Veiklos tikslas: ugdyti mokinių gebėjimus apibendrinti, struktūrizuoti ir sisteminti medžiagą pamokos tema.

Ugdymo tikslas: sisteminti mokomąją medžiagą ir nustatyti dalyko turinio linijos raidos logiką, stiprinti sąsajas tarp pagrindinių ir papildomas išsilavinimas remiantis ZFTSH pasirenkamuoju MIPT, parengti studentus spręsti didelio sudėtingumo problemas vieningo valstybinio egzamino metu.

Ugdymo tikslas:žadinti susidomėjimą savarankiškai spręsti problemas, skatinti mokinius aktyvi paieška racionalius problemų sprendimo būdus, ugdyti gebėjimą reikšti savo poziciją diskusijoje, ugdyti gebėjimą formuluoti ir argumentuoti pasiūlymus siekiant rezultatų.

Ugdymo tikslai: nestandartinių problemų sprendimo poreikio barjero įveikimas; algoritminių problemų sprendimo metodų duomenų bazės formavimas su parametru, problemų sprendimo metodų parinkimas remiantis anksčiau studijuotos medžiagos apibendrinimu, savo pasiekimų įvertinimas šiame etape ir tolesnio saviugdos planų sudarymas, namų darbų sistemos optimizavimas, susipažinimas su galimybes nuotolinis mokymasis pamokos tema.

Vystymo užduotys: ugdyti loginį mąstymą, atmintį, stebėjimą, gebėjimą teisingai apibendrinti duomenis ir daryti išvadas, skatinant ugdyti įgūdžius taikyti įgytas žinias nestandartinės sąlygos, įgūdžių formavimas priežasties ir pasekmės ryšiams nustatyti, vystymasis kritinis mąstymas.

Edukacinės užduotys: ugdyti teigiamą susidomėjimą studijuojamu dalyku, sudaryti sąlygas studentams įsisavinti probleminių ir tiriamųjų problemų sprendimo algoritmą, stiprinti kolektyvinę kūrybinę aplinką, sudaryti sąlygas ugdyti gebėjimą reikšti savo požiūrį.

Formos, metodai ir pedagoginiai metodai.

• Mokymo metodai: probleminis pristatymas, tyrimai.
• Hipotezės identifikavimas projektuojant rezultatą, darbo planavimas.
• Pagrindinis dėmesys skiriamas mokinių veiklos motyvavimui.
• Kolektyvinė metodika kūrybinė veikla, informacijos ir komunikacijos metodika, problemų paieškos metodika.
• Priekinė patikra Pasiruoškite pamokai – paruoškite sudėtingą klausimą.
• Individualių sunkumų atnaujinimas ir registravimas.
• Sukurkite projektą, kaip išeiti iš problemos.
• Edukacinės veiklos refleksija.

Mokymosi modeliai.

• Komunikacinis, diskusinis mokymo modelis
• Informacija ir komunikacija (informacijos išteklių naudojimas).
• Grupinė ir tarpgrupinė sąveika, besikeičianti mokinių veikla

Kritinio mąstymo ugdymas: iššūkis, supratimas, refleksija.

Namų darbų atlikimo galimybės po diskusijos:

• Išsamus siūlomų problemų sprendimas.
• Klasterių kūrimas pagal individualios užduotys grupės ir jos vertinimo kriterijų pasirinkimas.

Galimi namų darbų pakeitimai priklauso nuo pamokos eigos. Tiesą sakant, studentai pažengė į priekį namų darbai savarankiškam darbui.

Priėmimas „Probleminė situacija“

Treniruotė į ši klasė Kursas „Algebra ir analizės pradžia“ vyksta pagal S.M. Nikolskis, M.K. Potapova, N.N. Reshetnikova, A.V. Ševkina. Šiame kurse neskiriama laiko studijuoti tema „Trigonometrinių lygčių sprendimas naudojant parametrus“. Daugeliui klasės mokinių aktualių problemų rinkinys yra gana sudėtingas, ir jie nesitiki, kad jų metu pavyks išspręsti tokias problemas galutinis sertifikatas. Tačiau ruošiantis dalyvauti universitetinėse olimpiadose šios temos išvengti nepavyks. Ši pamoka yra vienas iš jungiamųjų etapų nagrinėjant tokias pagrindines kurso temas kaip elementariųjų funkcijų grafikai, sprendimas kvadratines lygtis o nelygybės ir problemos, kurias galima redukuoti į juos, naudojant intervalų metodą, parengiant ekvivalentinių perėjimų diagramas.

Mokiniams iš anksto (likus savaitei iki pamokos) siūlomas 10 užduočių rinkinys, kurį jie atlieka namuose, suskirstyti į grupes po 5-6 žmones. Kiekviena grupė turi pasirinkti tris uždavinius, kurių sprendimą jie galėtų parodyti savo klasės draugams (šių uždavinių dizainas turi būti pateiktas pristatymo forma);

Šios technikos įgyvendinimas apima:

• sukuriant žinomo ir nežinomo prieštaravimo situaciją. Žinomi visi atskiri galimi tyrimo ir sprendimo etapai.
• Nežinoma galimybė užmegzti ryšius tarp šių etapų, kad būtų sudarytas sprendimo algoritmas.
• savarankiškas pasirinkimas sprendžiant ir pristatant individualias užduotis mini grupėse;
• kolektyvinis rezultatų tikrinimas;
• refleksija su pasirengimo spręsti užduotis šia tema lygiu įsivertinimu.

Suformuluotas pamokos tikslas – „Trigonometrinių lygčių sprendimo ir trigonometrinių funkcijų tyrimo metodų ir technikų apibendrinimas“.

Galimas studentų klausimas: „Ką su tuo susiję parametrai? Patartina padaryti mokinius prie išvados: „Jei galite išspręsti ne vieną problemą, o visą problemų bloką, tada jūsų galimybės tolimesnėje veikloje žymiai išsiplės“.

Pasirengimo pamokai tikrinimas.

Mokiniai susodinami į grupes, kuriose jie ruošėsi pristatyti savo namų darbų rezultatus.

Mokytojas, siekdamas įvertinti pradines sąlygas, grupėms išdalina lenteles ir siūlo priskirti užduočių numerius pagal siūlomą klasifikaciją.

Siūlomos užduotys.

1 užduotis. Raskite visas parametro a reikšmes, kiekvienai iš jų cos lygtis 3 x –(4a+1)cos 2 x+(3a 2 +4a)cosx-3a 2 = 0 atkarpoje turi lyginį šaknų skaičių.

2 užduotis. Raskite visas parametro a reikšmes, kurioms lygiavertės lygtys (a+1)cos4x -26acos 2 x +14a +1= 0, 4sin 3 x +6sin 2 x – 2sinx -3 = 0.

3 užduotis. Raskite visas parametro a reikšmes, kurioms taikoma lygtis turi sprendimą.

4 užduotis. Išspręskite lygtį x 2 -2xcosa+1=0 visoms parametro a reikšmėms.

5 užduotis. Išspręskite lygtį 9cos4x -12acos2x +2a 2 +9= visoms parametro a reikšmėms.

6 užduotis. Išspręskite nelygybę sin 4 x + cos 4 x a visoms parametro a reikšmėms.

7 užduotis. Kokioms parametro a reikšmėms lygtis cos 2 2x - (a 2 – 3)cos2x +a 2 – 4 =0 intervale turi lygiai dvi šaknis

8 užduotis. Raskite visas parametro a reikšmes, kiekvienai iš kurių funkcijos reikšmių rinkinį yra segmentas.

9 užduotis. Kokioms parametro t reikšmėms lygtis sinx + cosx – sinxcosx =t turi sprendinį?

10 užduotis. Raskite visas parametro k reikšmes, kurių kiekvienos lygtis intervale yra bent vienas sprendimas

Klasifikavimo užduotis – suskirstykite siūlomas užduotis:

1) pagal sunkumo lygį

2) pagal trigonometrinių išraiškų konvertavimo būdus

3) savo sprendimuose panaudoti informaciją apie trigonometrinių išraiškų apibrėžimo sritį

4) naudojant informaciją apie trigonometrinių funkcijų reikšmių rinkinį savo sprendime

5) redukuojant į kvadratinės lygties arba nelygybės sprendinių aibės tyrimą

6) reikalaujantis gebėjimo faktoriuoti išraiškas

7) siūlantis analitinis metodas sprendimus

8) darant prielaidą, kad koordinačių-parametrinių sprendimų metodas

9) naudojant geometrinę interpretaciją, naudojant plokštumą „kintamasis – reikšmė“.

Pastaba: ta pati užduotis gali būti suskirstyta į kelias klasifikavimo antraštes.

• Pasirinkite tas užduotis, kurias, jūsų požiūriu, galite išspręsti.
• Pasirinkite tas užduotis, kurias, jūsų požiūriu, norėtumėte išspręsti.
• Pabandykite rasti argumentų, pagrindžiančių savo pasirinkimą.

Prieš atlikdami klasifikaciją, galite užduoti tuos „keblius“ klausimus, kuriuos grupės paruošė iš anksto.

Mokinių iš penkių grupių užduočių pateikimo tvarka formuojama bendrai.

Kadangi mokiniai pasirinko spręsti 2, 3, 4, 5, 7, 9 uždavinius, užduoties numeris buvo pasirinktas burtų keliu kaip grupė ir pateiktas jo sprendimo algoritmas (kad neišsklaidytų mokinių dėmesys, smulkmenos sprendinio nebuvo tikrinami, jei mokinių grupių atsakymai sutapo).

Mokinių sprendimų pristatymai rodomi ekrane naudojant mokytojo darbo vietą.

Trumpi komentarai apie sprendimų aptarimą.

2 užduoties atsakymų prieštaravimai, aptarimas dėl (-1) ir (0) punktų įtraukimo ir neįtraukimo. Mokytojas atkreipia mokinių dėmesį į būtinybę sekti visas algoritmo pasekmes.

Viena iš grupių atstovauja neteisingas 3 problemos sprendimas. Sprendimas skiriasi nuo to, kurį pasiūlė mokytojas, ir yra atsikratyti neracionalumo. Mokiniai pamiršta reikalavimą, kad dešinioji lygties pusė nebūtų neigiama.

Kaip iššūkį mokytojas siūlo spręsti nelygybes, o ne lygtis, ženklą „=“ pakeičiant „“ arba „“. Sprendžiant iracionalias nelygybes, studentai skatinami nurodyti jau išnagrinėtas ekvivalentinių perėjimų schemas.

Analizuojamas klaidingas parametrų verčių įtraukimo į atsakymą atvejis 7 užduotyje. Dviejų šakų sprendinių sutapimas laikomas vienu sprendiniu. Kaip peno apmąstymams galite pateikti nelygybę (cos2x-1)(cos2x-a 2 +4) 0 ir inicijuoti diskusiją kelių lygčių šaknų tema.

Sprendimas sukėlė karštas diskusijas 9 užduotys. Viena iš studentų grupių pristatė kairėje pusėje esančios funkcijos grafiką, gautą naudojant Advanced Grapher programą pradinė lygtis, ir gavo išvadą, kad jo reikšmių rinkinys yra atkarpa [-2;1]. Konkuruojanti studentų grupė nedelsdama sukonstravo šį grafiką su atitinkamais horizontaliais kreipikliais ir, padidindama skalę, parodė, kad tiese t = -2 liestinės nėra. Kadangi skalės padidinimas nepakeitė padėties palietus viršutinę horizontalią liniją, pirmoji grupė reikalavo, kad problemos sprendimas būtų bent iš dalies įskaitytas.

Vienintelis reikšmingas konkurentų argumentas buvo galimybės naudoti bet kokius grafinius braižytuvus vieningo valstybinio egzamino metu. Tačiau liko atviras klausimas, kokiomis realiomis aplinkybėmis galima remtis skaitinių skaičiavimų rezultatais ir kodėl dažniausiai egzaminuose neleidžiamas skaitinių reikšmių apvalinimas atsakymuose.

1 pav

2 pav

Nėra teisingo 9 užduoties sprendimo. Siūloma keisti kintamuosius sinx + cosx = p, studentai išsako „prieštaravimą“: 1 + sin2x = p 2 .

t(x) = sqrt(1+sin(2x))-sin(2x)/2, sudarytas t(x) grafikas suteikia visiškai kitokį funkcijos t reikšmių rinkinį.

3 pav

Prieštaravimą pašalina reikalavimas kruopščiai pakeisti: t(x) = sqrt(1+sin(2x))-sin(2x)/2 tik sinx +cosx 0

Juostos, kuriose taškų koordinatės tenkina nelygybę, išryškinamos perbraukiant.

4 pav

Kai sinx + cosx<0:

t(x) = -sqrt(1+sin(2x))-sin(2x)/2.

Juostos, kuriose taškų k koordinatės tenkina nelygybę, išryškinamos perbraukiant

5 pav

Pamoka greitai eina į pabaigą. Užduotys 1, 6, 8, 10 nerado savo gerbėjų. Mokytoja, pristatydama grupių pasirinktus uždavinių sprendimo algoritmus, apžvelgė mokinių atliekamų užduočių klasifikaciją pamokos pradžioje. Sprendžiant iš lentelėse pateiktos informacijos, 1, 8, 10 užduotys mokinių vertinamos kaip ypač sunkios ir idėjų jas išspręsti nėra. 6 užduotis parengiamajame etape sukėlė atsakymų neatitikimų, todėl mokiniai jos pristatymui nepasirinko.

Namų darbai: pakeiskite aptartas problemas ir pasiūlykite savo sprendimą. Galimi modifikavimo būdai: paversti pateiktas lygtis nelygybėmis; keisti skaitinius koeficientus, formuluoti kitus uždavinio sąlygų klausimus.

Mokytojas taip pat siūlo apsvarstyti savo analitinį mokinių pasirinktų problemų sprendimą ir komentuoti sprendimų privalumus ir trūkumus kitai pamokai.

Atspindys.

Studentai reikalauja refleksijos kaip išorinės savybės „ŠEŠIOS SKRYBĖS“.

Kadangi jų nėra, sutinkame, kad kiekviena iš 5 grupių mintyse pasirenka skrybėlės spalvą, bet kokią spalvą, išskyrus raudoną (kadangi debatų metu buvo pakankamai emocijų), ir išreiškia savo požiūrį į praėjusią pamoką.

„Balta skrybėlė“: iš dešimties pasiūlytų užduočių buvo apsvarstytos tik 6 daugelio užduočių sprendimai. Kompiuterio naudojimas kaip pagalbininkas pasiruošimo etape tapo neteisingu įrodymu. Mes nežinome, kaip išspręsti trigonometrines nelygybes.

„Juodoji skrybėlė“: užduočių lygis aiškiai viršija mūsų galimybes. Vieningo valstybinio egzamino atveju trigonometrija yra tik paprasčiausioje užduotyje, kurioje yra pilnas sprendimas, mums nereikia panašių modelių vieningo valstybinio egzamino uždaviniui su parametru. Mes turime klaidų pasirinkdami trigonometrinių lygčių šaknis treniruočių metu. Grupių sudėtis nevienoda. Loterija pirmosioms grupėms leido pasirinkti paprastesnes užduotis į tai nebuvo atsižvelgta pažymiuose. Nereikėjo specialiai siūlyti klysti priimant sprendimus, o be šito klaidų buvo daug.

„Geltona skrybėlė“ Gerai, kad dabar, o ne 11 klasės pabaigoje, pamatėme sunkių problemų. Svarstomos problemos turi algoritmus joms spręsti, tereikia prie jų pripratinti savo smegenis. Vadovėlyje visos 11 pastraipos pastraipos atspindi „parametrų problemų“ šeimas, nes jų sprendimas pagrįstas panašiais algoritmais.

Yra laiko nustatyti kompetencijų „lubas“. O gal kas nors norėtų dalyvauti konkursuose ar olimpiadose? Galime manyti, kad kelio į juos pradžią jau matėme.

„Žalioji kepurė“ Man atrodo, kad tokių problemų sprendimas labiausiai tinka programuotojams. Jie turi atlikti sąlyginius šuolius, apeiti kritines reikšmes, kad programos neužsikabintų, tikriausiai yra programų, kuriose atsižvelgiama į trigonometrijos problemas, bankas. Jums tereikia priimti programuotojo pareigas, ir viskas susitvarkys.

"Mėlyna skrybėlė" yra mokytojas. Norėčiau sutikti su visais komentarais ir teiginiais, išskyrus labai pragmatiškus. Ir pragmatikai turėtų nepamiršti, kad niekada negali žinoti, ko iš tavęs tam tikroje situacijoje pareikalaus gyvenimas.

Siūloma surengti konsultaciją sprendžiant likusias neišspręstas problemas, dalyvavimas konsultacijoje yra savanoriškas, tokio sudėtingumo užduočių kontrolės ir diagnostikos darbuose artimiausiu metu nebus.

Apibendrinant.

Vaikinai, šiandien kartu žengėme žingsnį, nors ir nedidelį, kūrybinių trigonometrijos sprendimų paieškos link. Esu tikras, kad jūs geriau suprantate trigonometrines lygtis ir jų sprendimo būdus.

Vykdydami atsiskaitomąjį darbą raštu turėsite galimybę pasirinkti konkrečią užduoties rūšį. Tikiuosi, kad jūsų dėmesys nebus ignoruojamas problemų, susijusių su parametrais.

Ačiū už aktyvų darbą klasėje. Pamoka baigta. Viso gero!

IN 1 priedas yra komentarų ir trumpas siūlomų problemų sprendimas.

IN 2 priedas pateikiamas konstruojant pamoką naudotos literatūros sąrašas ir reikalinga materialinė bei techninė įranga.

IN 3 priedas pateikiami ruošiantis pamokai naudoti grafikai, sukonstruoti Advanced Grapher programoje.

Sergiev Posad, 2012 m

ĮVADAS

Parametrų problemos vaidina svarbų vaidmenį formuojant moksleivių loginį mąstymą ir matematinę kultūrą, tačiau jų sprendimas sukelia didelių sunkumų. Taip yra dėl to, kad kiekviena lygtis su parametrais reiškia visą įprastų lygčių klasę, kurių kiekvienai reikia gauti sprendimą. Tokios užduotys siūlomos per vieningą valstybinį egzaminą ir stojamuosius į universitetus.

Remiantis 2011 m. Vieningo valstybinio egzamino rezultatais (1 lentelė), galime daryti išvadą, kad daugiausiai sunkumų mokiniams kelia parametrų uždavinių sprendimas. Apie 87,9% nepradeda atlikti tokio tipo užduočių ir tik 0,87% gauna maksimalų balą. Taip yra dėl to, kad vidurinės mokyklos matematikos programoje neskiriama daug dėmesio uždaviniams su parametrais spręsti. Todėl kiekvienas mokytojas klasėje turi rasti laiko tokioms problemoms spręsti. Šios problemos yra svarbios vien matematiškai, prisideda prie mokinių intelektualinio tobulėjimo ir yra gera medžiaga lavinti įgūdžius.

1 lentelė. Vidutiniai C1-C6 užduočių atlikimo rezultatai

Visų šiame darbe nagrinėjamų užduočių tikslas – padėti mokiniams susidaryti idėją apie trigonometrines lygtis su parametrais ir ką reiškia išspręsti lygtį su jomis. Pačioje susipažinimo su parametrais pradžioje studentai patiria psichologinį barjerą, kurį lemia prieštaringos jo savybės. Viena vertus, lygties parametras turėtų būti laikomas žinomu dydžiu, tačiau, kita vertus, konkreti parametro reikšmė nenurodoma. Viena vertus, parametras yra pastovi reikšmė, tačiau, kita vertus, jis gali įgyti skirtingas reikšmes. Pasirodo, lygties parametras yra „nežinomas dydis“, „pastovus kintamasis“. Šie prieštaringi teiginiai tiksliai atspindi sunkumų, kuriuos turi įveikti mokiniai, esmę.

1. Teoriniai lygčių su parametrais sprendimo pagrindai

Jei lygtyje kai kurie koeficientai nurodyti ne konkrečiomis skaitinėmis reikšmėmis, o žymimi raidėmis, tai jie vadinami parametrais, o lygtis – parametrinė.

Natūralu, kad ši problemų klasė daugeliui neleidžia suvokti pagrindinio dalyko: parametras, būdamas fiksuotas, bet nežinomas skaičius, turi dvejopą prigimtį. Pirma, tariama šlovė leidžia „bendrauti“ su parametru kaip skaičiumi, antra, bendravimo laisvės laipsnį riboja jo neaiškumas. Taigi, norint dalyti iš išraiškos, kurioje yra parametras, ir iš tokių išraiškų išgauti lyginio laipsnio šaknį, reikia išankstinių tyrimų. Paprastai šių tyrimų rezultatai turi įtakos ir sprendimui, ir atsakymui.

Padarykime vieną pastabą. Esminis žingsnis sprendžiant lygtis su parametrais yra atsakymo užrašymas. Tai ypač pasakytina apie tuos pavyzdžius, kai atrodo, kad sprendimas „išsišakoja“ priklausomai nuo parametrų reikšmių. Tokiais atvejais atsakymo sudarymas yra anksčiau gautų rezultatų rinkinys. Ir čia labai svarbu nepamiršti atsakyme atspindėti visų sprendimo etapų.

Nuo ko pradėti spręsti tokias problemas? Visų pirma, sprendžiant uždavinius su parametrais, reikia daryti tai, kas daroma sprendžiant bet kokią lygtį ar nelygybę - duotas lygtis ar nelygybes sumažinti į paprastesnę formą, jei tai, žinoma, įmanoma: koeficientuoti racionaliąją išraišką; koeficientas trigonometrinis daugianomas; atsikratyti modulių, logaritmų ir kt. Tada reikia vėl ir vėl perskaityti užduotį.

Pagrindiniai užduočių tipai su parametrais:

1 tipas. Problemos, kurias reikia išspręsti visoms parametrų reikšmėms arba parametrų reikšmėms iš tam tikro intervalo.

Tipas 2. Problemos, kuriose reikia rasti sprendimų skaičių, priklausomai nuo parametro reikšmės.

3 tipas. Problemos, kai reikia rasti parametrų reikšmes, kurioms problema turi tam tikrą skaičių sprendimų

4 tipas. Problemos, kuriose reikia rasti parametrų reikšmes, kurių sprendimų rinkinys tenkina nurodytas sąlygas.

Šiame darbe nagrinėjamos trigonometrinės lygtys su parametrais ir tam tikrais algoritmais, kurie gali padėti sprendžiant tokias sudėtingas užduotis.

Taigi panagrinėkime lygtį

F ( x, y, ..., z; α, β, ..., γ) = 0 (F)

su nežinomaisiais x, y, ..., z ir su parametrais α, β, ..., γ ; bet kuriai leistinai parametrų reikšmių sistemai α 0, β 0, ..., γ 0 lygtis (F) tampa lygtimi F(x, y, ..., z; α 0, β 0, ..., γ 0 ) = 0 (F 0 )

su nežinomaisiais x, y,..., z, kuriame nėra parametrų. Lygtis ( Fo ) turi tam tikrą gerai apibrėžtą (galbūt tuščią) sprendimų rinkinį.

Apibrėžimas. Norėdami išspręsti lygtį (arba sistemą), kurioje yra parametrų, tai reiškia, kad kiekvienai leistinai parametrų reikšmių sistemai reikia rasti

visų duotosios lygties (sistemos) sprendinių aibė.

Ekvivalentiškumo samprata, taikoma lygčiai, kurioje yra parametrų, nustatoma taip.

Apibrėžimas. Dvi lygtys (sistemos)

F(x, y, ..., z; α, β, ..., γ) = 0 (F), Ф (x, y, ..., z; α, β, ..., γ) = 0 (F)

su nežinomais x, y,..., z ir su parametrais α, β, ..., γ vadinami lygiaverčiais, jei abiem lygtims (sistemoms) leistinų parametrų reikšmių aibė yra tokia pati ir kiekvienai leistinai. reikšmių sistema, parametrai abi lygtys (lygčių sistemos) yra lygiavertės.

Taigi, lygiavertės lygtys bet kuriai leistinai verčių sistemai

parametrai turi tą patį sprendimų rinkinį.

Lygties transformacija, pakeičianti leistinų parametrų reikšmių sistemų rinkinį, veda į lygtį, kuri nėra lygiavertė nurodytai lygčiai.

Čia pateikiamos paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo formulės:

1. Trigonometrinių lygčių su parametrais sprendimo būdai

1 pavyzdys. (Papildomų kintamųjų įvedimas,)

Raskite visas parametro a reikšmes, kurių kiekvienos lygtis

Turi sprendimą.

Sprendimas.

Pristatykime naują kintamąjį: x,t . Tada ši lygtis įgauna tokią formą: t 2 – (a + 2)t – (a + 3) = 0.

Norėdami išspręsti gautą kvadratinę lygtį su kintamuoju t, randame jos diskriminantą: D = a 2 + 4a + 4 + 4a + 12 = a 2 + 8a + 16 = (a + 4) 2 . Kadangi D≥0, kvadratinė lygtis turi sprendimą

t 1,2 = = ;

t 1 =

t 2 =

Skaičius -1 nepriklauso intervaluiTaigi mums pateikta trigonometrinė lygtis su parametru turi sprendimą pagal sąlygą

0 ≤ a +3 ≤ 1, -3 ≤ a ≤ -2.

Atsakymas. Lygtisturi sprendimą a.

2 pavyzdys. (Papildomų kintamųjų įvedimas,)

Raskite visas parametro p reikšmes, kurioms taikoma lygtis

6 nuodėmė 3 x = p – 10cos2x neturi šaknų.

Sprendimas:

6sin 3 x = p – 10cos2x ;

6sin 3 x + 10cos2x = p;

6sin 3 x + 10(1 – 2sin 2 x) = p;

6sin 3 x – 20sin 2 x + 10 = p.

Pristatykime naują kintamąjį:, t tada trigonometrinė lygtis įgaus 6t formą 3 – 20t 2 + 10 = p.

Apsvarstykite funkciją y = 6t 3–20 t 2 + 10 ir ištirkite didžiausias ir mažiausias segmento vertes

Išvestinio radimas:

Nustatome kritinius funkcijos taškus:

2 numeris nepriklauso intervalui, todėl apskaičiuojame funkcijos reikšmes taške 0 ir atkarpos galuose:

y(0) = 0–0 + 10 = 10,

y(-1) = -6 – 20 + 10 = -16,

y(1) = 6 – 20 + 10 = -4.

max y(t) = 10, min y(t) = -16 segmente.

Tai reiškia, kad kai p pradinė lygtis neturi šaknų.

Atsakymas. Lygtis 6sin 3 x=p–10Cos2x neturi šaknų p

3 pavyzdys. (Papildomų kintamųjų įvedimas,)

Kurioms parametro a reikšmėms išraiška 2 + cosx(3cosx + asinx) nėra lygi nuliui bet kurioms x reikšmėms?

Sprendimas:

Kitaip tariant, reikia rasti visas parametro a reikšmes, kurioms lygtis 2 + cosx(3cosx + asinx)=0 neturi šaknų.

2+cosx(3cosx + asinx)=0;

2(cos 2 x + sin 2 x) + cosx(3cosx + asinx)=0;

2cos 2 x + 2sin 2 x + 3cos 2 x + asinxcosx = 0;

2sin 2 x + asinxcosx + 5cos 2 x = 0 yra antrojo laipsnio vienalytė lygtis.

Jei cosx = 0, tai sinx = 0, o tai neįmanoma, nes cos 2 x + nuodėmė 2 x = 1, todėl kairę ir dešinę homogeninės lygties puses padalijame į.

Gauname 2tg formos lygtį 2 x + atgx + 5 = 0. Norėdami išspręsti šią lygtį, įvedame naują kintamąjį: t = tgx, t tada 2t 2 + esant + 5 = 0.

1 būdas.

Pirmiausia suraskime visų parametro a reikšmių aibę, kuriai galima išspręsti gautą kvadratinę lygtį. Šio rinkinio pridėjimas prie R bus norimas atsakymas.

Kvadratinė lygtis turi šaknis tada ir tik tada, kai D≥0.

D = a 2 – 40, a 2 – 40 ≥ 0, a 2 ≥ 40,

A] ; ).

Šios aibės R papildinys yra intervalas (-2

2 metodas. Kvadratinė lygtis neturi realių šaknų tada ir tik tada, kai D

D = a 2–40, a 2–40 ir 2 40,

A; ).

Atsakymas. Išraiška 2+cosx(3cosx + asinx) nėra lygi nuliui bet kuriai x reikšmei, jei; ).

4 pavyzdys. (Funkcija pateikiama kaip)

Kokioms a ir b reikšmėms taikoma lygtis

Ar turi vieną sprendimą?

Sprendimas:

Problemos sprendimas grindžiamas tuo, kad jei funkcija f suteikiama lygybės, tada sąlygos A=B, C=0 yra būtinos ir pakankamos lygties sąlygos f(x)=0 turėjo tik vieną sprendimą. Taigi problemos sprendimas sumažinamas iki sprendimo dėl sistemos a ir b parametrų:

Iš pirmosios sistemos lygties matome, kad

Ir nuo tada

tada pradedame svarstyti sistemas

Kaip nesunku suprasti, antrosios sistemos sprendimai yra visos parametro reikšmės A, apibrėžta lygybe

Kalbant apie pirmąją sistemą, ji yra nesuderinama. Vadinasi, atsižvelgiant į antrąją sistemos lygtį, reikiamų parametrų paieška a ir b reikia ieškoti sistemos sprendimų:

Atsakymas čia akivaizdus:

5 pavyzdys. (Klasikinių formulių taikymas)

Raskite didžiausią sveikąjį parametro reikšmę A , kuriai lygtis

cos2x + asinx = 2 a – 7 turi sprendimą.

Sprendimas:

Transformuokime pateiktą lygtį:

cos2x + a sinx = 2 a – 7;

1 – 2sin 2 x + asinx = 2 a – 7;

sin 2 x - a sinx + a – 4 = 0;

Lygties sprendimas
suteikia:

1. (sinх – 2) = 0;

sinx=2;

Nėra sprendimų, arba .

Kai ≤ 1.

Nelygybė ≤ 1 turi sprendimą 2 ≤ A ≤ 6, o tai reiškia, kad didžiausia parametro a sveikoji reikšmė yra 6.

Atsakymas: 6.

6 pavyzdys. Klasikinių formulių taikymas

Išspręskite lygtį

Sprendimas:

Lygtį galima lengvai konvertuoti į:

Jeigu tada o lygtis neturi šaknų.

Jeigu Paskutinė lygtis turi šaknis if

Tada

Atsakymas: kada

šaknų nėra.

7 pavyzdys (Galimų kintamųjų ir parametrų reikšmių diapazono padalijimas)

Sprendimas:

At lygtis neturi sprendinių.

At

Atsakymas:

8 pavyzdys (Galimų kintamųjų ir parametrų reikšmių diapazono padalijimas)

Išspręskite lygtį

Transcendentinės lygtys su parametrais ir jų sprendimo būdai

baigiamasis darbas

2.4 Trigonometrinės lygtys su parametrais

Trigonometrinė lygtis – lygtis, kurioje yra nežinomo argumento trigonometrinės funkcijos.

Paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo formulės:

Sprendžiant trigonometrines lygtis patogu vadovautis šiais principais:

1. Sprendžiant paprasčiausią trigonometrinę lygtį, jos laipsnį patogu sumažinti keičiant jos argumentą.

2. Jei reikia patikrinti, į lygtį patogu pakeisti ne rasto argumento reikšmę, o sprendime naudojamų trigonometrinių funkcijų reikšmes.

1 pavyzdys. Visoms galiojančioms parametro a reikšmėms išspręskite lygtį

Transformuokime lygtį.

Pagal minėtą 1 principą transformuojame pirmąją sistemos lygtį:

Atkreipkite dėmesį, kad.

Taigi (1) lygtis yra lygiavertė sistemai:

Dėl to, kad (1) lygtis neturėtų sprendinių, pakanka tenkinti nelygybę.

Dabar, kai pirmoji sistemos (2) lygtis visada turi sprendinius, turime pasirūpinti antrosios jos sąlygos įvykdymu.

Remiantis aukščiau pateiktu principu, 2 lygiaverčiai transformacijos:

Sumažinkime sistemą (2) į formą:

Taigi, apribojant parametrą, atsiranda šios papildomos sąlygos: tam, kad (1) lygtis NEturėtų sprendinių, būtina ir pakanka, kad bet kuri kintamojo x reikšmė, kuriai

patenkino lygčių rinkinį:

1) Jei, tada.

Tačiau tokiam atvejui (3) lygtis įgauna formą ir ne kiekvienas sprendimas tenkina aibę (4).

Taigi, kai (1) lygtis turi sprendinius, tos kintamojo x reikšmės, kurioms, t.y.

2) Jeigu, tai, t.y.

Tokioms parametro a reikšmėms (3) lygtis yra tokia:

Kad (1) lygtis turėtų sprendimą, ji turi būti

Tada belieka tai.

Likusiai lygtis turi formos sprendinį

Atsakymas: kai lygtis neturi sprendinių; adresu; adresu; adresu .

2 pavyzdys. Nustatykite lygties šaknų skaičių

segmente.

Paverskime kairę pusę.

Tada pradinė lygtis įgaus formą

Perkelkime visus terminus į kairę pusę ir dar kartą transformuokime lygtį.

Pirmoji segmento lygtis turi keturias šaknis:

Antroji lygtis neturi šaknų. Jei, tada akivaizdu, kad lygtis turi unikalų nagrinėjamo intervalo sprendimą. Jeigu, tuomet, t.y. atkarpoje lygtis turi dvi šaknis.

Atkreipkite dėmesį, kad , antrosios aibės lygties šaknys yra tarp pirmosios lygties šaknų.

Atsakymas: lygtis turi keturias šaknis; kai lygtis turi penkias šaknis; kai lygtis turi šešias šaknis.

3 pavyzdys. Raskite visas parametro a reikšmes, kurioms taikoma lygtis

turi lygiai septynis sprendimus.

Koordinačių plokštumoje coB sudarome visų taškų aibę, atitinkančią sistemą (2).

Pirmoji lygtis nurodo linijų, lygiagrečių tiesei, šeimą.

Antroji lygtis yra spindulio apskritimų šeima, kurios centras yra ištakoje.

Bet jei sąlygos tenkinamos, antroji lygtis yra ketvirtis apskritimo, esančio pirmajame koordinačių ketvirtyje. c ir b vienu metu negali būti lygūs nuliui, antraip apskritimas išsigimsta į tašką.T. kadangi šaknų skaičius turi būti nelyginis, tada viena iš tiesių linijų

turi liesti apskritimą taške Mn.

Raskime tokio apskritimo spindulį.

Taigi, (3)

išreiškia parametro a priklausomybę nuo n, kur.

Iš paveikslo matyti, kad didėjant ketvirčio apskritimo spinduliui, didėja sistemos (2) sprendinių skaičius, taigi ir pradinės lygties šaknų skaičius. Jų bus lygiai 7, kai ketvirtadalis apskritimo palies tiesias linijas. Šiuo atveju remiantis (3) formule

Atsakymas: lygtis turi septynis sprendinius

Pastaba. Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad lygties pateiktos tiesės liestinės apskritimo ketvirtis eis per taškus ir. Iš tikrųjų taip nėra, nes tokio apskritimo spindulys yra

Panašiai ir ketvirčio apskritimas, liečiantis tiesią liniją, nepraeis per taškus ir, kadangi šio apskritimo spindulys

4 pavyzdys. Raskite visas parametro a reikšmes, kurių lygties šaknis yra skaičius 2

Įdėkime jį į lygtį. Gauname parametro a lygtį:

Atsakymas: kai lygties šaknis yra .

5 pavyzdys. Visoms galiojančioms parametro a reikšmėms išspręskite lygtį

Panagrinėkime funkciją. Akivaizdu,.

Panagrinėkime funkciją.

Naudodamiesi nelygybe apie dviejų teigiamų skaičių (() aritmetinį vidurkį ir geometrinį vidurkį, taip pat funkcijos g(x) keistumo savybę, gauname

Taip mes turime

Tada pagal 7 teoremą pradinė lygtis yra lygi dviejų sistemų rinkiniui

Atsakymas: kada, ; adresu; kai nėra sprendimo .

Be trigonometrinių lygčių, tarp problemų, susijusių su parametrais, taip pat yra problemų su parametrais, kuriuose yra atvirkštinių trigonometrinių funkcijų.

Prisiminkime atvirkštinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimus:

1. yra funkcija, apibrėžta intervale [-1;1], atvirkštinė funkcija. Taigi,

2. yra funkcija, apibrėžta intervale [-1;1], atvirkštinė funkcija. Taigi,

Bet kuriam x iš segmento [-1;1] turime:

3. yra funkcija, apibrėžta intervale, atvirkštinė funkcija. Taigi,

Bet kuriam x, kurį turime:

4. yra funkcija, apibrėžta intervale, atvirkštinė funkcija. Taigi,

Bet kuriam x, kurį turime:

Funkcijos vadinamos atvirkštinėmis trigonometrinėmis funkcijomis arba lanko funkcijomis. Pažymėkime keletą svarbių tapatybių

6 pavyzdys. Kiekvienai galiojančiai parametro a vertei išspręskite lygtį

Transformuokime kairę lygties pusę naudodami tapatybę

Koordinačių plokštumoje tOb (12 pav.) visų taškų (t;b), kurių kiekvieno koordinatės ir parametrų reikšmės atitinka mišrią sistemą (2), (3), aibė yra parabolės dalis. esantis (2), (3) sistemos nelygybių nurodytame regione.

Todėl, jei

Atsakymas: jei, tada;

jei, tada sprendimų nėra.

7 pavyzdys. Raskite visas parametro a reikšmes, kurių kiekvienos lygtis

turi lygiai tris sprendimus.

Perrašykime pirminę lygtį į formą

Kadangi lygybė yra lygiavertė tai ir, pradinė lygtis yra lygiavertė trigonometrinei lygčiai

Išspręskime (1) lygtį.

Kai aibė, taigi ir lygtis (1), turi be galo daug formos šaknų: , kurios tenkina (2) sąlygą. Tai yra, jis neatitinka užduoties reikalavimų.

Kai (1) lygtis turi be galo daug formos šaknų: .

Jiems sąlyga (2) virsta nelygybe

Parametras a įtraukiamas į atsakymą tada ir tik tada, kai ši nelygybė turi tiksliai tris sveikųjų skaičių sprendinius. Naudojant dviejų skaičių skirtumo modulio geometrinę interpretaciją, aišku, kad tai yra lygiavertė nelygybei

Atsižvelgdami į būklę, gauname

Jei visi (1) lygties sprendiniai yra tikrieji skaičiai, sąlyga (2) yra tokia: , todėl pradinės lygties sprendinių aibė yra intervalas. Kadangi šis rinkinys yra begalinis, reikšmė į atsakymą neįtraukta.

Atsakymas: kai lygtis turi lygiai tris sprendinius.

Remiantis visomis išnagrinėtomis problemomis, galime daryti išvadą, kad transcendentines lygtis su pirmojo ir ketvirtojo tipo parametrais geriausia išspręsti naudojant „šakos“ metodą, nes kiekvienai galimai reikšmei reikia rasti visas kintamojo reikšmes. parametro (arba parametrų vertėms iš tam tikro intervalo) arba kurioms esant sprendimų rinkinys atitinka nurodytas sąlygas. Tačiau šis metodas ne visada yra patikimas, nes sprendimo procesas yra gana ilgas ir sudėtingas, todėl iš pradžių patartina nustatyti, ar galima taikyti funkcinį požiūrį į pateiktą lygtį, o tai žymiai supaprastina sprendimą.

Tačiau transcendentines lygtis su antrojo ir trečiojo tipo parametrais išspręsti daug lengviau naudojant grafinį metodą, nes sąlyga reikalauja tik nustatyti sprendimų skaičių, atsižvelgiant į parametro reikšmę, arba, atvirkščiai, parametro reikšmes. kurioje problema turi tam tikrą skaičių sprendimų. Nubraižyti grafikai aiškiai parodo, kada tenkinamos nurodytos sąlygos.

Tačiau ne visada galima pasinaudoti vienu ar kitu būdu, kartais iškyla problemų, dėl kurių reikia naudoti ne vieną, o kelis sprendimo būdus.

Grafikai ir jų funkcijos

Dėl to, kad trigonometrinės funkcijos nagrinėjamos mokyklos programoje, rašinyje joms skiriamas minimalus dėmesys. Visos pagrindinės nuostatos nurodytos lentelėje (žr. 12 priedą), o jų grafikai pateikti žemiau (žr. 13 priedą)...

Iracionalių funkcijų integravimas

Tarp iracionaliųjų funkcijų integralų formos integralai turi puikų praktinį pritaikymą. Tokius integralus galima rasti naudojant trigonometrinius pakaitalus. Pasirinkite visą kvadratą po radikaliu ženklu: , tada pakeiskite...

Ugdant mokinių gebėjimą spręsti trigonometrines lygtis, rekomenduojama išskirti tris etapus: 1. parengiamieji, 2. ugdomi gebėjimai spręsti paprastas trigonometrines lygtis ir nelygybes, 3...

Apsvarstykite lygtį F(x,y,...,z;b,c,...,z)=0 (1) su nežinomaisiais x, y, ..., z ir su parametrais b,c, .. , g bet kuriai leistinai parametrų reikšmių sistemai b0, b0, ..., z0, lygtis (1) virsta lygtimi F(x, y,..., z; b0, b0,... , z0) = 0 (2) su nežinomaisiais x, y,..., z...

1 pavyzdys: nustatykite, kokiomis parametro a reikšmėmis lygtis (a 2 -4) сosh=a+2 turi sprendinius. Sprendimas: a 2 -4=0 a 2 =4.a=±2. a) Jei a=2, tai ši lygtis turi tokią formą: 0 cos=4 0=4 – neturi sprendinių. b) Jei a = -2, tai ši lygtis turi tokią formą: 0 cos = 0 0 = 0 - teisinga, jei x R. Taigi, jei a = -2, x yra bet koks. c) Jei a ±2, tai lygtį rašome forma Nuo, tai lygtis turi sprendinius, jei Atsakymas: a (- ;1] )