitėjęs.

Krovinio kinematinės charakteristikos yra lygios bet kurio traukos lyno taško atitinkamoms charakteristikoms, taigi taško A, gulinčio ant būgno krašto (2 pav., b). Kaip žinoma, besisukančio kūno taško tiesinės charakteristikos nustatomos pagal jo kampines charakteristikas.

Krovinio nuvažiuotas atstumas per įsibėgėjimo laikotarpį, . Apkrovos greitis pagreičio pabaigoje.

Krovinio pagreitinimas.

Krovinių judėjimo dėsnis.

Krovinio atstumas, greitis ir pagreitis gali būti nustatomi skirtingai, naudojant rastą krovinio judėjimo dėsnį:

3 užduotis. Krovinys, tolygiai judantis aukštyn išilgai nuožulnios atramos plokštumos, tam tikru momentu buvo stabdomas pagal naująjį judėjimo dėsnį. , kur s yra metrais, o t yra sekundėmis. Krovinio masė m = 100 kg, slydimo trinties tarp krovinio ir plokštumos koeficientas f = 0,25. Nustatykite traukos lyno jėgą F ir galią dviem laiko momentais: a) vienodas judesys prieš prasidedant stabdymui;

b) pradinis stabdymo momentas. Skaičiuodami imkite g=10 m/.

Sprendimas. Nustatome krovinio judėjimo kinematines charakteristikas.

Krovinio greičio kitimo dėsnis

Pradinis greitis apkrova (kai t = 0)

Krovinio pagreitis

Kadangi pagreitis yra neigiamas, judėjimas yra lėtas.

1. Vienodas krovinio judėjimas.

Norint nustatyti varomoji jėga F nagrinėjame apkrovos pusiausvyrą, kurią veikia konverguojančių jėgų sistema: jėga ant troso F, apkrovos gravitacinė jėga G=mg, normali reakcija atraminis paviršius N ir trinties jėga, nukreipta į kūno judėjimą. Pagal trinties dėsnį,. Krypties pasirinkimas koordinačių ašys, kaip parodyta brėžinyje, ir sudaryti dvi apkrovos pusiausvyros lygtis:

Kabelio galia prieš pradedant stabdymą nustatoma pagal žinoma formulė

Kur yra m/s.

2. Lėtas krovinio judėjimas.

Kaip žinoma, su nelygiu judėjimas į priekį kūnas, jį veikianti judėjimo kryptimi jėgų sistema nėra subalansuota. Pagal d'Alemberto principą (kinetostatinį metodą) kūnas šiuo atveju gali būti laikomas sąlyginės pusiausvyros, jei prie visų jį veikiančių jėgų pridėsime inercinę jėgą, kurios vektorius nukreiptas priešingai pagreičio vektoriui. Pagreičio vektorius mūsų atveju yra nukreiptas priešais greičio vektorių, nes apkrova juda lėtai. Sudarome dvi apkrovos pusiausvyros lygtis:

Įjunkite laidą stabdymo pradžioje

Testo klausimai.

1. Kaip nustatyti skaitinė reikšmė o taško greičio kryptis šiuo metu?

2. Kas apibūdina normalųjį ir tangentinį viso pagreičio komponentus?

3. Kaip pereiti nuo kampinio greičio išreiškimo min -1 prie jo išreiškimo rad/s?

4. Kaip vadinamas kūno svoris? Pavadinkite masės matavimo vienetą

5. Kokiu judesiu materialus taškas ar atsiranda inercinė jėga? Kokia jo skaitinė reikšmė ir kokia jo kryptis?

6. State d'Alembert principas

7. Ar inercijos jėga atsiranda su uniforma kreivinis judėjimas materialus taškas?

8. Kas yra sukimo momentas?

9. Kaip išreiškiamas ryšys tarp sukimo momento ir kampinio greičio esant tam tikrai perduodamai galiai?

10. Pagrindinė sukamojo judėjimo dinamikos lygtis.

Praktinis darbas Nr.7

„Konstrukcijų stiprumo skaičiavimas“

Darbo tikslas: nustatyti stiprumą, skerspjūvio matmenis ir leistiną apkrovą

Teorinis pagrindas.

Žinodami pjūvio jėgos veiksnius ir geometrines charakteristikas tempimo (gniuždymo) deformacijos metu, galime nustatyti įtempį pagal formules. Ir suprasti, ar mūsų dalis (velenas, krumpliaratis ir kt.) atlaikys išorinę apkrovą. Būtina palyginti šią vertę su leistina įtampa.

Taigi, statinio stiprumo lygtis

Remiantis juo, išsprendžiamos 3 tipų problemos:

1) stiprumo testas

2) pjūvio matmenų nustatymas

3) leistinos apkrovos nustatymas

Taigi, statinio standumo lygtis

Jos pagrindu taip pat išsprendžiamos 3 tipų problemos

Statinio tempimo (gniuždymo) stiprio lygtis

1) Pirmas tipas – stiprumo testas

,

y., mes nusprendžiame kairėje pusėje ir palyginkite su leistina įtampa.

2) Antrasis tipas - sekcijos matmenų nustatymas

iš dešinės pusės skerspjūvio plotas

Skyriaus ratas

taigi skersmuo d

Stačiakampis skyrius

Skyriaus kvadratas

A = a² (mm²)

Puslankio atkarpa

Sekcijos: kanalas, I-spindulys, kampas ir kt.

Ploto vertės - iš lentelės, priimtos pagal GOST

3) Trečiasis tipas – leistinos apkrovos nustatymas;

paimta į mažesnę pusę, sveikasis skaičius

PRATIMAS

Užduotis

A) stiprumo patikrinimas (bandymo skaičiavimas)

Sukurkite tam tikros sijos išilginių jėgų diagramą ir patikrinkite stiprumą abiejose atkarpose. Medienos medžiagai (plienui St3) priimti

B) Sekcijos pasirinkimas (projektinis skaičiavimas)

Sukurkite tam tikros sijos išilginių jėgų diagramą ir nustatykite skerspjūvio matmenis abiejose atkarpose. Medienos medžiagai (plienui St3) priimti

B) Leistinos išilginės jėgos nustatymas

Tam tikros sijos leistinas apkrovų vertes ir

sudaryti išilginių jėgų diagramą. Medienos medžiagai (plienui St3) priimti. Spręsdami problemą, manykite, kad apkrovos tipas yra vienodas abiejose sijos dalyse.

Užduoties atlikimo pavyzdys

P, ω 1 problema

Patikrinkite kolonos, pagamintos iš nurodyto dydžio I profilių, stiprumą. Kolonos medžiagai (plienui St3) priimkite leistinus tempimo įtempius ir suspaudimo metu . Perkrovos arba didelės per mažos apkrovos atveju pasirinkite I-sijos dydžius, kurie užtikrina optimalų kolonos stiprumą.

Sprendimas.

Tam tikra sija turi dvi sekcijas 1, 2. Atkarpų ribos yra atkarpos, kuriose išorinės jėgos. Kadangi siją apkraunančios jėgos yra išsidėsčiusios išilgai jos centrinės išilginės ašies, tai skerspjūviuose atsiranda tik vienas vidinis jėgos faktorius - išilginė jėga, t.y. yra sijos įtempimas (suspaudimas).

Išilginei jėgai nustatyti naudojame pjūvio metodą. Protiškai nubrėždami atkarpą kiekvienoje sekcijoje, atmesime apatinę fiksuotą sijos dalį ir paliksime ją apsvarstyti viršutinė dalis. 1 skyriuje išilginė jėga yra pastovi ir lygi

Minuso ženklas rodo, kad sija suspausta abiejose atkarpose.

Sudarome išilginių jėgų diagramą. Nubrėžę diagramos pagrindinę (nulinę) liniją, lygiagrečią sijos ašiai, gautas vertes nubraižome statmenai jai savavališkai. Kaip matote, diagrama buvo nubrėžta tiesiomis linijomis, lygiagrečiomis pagrindinei.

Tikriname medienos stiprumą, t.y. Nustatome apskaičiuotą įtempį (kiekvienai atkarpai atskirai) ir palyginame su leistinu. Norėdami tai padaryti, naudojame stiprio gniuždymo sąlygą

kur plotas yra geometrinė skerspjūvio stiprumo charakteristika. Iš valcuoto plieno lentelės paimame:

I-sijai
I-sijai

Jėgos testas:

Išilginių jėgų reikšmės imamos absoliučia verte.

Užtikrintas medienos tvirtumas, tačiau yra didelė (daugiau nei 25%) per maža apkrova, kuri nepriimtina dėl per didelio medžiagos sunaudojimo.

Iš stiprumo sąlygos nustatome naujus I-sijos matmenis kiekvienai sijos sekcijai:
Taigi reikalingas plotas

Pagal GOST lentelę pasirenkame I-siją Nr.16, kuriai;

Taigi reikalingas plotas

Pagal GOST lentelę pasirenkame I-siją Nr.24, kuriai ;

Naudojant pasirinktus I sijos dydžius, taip pat atsiranda per maža apkrova, tačiau ji yra nereikšminga (mažiau nei 5%)

2 užduotis.

Sijai su nurodytais skerspjūvio matmenimis nustatykite leistinas apkrovos vertes ir . Medienos (plieno St3) atveju priimti leistinus tempimo įtempius ir suspaudimo metu .

Sprendimas.

Pateikta sija turi dvi dalis 1, 2. Yra sijos įtempimas (suspaudimas).

Pjūvių metodu nustatome išilginę jėgą, išreikšdami ją reikiamomis jėgomis ir. Atlikdami atkarpą kiekvienoje sekcijoje, išmesime kairiąją sijos dalį ir paliksime ją svarstyti dešinėje pusėje. 1 skyriuje išilginė jėga yra pastovi ir lygi

2 skyriuje išilginė jėga taip pat yra pastovi ir lygi

Pliuso ženklas rodo, kad sija ištempta abiejose atkarpose.

Sudarome išilginių jėgų diagramą. Diagrama nubrėžta tiesiomis linijomis, lygiagrečiomis bazinei.

Iš tempiamojo stiprio būklės nustatome leistinas apkrovos reikšmes ir, prieš tai apskaičiavę nurodytos apkrovos plotus skerspjūviai:

Testo klausimai.

1. Kokie vidinės jėgos veiksniai atsiranda sijos pjūvyje tempiant ir gniuždant?

2. Užrašykite tempimo ir gniuždymo stiprio sąlygą.

3. Kaip priskiriami išilginės jėgos ir normalaus įtempio ženklai?

4. Kaip pasikeis įtampa, jei skerspjūvio plotas padidės 4 kartus?

5. Ar skiriasi stiprio sąlygos tempimo ir gniuždymo skaičiavimams?

6. Kokiais vienetais matuojama įtampa?

7. Kuris mechaninės charakteristikos pasirinktas kaip didžiausias įtempis plastiškoms ir trapioms medžiagoms?

8. Kuo skiriasi ribinis ir leistinas įtempis?

Praktinis darbas Nr.8

„Pagrindinių centrinių plokščių inercijos momentų nustatymo uždavinių sprendimas geometrines figūras»

Darbo tikslas: analitiškai nustatyti inercijos momentus plokšti kūnai sudėtinga forma

Teorinis pagrindas. Atkarpos svorio centro koordinates galima išreikšti statiniu momentu:

kur jaučio ašies atžvilgiu

Oy ašies atžvilgiu

Statinis figūros ploto momentas ašies, esančios toje pačioje plokštumoje, atžvilgiu, lygus produktui figūros plotas pagal jos svorio centro atstumą iki šios ašies. Statinis momentas turi dimensiją. Statinis momentas gali būti teigiamas, neigiamas arba lygus nuliui(palyginti su bet kuria centrine ašimi).

Pjūvio ašinis inercijos momentas yra elementariųjų plotų sandaugų arba integralų, perimtų per visą pjūvį, atstumų iki tam tikros ašies, esančios nagrinėjamo pjūvio plokštumoje, kvadratų suma.

Ašinis inercijos momentas išreiškiamas vienetais - . Ašinis inercijos momentas yra dydis, kuris visada yra teigiamas ir nėra lygus nuliui.

Ašys, einančios per figūros svorio centrą, vadinamos centrine. Inercijos momentas apie centrinę ašį vadinamas centrinis taškas inercija.

Inercijos momentas apie bet kurią ašį yra lygus centrui

6.1. Bendra informacija

Lygiagrečių pajėgų centras
Apsvarstykime dvi lygiagrečias jėgas, nukreiptas viena kryptimi, ir , taikomos kūno taškuose A 1 ir A 2 (6.1 pav.). Ši jėgų sistema turi rezultatą, kurio veikimo linija eina per tam tikrą tašką SU. Taško padėtis SU galima rasti naudojant Varinjono teoremą:

Jei pasukate jėgas ir šalia taškų A 1 ir A 2 viena kryptimi ir tuo pačiu kampu, gauname nauja sistema lygiagrečios salos, turinčios tuos pačius modulius. Šiuo atveju jų rezultatas taip pat praeis per tašką SU. Šis taškas vadinamas lygiagrečių jėgų centru.
Panagrinėkime lygiagrečių ir vienodai nukreiptų jėgų, veikiančių kietąjį kūną taškuose, sistemą. Ši sistema turi rezultatą.
Jei kiekviena sistemos jėga bus pasukta šalia jų taikymo taškų ta pačia kryptimi ir tuo pačiu kampu, tai bus gautos naujos identiškai nukreiptų lygiagrečių jėgų sistemos su tais pačiais moduliais ir taikymo taškais. Tokių sistemų rezultantas turės tą patį modulį R, bet kaskart vis kita kryptimi. Sukaupęs jėgas F 1 ir F 2 matome, kad jų rezultatas R 1, kuris visada eis per tašką SU 1, kurio padėtį lemia lygybė . Sulankstoma toliau R 1 ir F 3, randame jų rezultatą, kuris visada eis per tašką SU 2 gulėti ant tiesios linijos A 3 SU 2. Baigę jėgų pridėjimo procesą iki galo, padarysime išvadą, kad visų jėgų rezultatas iš tikrųjų visada praeis per tą patį tašką SU, kurios padėtis taškų atžvilgiu nesikeis.
Taškas SU, per kurią eina atstojamosios lygiagrečių jėgų sistemos veikimo linija bet kokiam šių jėgų sukimuisi šalia jų taikymo taškų ta pačia kryptimi tuo pačiu kampu, vadinama lygiagrečių jėgų centru (6.2 pav.).

6.2 pav

Nustatykime lygiagrečių jėgų centro koordinates. Kadangi taško padėtis SU kūno atžvilgiu yra nepakitęs, tada jo koordinatės nepriklauso nuo koordinačių sistemos pasirinkimo. Pasukime visas jėgas aplink jų taikymą taip, kad jos taptų lygiagrečios ašiai Oi ir pritaikyti Varinjono teoremą pasuktoms jėgoms. Nes R" yra šių jėgų rezultatas, tada, pagal Varinjono teoremą, turime , nes , , gauname

Iš čia randame lygiagrečių jėgų centro koordinates zc:

Norėdami nustatyti koordinates xc Sukurkime jėgų momento apie ašį išraišką Ozas.

Norėdami nustatyti koordinates yc visas jėgas pasukime taip, kad jos taptų lygiagrečios ašiai Ozas.

Lygiagrečių jėgų centro padėtį pradžios atžvilgiu (6.2 pav.) galima nustatyti pagal jo spindulio vektorių:

6.2. Standaus kūno svorio centras

Svorio centras standus kūnas yra taškas, visada susijęs su šiuo kūnu SU, per kurią eina tam tikro kūno atstojamųjų gravitacijos jėgų veikimo linija, esant bet kokiai kūno padėčiai erdvėje.
Svorio centras naudojamas kūnų pusiausvyros padėčių stabilumui tirti ir kontinuumas, veikiant gravitacijai ir kai kuriais kitais atvejais, būtent: medžiagų atsparumui ir in konstrukcinė mechanika- naudojant Vereshchagino taisyklę.
Yra du būdai nustatyti kūno svorio centrą: analitinis ir eksperimentinis. Analitinis svorio centro nustatymo metodas tiesiogiai išplaukia iš lygiagrečių jėgų centro sampratos.
Svorio centro, kaip lygiagrečių jėgų centro, koordinatės nustatomos pagal formules:

Kur R- viso kūno svoris; pk- kūno dalelių svoris; xk, yk, zk- kūno dalelių koordinates.
Vienalyčiam kūnui viso kūno ir bet kurios jo dalies svoris yra proporcingas tūriui P=Vγ, pk =vk γ, Kur γ - svoris vienam tūrio vienetui, V- kūno apimtis. Pakeičiantys posakius P, pkį svorio centro koordinačių nustatymo formulę ir, sumažinant pagal bendras daugiklis γ , gauname:

Taškas SU, kurio koordinates nustatomos gautos formules, vadinamas tūrio svorio centras.
Jei kūnas yra plona vienalytė plokštė, tada svorio centras nustatomas pagal formules:

Kur S- visos plokštės plotas; sk- jo dalies plotas; xk, yk- plokštės dalių svorio centro koordinatės.
Taškas SU V šiuo atveju yra vadinamas vietovės svorio centras.
Svorio centro koordinates apibrėžiančių išraiškų skaitikliai plokščios figūros, yra vadinami su statiniai ploto momentai ašių atžvilgiu adresu Ir X:

Tada vietovės svorio centrą galima nustatyti pagal formules:

Kūnų, kurių ilgis daug kartų didesnis už skerspjūvio matmenis, nustatykite linijos svorio centrą. Linijos svorio centro koordinatės nustatomos pagal formules:

Kur L- linijos ilgis; lk- jo dalių ilgis; xk, yk, zk- linijos dalių svorio centro koordinatė.

6.3. Kūnų svorio centrų koordinačių nustatymo metodai

Remdamiesi gautomis formulėmis galime pasiūlyti praktiniais būdais nustatant kūnų svorio centrus.
1. Simetrija. Jei kūnas turi simetrijos centrą, tada svorio centras yra simetrijos centre.
Jei kūnas turi simetrijos plokštumą. Pavyzdžiui, XOU plokštuma, tada svorio centras yra šioje plokštumoje.
2. Skaldymas. Kūnams, sudarytiems iš paprastų formų kūnų, naudojamas padalijimo metodas. Kūnas yra padalintas į dalis, kurių svorio centras nustatomas simetrijos metodu. Viso kūno svorio centras nustatomas pagal tūrio (ploto) svorio centro formules.

Pavyzdys. Nustatykite plokštės svorio centrą, parodytą paveikslėlyje žemiau (6.3 pav.). Plokštelę galima padalyti į stačiakampius įvairiais būdais ir nustatyti kiekvieno stačiakampio svorio centro koordinates ir jų plotą.

6.3 pav

Atsakymas: xc=17,0 cm; yc=18,0 cm.

3. Papildymas. Šis metodas yra ypatingas skaidymo metodo atvejis. Jis naudojamas, kai kūnas turi išpjovas, pjūvius ir pan., jei žinomos kūno svorio centro koordinatės be išpjovos.

Pavyzdys. Nustatykite apskritos plokštės, turinčios išpjovos spindulį, svorio centrą r = 0,6 R(6.4 pav.).

6.4 pav

Apvali plokštė turi simetrijos centrą. Padėkime koordinačių pradžią plokštės centre. Plokštės plotas be išpjovos, išpjovos plotas. Kvadratinė plokštė su išpjova; .
Plokštelė su išpjova turi simetrijos ašį О1 x, vadinasi, yc=0.

4. Integracija. Jei kūno negalima suskirstyti į galutinis skaičius dalys, kurių svorio centrų padėtis yra žinoma, kūnas yra padalintas į savavališkus mažus tūrius, kurių formulė, naudojant skaidymo metodą, yra tokia: .
Tada jie eina iki ribos, nukreipdami elementarius tūrius į nulį, t.y. sutartines apimtis į taškus. Sumos pakeičiamos integralais, išplėstais į visą kūno tūrį, tada formulės, skirtos nustatyti tūrio svorio centro koordinates, įgauna tokią formą:

Formulės, skirtos nustatyti vietovės svorio centro koordinates:

Tiriant plokščių pusiausvyrą, skaičiuojant Mohro integralą konstrukcijų mechanikoje, reikia nustatyti ploto svorio centro koordinates.

Pavyzdys. Nustatykite apskritimo spindulio lanko svorio centrą R Su centrinis kampas AOB= 2α (6.5 pav.).

Ryžiai. 6.5

Apskritimo lankas yra simetriškas ašiai Oi, todėl lanko svorio centras yra ant ašies Oi, yс = 0.
Pagal linijos svorio centro formulę:

6.Eksperimentinis metodas. Nehomogeniškų sudėtingos konfigūracijos kūnų svorio centrus galima nustatyti eksperimentiškai: pakabinimo ir svėrimo būdu. Pirmasis būdas yra pakabinti kūną ant kabelio įvairiuose taškuose. Kabelio, ant kurio pakabinamas kūnas, kryptis parodys gravitacijos kryptį. Šių krypčių susikirtimo taškas nustato kūno svorio centrą.
Svėrimo metodas apima visų pirma kėbulo, pavyzdžiui, automobilio, svorį. Tada ant svarstyklių nustatomas transporto priemonės galinės ašies slėgis į atramą. Sudarę pusiausvyros lygtį taško, pavyzdžiui, priekinių ratų ašies, atžvilgiu, galite apskaičiuoti atstumą nuo šios ašies iki automobilio svorio centro (6.6 pav.).

6.6 pav

Kartais sprendžiant problemas reikėtų naudoti vienu metu skirtingi metodai nustatant svorio centro koordinates.

6.4. Kai kurių paprastų geometrinių figūrų svorio centrai

Norint nustatyti dažnai pasitaikančių formų (trikampio, apskritimo lanko, sektoriaus, atkarpos) kūnų svorio centrus, patogu naudoti pamatinius duomenis (6.1 lentelė).

6.1 lentelė

Kai kurių vienarūšių kūnų svorio centro koordinatės

IN inžinerinė praktika Taip atsitinka, kad reikia apskaičiuoti sudėtingos plokščios figūros, susidedančios iš paprastų elementų, kurių svorio centro vieta yra žinoma, svorio centro koordinates. Ši užduotis yra dalis užduoties nustatyti...

Kompozitinių sijų ir strypų skerspjūvių geometrinės charakteristikos. Dažnai su panašius klausimus pjovimo štampų projektuotojai turi susidurti nustatydami slėgio centro koordinates ir apkrovos schemų kūrėjai įvairus transportas dedant apkrovas, statybinių metalinių konstrukcijų projektuotojams renkantis elementų pjūvius ir, žinoma, studentams studijuojant disciplinas " Teorinė mechanika“ ir „Medžiagų stiprumas“.

Elementariųjų figūrų biblioteka.

Simetriškoms plokštumos figūroms svorio centras sutampa su simetrijos centru. Į simetrišką elementariųjų objektų grupę įeina: apskritimas, stačiakampis (įskaitant kvadratą), lygiagretainis (įskaitant rombą), taisyklingasis daugiakampis.

Iš dešimties paveikslų, pateiktų aukščiau esančiame paveikslėlyje, tik du yra pagrindiniai. Tai yra, naudodami trikampius ir apskritimų sektorius, galite sujungti beveik bet kokią figūrą, kuri domina praktiškai. Bet kokias savavališkas kreives galima suskirstyti į dalis ir pakeisti apskritimo lankais.

Likusios aštuonios figūros yra labiausiai paplitusios, todėl jos buvo įtrauktos į šią unikalią biblioteką. Mūsų klasifikacijoje šie elementai nėra pagrindiniai. Iš dviejų trikampių galima suformuoti stačiakampį, lygiagretainį ir trapeciją. Šešiakampis yra keturių trikampių suma. Apskritimo atkarpa yra skirtumas tarp apskritimo ir trikampio sektoriaus. Apskritimo žiedinis sektorius yra skirtumas tarp dviejų sektorių. Apskritimas yra apskritimo, kurio kampas α=2*π=360˚, sektorius. Puslankis yra atitinkamai apskritimo, kurio kampas α=π=180˚, sektorius.

Sudėtinės figūros svorio centro koordinačių skaičiavimas programoje Excel.

Visada lengviau perteikti ir suvokti informaciją, atsižvelgiant į pavyzdį, nei tirti problemą naudojant grynai teorinius skaičiavimus. Panagrinėkime problemos „Kaip rasti svorio centrą?“ sprendimą? naudojant sudėtinės figūros pavyzdį, pateiktą paveikslėlyje po šiuo tekstu.

Sudėtinė dalis yra stačiakampis (su matmenimis a1 = 80 mm, b1 = 40 mm), prie kurios buvo pridėta viršuje kairėje lygiašonis trikampis(su pagrindo dydžiu a2 =24 mm ir aukštis h2 =42 mm) ir iš kurio iš viršaus dešinėje buvo iškirptas puslankis (centras yra taške su koordinatėmis x03 =50 mm ir y03 =40 mm, spindulys r3 =26 mm).

Naudosime programą, kuri padės atlikti skaičiavimus MS Excel arba programa OOo Skaič . Bet kuris iš jų lengvai susidoros su mūsų užduotimi!

Ląstelėse su geltona mes jį užpildysime pagalbinis preliminarus skaičiavimai .

Rezultatus apskaičiuojame langeliuose su šviesiai geltonu užpildu.

Mėlyna šriftas yra šaltinio duomenys .

Juoda šriftas yra tarpinis skaičiavimo rezultatai .

Raudona šriftas yra galutinis skaičiavimo rezultatai .

Pradedame spręsti problemą – pradedame ieškoti atkarpos svorio centro koordinačių.

Pradiniai duomenys:

1. Atitinkamai surašysime elementariųjų figūrų, sudarančių sudėtinę atkarpą, pavadinimus

į langelį D3: Stačiakampis

į langelį E3: Trikampis

į langelį F3: Puslankis

2. Naudodami šiame straipsnyje pateiktą „Elementariųjų figūrų biblioteką“ nustatysime sudėtinės sekcijos elementų svorio centrų koordinates. xci Ir yci mm, palyginti su savavališkai pasirinktomis ašimis 0x ir 0y, ir parašykite

į langelį D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = a 1 /2

į langelį D5: =40/2 =20,000

yc 1 = b 1 /2

į langelį E4: =24/2 =12,000

xc 2 = a 2 /2

į langelį E5: =40+42/3 =54,000

yc 2 = b 1 + h 2 /3

į langelį F4: =50 =50,000

xc 3 = x03

į langelį F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π

3. Apskaičiuokime elementų plotus F 1 , F 2 , F3 mm2, vėlgi naudojant formules iš skyriaus „Elementariųjų figūrų biblioteka“

langelyje D6: =40*80 =3200

F1 = a 1 * b1

langelyje E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

langelyje F6: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

Trečiojo elemento - puslankio - plotas yra neigiamas, nes tai yra išpjova - tuščia vieta!

Svorio centro koordinačių apskaičiavimas:

4. Apibrėžkime bendro ploto galutinė figūra F0 mm2

sujungtame langelyje D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Apskaičiuokime sudėtinės figūros statinius momentus Sx Ir Sy mm3, palyginti su pasirinktomis ašimis 0x ir 0y

sujungtame langelyje D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 * F2 + yc3 * F3

sujungtame langelyje D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

Sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. Ir galiausiai, apskaičiuokime sudėtinės sekcijos svorio centro koordinates Xc Ir Yc mm pasirinktoje koordinačių sistemoje 0x - 0y

sujungtame langelyje D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = Sy / F0

sujungtame langelyje D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc = Sx /F0

Problema išspręsta, skaičiavimas "Excel" baigtas - atkarpos svorio centro koordinatės, sudarytos naudojant tris paprastus elementus, rastos!

Išvada.

Straipsnyje pateiktas pavyzdys pasirinktas labai paprastas, kad būtų lengviau suprasti sudėtingos atkarpos svorio centro skaičiavimo metodiką. Metodas yra toks, kad bet kokia sudėtinga figūra turi būti padalinta į paprasti elementai Su žinomos vietos svorio centrų vietą ir atlikti galutinius visos atkarpos skaičiavimus.

Jei sekcija sudaryta iš valcuotų profilių - kampų ir kanalų, tada nereikia jų dalyti į stačiakampius ir kvadratus su iškirptais apskritimais „π/2“ sektoriais. Šių profilių svorio centrų koordinatės pateiktos GOST lentelėse, tai yra, tiek kampas, tiek kanalas bus pagrindiniai jūsų sudėtinių sekcijų skaičiavimai. elementarių elementų(nėra prasmės kalbėti apie I-sijas, vamzdžius, strypus ir šešiakampius - tai yra centre simetriškos sekcijos).

Žinoma, koordinačių ašių vieta neturi įtakos figūros svorio centro padėčiai! Todėl rinkitės tokią koordinačių sistemą, kuri supaprastintų skaičiavimus. Jei, pavyzdžiui, mūsų pavyzdyje pasukčiau koordinačių sistemą 45˚ pagal laikrodžio rodyklę, tada stačiakampio, trikampio ir puslankio svorio centrų koordinačių apskaičiavimas virstų dar vienu atskiru ir sudėtingu skaičiavimų etapu, kurio negalima atlikti. galvoje“.

Skaičiavimas parodytas žemiau Excel failasšiuo atveju tai nėra programa. Greičiau tai yra skaičiuotuvo eskizas, algoritmas, šablonas, kuris seka kiekvienu konkrečiu atveju sukurkite savo formulių seką langeliams su ryškiai geltonu užpildu.

Taigi, dabar žinote, kaip rasti bet kurios sekcijos svorio centrą! Išsamus visų savavališkų sudėtingų sudėtinių sekcijų geometrinių charakteristikų apskaičiavimas bus nagrinėjamas viename iš būsimų straipsnių skyriuje „“. Sekite naujienas tinklaraštyje.

Už gavimo informacija apie naujų straipsnių išleidimą ir už atsisiunčiami darbo programos failai Prašau jūsų užsiprenumeruoti pranešimus straipsnio pabaigoje esančiame lange arba puslapio viršuje esančiame lange.

Įvedę savo adresą paštu ir spustelėję mygtuką „Gauti straipsnių pranešimus“. NEPAMIRŠKITE PATVIRTINKITE SAVO PRENUMERACIJĄ paspaudę nuorodą laiške, kuris iš karto ateis jums nurodytu el. pašto adresu (kartais aplanke « Šlamštas » )!

Keletas žodžių apie stiklą, monetą ir dvi šakutes, kurios pavaizduotos „iliustracijos piktogramoje“ pačioje straipsnio pradžioje. Daugelis iš jūsų tikrai žinote šį „gudrybę“, kuri sukelia susižavėjimo kupinus vaikų ir nesupratusių suaugusiųjų žvilgsnius. Šio straipsnio tema yra svorio centras. Būtent jis ir atramos taškas, žaisdami su mūsų sąmone ir patirtimi, tiesiog apgauna mūsų protą!

Sistemos „šakė + moneta“ svorio centras visada yra ant pataisyta atstumas vertikaliai žemyn nuo monetos krašto, kuris savo ruožtu yra atramos taškas. Ši pozicija stabili pusiausvyra! Papurčius šakutes iškart tampa akivaizdu, kad sistema siekia užimti ankstesnę stabilią padėtį! Įsivaizduokite švytuoklę - fiksavimo tašką (= monetos atramos taškas ant stiklo krašto), strypą - švytuoklės ašį (= mūsų atveju ašis yra virtuali, nes dviejų šakių masė yra atskirtas skirtingos pusės erdvė) ir apkrova ašies apačioje (= visos „šakės + monetos“ sistemos svorio centras). Jei pradėsite nukreipti švytuoklę nuo vertikalės bet kuria kryptimi (pirmyn, atgal, kairėn, dešinėn), tada gravitacijos veikiama ji neišvengiamai grįš į pradinę padėtį. pastovi pusiausvyros būsena(tas pats atsitinka su mūsų šakėmis ir moneta)!

Jei nesupranti, bet nori suprasti, išsiaiškink pats. Labai įdomu pačiam „patekti“! Pridursiu, kad tas pats stabilios pusiausvyros naudojimo principas įgyvendintas ir žaisle Vanka-stand-up. Tik šio žaislo svorio centras yra virš atramos taško, bet žemiau atraminio paviršiaus pusrutulio centro.

Man visada malonu matyti jūsų komentarus, mieli skaitytojai!!!

Prašau PAGARBA autorinis darbas, parsisiųsti failą PO PRENUMERUOTOS straipsnių skelbimams.

Remiantis tuo, kas išdėstyta aukščiau bendrosios formulės, galite nurodyti konkrečius kūnų svorio centrų koordinačių nustatymo metodus.

1. Simetrija. Jei vienalytis kūnas turi plokštumą, ašį arba simetrijos centrą (7 pav.), tai jo svorio centras yra atitinkamai simetrijos plokštumoje, simetrijos ašyje arba simetrijos centre.

7 pav

2. Skaldymas. Kūnas yra padalintas į baigtinį skaičių dalių (8 pav.), kurių kiekvienai yra žinoma svorio centro padėtis ir plotas.

8 pav

3.Neigiamo ploto metodas. Ypatingas atskyrimo metodo atvejis (9 pav.). Tai taikoma kėbulams, turintiems išpjovas, jei žinomi kėbulo be išpjovos svorio centrai ir išpjovos dalis. Plokštės formos korpusas su išpjova pavaizduotas vientisos plokštės (be išpjovos) su plotu S 1 ir iškirptos dalies S 2 deriniu.

9 pav

4.Grupavimo metodas. Is geras papildymas paskutiniai du metodai. Padalijus figūrą į sudedamuosius elementus, patogu kai kuriuos iš jų sujungti dar kartą, kad būtų galima supaprastinti sprendimą, atsižvelgiant į šios grupės simetriją.

Kai kurių vienarūšių kūnų svorio centrai.

1) Apskritimo lanko svorio centras. Apsvarstykite lanką AB spindulys R su centriniu kampu. Dėl simetrijos šio lanko svorio centras yra ant ašies Jautis(10 pav.).

10 pav

Raskime koordinates naudodami formulę. Norėdami tai padaryti, pasirinkite ant lanko AB elementas MM' ilgio, kurio padėtis nustatoma pagal kampą. Koordinatė X elementas MM' bus . Pakeičiant šias reikšmes X ir d l ir turėdami omenyje, kad integralas turi būti pratęstas per visą lanko ilgį, gauname:

Kur L- lanko ilgis AB, lygus .

Iš čia mes pagaliau nustatome, kad apskritimo lanko svorio centras yra ant jo simetrijos ašies atstumu nuo centro APIE, lygus

kur kampas matuojamas radianais.

2) Trikampio ploto svorio centras. Apsvarstykite trikampį, esantį plokštumoje Oxy, kurio viršūnių koordinatės žinomos: A i(x i,y i), (i= 1,2,3). Trikampio suskaidymas į siauras juosteles, lygiagrečiai šonui A 1 A 2, darome išvadą, kad trikampio svorio centras turi priklausyti medianai A 3 M 3 (11 pav.).

11 pav

Trikampio suskaidymas į juosteles lygiagrečiai šonui A 2 A 3, galime patikrinti, ar jis turi būti ant medianos A 1 M 1. Taigi, trikampio svorio centras yra jo medianų susikirtimo taške, kuris, kaip žinoma, atskiria trečią dalį nuo kiekvienos medianos, skaičiuojant nuo atitinkamos pusės.

Visų pirma, medianai A 1 M 1 gauname, atsižvelgdami į tai, kad taško koordinates M 1 yra viršūnių koordinačių aritmetinis vidurkis A 2 ir A 3:

x c = x 1 + (2/3)∙(x M 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 +x 2 +x 3)/3.

Taigi trikampio svorio centro koordinatės yra jo viršūnių koordinačių aritmetinis vidurkis:

x c =(1/3)Σ x i ; y c =(1/3)Σ y i.

3) Teritorijos svorio centras apskritas sektorius. Apsvarstykite apskritimo su spinduliu sektorių R kurio centrinis kampas yra 2α, esantis simetriškai ašies atžvilgiu Jautis(12 pav.) .

Tai akivaizdu y c = 0, o atstumą nuo apskritimo centro, iš kurio šis sektorius yra nupjautas, iki jo svorio centro galima nustatyti pagal formulę:

12 pav

Lengviausias būdas apskaičiuoti šį integralą yra padalyti integravimo sritį į elementarius sektorius su kampu dφ. Tiksliai iki be galo mažų pirmosios eilės, tokį sektorių galima pakeisti trikampiu, kurio pagrindas lygus R× dφ ir aukštis R. Tokio trikampio plotas dF=(1/2)R 2 ∙dφ, o jo svorio centras yra 2/3 atstumu R nuo viršūnės, todėl į (5) dedame x = (2/3)R∙kosφ. Keičiama į (5) F= α R 2, gauname:

Naudodami paskutinę formulę apskaičiuojame atstumą iki svorio centro puslankiu.

Pakeitę α = π/2 į (2), gauname: x c = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .

1 pavyzdys. Nustatykime vienalyčio kūno svorio centrą, parodytą Fig. 13.

13 pav

Kūnas yra vienalytis, susidedantis iš dviejų simetriškos formos dalių. Jų svorio centrų koordinatės:

Jų apimtys:

Todėl kūno svorio centro koordinatės

2 pavyzdys. Raskime stačiu kampu sulenktos plokštės svorio centrą. Matmenys pateikti brėžinyje (14 pav.).

14 pav

Svorio centrų koordinatės:

Sritys:

15 pav

Šioje problemoje patogiau korpusą padalinti į dvi dalis: didelę kvadratinę ir kvadratinę skylę. Tik skylės plotas turėtų būti laikomas neigiamu. Tada lapo svorio centro koordinatės su skyle:

koordinuoti kadangi kūnas turi simetrijos ašį (įstrižainę).

4 pavyzdys. Vielinis laikiklis (16 pav.) susideda iš trijų vienodo ilgio sekcijų l.

16 pav

Atkarpų svorio centrų koordinatės:

Todėl viso laikiklio svorio centro koordinatės yra šios:

5 pavyzdys. Nustatykite santvaros, kurios visų strypų linijinis tankis vienodas, svorio centro padėtį (17 pav.).

Prisiminkime, kad fizikoje kūno tankis ρ ir jo savitasis svoris g yra susiję ryšiu: γ= ρ g, Kur g- pagreitis laisvasis kritimas. Norėdami rasti tokio vienalyčio kūno masę, turite padauginti tankį iš jo tūrio.

17 pav

Terminas "linijinis" arba "tiesinis" tankis reiškia, kad norint nustatyti santvaros strypo masę, linijinis tankis turi būti padaugintas iš šio strypo ilgio.

Norėdami išspręsti problemą, galite naudoti skaidymo metodą. Pateikę tam tikrą santvarą kaip 6 atskirų strypų sumą, gauname:

Kur L i ilgio i santvaros strypas ir x i, y i- jo svorio centro koordinates.

Šios problemos sprendimą galima supaprastinti sugrupuojant paskutinius 5 santvaros strypus. Nesunku pastebėti, kad jie sudaro figūrą su simetrijos centru, esančiu ketvirtojo strypo viduryje, kur yra šios strypų grupės svorio centras.

Taigi tam tikrą santvarą galima pavaizduoti tik dviejų strypų grupių deriniu.

Pirmąją grupę sudaro pirmasis jai skirtas strypas L 1 = 4 m, x 1 = 0 m, y 1 = 2 m Antroji strypų grupė susideda iš penkių strypų L 2 = 20 m, x 2 = 3 m, y 2 = 2 m.

Santvaros svorio centro koordinatės randamos pagal formulę:

x c = (L 1 ∙x 1 +L 2 ∙x 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;

y c = (L 1 ∙y 1 +L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4,2 + 20,2)/24 = 2 m.

Atkreipkite dėmesį, kad centras SU guli ant jungiančios tiesios linijos SU 1 ir SU 2 ir padalija atkarpą SU 1 SU 2 apie: SU 1 SU/SS 2 = (x c - x 1)/(x 2 - x c ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.

Savęs patikrinimo klausimai

Kaip vadinamas lygiagrečių jėgų centras?

Kaip nustatomos lygiagrečių jėgų centro koordinatės?

Kaip nustatyti lygiagrečių jėgų centrą, kurio rezultatas lygus nuliui?

Kokias savybes turi lygiagrečių jėgų centras?

Kokios formulės naudojamos lygiagrečių jėgų centro koordinatėms apskaičiuoti?

Kas yra kūno svorio centras?

Kodėl Žemės gravitacinės jėgos, veikiančios kūno tašką, gali būti laikomos lygiagrečių jėgų sistema?

Užrašykite nehomogeninių ir vienalyčių kūnų svorio centro padėties nustatymo formulę, svorio centro padėties nustatymo formulę plokščios dalys?

Užrašykite paprastų geometrinių figūrų svorio centro padėties nustatymo formulę: stačiakampį, trikampį, trapeciją ir pusę apskritimo?

Koks yra statinis ploto momentas?

Pateikite kūno, kurio svorio centras yra už kūno ribų, pavyzdį.

Kaip simetrijos savybės naudojamos nustatant kūnų svorio centrus?

Kokia yra neigiamų svorių metodo esmė?

Kur yra apskritimo lanko svorio centras?

Ką grafinė konstrukcija ar galite rasti trikampio svorio centrą?

Užrašykite formulę, kuri nustato apskritimo sektoriaus svorio centrą.

Naudodami formules, kurios nustato trikampio ir apskritimo sektoriaus svorio centrus, išveskite panašią apskritimo atkarpos formulę.

Kokiomis formulėmis apskaičiuoti vienarūšių kūnų, plokščių figūrų ir tiesių svorio centrų koordinates?

Kas vadinamas statiniu plokštumos figūros ploto momentu ašies atžvilgiu, kaip jis apskaičiuojamas ir kokio dydžio jis turi?

Kaip nustatyti vietovės svorio centro padėtį, jei žinoma atskirų jos dalių svorio centrų padėtis?

Kokios pagalbinės teoremos naudojamos svorio centro padėčiai nustatyti?