Žinome, kad kosinuso reikšmės yra [-1; 1], t.y. -1 ≤ cos α ≤ 1. Todėl jei |a| > 1, tada lygtis cos x = a šaknų neturi. Pavyzdžiui, lygtis cos x = -1,5 neturi šaknų.
Panagrinėkime keletą problemų.
Išspręskite lygtį cos x = 1/2.
Sprendimas.
Prisiminkite, kad cos x yra apskritimo, kurio spindulys lygus 1, taško abscisė, gauta pasukus tašką P (1; 0) kampu x aplink pradžios tašką.
Abscisė 1/2 yra dviejuose apskritimo taškuose M 1 ir M 2. Kadangi 1/2 = cos π/3, tai tašką M 1 galime gauti iš taško P (1; 0) sukdami kampu x 1 = π/3, taip pat kampais x = π/3 + 2πk, kur k = +/-1, +/-2, …
Taškas M 2 gaunamas iš taško P (1; 0) sukant kampu x 2 = -π/3, taip pat kampais -π/3 + 2πk, kur k = +/-1, +/-2 ,...
Taigi visas lygties cos x = 1/2 šaknis galima rasti naudojant formules
x = π/3 + 2πk
x = -π/3 + 2πk,
Dvi pateiktos formulės gali būti sujungtos į vieną:
x = +/-π/3 + 2πk, k € Z.
Išspręskite lygtį cos x = -1/2.
Sprendimas.
Dviejų apskritimo taškų M 1 ir M 2 abscisė yra lygi – 1/2. Kadangi -1/2 = cos 2π/3, tai kampas x 1 = 2π/3, taigi kampas x 2 = -2π/3.
Vadinasi, visas lygties cos x = -1/2 šaknis galima rasti naudojant formulę: x = +/-2π/3 + 2πk, k € Z.
Taigi, kiekviena iš lygčių cos x = 1/2 ir cos x = -1/2 turi begalinis rinkinysšaknys. Intervale 0 ≤ x ≤ π kiekviena iš šių lygčių turi tik vieną šaknį: x 1 = π/3 yra lygties cos šaknis x = 1/2, o x 1 = 2π/3 yra lygties cos šaknis. x = -1/2.
Skaičius π/3 vadinamas skaičiaus 1/2 arkosinusu ir rašomas: arccos 1/2 = π/3, o skaičius 2π/3 vadinamas skaičiaus (-1/2) arkosinusu ir parašytas : arccos (-1/2) = 2π/3 .
Apskritai lygtis cos x = a, kur -1 ≤ a ≤ 1, intervale 0 ≤ x ≤ π turi tik vieną šaknį. Jei a ≥ 0, tada šaknis yra intervale ; jei a< 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.
Taigi skaičiaus a lankinis kosinusas € [-1; 1 ] yra skaičius a €, kurio kosinusas yra lygus a:
arccos а = α, jei cos α = а ir 0 ≤ а ≤ π (1).
Pavyzdžiui, arkos √3/2 = π/6, nes cos π/6 = √3/2 ir 0 ≤ π/6 ≤ π;
arckos (-√3/2) = 5π/6, nes cos 5π/6 = -√3/2 ir 0 ≤ 5π/6 ≤ π.
Lygiai taip pat, kaip buvo padaryta sprendžiant 1 ir 2 uždavinius, galima parodyti, kad visos lygties šaknys cos x = a, kur |a| ≤ 1, išreikštas formule
x = +/-arccos a + 2 πn, n € Z (2).
Išspręskite lygtį cos x = -0,75.
Sprendimas.
Naudodami (2) formulę randame x = +/-arccos (-0,75) + 2 πn, n € Z.
Arkos reikšmę (-0,75) galima apytiksliai rasti paveikslėlyje, matuojant kampą naudojant transporterį. Apytiksles lanko kosinuso reikšmes taip pat galima rasti naudojant specialias lenteles (Bradis lenteles) arba mikroskaičiuotuvą. Pavyzdžiui, arccos reikšmę (-0,75) galima apskaičiuoti mikroskaičiuotuvu, pateikiant apytikslė vertė 2.4188583. Taigi, arkos (-0,75) ≈ 2,42. Todėl arkos (-0,75) ≈ 139°.
Atsakymas: arkos (-0,75) ≈ 139°.
Išspręskite lygtį (4cos x – 1)(2cos 2x + 1) = 0.
Sprendimas.
1) 4cos x – 1 = 0, cos x = 1/4, x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, n € Z.
2) 2cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2x = +/-2π/3 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn, n € Z.
Atsakymas. x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn.
Galima įrodyti, kad už bet kurį € [-1; 1] yra teisinga arccos formulė(-а) = π – arccos а (3).
Ši formulė leidžia išreikšti lanko kosinusų reikšmes neigiami skaičiai per teigiamų skaičių lanko kosinusus. Pavyzdžiui:
arkos (-1/2) = π – arkos 1/2 = π – π/3 = 2π/3;
arkos (-√2/2) = π – arkos √2/2 = π – π/4 = 3π/4
iš (2) formulės matyti, kad lygties šaknis cos x = a, kai a = 0, a = 1 ir a = -1 galima rasti naudojant paprastesnes formules:
cos x = 0 x = π/2 + πn, n € Z (4)
cos x = 1 x = 2πn, n € Z (5)
cos x = -1 x = π + 2πn, n € Z (6).
svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.
Labanakt Jūs uždavėte labai įdomų klausimą: cos x = 3 sprendimas. Tai yra labiausiai paplitusi užduotis. Ir taip, visada pirmiausia, atsižvelgdami į viską, ką žinote, galite iš karto pradėti apsispręsti. Ir taip, net tai, kad lentelėje nerasite arccos 3, taip pat nėra kliūtis baisi paslaptis. Tokios funkcijos kaip sin ir cos negali prilygti jokiam skaičiui, kuris yra didesnis už vienetą. Tai yra logiška manyti, kad sprendimai duota lygtis Nr. Turite tai atsiminti, kad ateityje nedarytumėte kvailų klaidų. Pabandykime išspręsti kažką panašaus, bet tai, kas turi sprendimą. Ne kaip ši užduotis. Pavyzdžiui:
Dabar pereikime prie sprendimo tam tikra taisyklė panašių lygčių sprendiniai, kurie turėtų būti naudojami visada ir bus tokios bendros formos:
Kai susitvarkome bendras sprendimas, tada galime pereiti prie jūsų lygties sprendimo:
Vertę rasime naudodami lentelę. Ir iš to mes tai gauname 
Kadangi sutvarkėme pagrindus, dabar galime visiškai išspręsti jūsų lygtį.
