Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ ба дэлгэрэнгүй шийдэл. Квадрат тэгшитгэл шийдвэрлэх, язгуур томъёо, жишээ

", өөрөөр хэлбэл, нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлүүд. Энэ хичээл дээр бид үзэх болно үүнийг квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэгмөн үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар.

Квадрат тэгшитгэл гэж юу вэ?

Чухал!

Тэгшитгэлийн зэрэг нь үл мэдэгдэх зүйл байх хамгийн дээд зэргээр тодорхойлогддог.

Хэрэв дээд зэрэг, үүнд үл мэдэгдэх нь "2" бөгөөд энэ нь танд квадрат тэгшитгэлтэй байна гэсэн үг юм.

Квадрат тэгшитгэлийн жишээ

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Чухал!

Квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэр нь дараах байдалтай байна.

• "a", "b", "c" гэсэн тоонууд өгөгдсөн.
• "a" нь эхний буюу хамгийн өндөр коэффициент;
• "b" нь хоёр дахь коэффициент; "в" -.

чөлөөт гишүүн

"a", "b", "c"-ийг олохын тулд та тэгшитгэлээ "ax 2 + bx + c = 0" квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэртэй харьцуулах хэрэгтэй.

• −x 2 + x +
• a = −1
• b = 1

  1

  3

• x 2 + 0.25x = 0
• a = 1
• b = 0.25

• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0
• b = 0

c = -8

Квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ Дургүйшугаман тэгшитгэл квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд тусгай.

үндсийг олох томъёо

Санаж байна уу!

• Квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд танд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно. квадрат тэгшитгэлийг бууруулнаерөнхий дүр төрх
• "сүх 2 + bx + c = 0". Энэ нь баруун талд зөвхөн "0" үлдэх ёстой;

үндэс нь томъёог ашиглах:

Квадрат тэгшитгэлийн үндсийг олохын тулд томъёог хэрхэн ашиглах жишээг харцгаая. Квадрат тэгшитгэлийг шийдье.

X 2 − 3x − 4 = 0 “x 2 − 3x − 4 = 0” тэгшитгэлийг “ax 2 + bx + c = 0” ерөнхий хэлбэрт аль хэдийн багасгасан бөгөөд нэмэлт хялбарчлах шаардлагагүй. Үүнийг шийдэхийн тулд бид өргөдөл гаргахад л хангалттай.

квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох томьёо

x 1;2 =

Үүнийг ямар ч квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно.
“x 1;2 = ” томъёонд радикал илэрхийлэл ихэвчлэн солигддог

"D" үсгийн хувьд "b 2 - 4ac" бөгөөд ялгаварлагч гэж нэрлэдэг. Ялгаварлагчийн тухай ойлголтыг "Ялгаварлагч гэж юу вэ" хичээл дээр илүү дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно.

x 2 + 9 + x = 7x

Энэ хэлбэрээр "a", "b" ба "c" коэффициентийг тодорхойлоход нэлээд хэцүү байдаг. Эхлээд тэгшитгэлийг “ax 2 + bx + c = 0” ерөнхий хэлбэрт оруулъя.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Одоо та үндэст зориулсан томъёог ашиглаж болно.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

Квадрат тэгшитгэл нь үндэсгүй байх тохиолдол байдаг. Үндэс дор байгаа томъёо нь болж хувирах үед ийм нөхцөл байдал үүсдэг сөрөг тоо.

Зүгээр л. Томъёоны дагуу, тодорхой энгийн дүрэм. Эхний шатанд

шаардлагатай өгөгдсөн тэгшитгэлстандарт хэлбэрт хүргэх, i.e. маягт руу:

Хэрэв тэгшитгэлийг энэ хэлбэрээр аль хэдийн өгсөн бол эхний шатыг хийх шаардлагагүй. Хамгийн гол нь үүнийг зөв хийх явдал юм

бүх коэффициентийг тодорхойлох; А, бТэгээд в.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох томъёо.

Үндэс тэмдгийн доорх илэрхийллийг дуудна ялгаварлагч . Таны харж байгаагаар X-г олохын тулд бид

Бидний хэрэглэдэг зөвхөн a, b ба c. Тэдгээр. -аас коэффициентүүд квадрат тэгшитгэл. Зүгээр л болгоомжтой оруулаарай

үнэт зүйлс a, b ба cБид энэ томъёогоор тооцоолно. Бид орлоно тэднийтэмдэг!

Жишээлбэл, тэгшитгэлд:

А =1; б = 3; в = -4.

Бид утгыг орлуулж бичнэ:

Жишээ нь бараг шийдэгдсэн:

Энэ бол хариулт юм.

Хамгийн түгээмэл алдаа бол тэмдгийн утгыг төөрөгдүүлэх явдал юм а, бТэгээд -тай. Өөрөөр хэлбэл, орлуулах замаар

сөрөг утгуудүндсийг тооцоолох томъёонд оруулна. Энд хадгалдаг дэлгэрэнгүй оруулгатомъёо

тодорхой тоогоор. Хэрэв танд тооцоололд асуудал байгаа бол үүнийг хий!

Бид дараах жишээг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё.

Энд а = -6; б = -5; в = -1

Бид бүх зүйлийг нарийвчлан, анхааралтай, бүх тэмдэг, хаалтанд оруулалгүйгээр дүрсэлсэн болно.

Квадрат тэгшитгэл нь ихэвчлэн арай өөр харагддаг. Жишээлбэл, иймэрхүү:

Одоо алдааны тоог эрс багасгадаг практик аргуудыг анхаарч үзээрэй.

Эхний уулзалт. Өмнө нь битгий залхуу бай квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхстандарт хэлбэрт оруулах.

Энэ юу гэсэн үг вэ?

Бүх хувиргалтын дараа та дараах тэгшитгэлийг авна гэж бодъё.

Үндэс томъёог бичих гэж бүү яар! Та магадлалыг бараг л хольж хутгана a, b ба c.

Жишээг зөв зохио. Эхлээд X квадрат, дараа нь квадратгүй, дараа нь чөлөөт гишүүн. Үүн шиг:

Хасах зүйлээс сал. Хэрхэн? Бид бүхэл тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлэх хэрэгтэй. Бид авах:

Харин одоо та үндэсийн томъёог аюулгүй бичиж, ялгаварлагчийг тооцоолж, жишээг шийдэж дуусгах боломжтой.

Өөрийнхөө төлөө шийд. Та одоо 2 ба -1 үндэстэй байх ёстой.

Хоёр дахь хүлээн авалт.Үндэсийг шалгана уу! By Вьетагийн теорем.

Өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд, өөрөөр хэлбэл. коэффициент бол

x 2 +bx+c=0,

Дараа ньx 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−б

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийн хувьд a≠1:

x 2 +бx+в=0,

тэгшитгэлийг бүхэлд нь хуваана Х:

→ →

Хаана x 1Тэгээд x 2 - тэгшитгэлийн үндэс.

Гурав дахь хүлээн авалт. Хэрэв таны тэгшитгэл байгаа бол бутархай магадлал, - бутархай хэсгүүдээс сал! Үржүүлэх

нийтлэг хуваагчтай тэгшитгэл.

Дүгнэлт. Практик зөвлөгөө:

1. Шийдвэрлэхийн өмнө квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрт оруулж, байгуулна Зөв.

2. Хэрвээ X квадратын өмнө сөрөг коэффициент байгаа бол бид бүгдийг үржүүлж хасна

тэгшитгэл -1.

3. Хэрэв коэффициентүүд нь бутархай бол бид бүхэл тэгшитгэлийг харгалзах тоогоор үржүүлж бутархайг арилгана.

хүчин зүйл.

4. Хэрэв x квадрат нь цэвэр бол түүний коэффициент нэгтэй тэнцүү, шийдлийг хялбархан шалгаж болно

Энэ өгүүллийг судалсны дараа та бүрэн квадрат тэгшитгэлийн үндсийг хэрхэн олохыг сурах болно гэж найдаж байна.

Дискриминантыг ашиглан бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд зөвхөн бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийддэг бөгөөд үүнийг "Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" нийтлэлээс олох болно.

Ямар квадрат тэгшитгэлийг бүрэн гэж нэрлэдэг вэ? Энэ ax 2 + b x + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл, a, b ба c коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү биш байна. Тиймээс бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид D дискриминантыг тооцоолох хэрэгтэй.

D = b 2 – 4ac.

Ялгаварлагчийн үнэ цэнээс хамааран бид хариултыг бичнэ.

Хэрэв ялгаварлагч нь сөрөг тоо бол (D< 0),то корней нет.

Хэрэв ялгаварлагч бол тэгтэй тэнцүү, тэгвэл x = (-b)/2a. Дискриминант нь эерэг тоо байх үед (D > 0)

дараа нь x 1 = (-b - √D)/2a, мөн x 2 = (-b + √D)/2a.

Жишээлбэл. Тэгшитгэлийг шийд x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Хариулт: 2.

2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Хариулт: үндэс байхгүй.

2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Хариулт: – 3.5; 1.

Тиймээс 1-р зураг дээрх диаграммыг ашиглан бүрэн квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг төсөөлцгөөе.

Эдгээр томъёог ашигласнаар та ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадна. Та зүгээр л болгоомжтой байх хэрэгтэй тэгшитгэлийг олон гишүүнт хэлбэрээр бичсэн стандарт харагдах байдал

А x 2 + bx + c,тэгэхгүй бол та алдаа гаргаж магадгүй. Жишээлбэл, x + 3 + 2x 2 = 0 тэгшитгэлийг бичихдээ та андуурч болно.

a = 1, b = 3 ба c = 2. Дараа нь

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ба тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. Мөн энэ нь үнэн биш юм. (Дээрх жишээ 2-ын шийдлийг үзнэ үү).

Тиймээс, хэрэв тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичээгүй бол эхлээд бүрэн квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт (моном гишүүн) болгон бичих ёстой. хамгийн өндөр үзүүлэлтградус, өөрөөр хэлбэл А x 2 , дараа нь бага – bxдараа нь үнэгүй гишүүн болно -тай.

Хоёр дахь гишүүнд бууруулсан квадрат тэгшитгэл ба тэгш коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бусад томъёог ашиглаж болно. Эдгээр томьёотой танилцацгаая. Хэрэв бүрэн квадрат тэгшитгэлийн хоёр дахь гишүүн дэх коэффициент нь тэгш (b = 2k) байвал та 2-р зураг дээрх диаграммд өгөгдсөн томъёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж болно.

Коэффицент нь -д байвал бүрэн квадрат тэгшитгэлийг багасгасан гэж нэрлэдэг x 2 нэгтэй тэнцүү байх ба тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна x 2 + px + q = 0. Ийм тэгшитгэлийг шийдэлд өгч болно, эсвэл тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг коэффициентэд хуваах замаар олж авч болно. А, дээр зогсож байна x 2 .

Зураг 3-т багасгасан квадратыг шийдэх диаграммыг үзүүлэв
тэгшитгэл. Энэ нийтлэлд авч үзсэн томъёоны хэрэглээний жишээг авч үзье.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Зураг 1-ийн диаграммд үзүүлсэн томьёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг шийдье.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))/6 = –1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3

Энэ тэгшитгэлд x-ийн коэффициент байгааг та анзаарч болно тэгш тоо, өөрөөр хэлбэл b = 6 эсвэл b = 2k, үүнээс k = 3. Дараа нь D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 зургийн диаграммд өгөгдсөн томьёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж үзье. = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3))/3 = – 1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3. Энэ квадрат тэгшитгэлийн бүх коэффициентүүд 3-т хуваагддаг болохыг анзаарч, хуваахдаа бид x 2 + 2x – 2 = 0 багасгасан квадрат тэгшитгэлийг олж авна.
тэгшитгэл зураг 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3))/2 = – 1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3.

Бидний харж байгаагаар энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед янз бүрийн томъёоБид ижил хариултыг авсан. Тиймээс 1-р зурагт үзүүлсэн томьёог сайтар эзэмшсэнээр та ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжтой болно.

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Энэ өгүүллийг судалсны дараа та бүрэн квадрат тэгшитгэлийн үндсийг хэрхэн олохыг сурах болно гэж найдаж байна.

Дискриминантыг ашиглан бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд зөвхөн бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийддэг бөгөөд үүнийг "Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" нийтлэлээс олох болно.

Ямар квадрат тэгшитгэлийг бүрэн гэж нэрлэдэг вэ? Энэ ax 2 + b x + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл, a, b ба c коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү биш байна. Тиймээс бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид D дискриминантыг тооцоолох хэрэгтэй.

D = b 2 – 4ac.

Ялгаварлагчийн үнэ цэнээс хамааран бид хариултыг бичнэ.

Хэрэв ялгаварлагч нь сөрөг тоо бол (D< 0),то корней нет.

Дискриминант нь тэг бол x = (-b)/2a. Дискриминант нь эерэг тоо байх үед (D > 0)

дараа нь x 1 = (-b - √D)/2a, мөн x 2 = (-b + √D)/2a.

Жишээлбэл. Тэгшитгэлийг шийд x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Хариулт: 2.

2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Хариулт: үндэс байхгүй.

2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Хариулт: – 3.5; 1.

Тиймээс 1-р зураг дээрх диаграммыг ашиглан бүрэн квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг төсөөлцгөөе.

Эдгээр томъёог ашигласнаар та ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадна. Та зүгээр л болгоомжтой байх хэрэгтэй тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичсэн

А x 2 + bx + c,тэгэхгүй бол та алдаа гаргаж магадгүй. Жишээлбэл, x + 3 + 2x 2 = 0 тэгшитгэлийг бичихдээ та андуурч болно.

a = 1, b = 3 ба c = 2. Дараа нь

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ба тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. Мөн энэ нь үнэн биш юм. (Дээрх жишээ 2-ын шийдлийг үзнэ үү).

Тиймээс, хэрэв тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичээгүй бол эхлээд бүрэн квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичих ёстой (хамгийн том илтгэгчтэй мономиал эхлээд байх ёстой, өөрөөр хэлбэл А x 2 , дараа нь бага – bxдараа нь үнэгүй гишүүн болно -тай.

Хоёр дахь гишүүнд бууруулсан квадрат тэгшитгэл ба тэгш коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бусад томъёог ашиглаж болно. Эдгээр томьёотой танилцацгаая. Хэрэв бүрэн квадрат тэгшитгэлийн хоёр дахь гишүүн дэх коэффициент нь тэгш (b = 2k) байвал та 2-р зураг дээрх диаграммд өгөгдсөн томъёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж болно.

Коэффицент нь -д байвал бүрэн квадрат тэгшитгэлийг багасгасан гэж нэрлэдэг x 2 нэгтэй тэнцүү байх ба тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна x 2 + px + q = 0. Ийм тэгшитгэлийг шийдэлд өгч болно, эсвэл тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг коэффициентэд хуваах замаар олж авч болно. А, дээр зогсож байна x 2 .

Зураг 3-т багасгасан квадратыг шийдэх диаграммыг үзүүлэв
тэгшитгэл. Энэ нийтлэлд авч үзсэн томъёоны хэрэглээний жишээг авч үзье.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Зураг 1-ийн диаграммд үзүүлсэн томьёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг шийдье.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))/6 = –1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3

Энэ тэгшитгэлийн х-ийн коэффициент нь тэгш тоо гэдгийг анзаарч болно, өөрөөр хэлбэл b = 6 эсвэл b = 2k, үүнээс k = 3. Дараа нь D зургийн диаграммд үзүүлсэн томъёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж үзье. 1 = 3 2 – 3 (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3))/3 = – 1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3. Энэ квадрат тэгшитгэлийн бүх коэффициентүүд 3-т хуваагддаг болохыг анзаарч, хуваахдаа бид x 2 + 2x – 2 = 0 багасгасан квадрат тэгшитгэлийг олж авна.
тэгшитгэл зураг 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3))/2 = – 1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3.

Таны харж байгаагаар энэ тэгшитгэлийг янз бүрийн томьёо ашиглан шийдвэрлэхэд бид ижил хариултыг авсан. Тиймээс 1-р зурагт үзүүлсэн томьёог сайтар эзэмшсэнээр та ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжтой болно.

blog.site, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.

Квадрат тэгшитгэлТэд үүнийг 8-р ангид сурдаг тул энд төвөгтэй зүйл байхгүй. Тэдгээрийг шийдвэрлэх чадвар нь зайлшгүй шаардлагатай.

Квадрат тэгшитгэл нь ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл бөгөөд a, b, c коэффициентүүд нь дурын тоо, мөн a ≠ 0.

Тодорхой шийдлийн аргуудыг судлахын өмнө бүх квадрат тэгшитгэлийг гурван ангилалд хувааж болохыг анхаарна уу.

1. Үндэсгүй байх;
2. Яг нэг үндэстэй байх;
3. Тэд хоёр өөр үндэстэй.

Энэ бол чухал ялгааязгуур нь үргэлж байдаг, өвөрмөц байдаг шугаман тэгшитгэлээс квадрат тэгшитгэлүүд. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй болохыг хэрхэн тодорхойлох вэ? Үүнд гайхалтай зүйл бий - ялгаварлагч.

Ялгаварлан гадуурхагч

ax 2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийг өгье. Дараа нь дискриминант нь D = b 2 − 4ac тоо болно.

Та энэ томъёог цээжээр мэдэх хэрэгтэй. Энэ нь хаанаас ирсэн нь одоо чухал биш. Өөр нэг чухал зүйл бол ялгаварлагчийн тэмдгээр квадрат тэгшитгэл хэдэн үндэстэй болохыг тодорхойлох боломжтой. Тухайлбал:

1. Хэрэв Д< 0, корней нет;
2. Хэрэв D = 0 бол яг нэг үндэс байна;
3. Хэрэв D > 0 бол хоёр үндэс байх болно.

Анхаарна уу: ялгаварлан гадуурхагч нь ямар нэг шалтгааны улмаас олон хүн итгэдэг тул тэдгээрийн шинж тэмдгүүдийн тоог огт илэрхийлдэггүй. Жишээнүүдийг харвал та өөрөө бүх зүйлийг ойлгох болно:

Даалгавар. Квадрат тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5х 2 + 3х + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Эхний тэгшитгэлийн коэффициентийг бичээд ялгагчийг олъё.
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Тэгэхээр дискриминант эерэг тул тэгшитгэл нь хоёр өөр үндэстэй. Бид хоёр дахь тэгшитгэлийг ижил төстэй байдлаар шинжилдэг.
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Ялгаварлан гадуурхагч нь сөрөг, үндэс байхгүй. Хамгийн сүүлд үлдсэн тэгшитгэл нь:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Ялгаварлагч нь тэг - үндэс нь нэг байх болно.

Коэффициентийг тэгшитгэл тус бүрээр бичсэн болохыг анхаарна уу. Тийм ээ, энэ нь урт, тийм ээ, уйтгартай, гэхдээ та боломжоо хольж, тэнэг алдаа гаргахгүй. Өөртөө зориулж сонгох: хурд эсвэл чанар.

Дашрамд хэлэхэд, хэрэв та үүнийг ойлговол хэсэг хугацааны дараа бүх коэффициентийг бичих шаардлагагүй болно. Та толгой дээрээ ийм үйлдлүүдийг хийх болно. Ихэнх хүмүүс үүнийг 50-70 шийдэгдсэн тэгшитгэлийн дараа хаа нэгтээ хийж эхэлдэг - ерөнхийдөө тийм ч их биш.

Квадрат тэгшитгэлийн үндэс

Одоо шийдэл рүүгээ шилжье. Дискриминант D > 0 бол үндсийг дараах томъёогоор олно.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын үндсэн томъёо

D = 0 үед та эдгээр томъёоны аль нэгийг ашиглаж болно - та ижил тоог авах бөгөөд энэ нь хариулт болно. Эцэст нь хэрэв Д< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Эхний тэгшитгэл:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй. Тэднийг олцгооё:

Хоёр дахь тэгшитгэл:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ тэгшитгэл дахин хоёр үндэстэй. Тэднийг олъё

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \баруун))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \баруун))=3. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Эцэст нь гурав дахь тэгшитгэл:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ тэгшитгэл нь нэг үндэстэй. Ямар ч томьёог ашиглаж болно. Жишээлбэл, эхнийх нь:

Жишээнүүдээс харахад бүх зүйл маш энгийн. Хэрэв та томьёо мэддэг, тоолж чаддаг бол ямар ч асуудал гарахгүй. Ихэнхдээ сөрөг коэффициентийг томъёонд орлуулах үед алдаа гардаг. Дахин хэлэхэд, дээр дурдсан техник нь туслах болно: томъёог шууд утгаар нь харж, алхам бүрийг бичээрэй - тун удахгүй та алдаанаасаа салах болно.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл

Квадрат тэгшитгэл нь тодорхойлолтод өгөгдсөнөөс арай өөр байх тохиолдол гардаг. Жишээлбэл:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Эдгээр тэгшитгэлд нэр томъёоны аль нэг нь дутуу байгааг анзаарахад хялбар байдаг. Ийм квадрат тэгшитгэлийг шийдэх нь стандарт тэгшитгэлээс илүү хялбар байдаг: тэд ялгаварлагчийг тооцоолох шаардлагагүй. Ингээд шинэ ойлголтыг танилцуулъя:

ax 2 + bx + c = 0 тэгшитгэлийг b = 0 эсвэл c = 0 бол бүрэн бус квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл. хувьсагч х буюу чөлөөт элементийн коэффициент тэгтэй тэнцүү байна.

Мэдээжийн хэрэг, эдгээр хоёр коэффициент хоёулаа тэгтэй тэнцүү байх үед маш хэцүү тохиолдол гарч болзошгүй: b = c = 0. Энэ тохиолдолд тэгшитгэл нь ax 2 = 0 хэлбэртэй байна. Ийм тэгшитгэл нь нэг язгууртай нь ойлгомжтой: x = 0.

Үлдсэн тохиолдлуудыг авч үзье. b = 0 гэж бодвол ax 2 + c = 0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл гарна. Үүнийг бага зэрэг хувиргая:

Арифметикээс хойш Квадрат язгуур-аас л байдаг сөрөг бус тоо, сүүлчийн тэгшитгэл нь зөвхөн (−c /a) ≥ 0-д утга учиртай. Дүгнэлт:

1. ax 2 + c = 0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлд (−c /a) ≥ 0 тэгш бус байдал хангагдсан бол хоёр үндэстэй болно. Томъёог дээр дурдсан болно;
2. Хэрэв (−c /a)< 0, корней нет.

Таны харж байгаагаар дискриминант шаардлагагүй байсан - бүрэн бус квадрат тэгшитгэлд байхгүй байна. нарийн төвөгтэй тооцоо. Үнэн хэрэгтээ (−c /a) ≥ 0 тэгш бус байдлыг санах ч шаардлагагүй. x 2 утгыг илэрхийлж, тэнцүү тэмдгийн нөгөө талд юу байгааг харахад хангалттай. Хэрэв эерэг тоо байвал хоёр үндэстэй болно. Хэрэв энэ нь сөрөг байвал үндэс байхгүй болно.

Одоо чөлөөт элемент нь тэгтэй тэнцүү ax 2 + bx = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлүүдийг харцгаая. Энд бүх зүйл энгийн: үргэлж хоёр үндэс байх болно. Олон гишүүнтийг хүчинжүүлэхэд хангалттай:

Хүчин зүйлийн ядаж нэг нь тэг байх үед бүтээгдэхүүн нь тэг болно. Үндэс нь эндээс гардаг. Эцэст нь хэлэхэд, эдгээр тэгшитгэлийн заримыг харцгаая.

Даалгавар. Квадрат тэгшитгэлийг шийд:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5х 2 + 30 = 0;
3. 4х 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Үндэс байхгүй, учир нь квадрат нь сөрөг тоотой тэнцүү байж болохгүй.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5.