Шийдэл бутархай рационал тэгшитгэл
Лавлах гарын авлага
Рационал тэгшитгэл нь баруун ба зүүн тал хоёулаа оновчтой илэрхийлэл болох тэгшитгэл юм.
(Санамж: рационал илэрхийлэл нь нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах үйлдлүүд багтсан радикалгүй бүхэл ба бутархай илэрхийллүүд - жишээлбэл: 6x; (m – n)2; x/3y гэх мэт)
Бутархай рационал тэгшитгэлийг ихэвчлэн дараах хэлбэрт оруулдаг.
Хаана П(x) Мөн Q(x) олон гишүүнт байна.
Ийм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг Q(x)-ээр үржүүлснээр харагдах байдал гарч болно. гадны үндэс. Тиймээс бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ олсон үндсийг шалгах шаардлагатай.
Рационал тэгшитгэл нь хувьсагч агуулсан илэрхийлэлд хуваагдаагүй бол бүхэл буюу алгебрийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг.
Бүхэл бүтэн рационал тэгшитгэлийн жишээ:
5x – 10 = 3(10 – x)
3x
- = 2х - 10
4
Хэрэв рационал тэгшитгэлд хувьсагч (х) агуулсан илэрхийлэлд хуваагдсан бол тэгшитгэлийг бутархай рационал гэж нэрлэдэг.
Бутархай рационал тэгшитгэлийн жишээ:
15
x + - = 5x – 17
x
Бутархай рационал тэгшитгэлийг ихэвчлэн дараах байдлаар шийддэг.
1) олох Ерөнхий хуваарьбутархай ба тэгшитгэлийн хоёр талыг түүгээр үржүүлэх;
2) үүссэн бүхэл тэгшитгэлийг шийдэх;
3) бутархайн нийтлэг хуваагчийг тэг болгон бууруулж буйг үндэснээс нь хасна.
Бүхэл ба бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ.
Жишээ 1. Тэгшитгэлийг бүхэлд нь шийдье
x - 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6
Шийдэл:
Хамгийн бага нийтлэг хуваагчийг олох. Энэ нь 6. 6-г хуваагчаар хувааж, гарсан үр дүнг бутархай бүрийн хүртэгчээр үржүүлнэ. Бид үүнтэй тэнцэх тэгшитгэлийг олж авна:
3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6
Зүүн талд болон зөв хэсгүүд ижил хуваагч, үүнийг орхигдуулж болно. Дараа нь бид илүү энгийн тэгшитгэлийг олж авна.
3(x – 1) + 4x = 5x.
Бид үүнийг хаалтуудыг онгойлгож, нэгтгэх замаар шийддэг ижил төстэй гишүүд:
3x – 3 + 4x = 5x
3x + 4x - 5x = 3
Жишээ нь шийдэгдсэн.
Жишээ 2. Бутархай рационал тэгшитгэлийг шийд
x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)
Нийтлэг хуваагчийг олох. Энэ нь x(x – 5) юм. Тэгэхээр:
x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)
Одоо бид хуваагчаас дахин салж байна, учир нь энэ нь бүх илэрхийлэлд ижил байдаг. Бид ижил төстэй нэр томъёог багасгаж, тэгшитгэлийг тэгтэй тэнцүүлж, авна квадрат тэгшитгэл:
x 2 – 3x + x – 5 = x + 5
x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0
x 2 – 3x – 10 = 0.
Квадрат тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид түүний үндсийг олно: -2 ба 5.
Эдгээр тоонууд нь анхны тэгшитгэлийн үндэс мөн эсэхийг шалгацгаая.
x = –2 үед x(x – 5) нийтлэг хуваагч арилдаггүй. Энэ нь -2 нь анхны тэгшитгэлийн үндэс гэсэн үг.
x = 5 үед нийтлэг хуваагч тэг болж, гурван илэрхийллийн хоёр нь утгагүй болно. Энэ нь 5 тоо нь анхны тэгшитгэлийн үндэс биш гэсэн үг юм.
Хариулт: x = –2
Илүү олон жишээ
Жишээ 1.
x 1 =6, x 2 = - 2.2.
Хариулт: -2,2;6.
Жишээ 2.
Бид квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар аль хэдийн сурсан. Одоо судлагдсан аргуудыг рационал тэгшитгэлд өргөжүүлье.
Рационал илэрхийлэл гэж юу вэ? Бид энэ ойлголттой аль хэдийн тулгарсан. Рационал илэрхийллүүдтоо, хувьсагч, тэдгээрийн хүч, математик үйлдлүүдийн тэмдэгтээс бүрдэх илэрхийлэл юм.
Үүний дагуу оновчтой тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийн тэгшитгэл юм: , энд 
- оновчтой илэрхийллүүд.
Өмнө нь бид зөвхөн шугаман болгон бууруулж болох оновчтой тэгшитгэлүүдийг авч үзсэн. Одоо квадрат тэгшитгэл болгон бууруулж болох эдгээр рационал тэгшитгэлүүдийг харцгаая.
Жишээ 1
Тэгшитгэлийг шийд: .
Шийдэл:
Бутархай нь 0-тэй тэнцүү бөгөөд зөвхөн хуваагч нь 0, хуваагч нь 0-тэй тэнцүү биш байна.
Бид дараах системийг авна.
Системийн эхний тэгшитгэл нь квадрат тэгшитгэл юм. Үүнийг шийдэхийн өмнө түүний бүх коэффициентийг 3-т хуваая. Бид дараахь зүйлийг авна.
Бид хоёр үндэс авдаг: ; .
2 нь хэзээ ч 0-тэй тэнцдэггүй тул хоёр нөхцөл хангагдсан байх ёстой. 
. Дээрх тэгшитгэлийн язгууруудын аль нь ч давхцахгүй тул хүчингүй утгуудХоёрдахь тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх замаар олж авсан хувьсагчид хоёулаа шийдэл юм өгөгдсөн тэгшитгэл.
Хариулт:.
Тиймээс, оновчтой тэгшитгэлийг шийдэх алгоритмыг томъёолъё.
1. Бүх нөхцөлийг дараах руу шилжүүлэх зүүн тал, ингэснээр баруун тал нь 0 болж хувирна.
2. Зүүн талыг хувиргаж, хялбарчилж, бүх бутархайг нийтлэг хуваагч руу аваач.
3. Үүссэн бутархайг 0-тэй тэнцүүл, by дараах алгоритмын дагуу: 
.
4. Эхний тэгшитгэлд олж авсан язгууруудыг бичээд хариултын хоёр дахь тэгш бус байдлыг ханга.
Өөр нэг жишээг харцгаая.
Жишээ 2
Тэгшитгэлийг шийд: 
.
Шийдэл
Хамгийн эхэнд бүх нэр томьёо руу шилжье зүүн тал, ингэснээр 0 нь баруун талд үлдэх болно.
Одоо тэгшитгэлийн зүүн талыг нийтлэг хуваагч руу авъя:
Энэ тэгшитгэл нь системтэй тэнцүү байна:
Системийн эхний тэгшитгэл нь квадрат тэгшитгэл юм.
Энэ тэгшитгэлийн коэффициентүүд: . Бид ялгаварлагчийг тооцоолно:
Бид хоёр үндэс авдаг: ; .
Одоо хоёр дахь тэгш бус байдлыг шийдье: хүчин зүйлүүдийн үржвэр нь 0-тэй тэнцүү биш, хэрэв хүчин зүйлүүдийн аль нь ч 0-тэй тэнцүү биш бол.
Хоёр нөхцөл хангагдсан байх ёстой: 
. Эхний тэгшитгэлийн хоёр үндэсээс зөвхөн нэг нь тохиромжтой - 3.
Хариулт:.
Энэ хичээлээр бид рационал илэрхийлэл гэж юу байдгийг санаж, мөн квадрат тэгшитгэл болгон бууруулдаг рационал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурсан.
Дараагийн хичээлээр бид рационал тэгшитгэлийг загвар болгон авч үзэх болно бодит нөхцөл байдал, мөн түүнчлэн хөдөлгөөний даалгавруудыг авч үзье.
Ном зүй
- Башмаков М.И. Алгебр, 8-р анги. - М.: Боловсрол, 2004 он.
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. болон бусад Алгебр, 8. 5-р хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2010 он.
- Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебр, 8-р анги. зориулсан заавар боловсролын байгууллагууд. - М.: Боловсрол, 2006 он.
- Баяр наадам сурган хүмүүжүүлэх санаа "Олон нийтийн хичээл" ().
- School.xvatit.com ().
- Rudocs.exdat.com ().
Гэрийн даалгавар
Бүхэл бүтэн илэрхийлэл нь математик илэрхийлэл, нэмэх, хасах, үржүүлэх үйлдлүүдийг ашиглан тоо болон цагаан толгойн үсгийн хувьсагчаас бүрдэнэ. Бүхэл тоонд тэгээс бусад тоонд хуваагдах илэрхийлэл багтана.
Бутархай рационал илэрхийллийн тухай ойлголт
Бутархай илэрхийлэл гэдэг нь тоо, үсгийн хувьсагчтай хийх нэмэх, хасах, үржүүлэх, тэгтэй тэнцүү биш тоонд хуваах үйлдлээс гадна үсэг хувьсагчтай илэрхийлэлд хуваахыг агуулсан математик илэрхийлэл юм.
Рационал илэрхийлэл нь бүхэл бүтэн ба бутархай илэрхийлэл юм. Рационал тэгшитгэл нь баруун ба зүүн тал нь оновчтой илэрхийлэл байдаг тэгшитгэл юм. Хэрэв рационал тэгшитгэлийн зүүн ба баруун тал нь бүхэл тоон илэрхийлэл бол ийм оновчтой тэгшитгэлийг бүхэл тоо гэнэ.
Хэрэв оновчтой тэгшитгэлд зүүн эсвэл баруун тал нь байвал бутархай илэрхийллүүд, тэгвэл ийм рационал тэгшитгэлийг бутархай гэж нэрлэдэг.
Бутархай рационал илэрхийллийн жишээ
1. x-3/x = -6*x+19
2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)
3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))
Бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдэх схем
1. Тэгшитгэлд орсон бүх бутархайн нийтлэг хуваагчийг ол.
2. Тэгшитгэлийн хоёр талыг нийтлэг хуваагчаар үржүүл.
3. Үүссэн бүхэл тэгшитгэлийг шийд.
4. Үндэсийг шалгаж, нийтлэг хуваагчийг арилгадаг хүмүүсийг хас.
Бид бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдэж байгаа тул бутархайн хуваагчдад хувьсагч байх болно. Энэ нь тэд нийтлэг байх болно гэсэн үг юм. Алгоритмын хоёр дахь цэг дээр бид нийтлэг хуваагчаар үржүүлбэл гаднах үндэс гарч ирж магадгүй юм. Энэ үед нийтлэг хуваагч нь тэгтэй тэнцүү байх бөгөөд энэ нь түүнийг үржүүлэх нь утгагүй болно гэсэн үг юм. Тиймээс, эцэст нь олж авсан үндсийг шалгах шаардлагатай.
Нэг жишээг харцгаая:
Бутархай рационал тэгшитгэлийг шийд: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).
Бид тууштай байх болно ерөнхий схем: Эхлээд бүх бутархайн нийтлэг хуваагчийг олъё. Бид x*(x-5) авна.
Бутархай бүрийг нийтлэг хуваагчаар үржүүлж, үүссэн бүхэл тэгшитгэлийг бичнэ.
(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/х * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);
Үүссэн тэгшитгэлийг хялбаршуулж үзье. Бид авах:
x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;
Бид энгийн багасгасан квадрат тэгшитгэлийг авдаг. Бид үүнийг аль нэгээр нь шийддэг мэдэгдэж байгаа аргууд, бид x=-2 ба x=5 үндсийг авна.
Одоо бид олж авсан шийдлүүдийг шалгана уу:
Нийтлэг хуваарьт -2 ба 5 тоог орлуулна. x=-2 үед x*(x-5) нийтлэг хуваагч арилахгүй, -2*(-2-5)=14. Энэ нь -2 тоо нь анхны бутархай рационал тэгшитгэлийн үндэс болно гэсэн үг юм.
x=5 үед x*(x-5) нийтлэг хуваагч болно тэгтэй тэнцүү. Тиймээс энэ тоо нь анхны бутархай рационал тэгшитгэлийн үндэс биш, учир нь тэгээр хуваагдах болно.
Бид дээрх тэгшитгэлийг § 7-д оруулсан. Эхлээд рационал илэрхийлэл гэж юу байдгийг эргэн санацгаая. Энэ - алгебрийн илэрхийлэл, натурал илтгэгчтэй нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, илтгэх үйлдлүүдийг ашиглан тоо болон х хувьсагчаас бүрдэнэ.
Хэрэв r(x) нь рационал илэрхийлэл бол r(x) = 0 тэгшитгэлийг рационал тэгшитгэл гэнэ.
Гэсэн хэдий ч бодит байдал дээр "рационал тэгшитгэл" гэсэн нэр томъёоны арай илүү өргөн тайлбарыг ашиглах нь илүү тохиромжтой: энэ нь h(x) = q(x) хэлбэрийн тэгшитгэл бөгөөд h(x) ба q(x) нь энд байна. оновчтой илэрхийллүүд.
Өнөөг хүртэл бид ямар ч оновчтой тэгшитгэлийг шийдэж чадахгүй байсан бөгөөд зөвхөн нэг л тэгшитгэлийг янз бүрийн хувиргалт, үндэслэлийн үр дүнд бууруулсан байна. шугаман тэгшитгэл. Одоо бидний чадвар илүү их байна: бид зөвхөн шугаман биш харин буурдаг оновчтой тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжтой болно.
mu, гэхдээ бас квадрат тэгшитгэлд.
Өмнө нь рационал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж байсныг эргэн санаж, шийдлийн алгоритмыг томъёолохыг хичээцгээе.
Жишээ 1.Тэгшитгэлийг шийд
Шийдэл. Тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье
Энэ тохиолдолд бид ердийнхөөрөө A = B ба A - B = 0 тэгшитгэлүүд нь A ба B хоорондын ижил хамаарлыг илэрхийлдэг давуу талыг ашигладаг. Энэ нь томьёог тэгшитгэлийн зүүн талд шилжүүлэх боломжийг бидэнд олгосон. эсрэг тэмдэг.
Тэгшитгэлийн зүүн талыг хувиргацгаая. Бидэнд байгаа
Тэгш байдлын нөхцлийг эргэн санацгаая бутархайтэг: зөвхөн хоёр харилцаа нэгэн зэрэг хангагдсан тохиолдолд:
1) бутархайн тоо нь тэг (a = 0); 2) бутархайн хуваагч тэгээс ялгаатай).
(1) тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа бутархайн тоог тэгтэй тэнцүүлж, бид олж авна.
Дээр дурдсан хоёр дахь нөхцлийн биелэлтийг шалгахад л үлддэг. (1) тэгшитгэлийн хамаарал нь . x 1 = 2 ба x 2 = 0.6 утгууд нь заасан хамаарлыг хангаж байгаа тул (1) тэгшитгэлийн үндэс болж, өгөгдсөн тэгшитгэлийн үндэс болно.
1) Тэгшитгэлийг хэлбэрт шилжүүлье
2) Энэ тэгшитгэлийн зүүн талыг хувиргацгаая.
(тоологч дахь тэмдгүүдийг нэгэн зэрэг өөрчилсөн ба
бутархай).
Тиймээс, өгөгдсөн тэгшитгэлхэлбэрийг авдаг
3) x 2 - 6x + 8 = 0 тэгшитгэлийг шийд. Ол
4) Олдсон утгуудын хувьд нөхцөлийн биелэлтийг шалгана уу 
. 4-ийн тоо энэ нөхцлийг хангаж байгаа боловч 2-ын тоо тийм биш юм. Энэ нь 4 нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн үндэс, 2 нь гадны үндэс гэсэн үг юм.
ХАРИУЛТ: 4.
2. Шинэ хувьсагч оруулах замаар рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга нь бид үүнийг нэгээс олон удаа ашиглаж байсан. Үүнийг рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглаж байгааг жишээгээр харуулъя.
Жишээ 3. x 4 + x 2 - 20 = 0 тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл. y = x 2 шинэ хувьсагчийг танилцуулъя. x 4 = (x 2) 2 = y 2 тул өгөгдсөн тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
y 2 + y - 20 = 0.
Энэ бол квадрат тэгшитгэл бөгөөд түүний үндэсийг мэдэгдэж байгаа ашиглан олж болно томъёо; бид y 1 = 4, y 2 = - 5-ыг авна.
Гэхдээ y = x 2, энэ нь асуудлыг хоёр тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд бууруулсан гэсэн үг юм.
x 2 =4; x 2 = -5.
Эхний тэгшитгэлээс бид хоёр дахь тэгшитгэл нь үндэсгүй болохыг олж мэдэв.
Хариулт: .
ax 4 + bx 2 + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг биквадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг ("bi" нь хоёр, өөрөөр хэлбэл нэг төрлийн "давхар квадрат" тэгшитгэл). Сая шийдсэн тэгшитгэл нь яг биквадрат байсан. Ямар ч биквадрат тэгшитгэл 3-р жишээн дээрх тэгшитгэлийн нэгэн адил шийдэгдэнэ: y = x 2 шинэ хувьсагчийг оруулж, үүссэн квадрат тэгшитгэлийг у хувьсагчтай холбож шийдэж, дараа нь x хувьсагч руу буцна.
Жишээ 4.Тэгшитгэлийг шийд
Шийдэл. Энд нэг x 2 + 3x илэрхийлэл хоёр удаа гарч байгааг анхаарна уу. Энэ нь y = x 2 + 3x шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх нь утга учиртай гэсэн үг юм. Энэ нь бидэнд тэгшитгэлийг илүү энгийн бөгөөд тааламжтай хэлбэрээр дахин бичих боломжийг олгоно (үнэндээ энэ нь шинэ хувилбарыг нэвтрүүлэх зорилго юм. хувьсагч- мөн бичлэгийг хялбарчлах
илүү тодорхой болж, тэгшитгэлийн бүтэц илүү тодорхой болно):
Одоо оновчтой тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмыг ашиглая.
1) Тэгшитгэлийн бүх нөхцөлийг нэг хэсэг болгон шилжүүлье:
= 0
2) Тэгшитгэлийн зүүн талыг хувирга
Тиймээс бид өгөгдсөн тэгшитгэлийг хэлбэрт шилжүүлэв
3) Тэгшитгэлээс - 7y 2 + 29y -4 = 0-ийг бид оллоо (та бид хоёр маш олон квадрат тэгшитгэлийг шийдсэн тул сурах бичигт үргэлж нарийвчилсан тооцоолол өгөх нь үнэ цэнэтэй зүйл биш байж магадгүй юм).
4) Олдсон үндсийг 5 (y - 3) (y + 1) нөхцөлийг ашиглан шалгая. Хоёр үндэс нь энэ нөхцлийг хангадаг.
Тиймээс, y шинэ хувьсагчийн квадрат тэгшитгэлийг шийдэв. 
y = x 2 + 3x, мөн y нь бидний тогтоосон 4 ба 2 утгыг авч байгаа тул бид хоёр тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай хэвээр байна: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx =. Эхний тэгшитгэлийн үндэс нь 1 ба - 4 тоонууд, хоёр дахь тэгшитгэлийн үндэс нь тоонууд юм.
Үзсэн жишээнүүдэд шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга нь математикчдын хэлснээр нөхцөл байдалд тохирсон, өөрөөр хэлбэл энэ нь түүнд сайн нийцэж байсан. Яагаад? Тийм ээ, учир нь ижил илэрхийлэл тэгшитгэлд хэд хэдэн удаа тодорхой гарч ирсэн бөгөөд энэ илэрхийллийг тодорхойлох шалтгаан байсан шинэ захидал. Гэхдээ энэ нь үргэлж тохиолддоггүй; Дараагийн жишээнд яг ийм зүйл тохиолдох болно.
Жишээ 5.Тэгшитгэлийг шийд
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Шийдэл. Бидэнд байгаа
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.
Энэ нь өгөгдсөн тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичиж болно гэсэн үг юм
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Одоо шинэ хувьсагч гарч ирэв: y = x 2 - 3x.
Түүний тусламжтайгаар тэгшитгэлийг y (y + 2) = 24, дараа нь y 2 + 2y - 24 = 0 хэлбэрээр дахин бичиж болно. Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь 4 ба -6 тоо юм.
Анхны x хувьсагч руу буцаж очоод бид x 2 - 3x = 4 ба x 2 - 3x = - 6 гэсэн хоёр тэгшитгэлийг олж авна. Эхний тэгшитгэлээс бид x 1 = 4, x 2 = - 1; хоёр дахь тэгшитгэл нь үндэсгүй.
ХАРИУЛТ: 4, - 1.
Дериватив томъёоны баталгааг өгсөн болно нарийн төвөгтэй функц. Нарийн төвөгтэй функц нь нэг эсвэл хоёр хувьсагчаас хамаарах тохиолдлуудыг нарийвчлан авч үздэг. Хэрэгт ерөнхий дүгнэлт хийсэн ямар ч тоохувьсагч.
Энд бид дүгнэлтийг танилцуулж байна дараах томъёонууднийлмэл функцийн деривативын хувьд.
Хэрэв бол
.
Хэрэв бол
.
Хэрэв бол
.
Нэг хувьсагчаас нийлмэл функцийн дериватив
x хувьсагчийн функцийг нийлмэл функцээр дараах хэлбэрээр илэрхийлье.
,
зарим функц байгаа газар. Энэ функц нь x хувьсагчийн зарим утгын хувьд дифференциал болно. Функц нь хувьсагчийн утгаар дифференциалагдана.
Дараа нь нийлмэл (нийлмэл) функц нь x цэг дээр ялгагдах бөгөөд түүний уламжлалыг томъёогоор тодорхойлно.
(1)
.
Формула (1)-ийг мөн дараах байдлаар бичиж болно.
;
.
Баталгаа
Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя.
;
.
Энд хувьсагчдын функц ба , хувьсагчийн функц ба . Гэхдээ бид тооцоололд саад учруулахгүйн тулд эдгээр функцүүдийн аргументуудыг орхих болно.
Функцууд нь x ба цэгүүдэд тус тус ялгагддаг тул эдгээр цэгүүдэд эдгээр функцүүдийн деривативууд байдаг бөгөөд эдгээр нь дараах хязгаарууд юм.
;
.
Дараах функцийг авч үзье.
.
u хувьсагчийн тогтмол утгын хувьд функц нь . Энэ нь ойлгомжтой
.
Дараа нь
.
Функц нь цэг дээр дифференциалагдах функц тул тухайн цэг дээр тасралтгүй байна. Тийм ч учраас
.
Дараа нь
.
Одоо бид деривативыг олно.
.
Томъёо нь батлагдсан.
Үр дагавар
Хэрэв x хувьсагчийн функцийг нийлмэл функцийн нийлмэл функцээр илэрхийлж болно
,
дараа нь түүний деривативыг томъёогоор тодорхойлно
.
Энд , мөн зарим ялгах функцууд байдаг.
Энэ томьёог батлахын тулд нийлмэл функцийг ялгах дүрмийг ашиглан деривативыг дараалан тооцдог.
Нарийн төвөгтэй функцийг авч үзье
.
Түүний дериватив
.
Анхны функцийг авч үзье
.
Түүний дериватив
.
Хоёр хувьсагчаас авсан нийлмэл функцийн дериватив
Одоо нийлмэл функц хэд хэдэн хувьсагчаас хамааралтай байцгаая. Эхлээд харцгаая хоёр хувьсагчийн нийлмэл функцийн тохиолдол.
x хувьсагчаас хамаарах функцийг дараах хэлбэрээр хоёр хувьсагчийн нийлмэл функцээр илэрхийлье.
,
Хаана
мөн x хувьсагчийн зарим утгын хувьд ялгах функцууд байдаг;
- цэг дээр дифференциалагдах хоёр хувьсагчийн функц , . Дараа нь нийлмэл функц нь тухайн цэгийн тодорхой хэсэгт тодорхойлогддог ба деривативтай бөгөөд үүнийг томъёогоор тодорхойлно.
(2)
.
Баталгаа
Функцууд нь цэг дээр ялгагдах боломжтой байдаг тул тэдгээр нь энэ цэгийн тодорхой хөршид тодорхойлогддог, цэг дээр тасралтгүй байх ба тэдгээрийн деривативууд нь цэг дээр байдаг бөгөөд эдгээр нь дараах хязгаарууд юм.
;
.
Энд
;
.
Нэг цэгт эдгээр функцүүдийн тасралтгүй байдлын улмаас бид дараах байдалтай байна:
;
.
Функц нь тухайн цэг дээр дифференциал болох тул энэ цэгийн тодорхой орчимд тодорхойлогддог, энэ цэг дээр тасралтгүй байх ба түүний өсөлтийг дараах хэлбэрээр бичиж болно.
(3)
.
Энд
- функцийн аргументууд нь утгууд болон -ээр нэмэгдэх үед түүний өсөлт;
;
- хувьсагчдад хамаарах функцийн хэсэгчилсэн дериватив ба .
Тогтмол утгуудын хувьд, ба нь хувьсагчийн функцууд болон. Тэд тэглэх хандлагатай байдаг ба:
;
.
Түүнээс хойш, дараа нь
;
.
Функцийн өсөлт:
.
:
.
Орлуулах (3):
.
Томъёо нь батлагдсан.
Хэд хэдэн хувьсагчаас авсан цогц функцийн дериватив
Дээрх дүгнэлтийг нийлмэл функцийн хувьсагчийн тоо хоёроос дээш байх тохиолдолд хялбархан ерөнхийлж болно.
Жишээлбэл, хэрэв f бол гурван хувьсагчийн функц, Тэр
,
Хаана
, мөн x хувьсагчийн зарим утгын ялгах функцүүд байдаг;
- , , цэг дээрх гурван хувьсагчийн дифференциал функц.
Дараа нь функцийн дифференциал байдлын тодорхойлолтоос бид дараахь зүйлийг олж авна.
(4)
.
Учир нь тасралтгүй байдлын улмаас
;
;
,
Тэр
;
;
.
(4)-ийг хувааж, хязгаарт хүрэхэд бид дараахь зүйлийг олж авна.
.
Тэгээд эцэст нь авч үзье ихэнх нь ерөнхий тохиолдол
.
x хувьсагчийн функцийг n хувьсагчийн нийлмэл функцээр дараах хэлбэрээр илэрхийлье.
,
Хаана
х хувьсагчийн зарим утгын хувьд ялгах функцууд байдаг;
- цэг дээрх n хувьсагчийн ялгах функц
,
,
... , .
Дараа нь
.
