Зайг тодорхойлох
Цэгээс цэг хүртэлх зай, цэгээс шугам хүртэлх зай
Нэг цэгээс цэг хүртэлх зайЭдгээр цэгүүдийг холбосон шулуун шугамын уртаар тодорхойлогдоно. Дээр дурдсанчлан энэ асуудлыг тэгш өнцөгт гурвалжны аргаар эсвэл проекцын хавтгайг сольж, сегментийг түвшний шугамын байрлал руу шилжүүлэх замаар шийдэж болно.
Цэгээс шугам хүртэлх зайцэгээс шугам руу татсан перпендикуляр хэрчмээр хэмжигдэнэ. Энэ перпендикулярын сегментийг проекцын шулуун шугам руу татсан тохиолдолд проекцын хавтгай дээр бүрэн хэмжээгээр дүрсэлсэн болно. Тиймээс эхлээд шулуун шугамыг төлөвлөх байрлал руу, дараа нь шилжүүлэх ёстой өгсөн оноотүүн дээр перпендикуляр буулгана. Зураг дээр. 1 нь энэ асуудлын шийдлийг харуулж байна. Ерөнхий байрлалын AB шугамыг түвшний шугамын байрлал руу шилжүүлэхийн тулд x14 IIA1 B1 гүйцэтгэнэ. Дараа нь AB проекцын байрлал руу P5 нэмэлт проекцын хавтгайг оруулснаар шинэ проекцын x45\A4 B4 тэнхлэгийг зурна.
Зураг 1
А ба В цэгүүдийн нэгэн адил М цэг нь проекцын P5 хавтгайд тусна.
P5 проекцын хавтгай дээрх М цэгээс AB шугам руу буулгасан перпендикулярын К суурийн К5 проекц нь цэгүүдийн харгалзах проекцуудтай давхцах болно.
A ба B. Перпендикуляр MK-ийн M5 K5 проекц нь М цэгээс AB шулуун шугам хүртэлх зайны натурал утга юм.
P4/P5 проекцын хавтгайн системд MK-ийн перпендикуляр нь P5 проекцын хавтгайтай параллель хавтгайд байрладаг тул түвшний шугам байх болно. Тиймээс түүний P4 хавтгай дээрх M4 K4 проекц нь x45-тай параллель байна, өөрөөр хэлбэл. A4 B4 проекцод перпендикуляр. Эдгээр нөхцлүүд нь перпендикуляр К-ийн суурийн К4 проекцын байрлалыг тодорхойлох ба үүнийг M4 параллельаас x45 хүртэлх шулуун шугамыг A4 B4 проекцтой огтлолцох хүртэл татах замаар олох болно. Перпендикулярын үлдсэн проекцуудыг K цэгийг P1 ба P2 проекцын хавтгайд проекцлох замаар олно.
Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зай
Энэ асуудлын шийдлийг Зураг дээр үзүүлэв. 2. М цэгээс хавтгай хүртэлх зай (ABC) нь тухайн цэгээс хавтгайд унасан перпендикуляр хэрчмээр хэмжигдэнэ.
Зураг 2
Төслийн хавтгайд перпендикуляр нь түвшний шугам тул бид энэ байрлал руу шилждэг өгсөн онгоц, үүний үр дүнд шинээр нэвтрүүлсэн P4 проекцын хавтгай дээр бид ABC хавтгайн доройтсон проекц C4 B4-ийг олж авдаг. Дараа нь бид М цэгийг P4 дээр проекц хийдэг
[MK]=[M4 K4]. Перпендикулярын үлдсэн проекцууд нь дээрхтэй ижил аргаар хийгдсэн байдаг өмнөх даалгавар, өөрөөр хэлбэл P1 / P4 проекцын хавтгайн систем дэх MK сегмент нь түвшний шугам бөгөөд түүний проекц M1 K1 нь тэнхлэгтэй параллель байгааг харгалзан үзнэ.
x14.
Хоёр шугамын хоорондох зай
Огтлолцсон шулуун шугамуудын хоорондох хамгийн богино зайг эдгээр шулуун шугамаар таслагдсан нийтлэг перпендикуляр сегментийн хэмжээгээр хэмждэг. Асуудлыг огтлолцсон шугамуудын аль нэгэнд перпендикуляр проекцын хавтгайг сонгох замаар (хоёр дараалсан орлуулалтын үр дүнд) шийддэг. Энэ тохиолдолд шаардлагатай перпендикуляр сегмент нь сонгосон проекцын хавтгайтай параллель байх бөгөөд үүн дээр гажуудалгүйгээр дүрслэгдэх болно. Зураг дээр. Зураг 3-т AB ба CD сегментээр тодорхойлогдсон огтлолцсон хоёр шугамыг үзүүлэв.
Зураг 3
Шулууныг эхлээд P4 проекцын хавтгайд, тэдгээрийн аль нэгтэй нь параллель, жишээ нь AB, P1-тэй перпендикуляраар тусгана.
P4 проекцын хавтгайд AB сегментийг гажуудалгүйгээр дүрсэлсэн болно. Дараа нь сегментүүдийг төлөвлөнө шинэ онгоц P5 ижил AB шулуун ба P4 хавтгайд перпендикуляр. P5 проекцын хавтгай дээр түүнд перпендикуляр AB сегментийн проекц нь A5 = B5 цэг рүү доройтох ба NM сегментийн хүссэн утга N5 M5 нь C5 D5 перпендикуляр бөгөөд бүрэн хэмжээгээр дүрслэгдсэн байна. Тохиромжтой холбооны шугамыг ашиглан MN сегментийн проекцийг эх хувь дээр бүтээв
зурах. Өмнө дурьдсанчлан, P4 хавтгайд хүссэн сегментийн N4 M4 проекц нь P4 / P5 проекцийн хавтгайн систем дэх түвшний шугам тул x45 проекцын тэнхлэгтэй параллель байна.
AB-аас CD хүртэлх хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох D зайг тодорхойлох даалгавар - онцгой тохиолдолөмнөх (Зураг 4).
Зураг 4
Проекцын хавтгайг давхар сольсноор параллель шулуун шугамууд проекцын байрлалд шилжсэний үр дүнд Р5 проекцын хавтгай дээр AB ба CD шулуун шугамын хоёр доройтсон проекцууд A5 = B5 ба C5 = D5 байх болно. Тэдний хоорондох зай D нь түүний байгалийн утгатай тэнцүү байх болно.
Шулуун шугамаас түүнтэй параллель хавтгай хүртэлх зайг шулуун шугамын аль ч цэгээс хавтгай руу татсан перпендикуляр хэрчмээр хэмждэг. Тиймээс ерөнхий байрлалын хавтгайг проекцын хавтгайн байрлалд хувиргах, шууд цэгийг авахад хангалттай бөгөөд асуудлын шийдэл нь цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тодорхойлоход багасах болно.
Зэрэгцээ хавтгай хоорондын зайг тодорхойлохын тулд тэдгээрийг проекцын байрлалд шилжүүлж, тэдгээрийн хоорондох сегмент нь хүссэн зайны утга байх болно.
Санкт-Петербург улсын тэнгисийн техникийн их сургууль
хэлтэс компьютер графикболон мэдээллийн дэмжлэг
ХИЧЭЭЛ 3
ПРАКТИК ДААЛГАВАР No3
Нэг цэгээс шулуун шугам хүртэлх зайг тодорхойлох.
Та дараах бүтээцийг хийснээр цэг ба шулуун шугамын хоорондох зайг тодорхойлж болно (1-р зургийг үз).
· цэгээс ХАМТшулуун шугамын перпендикулярыг доошлуулна А;
· цэгийг тэмдэглэх TOшулуун шугамтай перпендикуляр огтлолцол;
сегментийн уртыг хэмжих KS, эхлэл нь өгөгдсөн цэг, төгсгөл нь тэмдэглэгдсэн огтлолцлын цэг юм.
Зураг 1. Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.
Энэ төрлийн асуудлыг шийдэх үндэс нь проекцын дүрэм юм зөв өнцөг: Хэрэв түүний талуудын аль нэг нь проекцын хавтгайтай параллель байвал зөв өнцгийг гажуудалгүйгээр төсөөлнө(өөрөөр хэлбэл хувийн байр суурь эзэлдэг). Яг ийм тохиолдлоос эхэлж, цэгээс зайг тодорхойлох байгууламжуудыг авч үзье ХАМТшулуун шугамын сегмент рүү AB.
Энэ даалгаварт туршилтын тохиолдол байхгүй, гэхдээ гүйцэтгэх сонголтууд бие даасан даалгаварөгсөн хүснэгт1 ба хүснэгт2. Асуудлын шийдлийг доор тайлбарласан бөгөөд холбогдох бүтээн байгуулалтыг 2-р зурагт үзүүлэв.
1. Нэг цэгээс тодорхой шугам хүртэлх зайг тодорхойлох.
Эхлээд цэг ба сегментийн проекцуудыг байгуулна. Төсөл A1B1тэнхлэгтэй параллель X. Энэ нь сегмент гэсэн үг юм ABхавтгайтай зэрэгцээ P2. Хэрэв цэгээс ХАМТперпендикуляр зурна AB, дараа нь зөв өнцгийг хавтгайд гажуудалгүйгээр тусгана P2. Энэ нь цэгээс перпендикуляр зурах боломжийг танд олгоно C2проекц руу A2B2.
Унждаг цэс Зургийн сегмент (Зурах- Шугам) . Курсорыг цэг дээр байрлуул C2мөн сегментийн эхний цэг болгон засна. Курсорыг сегментийн хэвийн чиглэлд шилжүүлнэ A2B2мөн зөвлөмж гарч ирэх үед хоёр дахь цэгийг засаарай хэвийн (Перпендикуляр) . Үүсгэсэн цэгийг тэмдэглэ К2. Горимыг идэвхжүүлэх ORTO(ОРТО) , мөн цэгээс К2проекцтой огтлолцох хүртэл босоо холболтын шугамыг зурна A1 B1. Уулзвар цэгийг дараах байдлаар тодорхойлно K1. Цэг TO, сегмент дээр хэвтэж байна AB, цэгээс татсан перпендикулярын огтлолцлын цэг юм ХАМТ, сегменттэй AB. Тиймээс сегмент KSцэгээс шугам хүртэлх шаардлагатай зай юм.
Барилга байгууламжаас харахад сегмент нь тодорхой байна KSавдаг ерөнхий байр суурьтиймээс түүний төсөөлөл гажуудсан. Зайны тухай ярихдаа бид үргэлж хэлдэг сегментийн жинхэнэ утга, зайг илэрхийлж байна. Тиймээс бид сегментийн жинхэнэ утгыг олох хэрэгтэй KS,тодорхой байрлал руу эргүүлэх замаар, жишээлбэл, KS|| P1. Барилга байгууламжийн үр дүнг 2-р зурагт үзүүлэв.
2-р зурагт үзүүлсэн бүтээн байгуулалтаас бид дүгнэж болно: шугамын тодорхой байрлал (сегмент нь параллель байна) P1эсвэл P2) нь цэгээс шугам хүртэлх зайны төсөөллийг хурдан гаргах боломжийг олгодог боловч тэдгээр нь гажуудсан байдаг.
Зураг 2. Нэг цэгээс тодорхой шугам хүртэлх зайг тодорхойлох.
2. Нэг цэгээс ерөнхий шугам хүртэлх зайг тодорхойлох.
Үргэлж ордоггүй анхны нөхцөлсегмент нь тодорхой байр суурийг эзэлдэг. Ерөнхийдөө анхны байрлалНэг цэгээс шугам хүртэлх зайг тодорхойлохын тулд дараахь бүтээцийг гүйцэтгэнэ.
a) зургийн хувиргалтын аргыг ашиглан сегментийг ерөнхий байрлалаас тодорхой болгон хувиргах - энэ нь зайны төсөөллийг (гажуудуулсан) бүтээх боломжийг олгоно;
б) дахин аргыг ашиглан шаардлагатай зайд тохирох сегментийг тодорхой байрлал руу хөрвүүлнэ - бид бодит хэмжээтэй тэнцүү хэмжээний зайны төсөөллийг олж авна.
Нэг цэгээс зайг тодорхойлохын тулд барилгын дарааллыг анхаарч үзээрэй Аерөнхий байрлал дахь сегмент рүү Нар(Зураг 3).
Эхний эргэлт дээр сегментийн тодорхой байрлалыг олж авах шаардлагатай INC. Үүнийг давхаргад хийх TMRцэгүүдийг холбох хэрэгтэй B2, C2Тэгээд А2. Командыг ашиглан Өөрчлөх-Эргэх (Өөрчлөх – Эргүүлэх) гурвалжин В2С2А2цэгийг тойрон эргүүлэх C2шинэ төсөөлөл байгаа байрлал руу B2*C2хатуу хэвтээ байрлалд байрлана (цэг ХАМТхөдөлгөөнгүй тул түүний шинэ төсөөлөл нь анхны болон тэмдэглэгээтэй давхцаж байна C2*Тэгээд C1*зураг дээр харуулахгүй байж болно). Үүний үр дүнд сегментийн шинэ төсөөллийг олж авах болно B2*C2болон оноо: A2*.Онооны дараа A2*Тэгээд B2*босоо нэг нь хийгддэг, мөн цэгүүдээс B1Тэгээд A1хэвтээ холбооны шугам. Харгалзах шугамуудын огтлолцол нь шинэ хэвтээ төсөөллийн цэгүүдийн байрлалыг тодорхойлно: сегмент B1*C1болон цэгүүд A1*.
Үүссэн тодорхой байрлалд бид үүнд зориулж зайны төсөөлөл байгуулж болно: цэгээс A1*хэвийн B1*C1.Тэдний харилцан огтлолцох цэг нь K1*.Энэ үеэс эхлэн үүнийг хийж байна босоо шугампроекцтой огтлолцох хүртэл холболтууд B2*C2.Нэг цэг тэмдэглэгдсэн байна K2*.Үүний үр дүнд сегментийн төсөөллийг олж авсан АК, энэ нь цэгээс шаардагдах зай юм Ашулуун шугамын сегмент рүү Нар.
Дараа нь эхний нөхцөлд зайны төсөөллийг бий болгох шаардлагатай. Үүнийг цэгээс нь хийхийн тулд K1*явуулахад тохиромжтой хэвтээ шугампроекцтой огтлолцох хүртэл V1S1мөн уулзварын цэгийг тэмдэглэнэ K1.Дараа нь цэг байгуулна К2сегментийн урд талын проекц болон проекцууд дээр хийгддэг A1K1Тэгээд A2K2.Барилга байгууламжийн үр дүнд зайны төсөөллийг олж авсан боловч сегментийн эхний болон шинэ хэсэгчилсэн байрлалд хоёуланд нь гарсан. нар,сегмент АКерөнхий байр суурийг эзэлдэг бөгөөд энэ нь түүний бүх төсөөллийг гажуудуулахад хүргэдэг.
Хоёр дахь эргэлт дээр сегментийг эргүүлэх шаардлагатай АКтодорхой байрлалд, энэ нь зайны жинхэнэ утгыг тодорхойлох боломжийг бидэнд олгоно - проекц A2*K2**.Бүх бүтээн байгуулалтын үр дүнг 3-р зурагт үзүүлэв.
ДААЛГАВАР №3-1. ХАМТсегментээр тодорхойлсон тодорхой байрлалын шулуун шугам руу AB. Хариултыг мм-ээр бичнэ үү (Хүснэгт 1).Проекцийн линзийг арилгах
Хүснэгт 1
ДААЛГАВАР №3-2.Нэг цэгээс жинхэнэ зайг ол Мсегментээр өгөгдсөн ерөнхий байрлал дахь шулуун шугам руу ED. Хариултыг мм-ээр бичнэ үү (Хүснэгт 2).
Хүснэгт 2
Гүйцэтгэсэн ДААЛГАВАР No3-ыг шалгаж, дамжуулж байна.
155*. Шулуун шугамын AB сегментийн байгалийн хэмжээг ерөнхий байрлалд тодорхойлно (Зураг 153, а).
Шийдэл. Мэдэгдэж байгаагаар аливаа хавтгай дээрх шулуун шугамын сегментийн проекц нь хэрвээ энэ хавтгайтай параллель байвал тухайн сегменттэй тэнцүү байна (зургийн масштабыг харгалзан).
(Зураг 153, b). Эндээс харахад зургийг өөрчилснөөр параллелизмд хүрэх шаардлагатай байна энэ сегментийн pl. V эсвэл дөрвөлжин H эсвэл V, H системийг квадрат руу перпендикуляр өөр хавтгайгаар нэмнэ. V эсвэл pl. H ба нэгэн зэрэг энэ сегменттэй зэрэгцээ байна.
Зураг дээр. 153, в нь квадрат руу перпендикуляр нэмэлт S хавтгайг танилцуулж байгааг харуулж байна. H ба өгөгдсөн AB сегменттэй параллель.
a s b s проекц нь AB сегментийн натурал утгатай тэнцүү байна.
Зураг дээр. 153, d нь өөр нэг техникийг харуулж байна: AB сегментийг B цэгийг дайран өнгөрч, квадрат руу перпендикуляр шулуун шугамын эргэн тойронд эргүүлнэ. H, зэрэгцээ байрлал руу
pl. V. Энэ тохиолдолд В цэг байрандаа үлдэх ба А цэг нь А 1 шинэ байрлалыг авна. Тэнгэрийн хаяа шинэ байрлалд байна. проекц a 1 b || x тэнхлэг a" 1 b" проекц нь AB сегментийн натурал хэмжээтэй тэнцүү байна.
156. Дана SABC пирамид D (Зураг 154). Пирамидын AS ба CS ирмэгүүдийн бодит хэмжээг проекцын хавтгайг өөрчлөх аргыг ашиглан, BS ба DS ирмэгийг эргүүлэх аргыг ашиглан тодорхойлж, эргэлтийн тэнхлэгийг квадрат руу перпендикуляр авна. Х.
157*. А цэгээс BC шулуун шугам хүртэлх зайг тодорхойл (Зураг 155, а).
Шийдэл. Нэг цэгээс шугам хүртэлх зайг тухайн цэгээс шугам хүртэл татсан перпендикуляр хэрчмээр хэмждэг.
Хэрэв шулуун шугам нь аль нэг хавтгайд перпендикуляр байвал (Зураг 155.6) цэгээс шулуун шугам хүртэлх зайг тухайн цэгийн проекцын хоорондох зайгаар хэмжинэ. проекцын цэгЭнэ хавтгай дээрх шулуун шугам. Хэрэв шулуун шугам нь V, H системд ерөнхий байрлалыг эзэлдэг бол проекцын хавтгайг өөрчлөх замаар цэгээс шулуун шугам хүртэлх зайг тодорхойлохын тулд V, H системд хоёр нэмэлт хавтгай оруулах шаардлагатай.
Эхлээд (Зураг 155, в) бид квадрат руу орно. S, сегменттэй зэрэгцээ BC (шинэ S/H тэнхлэг нь bс проекцтэй параллель байна), бид b s c s ба a s проекцуудыг байгуулна. Дараа нь (Зураг 155, d) бид өөр нэг квадратыг танилцуулж байна. T, BC шулуун шугамд перпендикуляр (шинэ тэнхлэг T/S нь b s-тэй s-тэй перпендикуляр). Бид t (b t) ба a t-тэй шулуун ба цэгийн проекцийг бүтээдэг. a t ба c t (b t) цэгүүдийн хоорондох зай нь А цэгээс ВС шулуун шугам хүртэлх l зайтай тэнцүү байна.
Зураг дээр. 155, d, ижил ажлыг зэрэгцээ хөдөлгөөний арга гэж нэрлэдэг эргэлтийн аргыг ашиглан гүйцэтгэдэг. Нэгдүгээрт, BC шулуун шугам ба А цэг нь харьцангуй байрлалаа өөрчлөлгүй, квадраттай перпендикуляр зарим (зураг дээр заагаагүй) шулуун шугамын эргэн тойронд эргэлддэг. H, ингэснээр BC шулуун нь квадраттай параллель байна. V. Энэ нь квадраттай параллель хавтгайд байрлах A, B, C цэгүүдийг хөдөлгөхтэй тэнцүү юм. H. Үүний зэрэгцээ тэнгэрийн хаяа. проекц өгөгдсөн систем(BC + A) нь хэмжээ, тохиргооны хувьд өөрчлөгддөггүй, зөвхөн x тэнхлэгтэй харьцуулахад байрлал нь өөрчлөгддөг. Бид тэнгэрийн хаяаг байрлуулна. BC шулуун шугамын проекцийг х тэнхлэгтэй параллель (b 1 c 1 байрлал) ба c 1 1 1 = c-1 ба a 1 1 1 = a-1, a 1 1 зэргийг хойш тавьж a 1 проекцийг тодорхойлно. 1 ⊥ c 1 1 1. X тэнхлэгтэй параллель b"b" 1, a"a" 1, c"c" 1 шулуун шугамуудыг зурж, бид тэдгээрийн урд талыг олно. төсөөлөл b" 1, a" 1, c" 1. Дараа нь бид B 1, C 1, A 1 цэгүүдийг V талбайтай параллель хавтгайд шилжүүлнэ (мөн тэдгээрийг өөрчлөхгүйгээр) харьцангуй байрлал), B 2 C 2 ⊥ pl-ийг авахын тулд. H. Энэ тохиолдолд шулуун шугамын проекц нь урд талын перпендикуляр байх болно x,b тэнхлэгүүд 2 c" 2 = b" 1 c" 1 бөгөөд a" 2 проекцийг бүтээхийн тулд та b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1, 2"a" 2 ⊥ b" 2 c"-ийг зурах хэрэгтэй. 2 ба a" 2 2" 2 = a" 1 2" 1-ийг хойш тавь. Одоо 1-тэй 2, 1-тэй 2 || x 1 бид 2 ба a 2-оос b 2 проекц, А цэгээс BC шулуун шугам хүртэлх хүссэн l зайг олж авна. А цэгээс ВС хүртэлх зайг А цэгээр тодорхойлсон хавтгай ба ВС шулуун шугамыг энэ хавтгайн хэвтээ орчимд эргүүлж T || pl. H (Зураг 155, f).
А цэг ба BC шулуун шугамаар тодорхойлогдсон хавтгайд хэвтээ шугамыг A-1 (Зураг 155, g) зурж, В цэгийг тойрон эргүүлнэ. R (R h-ийн хажууд байгаа зурагт заасан), перпендикуляр A-1; O цэг дээр B цэгийн эргэлтийн төв байна. Одоо бид VO эргэлтийн радиусын байгалийн утгыг тодорхойлно (Зураг 155, в). Шаардлагатай байрлалд, өөрөөр хэлбэл pl. А цэг ба ВС шулуун шугамаар тодорхойлогдсон T нь || болно pl. H, B цэг нь O цэгээс Ob 1 зайд R h дээр байх болно (ижил мөр R h дээр өөр байрлал байж болно, гэхдээ O-ийн нөгөө талд). b 1 цэг нь тэнгэрийн хаяа юм. А цэг ба ВС шулуун шугамаар тодорхойлогдсон хавтгай T байрлалыг авсан үед В цэгийг орон зайд B 1 байрлалд шилжүүлсний дараа проекц.
Зураг (Зураг 155, i) шулуун шугам b 1 1, бид тэнгэрийн хаяаг олж авна. аль хэдийн байрласан BC шулуун шугамын проекц || pl. H нь A-тай ижил хавтгайд байна. Энэ байрлалд a-аас b 1 1 хүртэлх зай нь хүссэн l зайтай тэнцүү байна. Өгөгдсөн элементүүд байрлах P хавтгайг квадраттай нэгтгэж болно. H (Зураг 155, j), дөрвөлжин эргэх. Түүний эргэн тойронд R бол тэнгэрийн хаяа юм. ул мөр. Хавтгайг А цэг ба ВС шулуун шугамаар зааж байснаас ВС ба А-1 шулуун шугамыг зааж өгөх рүү шилжиж (Зураг 155, l) бид эдгээр шулуунуудын ул мөрийг олж, тэдгээрийн дундуур P ϑ ба P h ул мөрийг зурна. Бид талбайтай хослуулсан (Зураг 155, м) барьж байна. H байрлалын урд. ул мөр - P ϑ0.
А цэгээр дамжуулан бид тэнгэрийн хаяаг зурдаг. урд талын төсөөлөл; хосолсон фронтал нь P ϑ0-тай параллель P h ул мөрний 2-р цэгийг дайран өнгөрдөг. А цэг 0 - квадраттай хослуулсан. H нь А цэгийн байрлал. Үүний нэгэн адил бид В цэгийг 0 олно. Нарны шууд тусгал дөрвөлжинтэй хосолсон. H байрлал нь B 0 цэг ба m цэгээр дамждаг (шулуун шугамын хэвтээ ул мөр).
A 0 цэгээс B 0 C 0 шулуун шугам хүртэлх зай нь шаардлагатай l зайтай тэнцүү байна.
Та P h-ийн зөвхөн нэг ул мөрийг олох замаар заасан барилгын ажлыг хийж болно (Зураг 155, n ба o). Бүхэл бүтэн барилга нь хэвтээ эргэн тойронд эргэлттэй төстэй (155-р зургийг үз, g, c, i): ул мөр P h нь хэвтээ хэсгүүдийн нэг юм. Р.
Энэ асуудлыг шийдэх аргуудаас зургийг хувиргах хамгийн тохиромжтой арга бол хэвтээ эсвэл урд талын эргэн тойронд эргүүлэх арга юм.
158. SABC пирамид өгөгдсөн (Зураг 156). Зайг тодорхойлох:
a) суурийн В дээд хэсгээс хажуугийн АС хүртэл зэрэгцээ хөдөлгөөний аргаар;
б) пирамидын дээд S хэсгээс суурийн ВС ба AB талууд хүртэл хэвтээ тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг;
в) проекцын хавтгайг өөрчлөх замаар дээд S-ээс суурийн АС тал руу.
159. Призмийг өгөв (Зураг 157). Зайг тодорхойлох:
a) проекцын хавтгайг өөрчлөх замаар AD ба CF хавирганы хооронд;
б) урд талын эргэн тойронд эргүүлэх замаар BE ба CF хавирганы хооронд;
в) AD ба BE ирмэгүүдийн хооронд зэрэгцээ хөдөлгөөнөөр.
160. ABCD дөрвөлжингийн бодит хэмжээг (Зураг 158) квадраттай зэрэгцүүлэн тодорхойл. N. Зөвхөн онгоцны хэвтээ ул мөрийг ашиглана.
161*. AB ба CD огтлолцох шулуун шугамуудын хоорондох зайг тодорхойлж (Зураг 159, а) тэдгээрт нийтлэг перпендикуляр проекцуудыг байгуул.
Шийдэл. Хөндлөнгийн шугамын хоорондох зайг хоёр шулууны перпендикуляр сегментээр (MN) хэмжинэ (Зураг 159, b). Мэдээжийн хэрэг, хэрэв шулуун шугамын аль нэгийг аль нэг квадрат руу перпендикуляр байрлуулсан бол. Т, тэгвэл
хоёр шулууны перпендикуляр MN хэрчим квадраттай параллель байна. Энэ хавтгай дээрх түүний төсөөлөл нь шаардлагатай зайг харуулна. Menad MN n AB-ийн зөв өнцгийн талбай дээрх проекц. Зөв өнцгийн нэг тал нь AMN, тухайлбал MN тул T нь мөн m t n t ба a t b t хоёрын хоорондох тэгш өнцөг болно. квадраттай зэрэгцээ Т.
Зураг дээр. 159, c ба d, шаардлагатай зай l нь проекцын хавтгайг өөрчлөх аргаар тодорхойлогдоно. Эхлээд бид нэмэлт квадратыг танилцуулж байна. квадраттай перпендикуляр S проекцууд. H ба CD шулуун шугамтай зэрэгцээ (Зураг 159, в). Дараа нь бид өөр нэг нэмэлт квадратыг танилцуулж байна. T, квадраттай перпендикуляр. S ба ижил шулуун шугамын перпендикуляр CD (Зураг 159, d). Одоо та a t b t проекц руу перпендикуляр c t (d t) цэгээс m t n t зурж ерөнхий перпендикулярын проекцийг байгуулж болно. m t ба n t цэгүүд нь энэ перпендикулярын AB ба CD шулуун шугамуудтай огтлолцох цэгүүдийн проекц юм. m t цэгийг ашиглан (Зураг 159, e) a s b s дээр m s-ийг олно: m s n s-ийн проекц нь T/S тэнхлэгтэй параллель байх ёстой. Дараа нь m s ба n s-ээс бид m ба n-ийг ab ба cd дээр, тэдгээрээс m" ба n" -ийг a"b" ба c"d" дээр олно.
Зураг дээр. 159, c параллель хөдөлгөөний аргыг ашиглан энэ асуудлын шийдлийг харуулав. Эхлээд бид шулуун CD-г квадраттай зэрэгцээ байрлуулна. V: проекц c 1 d 1 || X. Дараа нь бид CD ба AB шулуун шугамуудыг C 1 D 1 ба A 1 B 1 байрлалаас C 2 B 2 ба A 2 B 2 байрлал руу шилжүүлснээр C 2 D 2 нь H-д перпендикуляр байх болно: проекц c" 2 d" 2 ⊥ x. Шаардлагатай перпендикулярын сегмент нь || байрлана pl. H, тиймээс m 2 n 2 нь AB ба CD хоорондын хүссэн l зайг илэрхийлнэ. Бид a" 2 b" 2 ба c" 2 d" 2 дээрх m" 2 ба n" 2 проекцуудын байрлалыг олж, дараа нь m 1 ба m" 1, n 1 ба n" 1 проекцуудыг олно. проекцууд m" ба n ", m ба n.
162. SABC пирамид өгөгдсөн (Зураг 160). Пирамидын суурийн SB ирмэг ба хажуугийн АС хоорондын зайг тодорхойлж, проекцын хавтгайг өөрчлөх аргыг ашиглан SB ба АС-д нийтлэг перпендикуляр проекцуудыг байгуулна.
163. SABC пирамид өгөгдсөн (Зураг 161). Пирамидын суурийн SH ирмэг ба ВС хажуугийн хоорондох зайг тодорхойлж, SX ба BC-ийн нийтлэг перпендикулярын проекцийг параллель шилжилтийн аргаар байгуул.
164*. Хавтгайг тодорхойлсон тохиолдолд А цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тодорхойлно: a) гурвалжин BCD (Зураг 162, а); б) ул мөр (Зураг 162, b).
Шийдэл. Та бүхний мэдэж байгаагаар цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тухайн цэгээс хавтгайд татсан перпендикулярын утгаар хэмждэг. Энэ зайг аль ч хэсэгт төсөөлдөг. амьдралын хэмжээний төсөөлөл, хэрэв өгсөн онгоцквадратад перпендикуляр төсөөлөл (Зураг 162, в). Энэ нөхцөл байдалд зургийг өөрчлөх замаар, жишээлбэл, талбайг өөрчлөх замаар хүрч болно. төсөөлөл. pl.-г танилцуулъя. S (Зураг 16c, d), квадраттай перпендикуляр. гурвалжин BCD. Үүнийг хийхийн тулд бид талбайд зарцуулдаг. гурвалжин B-1 хэвтээ ба проекцын S тэнхлэгийг b-1 проекцод перпендикуляр хэвтээ байрлуулна. Бид цэг ба хавтгайн проекцийг бүтээдэг - a s ба c s d s сегмент. a s-ээс c s d s хүртэлх зай нь тухайн цэгээс хавтгай хүртэлх хүссэн l зайтай тэнцүү байна.
Рио руу. 162, d зэрэгцээ хөдөлгөөний аргыг ашигласан. B-1 хэвтээ хавтгай V хавтгайд перпендикуляр болох хүртэл бид бүхэл системийг хөдөлгөдөг: b 1 1 1 проекц нь x тэнхлэгт перпендикуляр байх ёстой. Энэ байрлалд гурвалжны хавтгай урд талын проекц болж, А цэгээс l хүртэлх зай нь pl байх болно. V гажуудалгүйгээр.
Зураг дээр. 162, b хавтгай нь ул мөрөөр тодорхойлогддог. Бид (Зураг 162, e) нэмэлт квадратыг танилцуулж байна. S, квадраттай перпендикуляр. P: S/H тэнхлэг нь P h-тэй перпендикуляр байна. Үлдсэн хэсэг нь зурагнаас тодорхой харагдаж байна. Зураг дээр. 162, g асуудлыг нэг хөдөлгөөн ашиглан шийдсэн: pl. P нь P 1 байрлалд ордог, өөрөөр хэлбэл энэ нь урд талын проекц болж хувирдаг. Зам. P 1h нь x тэнхлэгт перпендикуляр байна. Бид онгоцны энэ байрлалд урд хэсгийг барьдаг. хэвтээ мөр нь n" 1,n 1 цэг юм. P 1ϑ мөр нь P 1x ба n 1-ээр дамжин өнгөрөх болно. a" 1-ээс P 1ϑ хүртэлх зай нь шаардлагатай l зайтай тэнцүү байна.
165. SABC пирамид өгөгдсөн (160-р зургийг үз). Зэрэгцээ хөдөлгөөний аргыг ашиглан А цэгээс SBC пирамидын ирмэг хүртэлх зайг тодорхойлно.
166. SABC пирамид өгөгдсөн (161-р зургийг үз). Зэрэгцээ шилжилтийн аргыг ашиглан пирамидын өндрийг тодорхойлно.
167*. AB ба CD огтлолцох шугамуудын хоорондох зайг (159,а-р зургийг үз) эдгээр шугамаар татсан параллель хавтгайн хоорондын зайгаар тодорхойлно.
Шийдэл. Зураг дээр. 163 ба P ба Q хавтгайнууд хоорондоо параллель, үүнээс pl. Q-г CD-ээр AB ба pl-тэй параллель зурсан. P - AB-ээр дамжуулан квадраттай параллель. А.Ийм хавтгайн хоорондох зайг AB ба CD шулуун шугамыг огтлолцох зай гэж үзнэ. Гэсэн хэдий ч, та зөвхөн нэг хавтгай, жишээ нь Q, AB-тай параллель байхаар хязгаарлаж, дараа нь хамгийн багадаа А цэгээс энэ хавтгай хүртэлх зайг тодорхойлж болно.
Зураг дээр. 163, c нь CD-ээр AB-тай параллель зурсан Q хавтгайг харуулав; "e" || ашиглан хийсэн төсөөлөлд a"b" ба ce || ab. pl-г өөрчлөх аргыг ашиглах. төсөөлөл (Зураг 163, в), бид нэмэлт квадратыг танилцуулж байна. S, квадраттай перпендикуляр. V ба нэгэн зэрэг
квадраттай перпендикуляр Q. S/V тэнхлэгийг зурахын тулд энэ хавтгайд урд талын D-1-ийг авна. Одоо бид d"1"-д перпендикуляр S/V зурна (Зураг 163, в). Pl. Q-г талбай дээр дүрсэлсэн болно. S нь s d s-тэй шулуун шугам. Үлдсэн хэсэг нь зурагнаас тодорхой харагдаж байна.
168. SABC пирамид өгөгдсөн (160-р зургийг үз). SC ба AB хавирганы хоорондох зайг тодорхойлно уу: 1) талбайг өөрчлөх арга. төсөөлөл, 2) зэрэгцээ хөдөлгөөний арга.
169*. Нэг нь AB ба АС шулуун шугамаар, нөгөө нь DE ба DF шулуун шугамаар тодорхойлогддог параллель хавтгай хоорондын зайг тодорхойл (Зураг 164, а). Мөн онгоцыг ул мөрөөр тодорхойлсон тохиолдолд барилгын ажлыг гүйцэтгэнэ (Зураг 164, б).
Шийдэл. Нэг хавтгайн аль ч цэгээс нөгөө хавтгайд перпендикуляр зурах замаар параллель хавтгай хоорондын зайг (Зураг 164, в) тодорхойлж болно. Зураг дээр. 164, g нэмэлт квадратыг нэвтрүүлсэн. S квадраттай перпендикуляр. H ба өгөгдсөн онгоц хоёуланд нь. S.H тэнхлэг нь хэвтээ чиглэлд перпендикуляр байна. аль нэг хавтгайд зурсан хэвтээ проекц. Бид энэ хавтгайн проекц болон дөрвөлжин дээрх өөр хавтгайн цэгийг байгуулдаг. 5. d s цэгээс шулуун шугам хүртэлх зай l s a s нь параллель хавтгайн хоорондох шаардлагатай зайтай тэнцүү байна.
Зураг дээр. 164, d өөр барилга байгууламжийг өгсөн (зэрэгцээ хөдөлгөөний аргын дагуу). АВ ба АС огтлолцсон шулуунуудаар илэрхийлэгдсэн хавтгай квадраттай перпендикуляр байхын тулд. V, давхрага. Бид энэ хавтгайн хэвтээ проекцийг x тэнхлэгт перпендикуляр тогтооно: 1 1 2 1 ⊥ x. Урд талын хоорондох зай. D цэгийн d" 1 проекц ба шулуун шугам a" 1 2" 1 (хавтгайн урд талын проекц) нь хавтгайн хоорондох шаардлагатай зайтай тэнцүү байна.
Зураг дээр. 164, e нь нэмэлт квадратын танилцуулгыг харуулж байна. S, H талбай ба өгөгдсөн P ба Q хавтгайд перпендикуляр (S/H тэнхлэг нь P h ба Q h ул мөртэй перпендикуляр). Бид P ба Q s-ийн ул мөрийг бүтээдэг. Тэдгээрийн хоорондох зай (164-р зургийг үз, в) нь P ба Q хавтгайн хоорондох хүссэн зай l-тэй тэнцүү байна.
Зураг дээр. 164, g нь давхрага байх үед P 1 n Q 1, байрлалд P 1 ба Q 1-ийн хөдөлгөөнийг харуулав. ул мөр нь х тэнхлэгт перпендикуляр болж хувирна. Шинэ фронтуудын хоорондох зай. P 1ϑ ба Q 1ϑ ул мөр нь шаардлагатай l зайтай тэнцүү байна.
170. ABCDEFGH параллелепипед өгөгдсөн (Зураг 165). Зайг тодорхойлно уу: a) параллелепипедийн суурийн хооронд - l 1; б) ABFE ба DCGH нүүрний хооронд - l 2; в) ADHE ба BCGF-l 3-ийн нүүрний хооронд.
Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зай нь цэгээс шулуун хүртэл татсан перпендикулярын урт юм. IN дүрслэх геометрЭнэ нь тодорхойлогддог графикаардоорх алгоритмын дагуу.
Алгоритм
- Шулуун шугамыг аливаа проекцийн хавтгайтай параллель байх байрлалд шилжүүлнэ. Энэ зорилгоор ортогональ проекцийг хувиргах аргыг ашигладаг.
- Нэг цэгээс шулуун руу перпендикуляр зур. Гол нь энэ барилгынзөв өнцгийн проекцын тухай теорем оршино.
- Перпендикулярын уртыг проекцийг хувиргах эсвэл тэгш өнцөгт гурвалжны аргыг ашиглан тодорхойлно.
Дараах зургийг харуулав нарийн төвөгтэй зураг M цэг ба b шугамыг CD сегментээр тодорхойлно. Та тэдгээрийн хоорондох зайг олох хэрэгтэй.
Бидний алгоритмын дагуу хамгийн түрүүнд хийх зүйл бол шулуун шугамыг байрлал руу шилжүүлэх явдал юм хавтгайтай зэрэгцээтөсөөлөл. Өөрчлөлтийг хийсний дараа цэг ба шугамын хоорондох бодит зай өөрчлөгдөх ёсгүй гэдгийг ойлгох нь чухал юм. Тийм ч учраас сансарт хөдөлж буй дүрсийг оролцуулахгүй, онгоцыг солих аргыг ашиглах нь тохиромжтой.
Барилгын эхний шатны үр дүнг доор харуулав. Зураг дээр b-тэй зэрэгцээ нэмэлт урд талын P 4 хавтгайг хэрхэн нэвтрүүлж байгааг харуулж байна. IN шинэ систем(P 1, P 4) C"" 1, D"" 1, M"" 1 цэгүүд нь X тэнхлэгээс 1-ээс C"", D"", M"" X тэнхлэгээс ижил зайд байна.
Алгоритмын хоёр дахь хэсгийг гүйцэтгэснээр M"" 1-ээс бид перпендикуляр M"" 1 N"" 1-ийг b"" 1 шулуун руу буулгана, учир нь b ба MN хоорондох MND зөв өнцгийг P хавтгайд тусгасан болно. 4 бүрэн хэмжээтэй. Холбооны шугамыг ашиглан бид N" цэгийн байрлалыг тодорхойлж, MN сегментийн M"N" проекцийг гүйцэтгэнэ.
Асаалттай эцсийн шатта MN сегментийн хэмжээг түүний M"N" ба M"" 1 N"" 1 проекцуудаас тодорхойлох хэрэгтэй. Үүний тулд бид барьж байна зөв гурвалжин N"" 1 N 0 талтай M"" 1 N"" 1 N 0 зөрүүтэй тэнцүү байна(Y M 1 – Y N 1) X 1 тэнхлэгээс M" ба N" цэгүүдийг арилгах. M"" 1 N"" 1 N 0 гурвалжны M"" 1 N 0 гипотенузын урт нь M-ээс b хүртэлх хүссэн зайтай тохирч байна.
Хоёр дахь шийдэл
- CD-тэй зэрэгцэн бид шинэ хувилбарыг танилцуулж байна урд талын хавтгай P 4. Энэ нь X 1 тэнхлэгийн дагуу P 1, X 1 ∥C"D"-ийг огтолж байна. Хавтгайг солих аргын дагуу бид зурагт үзүүлсэн шиг C"" 1, D"" 1 ба M"" 1 цэгүүдийн төсөөллийг тодорхойлно.
- Перпендикуляр C"" 1 D"" 1 бид нэмэлтийг барина хэвтээ хавтгай P 5 түүн дээр b шулуун C" 2 = b" 2 цэг рүү чиглэсэн байна.
- М цэг ба b шугамын хоорондох зайг улаанаар тэмдэглэсэн M" 2 C" 2 сегментийн уртаар тодорхойлно.
Үүнтэй төстэй ажлууд:
