Өгөгдсөн утгыг эерэг болго тооны цуврал$ \нийлбэр_(n=1) ^\infty a_n $. Томьёолъё шаардлагатай тэмдэгцувралын нэгдэл:

Хэрэв цуврал нийлдэг бол түүний нийтлэг гишүүний хязгаар нь байна тэгтэй тэнцүү: $$ \lim _(n \to \infty) a_n = 0 $$
Хэрэв цувааны нийтлэг гишүүний хязгаар 0-тэй тэнцүү биш бол цуваа хуваагдана: $$ \lim _(n \to \infty) a_n \neq 0 $$

Ерөнхий гармоник цуврал

Энэ цувралыг дараах байдлаар бичнэ: $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n^p) $. Түүнээс гадна, $p$-аас хамааран цуваа нийлж эсвэл хуваагдана:

Хэрэв $ p = 1 $ бол $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n) $ цуваа ялгарч, нийтлэг нэр томъёо $ a_n = \frac(1) байгаа хэдий ч гармоник гэж нэрлэдэг. )( n) \to 0 $. Яагаад тэр вэ? Шаардлагатай шалгуур нь нийлмэл байдлын талаар хариулт өгөхгүй, зөвхөн цувралын зөрүүний тухай өгүүлсэн байна. Тиймээс, хэрэв бид өргөдөл гаргавал хангалттай нотлох баримт, жишээ нь интеграл Коши тест, дараа нь энэ нь цуврал зөрөх нь тодорхой болно!
Хэрэв $ p \leqslant 1 $ бол цуваа зөрүүтэй байна. Жишээ нь, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n)) $, үүнд $ p = \frac(1)(2) $
Хэрэв $p > 1$ бол цуваа нийлнэ. Жишээ нь, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n^3)) $, үүнд $ p = \frac(3)(2) > 1 $

Шийдлийн жишээ

Жишээ 1
$ \sum_(n=1) ^\infty \frac(n)(6n+1) $ цувааны зөрүүг батал.
Шийдэл
Цуврал эерэг, бид нийтлэг нэр томъёог бичнэ: $$ a_n = \frac(n)(6n+1) $$ Бид $ n \to \infty $ хүртэлх хязгаарыг тооцоолно: $$ \lim _(n \to \infty) \frac(n)(6n+1) = \frac(\infty)(\infty) = $$ Бид хуваагч дахь хаалтнаас $ n $ авч, дараа нь бууралт хийнэ. $$ = \lim_(n \to \infty) \frac(n)(n(6+\frac(1)(n))) = \lim_(n \infty) \frac(1)(6 + \frac(1)(n)) = \frac(1)(6) $$ Бид $ \lim_(n\to \infty) a_n = \frac(1)(6) \neq 0 $ болохыг олж мэдсэн тул шаардлагатай Коши тест хангагдаагүй тул цуваа зөрүүтэй байна. Хэрэв та асуудлаа шийдэж чадахгүй бол бидэнд илгээнэ үү. Бид хангах болно нарийвчилсан шийдэл. Та тооцооллын явцыг харж, мэдээлэл авах боломжтой болно. Энэ нь таныг багшаасаа цаг тухайд нь дүнгээ авахад тусална!
Хариулах
Цуврал нь ялгаатай

Жишээ № 9

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)) цувааны нийлэлтийг судал. $.

Нийлбэрийн доод хязгаар нь 1 тул цувралын ерөнхий гишүүнийг нийлбэрийн тэмдгийн дор бичнэ: $u_n=\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n) -1))$ . Эхлээд энэ цуврал эерэг байгаа эсэхийг тодорхойлъё, i.e. $u_n≥ 0$ тэгш бус байдал үнэн үү? $\frac(1)(\sqrt(n))> 0$ хүчин зүйл нь ойлгомжтой, гэхдээ арктангенс яах вэ? Арктанг хийхэд төвөгтэй зүйл байхгүй: $\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)) >0$, дараа нь $\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))>0 байна. $ . Дүгнэлт: манай цуврал эерэг байна. Энэ цувралын нэгдлийн асуудлыг судлахын тулд харьцуулах шалгуурыг ашиглая.

Эхлээд харьцуулах цувралаа сонгоцгооё. Хэрэв $n\to\infty$ бол $\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\to 0$ болно. Тиймээс $\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\sim\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$. Яагаад тэр вэ? Хэрэв бид энэ баримт бичгийн төгсгөлд байгаа хүснэгтийг харвал $x\-ээс 0$ хүртэлх $\arctg x\sim x$ томъёог харах болно. Бид энэ томъёог ашигласан бөгөөд зөвхөн бидний тохиолдолд $x=\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$.

$\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$ илэрхийлэлд бид арктангенсийг $\frac(\pi)(\) фракцаар сольсон. sqrt(2n- 1))$. Бид дараахыг авна: $\frac(1)(\sqrt(n))\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$. Бид өмнө нь ийм фракцтай ажиллаж байсан. "Нэмэлт" элементүүдийг хаяж, бид $\frac(1)(\sqrt(n)\cdot\sqrt(n))=\frac(1)(n^(\frac(1)(2) гэсэн бутархайд хүрнэ. +\frac (1)(3)))=\frac(1)(n^(\frac(5)(6)))$. Энэ нь $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\frac(5)(6))$ цувралтай харьцуулах болно. өгөгдсөн цуврал, ашиглан . $\frac(5)(6)≤ 1$ тул $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\frac(5)(6))$ цуврал болно. ялгаатай.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)))(\frac(1) (n^\frac(5)(6)))=\зүүн|\frac(0)(0)\баруун|=\зүүн|\эхлэх(зүүнчлэн)&\frac(\pi)(\sqrt(2n-) 1))\to 0;\\&\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\sim\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)).\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \баруун| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(1)(\sqrt(n))\cdot\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)))(\frac(1)( n^\frac(5)(6))) =\\=\pi\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(n))(\sqrt(2n-1)) =\pi \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(1)(\sqrt(2-\frac(1)(n)))=\pi\cdot\frac(1)(\sqrt(2-0) )=\frac(\pi)(\sqrt(2)). $$

0 доллараас хойш<\frac{\pi}{\sqrt{2}}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$.

Энэ тохиолдолд цувралын ерөнхий нэр томъёоны илэрхийлэлд арктангентын оронд синус, арксинус эсвэл тангенс байж болохыг би тэмдэглэж байна. Шийдэл нь ижил хэвээр байх болно.

Хариулах: цуваа зөрүүтэй байна.

Жишээ № 10

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(1-\cos\frac(7)(n)\right)$ цувралын нийлэлтийг шалгана уу.

Нийлбэрийн доод хязгаар нь 1 тул цувааны нийтлэг гишүүнийг нийлбэрийн тэмдгийн дор бичнэ: $u_n=1-\cos\frac(7)(n)$. Ямар ч $x$ утгын хувьд бид $-1≤\cos x≤ 1$, дараа нь $\cos\frac(7)(n)≤ 1$ байна. Тиймээс $1-\cos\frac(7)(n)≥ 0$, i.e. $u_n≥ 0$. Бид эерэг цувралтай харьцаж байна.

Хэрэв $n\to\infty$ бол $\frac(7)(n)\to 0$ болно. Тиймээс $1-\cos\frac(7)(n)\sim \frac(\left(\frac(7)(n)\right)^2)(2)=\frac(49)(2n^2) $. Яагаад тэр вэ? Хэрэв бид энэ баримт бичгийн төгсгөлд байгаа хүснэгтийг харвал $1-\cos x \sim \frac(x^2)(2)$ $x\-ээс 0$ хүртэлх томъёог харах болно. Бид энэ томъёог ашигласан бөгөөд зөвхөн манай тохиолдолд $x=\frac(7)(n)$.

$1-\cos\frac(7)(n)$ илэрхийллийг $\frac(49)(2n^2)$ гэж орлъё. "Нэмэлт" элементүүдийг хаяснаар бид $\frac(1)(n^2)$ бутархай болно. Бид $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ цувралын тусламжтайгаар өгөгдсөн цувралуудыг харьцуулах болно. $2 > 1$ тул $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ цуваа нийлдэг.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(1-\cos\frac(7)(n))(\frac(1)(n^2))=\left|\frac(0)(0) )\баруун|= \зүүн|\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)&\frac(7)(n)\-ээс 0;\\&1-\cos\frac(7)(n)\sim\frac(49)(2n^ 2).\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\баруун| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(49)(2n^2))(\frac(1)(n^2))=\frac(49)(2). $$

0 доллараас хойш<\frac{49}{2}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$.

Хариулах: цуврал нийлдэг.

Жишээ № 11

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2$ цувааны нийлэлтийг судал.

Нийлбэрийн доод хязгаар нь 1 тул цувааны ерөнхий гишүүнийг нийлбэрийн тэмдгийн дор бичнэ: $u_n=n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2$. Хоёр хүчин зүйл хоёулаа эерэг тул $u_n >0$, i.e. Бид эерэг цувралтай тулгарч байна.

Хэрэв $n\to\infty$ бол $\frac(3)(n)\to 0$ болно. Тиймээс $e^\frac(3)(n)-1\sim\frac(3)(n)$. Бидний ашигласан томьёо энэ баримт бичгийн төгсгөлд байгаа хүснэгтэд байна: $e^x-1 \sim x$ at $x\to 0$. Манай тохиолдолд $x=\frac(3)(n)$.

$e^\frac(3)(n)-1$ илэрхийлэлийг $\frac(3)(n)$ гэж сольж, $n\cdot\left(\frac(3)(n)\right-ыг олж авцгаая. )^ 2=\frac(9)(n)$. Тоо хасаад бид $\frac(1)(n)$ бутархайд хүрнэ. Бид $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ гармоник цувааг ашиглан өгөгдсөн цувааг харьцуулах болно. Гармоник цувралууд хоорондоо зөрөөд байгааг сануулъя.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(n\left(e^\frac(3)(n)-1\баруун)^2)(\frac(1)(n))=\lim_( n\to\infty)\frac(\left(e^\frac(3)(n)-1\баруун)^2)(\frac(1)(n^2)) =\left|\frac(0) )(0)\баруун|=\зүүн|\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)&\frac(3)(n)\-аас 0;\\&e^\frac(3)(n)-1\sim\frac(3) (n).\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\баруун| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(9)(n^2))(\frac(1)(n^2))=9. $$

0 доллараас хойш<9<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\left(e^\frac{3}{n}-1\right)^2$.

Хариулах: цуваа зөрүүтэй байна.

Жишээ № 12

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$ цувааны нийлэлтийг судал.

Нийлбэрийн доод хязгаар нь 1 тул цувралын ерөнхий гишүүнийг нийлбэрийн тэмдгийн дор бичнэ: $u_n=\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$. $n$-ийн дурын утгын хувьд $n^3+7 > n^3+5$ байх тул $\frac(n^3+7)(n^3+5) > 1$ байна. Тиймээс $\ln\frac(n^3+7)(n^3+5) > 0$, i.e. $u_n > 0$. Бид эерэг цувралтай харьцаж байна.

Энэ тохиолдолд шаардлагатай тэнцүү байдлыг анзаарах нь зарим талаараа хэцүү байдаг. Логарифмын доорх илэрхийллийг арай өөр хэлбэрээр бичье.

$$ \ln\frac(n^3+7)(n^3+5)=\ln\frac(n^3+5+2)(n^3+5)=\ln\left(\frac() n^3+5)(n^3+5)+\frac(2)(n^3+5)\баруун)=\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5)\ баруун). $$

Одоо томьёо харагдана: $\ln(1+x)\sim x$ нь $x\to 0$. $n\to\infty$-ын хувьд бидэнд $\frac(2)(n^3+5)\to 0$ байна, дараа нь $\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5) \баруун)\sim\frac(2)(n^3+5)$.

$\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$ илэрхийллийг $\frac(2)(n^3+5)$ гэж орлъё. "Нэмэлт" элементүүдийг хаяснаар бид $\frac(1)(n^3)$ бутархай болно. $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^3)$ цувралтай бид өгөгдсөн цувралуудыг ашиглан харьцуулах болно. $3 > 1$ тул $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^3)$ цуваа нийлдэг.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\ln\frac(n^3+7)(n^3+5))(\frac(1)(n^3))=\lim_(n \to\infty)\frac(\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5)\баруун))(\frac(1)(n^3))=\left|\frac( 0)(0)\баруун|= \зүүн|\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)&\frac(2)(n^3+5)\-аас 0;\\&\ln\left(1+\frac(2)( n^3+5)\баруун)\sim\frac(2)(n^3+5).\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\баруун|=\\ =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac) (2)(n^3+5))(\frac(1)(n^3)) =\lim_(n\to\infty)\frac(2n^3)(n^3+5)=\lim_ (n\to\infty)\frac(2)(1+\frac(5)(n^3))=\frac(2)(1+0)=2. $$

0 доллараас хойш<2<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\frac{n^3+7}{n^3+5}$.

Хариулах: цуврал нийлдэг.

Жишээ № 13

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n^n)(7^n\cdot n) цувралыг судлах$ на сходимость.!}

Нийлбэрийн доод хязгаар нь 1 тул цувааны нийтлэг гишүүнийг нийлбэрийн тэмдгийн дор бичнэ: $u_n=\frac(n^n)(7^n\cdot n).$. Так как $u_n ≥ 0$, то заданный ряд является положительным.!}

Дамми нарт зориулсан эгнээ. Шийдлийн жишээ

Би бүх амьд үлдсэн хүмүүсийг хоёр дахь жилдээ урьж байна! Энэ хичээлээр, эс тэгвээс цуврал хичээлээр бид мөрүүдийг хэрхэн удирдах талаар сурах болно. Энэ сэдэв нь тийм ч төвөгтэй биш, гэхдээ үүнийг эзэмшихийн тулд эхний жилээс эхлэн мэдлэг шаардагдана, ялангуяа та ойлгох хэрэгтэй. хязгаар гэж юу вэ, мөн хамгийн энгийн хязгаарыг олох боломжтой. Гэсэн хэдий ч, би тайлбарлаж байгаа тул шаардлагатай хичээлүүдийн холбогдох холбоосыг өгөх болно. Зарим уншигчдад математикийн цуврал, шийдлийн арга, тэмдэг, теоремын сэдэв нь өвөрмөц, бүр хуурамч, утгагүй мэт санагдаж магадгүй юм. Энэ тохиолдолд та хэтэрхий "ачаалах" шаардлагагүй, бид баримтуудыг байгаагаар нь хүлээн зөвшөөрч, ердийн, нийтлэг ажлуудыг шийдэж сурдаг.

1) Дамми нарт зориулсан эгнээ, мөн самоварын хувьд нэн даруй контент :)

Энэ сэдвээр маш хурдан бэлтгэхийн тулд Pdf форматтай экспресс курс байдаг бөгөөд үүний тусламжтайгаар та дасгалаа нэг өдрийн дотор "өсгөх" боломжтой.

Тооны цувааны тухай ойлголт

Ерөнхийдөө тооны цувралингэж бичиж болно: .
Энд:
- математикийн нийлбэр дүрс;
– цувралын нийтлэг нэр томъёо(энэ энгийн нэр томъёог санаарай);
– “тоолуур” хувьсагч. Тэмдэглэгээ нь нийлбэрийг 1-ээс "нэмэх хязгааргүй" хүртэл, өөрөөр хэлбэл эхлээд бид , дараа нь , дараа нь , гэх мэт - хязгааргүй хүртэл явагдана гэсэн үг юм. Хувьсагчийн оронд хувьсагч эсвэл заримдаа ашиглагддаг. Дүгнэлт нь нэгээс эхлэх албагүй; зарим тохиолдолд тэгээс, хоёроос эсвэл аль нэгээс эхэлж болно натурал тоо.

"Тоолуур" хувьсагчийн дагуу аливаа цувралыг өргөжүүлж болно.
- гэх мэт, ad infinitum.

Бүрэлдэхүүн хэсгүүд - Энэ ДУГААРгэж нэрлэдэг гишүүдэгнээ. Хэрэв тэд бүгд сөрөг биш бол (тэгээс их буюу тэнцүү), дараа нь ийм цуврал гэж нэрлэдэг эерэг тооны цуврал.

Жишээ 1

Дашрамд хэлэхэд энэ нь аль хэдийн "байлдааны" даалгавар юм - практик дээр цувралын хэд хэдэн нэр томъёог бичих шаардлагатай байдаг.

Эхлээд, дараа нь:
Дараа нь:
Дараа нь:

Процессыг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлж болох боловч нөхцөл байдлын дагуу цувралын эхний гурван нөхцлийг бичих шаардлагатай байсан тул бид хариултыг бичнэ.

Үндсэн ялгааг анхаарна уу тооны дараалал,
Үүнд нэр томъёог нэгтгэн дүгнээгүй, гэхдээ ийм байдлаар авч үзнэ.

Жишээ 2

Цувралын эхний гурван гишүүнийг бич

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ бөгөөд хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна

Анхны харцаар харахад төвөгтэй цуврал ч гэсэн үүнийг өргөтгөсөн хэлбэрээр тайлбарлах нь тийм ч хэцүү биш юм.

Жишээ 3

Цувралын эхний гурван гишүүнийг бич

Үнэн хэрэгтээ даалгаврыг амаар гүйцэтгэдэг. оюун санааны хувьд цувралын нийтлэг нэр томъёонд орлуулахэхлээд, дараа нь ба. Эцэст нь:

Бид хариултыг дараах байдлаар үлдээж байна. Үүссэн цуврал нэр томъёог хялбарчлахгүй байх нь дээр, тэр бол биелүүлэхгүйүйлдлүүд: , , . Яагаад? Хариулт нь маягт дээр байна Энэ нь багшийн хувьд шалгахад илүү хялбар бөгөөд илүү хялбар байдаг.

Заримдаа эсрэгээрээ даалгавар гардаг

Жишээ 4

Энд тодорхой шийдлийн алгоритм алга. Та зүгээр л загварыг харах хэрэгтэй.
Энэ тохиолдолд:

Шалгахын тулд үүссэн цувралыг өргөтгөсөн хэлбэрээр "буцааж бичих" боломжтой.

Өөрөө шийдэхэд арай илүү төвөгтэй жишээ энд байна:

Жишээ 5

Цувралын нийтлэг гишүүнтэй нийлбэрийг задалсан хэлбэрээр бич

Цувралыг өргөтгөсөн хэлбэрээр дахин бичих замаар шалгах ажлыг гүйцэтгэнэ

Тооны цувааг нэгтгэх

Сэдвийн гол зорилтуудын нэг нь конвергенцын цуврал судалгаа. Энэ тохиолдолд хоёр тохиолдол боломжтой:

1) Мөрялгаатай. Энэ нь хязгааргүй нийлбэр нь хязгааргүйтэй тэнцүү гэсэн үг юм: эсвэл ерөнхийдөө нийлбэр байдаггүй, жишээ нь, цувралд
(Дашрамд хэлэхэд сөрөг нэр томъёо бүхий цувралын жишээ энд байна). Хичээлийн эхэнд ялгаатай тооны цувралын сайн жишээг олсон: . Тиймээс цувралын дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө илүү байгаа нь илт харагдаж байна улмаар цувралууд хоорондоо зөрөөд байна. Илүү энгийн жишээ: .

2) Мөрнийлдэг. Энэ нь хязгааргүй нийлбэр нь заримтай тэнцүү гэсэн үг юм хязгаарлагдмал тоо: . Та бүхэн: – энэ цуваа нийлж, нийлбэр нь тэг байна. Илүү утга учиртай жишээ болгон бид дурдаж болно хязгааргүй буурч байнаСургуулийн үеэс бидэнд мэдэгдэж байсан геометрийн прогресс: . Хязгааргүй буурах геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийг томъёогоор тооцоолно: , энд прогрессийн эхний гишүүн ба түүний суурь нь ихэвчлэн хэлбэрээр бичигддэг. зөвбутархай Энэ тохиолдолд: , . Тиймээс: Хязгаарлагдмал тоог олж авсан бөгөөд энэ нь цуврал нийлдэг гэсэн үг бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай байна.

Гэсэн хэдий ч ихэнх тохиолдолд цувралын нийлбэрийг олЭнэ нь тийм ч энгийн зүйл биш тул практикт цувралын нийлэлтийг судлахын тулд онолын хувьд батлагдсан тусгай тэмдгүүдийг ашигладаг.

Цуврал ойртох хэд хэдэн шинж тэмдэг байдаг: Цувралыг нэгтгэхэд шаардлагатай тест, харьцуулах тест, Д'Аламберын тест, Коши тест, Лейбницийн тэмдэгболон бусад шинж тэмдгүүд. Ямар тэмдгийг хэзээ хэрэглэх вэ?Энэ нь цувралын нийтлэг гишүүнээс, дүрсээр хэлбэл, цувралыг "дүүргэх" байдлаас хамаарна. Тэгээд тун удахгүй бид бүгдийг цэгцлэх болно.

! Хичээлийг цааш нь сурахын тулд та хийх ёстой сайн ойлгооройхязгаар гэж юу вэ, нэг төрлийн тодорхойгүй байдлыг илчлэх боломжтой байх нь сайн хэрэг. Материалыг хянах эсвэл судлахын тулд нийтлэлийг үзнэ үү Хязгаарлалт. Шийдлийн жишээ.

Цуврал нийлэх зайлшгүй шинж тэмдэг

Хэрэв цуваа нийлбэл түүний нийтлэг гишүүн тэг болох хандлагатай байна: .

Эсрэг заалт нь ерөнхий тохиолдолд үнэн биш, өөрөөр хэлбэл, хэрэв , дараа нь цуваа нийлж эсвэл салж болно. Тиймээс энэ тэмдгийг зөвтгөхөд ашигладаг зөрүүэгнээ:

Хэрэв цувралын нийтлэг нэр томъёо тэг рүү тэмүүлдэггүй, дараа нь цувралууд хуваагдана

Эсвэл товчхондоо: хэрэв , дараа нь цуваа хуваагдана. Ялангуяа хязгаарлалт огт байхгүй нөхцөл байдал үүсч болно, жишээлбэл, хязгаар. Тиймээс тэд нэг цувралын зөрүүг тэр даруй зөвтгөв :)

Гэхдээ ихэнхдээ ялгаатай цувааны хязгаар нь хязгааргүйтэй тэнцүү байдаг бөгөөд "x"-ийн оронд "динамик" хувьсагчийн үүрэг гүйцэтгэдэг. Мэдлэгээ сэргээцгээе: “x”-тэй хязгаарыг функцын хязгаар, “en” хувьсагчтай хязгаарыг тоон дарааллын хязгаар гэнэ. Илэрхий ялгаа нь "en" хувьсагч нь салангид (тасралтгүй) байгалийн утгуудыг авдаг: 1, 2, 3 гэх мэт. Гэхдээ энэ баримт нь хязгаарыг шийдвэрлэх арга, тодорхойгүй байдлыг илчлэх аргуудад бага нөлөө үзүүлдэг.

Эхний жишээний цуваа зөрөөд байгааг баталцгаая.
Цувралын нийтлэг гишүүн:

Дүгнэлт: эгнээ ялгаатай

Шаардлагатай шинж чанарыг ихэвчлэн бодит практик ажилд ашигладаг.

Жишээ 6

Бид тоологч болон хуваагч дахь олон гишүүнтүүдтэй. Өгүүлэл дэх тодорхойгүй байдлыг илчлэх аргыг анхааралтай уншиж, ойлгосон хүн Хязгаарлалт. Шийдлийн жишээ, би үүнийг барьсан байх тоологч ба хуваагчийн дээд хүч байх үед тэнцүү, тэгвэл хязгаар нь байна хязгаарлагдмал тоо .

Тоолуур ба хуваагчийг хуваа

Судалж буй цуврал ялгаатай, учир нь цуваа нийлэх шаардлагатай шалгуур хангагдаагүй байна.

Жишээ 7

Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт

Тиймээс, бидэнд ямар ч тооны цуврал өгөх үед, Нэгдүгээртбид шалгадаг (сэтгэцийн эсвэл ноорог дээр): түүний нийтлэг нэр томъёо тэг болох хандлагатай юу? Хэрэв тийм биш бол бид 6, 7-р жишээн дээр үндэслэн шийдлийг боловсруулж, цуваа зөрүүтэй гэсэн хариултыг өгнө.

Бид ямар төрлийн ялгаатай цувралуудыг авч үзсэн бэ? Цувралууд таалагдах эсвэл зөрөх нь шууд тодорхой болно. 6, 7-р жишээнүүдийн цувралууд мөн ялгаатай байна: тоологч ба хуваагч нь олон гишүүнтийг агуулж байгаа бөгөөд хүртэгчийн тэргүүлэх хүч нь хувагчийн тэргүүлэх хүчээс их буюу тэнцүү байх үед. Эдгээр бүх тохиолдолд жишээг шийдвэрлэх, бэлтгэхдээ бид цувралыг нэгтгэх шаардлагатай тэмдгийг ашигладаг.

Яагаад тэмдэг гэж нэрлэдэг вэ? шаардлагатай? Хамгийн байгалийн аргаар ойлгох: цуврал нэгдэхийн тулд, шаардлагатай, ингэснээр түүний нийтлэг нэр томъёо тэг болох хандлагатай байна. Бүх зүйл сайхан байх болно, гэхдээ илүү олон зүйл бий хангалтгүй. Өөрөөр хэлбэл, Хэрэв цувралын нийтлэг гишүүн тэг рүү чиглэдэг бол энэ нь цуваа нийлнэ гэсэн үг биш- Энэ нь нэгдэж, салж болно!

Уулзах:

Энэ цуврал гэж нэрлэдэг гармоник цуврал. Санаж байна уу! Цувралуудын дунд тэрээр прима балерина юм. Бүр тодруулбал балерина =)

Үүнийг харахад амархан , ГЭХДЭЭ. Математик анализын онолд энэ нь батлагдсан гармоник цувралын ялгаа.

Та мөн ерөнхий гармоник цувралын тухай ойлголтыг санаж байх хэрэгтэй.

1) Энэ эгнээ ялгаатайцагт. Жишээлбэл, , , цуваа нь хуваагдана.
2) Энэ эгнээ нийлдэгцагт. Жишээлбэл, , , , цуваа нийлдэг. Бараг бүх практик даалгавруудад жишээлбэл, цувралын нийлбэр нь хэдтэй тэнцүү байх нь бидэнд огтхон ч чухал биш гэдгийг би дахин онцолж байна. түүний нэгдмэл байдлын баримт нь чухал юм.

Эдгээр нь аль хэдийн нотлогдсон цувралын онолын үндсэн баримтууд бөгөөд аливаа практик жишээг шийдвэрлэхдээ та жишээ нь цувралын зөрүү эсвэл цувралын нийлэлтийг найдвартай хэлж болно.

Ерөнхийдөө энэ материал нь маш төстэй юм зохисгүй интегралын судалгаа, мөн энэ сэдвийг судалсан хүмүүст илүү хялбар байх болно. За, үүнийг судалж амжаагүй хүмүүст энэ нь хоёр дахин хялбар юм :)

Тэгэхээр, цувралын нийтлэг нэр томъёо тэг болж байвал яах вэ?Ийм тохиолдолд жишээг шийдэхийн тулд та бусдыг ашиглах хэрэгтэй. хангалттай нийлэх/ялгаалах шинж тэмдэг:

Эерэг тооны цувааг харьцуулах шалгуур

Би таны анхаарлыг татаж байна, энд бид зөвхөн эерэг тооны цувралын тухай ярьж байна (сөрөг бус нөхцөлтэй).

Харьцуулах хоёр шинж тэмдэг байгаа бөгөөд тэдгээрийн нэгийг нь би зүгээр л дуудах болно харьцуулсан шинж тэмдэг, өөр - харьцуулах хязгаар.

Эхлээд авч үзье харьцуулах тэмдэг, эс тэгвээс эхний хэсэг нь:

Хоёр эерэг тооны цуваа ба . Хэрэв мэддэг бол, цуврал нь - нийлдэг, мөн зарим тооноос эхлэн тэгш бус байдал хангагдаж дараа нь цуваа бас нэгддэг.

Өөрөөр хэлбэл: Том гишүүнтэй цувааны нийлэгжилтээс бага гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг дагадаг. Практикт тэгш бус байдал нь бүх утгын хувьд ихэвчлэн байдаг:

Жишээ 8

Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Эхлээд шалгацгаая(сэтгэцийн эсвэл ноорог) гүйцэтгэл:
, энэ нь "бага цусаар гарах" боломжгүй гэсэн үг юм.

Бид ерөнхий гармоник цувралын "багц" -ыг судалж, хамгийн дээд түвшинд анхаарлаа хандуулж, ижил төстэй цувралыг олдог: Энэ нь нийлдэг нь онолын хувьд мэдэгдэж байна.

Бүх натурал тоонуудын хувьд илэрхий тэгш бус байдал нь:

ба том хуваагч нь жижиг бутархайтай тохирч байна:
, энэ нь харьцуулах шалгуурт үндэслэн судалж буй цуврал нийлдэг-ын дэргэд .

Хэрэв танд эргэлзэж байвал тэгш бус байдлыг үргэлж нарийвчлан тайлбарлаж болно!Хэд хэдэн "en" тоонуудын байгуулсан тэгш бус байдлыг бичье.
Хэрэв бол
Хэрэв бол
Хэрэв бол
Хэрэв бол
….
мөн одоо тэгш бус байдал нь туйлын тодорхой болсон "en" бүх натурал тоонуудын хувьд биелнэ.

Харьцуулалтын шалгуур болон шийдэгдсэн жишээг албан бус үүднээс авч үзье. Гэсэн хэдий ч цуврал яагаад нэгдэж байна вэ? Үүний учрыг эндээс үзнэ үү. Хэрэв цуврал нийлбэл зарим нь байна эцсийнхэмжээ: . Мөн цувралын бүх гишүүдээс хойш багацувралын харгалзах нөхцлүүд байвал цувралын нийлбэр нь тооноос их байж болохгүй, тэр ч байтугай хязгааргүйтэй тэнцүү байх боломжгүй нь тодорхой байна!

Үүний нэгэн адил бид "ижил төстэй" цувралуудын нийлэлтийг баталж чадна. , , гэх мэт.

! тэмдэглэл, бүх тохиолдолд бид хуваагчдад "нэмэх" байдаг. Дор хаяж нэг хасах зүйл байгаа нь тухайн бүтээгдэхүүний хэрэглээг ноцтойгоор хүндрүүлж болзошгүй юм. харьцуулах тэмдэг. Жишээлбэл, хэрэв цувралыг нийлэх цуваатай ижил аргаар харьцуулж үзвэл (эхний гишүүний хэд хэдэн тэгш бус байдлыг бичнэ үү) бол нөхцөл нь огт хангагдахгүй! Жишээлбэл, та эндээс зайлсхийж, өөр нэг нийлсэн цувралыг сонгож болно, гэхдээ энэ нь шаардлагагүй захиалга болон бусад шаардлагагүй бэрхшээлийг дагуулна. Тиймээс цувралын нийлэлтийг батлахын тулд ашиглахад илүү хялбар байдаг харьцуулах хязгаар(дараагийн догол мөрийг үзнэ үү).

Жишээ 9

Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Мөн энэ жишээн дээр би та өөрөө бодож үзэхийг санал болгож байна харьцуулах шинж чанарын хоёр дахь хэсэг:

Хэрэв мэддэг бол, цуврал нь - ялгаатай, мөн зарим тооноос эхлэн (ихэнхдээ анхнаасаа),тэгш бус байдал хангагдаж дараа нь цуваа бас ялгаатай.

Өөрөөр хэлбэл: Бага нэр томъёо бүхий цувралын зөрүүгээс том гишүүнтэй цувааны зөрүү гарч ирнэ..

Юу хийх ёстой вэ?
Судалж буй цувралыг дивергент гармоник цувралтай харьцуулах шаардлагатай. Илүү сайн ойлгохын тулд хэд хэдэн тодорхой тэгш бус байдлыг бий болгож, тэгш бус байдал шударга байгаа эсэхийг шалгаарай.

Шийдэл болон загвар дизайн нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Өмнө дурьдсанчлан, практик дээр саяхан хэлэлцсэн харьцуулах шалгуурыг бараг ашигладаггүй. Тооны цувралын жинхэнэ хүч бол харьцуулах хязгаар, мөн хэрэглээний давтамжийн хувьд зөвхөн өрсөлдөх боломжтой д'Аламберын тэмдэг.

Тоон эерэг цувааг харьцуулах хязгаарын тест

Хоёр эерэг тооны цуваа ба . Хэрэв эдгээр цувралын нийтлэг нөхцлийн харьцааны хязгаар нь тэнцүү бол төгсгөлтэй тэгээс өөр тоо: , дараа нь хоёр цуваа нэгэн зэрэг нийлж эсвэл сална.

Хязгаарлалтын шалгуурыг хэзээ ашигладаг вэ?Цувралын "бөглөх" нь олон гишүүнт байх үед харьцуулах хязгаарлах шалгуурыг ашиглана. Аль нэг олон гишүүнт хуваагч, эсвэл хуваагч хоёр дахь олон гишүүнт байна. Сонголтоор олон гишүүнтүүдийг үндэс дор байрлуулж болно.

Өмнөх харьцуулах тэмдэг зогссон мөрийг авч үзье.

Жишээ 10

Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Энэ цувралыг нийлэх цуваатай харьцуулж үзье. Харьцуулахдаа бид хязгаарлах шалгуурыг ашигладаг. Цуврал нэгдэж байгаа нь мэдэгдэж байна. Хэрэв бид үүнийг харуулж чадвал тэнцүү байна хязгаарлагдмал, тэг биштоо, энэ нь цуврал бас нэгдэх нь нотлогдох болно.

Хязгаарлагдмал тэгээс өөр тоог олж авсан бөгөөд энэ нь судалж буй цуврал нь гэсэн үг юм нийлдэг-ын дэргэд .

Яагаад цувралыг харьцуулах зорилгоор сонгосон бэ? Хэрэв бид ерөнхий гармоник цувралын "тороос" өөр цувралыг сонгосон бол бид хязгаарт амжилтанд хүрч чадахгүй байх байсан. хязгаарлагдмал, тэг биштоо (та туршилт хийж болно).

Анхаарна уу: хязгаарлах харьцуулалтын шалгуурыг ашиглах үед, хамаагүй, нийтлэг гишүүдийн харилцааг ямар дарааллаар бүрдүүлэх вэ гэвэл авч үзсэн жишээнд хамаарлыг эсрэгээр нь эмхэтгэж болно: - энэ нь асуудлын мөн чанарыг өөрчлөхгүй.

Өргөдөл

Онлайн үйлчилгээний сайт нь тоон дараалал болон функциональ цувралын нийлбэрийг онлайнаар олоход тусална. Математикчдад зориулсан цувралын нийлбэр нь тоон хэмжигдэхүүнүүдийн дүн шинжилгээ, хязгаарт шилжихийг ойлгоход онцгой зүйл юм. Сүүлийн хэдэн зууны туршид цувралын ерөнхий шийдлийн талаар олон хэрэгтэй бүтээлүүд яригдаж, бичсэн байдаг. Математикийн чиглэлээр хуримтлуулсан мэдлэгээ эцсийн сонсогч, өөрөөр хэлбэл оюутанд хүргэх нь багш бүрийн хувьд чухал үүрэг юм. 1/n цувралын ийм нийлбэрийг олох нь лийрийг цохихтой адил хялбар юм. Цувралын нийлбэр 1/n^2-ийг богино тэмдэглэгээгээр танилцуулах болно. Цувралын нийлбэрийг тоон дарааллаар тодорхойлохын зэрэгцээ сайт нь цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрийг онлайнаар олох боломжтой. Энэ нь онлайн цувралын нийлбэрийг илэрхийлж, цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн тоон дарааллын хязгаарын шийдэл болгон олох шаардлагатай үед аналитик дүрслэлд туслах нь гарцаагүй. Үндсэндээ цувралын нийлбэр нь функцийг цуврал болгон өргөжүүлэх урвуу үйлдлээс өөр зүйл биш юм. Гүйлгээ нь бараг харилцан адилгүй байдаг. Хязгаарын дараа математикийн анализын лекцийн курс дууссаны дараа цувралын нийлэлтийг судалдаг нь ийм л тохиолддог. Цувралын олсон шийдэл нь түүнийг нэгтгэх эсвэл салгах зорилгоор судалсны үр дүнг хэлнэ. Энэ үр дүнг хоёрдмол утгагүйгээр тодорхойлно. Аналогуудтай харьцуулахад сайт нь маргаангүй давуу талтай, учир нь энэ нь тоон болон функциональ цувралын нийлбэрийг онлайнаар олох боломжтой бөгөөд энэ нь эхний цувралын нэгдэх талбарыг хоёрдмол утгагүй тодорхойлох боломжийг олгодог. шинжлэх ухаанд мэдэгдэж байгаа бараг бүх арга зүй. Цувралын онол дээр үндэслэн тоон дарааллыг нэгтгэх бүх цаг үеийн зайлшгүй нөхцөл нь тоон цувааны нийтлэг гишүүний хязгаарын хязгаарыг тэгтэй тэнцүүлэх нь хязгааргүй байх болно. Гэхдээ энэ нөхцөл нь тоон цувралын нийлэлтийг онлайнаар тогтооход хангалтгүй юм. Тулгамдсан асуудлаас бага зэрэг ухарч, математикийн цувралын талаар өөр философийн байр сууринаас бодоцгооё. Таны хувьд онлайн цувралын энэхүү шийдэл нь танд өдөр бүр хамгийн сайн тооцоолуур, туслах болох боломжийг олгоно. Цувралын нийлбэр таны нүдэн дээр гарахад өвлийн сайхан өдрүүдийг судалж үзээд суух хүсэл алга. Хэрэв хэн нэгэн цувралын эргэлтийг тодорхойлох шаардлагатай бол эхлээд зөв өгөгдлийг оруулсны дараа хэдхэн секунд болно. Ижил төстэй сайтууд үйлчилгээнийхээ төлбөрийг шаарддаг ч бид энгийн үйлчилгээгээ ашиглан жишээг өөрсдөө шийдэж сурахыг хүссэн хүн бүрт хэрэгтэй байхыг хичээдэг. Таны үзэмжээр бид цувралын шийдлийг ямар ч орчин үеийн төхөөрөмж дээр, өөрөөр хэлбэл ямар ч хөтөч дээр танилцуулж болно. Тиймээс 1/n цувралын нийлбэр нь хязгааргүйд хуваагддаг болохыг олж тогтоох нь энгийн ажил байх болно. 1/n^2 цувралын нийлбэр хэрхэн нэгдэж, математикт асар их семантик утгатай байдгийг үргэлж санаарай. Гэхдээ хязгаарлагдмал цувралын нийлбэрийг жирийн их дээд сургуулиудад цөөхөн хүн мэддэг интеграл тест эсвэл Раабе тестийг ашигласны дараа ихэвчлэн тодорхойлдог. Онлайн цувралын нийлэлтийг тодорхойлох замаар эрдэмтэд цувралын нийлэх эсвэл ялгарах хангалттай олон шалгуурыг гаргаж ирсэн. Эдгээр аргуудаас хамгийн алдартай бөгөөд байнга хэрэглэгддэг нь D'Alembert tests, Cauchy convergence test, Raabe convergence test, тооны цувааг харьцуулах тест, мөн тооны цувааг нэгтгэх интеграл тест юм Нэр томъёоны тэмдгүүд нь хасахаас нэмэх ба буцах хооронд заавал ээлжлэн солигдох ёстой тооны цувралууд бөгөөд эдгээр тооны цувралын үнэмлэхүй утга нь нэг хэвийн, өөрөөр хэлбэл цуваа судлах практикт жигд буурдаг. Ийм тооны цувралын хувьд ээлжлэн солигдох цувралын нийлмэл байдлын шинж тэмдэг хангалттай байдаг, өөрөөр хэлбэл ерөнхий нэр томъёоны хязгаар нь тэгтэй тэнцүү байх нь цувралын олсон нийлбэр нь ийм байдлаар эргэх болно Цувралын нийлбэрийг тооцоолох үйл явц нь өөрөө функцийг бүрэн судлахтай холбоотой тул асар их цаг хугацаа зарцуулдаг. , түүнчлэн судалж буй функцийн тодорхойлолтын домэйноос аль ч цэгт онлайнаар цуврал функцуудыг задлах. Эдгээр үйлчилгээнүүдэд та функцийг онлайн цуврал болгон хялбархан өргөжүүлж болно, учир нь үүсмэл тооцооллын функцийг ашигладаг боловч урвуу үйлдэл - гишүүд нь тоо биш, харин функцууд байдаг онлайн функциональ цувралын нийлбэрийг олох нь ихэвчлэн боломжгүй байдаг. практикт шаардлагатай тооцооллын нөөц байхгүйгээс үүссэн хүндрэлээс үүдэн .. Манай нөөцийг ашиглан цувралын нийлбэрийг онлайнаар тооцоолж, мэдлэгээ шалгаж, бататгаарай. Хэрэв цувралын нийлбэр зөрүүтэй байвал бид ямар нэг ерөнхий даалгаврын цаашдын үйлдлүүдийн хүлээгдэж буй үр дүнд хүрэхгүй. Мэргэжилтний хувьд мэдлэгээ ашигласнаар урьдчилан сэргийлэх боломжтой. Эцэст нь хэлэхэд, 1/n цувралын нийлбэр нь илэрхийллийн хувьд хамгийн энгийн бөгөөд үүнийг жишээ болгон дурьдах нь зүйтэй. Тэд ямар нэгэн тохиолдолд нийлэх шинж тэмдгийг харуулахыг хүссэн ч 1/n^2 цувралын нийлбэрээр нотолж өгдөг, учир нь ийм дүрслэл нь оюутнуудад ил тод байдаг бөгөөд оюутнууд төөрөгдөлд ордоггүй. Цувралын нийлмэл ерөнхий гишүүний илэрхийлэл бидэнд байгаа тул төгсгөлөг цувааны нийлбэр нь ихжүүлсэн цувааны хувьд (эхтэй харьцуулахад) нийлэх нь батлагдсан тохиолдолд ашигтай байх болно. Нөгөө талаас, цувралын нэгдэл нь асуудлын анхны нөхцлөөс үл хамааран үүснэ. Цувралын хамгийн сайн шийдлийг зөвхөн манай үйлчилгээний вэбсайтаас санал болгож болно, учир нь зөвхөн бид тооцооллын зардлыг үр дүнгийн ашиг тустай, нарийвчлалтай уялдуулах замаар таны цагийг хэмнэх баталгаа болно. Цувралын шаардлагатай нийлбэрийг ихэнх тохиолдолд томжуулсан цуваагаар төлөөлж болох тул судлах нь илүү тохиромжтой. Иймд үндсэн хэллэгийн нийлэлтийг тодорхой зааж өгөхийн зэрэгцээ дээд боловсролын сургуулийн багш нар манай цувралын шийдлийг онлайнаар ашиглаж, ажлыг шалгаж болно тэдний курсантууд. Зарим тохиолдолд байгалийн үйл явцыг судлахдаа үндсэн чиглэлээс гарахгүйн тулд ердийн тооцоонд гацахгүйгээр физик, хими эсвэл хэрэглээний хичээлийн бодлогод цувралын нийлбэрийг тооцоолж болно. Эхлэхийн тулд тэд ихэвчлэн хамгийн хялбаршуулсан илэрхийллийг 1/n цувралын нийлбэр хэлбэрээр бичдэг бөгөөд энэ арга нь үндэслэлтэй юм. Пи тоо нь олон тооны тооцооллын үйлдлүүдэд байдаг боловч 1/n^2 цувралын нийлбэр нь гармоник цуваа хязгааргүйд нийлдэг сонгодог жишээ гэж хэлж болно. "Хязгаарлагдмал цувралын нийлбэр" гэсэн илэрхийлэл юу гэсэн үг вэ? Энэ нь яг нийлж, түүний хэсэгчилсэн нийлбэрийн хязгаар нь тодорхой тоон утгатай байна гэсэн үг юм. Хэрэв цувралын нэгдэл нь батлагдсан бөгөөд энэ нь системийн эцсийн тогтвортой байдалд нөлөөлж байвал асуудлын оролтын параметрүүдийг өөрчилж, дахин оролдох боломжтой. Эцэст нь бид танд анх харахад далд мэт боловч амьдрал дээр маш хэрэгтэй зөвлөгөө өгөхийг хүсч байна. Хэдийгээр та цувралыг шийдвэрлэх хангалттай туршлагатай бөгөөд онлайнаар цувралыг шийдвэрлэх ийм үйлчилгээ шаардлагагүй байсан ч бид цувралын нийлбэрийг тодорхойлох замаар цувралын нийлбэрийг олохыг санал болгож байна. Цувралын нийлбэрийг тооцоолохдоо энэ баримтыг санаж байхын тулд сайтыг ашиглан энэ үйлдэлд нэг минут зарцуулаарай. Энэ нь тийм ч их биш байх болно! Математикийн вэбсайтууд дээр цувралын нийлбэрийн талаар маш их бичсэн байдаг; Өнгөрсөн зуунд эрдэмтэд цувралын нийлбэрийг илэрхийлэхийн тулд тэмдэглэгээг хэрхэн ашиглаж байсныг харуулсан олон зураг хавсаргасан болно. Ерөнхийдөө бага зэрэг өөрчлөгдөөгүй ч сонирхолтой зүйл бий. Хэрэв цувралыг онлайнаар нэгтгэх боломжгүй мэт санагдаж байвал оруулсан өгөгдлийг шалгаж, хүсэлтийг тайван давтана уу. Эхлээд цувралын нийтлэг нэр томъёог дахин шалгах нь дээр. Онлайн цувралын шийдэл бүр сайт дээр гарч ирэх болно, та асуудлын хариултыг авахын тулд нэмэлт холбоос дээр дарах шаардлагагүй болно. Мэргэжилтнүүдийн үзэж байгаагаар хамгийн шилдэг нь цуврал шийдвэрлэх тооцоолуур сонгохдоо оюутнуудад илүү их шаардлага тавьдаг. Цувралын нийлбэр нь онлайн үйлчилгээ болох цуврал нийлбэр, өөрөөр хэлбэл төгсгөлтэй нийлбэр байх тухай ойлголтыг агуулдаг. Интеграл ба дериватив гэх мэт үндсэн сэдвүүдийг бүгд хоорондоо нягт уялдаатай учраас энэ хэсгийн хамт оруулав. Хувьсагч нь хязгааргүйд хүрэх хандлагатай байгаа тул 1/n цувралын нийлбэр хэрхэн хуваагддаг талаар бидэнтэй ярилцъя. Гэсэн хэдий ч 1/n ^ 2 гэх мэт цувралын өөр нэг нийлбэр нь эсрэгээрээ нийлж, хязгаарлагдмал тоон илэрхийлэл авна. Хязгаарлагдмал цувралын нийлбэрийг цувралын завсрын хэсэгчилсэн нийлбэр хэлбэрээр аажмаар хувьсагчийг нэгээр, эсвэл нэг дор хэд хэдэн нэгжээр алхам алхмаар нэмэгдүүлэх тохиолдлуудыг судлах нь сонирхолтой юм. Асуудлыг өөрөө шийдсэний дараа бид цувралын нэгдмэл байдлыг онлайнаар шалгахыг зөвлөж байна. Энэ нь сэдвийг нарийвчлан ойлгох, мэдлэгийн түвшинг дээшлүүлэх боломжийг олгоно. Үүнийг хэзээ ч бүү март, бид зөвхөн таны төлөө хичээж байна. Нэг удаа хичээлийн үеэр багш компьютерийн технологийг ашиглан цувралыг онлайнаар хэрхэн шийдвэрлэхийг харуулсан. Энэ нь бүгдэд маш их таалагдсан гэдгийг би хэлэх ёстой. Энэ үйл явдлын дараа тооцоолуур нь математикийн бүх хичээлийн туршид эрэлт хэрэгцээтэй байсан. Үр дүнг харуулах хүсэлт гаргасны дараа хэдхэн секундын дараа цувралын нийлбэрийг онлайн тооцоолуур хэрхэн тооцож байгааг шалгах нь илүүц байх болно. Асуудлыг шийдвэрлэх ахиц дэвшлийг аль чиглэлд чиглүүлэх нь шууд тодорхой болно. Зарим үнэтэй сурах бичгүүдэд цувралын нэгдлийн талаар тийм ч их бичээгүй тул интернетээс нэр хүндтэй эрдэмтдийн хэд хэдэн сайн илтгэлүүдийг татаж аваад тэдний аргыг ашиглан сургалтанд хамрагдсан нь дээр. Үр дүн нь сайн байх болно. Цувралыг шийдвэрлэхдээ нэгдлийн хамгийн эхний шинж тэмдэг, тухайлбал түүний нийтлэг нэр томъёоны хязгаарыг тэглэх хандлагыг үгүйсгэх аргагүй юм. Хэдийгээр энэ нөхцөл хангалттай биш ч үргэлж шаардлагатай байдаг. Шийдвэрлэсэн жишээний бүрэн бүтэн байдал нь цувралын нийлбэрийг сануулгагүйгээр тооцоолсон гэдгийг ойлгох үед оюутанд таатай мэдрэмжийг төрүүлдэг. Сурах бичиг нь таны ур чадварыг практикт ашиглах гарын авлага болох зорилготой юм. Та үзсэн материалаа мартах тусам долоо хоног бүрийн пүрэв гаригт дор хаяж таван минутыг лекц уншихад зориулах хэрэгтэй, эс тэгвээс хичээл эхлэхэд та бүх зүйлийг мартаж, бүр цаашилбал, лекцээ хэрхэн тооцоолохоо мартсан байх болно. цувралын нэгдэл. Нэг удаа эхэлж, дараа нь залхуу байдлаа даван туул. Багш нар 1/n цувралын нийлбэр хэрхэн хуваагдахыг нотлохыг албаддаг нь дэмий хоосон биш юм. Гэхдээ хэрэв эцэст нь 1/n ^ 2 цувралын нийлбэрийг ээлжлэн цуврал болгон үзүүлбэл ямар ч аймшигтай зүйл тохиолдохгүй - эцэст нь үнэмлэхүй цуваа нийлдэг! Мэдээжийн хэрэг, энэ мэргэжлийг бие даан судлах үед хязгаарлагдмал цувралын нийлбэр танд онцгой сонирхолтой байж магадгүй юм. Жишээнүүдийн арслангийн хувийг d'Alembert-ийн аргыг ашиглан шийдэж, цувралын шийдлийг хязгаарыг хөрш зэргэлдээх нөхцлүүдийн харьцаа, тухайлбал дараагийнх нь өмнөхтэй харьцуулсан харьцаагаар тооцдог. Иймд математикийн асуудлыг шийдвэрлэхэд тань амжилт хүсье, хэзээ ч алдаа гаргахгүй байхыг хүсэн ерөөе! Суурь зарчмууд, шинжлэх ухааны салбар хоорондын чиглэлийн талаархи судалгааны санал зөрөлдөөнтэй холбоотой онлайн цувралын шийдэл гэж нэрлэгддэг шийдлийг үндсэн үндэс болгон авч үзье. Бид танд хариултыг олж, цувралын нийлбэрийг хэд хэдэн үндсэн аргаар шийддэг боловч эцэст нь үр дүн нь адилхан гэдгийг танд хэлье. Цувралын нэгдлийн талаархи санаа нь оюутнуудад хариултыг урьдчилан хэлсэн ч гэсэн үргэлж тодорхой байдаггүй, гэхдээ мэдээжийн хэрэг энэ нь тэднийг зөв шийдэл рүү түлхдэг. Математикийн хийсвэрлэл нь хэдийгээр нэгдүгээрт ордог ч онолоор батлагдаж, маргаангүй зарим баримтуудыг цаг алдалгүй нотолж өгдөг. Цувралыг онлайнаар шийдвэрлэхдээ тооны цувааг нэгтгэх онолын үндсэн зарчмуудыг хэрэглэх боломжтой эсвэл хэрэглэх боломжгүй, цувралын нийлбэр нийлбэрийг хялбаршуулсан хувилбараар танилцуулж илүү тааламжтай дүр төрхийг бий болгох зэрэг асуудлыг орхигдуулж болохгүй. Гэхдээ 1/n цувралын нийлбэр нийлэх тохиолдол байдаг бөгөөд бид танд энэ үйл явдалд төвөг учруулахгүй, учир нь та хязгааргүйн тэмдгийн оронд бүхэл тоог орлуулахад л хангалттай бөгөөд дараа нь бүхэл нийлбэр нь буурах болно. энгийн арифметик цуврал. Зохицуулалттай цуврал нь 1/n^2 цувралын нийлбэр бөгөөд дараа нь ямар ч өсгөсөн хүчин чадалтай сүлжээ юм.