Шугаман ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийн синусыг тооцоол. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг: тодорхойлолт, олох жишээ

Энэ нь энэ шулуун ба түүний өгөгдсөн хавтгай дээрх проекцын хоорондох өнцгийг олох гэсэн үг юм.

Даалгаврыг харуулсан орон зайн загварыг зурагт үзүүлэв.

Асуудлыг шийдэх төлөвлөгөө:
1. Дурын цэгээс А∈ахавтгайд перпендикулярыг доошлуулна α ;
2. Энэ перпендикулярын хавтгайтай уулзах цэгийг тодорхойл α . Цэг A α - зөв бичгийн проекц Аонгоц руу α ;
3. Шугамын огтлолцлын цэгийг ол аонгоцтой α . Цэг a α- шулуун зам аонгоцонд α ;
4. Бид гүйцэтгэдэг ( A α a α) - шулуун шугамын проекц аонгоц руу α ;
5. Тодорхойлох бодит үнэ цэнэ ∠Aa α A α, өөрөөр хэлбэл ∠ φ .

Асуудлын шийдэл шулуун ба хавтгай хоорондын өнцгийг олХэрэв бид ∠-г тодорхойлохгүй бол маш хялбарчилж болно φ шулуун ба хавтгайн хооронд, 90° ∠-д нэмэлт γ . Энэ тохиолдолд цэгийн төсөөллийг тодорхойлох шаардлагагүй болно Аба шулуун шугамын төсөөлөл аонгоц руу α . Хэмжээг нь мэддэг γ , томъёогоор тооцоолно:

$ φ = 90° - γ $

аболон онгоц α , зэрэгцээ шугамаар тодорхойлогддог мТэгээд n.

а α
Хэвтээ эргэн тойронд эргэлддэг оноогоор өгөгдсөн 5 ба 6-д бид бодит хэмжээг ∠ тодорхойлно γ . Хэмжээг нь мэддэг γ , томъёогоор тооцоолно:

$ φ = 90° - γ $

Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг тодорхойлох аболон онгоц α , BCD гурвалжингаар тодорхойлогддог.

Шугаман дээрх дурын цэгээс ахавтгайд перпендикулярыг доошлуулна α
3 ба 4-р цэгүүдэд заасан хэвтээ шугамыг тойрон эргэснээр бид байгалийн хэмжээг ∠ тодорхойлно. γ . Хэмжээг нь мэддэг γ , бид томъёог ашиглан тооцоолно.

Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийн тухай ойлголтыг хэнд ч танилцуулж болно харьцангуй байрлалшулуун ба хавтгай.

Хэрэв шулуун шугам l нь хавтгайд перпендикуляр байвал l ба хоорондох өнцгийг 90-тэй тэнцүү гэж үзнэ.

Хэрэв l шулуун шугам нь хавтгайтай параллель эсвэл энэ хавтгайд оршдог бол l ба хоорондох өнцгийг тэгтэй тэнцүү гэж үзнэ.

Хэрэв шулуун шугам l нь хавтгайд налуу байвал l ба энэ нь шулуун шугамын хоорондох өнцөг юм l ба түүний хавтгай дээрх проекц p (Зураг 39).

Цагаан будаа. 39. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг

Тиймээс, энэ энгийн бус тохиолдлын тодорхойлолтыг санацгаая: хэрэв шулуун шугам нь налуу байвал шулуун ба хавтгай хоорондын өнцөг нь энэ шулуун шугамын хоорондох өнцөг болно.

Тэгээд өгөгдсөн хавтгай дээрх түүний проекц.

7.1 Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Өсөн нэмэгдэж буй хүндрэлийн дагуу зохион байгуулагдсан гурван даалгаврыг авч үзье. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын C2 түвшний гурав дахь даалгавар.

Бодлого 1. Энгийн тетраэдрт хажуугийн ирмэг ба суурийн хавтгай хоорондын өнцгийг ол.

Даалгавар 2. Зөв хэсэгт гурвалжин призм ABCA1 B1 C1 хажуугийн ирмэг нь суурийн талтай тэнцүү байна. AA1 шулуун ба ABC1 хавтгай хоорондын өнцгийг ол.

Шийдэл. Шулуун шугамыг хоорондоо параллель шилжүүлбэл шулуун ба хавтгай хоорондын өнцөг өөрчлөгдөхгүй. CC1 нь AA1-тэй параллель байх тул шаардлагатай өнцөг нь CC1 шулуун ба ABC1 хавтгай хоорондын өнцөг юм (Зураг 41).

B 1"

Цагаан будаа. 41. 2-р даалгаварт

M нь AB-ийн дунд цэг байг. CC1 M гурвалжинд CH өндрийг зуръя. CH нь ABC1 хавтгайд перпендикуляр байгааг харуулъя. Үүнийг хийхийн тулд та энэ хавтгайн CH-тэй перпендикуляр хоёр огтлолцсон шугамыг харуулах хэрэгтэй.

Эхний шулуун шугам нь тодорхой байна: C1 M. Үнэхээр CH? Барилгын хувьд C1 M.

Хоёр дахь мөр нь AB. Үнэн хэрэгтээ, налуу CH-ийн ABC хавтгай дээрх проекц нь CM шулуун шугам юм; байхад AB? CM. Гурван перпендикулярын тухай теоремоос AB ? CH.

Тэгэхээр CH? ABC1. Тиймээс CC1 ба ABC1 хоорондох өнцөг нь " = \CC1 H. Бид хамаарлаас CH-ийн утгыг олно.

C1 M CH = CC1 CM

(энэ харьцааны хоёр тал нь CC1 M гурвалжны талбайгаас хоёр дахин ихтэй тэнцүү). Бидэнд:

CM = a 2 3 ;

Өнцөг олоход л үлдлээ ":

Хариулт: arcsin 3 7 .

нүгэл " = CH =3 : CC1 7

Бодлого 3. ABCDA1 B1 C1 D1 шоо A1 B1 ирмэг дээр К цэгийг авснаар A1 K: KB1 = 3: 1. AK шулуун ба ВС1 D1 хавтгай хоорондын өнцгийг ол.

Шийдэл. Зургийг хийсний дараа (Зураг 42, зүүн талд) нэмэлт барилга байгууламж шаардлагатай гэдгийг бид ойлгож байна.

Эхлээд AB шугам нь BC1 D1 хавтгайд байрлаж байгааг анхаарна уу (AB k C1 D1 тул). Хоёрдугаарт, AK-тай параллель B1 M зуръя (Зураг 42, баруун талд). Мөн B1 C-г зурж, N-ийг B1 C ба BC1-ийн огтлолцлын цэг гэж үзье.

В1 С шулуун нь BC1 D1 хавтгайд перпендикуляр байгааг харуулъя. Үнэндээ:

1) B 1 C ? BC1 (дөрвөлжингийн диагональ гэх мэт);

2) B 1 C ? Гурван перпендикулярын теоремоор AB (эцэст нь AB нь АВС хавтгайд налуу B1 C проекцын ВС шулуун шугамтай перпендикуляр байна).

Тиймээс B1 C нь BC1 D1 хавтгайн огтлолцсон хоёр шулуунтай перпендикуляр; тиймээс B1 C? BC1 D1. Иймд шулуун шугамын проекц MB

нүгэл " = B 1 N =2 2 :B 1 M 5

Шулуун шугам l ба 6 хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг өгөгдсөн l шулуун ба перпендикуляр p хоорондох нэмэлт р өнцгөөр тодорхойлж болно. өгсөн онгоцшугамын аль ч цэгээс зурсан (Зураг 144). P өнцөг нь хүссэн a өнцгийг 90 ° хүртэл нөхдөг. l шулуун ба перпендикуляр ба шулуун шугамын эргэн тойронд үүссэн өнцгийн хавтгайн түвшинг эргүүлэх замаар P өнцгийн жинхэнэ утгыг тодорхойлсны дараа үүнийг нөхөх хэвээр байна. зөв өнцөг. Энэхүү нэмэлт өнцөг нь l шулуун ба 0 хавтгай хоорондох a өнцгийн жинхэнэ утгыг өгнө.

27. Хоёр хавтгай хоорондын өнцгийг тодорхойлох.

Жинхэнэ үнэ цэнэ хоёр талт өнцөг- Q ба l хоёр хавтгайн хооронд. - хоёр өнцөгт өнцгийн ирмэгийг проекцын шугам болгон хувиргахын тулд проекцын хавтгайг сольж (1 ба 2-р асуудал) эсвэл ирмэгийг заагаагүй бол n1 ба n2 хоёр перпендикулярын хоорондох өнцгийг тодорхойлж болно. Эдгээр хавтгайг В орон зайн дурын М цэгээс М цэг дээрх эдгээр перпендикуляруудын хавтгайд бид хоёр хавтгайн өнцөгтэй тэнцүү a ба P хавтгай өнцгийг олж авна. зэргэлдээ булангууд(dihedral) q ба l хавтгайнуудаас үүссэн. Түвшингийн шулуун шугамыг тойруулан n1 ба n2 перпендикулярын хоорондох өнцгийн жинхэнэ утгыг тодорхойлсны дараа бид q ба l хавтгайнуудын үүсгэсэн хоёр талт өнцгийн шугаман өнцгийг тодорхойлно.

Муруй шугамууд. Муруй шугамын тусгай цэгүүд.

Муруйн нийлмэл зургийн хувьд түүний гулзайлтын, буцах, тасрах, зангилааны цэгүүдийг багтаасан тусгай цэгүүд нь мөн түүний проекцын тусгай цэгүүд юм. Үүнийг ийм байдалтай холбон тайлбарлаж байна ганц бие цэгүүдмуруйнууд эдгээр цэгүүдэд шүргэгчтэй холбогддог.

Хэрэв муруйн хавтгай нь проекцын байрлалыг эзэлдэг бол (Зураг 1). A),тэгвэл энэ муруйн нэг проекц нь шулуун шугам хэлбэртэй байна.

Орон зайн муруйны хувьд түүний бүх төсөөлөл нь муруй шугам юм (Зураг 1). б).

Зургаас ямар муруй өгөгдсөнийг (хавтгай эсвэл орон зайн) тодорхойлохын тулд муруйн бүх цэгүүд нэг хавтгайд хамаарах эсэхийг олж мэдэх шаардлагатай. Зурагт заасан. бмуруй нь орон зайн, цэгээс хойш Дмуруй нь өөр гурван цэгээр тодорхойлсон хавтгайд хамаарахгүй А, БТэгээд Ээнэ муруй.

Тойрог - хоёр дахь эрэмбийн хавтгай муруй, ортогональ проекц нь тойрог ба эллипс байж болно.

Цилиндр мушгиа шугам нь мушгиа хөдөлгөөн хийж буй цэгийн траекторийг илэрхийлсэн орон зайн муруй юм.

29. Хавтгай ба орон зайн муруй шугам.

28-р асуултыг үзнэ үү

30. Гадаргуугийн нарийн төвөгтэй зураг. Үндсэн заалтууд.

Гадаргуу нь орон зайд хөдөлж буй шугамуудын дараалсан байрлалуудын багц юм. Энэ шугам нь шулуун эсвэл муруй байж болох бөгөөд үүнийг нэрлэдэг generatrixгадаргуу. Хэрэв generatrix нь муруй байвал тогтмол эсвэл байж болно хувьсах үзэл. Генератрикс хөдөлдөг хөтөч,генераторуудаас өөр чиглэлийн шугамуудыг төлөөлдөг. Удирдах шугамууд нь генераторуудын хөдөлгөөний хуулийг тогтоодог. Генератриксийг чиглүүлэгчийн дагуу хөдөлгөх үед a хүрээгадаргуу (Зураг 84), энэ нь генераторууд ба хөтөчүүдийн дараалсан хэд хэдэн байрлалын багц юм. Хүрээг шалгаж үзэхэд генераторууд гэдэгт итгэлтэй байж болно лболон хөтөч Т сольж болно, гэхдээ гадаргуу нь хэвээр байна.

Аливаа гадаргууг янз бүрийн аргаар олж авч болно.

Генератриксийн хэлбэрээс хамааран бүх гадаргууг хувааж болно захирч,үүсгэгч шулуун шугамтай бөгөөд захирагдахгүй,үүсэх муруй шугамтай.

Боловсруулж болох гадаргуу нь бүх олон талт, цилиндр, конус, их биений гадаргууг агуулдаг. Бусад бүх гадаргуу нь хөгжих боломжгүй. Зохицуулалтгүй гадаргуу нь тогтмол хэлбэрийн генатрикс (эргэлтийн гадаргуу ба гуурсан гадаргуу) болон хувьсах хэлбэрийн генератор (суваг ба хүрээний гадаргуу) байж болно.

Нарийн төвөгтэй зураг дээрх гадаргууг түүний үүсгэгчийг бий болгох аргыг зааж өгсөн тодорхойлогчийн геометрийн хэсгийн проекцоор тодорхойлно. Гадаргууг зурахдаа огторгуйн аль ч цэгийн хувьд тухайн гадаргууд хамаарах эсэх асуудлыг хоёрдмол утгагүйгээр шийддэг. Гадаргуугийн тодорхойлогчийн элементүүдийг графикаар тодорхойлох нь зургийн урвуу байдлыг баталгаажуулдаг боловч үүнийг нүдээр харуулахгүй. Тодорхой болгохын тулд тэд нэлээд нягт генератрикийн хүрээний төсөөллийг барьж, гадаргуугийн тойм шугамыг барихад ашигладаг (Зураг 86). Проекцын хавтгайд Q гадаргууг проекцлох үед тусгах цацрагууд энэ гадаргуу дээр тодорхой шугам үүсгэдэг цэгүүдэд хүрнэ. лгэж нэрлэдэг контуршугам. Контурын шугамын проекц гэж нэрлэдэг эссэгадаргуу. Нарийн төвөгтэй зургийн хувьд аливаа гадаргуу нь: П 1 - хэвтээ тойм, P 2 дээр - урд талын тойм, P 3 дээр - гадаргуугийн профилын тойм. Ноорог нь контурын шугамын төсөөллөөс гадна зүссэн шугамын төсөөллийг багтаасан болно.

Дүрсийг хавтгайд проекцлох тухай ойлголт

Шугаман ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийн тухай ойлголтыг нэвтрүүлэхийн тулд эхлээд дурын дүрсийг хавтгайд төсөөлөх гэх мэт ойлголтыг ойлгох хэрэгтэй.

Тодорхойлолт 1

Бидэнд дурын $A$ цэг өгье. $A_1$ цэгийг $A$ цэгээс $\альфа $ хавтгайд татсан перпендикулярын суурь бол $\alpha $ хавтгай дээрх $A$ цэгийн проекц гэж нэрлэдэг (Зураг 1).

Зураг 1. Хавтгай дээрх цэгийн проекц

Тодорхойлолт 2

$F$ гэсэн дурын тоог бидэнд өгье. $F_1$ дүрсийг $F$ дүрсийн бүх цэгүүдийн $\альфа $ хавтгай дээрх проекцуудаас бүрдэх $F$ дүрсийн $\alpha $ хавтгай дээрх проекц гэж нэрлэгддэг (Зураг 2).

Зураг 2. Хавтгай дээрх дүрсийн проекц

Теорем 1

Шулуун шугамын хавтгайд перпендикуляр биш проекц нь шулуун шугам юм.

Баталгаа.

$\alpha $ хавтгай ба түүнийг перпендикуляр биш огтлолцох $d$ шулуун шугамыг өгье. $d$ шулуун дээрх $M$ цэгийг сонгоод түүний $H$ проекцийг $\alpha $ хавтгай дээр зурцгаая. $(MH)$ шулуун шугамаар бид $\beta $ хавтгайг зурна. Мэдээжийн хэрэг, энэ хавтгай $\alpha $ хавтгайд перпендикуляр байх болно. Тэдгээрийг $m$ шулуун шугамын дагуу огтолцгооё. Ингээд авч үзье дурын цэг$d$ шугамын $M_1$ ба түүгээр $(M_1H_1$) шугамыг $(MH)$ шугамтай параллель зурна (Зураг 3).

Зураг 3.

$\beta $ хавтгай $\альфа $ хавтгайд перпендикуляр байх тул $M_1H_1$ нь $m$ шулуунтай перпендикуляр байна, өөрөөр хэлбэл $H_1$ цэг нь $M_1$ цэгийн хавтгай дээрх проекц юм. $\альфа $. $M_1$ цэгийн сонголтын дур зоргоос шалтгаалан $d$ шугамын бүх цэгүүд $m$ шулуун дээр проекц хийгдсэн байдаг.

Үүнтэй адил үндэслэлээр тайлбарлах. IN урвуу дараалал, бид $m$ шулуун дээрх цэг бүр нь $d$ шулуун дээрх зарим цэгийн проекц гэдгийг олж авна.

Энэ нь $d$ мөрийг $m$ мөрөнд тусгасан гэсэн үг.

Теорем нь батлагдсан.

Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийн тухай ойлголт

Тодорхойлолт 3

Хавтгайг огтолж буй шулуун шугам ба түүний энэ хавтгай дээрх проекцын хоорондох өнцгийг шулуун ба хавтгайн хоорондох өнцөг гэнэ (Зураг 4).

Зураг 4. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг

Энд хэдэн тэмдэглэл хийцгээе.

Тайлбар 1

Хэрэв шугам нь хавтгайд перпендикуляр байвал. Дараа нь шулуун ба хавтгай хоорондын өнцөг $90^\circ$ байна.

Тайлбар 2

Хэрэв шугам нь параллель эсвэл хавтгайд хэвтэж байвал. Дараа нь шулуун ба хавтгай хоорондын өнцөг $0^\circ$ байна.

Асуудлын жишээ

Жишээ 1

Параллелограммын хавтгайд ороогүй $ABCD$ параллелограмм ба $M$ цэг өгье. $B$ цэг нь $M$ цэгийг параллелограммын хавтгайд хийсэн проекц бол $AMB$ ба $MBC$ гурвалжнууд зөв өнцөгтэй болохыг батал.

Баталгаа.

Асуудлын нөхцөлийг зураг дээр дүрсэлцгээе (Зураг 5).

Зураг 5.

$B$ цэг нь $M$ цэгийн $(ABC)$ хавтгай дээрх проекц учраас $(MB)$ шулуун нь $(ABC)$ хавтгайд перпендикуляр байна. Тайлбар 1-ээр бид $(MB)$ шулуун ба $(ABC)$ хавтгай хоорондын өнцөг $90^\circ$-тэй тэнцүү болохыг олж мэдэв. Тиймээс

\[\өнцөг MBC=MBA=(90)^0\]

Энэ нь $AMB$ ба $MBC$ гурвалжин нь тэгш өнцөгт гурвалжин гэсэн үг.

Жишээ 2

$\alpha $ онгоц өгөгдсөн. Энэ хавтгайд $\varphi $ өнцгөөр сегментийг зурсан бөгөөд түүний эхлэл нь энэ хавтгайд байрладаг. Энэ сегментийн төсөөлөл нь сегментийнхээ хагастай тэнцүү байна. $\varphi$-ийн утгыг ол.

Шийдэл.

Зураг 6-г авч үзье.

Зураг 6.

Нөхцөлөөр бол бидэнд байгаа

$BCD$ гурвалжин нь зөв өнцөгтэй тул косинусын тодорхойлолтоор

\ \[\varphi =arccos\frac(1)(2)=(60)^0\]