Tarkime, kad reikia nustatyti trikampio ABC plotą. Nubrėžkime tiesias linijas per jo viršūnes C ir B, lygiagrečiai su šonais AB ir AC.
Gauname lygiagretainį ABC. Jo plotas lygus pagrindo AB ir aukščio CO sandaugai. Lygiagretainė ABCD susideda iš dviejų vienodi trikampiai ABC ir BCD, todėl trikampio ABC plotas yra lygus pusei lygiagretainio ploto, ty S \(\Delta\)ABC = 1/2 AB CO.
Iš čia: Trikampio plotas lygus pusei jo pagrindo ir aukščio sandaugos.
S \(\Delta\) = \(\frac(a h)(2)\)
Šią formulę galima pavaizduoti taip:
S \(\Delta\) = \(\frac(a)(2)\) h arba S \(\Delta\) = a\(\frac(h)(2)\).
Formulės trikampio plotui apskaičiuoti
1. Iš geometrijos žinoma Herono formulė:
$$ S = \sqrt(р (р - а) (р - b) (р - с)),$$
(kur p = ( a + b + c) / 2 -pusperimetras), kuris leidžia apskaičiuoti trikampio plotą pagal jo kraštines.
2 . Teorema. Trikampio plotas yra lygus pusei abiejų kraštinių sandaugos ir kampo tarp jų sinuso:
S = 1/2 bc nuodėmė A.
Įrodymas. Iš geometrijos žinoma, kad trikampio plotas yra lygus pusei trikampio kraštinės sandaugos ir aukščio, nuleisto į šią pusę nuo priešingos viršūnės.
S = 1/2 b h b (1)
Jei kampas A smailusis, tai iš trikampio ABN randame ВН = h b = c nuodėmė A.
Jei kampas A yra bukas, tada
VN = h b = c sin (π - A)= Su nuodėmė A.
Jei kampas A yra teisingas, tai sin A = 1 ir
h b= AB = Su = Su nuodėmė A.
Todėl visais atvejais h b = c sin A. Pakeitę lygybe (1), gauname įrodinėjamą formulę.
Tuo pačiu būdu gauname formules: S = 1/2 ab sin C= 1/2 ak nuodėmė B
3. Remiantis sinuso teorema:
$$ b = \frac(a sinB)(sinA); \;\; c = \frac(a sinC)(sinA) $$
Pakeitę šias išraiškas į (1) formulę, gauname tokią formulę:
$$ S = \frac(a^2 sinB sinC)(2sinA) $$
Kvadratas trikampis ABC yra lygus 198. Pusiauris AL kerta BM medianą taške K. Raskite keturkampio MCLK plotą, jei žinoma, kad BL:CL=7:4.
Mes sukuriame eskizą:
Gana sunku iš karto pamatyti problemos sprendimo eigą, bet visada galime kelti klausimą: ką galima rasti naudojant mums žinomos būklės duomenis ir savybes?
Galime nustatyti kai kurių trikampių plotus, apsvarstykite:
Kadangi AM = MC, tai reiškia, kad trikampių plotai bus lygūs, tai yra:
Apsvarstykite trikampius ALB ir ALC. Sąlyga sako, kad BL:CL=7:4. Įveskime proporcingumo koeficientą „x“ ir užrašykime jų sričių formules:
Ploto santykis bus toks:
Taip pat žinome, kad S ALB + S ALC =198. Galime apskaičiuoti plotus:
Atkreipkite dėmesį, kad šioje sąlygoje mums nėra duoti jokie kampai ir linijiniai matmenys (elementų ilgiai), todėl nereikia eikvoti pastangų skaičiuojant kampus ir ilgius (kraštines, medianas, bisektorius ir kt.). Kodėl?
Kai sąlyga pateikia atkarpų (kampų) santykius ir nėra vienos konkrečios reikšmės, tai greičiausiai su tokiais duomenimis galima sukonstruoti daugybę figūros variantų. *Ne kiekvienas studentas gali tai pamatyti iš karto;
Todėl į panašių atvejų stenkitės naudoti ryšius – būtent: ryšius tarp elementų, sričių, jei įmanoma, naudokite trikampių panašumą.
Čia galime rasti trikampio kraštinių santykį. Išreikškime trikampių plotus:
Remiantis tuo, kad AM = MS, išplaukia, kad
Dabar dėmesio! Esame arti pabaigos. Yra dar vienas ryšys, iš kurio galime nustatyti dviejų trikampių plotų santykį. Išreikškime trikampių plotus.
Trikampio plotas ABC lygus 12
. Tiesioje linijoje AC paimtas taškas D Taigi
taškas C yra atkarpos vidurio taškas AD. Taškas K– šono vidurys AB,
tiesiai KD kerta šoną B.C. taške L.
a) Įrodykite BL:LC=2:1.
b) Raskite trikampio plotą BLK.
Pirma, mes kruopščiai padarysime brėžinį, atkreipdami dėmesį į segmentų lygybę.
Dabar tai lengva pamatyti sujungus taškus IN Ir D, gauname trikampį ABD,
kuriame DK Ir Saulė yra medianos pagal apibrėžimą (ar prisimeni tai?)
O medianos sankirtos taške dalijamos santykiu 2: 1
, skaičiuojant nuo viršaus.
Tai padaryta. Rašykite, ar galite patys įrodyti šią savybę?
Raskite trikampio plotą BLK tai galima padaryti įvairiais būdais. Leiskite AE- trečioji mediana
trikampis ABD, jis praeis per tašką L pirmųjų dviejų sankirta.
Mediana Saulė dalija trikampį ABDį du vienodus trikampius.
Todėl sritis ABD padvigubėjo daugiau ploto ABC ir yra lygus 12 2 = 24.
Trys medianos padalija trikampį į šešis vienodus trikampius.
Iš čia nesunku rasti norimo trikampio plotą BLK. 24:6 = 4
.
Atkreipiu dėmesį, kad abu šie teiginiai taip pat turėtų būti įrodyti.
========================================
Galite palyginti trikampių plotus BLK Ir ABC neliečiant medianos.
Šie trikampiai turi bendras kampas IN, pasinaudokime šiuo faktu.
Dabar suraskime ploto santykį:
Taigi, sritis BLK tris kartus mažiau ploto ABC.
