Visiškos kvadratinės lygties transformacija į nepilną atrodo taip (atvejui \(b=0\)):

Tais atvejais, kai \(c=0\) arba kai abu koeficientai lygūs nuliui, viskas yra panašiai.

Atkreipkite dėmesį, kad \(a\) negali būti lygus nuliui, nes šiuo atveju jis pavirs į:

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas.

Visų pirma, jūs turite suprasti, kad nepilna kvadratinė lygtis vis dar yra , todėl ją galima išspręsti taip pat, kaip ir įprastą kvadratinę lygtį (per ). Norėdami tai padaryti, tiesiog pridedame trūkstamą lygties komponentą su nuliniu koeficientu.

Pavyzdys : Raskite lygties šaknis \(3x^2-27=0\)
Sprendimas :

Atsakymas : \(x_(1)=3\); \(x_(2) = -3\)

Pavyzdys : Raskite lygties \(-x^2+x=0\) šaknis
Sprendimas :

2 vaizdo pamoka: Kvadratinių lygčių sprendimas

Paskaita: Kvadratinės lygtys

Lygtis- tai lygybė, kurios išraiškose yra kintamasis.

Išspręskite lygtį- reiškia, kad vietoj kintamojo reikia rasti skaičių, kuris suteiktų jam teisingą lygybę.

Lygtyje gali būti vienas sprendinys, keli sprendiniai arba iš viso nėra.

Norėdami išspręsti bet kurią lygtį, ją reikia kiek įmanoma supaprastinti iki formos:

Linijinis: a*x = b;

Kvadratas: a*x 2 + b*x + c = 0.

Tai reiškia, kad prieš sprendžiant visas lygtis reikia konvertuoti į standartinę formą.

Bet kurią lygtį galima išspręsti dviem būdais: analitiniu ir grafiniu.

Grafike lygties sprendiniu laikomi taškai, kuriuose grafikas kerta OX ašį.

Kvadratinės lygtys

a*x 2 + b*x + c = 0.

Tuo pačiu metu a, b, c yra lygties koeficientai, kurie skiriasi nuo nulio. A "X"- lygties šaknis. Manoma, kad kvadratinė lygtis turi dvi šaknis arba gali visai neturėti sprendimo. Gautos šaknys gali būti vienodos.

"A"- koeficientas, esantis prieš kvadratinę šaknį.

"b"- stovi prieš nežinomybę pirmame laipsnyje.

"su" - laisvas narys lygtys

Jei, pavyzdžiui, turime formos lygtį:

2x 2 -5x+3=0

Jame „2“ yra pirmaujančio lygties nario koeficientas, „-5“ yra antrasis koeficientas, o „3“ yra laisvasis narys.

Kvadratinės lygties sprendimas

Kvadratinės lygties sprendimo būdų yra labai daug. Tačiau į mokyklos kursas Matematikoje sprendimas tiriamas naudojant Vietos teoremą, taip pat naudojant diskriminantą.

Diskriminuojantis sprendimas:

Sprendžiant su šis metodas būtina apskaičiuoti diskriminantą naudojant formulę:

Jei atlikdami skaičiavimus pastebėsite, kad diskriminantas mažiau nei nulis, tai reiškia, kad duota lygtis neturi sprendimų.

Jei diskriminantas lygus nuliui, tada lygtis turi dvi identiški sprendimai. Šiuo atveju daugianomas gali būti sutrauktas naudojant sutrumpintą daugybos formulę į sumos arba skirtumo kvadratą. Tada išspręskite ją kaip tiesinę lygtį. Arba naudokite formulę:

Jei diskriminantas didesnis už nulį, tuomet turite naudoti šį metodą:

Vietos teorema

Jei lygtis pateikta, tada yra pagrindinio nario koeficientas lygus vienam, tada galite naudoti Vietos teorema.

Taigi, tarkime, kad lygtis yra tokia:

Lygties šaknys randamos taip:

Nebaigta kvadratinė lygtis

Yra keletas variantų, kaip gauti neišsamią kvadratinę lygtį, kurios forma priklauso nuo koeficientų buvimo.

1. Jei antrasis ir trečiasis koeficientai lygūs nuliui (b = 0, c = 0), tada kvadratinė lygtis atrodys taip:

Ši lygtis turės vienintelis sprendimas. Lygybė bus teisinga tik tuo atveju, jei lygties sprendinys yra nulis.

Su šiuo matematikos programa tu gali išspręsti kvadratinę lygtį.

Programa ne tik pateikia atsakymą į problemą, bet ir parodo sprendimo procesą dviem būdais:
- naudojant diskriminantą
- naudojant Vietos teoremą (jei įmanoma).

Be to, atsakymas rodomas kaip tikslus, o ne apytikslis.
Pavyzdžiui, lygties \(81x^2-16x-1=0\) atsakymas rodomas tokia forma:

Ši programa gali būti naudinga vidurinių mokyklų moksleiviams vidurines mokyklas ruošiantis bandymai ir egzaminus, tikrinant žinias prieš Vieningą valstybinį egzaminą, tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite tai padaryti kuo greičiau? namų darbai

matematikoje ar algebroje? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiais sprendimais. Tokiu būdu galite vesti savo ir (arba) savo mokymus. jaunesni broliai

ar seserys, o išsilavinimo lygis sprendžiamų problemų srityje kyla. Jei nesate susipažinę su įėjimo taisyklėmis kvadratinis daugianario

, rekomenduojame su jais susipažinti.

Kvadratinio daugianario įvedimo taisyklės
Bet kuri lotyniška raidė gali veikti kaip kintamasis.

Pavyzdžiui: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) ir kt.
Skaičiai gali būti įvesti kaip sveikieji arba trupmeniniai skaičiai. Be to, trupmeniniai skaičiai

galima įvesti ne tik kaip dešimtainę, bet ir kaip paprastąją trupmeną.
Dešimtainių trupmenų įvedimo taisyklės. Dešimtainėmis trupmeninė dalis
nuo visumos galima atskirti tašku arba kableliu. Pavyzdžiui, galite įvesti po kablelio

kaip šis: 2,5x - 3,5x^2
Paprastųjų trupmenų įvedimo taisyklės.

Tik sveikas skaičius gali veikti kaip trupmenos skaitiklis, vardiklis ir sveikoji dalis.

Vardiklis negali būti neigiamas. Įeinant skaitinė trupmena /
Skaitiklis nuo vardiklio atskiriamas padalijimo ženklu: Visa dalis &
atskirtas nuo trupmenos ampersandu:
Įvestis: 3 ir 1/3 – 5 ir 6/5z +1/7z^2

Rezultatas: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\) Įvedant išraišką galite naudoti skliaustus
. Šiuo atveju, sprendžiant kvadratinę lygtį, įvesta išraiška pirmiausia supaprastinama.

Nuspręskite
Buvo nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai problemai išspręsti, nebuvo įkelti ir programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.

Čia pateikiamos instrukcijos, kaip įjungti „JavaScript“ naršyklėje.
Nes Yra daug žmonių, norinčių išspręsti problemą, jūsų prašymas buvo įrašytas į eilę.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas. Palaukite

sek... Jeigu jūs pastebėjo sprendimo klaidą
, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje. Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką.

įveskite laukelius

Šiek tiek teorijos.

Kvadratinė lygtis ir jos šaknys. Nebaigtos kvadratinės lygtys

Kiekviena iš lygčių
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
atrodo kaip
\(ax^2+bx+c=0, \)
kur x yra kintamasis, a, b ir c yra skaičiai.
Pirmoje lygtyje a = -1, b = 6 ir c = 1,4, antrojoje a = 8, b = -7 ir c = 0, trečiojoje a = 1, b = 0 ir c = 4/9. Tokios lygtys vadinamos kvadratines lygtis.

Apibrėžimas.
Kvadratinė lygtis vadinama ax 2 +bx+c=0 formos lygtimi, kur x yra kintamasis, a, b ir c yra kai kurie skaičiai ir \(a \neq 0 \).

Skaičiai a, b ir c yra kvadratinės lygties koeficientai. Skaičius a vadinamas pirmuoju koeficientu, skaičius b yra antrasis koeficientas, o skaičius c yra laisvasis terminas.

Kiekvienoje iš ax 2 +bx+c=0 formos lygčių, kur \(a\neq 0\), didžiausia kintamojo x laipsnis yra kvadratas. Iš čia ir kilo pavadinimas: kvadratinė lygtis.

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinė lygtis taip pat vadinama antrojo laipsnio lygtimi, nes jos kairioji pusė yra antrojo laipsnio daugianario.

Vadinama kvadratinė lygtis, kurioje koeficientas x 2 lygus 1 duota kvadratinė lygtis. Pavyzdžiui, pateiktos kvadratinės lygtys yra lygtys
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Jeigu kvadratinėje lygtyje ax 2 +bx+c=0 bent vienas iš koeficientų b arba c yra lygus nuliui, tai tokia lygtis vadinama nepilna kvadratinė lygtis. Taigi lygtys -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 yra nepilnos kvadratinės lygtys. Pirmajame iš jų b=0, antrajame c=0, trečiame b=0 ir c=0.

Yra trijų tipų nepilnos kvadratinės lygtys:
1) ax 2 +c=0, kur \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kur \(b \neq 0 \);
3) kirvis 2 =0.

Panagrinėkime kiekvieno iš šių tipų lygčių sprendimą.

Norėdami išspręsti nepilną kvadratinę lygtį, kurios formos ax 2 +c=0 \(c \neq 0 \), perkelkite jos laisvąjį narį į dešinę ir padalykite abi lygties puses iš a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rodyklė dešinėn x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Kadangi \(c \neq 0 \), tada \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Jei \(-\frac(c)(a)>0\), tada lygtis turi dvi šaknis.

Jei \(-\frac(c)(a) Norėdami išspręsti nepilną kvadratinę lygtį, kurios formos ax 2 +bx=0 su \(b \neq 0 \), išplėskite ją kairėje pusėje pagal veiksnius ir gaukite lygtį
\(x(ax+b)=0 \RightArrow \left\( \begin(masyvas)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(masyvas) \right. \Rightarrow \left\( \begin (masyvas)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(masyvas) \dešinė.

Tai reiškia, kad nepilna kvadratinė lygtis, kurios formos ax 2 +bx=0 \(b \neq 0 \), visada turi dvi šaknis.

Nebaigta kvadratinė lygtis, kurios forma yra ax 2 =0, yra lygiavertė lygčiai x 2 =0, todėl turi vieną šaknį 0.

Kvadratinės lygties šaknų formulė

Dabar panagrinėkime, kaip išspręsti kvadratines lygtis, kuriose ir nežinomųjų, ir laisvojo nario koeficientai yra nuliniai.

Išspręskime kvadratinę lygtį bendra forma ir gausime šaknų formulę. Tada ši formulė gali būti naudojama bet kuriai kvadratinei lygčiai išspręsti.

Išspręskime kvadratinę lygtį ax 2 +bx+c=0

Abi puses padalijus iš a, gauname ekvivalentinę sumažintą kvadratinę lygtį
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Transformuokime šią lygtį pasirinkdami dvinario kvadratą:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \rodyklė dešinėn \)

Radikali išraiška vadinama kvadratinės lygties diskriminantas ax 2 +bx+c=0 („diskriminantas“ lotyniškai – diskriminatorius). Jis žymimas raide D, t.y.
\(D = b^2-4ac\)

Dabar, naudodami diskriminacinį žymėjimą, perrašome kvadratinės lygties šaknų formulę:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kur \(D= b^2-4ac \)

Akivaizdu, kad:
1) Jei D>0, tai kvadratinė lygtis turi dvi šaknis.
2) Jei D=0, tai kvadratinė lygtis turi vieną šaknį \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jei D Taigi, priklausomai nuo diskriminanto reikšmės, kvadratinė lygtis gali turėti dvi šaknis (kai D > 0), vieną šaknį (kai D = 0) arba neturėti šaknų (D Sprendžiant kvadratinę lygtį naudojant š. formulę, patartina daryti taip:
1) apskaičiuokite diskriminantą ir palyginkite jį su nuliu;
2) jei diskriminantas yra teigiamas arba lygus nuliui, tada naudokite šaknies formulę, jei diskriminantas yra neigiamas, tada užrašykite, kad nėra šaknų;

Vietos teorema

Duota kvadratinė lygtis ax 2 -7x+10=0 turi šaknis 2 ir 5. Šaknų suma lygi 7, sandauga 10. Matome, kad šaknų suma lygi antrajam koeficientui, paimtam iš priešingas ženklas, o šaknų sandauga lygi laisvajam terminui. Bet kuri sumažinta kvadratinė lygtis, turinti šaknis, turi šią savybę.

Aukščiau pateiktos kvadratinės lygties šaknų suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvajam nariui.

Tie. Vietos teorema teigia, kad redukuotos kvadratinės lygties x 2 +px+q=0 šaknys x 1 ir x 2 turi savybę:
\(\left\( \begin(masyvas)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(masyvas) \right. \)

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 arba x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Išmokus spręsti pirmojo laipsnio lygtis, žinoma, norisi dirbti su kitais, ypač su antrojo laipsnio lygtimis, kurios kitaip vadinamos kvadratinėmis.

Kvadratinės lygtys yra lygtys ax² + bx + c = 0, kur kintamasis yra x, skaičiai yra a, b, c, kur a nėra lygus nuliui.

Jei kvadratinėje lygtyje vienas ar kitas koeficientas (c arba b) yra lygus nuliui, tada ši lygtis bus klasifikuojama kaip nepilna kvadratinė lygtis.

Kaip išspręsti nepilną kvadratinę lygtį, jei studentai iki šiol sugebėjo išspręsti tik pirmojo laipsnio lygtis? Apsvarstykite nepilnas kvadratines lygtis skirtingų tipų ir paprastų būdų juos išspręsti.

a) Jei koeficientas c lygus 0, o koeficientas b nelygus nuliui, tada ax ² + bx + 0 = 0 redukuojama į lygtį, kurios forma yra ax ² + bx = 0.

Norint išspręsti tokią lygtį, reikia žinoti nepilnos kvadratinės lygties sprendimo formulę, kurią sudaro kairiosios jos pusės faktorinavimas ir vėliau sąlyga, kad sandauga lygi nuliui.

Pavyzdžiui, 5x² - 20x = 0. Kairiąją lygties pusę įvertiname, atlikdami įprastą matematinis veiksmas: išsinešimui bendras daugiklis iš skliaustų

5x (x - 4) = 0

Mes naudojame sąlygą, kad produktai yra lygūs nuliui.

5 x = 0 arba x - 4 = 0

Atsakymas bus toks: pirmoji šaknis yra 0; antroji šaknis yra 4.

b) Jei b = 0, o laisvasis narys nėra lygus nuliui, tai lygtis ax ² + 0x + c = 0 redukuojama į lygtį, kurios formos ax ² + c = 0. Lygtys sprendžiamos dviem būdais. : a) skaičiuojant kairėje pusėje esančios lygties daugianarį ; b) naudojant aritmetikos savybes kvadratinė šaknis. Tokią lygtį galima išspręsti vienu iš būdų, pavyzdžiui:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Atsakymas bus toks: pirmoji šaknis yra 5/2; antroji šaknis lygi - 5/2.

c) Jei b lygus 0, o c lygus 0, tai ax ² + 0 + 0 = 0 redukuojama į lygtį, kurios forma yra ax ² = 0. Tokioje lygtyje x bus lygus 0.

Kaip matote, nepilnos kvadratinės lygtys gali turėti ne daugiau kaip dvi šaknis.

“, tai yra, pirmojo laipsnio lygtys. Šioje pamokoje apžvelgsime kas vadinama kvadratine lygtimi ir kaip tai išspręsti.

Kas yra kvadratinė lygtis?

Svarbu!

Lygties laipsnis nustatomas pagal didžiausią nežinomybės laipsnį.

Jeigu maksimalus laipsnis, kuriame nežinomasis yra „2“, o tai reiškia, kad turite kvadratinę lygtį.

Kvadratinių lygčių pavyzdžiai

• 5x 2 – 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Svarbu! Bendra kvadratinės lygties forma atrodo taip:

A x 2 + b x + c = 0

• „a“ yra pirmasis arba didžiausias koeficientas;
• „b“ yra antrasis koeficientas;
• „c“ yra laisvas terminas.

Norėdami rasti „a“, „b“ ir „c“, turite palyginti savo lygtį su bendrąja kvadratinės lygties „ax 2 + bx + c = 0“ forma.

Pabandykime nustatyti koeficientus „a“, „b“ ir „c“ kvadratinėse lygtyse.

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Kaip išspręsti kvadratines lygtis

Skirtingai nei tiesines lygtis kvadratinėms lygtims spręsti, specialus šaknų paieškos formulė.

Prisimink!

Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį, jums reikia:

• kvadratinę lygtį sumažinkite iki bendra išvaizda"ax 2 + bx + c = 0".
• Tai yra, tik „0“ turėtų likti dešinėje pusėje;

naudokite formulę šaknims:

Pažvelkime į pavyzdį, kaip naudoti formulę kvadratinės lygties šaknims rasti. Išspręskime kvadratinę lygtį.

X 2 - 3x - 4 = 0 Lygtis „x 2 − 3x − 4 = 0“ jau redukuota į bendrą formą „ax 2 + bx + c = 0“ ir nereikalauja papildomų supaprastinimų. Norėdami tai išspręsti, tereikia kreiptis.

kvadratinės lygties šaknų radimo formulė

x 1;2 =

Jis gali būti naudojamas bet kuriai kvadratinei lygčiai išspręsti.
Formulėje “x 1;2 = ” radikali išraiška dažnai pakeičiama

„b 2 – 4ac“ – raidė „D“ ir vadinama diskriminantu. Diskriminanto sąvoka plačiau aptariama pamokoje „Kas yra diskriminantas“.

Pažvelkime į kitą kvadratinės lygties pavyzdį.

x 2 + 9 + x = 7x

Šioje formoje gana sunku nustatyti koeficientus „a“, „b“ ir „c“. Pirmiausia sumažinkime lygtį į bendrą formą „ax 2 + bx + c = 0“.
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0

x 2 − 6x + 9 = 0

Dabar galite naudoti šaknų formulę.
X 1;2 =
X 1;2 =
X 1;2 =
x 1;2 =

Atsakymas: x = 3