Lastnosti pravokotnega trikotnika

Dragi sedmošolci, že veste, kateri geometrijski liki se imenujejo trikotniki, znate dokazati znake njihove enakosti. Poznate tudi posebne primere trikotnikov: enakokrake in pravokotnike. Dobro poznate lastnosti enakokrakih trikotnikov.

Pravokotni trikotnik pa ima tudi številne lastnosti. Ena očitna stvar je povezana z izrekom vsote notranji koti Trikotnik: V pravokotnem trikotniku je vsota ostrih kotov 90°. Najbolj neverjetna lastnina o pravokotnem trikotniku se boste naučili v 8. razredu, ko boste preučevali znameniti Pitagorov izrek.

Zdaj bomo govorili še o dveh pomembne lastnosti. Ena je za pravokotne trikotnike 30°, druga pa za naključne pravokotne trikotnike. Formulirajmo in dokažimo te lastnosti.

Dobro veste, da je v geometriji običajno oblikovati trditve, ki so nasprotne dokazanim, ko pogoj in sklep v trditvi zamenjata mesti. Nasprotne izjave niso vedno resnične. V našem primeru držita obe obratni trditvi.

Lastnost 1.1 V pravokotnem trikotniku je krak nasproti kota 30° enaka polovici hipotenuza.

Dokaz: Razmislite o pravokotniku ∆ ABC, v katerem je ÐA=90°, ÐB=30°, nato ÐC=60°..gif" width="167" height="41">, torej, kar je bilo treba dokazati.

Lastnost 1.2 (obratno na lastnost 1.1) Če je v pravokotnem trikotniku noga enaka polovici hipotenuze, potem je kot nasproti nje 30°.

Lastnost 2.1 V pravokotnem trikotniku je mediana, potegnjena hipotenuzi, enaka polovici hipotenuze.

Oglejmo si pravokotnik ∆ ABC, v katerem je РВ=90°.

BD-mediana, to je AD=DC. Dokažimo to.

Da to dokažemo, bomo storili dodatna gradnja: podaljšajte BD čez točko D, tako da je BD=DN in povežite N z A in C..gif" width="616" height="372 src=">

Podano: ∆ABC, ÐC=90o, ÐA=30o, ÐBEC=60o, EC=7cm

1. ÐEBC=30o, saj je v pravokotniku ∆BCE vsota ostrih kotov 90o

2. BE=14cm(lastnost 1)

3. ÐABE=30o, saj je ÐA+ÐABE=ÐBEC (lastnost zunanji kotiček trikotnik), torej je ∆AEB enakokrak AE=EB=14cm.

BC=2AN=20 cm (lastnost 2).

Naloga 3. Dokažite, da višina in mediana pravokotnega trikotnika, vzeta na hipotenuzo, tvorita kot, enako razliki ostri koti trikotnika.

Podano: ∆ ABC, ÐBAC=90°, AM-mediana, AH-višina.

Dokaži: RMAN=RS-RV.

Dokaz:

1)РМАС=РС (po lastnosti 2 ∆ AMC-enakokraki, AM=SM)

2) ÐMAN = ÐMAS-ÐNAS = ÐS-ÐNAS.

Treba je še dokazati, da je РНАС=РВ. To izhaja iz dejstva, da je ÐB+ÐC=90° (v ∆ ABC) in ÐNAS+ÐC=90° (iz ∆ ANS).

Torej RMAN = RС-РВ, kar je bilo treba dokazati.

https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" width="194" height="184">Dano: ∆ABC, ÐBAC=90°, AN-višina, .

Najdi: РВ, РС.

Rešitev: Vzemimo mediano AM. Naj bo AN=x, potem je BC=4x in

VM=MS=AM=2x.

V pravokotniku ∆AMN je hipotenuza AM 2-krat večja od kraka AN, zato je ÐAMN=30°. Ker je VM=AM,

РВ=РВАМ100%">

Podaljšajmo AC čez točko A, tako da je AD=AC. Potem je ∆ABC=∆ABD (na 2 krakih). BD=BC=2AC=CD, torej ∆DBC-enakostranični, ÐC=60o in ÐABC=30o.

Problem 5

V enakokrakem trikotniku je eden od kotov 120°, osnova je 10 cm. Poišči stransko stran.

Rešitev: za začetek opozorimo, da je lahko kot 120° samo na oglišču trikotnika in da bo stranski narisana višina padla na njegovo nadaljevanje.

AB - stopnišče, K - mucek.

V katerem koli položaju lestve, dokler končno ne pade na tla, je ∆ABC pravokoten. MC - mediana ∆ABC.

Po lastnosti 2 SK = 1/2AB. To pomeni, da je v katerem koli trenutku dolžina segmenta SK konstantna.

Odgovor: točka K se bo gibala vzdolž krožnega loka s središčem C in polmerom SC=1/2AB.

Problemi za samostojno rešitev.

Eden od kotov pravokotnega trikotnika je 60°, razlika med hipotenuzo in krajšim krakom pa je 4 cm. poiščite dolžino hipotenuze. V pravokotnik ∆ ABC s hipotenuzo BC in kotom B enakim 60° je narisana višina AD. Poiščite DC, če je DB=2cm. B ∆ABC ÐC=90o, CD - višina, BC=2ВD. Dokažite, da je AD=3ВD. Višina pravokotnega trikotnika deli hipotenuzo na 3 cm in 9 cm. Poiščite kote trikotnika in razdaljo od sredine hipotenuze do daljšega kraka. Simetrala deli trikotnik na dva dela enakokraki trikotnik. Poiščite kote prvotnega trikotnika. Mediana razdeli trikotnik na dva enakokraka trikotnika. Ali je mogoče najti kote

Originalni trikotnik?

V življenju se bomo morali pogosto ukvarjati s matematične težave: v šoli, na univerzi in nato pomoč otroku pri dokončanju domača naloga. Ljudje v določenih poklicih se bodo z matematiko srečevali vsakodnevno. Zato se je koristno spomniti ali spomniti matematična pravila. V tem članku si bomo ogledali enega od njih: iskanje stranice pravokotnega trikotnika.

Kaj je pravokotni trikotnik

Najprej se spomnimo, kaj je pravokotni trikotnik. Pravokotni trikotnik je geometrijski lik iz treh segmentov, ki povezujejo točke, ki ne ležijo na isti ravni črti, eden od kotov tega lika pa je 90 stopinj. Stranici, ki tvorita pravi kot, se imenujeta kraka, stran, ki leži nasproti, pa imenujeta pravi kot– hipotenuza.

Iskanje kraka pravokotnega trikotnika

Dolžino noge lahko ugotovite na več načinov. Rad bi jih podrobneje obravnaval.

Pitagorov izrek za iskanje stranice pravokotnega trikotnika

Če poznamo hipotenuzo in krak, potem lahko najdemo dolžino znamenita noga po Pitagorovem izreku. Sliši se takole: »Kvadrat hipotenuze enaka vsoti kvadrati nog." Formula: c²=a²+b², kjer je c hipotenuza, a in b pa kateta. Formulo transformiramo in dobimo: a²=c²-b².

Primer. Hipotenuza je 5 cm, kateta pa 3 cm. Transformiramo formulo: c²=a²+b² → a²=c²-b². Nato rešimo: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Trigonometrična razmerja za iskanje kraka pravokotnega trikotnika

Neznan krak lahko najdete tudi, če poznate katero koli drugo stranico in kateri koli ostri kot pravokotnega trikotnika. Za iskanje noge so na voljo štiri možnosti trigonometrične funkcije: s sinusom, kosinusom, tangensom, kotangensom. Spodnja tabela nam bo v pomoč pri reševanju težav. Razmislimo o teh možnostih.

Poiščite krak pravokotnega trikotnika s sinusom

Sinus kota (sin) je razmerje nasprotna stran na hipotenuzo. Formula: sin=a/c, kjer je a krak nasproti podanega kota, c pa hipotenuza. Nato transformiramo formulo in dobimo: a=sin*c.

Primer. Hipotenuza je 10 cm, kot A je 30 stopinj. S pomočjo tabele izračunamo sinus kota A, ta je enak 1/2. Nato s transformirano formulo rešimo: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Poiščite krak pravokotnega trikotnika z uporabo kosinusa

Kosinus kota (cos) je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo. Formula: cos=b/c, kjer je b krak, ki meji na ta kot, in c je hipotenuza. Transformirajmo formulo in dobimo: b=cos*c.

Primer. Kot A je enak 60 stopinj, hipotenuza je enaka 10 cm S pomočjo tabele izračunamo kosinus kota A, ki je enak 1/2. Nato rešimo: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Poiščite krak pravokotnega trikotnika s pomočjo tangente

Tangens kota (tg) je razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo. Formula: tg=a/b, kjer je a stranica, ki je nasprotna kotu, b pa sosednja stranica. Transformirajmo formulo in dobimo: a=tg*b.

Primer. Kot A je enak 45 stopinj, hipotenuza je enaka 10 cm S pomočjo tabele izračunamo tangens kota A, ta je enak Reši: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Poiščite krak pravokotnega trikotnika s pomočjo kotangensa

Kotangens kota (ctg) je razmerje med sosednjo in nasprotno stranico. Formula: ctg=b/a, kjer je b krak, ki meji na kot, in nasprotni krak. Z drugimi besedami, kotangens je "obrnjena tangensa". Dobimo: b=ctg*a.

Primer. Kot A je 30 stopinj, nasprotni krak je 5 cm. Glede na tabelo je tangens kota A √3. Izračunamo: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Zdaj veste, kako najti krak v pravokotnem trikotniku. Kot lahko vidite, ni tako težko, glavna stvar je, da se spomnite formul.

Navodila

Kota, ki sta nasproti krakov a in b, bosta označena z A oziroma B. Hipotenuza je po definiciji stranica pravokotnega trikotnika, ki je nasprotna pravemu kotu (medtem ko hipotenuza tvori ostre kote z drugimi stranicami trikotnika). trikotnik). Dolžino hipotenuze označimo s c.

Potrebovali boste:
Kalkulator.

Uporabite naslednji izraz za krak: a=sqrt(c^2-b^2), če poznate vrednosti hipotenuze in drugega kraka. Ta izraz je izpeljan iz Pitagorovega izreka, ki pravi, da je kvadrat hipotenuze trikotnika vsota kvadratov katet. Operator sqrt izvleče kvadratne korene. Znak "^2" pomeni dvig na drugo potenco.

Uporabite formulo a=c*sinA, če poznate hipotenuzo (c) in kot, ki je nasproten želenemu (ta kot smo označili kot A).
Uporabite izraz a=c*cosB, da poiščete krak, če poznate hipotenuzo (c) in kot, ki meji na želeni krak (ta kot smo označili kot B).
Izračunajte krak iz a=b*tgA v primeru, ko sta podana krak b in kot nasproti želenega kraka (dogovorili smo se, da ta kot označimo z A).

Upoštevajte:
Če v vaši težavi noga ni najdena na nobenega od opisanih načinov, jo je najverjetneje mogoče zmanjšati na enega od njih.

Koristni nasveti:
Vsi ti izrazi so pridobljeni iz dobro znanih definicij trigonometričnih funkcij, zato, tudi če pozabite katero od njih, jo lahko vedno hitro izpeljete s preprostimi operacijami. Koristno je tudi poznati vrednosti trigonometričnih funkcij za najpogostejše kote 30, 45, 60, 90, 180 stopinj.

Video na temo

Viri:

• "Priročnik o matematiki za tiste, ki vstopajo na univerze," ed. G.N. Jakovleva, 1982
• krak pravokotnega trikotnika

Kvadratni trikotnik natančneje imenujemo pravokotni trikotnik. Odnosi med stranicami in koti tega geometrijskega lika so podrobno obravnavani v matematični disciplini trigonometriji.

Potrebovali boste

• - list papirja;
• - pero;
• - mize Bradis;
• - kalkulator.

Navodila

Najdi trikotnik z uporabo Pitagorovega izreka. Po tem izreku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov katet: c2 = a2+b2, kjer je c hipotenuza. trikotnik, a in b sta njegova kraka. Če želite to uporabiti, morate poznati dolžino poljubnih dveh stranic pravokotnika trikotnik.

Če pogoji določajo dimenzije nog, poiščite dolžino hipotenuze. Če želite to narediti, uporabite kvadratni koren iz vsote nog, od katerih je treba vsako najprej kvadrirati.

Izračunaj dolžino enega od krakov, če sta znani meri hipotenuze in drugega kraka. S pomočjo kalkulatorja izluščite kvadratni koren razlike med hipotenuzo in znanim krakom, prav tako na kvadrat.

Če problem določa hipotenuzo in enega od ostrih kotov, ki mejijo nanjo, uporabite Bradisove tabele. Prikazujejo vrednosti trigonometričnih funkcij za veliko število vogali Uporabite kalkulator s funkcijama sinusa in kosinusa ter trigonometrične izreke, ki opisujejo razmerja med stranicami in pravokotnikom. trikotnik.

Poiščite krake z uporabo osnovnih trigonometričnih funkcij: a = c*sin α, b = c*cos α, kjer je a krak nasproti kota α, b je krak ob kotu α. Na enak način izračunajte velikost stranic trikotnik, če sta podana hipotenuza in drug ostri kot: b = c*sin β, a = c*cos β, kjer je b krak, ki je nasproti kotu β, in krak, ki meji na kot β.

V primeru a in sosednjega ostrega kota β ne pozabite, da je v pravokotnem trikotniku vsota ostrih kotov vedno enaka 90°: α + β = 90°. Poiščite vrednost kota, ki je nasproten kraku a: α = 90° – β. Ali pa uporabite formule za trigonometrično redukcijo: sin α = sin (90° – β) = cos β; tan α = tan (90° – β) = ctg β = 1/tg β.

Video na temo

Viri:

• Kako najti stranice pravokotnega trikotnika po katetah in oster kot leta 2019

Nasvet 3: Kako najti oster kot v pravokotnem trikotniku

Neposredno karbonski trikotnika je verjetno eden najbolj znanih, z zgodovinska točka vizija, geometrijske oblike. Pitagorejske "hlače" se lahko kosajo le z "Eureko!" Arhimed.

Potrebovali boste

• - risanje trikotnika;
• - ravnilo;
• - kotomer

Navodila

Vsota kotov trikotnika je 180 stopinj. V pravokotnem trikotnik en kot (ravni) bo vedno 90 stopinj, ostali pa so ostri, tj. manj kot 90 stopinj vsak. Da bi ugotovili, kolikšen kot je v pravokotniku trikotnik je ravna, z ravnilom izmerite stranice trikotnika in določite največjo. To je hipotenuza (AB) in se nahaja nasproti pravega kota (C). Preostali dve stranici tvorita pravi kot in kraka (AC, BC).

Ko ugotovite, kateri kot je oster, lahko za izračun kota uporabite bodisi kotomer matematične formule.

Za določitev kota s kotomerjem poravnajte njegov vrh (označimo ga s črko A) s posebno oznako na ravnilu v sredini kotomera, krak AC naj sovpada z njegovim zgornjim robom. Na polkrožnem delu kotomerja označimo točko, skozi katero poteka hipotenuza AB. Vrednost na tej točki ustreza kotu v stopinjah. Če sta na kotomeru navedeni 2 vrednosti, potem morate za ostri kot izbrati manjši, za tup kot - večji.

Poiščite dobljeno vrednost v referenčnih knjigah Bradis in določite, kateremu kotu ustreza dobljena vrednost številčna vrednost. To metodo so uporabljale naše babice.

V našem primeru je dovolj, da vzamemo s funkcijo izračuna trigonometrične formule. Na primer, vgrajen Windows kalkulator. Zaženite aplikacijo "Kalkulator", v meniju "Pogled" izberite "Inženiring". Izračunajte sinus želenega kota, na primer sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

Preklopite kalkulator v način inverznih funkcij s klikom na gumb INV na zaslonu kalkulatorja, nato pa kliknite na gumb funkcije arksinusa (na zaslonu je prikazan kot sin minus prva potenca). V oknu za izračun se prikaže naslednje sporočilo: asind (0,5) = 30. Tj. vrednost želenega kota je 30 stopinj.

Srednja stopnja

Pravokotni trikotnik. Popolni ilustrirani vodnik (2019)

PRAVOKOTNI TRIKOTNIK. ZAČETNA STOPNJA.

Pri težavah pravi kot sploh ni potreben - spodnji levi, zato se morate naučiti prepoznati pravokotni trikotnik v tej obliki,

in v tem

in v tem

Kaj je dobrega pri pravokotnem trikotniku? No ... najprej so posebni lepa imena za njegove strani.

Pozor na risbo!

Zapomnite si in ne zamenjujte: obstajata dva kraka in samo ena hipotenuza(ena in edina, edinstvena in najdaljša)!

No, razpravljali smo o imenih, zdaj pa najpomembnejša stvar: Pitagorov izrek.

Pitagorov izrek.

Ta izrek je ključ do rešitve mnogih problemov, ki vključujejo pravokotni trikotnik. Pitagora je to popolnoma dokazal od nekdaj, in od takrat je prinesla veliko koristi tistim, ki jo poznajo. In najboljše pri tem je, da je preprosto.

Torej, Pitagorov izrek:

Se spomnite šale: "Pitagorejske hlače so enake na vseh straneh!"?

Narišimo te iste Pitagorejske hlače in poglejmo jih.

Ali ne izgleda kot nekakšne kratke hlače? No, na katerih straneh in kje so enakopravni? Zakaj in od kod šala? In ta šala je povezana prav s Pitagorovim izrekom, natančneje z načinom, kako je Pitagora sam formuliral svoj izrek. In to je formuliral takole:

"Vsota površine kvadratov, zgrajen na nogah, je enak kvadratna površina, zgrajen na hipotenuzi."

Se res sliši malo drugače? In tako, ko je Pitagora narisal izjavo svojega izreka, je nastala natanko taka slika.

Na tej sliki je vsota ploščin majhnih kvadratov enaka ploščini velikega kvadrata. In da si bodo otroci bolje zapomnili, da je vsota kvadratov katet enaka kvadratu hipotenuze, se je nekdo duhovit domislil te šale o Pitagorovih hlačah.

Zakaj zdaj oblikujemo Pitagorov izrek?

Ali je Pitagora trpel in govoril o kvadratih?

Vidite, v starih časih ni bilo ... algebre! Nobenih znakov ni bilo in tako naprej. Napisov ni bilo. Si lahko predstavljate, kako grozno je bilo ubogim starodobnikom, da so se vsega spominjali z besedami??! In lahko smo veseli, da imamo preprosto besedilo Pitagorov izrek. Ponovimo še enkrat, da si bolje zapomnimo:

Zdaj bi moralo biti enostavno:

No, tukaj je glavni izrek razpravljali o pravokotnem trikotniku. Če vas zanima, kako se dokazuje, si preberite naslednje nivoje teorije, zdaj pa gremo naprej ... na temen gozd... trigonometrija! Na strašne besede sinus, kosinus, tangens in kotangens.

Sinus, kosinus, tangens, kotangens v pravokotnem trikotniku.

Pravzaprav vse sploh ni tako strašljivo. Seveda je treba v članku pogledati "pravo" definicijo sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. Ampak res nočem, kajne? Lahko se veselimo: če želite rešiti težave o pravokotnem trikotniku, lahko preprosto izpolnite naslednje preproste stvari:

Zakaj je vse tik pred vogalom? Kje je kotiček? Da bi to razumeli, morate vedeti, kako so izjave 1 - 4 zapisane z besedami. Poglejte, razumejte in zapomnite si!

1.
Pravzaprav zveni takole:

Kaj pa kot? Ali obstaja krak, ki je nasproti kotu, torej nasprotni (za kot) krak? Seveda obstaja! To je noga!

Kaj pa kot? Pazljivo poglejte. Kateri krak meji na kot? Seveda, noga. To pomeni, da je za kot krak sosednji in

Zdaj pa bodite pozorni! Poglejte, kaj imamo:

Poglejte, kako kul je:

Zdaj pa preidimo na tangento in kotangens.

Kako naj zdaj to zapišem z besedami? Kakšen je krak glede na kot? Nasproti, seveda - "leži" nasproti vogala. Kaj pa noga? V bližini vogala. Torej, kaj imamo?

Ali vidite, kako sta števec in imenovalec zamenjala mesti?

In zdaj spet vogali in naredili izmenjavo:

Nadaljevanje

Na kratko zapišimo vse, kar smo se naučili.

Pitagorov izrek:

Glavni izrek o pravokotnem trikotniku je Pitagorov izrek.

Pitagorov izrek

Mimogrede, se dobro spomnite, kaj so noge in hipotenuza? Če ni zelo dobro, potem si oglejte sliko - osvežite svoje znanje

Povsem možno je, da ste že večkrat uporabili Pitagorov izrek, a ste se kdaj vprašali, zakaj takšen izrek drži? Kako lahko to dokažem? Naredimo kot stari Grki. Narišimo kvadrat s stranico.

Poglejte, kako spretno smo njegove stranice razdelili na dolžinske segmente in!

Sedaj povežimo označene točke

Tu pa smo opazili še nekaj, sami pa poglejte risbo in pomislite, zakaj je tako.

Kolikšna je površina večjega kvadrata? prav, . Kaj pa manjša površina? Vsekakor,. Skupna površina štirih vogalov ostaja. Predstavljajte si, da ju vzamemo po dve naenkrat in ju s hipotenuzama prislonimo enega na drugega. Kaj se je zgodilo? Dva pravokotnika. To pomeni, da je površina "rezov" enaka.

Sestavimo vse skupaj.

Preobrazimo:

Pa smo obiskali Pitagoro – njegov izrek smo dokazali na starodaven način.

Pravokotni trikotnik in trigonometrija

Za pravokotni trikotnik veljajo razmerja:

Sinus ostrega kota enako razmerju nasprotna stran od hipotenuze

Kosinus ostrega kota je enak razmerju med sosednjim krakom in hipotenuzo.

Tangens ostrega kota je enak razmerju med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo.

Kotangens ostrega kota je enak razmerju med sosednjo in nasprotno stranico.

In še enkrat vse to v obliki tablete:

To je zelo priročno!

Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov

I. Na dveh straneh

II. Po nogi in hipotenuzi

III. S hipotenuzo in ostrim kotom

IV. Ob kraku in ostrem kotu

a)

b)

Pozor! Pri tem je zelo pomembno, da so noge »primerne«. Na primer, če gre takole:

POTEM TRIKOTNIKI NISO ENAKI, kljub dejstvu, da imata enak oster kot.

Nujno je, da v obeh trikotnikih je bil krak sosednji ali pa v obeh nasproti.

Ste opazili, kako se znaki enakosti pravokotnih trikotnikov razlikujejo od običajnih znakov enakosti trikotnikov? Oglejte si temo "in bodite pozorni na dejstvo, da morajo biti za enakost "navadnih" trikotnikov enaki trije njihovi elementi: dve strani in kot med njima, dva kota in stranica med njima ali tri stranice. Toda za enakost pravokotnih trikotnikov sta dovolj le dva ustrezna elementa. Super, kajne?

Približno enako je z znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov.

Znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov

I. Vzdolž ostrega kota

II. Na dveh straneh

III. Po nogi in hipotenuzi

Mediana v pravokotnem trikotniku

Zakaj je temu tako?

Namesto pravokotnega trikotnika razmislite o celem pravokotniku.

Narišimo diagonalo in upoštevajmo točko – presečišče diagonal. Kaj vemo o diagonalah pravokotnika?

In kaj iz tega sledi?

Tako se je izkazalo, da

1. - mediana:

Zapomni si to dejstvo! Zelo pomaga!

Še bolj presenetljivo pa je, da velja tudi nasprotno.

Kaj lahko koristimo iz dejstva, da je mediana, potegnjena hipotenuzi, enaka polovici hipotenuze? Poglejmo sliko

Pazljivo poglejte. Imamo: , to je, da so se razdalje od točke do vseh treh oglišč trikotnika izkazale za enake. Toda v trikotniku je samo ena točka, od katere so oddaljenosti od vseh treh oglišč trikotnika enake, in to je SREDIŠČE KROGA. Kaj se je torej zgodilo?

Pa začnimo s tem “poleg ...”.

Poglejmo in.

Toda vsi podobni trikotniki imajo enake kote!

Enako lahko rečemo za in

Zdaj pa ga narišimo skupaj:

Kakšno korist lahko izvlečemo iz te »trojne« podobnosti?

No, na primer - dve formuli za višino pravokotnega trikotnika.

Zapišimo razmerja korespondentnih strank:

Da bi našli višino, rešimo delež in dobimo prva formula "Višina v pravokotnem trikotniku":

Torej, uporabimo podobnost: .

Kaj bo zdaj?

Spet rešimo delež in dobimo drugo formulo:

Obe formuli si morate dobro zapomniti in uporabiti tisto, ki je bolj priročna. Zapišimo jih še enkrat

Pitagorov izrek:

V pravokotnem trikotniku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov katet: .

Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov:

• na dveh straneh:
• po kateti in hipotenuzi: oz
• vzdolž kraka in prilegajočega ostrega kota: oz
• vzdolž kraka in nasprotnega ostrega kota: oz
• s hipotenuzo in ostrim kotom: oz.

Znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov:

• en oster vogal: oz
• iz sorazmernosti dveh nog:
• iz sorazmernosti katete in hipotenuze: oz.

Sinus, kosinus, tangens, kotangens v pravokotnem trikotniku

• Sinus ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med nasprotno stranico in hipotenuzo:
• Kosinus ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo:
• Tangens ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo:
• Kotangens ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjo in nasprotno stranico: .

Višina pravokotnega trikotnika: oz.

V pravokotnem trikotniku je mediana, potegnjena iz vrha pravega kota, enaka polovici hipotenuze: .

Območje pravokotnega trikotnika:

• preko nog:

Srednja stopnja

Pravokotni trikotnik. Popolni ilustrirani vodnik (2019)

PRAVOKOTNI TRIKOTNIK. ZAČETNA STOPNJA.

Pri težavah pravi kot sploh ni potreben - spodnji levi, zato se morate naučiti prepoznati pravokotni trikotnik v tej obliki,

in v tem

in v tem

Kaj je dobrega pri pravokotnem trikotniku? No ..., prvič, obstajajo posebna lepa imena za njene strani.

Pozor na risbo!

Zapomnite si in ne zamenjujte: obstajata dva kraka in samo ena hipotenuza(ena in edina, edinstvena in najdaljša)!

No, razpravljali smo o imenih, zdaj pa najpomembnejša stvar: Pitagorov izrek.

Pitagorov izrek.

Ta izrek je ključ do rešitve mnogih problemov, ki vključujejo pravokotni trikotnik. Dokazal jo je Pitagora že v povsem pradavnini in od takrat je poznavalcem prinesla veliko koristi. In najboljše pri tem je, da je preprosto.

Torej, Pitagorov izrek:

Se spomnite šale: "Pitagorejske hlače so enake na vseh straneh!"?

Narišimo te iste pitagorejske hlače in jih poglejmo.

Ali ne izgleda kot nekakšne kratke hlače? No, na katerih straneh in kje so enakopravni? Zakaj in od kod šala? In ta šala je povezana prav s Pitagorovim izrekom, natančneje z načinom, kako je Pitagora sam formuliral svoj izrek. In to je formuliral takole:

"Vsota površine kvadratov, zgrajen na nogah, je enak kvadratna površina, zgrajen na hipotenuzi."

Se res sliši malo drugače? In tako, ko je Pitagora narisal izjavo svojega izreka, je nastala natanko taka slika.

Na tej sliki je vsota ploščin majhnih kvadratov enaka ploščini velikega kvadrata. In da si bodo otroci bolje zapomnili, da je vsota kvadratov katet enaka kvadratu hipotenuze, se je nekdo duhovit domislil te šale o Pitagorovih hlačah.

Zakaj zdaj oblikujemo Pitagorov izrek?

Ali je Pitagora trpel in govoril o kvadratih?

Vidite, v starih časih ni bilo ... algebre! Nobenih znakov ni bilo in tako naprej. Napisov ni bilo. Si lahko predstavljate, kako grozno je bilo ubogim starodobnikom, da so se vsega spominjali z besedami??! In lahko se veselimo, da imamo preprosto formulacijo Pitagorovega izreka. Ponovimo še enkrat, da si bolje zapomnimo:

Zdaj bi moralo biti enostavno:

No, najpomembnejši izrek o pravokotnih trikotnikih je bil obravnavan. Če te zanima, kako se to dokazuje, si preberi naslednje nivoje teorije, zdaj pa gremo še dlje... v temni gozd... trigonometrije! Na strašne besede sinus, kosinus, tangens in kotangens.

Sinus, kosinus, tangens, kotangens v pravokotnem trikotniku.

Pravzaprav vse sploh ni tako strašljivo. Seveda je treba v članku pogledati "pravo" definicijo sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. Ampak res nočem, kajne? Lahko se veselimo: če želite rešiti težave o pravokotnem trikotniku, lahko preprosto izpolnite naslednje preproste stvari:

Zakaj je vse tik pred vogalom? Kje je kotiček? Da bi to razumeli, morate vedeti, kako so izjave 1 - 4 zapisane z besedami. Poglejte, razumejte in zapomnite si!

1.
Pravzaprav zveni takole:

Kaj pa kot? Ali obstaja krak, ki je nasproti kotu, torej nasprotni (za kot) krak? Seveda obstaja! To je noga!

Kaj pa kot? Pazljivo poglejte. Kateri krak meji na kot? Seveda, noga. To pomeni, da je za kot krak sosednji in

Zdaj pa bodite pozorni! Poglejte, kaj imamo:

Poglejte, kako kul je:

Zdaj pa preidimo na tangento in kotangens.

Kako naj zdaj to zapišem z besedami? Kakšen je krak glede na kot? Nasproti, seveda - "leži" nasproti vogala. Kaj pa noga? V bližini vogala. Torej, kaj imamo?

Ali vidite, kako sta števec in imenovalec zamenjala mesti?

In zdaj spet vogali in naredili izmenjavo:

Nadaljevanje

Na kratko zapišimo vse, kar smo se naučili.

Pitagorov izrek:

Glavni izrek o pravokotnem trikotniku je Pitagorov izrek.

Pitagorov izrek

Mimogrede, se dobro spomnite, kaj so noge in hipotenuza? Če ni zelo dobro, potem si oglejte sliko - osvežite svoje znanje

Povsem možno je, da ste že večkrat uporabili Pitagorov izrek, a ste se kdaj vprašali, zakaj takšen izrek drži? Kako lahko to dokažem? Naredimo kot stari Grki. Narišimo kvadrat s stranico.

Poglejte, kako spretno smo njegove stranice razdelili na dolžinske segmente in!

Sedaj povežimo označene točke

Tu pa smo opazili še nekaj, sami pa poglejte risbo in pomislite, zakaj je tako.

Kolikšna je površina večjega kvadrata? prav, . Kaj pa manjša površina? Vsekakor,. Skupna površina štirih vogalov ostaja. Predstavljajte si, da ju vzamemo po dve naenkrat in ju s hipotenuzama prislonimo enega na drugega. Kaj se je zgodilo? Dva pravokotnika. To pomeni, da je površina "rezov" enaka.

Sestavimo vse skupaj.

Preobrazimo:

Pa smo obiskali Pitagoro – njegov izrek smo dokazali na starodaven način.

Pravokotni trikotnik in trigonometrija

Za pravokotni trikotnik veljajo razmerja:

Sinus ostrega kota je enak razmerju med nasprotno stranico in hipotenuzo

Kosinus ostrega kota je enak razmerju med sosednjim krakom in hipotenuzo.

Tangens ostrega kota je enak razmerju med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo.

Kotangens ostrega kota je enak razmerju med sosednjo in nasprotno stranico.

In še enkrat vse to v obliki tablete:

To je zelo priročno!

Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov

I. Na dveh straneh

II. Po nogi in hipotenuzi

III. S hipotenuzo in ostrim kotom

IV. Ob kraku in ostrem kotu

a)

b)

Pozor! Pri tem je zelo pomembno, da so noge »primerne«. Na primer, če gre takole:

POTEM TRIKOTNIKI NISO ENAKI, kljub dejstvu, da imata enak oster kot.

Nujno je, da v obeh trikotnikih je bil krak sosednji ali pa v obeh nasproti.

Ste opazili, kako se znaki enakosti pravokotnih trikotnikov razlikujejo od običajnih znakov enakosti trikotnikov? Oglejte si temo "in bodite pozorni na dejstvo, da morajo biti za enakost "navadnih" trikotnikov enaki trije njihovi elementi: dve strani in kot med njima, dva kota in stranica med njima ali tri stranice. Toda za enakost pravokotnih trikotnikov sta dovolj le dva ustrezna elementa. Super, kajne?

Približno enako je z znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov.

Znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov

I. Vzdolž ostrega kota

II. Na dveh straneh

III. Po nogi in hipotenuzi

Mediana v pravokotnem trikotniku

Zakaj je temu tako?

Namesto pravokotnega trikotnika razmislite o celem pravokotniku.

Narišimo diagonalo in upoštevajmo točko – presečišče diagonal. Kaj vemo o diagonalah pravokotnika?

In kaj iz tega sledi?

Tako se je izkazalo, da

1. - mediana:

Zapomni si to dejstvo! Zelo pomaga!

Še bolj presenetljivo pa je, da velja tudi nasprotno.

Kaj lahko koristimo iz dejstva, da je mediana, potegnjena hipotenuzi, enaka polovici hipotenuze? Poglejmo sliko

Pazljivo poglejte. Imamo: , to je, da so se razdalje od točke do vseh treh oglišč trikotnika izkazale za enake. Toda v trikotniku je samo ena točka, od katere so oddaljenosti od vseh treh oglišč trikotnika enake, in to je SREDIŠČE KROGA. Kaj se je torej zgodilo?

Pa začnimo s tem “poleg ...”.

Poglejmo in.

Toda vsi podobni trikotniki imajo enake kote!

Enako lahko rečemo za in

Zdaj pa ga narišimo skupaj:

Kakšno korist lahko izvlečemo iz te »trojne« podobnosti?

No, na primer - dve formuli za višino pravokotnega trikotnika.

Zapišimo razmerja korespondentnih strank:

Da bi našli višino, rešimo delež in dobimo prva formula "Višina v pravokotnem trikotniku":

Torej, uporabimo podobnost: .

Kaj bo zdaj?

Spet rešimo delež in dobimo drugo formulo:

Obe formuli si morate dobro zapomniti in uporabiti tisto, ki je bolj priročna. Zapišimo jih še enkrat

Pitagorov izrek:

V pravokotnem trikotniku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov katet: .

Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov:

• na dveh straneh:
• po kateti in hipotenuzi: oz
• vzdolž kraka in prilegajočega ostrega kota: oz
• vzdolž kraka in nasprotnega ostrega kota: oz
• s hipotenuzo in ostrim kotom: oz.

Znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov:

• en oster vogal: oz
• iz sorazmernosti dveh nog:
• iz sorazmernosti katete in hipotenuze: oz.

Sinus, kosinus, tangens, kotangens v pravokotnem trikotniku

• Sinus ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med nasprotno stranico in hipotenuzo:
• Kosinus ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo:
• Tangens ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo:
• Kotangens ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjo in nasprotno stranico: .

Višina pravokotnega trikotnika: oz.

V pravokotnem trikotniku je mediana, potegnjena iz vrha pravega kota, enaka polovici hipotenuze: .

Območje pravokotnega trikotnika:

• preko nog: