Algoritem za reševanje eksponentnih enačb in neenačb. Eksponentne enačbe in neenačbe

Razmislite o primeru: rešite neenačbo (0,5) (7 - 3*x)< 4.

Upoštevajte, da je 4 = (0,5) 2 . Potem bo neenakost imela obliko (0,5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

Dobimo: 7 - 3*x>-2.

Torej: x<3.

Odgovor: x<3.

Če bi bila osnova v neenakosti večja od ena, potem, ko se znebimo osnove, ne bi bilo treba spremeniti predznaka neenakosti.

Eksponentne enačbe in neenačbe so tiste, pri katerih je neznanka v eksponentu.

rešitev eksponentne enačbe pogosto pride do reševanja enačbe a x = a b, kjer je a > 0, a ≠ 1, x ni znan. Ta enačba ima en sam koren x = b, ker velja naslednji izrek:

Izrek. Če je a > 0, a ≠ 1 in a x 1 = a x 2, potem je x 1 = x 2.

Utemeljimo obravnavano trditev.

Predpostavimo, da enakost x 1 = x 2 ne velja, tj. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, potem eksponentna funkcija y = a x narašča in zato mora biti izpolnjena neenakost a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. V obeh primerih smo prejeli protislovje s pogojem a x 1 = a x 2.

Razmislimo o več težavah.

Rešite enačbo 4 ∙ 2 x = 1.

rešitev.

Enačbo zapišimo v obliki 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0, iz katere dobimo x + 2 = 0, tj. x = -2.

Odgovori. x = -2.

Reši enačbo 2 3x ∙ 3 x = 576.

rešitev.

Ker je 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, lahko enačbo zapišemo kot 8 x ∙ 3 x = 24 2 ali kot 24 x = 24 2.

Od tu dobimo x = 2.

Odgovori. x = 2.

Rešite enačbo 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.

rešitev.

Če vzamemo skupni faktor 3 x - 2 iz oklepaja na levi strani, dobimo 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

od koder je 3 x - 2 = 1, tj. x – 2 = 0, x = 2.

Odgovori. x = 2.

Reši enačbo 3 x = 7 x.

rešitev.

Ker je 7 x ≠ 0, lahko enačbo zapišemo kot 3 x /7 x = 1, od koder je (3/7) x = 1, x = 0.

Odgovori. x = 0.

Rešite enačbo 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.

rešitev.

Z zamenjavo 3 x = a podana enačba pride do kvadratna enačba a 2 – 4a – 45 = 0.

Če rešimo to enačbo, najdemo njene korenine: a 1 = 9 in 2 = -5, od koder je 3 x = 9, 3 x = -5.

Enačba 3 x = 9 ima koren 2, enačba 3 x = -5 pa nima korenin, ker eksponentna funkcija ne more imeti negativne vrednosti.

Odgovori. x = 2.

Reševanje eksponentnih neenačb se pogosto zmanjša na reševanje neenakosti a x > a b ali a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Poglejmo nekaj težav.

Rešite neenačbo 3 x< 81.

rešitev.

Zapišimo neenačbo v obliki 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, potem je funkcija y = 3 x naraščajoča.

Zato za x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Tako je pri x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Odgovori. X< 4.

Rešite neenačbo 16 x +4 x – 2 > 0.

rešitev.

Označimo 4 x = t, potem dobimo kvadratna neenakost t2 + t – 2 > 0.

Ta neenakost velja za t< -2 и при t > 1.

Ker je t = 4 x, dobimo dve neenakosti 4 x< -2, 4 х > 1.

Prva neenačba nima rešitev, saj je 4 x > 0 za vse x € R.

Drugo neenačbo zapišemo v obliki 4 x > 4 0, od koder je x > 0.

Odgovori. x > 0.

Grafično reši enačbo (1/3) x = x – 2/3.

rešitev.

1) Zgradimo grafa funkcij y = (1/3) x in y = x – 2/3.

2) Na podlagi naše slike lahko sklepamo, da se grafi obravnavanih funkcij sekajo v točki z absciso x ≈ 1. Preverjanje dokazuje, da

x = 1 je koren te enačbe:

(1/3) 1 = 1/3 in 1 – 2/3 = 1/3.

Z drugimi besedami, našli smo enega od korenov enačbe.

3) Poiščimo druge korenine ali dokažimo, da jih ni. Funkcija (1/3) x pada, funkcija y = x – 2/3 pa narašča. Zato so za x> 1 vrednosti prve funkcije manjše od 1/3, druge pa več kot 1/3; pri x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 in x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Odgovori. x = 1.

Upoštevajte, da zlasti iz rešitve tega problema sledi, da je neenakost (1/3) x > x – 2/3 izpolnjena za x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.

Marsikdo misli, da so eksponentne neenakosti nekaj kompleksnega in nerazumljivega. In da je naučiti se jih reševati skoraj velika umetnost, ki so jo sposobni doumeti le Izbrani ...

Popolna neumnost! Eksponentne neenakosti so enostavne. In vedno se rešijo preprosto. No, skoraj vedno. :)

Danes si bomo to temo ogledali od znotraj in od zunaj. Ta lekcija bo zelo koristna za tiste, ki šele začenjajo razumeti ta del šolska matematika. Začnimo z preproste naloge in šli bomo proti več kompleksna vprašanja. Danes ne bo težkega dela, toda to, kar boste prebrali, bo dovolj za rešitev večine neenakosti na vseh vrstah testov in testov. samostojno delo. In tudi na tem tvojem izpitu.

Kot vedno, začnimo z definicijo. Eksponentna neenačba je vsaka neenačba, ki vsebuje eksponentno funkcijo. Z drugimi besedami, vedno ga je mogoče reducirati na neenakost oblike

\[((a)^(x)) \gt b\]

Kje je lahko $b$ v vlogi? redna številka, in morda kaj težjega. Primeri? Da, prosim:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(x))). \\\konec(poravnaj)\]

Mislim, da je pomen jasen: obstaja eksponentna funkcija $((a)^(x))$, primerja se z nečim in nato zahteva, da najde $x$. V posebej kliničnih primerih lahko namesto spremenljivke $x$ postavijo kakšno funkcijo $f\left(x \right)$ in s tem malo zakomplicirajo neenakost.

Seveda se lahko v nekaterih primerih neenakost zdi hujša. Na primer:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Ali celo to:

Na splošno je kompleksnost takšnih neenakosti lahko zelo različna, vendar se na koncu vseeno zmanjšajo na preprosto konstrukcijo $((a)^(x)) \gt b$. In nekako bomo ugotovili takšno konstrukcijo (v posebej kliničnih primerih, ko nam nič ne pride na misel, nam bodo pomagali logaritmi). Zato vas bomo zdaj naučili reševati tako preproste konstrukcije.

Reševanje preprostih eksponentnih neenačb

Poglejmo nekaj zelo preprostega. Na primer to:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Očitno je mogoče številko na desni prepisati kot potenco dvojke: $4=((2)^(2))$. Tako lahko prvotno neenakost prepišemo v zelo priročni obliki:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

In zdaj me kar srbijo roke, da bi dvojke v osnovah potence »prečrtal«, da bi dobil odgovor $x \gt 2$. Toda preden karkoli prečrtamo, se spomnimo moči dveh:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Kot vidimo, kot večje število je v eksponentu, večje je izhodno število. "Hvala, Cap!" - bo vzkliknil eden od študentov. Je kaj drugače? Na žalost se zgodi. Na primer:

\[((\levo(\frac(1)(2) \desno))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\levo(\frac(1)(2) \ desno))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\levo(\frac(1)(2) \desno))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Tudi tukaj je vse logično: kaj več diplome, kolikokrat je število 0,5 pomnoženo samo s seboj (tj. razdeljeno na pol). Tako nastalo zaporedje števil pada, razlika med prvim in drugim zaporedjem pa je samo v osnovi:

• Če je osnova stopnje $a \gt 1$, se bo z naraščanjem eksponenta $n$ povečalo tudi število $((a)^(n))$;
• In obratno, če je $0 \lt a \lt 1$, se bo z naraščanjem eksponenta $n$ število $((a)^(n))$ zmanjšalo.

Če povzamemo ta dejstva, dobimo najpomembnejšo trditev, na kateri temelji celotna rešitev eksponentnih neenačb:

Če je $a \gt 1$, potem je neenakost $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ enakovredna neenakosti $x \gt n$. Če je $0 \lt a \lt 1$, potem je neenakost $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ enakovredna neenakosti $x \lt n$.

Z drugimi besedami, če je osnova večja od ena, jo lahko preprosto odstranite - znak neenakosti se ne bo spremenil. In če je osnova manjša od ena, jo je mogoče tudi odstraniti, hkrati pa boste morali spremeniti znak neenakosti.

Upoštevajte, da nismo upoštevali možnosti $a=1$ in $a\le 0$. Ker v teh primerih nastane negotovost. Recimo, kako rešiti neenačbo v obliki $((1)^(x)) \gt 3$? Eden kateri koli moči bo spet dal enega - nikoli ne bomo dobili treh ali več. Tisti. ni rešitev.

Z negativni razlogiše bolj zanimivo. Razmislite na primer o tej neenakosti:

\[((\levo(-2 \desno))^(x)) \gt 4\]

Na prvi pogled je vse preprosto:

Prav? Vendar ne! Dovolj je, da namesto $x$ zamenjate par sodih enic in par liha števila da se prepričate, da je rešitev napačna. Poglej:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Desna puščica ((\levo(-2 \desno))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Desna puščica ((\levo(-2 \desno))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Desna puščica ((\levo(-2 \desno))^(7))=-128 \lt 4. \\\konec(poravnaj)\]

Kot lahko vidite, se znaki izmenjujejo. Vendar je še več ulomljene potence in drugi kositer. Kako bi na primer odredil izračun $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus dva na potenco števila sedem)? Ni šans!

Zato za določnost predpostavimo, da je v vseh eksponentnih neenačbah (in mimogrede tudi enačbah) $1\ne a \gt 0$. In potem se vse reši zelo preprosto:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\desna puščica \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \desno), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \desno). \\\end(align) \desno.\]

Na splošno si še enkrat zapomnite glavno pravilo: če je osnova v eksponentni enačbi večja od ena, jo lahko preprosto odstranite; in če je osnova manjša od ena, jo lahko tudi odstranimo, vendar se bo predznak neenakosti spremenil.

Primeri rešitev

Torej, poglejmo nekaj preprostih eksponentnih neenakosti:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\konec(poravnaj)\]

Primarna naloga je v vseh primerih enaka: reducirati neenačbe na najpreprostejšo obliko $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Prav to bomo zdaj naredili pri vsaki neenačbi, hkrati pa bomo ponovili lastnosti stopinj in eksponentnih funkcij. Torej, gremo!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Kaj lahko počneš tukaj? No, na levi ga že imamo eksponentni izraz- ni treba ničesar spreminjati. Toda na desni je nekakšna sranje: ulomek in celo koren v imenovalcu!

Vendar si zapomnimo pravila za delo z ulomki in potencami:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\konec(poravnaj)\]

Kaj to pomeni? Prvič, ulomka se zlahka znebimo tako, da ga spremenimo v potenco z negativni indikator. In drugič, ker ima imenovalec koren, bi ga bilo lepo pretvoriti v potenco - tokrat z ulomkom.

Ta dejanja zaporedno uporabite na desni strani neenakosti in poglejte, kaj se zgodi:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \desno))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \levo(-1 \desno)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Ne pozabite, da se pri dvigovanju stopnje na potenco eksponenti teh stopinj seštejejo. In na splošno je pri delu z eksponentnimi enačbami in neenačbami nujno poznati vsaj najpreprostejša pravila za delo s potencami:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\levo(((a)^(x)) \desno))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\konec(poravnaj)\]

Pravzaprav, zadnje pravilo pravkar smo ga uporabili. Zato bo naša prvotna neenakost prepisana na naslednji način:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Zdaj se znebimo dveh na dnu. Ker je 2 > 1, bo znak neenakosti ostal enak:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \desno]. \\\end(align)\]

To je rešitev! Glavna težava sploh ni v eksponentni funkciji, temveč v kompetentnem preoblikovanju izvirnega izraza: morate ga previdno in hitro prenesti v najpreprostejšo obliko.

Razmislite o drugi neenakosti:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Tako tako. Tukaj nas čakajo decimalni ulomki. Kot sem že večkrat rekel, se morate v vseh izrazih s potencami znebiti decimalnih mest - to je pogosto edini način, da vidite hitro in preprosto rešitev. Tukaj se bomo znebili:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\desna puščica ((\levo(\frac(1)(10) \desno))^(1-x)) \lt ( (\levo(\frac(1)(10) \desno))^(2)). \\\konec(poravnaj)\]

Tukaj imamo spet najpreprostejšo neenakost in še to z osnovo 1/10, tj. manj kot ena. No, odstranimo baze, hkrati spremenimo znak iz "manj" v "več" in dobimo:

\[\začetek(poravnaj) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\konec(poravnaj)\]

Prejeli smo končni odgovor: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Upoštevajte: odgovor je natanko množica in v nobenem primeru konstrukcija oblike $x \lt -1$. Ker formalno taka konstrukcija sploh ni množica, ampak neenakost glede na spremenljivko $x$. Da, zelo preprosto je, vendar ni odgovor!

Pomembna opomba. Ta neenakost lahko bi jo rešili drugače - z redukcijo obeh delov na potenco z osnovo večjo od ena. Poglej:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\desna puščica ((\levo(((10)^(-1)) \desno))^(1-x)) \ lt ((\levo(((10)^(-1)) \desno))^(2))\Desna puščica ((10)^(-1\cdot \levo(1-x \desno))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Po taki transformaciji bomo spet dobili eksponentno neenakost, vendar z osnovo 10 > 1. To pomeni, da lahko desetico preprosto prečrtamo - predznak neenakosti se ne spremeni. Dobimo:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \desno) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\konec(poravnaj)\]

Kot vidite, je bil odgovor popolnoma enak. Hkrati smo se rešili potrebe po menjavi znaka in si na splošno zapomnili kakršna koli pravila :).

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Vendar naj vas to ne prestraši. Ne glede na to, kaj je v indikatorjih, sama tehnologija reševanja neenakosti ostaja enaka. Zato najprej opazimo, da je 16 = 2 4. Prepišimo prvotno neenakost ob upoštevanju tega dejstva:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\konec(poravnaj)\]

Hura! Dobili smo običajno kvadratno neenakost! Znak se ni nikjer spremenil, saj je osnova dva - število, večje od ena.

Ničle funkcije na številski premici

Razporedimo znake funkcije $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - očitno bo njen graf parabola z vejami navzgor, tako da bodo "plusi" ” ob straneh. Zanima nas regija, kjer deluje manj kot nič, tj. $x\in \left(2;5 \right)$ je odgovor na izvirno težavo.

Nazadnje razmislite o drugi neenakosti:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Spet vidimo eksponentno funkcijo z decimalnim ulomkom na osnovi. Ta ulomek pretvorimo v navadni ulomek:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2) )^(1+((x)^(2))))=((\levo(((5)^(-1)) \desno))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \desno)))\end(align)\]

IN v tem primeru Uporabili smo prejšnjo opombo - osnovo smo zmanjšali na število 5 > 1, da bi poenostavili nadaljnjo rešitev. Naredimo enako z desno stranjo:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \desno))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ desno))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Prepišimo prvotno neenakost ob upoštevanju obeh transformacij:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \desno)))\ge ((5)^(-2))\]

Osnovi na obeh straneh sta enaki in presegata eno. Na desni in levi ni drugih izrazov, zato petice preprosto »prečrtamo« in dobimo zelo preprost izraz:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \desno) \desno. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\konec(poravnaj)\]

Tukaj morate biti bolj previdni. Mnogi učenci radi preprosto izvlečejo Kvadratni koren obeh strani neenakosti in zapišite nekaj takega kot $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. V nobenem primeru tega ne smete storiti, saj je koren natančnega kvadrata modul in v nobenem primeru izvirna spremenljivka:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\levo| x\desno|\]

Vendar delo z moduli ni najbolj prijetna izkušnja, kajne? Torej ne bomo delali. Namesto tega preprosto premaknemo vse člene v levo in rešimo običajno neenakost z intervalno metodo:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \levo(x-1 \desno)\levo(x+1 \desno)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\kvad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Ponovno označimo dobljene točke na številski premici in pogledamo znake:

Ker smo reševali nestrogo neenačbo, so vse točke na grafu osenčene. Zato bo odgovor: $x\in \left[ -1;1 \right]$ ni interval, ampak segment.

Na splošno bi rad opozoril, da pri eksponentnih neenakostih ni nič zapletenega. Pomen vseh transformacij, ki smo jih danes izvedli, se spušča v preprost algoritem:

• Poiščite osnovo, na katero bomo zmanjšali vse stopnje;
• Previdno izvedite transformacije, da dobite neenakost v obliki $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Seveda je lahko namesto spremenljivk $x$ in $n$ veliko več kompleksne funkcije, vendar se pomen ne bo spremenil;
• Prečrtaj stopinjske osnove. V tem primeru se znak neenakosti lahko spremeni, če je osnova $a \lt 1$.

Pravzaprav je to univerzalni algoritem za reševanje vseh tovrstnih neenakosti. In vse ostalo, kar vam bodo povedali na to temo, so le specifične tehnike in triki, ki bodo preobrazbo poenostavili in pospešili. Zdaj bomo govorili o eni od teh tehnik.

Metoda racionalizacije

Oglejmo si še en niz neenakosti:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\besedilo( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\levo(2\sqrt(3)-3 \desno))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\levo(\frac(1)(3) \desno))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\levo(\frac(1)(9) \desno))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Kaj je torej na njih tako posebnega? Lahki so. Čeprav, nehaj! Ali je število π dvignjeno na neko potenco? Kakšne neumnosti?

Kako dvigniti število $2\sqrt(3)-3$ na potenco? Ali $3-2\sqrt(2)$? Problemski pisci so očitno spili preveč Hawthorna, preden so sedli v službo :).

Pravzaprav v teh nalogah ni nič strašnega. Naj vas spomnim: eksponentna funkcija je izraz v obliki $((a)^(x))$, kjer je osnova $a$ katera koli pozitivno število, z izjemo enega. Število π je pozitivno - to že vemo. Tudi števili $2\sqrt(3)-3$ in $3-2\sqrt(2)$ sta pozitivni - to je enostavno videti, če ju primerjate z ničlo.

Izkazalo se je, da so vse te "strašljive" neenakosti rešene nič drugače kot preproste, o katerih smo razpravljali zgoraj? In ali so rešeni na povsem enak način? Da, popolnoma drži. Vendar bi na njihovem primeru rad razmislil o eni tehniki, ki močno prihrani čas pri samostojnem delu in izpitih. Govorili bomo o metodi racionalizacije. Torej, pozor:

Vsaka eksponentna neenakost v obliki $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ je enakovredna neenakosti $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ desno) \gt 0 $.

To je cela metoda. :) Ste mislili, da bo obstajala kakšna druga igra? Nič takega! Toda to preprosto dejstvo, zapisano dobesedno v eni vrstici, bo močno poenostavilo naše delo. Poglej:

\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \desno) \desno)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \desno) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Eksponentnih funkcij torej ni več! In ni vam treba zapomniti, ali se znak spremeni ali ne. Vendar se pojavi nov problem: kaj narediti s prekletim množiteljem \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Ne vemo, za kaj gre točna vrednostštevila π. Vendar se zdi, da kapitan namiguje na očitno:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\približno 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Na splošno nas natančna vrednost π pravzaprav ne zanima - pomembno je le, da razumemo, da je v vsakem primeru $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. to je pozitivna konstanta in z njo lahko delimo obe strani neenakosti:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \desno) \gt 0 \\ & x+7-\levo(((x)^(2))-3x+2 \desno) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \desno) \desno. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \levo(x-5 \desno)\levo(x+1 \desno) \lt 0. \\\konec(poravnaj)\]

Kot lahko vidite, smo morali v določenem trenutku deliti z minus ena - in znak neenakosti se je spremenil. Na koncu sem kvadratni trinom razširil z uporabo Vietovega izreka - očitno je, da so koreni enaki $((x)_(1))=5$ in $((x)_(2))=-1$ . Potem je vse odločeno klasična metoda intervali:

Vse točke so odstranjene, ker je prvotna neenakost stroga. Zanima nas območje z negativnimi vrednostmi, zato je odgovor $x\in \left(-1;5 \right)$. To je rešitev :)

Preidimo na naslednjo nalogo:

\[((\levo(2\sqrt(3)-3 \desno))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Tukaj je na splošno vse preprosto, saj je na desni enota. In spomnimo se, da je ena poljubno število, povišano na ničelno potenco. Tudi če je ta številka iracionalno izražanje, ki stoji ob vznožju na levi:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \desno))^(0)); \\\konec(poravnaj)\]

Pa dajmo racionalizirati:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \desno)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \desno) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \desno)\cdot 2\levo(\sqrt(3)-2 \desno) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Vse kar ostane je ugotoviti znake. Faktor $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ ne vsebuje spremenljivke $x$ - je le konstanta in ugotoviti moramo njen predznak. Če želite to narediti, upoštevajte naslednje:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \desno) \lt 2\cdot \left(2 -2 \desno)=0 \\\konec(matrika)\]

Izkazalo se je, da drugi faktor ni samo konstanta, ampak negativna konstanta! In ko ga delimo, se predznak prvotne neenakosti spremeni v nasprotno:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\levo(x-2 \desno) \gt 0. \\\konec(poravnaj)\]

Zdaj postane vse popolnoma očitno. Korenine kvadratni trinom, ki stoji na desni: $((x)_(1))=0$ in $((x)_(2))=2$. Označimo jih na številski premici in pogledamo predznake funkcije $f\levo(x \desno)=x\levo(x-2 \desno)$:

Zanimajo nas intervali, označeni s plusom. Preostane le še zapisati odgovor:

Pojdimo na naslednji primer:

\[((\levo(\frac(1)(3) \desno))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\levo(\frac(1)(9) \ desno))^(16-x))\]

No, tukaj je vse povsem očitno: baze vsebujejo potence istega števila. Zato bom vse napisal na kratko:

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\levo(((3)^(-1)) \desno))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\levo(((3)^(-2)) \desno))^(16-x)) \\\end(matrika)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \desno))) \gt ((3)^(-2\cdot \ levo(16-x \desno))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \desno) \desno)\cdot \left(3-1 \desno) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \desno) \desno. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \levo(x+8 \desno)\levo(x-4 \desno) \lt 0. \\\konec(poravnaj)\]

Kot lahko vidite, smo morali med procesom transformacije pomnožiti z negativnim številom, zato se je predznak neenakosti spremenil. Čisto na koncu sem ponovno uporabil Vietov izrek za faktorizacijo kvadratnega trinoma. Posledično bo odgovor naslednji: $x\in \left(-8;4 \right)$ - to lahko preveri vsak tako, da nariše številsko premico, označi točke in prešteje znake. Medtem se bomo premaknili na zadnjo neenakost iz našega "niza":

\[((\levo(3-2\sqrt(2) \desno))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Kot lahko vidite, je na dnu spet iracionalno število, na desni pa spet ena. Zato našo eksponentno neenakost prepišemo takole:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ desno))^(0))\]

Uporabljamo racionalizacijo:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \desno)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \desno) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \desno)\cdot 2\levo(1-\sqrt(2) \desno) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Vendar pa je povsem očitno, da je $1-\sqrt(2) \lt 0$, saj je $\sqrt(2)\približno 1,4... \gt 1$. Zato je drugi faktor spet negativna konstanta, s katero lahko delimo obe strani neenakosti:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\konec(matrika)\]

\[\začetek(poravnaj) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \desno) \desno. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\levo(x-3 \desno) \lt 0. \\\konec(poravnaj)\]

Premakni se v drugo bazo

Poseben problem pri reševanju eksponentnih neenakosti je iskanje "pravilne" osnove. Na žalost ni vedno na prvi pogled na nalogo jasno, kaj vzeti za osnovo in kaj storiti glede na stopnjo te osnove.

Vendar ne skrbite: tukaj ni čarobne ali "skrivne" tehnologije. V matematiki je mogoče vsako spretnost, ki je ni mogoče algoritmizirati, zlahka razviti s prakso. Toda za to boste morali rešiti težave različne ravni težave. Na primer takole:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\levo(\frac(1)(3) \desno))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\levo(0,16 \desno))^(1+2x))\cdot ((\levo(6,25 \desno))^(x))\ge 1; \\ & ((\levo(\frac(27)(\sqrt(3)) \desno))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ konec (poravnaj)\]

Težko? Strašljivo? To je lažje kot udariti kokoš ob asfalt! Poskusimo. Prva neenakost:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

No, mislim, da je tukaj vse jasno:

Ponovno zapišemo prvotno neenakost in vse reduciramo na osnovo dve:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \desno)\cdot \left(2-1 \desno) \lt 0\]

Da, da, prav ste slišali: pravkar sem uporabil zgoraj opisano metodo racionalizacije. Zdaj moramo delati previdno: uspelo nam je delna racionalna neenakost(to je nekaj, kar ima spremenljivko v imenovalcu), zato morate, preden nekaj enačite z nič, vse pripeljati na skupni imenovalec in se znebite stalnega faktorja.

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \desno)\cdot \left(2-1 \desno) \lt 0; \\ & \levo(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \desno)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Zdaj uporabljamo standardna metoda intervalih. Ničle števca: $x=\pm 4$. Imenovalec gre na nič le, če je $x=0$. Skupaj so tri točke, ki jih je treba označiti na številski premici (vse točke so označene, ker je znak neenakosti strog). Dobimo:

Kot morda ugibate, senčenje označuje tiste intervale, pri katerih ima izraz na levi negativne vrednosti. Zato bo končni odgovor vključeval dva intervala hkrati:

Konci intervalov niso vključeni v odgovor, ker je bila prvotna neenakost stroga. Nadaljnje preverjanje tega odgovora ni potrebno. V zvezi s tem so eksponentne neenakosti veliko enostavnejše od logaritemskih: brez ODZ, brez omejitev itd.

Preidimo na naslednjo nalogo:

\[((\levo(\frac(1)(3) \desno))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Tudi tukaj ni težav, saj že vemo, da je $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, zato lahko celotno neenakost prepišemo takole:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \desno) \desno)\cdot \left(3-1 \desno)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \desno)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\levo(-2 \desno) \desno. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Upoštevajte: v tretji vrstici sem se odločil, da ne bom izgubljal časa z malenkostmi in takoj vse razdelil na (-2). Minul je šel v prvi nosilec (zdaj so povsod plusi), dva pa znižana s stalnim faktorjem. Prav to morate storiti, ko pripravljate prave prikaze na neodvisnih in testi— ni potrebe po opisovanju vsakega dejanja in preobrazbe.

Nato pride v poštev znana metoda intervalov. Števnik ničle: vendar jih ni. Ker bo diskriminant negativen. Po drugi strani pa se imenovalec ponastavi na nič šele pri $x=0$ - kot v prejšnjič. No, jasno je, da bo desno od $x=0$ zavzel ulomek pozitivne vrednosti, na levi pa so negativni. Ker nas zanimajo negativne vrednosti, je končni odgovor: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\levo(0,16 \desno))^(1+2x))\cdot ((\levo(6,25 \desno))^(x))\ge 1\]

Kaj storiti z decimalnimi ulomki v eksponentnih neenačbah? Tako je: znebite se jih in jih spremenite v običajne. Tukaj bomo prevedli:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\ levo(\frac(4)(25) \desno))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\desna puščica ((\levo(6,25 \desno))^(x))=((\levo(\ frac(25) (4)\desno))^(x)). \\\konec(poravnaj)\]

Kaj smo torej dobili v temeljih eksponentnih funkcij? In dobili smo dve medsebojno inverzni števili:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\desna puščica ((\left(\frac(25)(4) \ desno))^(x))=((\levo(((\levo(\frac(4)(25) \desno))^(-1)) \desno))^(x))=((\ levo(\frac(4)(25) \desno))^(-x))\]

Tako lahko izvirno neenakost prepišemo na naslednji način:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\levo(\frac(4)(25) \desno))^(1+2x+\levo(-x \desno)))\ge ((\levo(\frac(4)(25) \desno))^(0)); \\ & ((\levo(\frac(4)(25) \desno))^(x+1))\ge ((\levo(\frac(4)(25) \desno))^(0) ). \\\konec(poravnaj)\]

Seveda se pri množenju potenc z isto osnovo njihovi eksponenti seštevajo, kar se je zgodilo v drugi vrstici. Poleg tega smo predstavili enoto na desni, tudi kot potenco v osnovi 4/25. Ostane le še racionalizacija:

\[((\levo(\frac(4)(25) \desno))^(x+1))\ge ((\levo(\frac(4)(25) \desno))^(0)) \Desna puščica \levo(x+1-0 \desno)\cdot \levo(\frac(4)(25)-1 \desno)\ge 0\]

Upoštevajte, da je $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, tj. drugi faktor je negativna konstanta in pri deljenju z njo se znak neenakosti spremeni:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \desno]. \\\end(align)\]

Za konec še zadnja neenakost iz trenutnega “nabora”:

\[((\levo(\frac(27)(\sqrt(3)) \desno))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Načeloma je tudi ideja rešitve tukaj jasna: vse eksponentne funkcije, vključeno v neenakost, je treba zmanjšati na osnovo "3". Toda za to se boste morali malo poigrati s koreninami in močmi:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\kvad 81=((3)^(4)). \\\konec(poravnaj)\]

Ob upoštevanju teh dejstev lahko prvotno neenakost prepišemo na naslednji način:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2))\desno))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\konec(poravnaj)\]

Bodite pozorni na 2. in 3. vrstico izračunov: preden naredite karkoli z neenakostjo, se prepričajte, da jo pripeljete v obliko, o kateri smo govorili že na samem začetku lekcije: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Dokler imate nekaj levosučnih faktorjev, dodatnih konstant itd. na levi ali desni, ni možno izvajati racionalizacije ali »črtanja« razlogov! Nešteto nalog je bilo nepravilno opravljenih zaradi nerazumevanja tega preprosto dejstvo. Sam to težavo nenehno opažam pri svojih študentih, ko šele začenjamo analizirati eksponentne in logaritemske neenakosti.

Toda vrnimo se k naši nalogi. Poskusimo tokrat brez racionalizacije. Naj spomnimo: osnova stopnje je večja od ena, zato lahko trojčke preprosto prečrtamo - znak neenakosti se ne spremeni. Dobimo:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\konec(poravnaj)\]

To je vse. Končni odgovor: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Izolacija stabilnega izraza in zamenjava spremenljivke

Za zaključek predlagam reševanje še štirih eksponentnih neenačb, ki pa so za nepripravljene učence že precej težke. Da bi se spopadli z njimi, se morate spomniti pravil za delo z diplomami. Zlasti izdaja skupni dejavniki iz oklepaja.

Najpomembneje pa je, da se naučite razumeti, kaj točno lahko vzamete iz oklepajev. Tak izraz imenujemo stabilen – lahko ga označimo z novo spremenljivko in se tako znebimo eksponentne funkcije. Pa si poglejmo naloge:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\levo(0,5 \desno))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\konec(poravnaj)\]

Začnimo od prve vrstice. Zapišimo to neenakost ločeno:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Upoštevajte, da $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, torej desna stran se lahko prepiše:

Upoštevajte, da v neenačbi ni drugih eksponentnih funkcij razen $((5)^(x+1))$. In na splošno se spremenljivka $x$ ne pojavi nikjer drugje, zato uvedimo novo spremenljivko: $((5)^(x+1))=t$. Dobimo naslednjo konstrukcijo:

\[\začetek(poravnaj) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Vrnemo se k prvotni spremenljivki ($t=((5)^(x+1))$ in si hkrati zapomnimo, da je 1=5 0 . Imamo:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\konec(poravnaj)\]

To je rešitev! Odgovor: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Pojdimo k drugi neenakosti:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Tukaj je vse po starem. Upoštevajte, da $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Potem leva stran se lahko prepiše:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t\desno. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Desna puščica ((3)^(x))\ge 9\Desna puščica ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\desna puščica x\in \left[ 2;+\infty \desno). \\\konec(poravnaj)\]

Približno tako je treba sestaviti rešitev za prave teste in samostojno delo.

No, poskusimo nekaj bolj zapletenega. Na primer, tukaj je neenakost:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Kaj je tukaj problem? Prvič, osnovi eksponentnih funkcij na levi sta različni: 5 in 25. Vendar je 25 = 5 2, tako da lahko prvi člen transformiramo:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \desno))^(x+1,5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Kot vidite, smo najprej vse pripeljali do enaka osnova, nato pa opazil, da je prvi člen mogoče enostavno zmanjšati na drugega - samo razširiti morate eksponent. Zdaj lahko varno uvedete novo spremenljivko: $((5)^(2x+2))=t$ in celotna neenakost bo prepisana takole:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\konec(poravnaj)\]

In spet brez težav! Končni odgovor: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Preidimo na zadnjo neenakost v današnji lekciji:

\[((\levo(0,5 \desno))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Prva stvar, na katero morate biti pozorni, je seveda decimalno na osnovi prve stopnje. Treba se ga je znebiti in hkrati vse eksponentne funkcije spraviti na isto osnovo - številko "2":

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\desna puščica ((\levo(0,5 \desno))^(-4x- 8))= ((\levo(((2)^(-1)) \desno))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Desna puščica ((16)^(x+1,5))=((\levo(((2)^(4)) \desno))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\konec(poravnaj)\]

Odlično, naredili smo prvi korak – vse je vodilo do istega temelja. Zdaj morate izbrati stabilen izraz. Upoštevajte, da $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Če uvedemo novo spremenljivko $((2)^(4x+6))=t$, lahko prvotno neenakost prepišemo takole:

\[\začetek(poravnaj) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\konec(poravnaj)\]

Seveda se lahko pojavi vprašanje: kako smo ugotovili, da je 256 = 2 8? Na žalost morate tukaj le poznati moči dvojke (in hkrati moči tri in pet). No, ali pa 256 delimo z 2 (lahko delimo, saj je 256 sodo število), dokler ne dobimo rezultata. Videti bo nekako takole:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Enako je s tremi (števila 9, 27, 81 in 243 so njene stopinje) in s sedmico (tudi števili 49 in 343 bi si bilo dobro zapomniti). No, pet ima tudi "lepe" diplome, ki jih morate vedeti:

\[\začetek(poravnaj) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\konec(poravnaj)\]

Seveda, če želite, lahko vsa ta števila obnovite v svojih mislih tako, da jih preprosto zaporedoma pomnožite eno z drugo. Ko pa morate rešiti več eksponentnih neenačb in je vsaka naslednja težja od prejšnje, je zadnja stvar, o kateri razmišljate, potence nekaterih števil. In v tem smislu so ti problemi kompleksnejši od »klasičnih« neenakosti, ki se rešujejo z intervalno metodo.