Nekaj posledic iz aksiomov
Izrek 1:
Ravnina poteka skozi premico in točko, ki ne leži na njej, in samo eno.
Podano: M ₵ a
Dokaži: 1) Obstaja α: a∈ α, M ∈ b ∈ α
2)
α je edini
Dokaz:
1) Na ravni črti in izberite točke p in Q. Potem imamo 3 točke - R, Q, M, ki ne ležijo na isti premici.
2) Po aksiomu A1 gre ravnina skozi tri točke, ki ne ležijo na isti premici, in samo eno, tj. ravnina α, ki vsebuje premico a in točko M, obstaja.
3) Zdaj pa to dokažimoα edini. Predpostavimo, da obstaja ravnina β, ki poteka skozi točko M in premico a, potem pa ta ravnina poteka skozi točkeR, Q, M. In to po treh točkah P, Q, M, ki ne leži na isti premici, na podlagi aksioma 1 poteka skozi samo ena ravnina.
4) To pomeni, da ta ravnina sovpada z ravnino α.Zato 1) Na ravni črti in izberite točke p in Q. Potem imamo 3 točke - P, Q, M, ki ne ležijo na isti premici.Zato je α edinstven.
Izrek je dokazan.
1) Na premici b vzemite točko N, ki ne sovpada s točko M, to je N ∈ b, N≠M
2) Potem imamo točko N, ki ne pripada premici a. Po prejšnjem izreku poteka ravnina skozi premico in točko, ki na njej ne leži. Imenujmo jo ravnina α. To pomeni, da taka ravnina, ki poteka skozi premico a in točko N, obstaja.
3) Dokažimo edinstvenost te ravnine. Predpostavimo nasprotno. Naj obstaja ravnina β, ki poteka skozi premico a in b. Toda potem gre tudi skozi premico a in točko N. Toda po prejšnjem izreku je ta ravnina edinstvena, tj. ravnina β sovpada z ravnino α.
4) To pomeni, da smo dokazali obstoj edinstvene ravnine, ki poteka skozi dve sekajoči se premici.
Izrek je dokazan.
Izrek o vzporednih premicah
Izrek:
Skozi katero koli točko v prostoru, ki ne leži na dani premici, poteka premica, ki je vzporedna z dano premico.
Dano: naravnost a, M₵ a
Dokaži:Obstaja samo ena ravna črtab ∥ a, M ∈ b
Dokaz:
1) Skozi premico a in točko M, ki na njej ne leži, lahko narišemo enolično ravnino (posledica 1). V ravnini α lahko narišemo premico b, vzporedno z a, ki poteka skozi M.
2) Dokažimo, da je edina. Recimo, da obstaja še ena premica c, ki poteka skozi točko M in je vzporedna s premico a. Naj vzporednici a in c ležita v ravnini β. Potem β poteka skozi M in premico a. Toda ravnina α poteka skozi premico a in točko M.
3) To pomeni, da sta α in β enaka. Iz aksioma o vzporednih premicah sledi, da premici b in c sovpadata, saj v ravnini poteka ena sama premica. to točko in vzporedna z dano premico.
Izrek je dokazan.
Ravnica in ravnina se imenujeta vzporedni, če nimata skupne točke. Če je premica, ki ne leži v dani ravnini, vzporedna z neko premico, ki leži v tej
1. Če gre ravnina skozi dano premico vzporedno z drugo ravnino in seka to ravnino, potem je presečišče ravnin vzporedno z dano premico.
2. Če je ena od dveh vzporednih premic vzporedna z dano ravnino, druga premica pa ima z ravnino skupno točko, potem ta premica leži v dani ravnini. ravnina, potem je vzporedna s samo ravnino.
Primeri relativne lege premice in ravnine: a) premica leži v ravnini;
b) premica in ravnina imata samo eno skupno točko; c) premica in ravnina nimata ene skupne točke.
2. Določitev naravne vrednosti odseka premice v splošnem položaju z metodo pravokotnega trikotnika.
Naravna vrednost (n.v.) daljice AB v splošnem položaju je hipotenuza pravokotnega trikotnika ABC. V tem trikotniku je krak AK vzporeden s projekcijsko ravnino π1 in je enak vodoravni projekciji segmenta A "B". Krak BK je enak razliki oddaljenosti točk A in B od ravnine π1.
V splošnem primeru je za določitev naravne vrednosti odseka ravne črte potrebno zgraditi hipotenuzo pravokotnega trikotnika, katerega ena noga je vodoravna (čelna) projekcija odseka, druga noga pa je odsek, ki je enak vrednosti na algebraično razliko v koordinatah Z (Y) skrajnih točk segmenta.
Iz pravokotnega trikotnika poiščite kot α - kot naklona ravne črte na vodoravno projekcijsko ravnino.
Za določitev kota naklona ravne črte na čelno ravnino projekcij je treba izvesti podobne konstrukcije na čelni projekciji segmenta.
3. Glavne črte letala (vodoravno, čelno).
Vodoravna ravnina P je premica, ki leži v tej ravnini in je vzporedna z vodoravno ravnino. Vodoravna črta kot premica, vzporedna z vodoravno ravnino, ima čelna projekcijaѓ, vzporedno z osjo x.
Čelna ravnina ravnine P je premica, ki leži v tej ravnini in je vzporedna s čelno ravnino.
Frontala je premica, vzporedna s frontalno ravnino, njena vodoravna projekcija pa je vzporedna z osjo x.
4. Relativni položaj črt v prostoru. Določanje vidljivosti na podlagi konkurenčnih točk. Dve premici v prostoru se lahko nahajata na različnih mestih: A) se sekata (ležita v isti ravnini). Poseben primer sečišča je lahko vzporedna (ležijo v isti ravnini); C) se sekajo (ležijo v različnih ravninah).
Imenujemo točke, katerih projekcije na P1 sovpadajo tekmujejo glede na ravnino P1 in imenujemo točke, katerih projekcije na P2 sovpadajo tekmujejo glede na ravnino P2.
Točki K in L tekmujeta glede na ravnino P1, saj sta na ravnini P1 točki K in L projicirani v eno točko: K1 = L1.
Točka K je višja od točke L, ker K2 je višji od točke L2, zato je K1 viden na P1.
Osnovna geometrija preučuje koncepte in odnose med predmeti. Brez jasne utemeljitve ni mogoče krmariti področje uporabe. Znak vzporednosti med premico in ravnino je prvi korak v geometrijo prostora. Obvladovanje začetnih kategorij vam bo omogočilo, da se približate v fascinanten svet natančnosti, logike, jasnosti.
V stiku z
Korelacija predmetov: možne možnosti
Stereometrija je orodje za razumevanje sveta. Raziskuje razmerje predmetov med seboj in uči, kako izračunati razdalje brez ravnila. Uspešna praksa zahteva osvojiti osnovne pojme.
Obstajata ploskev a in premica l. Obstajajo trije primeri objektnih odnosov. Določajo jih točke presečišča. Enostavno zapomniti:
- 0 točk - vzporedno;
- 1 točka - medsebojno sekajo;
- neskončno veliko - premica leži v ravnini.
Znak vzporednosti predmetov je enostavno opisati. Na površini a je črta z || l, nato l || A.
Preprosta izjava zahteva dokaz. Naj bo ploskev narisana skozi črte: l || c. V Ω a = c. Naj ima l skupno točko z a. Ležati mora na str. To je v nasprotju s pogojem: l || c. Potem je l vzporeden z ravnino a. Začetni položaj prav.
Pomembno! V presledku je vsaj ena vrstica || ravna površina. To je skladno z izjavo začetne geometrije (planimetrije).
Preprosta misel: a pripada več kot eni točki l, kar pomeni, da premica l v celoti pripada a.
a || samo v primeru pomanjkanje ene same točke presečišča.
To je logična definicija vzporednosti med premico in ravnino.
Enostavno najti praktično uporabo določbe. Kako dokazati, da je ena premica vzporedna z ravnino?
Dovolj je, da uporabite preučeno funkcijo.
Kaj je koristno vedeti
Če želite kompetentno rešiti težave, morate preučiti dodatne lokacije predmetov. Osnova je znak vzporednosti med premico in ravnino. Njegova uporaba bo olajšala razumevanje drugih elementov. Geometrija prostora upošteva posebne primere.
Presečišča v stereometriji
Prejšnji objekti: ravna površina a, črte c, l. Kako sta drug zraven drugega? Z || l. L seka a. Lahko je razumeti: c bo zagotovo sekal a. Ta ideja je lema o presečišču ravnine z vzporednimi premicami.
Področje delovanja se širi. Preučevanim objektom se doda površina c. Ona ima l. Nič se ne spremeni v izvirnih predmetih: l || A. Spet je preprosto: v primeru sečišča ravnin skupna linija d || l. Takoj sledi koncept: kateri dve ravnini se imenujeta sekajoči se. Tisti, ki imajo skupno črto.
Katere izreke je treba preučiti
Glavni koncepti odnosa predmetov vodijo do opisa glavnih izjav. Oni zahtevajo obsežne dokaze. Prvič: izreki o vzporednosti ene premice in ravnine. Upoštevani so različni primeri.
- Predmeti: ploskve P, Q, R, premice AB, CD. Pogoj: P||Q, R ju seka. Seveda, AB||CD.
- Predmeti raziskave: premice AB, CD, A1B1, C1D1. AB seka CD v eni ravnini, A1B1 seka C1D1 v drugi ravnini. AB||A1B1, CD||C1D1. Zaključek: površine vključno s sekajočimi se pari vzporedne črte, ||.
Pojavi se nov koncept . Križne črte same po sebi niso vzporedne.čeprav ležijo v vzporednih ravninah. To so C1D1 in AB, A1B1 in CD. Ta pojav se pogosto uporablja v praktični stereometriji.
Naravna izjava: skozi eno od križišč je resnično le ena ravnina je vzporedna z navedeno ravnino.
- Potem je enostavno priti do izreka o sledenju. To je tretja trditev o vzporednosti premice in ploskve. Obstaja ravna črta l. Ona || A. Pripadam. V Ω a = d. Samo možna varianta:d || l.
Pomembno! Premico in ravnino imenujemo || brez skupne objekte- točke.
Lastnosti vzporednosti in njihovi dokazi
Do koncepta razporeditve ravnih površin je enostavno priti:
- prazen niz skupnih točk (imenovan vzporednik);
- sekajo v ravni liniji.
Uporabljajo se v stereometriji lastnosti paralelizma. Vsaka prostorska slika ima površine in črte. Za uspešno reševanje problemov morate preučiti osnovne izreke:
- Preučevani predmeti: a || b; c Ω b = l, c Ω a = m. Zaključek: l ||m. Predpostavka zahteva dokaz. Lokacija l in m je ena od dveh: sekata ali vzporedno. Toda v drugem primeru površine nimajo skupnih točk. Potem l || m. Trditev je dokazana. Zapomniti si je treba: če črta leži v ravnini, potem imata več kot eno presečišče.
- Obstaja ploskev a, točka A ne pripada a. Potem obstaja le ena površina b || a poteka skozi A. Dokaz položaja je preprost. Naj bo l Ω m; l, m pripadata a. Skozi vsakega od njih in A je zgrajena ravnina. Prečka a. V njej je premica, ki poteka skozi A in || A. V točki A se sekata. Tvorijo eno samo površino b || a.
- Obstajata poševni črti l in m. Potem so tu || ploskvi a in b, ki jima pripadata l in m. To je logično: na l in m izberite poljubne točke. Porabi m1 || m, l1 || l. Sekajoče se črte v parih || => a || b. Stanje je dokazano.
Poznavanje lastnosti vzporednosti ene ravne črte in ravnine vam bo omogočilo, da jih spretno uporabite v praksi. Preprosti in logični dokazi vam bodo pomagali pri krmarjenju po očarljivem svetu stereometrije.
Ravnine: Vrednotenje vzporednosti
Koncept je enostavno opisati. Vprašanje: kaj pomeni, da sta ena premica in ravnina vzporedni, rešeno. Preučevanje začetnih kategorij geometrije prostora je vodilo do bolj zapletene izjave.
Pri odločanju uporabni problemi uporabljena je funkcija vzporednosti. Preprost opis: naj l Ω m, l1 Ω m1, l, m pripadajo a, l1, m1 – b. V tem primeru l || l1, m || m1. Nato || b.
Brez aplikacije matematičnih simbolov: ravnine se imenujejo vzporedne, če so narisane skozi vzporedne premice, ki se sekajo v parih.
Pregledi stereometrije lastnosti vzporedne ravnine . Opisujejo jih izreki:
Preučevani predmeti: a || b, a Ω c = l, b Ω c = m. Potem l || m. Dokazi so očitni. in Premice ležijo v isti ravnini, če so || ali sekajo. Upoštevati je treba trditev o vzporednosti premice in ploskve. Potem postane očitno: l in m se ne moreta sekati. Edino, kar ostane, je l || m.
