Kakšne lastnosti imajo števila Pascalovega trikotnika? Matematika mi je všeč

Zgodovina trikotnika. Prva omemba trikotnega zaporedja binomskih koeficientov, imenovanega meru-prastaara, se pojavi v komentarju indijskega matematika Halayudhe iz 10. stoletja na dela drugega matematika, Pingale. Trikotnik je okoli leta 1100 raziskoval tudi Omar Khayyam, zato v Iranu ta vzorec imenujejo Khayyamov trikotnik. Leta 1303 je bila objavljena knjiga "Ogledalo iz jaspisa". štirje elementi" kitajskega matematika Zhu Shijieja, v kateri je bil na eni od ilustracij upodobljen Pascalov trikotnik; Domneva se, da ga je izumil drug kitajski matematik, Yang Hui (zato ga Kitajci imenujejo Yang Huijev trikotnik). Vklopljeno naslovna stran Aritmetični učbenik, ki ga je leta 1529 napisal Peter Apian, astronom z Univerze v Ingoltstadtu, prav tako prikazuje Pascalov trikotnik. In leta 1653 (v drugih virih leta 1655) je bila objavljena knjiga Blaisa Pascala "Traktat o aritmetičnem trikotniku".

Lastnosti Pascalov trikotnik. Če obrišete Pascalov trikotnik, dobite enakokraki trikotnik. V tem trikotniku so ene na vrhu in ob straneh. Vsako število je enako vsoti dveh števil nad njim. Trikotnik lahko nadaljujemo v nedogled. Črte trikotnika so simetrične glede na navpična os. Ima aplikacijo v teorija verjetnosti ima zabavne lastnosti.

Lastnosti Pascalovega trikotnika. Števila trikotnika so simetrična (enaka) glede na navpično os. najprej in zadnja številka sta enaki 1. drugo in predzadnje število sta enaki n. tretje število je enako trikotnemu številu, ki je enako tudi vsoti števil prejšnjih vrstic. četrto število je tetraedrsko. Vsota števil naraščajoče diagonale, ki se začne od prvega elementa (n-1) vrstice, je n-to število Fibonacci. Če se odšteje od centralna številka v vrstici s sodim številom sosednje število iz iste vrstice, potem dobite katalonsko število. vsota n-te številke Vrstice Pascalovega trikotnika so enake 2n. Glavni dejavnikištevila Pascalovega trikotnika tvorijo simetrične samopodobne strukture. Če v Pascalovem trikotniku vse liha števila Sode pobarvaj s črno in sode z belo, nato bo nastal trikotnik Sierpinskega. Vsa števila v n-ti vrstici, razen ena, so deljiva s številom n, če in samo, če je n praštevilo. Če v vrsti z lihim številom seštejemo vsa števila iz serijske številke oblike 3n, 3n+1, 3n+2, bosta prvi dve vsoti enaki, tretja pa za 1 manjša. Vsako število v trikotniku je enako številu načinov, kako priti do njega iz vrha, pri čemer se premikate desno navzdol ali levo navzdol.

Slavni ameriški znanstvenik Martin Gardner je rekel: »Pascalov trikotnik je tako preprost, da ga lahko zapiše tudi desetletni otrok. Hkrati pa skriva neizčrpne zaklade in povezuje različne vidike matematiki, ki na prvi pogled nimajo nič skupnega drug z drugim. Zaradi takšnih nenavadnih lastnosti je Pascalov trikotnik eden najelegantnejših diagramov v vsej matematiki.«

Razmislite o naslednjih izrazih s potencami (a + b) n, kjer je a + b kateri koli binom in n celo število.

Vsak izraz je polinom. V vseh izrazih lahko opazite značilnosti.

1. V vsakem izrazu je en člen več kot eksponent n.

2. V vsakem členu je vsota potenc enaka n, tj. potenca, na katero je binom dvignjen.

3. Potence se začnejo pri binomski potenci n in padajo proti 0. Zadnji člen nima faktorja a. Prvi člen nima faktorja b, tj. stopnje b se začnejo pri 0 in se povečajo na n.

4. Koeficienti se začnejo pri 1 in se povečajo za določene vrednosti do "polovice", nato pa se zmanjšajo za iste vrednosti nazaj na 1.

Oglejmo si podrobneje koeficiente. Recimo, da želimo najti vrednost (a + b) 6 . Glede na funkcijo, ki smo jo pravkar opazili, bi moralo biti tukaj 7 članov
a 6 + c 1 a 5 b + c 2 a 4 b 2 + c 3 a 3 b 3 + c 4 a 2 b 4 + c 5 ab 5 + b 6 .
Toda kako lahko določimo vrednost vsakega koeficienta, c i? To lahko storimo na dva načina. Prva metoda vključuje pisanje koeficientov v trikotnik, kot je prikazano spodaj. To je znano kot Pascalov trikotnik :

V trikotniku je veliko značilnosti. Najdi jih čim več.
Morda ste našli način, kako napisati naslednji niz številk s številkami v zgornji vrstici. Enote so vedno nameščene ob straneh. Vsako preostalo število je vsota dveh števil nad tem številom. Poskusimo poiskati vrednost izraza (a + b) 6 tako, da dodamo naslednjo vrstico z uporabo lastnosti, ki smo jih našli:

To vidimo v zadnji vrstici

prva in zadnja številka 1 ;
drugo število je 1 + 5, oz 6 ;
tretje število je 5 + 10, oz 15 ;
četrto število je 10 + 10, oz 20 ;
peto število je 10 + 5, oz 15 ; in
šesto število je 5 + 1, oz 6 .

Torej bo izraz (a + b) 6 enak
(a + b) 6 = 1 a 6 + 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 + 6 ab 5 + 1 b 6.

Za dvig na potenco (a + b) 8 dodamo Pascalovemu trikotniku dve črti:

Potem
(a + b) 8 = a 8 + 8a 7 b + 28a 6 b 2 + 56a 5 b 3 + 70a 4 b 4 + 56a 3 b 5 + 28a 2 b 6 + 8ab 7 + b 8 .

Naše rezultate lahko povzamemo na naslednji način.

Newtonov binom z uporabo Pascalovega trikotnika

Za vsak binom a+ b in katerikoli naravno število n,
(a + b) n = c 0 a n b 0 + c 1 a n-1 b 1 + c 2 a n-2 b 2 + .... + c n-1 a 1 b n-1 + c n a 0 b n,
kjer so števila c 0 , c 1 , c 2 ,...., c n-1 , c n vzeta iz niza (n + 1) Pascalovega trikotnika.

Primer 1 Povzdignite na potenco: (u - v) 5 .

rešitev Imamo (a + b)n, kjer je a = u, b = -v in n = 5. Uporabimo 6. vrstico Pascalovega trikotnika:
1 5 10 10 5 1
Potem imamo
(u - v) 5 = 5 = 1 (u)5+ 5 (u) 4 (-v) 1 + 10 (u) 3 (-v) 2 + 10 (u) 2 (-v) 3 + 5 (u)(-v) 4 + 1 (-v) 5 = u 5 - 5u 4 v + 10u 3 v 2 - 10u 2 v 3 + 5uv 4 - v 5.
Upoštevajte, da predznaki izrazov nihajo med + in -. Ko je stopnja -v liho število, je znak -.

Primer 2 Povečaj na potenco: (2t + 3/t) 4 .

rešitev Imamo (a + b)n, kjer je a = 2t, b = 3/t in n = 4. Uporabimo 5. vrstico Pascalovega trikotnika:
1 4 6 4 1
Potem imamo

Binomska ekspanzija z uporabo faktorialnih vrednosti

Recimo, da želimo najti vrednost (a + b) 11. Pomanjkljivost uporabe Pascalovega trikotnika je, da moramo izračunati vse prejšnje vrstice trikotnika, da dobimo zahtevana vrstica. Naslednja metoda vam omogoča, da se temu izognete. Prav tako vam omogoča, da najdete določeno vrstico - recimo 8. vrstico - ne da bi morali oceniti vse druge vrstice. Ta metoda je uporabna pri izračunih, statistiki in uporabi zapis binomskega koeficienta .
Newtonov binom lahko formuliramo na naslednji način.

Newtonov binom z uporabo faktorialnega zapisa

Za vsak binom (a + b) in poljubno naravno število n velja
.

Newtonov binom je mogoče dokazati z metodo matematična indukcija. Pokaže, zakaj se imenuje binomski koeficient .

Primer 3 Povišaj na potenco: (x 2 - 2y) 5 .

rešitev Imamo (a + b) n, kjer je a = x 2, b = -2y in n = 5. Nato z uporabo Newtonovega binoma imamo

Končno (x 2 - 2y) 5 = x 10 - 10x 8 y + 40x 6 y 2 - 80x 4 y 3 + 80x 2 y 4 - 35y 5 .

Primer 4 Povišaj na potenco: (2/x + 3√x) 4.

rešitev Imamo (a + b)n, kjer je a = 2/x, b = 3√x in n = 4. Nato z uporabo Newtonovega binoma dobimo

Končno (2/x + 3√x ) 4 = 16/x 4 + 96/x 5/2 + 216/x + 216x 1/2 + 81x 2 .

Iskanje določenega člana

Predpostavimo, da želimo iz izraza določiti en ali drug izraz. Metoda, ki smo jo razvili, nam bo omogočila, da poiščemo ta člen brez izračuna vseh vrstic Pascalovega trikotnika ali vseh prejšnjih koeficientov.

Upoštevajte, da nam Newtonov binom daje 1. člen, 2. člen, 3. člen in tako naprej. To lahko povzamemo na naslednji način.

Iskanje (k + 1) člena

(k + 1) člen izraza (a + b) n je .

Primer 5 Poiščite 5. člen v izrazu (2x - 5y) 6 .

rešitev Najprej upoštevajte, da je 5 = 4 + 1. Potem je k = 4, a = 2x, b = -5y in n = 6. Potem bo 5. člen izraza

Primer 6 Poiščite 8. člen v izrazu (3x - 2) 10.

rešitev Najprej opazimo, da je 8 = 7 + 1. Potem je k = 7, a = 3x, b = -2 in n = 10. Potem bo 8. člen izraza

Skupno število podnaborov

Recimo, da ima množica n predmetov. Število podmnožic, ki vsebujejo k elementov, je . Skupno število podmnožic množice je število podmnožic z 0 elementi, pa tudi število podmnožic z 1 elementom in tudi število podmnožic z 2 elementoma itd. Skupno število podmnožic množice z n elementi je
.
Zdaj pa poglejmo povišanje na potenco (1 + 1) n:

.
torej. skupno število podmnožic je (1 + 1) n ali 2 n. Dokazali smo naslednje.

Skupno število podnaborov

Skupno število podmnožic množice z n elementi je 2n.

Primer 7 Koliko podmnožic ima množica (A, B, C, D, E)?

rešitev Množica ima 5 elementov, potem je število podmnožic 2 5 ali 32.

Primer 8 Veriga restavracij Wendy's ponuja naslednje prelive za hamburgerje:
{kečap, gorčica, majoneza, paradižnik, solata, čebula, gobe, olive, sir}.
koliko različne vrste Katere burgerje lahko ponudi Wendy, razen velikosti hamburgerjev ali števila hamburgerjev?

rešitev Prelivi na vsakem hamburgerju so člani podmnožice množice vseh možnih prelivov, prazen niz pa je samo hamburger. Skupno število možnih hamburgerjev bo enako

. Tako lahko Wendy's ponudi 512 različnih hamburgerjev.

Objavljeno v reviji Hard"n"Soft št.10 2003

Neverjeten trikotnik velikega Francoza

Dobro se spomnim enega profesorja, ki je imel
vizijo in mislil, da se zmeša.
Prišel je k meni v stanju popolne panike.
V odgovor sem preprosto vzel knjigo s police, ki jo je napisal
pred približno štiristo leti in pokazala bolniku
lesna gravura, ki natančno prikazuje
kar si je zamislil.
Carl Gustav Jung. Človek in njegovi simboli.

Ko berem Pascala, se mi zdi
ki jo sam berem.
Stendhal

Slabljivo besedilo" nenadomestljivi ljudje ne,« tako ljubljeni s strani nesposobnih menedžerjev, bi lahko bila primerna, če bi govorili o kopanju jarka ali čiščenju smeti, nasprotno, bo pokazala nenadomestljivost in edinstvenost vsakega človeka govorimo o o genijih, potem bi se morali vsi zahvaliti usodi za priložnost, da uživamo sadove njihove dejavnosti, za svetlobo, ki izhaja iz njih in osvetljuje poti človeškega razvoja. Na spletni strani revije »Znanje je moč« poteka glasovanje o tem, koga smatrate za najpomembnejšega znanstvenika zadnjih 2000 let. (http://www.znanie-sila.ru/vote/?id=2 - poglej, mimogrede, zanimivo je primerjati svoje želje z izbiro večine.) In seveda smo med najbolj priljubljenimi znanstveniki upravičeno vidimo ime Blaise Pascal (1623 -1662).

Pascal je umrl, ko je bil star 39 let, a kljub temu kratko življenje, v zgodovino se je zapisal kot izjemen matematik, fizik, filozof in pisatelj. Njegovi hvaležni potomci po njem imenujejo enoto za tlak (pascal) in izjemno razširjen programski jezik. Še posebej priljubljen je bil Turbo Pascal 5.5 za DOS, zdaj pa Borland Pascal 7.0 in njegov nadaljnji razvoj v Delphiju. Pascalova dela obsegajo največ različna področja . Je eden od ustvarjalcev matematična analiza

, projektivna geometrija, teorija verjetnosti, hidrostatika (splošno znan je Pascalov zakon, po katerem se sprememba tlaka v tekočini v mirovanju brez sprememb prenese na njene druge točke), ustvarjalec mehanske računske naprave - "Pascalovo kolo" - kot so rekli sodobniki. Pascal je dokazal, da ima zrak elastičnost, dokazal, da ima težo, in ugotovil, da so odčitki barometra odvisni od vlažnosti in temperature zraka, zato jih je mogoče uporabiti za napovedovanje vremena. Nekateri od praktičnih dosežkov Pascal je bil nagrajen- danes malo ljudi pozna ime njihovega avtorja. Na primer, zdaj bo le malo ljudi reklo, da je najbolj navaden avto izum Blaisa Pascala. Prišel je tudi do ideje o omnibusih - večsedežnih konjskih vpregah z ustaljenimi progami - prvi vrsti rednega javnega mestnega prevoza. Že pri šestnajstih letih je Pascal oblikoval izrek o šesterokotniku, včrtanem stožčasti prerez(Pascalov izrek). (Znano je, da je pozneje dobil približno 400 posledic iz svojega izreka.) Nekaj let kasneje je Blaise Pascal ustvaril mehansko računalniško napravo – seštevalnik, ki je omogočal seštevanje števil v decimalni sistem

Obračun. V tem stroju so bila števila nastavljena z ustreznimi vrtljaji diskov (koles) z digitalnimi delitvami, rezultat operacije pa je bilo mogoče prebrati v oknih - eno za vsako števko. Blaise Pascal in drugi veliki Francoz, Pierre Fermat, sta postala utemeljitelja teorije verjetnosti, leto njenega rojstva pa se pogosto imenuje 1654, ko sta Pascal in Fermat neodvisno podala pravilna razlaga tako imenovani paradoks delitve stopnje. Dva igralca igrata "neškodljivo" igro (to pomeni, da imata oba enake možnosti za zmago), pri čemer se dogovorita, da bo tisti, ki prvi osvoji šest iger, prejel celotno nagrado. Predpostavimo, da se je igra ustavila, preden je eden od njiju dobil nagrado (na primer, prvi igralec je dobil pet iger, drugi igralec pa tri). Kako pravično razdeliti nagrado? Čeprav na splošno, ta problem

Medtem morate razdeliti v razmerju 7:1. Tako Pascal kot Fermat sta paradoks delitve stav obravnavala kot verjetnostni problem in ugotovila, da je poštena delitev sorazmerna z možnostmi prvega igralca, da dobi nagrado. Recimo, da ima prvi igralec le še eno igro za zmago, drugi pa mora za zmago dobiti še tri igre, igralca pa nadaljujeta z igro in odigrata vse tri igre, tudi če se nekatere od njih izkažejo za nepotrebne za določitev zmagovalca. . Za takšno nadaljevanje bo vseh 2 3 = 8 možnih izidov enako verjetnih. Ker drugi igralec prejme nagrado samo v enem izidu (če zmaga v vseh treh igrah), v drugih primerih pa zmaga prvi igralec, je razmerje 7:1 pošteno (našla sta tudi Pascal in Fermat). splošna rešitev

za primer, ko mora en igralec zmagati še n iger, da prejme nagrado, drugi pa mora zmagati m iger.)

Morda pa je najbolj znano matematično delo Blaisa Pascala njegova razprava o "aritmetičnem trikotniku", ki ga tvorijo binomski koeficienti (Pascalov trikotnik), ki se uporablja v teoriji verjetnosti in ima presenetljive in zabavne lastnosti. Razmislili bomo o tem čarobnem trikotniku; tisti, ki želijo poglobiti svoje znanje o briljantnem znanstveniku, bodo našli seznam literature o njem na http://inf.1september.ru/2002/1/france.htm in na “Podmornici”. ” http://schools.ru/sch444/MUSEUM/PRES/PL-4-98.htm zanimiva zgodba o Pascalu, njegovem očetu, sestri in samem kardinalu Richelieuju.
Trikotnik bo pijan
Daš ga s pokom!
Tudi če bi bil paralelepiped,
Če bi bil kocka, bi bil uš

V.Vysotsky Pravzaprav je bil Pascalov trikotnik znan že dolgo pred letom 1653, ko je bila objavljena Traktat o aritmetičnem trikotniku. Tako je ta trikotnik reproduciran na naslovni strani učbenika aritmetike, napisanega v začetku XVI Peter Apian, astronom z univerze Ingoltstadt. Trikotnik je upodobljen tudi na ilustraciji v knjigi kitajskega matematika, izdani leta 1303. Omar Khayyam

Martin Gardner v knjigi »Matematični romani« (M., Mir, 1974) piše: »Pascalov trikotnik je tako preprost, da ga lahko zapiše tudi desetletni otrok, hkrati pa skriva neizčrpne zaklade in povezuje Skupaj različni vidiki matematike, ki na prvi pogled nimajo nič skupnega, nam omogočajo, da Pascalov trikotnik štejemo za eno najbolj elegantnih shem v vsej matematiki.

Predpostavimo, da vstopite v mesto, kot je prikazano na diagramu z modro puščico, in se lahko premikate samo naprej, oziroma nenehno izbirate, naprej levo ali naprej desno. Vozlišča, ki jih je mogoče doseči samo na en način, so označena z zelenim smeškotom, točka, ki jo je mogoče doseči na dva načina, je prikazana z rdečim smeškom, s tremi pa z roza. To je ena od možnosti za konstrukcijo trikotnika, ki jo je predlagal Hugo Steinhaus v svojem klasičnem "Matematičnem kalejdoskopu".

Struktura Pascalovega trikotnika je še preprosteje pojasnjena z besedami: vsako število je enako vsoti dveh števil, ki se nahajata nad njim. Vse je elementarno, a v njem se skriva toliko čudežev.

Oglišče trikotnika je 1. Trikotnik lahko nadaljujemo v nedogled. Je simetričen glede na navpično os, ki poteka skozi njegov vrh. Po diagonalah (kolikor ima lahko trikotnik diagonale, a ne zavajajmo, takšno terminologijo najdemo v publikacijah), vzporedno s stranicami trikotnik (na sliki označen z zelenimi črtami) so konstruirana trikotna števila in njihove posplošitve na primere prostorov vseh dimenzij.

Trikotne številke v najpogostejši in znani obliki kažejo, koliko krogov, ki se dotikajo, je mogoče razporediti v obliki trikotnika - kako klasičen primer začetno razporejanje kroglic v biljardu. Na en kovanec lahko pritrdite še dva - skupaj tri - na dva lahko pritrdite še tri - skupaj šest. Z nadaljnjim povečevanjem vrstic ob ohranjanju oblike trikotnika dobimo vrstico 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66 ..., kar je prikazano v drugi zelena črta. Ta čudovit niz, katerega vsak člen je enak vsoti naravnega niza števil (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10), vsebuje tudi veliko znanih, ki so dobro znani ljubiteljem matematike: 6 in 28 - popolni števili, 36 - kvadratno število, 8 in 21 sta Fibonaccijevi števili.

Naslednja zelena vrstica nam bo pokazala tetraedrska števila - eno kroglico lahko damo na tri - skupaj štiri, pod tri lahko damo šest (napnite se in si predstavljajte!) - skupaj deset itd. Več o trikotnih številih lahko preberete v Hard"n"Soft št. 4 2002 v članku "Cannibal Rabbits, Quatrains and the Reserve of Sequences", ki je na voljo tudi na Watermelonu.

In naslednja zelena črta (1, 5, 15, 35,...) bo prikazala poskus postavitve hipertetraedra v štiridimenzionalni prostor- ena žoga se dotakne štirih, te pa desetih ... V našem svetu je to nemogoče, le v štiridimenzionalnem, virtualnem. In še več, petdimenzionalni tetraeder, ki ga dokazuje naslednja zelena črta, lahko obstaja samo v razmišljanju topologov.

Kaj pa nam pove zgornja zelena črta, na kateri se nahajajo števila naravne vrste? Tudi to so trikotne številke, vendar enodimenzionalne, ki kažejo, koliko žogic je mogoče položiti vzdolž črte – kolikor jih je, toliko jih položi. Če gremo do konca, potem so tudi najvišja vrsta enic trikotna števila v nič-dimenzionalnem prostoru - ne glede na to, koliko kroglic vzamemo, ne bomo mogli postaviti več kot ene, ker preprosto ni kam - tam je ne dolžine, ne širine, ne višine.

Že bežen pogled na Pascalov trikotnik je dovolj, da opazimo naslednja zanimiva dejstva: 10 jeder je mogoče zložiti tako v tetraeder kot v ploščat trikotnik. In 56 hipernukleusov, ki tvorijo tetraeder v petdimenzionalnem prostoru, je mogoče postaviti v običajen znani tridimenzionalni tetraeder, če pa bi poskušali postaviti trikotnik iz 56 jeder, bi eno jedro ostalo dodatno.

Kako lahko narišemo Pascalov trikotnik, da se igramo z njim? Najbolje je uporabiti idejo, ki smo jo upoštevali pri programiranju heksagonalne življenjske dobe v Hard"n"Soft št. 5 2002 (na Arbuzu), namreč vzame se navadna dvodimenzionalna matrika, ko pa se prikaže na zaslonu, so vrstice pomaknjene za eno - sode vrstice v desno za četrt koraka, lihe v levo za četrt koraka, nato pa se vrstice premaknejo za pol koraka, kar nam daje šestkotno strukturo polja s pravokotnim nizom. In dvodimenzionalnost matrike zelo olajša delo z njo, saj določa dejanja na celici v zanki v vrsticah in vrsticah.

Po nekaj minutah poigravanja boste nagrajeni s trikotnikom, ki se prikaže na zaslonu, in tako ste pripravljeni na prihajajoče nenavadne poskuse. (Ne smete določiti preveč vrstic, saj od 13-14 vrstic štiri in petmestne številke, se zlijejo s tistimi, ki stojijo poleg njih in slika postane zamegljena. Seveda lahko povečate polmer celice in zmanjšate pisavo, vendar kljub temu številke na sredini trikotnika hitro rastejo in se bodo združile, čeprav nekaj vrstic nižje.)

Ampak najprej še par zanimive lastnosti Pascalov trikotnik. Če želite najti vsoto števil na kateri koli diagonali od začetka do mesta, ki nas zanima, samo poglejte številko, ki se nahaja spodaj in levo od zadnjega izraza. (na levi za desno diagonalo, za levo diagonalo bo na desni in na splošno - bližje sredini trikotnika). Recimo, da želimo izračunati vsoto števil v naravni vrsti od 1 do 9. Ko se "spustimo" diagonalno do števila 9, bomo levo spodaj videli številko 45. To je tisto, kar daje zahtevano vsoto. Kolikšna je vsota prvih osmih trikotnih števil? Na drugi diagonali najdemo osmo številko in se pomaknemo navzdol in v levo. Odgovor: 120. Ampak, mimogrede, 120 je tetraedrsko število.Če torej vzamemo vse kroglice, ki sestavljajo prvih 8 trikotnikov, lahko oblikujemo tetraeder. Poskusite s češnjami ali jabolki

Vsote števil vzdolž ne tako strmo padajočih diagonal (na sliki označenih z rdečimi črtami) tvorijo rednim bralcem dobro poznano Fibonaccijevo zaporedje. Glej, na primer, zgoraj omenjeni članek "Cannibal Rabbits, Quatrains ..." ali številna gradiva o lubenici.

Toda v prejšnjih publikacijah nismo govorili o dejstvu, da Fibonaccijeva števila pogosto najdemo v kombinatorične težave Oh. Razmislite o vrsti n stolov. Na koliko načinov se lahko nanje usedejo moški in ženske, tako da nobeni ženski ne sedita ena poleg druge? Ko je n=1, 2, 3, 4, ... je število načinov 2, 3, 5, 8, ..., kar pomeni, da sovpada s Fibonaccijevim številom. Pascal očitno ni vedel, da so Fibonaccijeva števila skrita v njegovem trikotniku. Ta okoliščina je bila odkrita šele v 19. stoletju. Številke na vodoravnih črtah Pascalovega trikotnika so binomski koeficienti, to je koeficientov raztezanja (x+y) n v potencah x in y. Na primer (x+y) 2 =x 2 +2xy+y 2 in (x+y) 3 =x 3 +3x 2 y+3xy2+y 3. Raztezni koeficienti 1, 2, 2 so v drugi vrstici, 1, 3, 3, 1 pa v tretji vrstici trikotnika.Če želite poiskati ekspanzijske koeficiente (x+y) n, samo poglejte n-to vrstico trikotnika.

To je točno to temeljna lastnina Pascalov trikotnik ga povezuje s kombinatoriko in teorijo verjetnosti ter ga spreminja v priročno sredstvo za izvajanje izračunov.

Predpostavimo (primer Martina Gardnerja), da se neki šejk po zakonih gostoljubja odloči, da vam podari tri od svojih sedmih žena. Koliko različnih izbir lahko izberete med čudovitimi prebivalkami harema? Da odgovorim na to vznemirljivo vprašanje le poiskati morate številko na presečišču diagonale 3 in črte 7: izkaže se, da je enako 35. Če, prevzeti od veselega vznemirjenja, zamenjate številke diagonale in črte in iščete številko na presečišču diagonale, 7 s črto 3, boste ugotovili, da se ne sekata. To pomeni, da sama metoda ne dopušča napak! IN splošni primer

Kjer je n!=1*2*3*4*....*n tako imenovani faktorijel števila n. In iste tri žene od sedmih je mogoče izbrati na toliko načinov: C 3 7 =7!/3!/4!=1*2*3*4*5*6*7/1*2*3/1 *2*3 *4=5040/6/24=35, kar smo dobili prej. In vrednosti binomskih koeficientov so določene s formulo in so, kot smo ugotovili, vrstice Pascalovega trikotnika, ki ta trikotnik nerazumljivo povezujejo s kombinatoriko in razširitvijo binomov v moči.

Mimogrede, iz kombinacije kombinacije izhaja, da je število možnosti za izbiro treh od sedmih enako številu možnosti za izbiro štirih od sedmih ali številu možnosti za izpolnjevanje kartic Sportloto 5 od 36. je enako številu izbire 31 od 36, pomislite na to prijetno temo.

Povezava med kombinatoriko in teorijo verjetnosti postane jasna, če upoštevamo osem možnih rezultatov metanja treh kovancev: GGG, GGR, GRG, RGG, RGR, RRG, RRR. Lepo je opaziti, da se samo v enem primeru pojavljajo trije grbi, v treh primerih dva grba, v treh primerih en grb in v enem primeru ni nobenega grba. Števila ugodnih testov za prejem grbov 3, 2, 1 in 0 so 1, 3, 3, 1. To so števila, ki se pojavljajo v tretji vrstici Pascalovega trikotnika. Zdaj pa predpostavimo, da želimo izvedeti verjetnost, da dobimo točno 5 grbov, ko vržemo 10 kovancev hkrati. Najprej morate prešteti, koliko jih je na različne načine , ki vam omogoča izbiro 5 kovancev od 10. Odgovor dobimo tako, da poiščemo številko na presečišču 5. diagonale in 10. črte. Enako je 252. Če seštejemo vsa števila v 10. vrstici, ugotovimo, da lahko število možnih rezultatov močno zmanjšamo, če uporabimo naslednjo lastnost binomskih koeficientov: vsoto binomskih koeficientov (x+y; ) n, in prav ti stojijo v n Vrstica Pascalovega trikotnika je enaka 2 n. res,, ki stoji v kateri koli vrstici trikotnika, je dvakratna vsota števil v prejšnji vrstici, saj se pri sestavljanju vsake vrstice številke v prejšnji dvakrat zmanjšajo. Vsota števil v prvi (najvišji) vrstici je enaka 1. Zato tvorijo vsote števil v vrsticah Pascalovega trikotnika geometrijsko progresijo s prvim členom, ki je enak 1, in imenovalcem 2: 1, 2, 4, 8, .... Deseta potenca števila 2 je 1024. Zato je verjetnost, da dobite pet glav, ko vržete 10 kovancev, 252/1024= 63/256.

Kdor želi izvedeti več o povezavi med Pascalovim trikotnikom in kombinatoriko, lahko obišče stran http://combinatorica.narod.ru/third.html. Pascalov trikotnik je dvodimenzionalen in leži v ravnini. Milo se pojavi nehote - toda ali je mogoče njegove vzorce razširiti na tridimenzionalni (in štiri-...) analog? Izkazalo se je, da je mogoče! Članek O. V. Kuzmina (http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/1006.html) obravnava tridimenzionalni analog trikotnika - Pascalovo piramido, njeno povezavo s trinomskimi koeficienti in daje primeri procesov

, ki jih tak model lahko odraža. Zdaj pa končno preidimo na za nas najbolj zanimiv del. neverjetna lastnina

Pascalov trikotnik. Zamenjajmo vsako število v Pascalovem trikotniku s piko. Poleg tega bomo lihe točke prikazali v kontrastni barvi, sode pa v prozorni barvi ali barvi ozadja. Rezultat bo nepričakovano presenetljiv: Pascalov trikotnik se bo razdelil na manjše trikotnike in oblikoval eleganten vzorec. Ti vzorci so polni presenečenj. Ko se odmikamo od oglišča, bomo naleteli na trikotnike vedno večjih velikosti, ki ne vsebujejo niti ene odebeljene točke, torej »sestavljene« samo iz sodih števil. Na oglišču Pascalovega trikotnika je »skrit« trikotnik, sestavljen iz ene same točke, potem so trikotniki, ki vsebujejo 6, 28, 120, 496, ... točk. Znano je, da so tri od teh števil - 6, 28 in 496 - popolne, ker je vsako od njih enako vsoti vseh svojih deliteljev, razen števila samega.

Pariteto števila lahko enostavno določimo tako, da primerjamo preostanek deljenja z dve z nič; za sodo število je ostanek nič, za liho število pa ena. In za določitev ostanka lahko uporabite funkcijo Mod, ki je na voljo v skoraj vseh programskih jezikih. Če ste preleni za programiranje, a zagotovo želite videti ta čudež, pojdite na http://www.informika.ru/text/inftech/edu/edujava/mathematics/Pascal/Pascal.html in tam boste našli programček, ki nariše Pascalov trikotnik s pikami ob upoštevanju paritete.

Obstaja tudi povezava do izvorne kode v Javi, ki jo lahko razumete in izboljšate po lastni presoji. Ljubitelji matematike bodo takoj presenečeni nad "fraktalnostjo" nastalega predmeta, ali bolje rečeno, ne vidimo nič drugega kot "trikotnik Sierpinskega", analog slavne "preproge Sierpinskega". Ti modeli so še posebej priljubljeni, skupaj s "Koch Snowflake" in kompleti Mandelbrot in Julie Steel v zadnja leta zaradi norije za fraktali in sinergetiko. Naj na kratko razložimo za začetnike.

Od magistra popularne matematike Martina Gardnerja izvemo, da je davnega leta 1905 na letnem matematična olimpijada na Madžarskem je bil predlagan problem: »Kvadrat je razdeljen na 9 delov (kot pri igri tic-tac-toe) in osrednji kvadrat je odstranjen. Nato je vsak od preostalih 8 kvadratov razdeljen na 9 delov, osrednji kvadrat se odstrani in postopek se večkrat ponovi. Poiščite mejo, h kateri območje nagiba nastalo številko." Torej - nastala figura je preproga Sierpinskega - kvadrat je tako poln lukenj, da je že bližje črti. Trikotnik, ki smo ga videli, lahko dobimo na enak način - najprej povežemo središča strani trikotnika in nastali trikotnik odstranimo.

Na drugi stopnji se ista operacija izvede s tremi preostalimi trikotniki, nato s preostalimi devetimi in tako naprej. Ali lahko najdete mejo, h kateri stremi preostala površina? In kako razložiti sovpadanje obeh modelov?

Avtorji strani http://chaos.h1.ru/ChaosAndFractals/1/ predlagajo takojšnjo sestavo Pascalovega trikotnika tako, da ga ne napolnimo s številkami, temveč z ničlami ali enicami po pravilu: vsota dveh ničel ali dveh enic daje nič (to pomeni, da je vsota dveh sodih ali dveh lihih števil vedno soda), vsota nič in ena pa daje ena (kot vsota sodega števila z lihim). Ta tehnika nam bo omogočila, da zgradimo poljubno velik trikotnik, pri polnjenju z "pravimi" številkami pa lahko naletimo na omejitev predstavitev strojaštevilke, in s tem, da je vklopljena funkcija Mod omejitev števila razglašen kot Double začne odpovedovati. Avtorji omenjene strani tudi predlagajo, da bi trikotnik organizirali kot dvodimenzionalni niz (kar smo storili mi) in njegovo polje uporabili za modeliranje Cellular Automata, kar smo storili v članku o igri Life (on Watermelon) , čeprav brez omejitve polja na trikotnik.

Gremo naprej - poskušamo preveriti ne paritete, ampak ostanek deljenja z drugimi števili in vsakič nas preseneti pojav trikotnika. Po nekaj časa igranja bomo opazili, da ko nastavite število, po katerem preverjamo, da je preprosto število, dobite čudovite vzorce z izrazitim vzorcem (poskusite nastaviti 3, 5, 7, 11, 13, 17.. .), in pri deljenju z sestavljeno število

Razmislite o trikotniku, sestavljenem "relativno" glede na število 7, to je, da so števila, ki niso deljiva s 7 brez ostanka, narisana s črno, tista, ki so deljiva, so narisana z belo in poskusite videti vzorce.

Za tiste, ki se želijo poglobiti v povezave med kombinatoriko, teorijo verjetnosti in Pascalovim trikotnikom, priporočamo članek Gregoryja J. Chaitina "Randomness in Arithmetic" iz revije IN THE WORLD OF SCIENCE. (Scientific American. Izdaja v ruščini). št. 9 1988, ki se nahaja na http://grokhovs2.chat.ru/arith/arith.html, a za zdaj bomo naredili nekaj novega - poskusimo pobarvati Pascalov trikotnik. Da bi to naredili, dodelimo trem spremenljivkam (r,g,b), odgovornim za rdečo, zeleno in modro komponento obarvanosti celice, in njihovo vrednost (največja je lahko enaka 255) povežemo s preverjanjem deljivosti z različne številke. V zgornjem seznamu programov je rdeča barva, tako kot prej, odvisna od paritete števila, zelena barva je odvisna od njegove deljivosti z 9, modra barva pa od njegove deljivosti z 11. Številne različice poskusov so označene z apostrofi. kot komentarje jih lahko »oživite« ali pa si izmislite lastne »kontrolne številke« in njihove barvne odtenke.

Dim a(100, 100) As Double Dim radius As Byte, i As Byte, kol As Byte Dim sdvig As Integer, X As Integer, Y As Integer, X1 As Integer, Y1 As Integer Private Sub Form_Load() Za Y = 1 Za kol Za X = 1 Za kol a(X, Y) = 0 Naslednji X Naslednji Y polmer = 5 " polmer celice v slikovnih pikah kol = 20 " Število vrstic a(Int(kol / 2), 0) = 1 " prva enota , iz katere raste trikotnik DrawWidth = 1 "Debelina črte Za Y = 0 Na kol Za X = 1 Na kol sdvig = polmer / 2 * (-1) ^ Y " Premakni vsako vrstico v levo, nato v desno Če Y > 0 Potem Če je sdvig > 0 Potem je a(X, Y) = a(X + 1, Y - 1) + a(X - 0, Y - 1) Sicer a(X, Y) = a(X + 0 , Y - 1 ) + a(X - 1, Y - 1) End If End If X1 = 60 + X * polmer * 2 + sdvig Y1 = 10 + Y * polmer * 1.7 FillStyle = 0 r = 0: g = 0 : b = 0 Če a(X, Y) > 0 Potem Če (a(X, Y) - Int(a(X, Y) / 2) * 2) = 0 Potem je r = 250 "Če (a(X, Y) / 4 ) - Int(a(X, Y) / 4) = 0 Potem je r = 120 "Če (a(X, Y) / 8) - Int(a(X, Y) / 8) = 0 Potem r = 180 "Če (a(X, Y) / 16) - Int(a(X, Y) / 16) = 0 Potem je r = 250 "Če (a(X, Y) / 3) - Int(a( X, Y) / 3) = 0 Potem je g = 60 Če (a(X, Y) / 9) - Int(a(X, Y) / 9) = 0 Potem je g = 250 "Če (a(X, Y) ) / 7) - Int(a(X, Y) / 7) = 0 Potem je g = 180 "Če (a(X, Y) / 5) - Int(a(X, Y) / 5) = 0 Potem je g = 250 Če (a(X, Y) / 11) - Int(a(X, Y) / 11) = 0 Potem je b = 250 "Če (a(X, Y) / 13) - Int(a(X, Y) / 13 ) = 0 Potem je b = 120 "Če (a(X, Y) / 17) - Int(a(X, Y) / 17) = 0 Potem je b = 180 "Če (a(X, Y) / 19) - Int(a(X, Y) / 19) = 0 Potem b = 250 ForeColor = RGB(r, g, b) FillColor = RGB(r, g, b) " Barva polnila Krog (X1, Y1) , polmer, RGB (90, 90, 90) End If Next X Next Y " Izhod iz programa Private Sub Exit_Click() End End Sub

In tukaj je rezultat programa. Ali ni lepo? Vidne so rdeče trikotne "cone Sierpinskega", ki, naložene na zelena okna iz devetih, dajejo rumene cone, z modrimi območji delitve z 11 pa lila območja. Ali ima ta lepotec uporabljena vrednost razen vzorca za tapete še ni jasno, a od Pascalovega trikotnika, predvsem barvnega, je mogoče pričakovati kakšne čudeže, morda v bližnji prihodnosti. In tukaj je še ena možnost barvanja, izvedeno po algoritmu

R = a(x, y) / 3 Mod 255 g = a(x, y) / 2 Mod 255 b = a(x, y) / 4 Mod 255

Poglejte sliko, jo poskusite povezati z algoritmom ali še bolje poskusite svojo različico. Članek http://www.webbyawards.ru/pcworld/2001/07/130_print.htm predlaga uporabo rekurzije za konstruiranje Pascalovega trikotnika. Kaj je rekurzija in kako optimalna je za programiranje, lahko najdete na http://arbuz.ferghana.ru/z_vetki.htm. Na straneh http://hcinsu.chat.ru/algoritm/mathem/binom.html in http://dkws.narod.ru/math/tpas.html boste našli programe za sestavljanje Pascalovega trikotnika, na strani http :// galibin.chat.ru/Java/Pascal/index.html obstaja tudi programček, ki to nariše na zaslonu, vendar ste zdaj že popolnoma oboroženi, vendar vam lahko te strani dajo nove ideje.

O Pascalovem trikotniku je več dober članek voditelj zabavne programske rubrike "Računalniške novice" A. Kolesnikov na http://www.kv.by/index2002151201.htm. Obravnavo Pascalovega trikotnika smo začeli z možnostmi gibanja in z njimi bomo končali. Na strani, namenjeni ugankam, je knjiga Evgenia Gika "Šah in matematika". V poglavju, posvečenem geometriji šahovnice (http://golovolomka.hobby.ru/books/gik/05.shtml), avtor podaja neverjetni primeri

In čisto zadnje vprašanje, povezano tako s Pascalovim trikotnikom kot s šahom. Kolikšna je vsota vseh števil nad katero koli vrstico? Sami razmislite o teh vsotah, začenši od vrha, in videli boste vrednosti 1, 3, 7, 15, 31,... Ni vam treba imeti veliko domišljije, da vidite preprost vzorec: vsoto vsa števila za n vrstic so 2 n -1. In kaj ima s tem šah? Po znani legendi je raja ustvarjalcu šaha obljubil vsako nagrado, ki jo je zahteval. Ko je prvi šahist prosil, naj na prvo polje deske postavi eno pšenično zrno, na drugo dve, na tretje štiri in tako naprej, da ga podvoji do 64. polja, je bil raja celo užaljen, najprej s skromnostjo zahtevane nagrade. Ko so njegovi skladiščniki ocenili zahtevano količino, se je izkazalo, da bi to žito lahko pokrilo vso Zemljo do kolen; (Mimogrede, lahko ocenite višino zrnate plasti glede na prostornino zrna, na primer 1 mm 3, pomnožite z 2 64, zagotovo odštejte 1 in delite s površino zemeljske površine.) Torej - na vsakem kvadratku deske bi bilo (bi bilo) število zrn, enaka vsoti

števil v ustrezni vrstici Pascalovega trikotnika, vsota vseh zrn na prvih n celicah pa bi bila enaka vsoti števil na teh n vrsticah tega čarobnega trikotnika. S to bogato domišljijo bomo zaključili naše razmišljanje.

Variacije na temo "Pascalov trikotnik"

Zgodba

Pascalov trikotnik je morda ena najbolj znanih in elegantnih številskih shem v vsej matematiki.

Blaise Pascal, francoski matematik in filozof, ji je posvetil posebno »Traktat o aritmetičnem trikotniku«.

Vendar je bila ta trikotna miza znana že dolgo pred letom 1665 - datumom objave razprave.

Tako je bil leta 1529 Pascalov trikotnik reproduciran na naslovni strani učbenika aritmetike, ki ga je napisal astronom Peter Apian.

Trikotnik je upodobljen tudi na ilustraciji knjige "Jaspisovo ogledalo štirih elementov" kitajskega matematika Zhu Shijieja, ki je izšla leta 1303.

Omar Khayyam, ki ni bil samo filozof in pesnik, ampak tudi matematik, je leta 1110 vedel za obstoj trikotnika in si ga sposodil iz prejšnjih kitajskih ali indijskih virov.

Konstrukcija Pascalovega trikotnika Pascalov trikotnik je preprosto neskončno "tabela s številkami", v kateri so na vrhu in ob straneh ene, je vsako od preostalih števil enako vsoti dveh števil nad njim levo in desno v prejšnji vrstici. Tabela ima simetrijo glede na os ki poteka skozi njegov vrh.

Lastnosti Pascalovega trikotnika

Lastnosti niza

n-ta vrstica

naslednja lastnina

Trikotne številke
Trikotne, tetraedrske in druge številke so nanizane vzdolž diagonal, vzporednih s stranicami trikotnika. Trikotne številke označujejo število kroglic ali drugih predmetov, razporejenih v obliki trikotnika (te številke tvorijo naslednje zaporedje: 1,3,6,10,15,21,..., v katerem je 1 prvo trikotno število, 3 je drugo trikotno število, 6-tretjina itd. do m-ro, ki kaže, koliko členov Pascalovega trikotnika je v prvih m vrsticah - od nič do (m-1)th).

Tetraedrska števila
Člani zaporedja 1,4, 10, 20, 36, 56,... se imenujejo piramidna ali natančneje tetraedrska števila: 1 je prvo tetraedrsko število, 4 je drugo, 10 je tretje itd. .do m-ro . Te številke kažejo, koliko kroglic je mogoče zložiti v obrazec trikotna piramida(tetraeder).

Fibonaccijeva števila
Leta 1228 je izjemni italijanski matematik Leonardo iz Pise, danes bolj znan kot Fibonacci, napisal svojo znamenito »Knjigo o abaku«. Eden od problemov v tej knjigi, problem vzreje kuncev, je povzročil zaporedje številk 1,1,2,3,5,8,13,21 ..., v katerem je vsak člen, začenši s tretjim, vsota prejšnjih dveh izrazov. To zaporedje se imenuje Fibonaccijeva vrsta, člani Fibonaccijeve vrste pa Fibonaccijeva števila. Označimo n-to Fibonaccijevo število z

Obstaja zanimiva povezava med Fibonaccijevim nizom in Pascalovim trikotnikom. Za vsako naraščajočo diagonalo Pascalovega trikotnika sestavimo vsoto vseh števil na tej diagonali. Dobimo 1 za prvo diagonalo, 1 za drugo, 2 za tretjo, 3 za četrto in 5 za peto Dobimo nič več kot pet začetnih Fibonaccijevih števil. Izkazalo se je, da je vsota števil vedno n-to diagonalo je n-to Fibonaccijevo število. Za dokaz trditve, ki nas zanima, je dovolj pokazati, da je vsota vseh števil, ki sestavljajo n-to in (n+1) diagonalo Pascalovega trikotnika, enaka vsoti števil, ki sestavljajo njegov m+ 2. diagonala.

Binomski koeficienti
Številke na vodoravnih črtah so binomski koeficienti. Vrstica z n je sestavljena iz koeficientov binomske ekspanzije (1+n)n. Pokažimo to s Pascalovo operacijo. Toda najprej si predstavljajmo, kako so določeni binomski koeficienti.

Vzemimo binom 1+x in ga začnemo dvigovati na potence 0, 1, 2, 3 itd., pri čemer dobljene polinome razporedimo po naraščajočih potencah črke x. Bomo dobili

1.(1+x)0=1,
2.(1+x)1=1+x,
3. (1 +x)2=(1 +x)(1 +x)= 1 +2x+x2,
4.(1+х)3=1+Зх+Зх2+хЗ
itd.

Na splošno za vsako celoto nenegativno število n
(1+x)n=a0+a1x+a2x2+...+apxp,
kjer so a0,a1,...,ap

Zadnjo relacijo lahko prepišemo v obliki in iz relacij 1-4 dobimo

Nastal je Pascalov trikotnik, katerega vsak element

Prav ta temeljna lastnost Pascalovega trikotnika ga ne povezuje le s kombinatoriko in teorijo verjetnosti, temveč tudi z drugimi področji matematike in njenimi aplikacijami.

Reševanje problemov s Pascalovim trikotnikom

Stari problemi o naključnosti
Že od antičnih časov različni igre na srečo. IN Stara Grčija in Rimu so se razširile igre z astragalom, ko so igralci metali živalske kosti. Tudi priljubljena kocke- kocke z označenimi pikami na ploskvah. Igre na srečo so se kasneje razširile po vsej srednjeveški Evropi.

Te igre so matematikom dale veliko zanimive naloge, ki je kasneje predstavljal osnovo teorije verjetnosti. Težave o delitvi stave so bile zelo priljubljene. Navsezadnje se je igra praviloma igrala za denar: igralci so stavili, zmagovalec pa je vzel celoten znesek. Vendar se je igra včasih pred koncem prekinila in postavilo se je vprašanje, kako razdeliti denar.

Mnogi matematiki so se ukvarjali z reševanjem tega problema, vendar do sredi 17. stoletja stoletja ga nikoli niso našli. Leta 1654 med francoski matematiki Nam že dobro znani Blaise Pascal in Pierre Fermat sta začela dopisovanje o številnih kombinatoričnih problemih, vključno s problemi delitve stave. Oba znanstvenika, čeprav več na različne načine, prišel k prava odločitev, ki razdeli stavo sorazmerno z verjetnostjo dobitka celotnega zneska, če se igra nadaljuje.

Treba je opozoriti, da pred njimi nihče od matematikov ni izračunal verjetnosti dogodkov, v svoji korespondenci sta bili najprej znanstveno utemeljeni teorija verjetnosti in kombinatorika, zato Pascal in Fermat veljata za utemeljitelja teorije verjetnosti.

Oglejmo si enega od Fermatovih problemov, ki ga je rešil Pascal s svojo numerično tabelo.

Naj igralec A potrebuje dve igri, preden zmaga celotno tekmo, igralec B pa tri igre. Kako pošteno razdeliti stavo, če je igra prekinjena?

Pascal sešteje število iger, ki manjkajo igralcem, in vzame vrstico tabele, v kateri je število členov enako najdeni vsoti, tj. 5. Potem bo delež igralca A enak vsoti treh (glede na število iger, ki manjkajo igralcu B) prvi členi pete vrstice, delež igralca B pa je vsota preostalih dveh števil. Zapišimo to vrstico: 1,4,6,4, 1. Delež igralca A je 1+4+6=11, delež B pa je -1+4=5.

Drugi aritmetični trikotniki

Oglejmo si trikotnike, katerih konstrukcija je povezana z znanimi enoparametrskimi kombinatoričnimi števili. Ustvarjanje takšnih trikotnikov temelji na zgoraj obravnavanem načelu konstruiranja trikotnika Pascal.

Lukov trikotnik

Razmislite o zgrajenem aritmetični trikotnik. Ta trikotnik imenujemo Lucasov trikotnik, ker vsote števil na naraščajočih diagonalah dajejo zaporedje Lucasovih števil: 1, 3, 4, 7, 11, 18, / ki ga lahko definiramo kot

Ln=Ln-1+Ln-2, L0=2, L1=1

Vsak element trikotnika je določen s Pascalovim pravilom Ln+1,k=Ln, k-1+Ln, k z začetnimi pogoji L1,0=1, L1,1=2 in L0,k=0

tj. n-ta vrstica mogoče dobiti trikotno loputo dodajanje n-te in (n-1) vrstic Pascalovega trikotnika.

Fibonaccijev trikotnik

Iz števil (fm, n), ki ustrezajo enačbam
fm, n=fm-1,n+fm-2,n,
fm, n=fm-1,n-1+fm-2,n-2, kjer je c začetni pogoji f0,0=f1,0=f1,1=f2,1=1 naslednji trikotnik je sestavljen.

fm, n =fn fn-m, m Є n Є 0, kjer je fn n-to Fibonaccijevo število. Konstruirani trikotnik se imenuje Fibonaccijev trikotnik.

Tribonaccijev trikotnik

Razmislimo o drugem trikotniku, katerega ustvarjanje temelji na metodi konstruiranja Pascalovega trikotnika. To je Tribonaccijev trikotnik. Imenuje se tako, ker vsote elementov na naraščajočih diagonalah tvorijo zaporedje Tribonaccijevih števil: 1,1,2,4,7,13,24,44,..., ki jih lahko definiramo z naslednjo povratno relacijo : tn+3 = tn+2 + tn+1 + tn z začetnimi pogoji t0 = 1, t1 = 1, t2 = 2

"Ikonični trikotnik"

Konstrukcija "znakovnega trikotnika"

Pred nami je trikotnik, sestavljen samo iz predznakov, plusov in minusov, po principu oblikovanja Pascalovega trikotnika. Za razliko od slednjega se nahaja z bazo navzgor.

Najprej se nastavi prva vrstica, ki jo sestavlja poljubno število znakov in njihova lokacija. Vsak znak naslednje vrstice dobimo z množenjem dveh višjih znakov.

Ena od naših nalog je ugotoviti, pri kolikšnem številu znakov v prvi vrstici bo število minusov in plusov enako. Skupna količina znakov v tabeli je mogoče določiti s formulo

kjer je n število znakov v prvi vrstici.

Oblikuje se zaporedje števil, v katerem je lahko število minusov in plusov enako: 3, 4, 7, 8, 11, 12, 15, 16,..., od katerih vsako kaže število znakov v prvi vrstici. . Ni pa ugotovljeno, pri kakšni razporeditvi znakov bo število minusov in plusov edinstveno enako.

Naša druga naloga glede trikotnika zmnožka predznakov je ugotoviti najmanjše število plusov, ki jih lahko ima »trikotnik predznakov«.

V prvi vrstici je zanimivo zaporedje znakov: +, -, -, +, -, -, ... (ali -, -, + ,- ,- ,+ , ...), v katerem je številka plusov, kot prej velja za najmanjšega in enakega 1/3 od skupno število znaki, tj

Pomembno je vedeti, da če postopoma krožite okoli trikotnika, bo zaporedje znakov +, -, -, ... ostalo.

Bodimo pozorni na dejstvo, da je najmanjše število plusov, enako 1/3 celotnega števila predznakov, zaslediti tudi v trikotniku z n = 2.