Iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije. Kako najti največjo in najmanjšo vrednost funkcije na intervalu

Kaj je ekstrem funkcije in kaj je nujen pogoj za ekstrem?

Ekstrem funkcije je maksimum in minimum funkcije.

Predpogoj Maksimum in minimum (ekstremum) funkcije sta naslednja: če ima funkcija f(x) ekstrem v točki x = a, potem je na tej točki odvod nič ali neskončen ali pa ne obstaja.

Ta pogoj je nujen, vendar ne zadosten. Odvod v točki x = a lahko gre na nič, v neskončnost ali ne obstaja, ne da bi imela funkcija na tej točki ekstrem.

kako je zadosten pogoj ekstrem funkcije (maksimum ali minimum)?

Prvi pogoj:

Če je v zadostni bližini točke x = a odvod f?(x) pozitiven levo od a in negativen desno od a, potem ima v točki x = a funkcija f(x) maksimum

Če je v zadostni bližini točke x = a odvod f?(x) negativen levo od a in pozitiven desno od a, potem ima v točki x = a funkcija f(x) najmanj pod pogojem, da je funkcija f(x) tukaj zvezna.

Namesto tega lahko uporabite drugi zadostni pogoj za ekstrem funkcije:

Naj v točki x = a prvi odvod f?(x) izniči; če je drugi odvod f??(a) negativen, potem ima funkcija f(x) maksimum v točki x = a, če je pozitiven, potem ima minimum.

Kaj je kritična točka funkcije in kako jo najti?

To je vrednost argumenta funkcije, pri kateri ima funkcija ekstrem (tj. maksimum ali minimum). Da bi ga našli, potrebujete poišči izpeljanko funkcijo f?(x) in jo enačimo z nič, reši enačbo f? (x) = 0. Korenine te enačbe, kot tudi tiste točke, na katerih derivat te funkcije ne obstaja, so kritične točke, tj. Vrednosti argumenta, pri katerih lahko pride do ekstrema. Z lahkoto jih je mogoče prepoznati z ogledom izpeljani graf: zanimajo nas tiste vrednosti argumenta, pri katerih graf funkcije seka abscisno os (Ox os) in tiste, pri katerih graf trpi diskontinuitete.

Na primer, poiščimo ekstrem parabole.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Odvod funkcije: y?(x) = 6x + 2

Rešite enačbo: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

IN v tem primeru kritična točka je x0=-1/3. Funkcija ima to vrednost argumenta ekstrem. Njemu najti, zamenjajte najdeno število v izrazu za funkcijo namesto "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kako določiti maksimum in minimum funkcije, tj. njegove največje in najmanjše vrednosti?

Če se predznak odvoda pri prehodu skozi kritično točko x0 spremeni iz "plus" v "minus", potem je x0 največja točka; če se predznak odvoda spremeni iz minusa v plus, potem je x0 najmanjša točka; če se predznak ne spremeni, potem v točki x0 ni niti maksimuma niti minimuma.

Za obravnavani primer:

Vzamemo poljubno vrednost argumenta levo od kritične točke: x = -1

Pri x = -1 bo vrednost odvoda y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (tj. znak je "minus").

Sedaj vzamemo poljubno vrednost argumenta desno od kritične točke: x = 1

Pri x = 1 bo vrednost odvoda y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (tj. znak je "plus").

Kot lahko vidite, je odvod spremenil predznak iz minusa v plus, ko je šel skozi kritično točko. To pomeni, da imamo pri kritični vrednosti x0 točko minimuma.

Največji in nai nižjo vrednost funkcije na intervalu(na segmentu) najdemo po istem postopku, le ob upoštevanju dejstva, da morda ne bodo vse kritične točke v navedenem intervalu. Tiste kritične točke, ki so zunaj intervala, je treba izključiti iz obravnave. Če je znotraj intervala samo ena kritična točka, bo ta imel bodisi maksimum bodisi minimum. V tem primeru za določitev največje in najmanjše vrednosti funkcije upoštevamo tudi vrednosti funkcije na koncu intervala.

Na primer, poiščimo največjo in najmanjšo vrednost funkcije

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

v intervalih:

Torej, odvod funkcije je

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Rešimo enačbo 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Kritične točke najdemo na intervalu [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (ni vključeno v interval)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (ni vključeno v interval)

Najdemo vrednosti funkcije pri kritične vrednosti prepir:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Vidimo, da je na intervalu [-9; 9] najvišjo vrednost funkcija ima pri x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

in najmanjši - pri x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Na intervalu [-6; -3] imamo samo eno kritično točko: x = -4,88. Vrednost funkcije pri x = -4,88 je enaka y = 5,398.

Poiščite vrednost funkcije na koncih intervala:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Na intervalu [-6; -3] imamo največjo vrednost funkcije

y = 5,398 pri x = -4,88

najmanjša vrednost -

y = 1,077 pri x = -3

Kako najti prevojne točke grafa funkcije in določiti konveksno in konkavno stran?

Če želite najti vse prevojne točke premice y = f(x), morate najti drugi odvod, ga enačiti z nič (rešite enačbo) in preizkusiti vse tiste vrednosti x, za katere je drugi odvod nič, neskončno ali ne obstaja. Če pri prehodu skozi eno od teh vrednosti drugi odvod spremeni predznak, potem ima graf funkcije na tej točki pregib. Če se ne spremeni, potem ni ovinka.

Korenine enačbe f? (x) = 0 ter možne točke diskontinuitete funkcije in drugega odvoda razdelijo področje definicije funkcije na več intervalov. Konveksnost na vsakem od njihovih intervalov je določena s predznakom drugega odvoda. Če je drugi odvod v točki preučevanega intervala pozitiven, je premica y = f(x) konkavna navzgor, če je negativna, pa navzdol.

Kako najti ekstreme funkcije dveh spremenljivk?

Če želite najti ekstreme funkcije f(x,y), ki jih je mogoče diferencirati v domeni njene specifikacije, potrebujete:

1) poiščite kritične točke in za to - rešite sistem enačb

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) za vsako kritično točko P0(a;b) preverite, ali predznak razlike ostaja nespremenjen

za vse točke (x;y), ki so dovolj blizu P0. Če razlika ostane pozitiven znak, potem imamo v točki P0 minimum, če je negativen, potem imamo maksimum. Če razlika ne obdrži predznaka, potem v točki P0 ni ekstrema.

Ekstremumi funkcije so določeni podobno za več argumenti.

Katere gazirane brezalkoholne pijače čistijo površine?
Obstaja mnenje, da lahko gazirana brezalkoholna pijača Coca-Cola raztopi meso. Toda na žalost ni neposrednih dokazov o tem. Nasprotno, obstajajo pritrdilna dejstva, ki potrjujejo, da meso, ki ga dva dni pustimo v pijači Coca-Cola, spremeni potrošniške lastnosti in ne izgine nikamor.

Tlorise standardnih stanovanj, opise in fotografije hiš si lahko ogledate na spletnih mestih: - www.kvadroom.ru/planirovki - www.prime-realty.ru/tip/tip.htm - goodgoods.ru/pages/1093353787.html - www.cnko net/art

Kako zdraviti nevrozo
Nevroza (novolat. neurosis, izhaja iz stare grščine νε?ρον - živec; sinonimi - psihonevroza, nevrotična motnja) - v kliniki: skupno ime za skupino funkcionalnih psihogenih reverzibilnih motenj, ki so nagnjene k vztrajanju.

Kaj je afelij
Apocenter je točka v orbiti, v kateri telo, ki kroži po eliptični orbiti okoli drugega telesa, doseže največjo oddaljenost od slednjega. Na isti točki je po drugem Keplerjevem zakonu hitrost orbitalno gibanje postane minimalen. Apocenter se nahaja na točki, ki je diametralno nasprotna periapsisu. V posebnih primerih je običajno uporabiti posebne izraze:

Kaj je mamon
Mamon (m.r.), mamon (f.r.) – beseda izvira iz gr. mammonas in pomeni bogastvo, zemeljske zaklade, blagoslove. Pri nekaterih starih poganskih ljudstvih je bil bog bogastva in dobička. Omenjeno v Sveto pismo iz evangelistov Mateja in Luke: »Nihče ne more služiti dvema gospodarjema: ali bo enega sovražil in drugega

Kdaj je pravoslavna velika noč leta 2049?
Leta 2015 bo pravoslavna velika noč 12. aprila, katoliška velika noč pa 5. aprila. IN cerkveni koledarji datumi pravoslavne velike noči so podani po julijanski koledar (stari slog), katoliška velika noč pa se računa po sodobnem gregorijanskem koledarju ( nov stil), zato primerjanje datumov zahteva nekaj miselnega napora

Kaj je rubelj
Rubelj je ime sodobnih valut Rusije, Belorusije (beloruski rubelj), Pridnestrja (pridnestrski rubelj). V obtoku je tudi ruski rubelj Južna Osetija in Abhazijo. V preteklosti - denarna enota Ruske republike in kneževine, Velika kneževina Moskovska, Rusko carstvo, Velika kneževina Litva, Rusko cesarstvo in različne

Kako dolgo je bil Ariel Sharon v komi?
Ariel Arik Sharon (Sheinerman) - izraelski vojaški, politični in državnik, predsednik vlade Izraela od 2001 do 2006. Datum rojstva: 26. februar 1928 Kraj rojstva: naselje Kfar Malal blizu Kfar Save, Izrael Datum smrti: 11. januar 2014 Kraj smrti: Ramat Gan, Gush Dan, Iz

Kdo so bili neandertalci
Neandertalec, neandertalec (lat. Homo neanderthalensis oz Homo sapiens neanderthalensis) - fosilne vrste ljudje, ki so živeli pred 300-24 tisoč leti. Izvor imena Domneva se, da so neandertalčevo lobanjo prvič našli leta 1856

Koliko je star Geoffrey Rush
Geoffrey Rush je avstralski filmski in odrski igralec. Dobitnik oskarja (1997), BAFTA (1996, 1999), zlatega globusa (1997, 2005). večina znani filmi z njegovo udeležbo - "Shine"

Kako določiti intervale konveksnosti in konkavnosti funkcijskega grafa
Kaj je ekstrem funkcije in kaj je nujen pogoj za ekstrem? Ekstrem funkcije je maksimum in minimum funkcije. Nujni pogoj za maksimum in minimum (ekstremum) funkcije je naslednji: če ima funkcija f(x) ekstrem v točki x = a, potem je na tej točki odvod enak nič ali neskončen ali ne obstaja. Ta pogoj je nujen, vendar ne zadosten. Izpeljanka v t

Največja (najmanjša) vrednost funkcije je največja (najmanjša) sprejeta vrednost ordinate na obravnavanem intervalu.

Če želite najti največjo ali najmanjšo vrednost funkcije, morate:

1. Preverite, katere stacionarne točke so vključene v določen segment.
2. Izračunajte vrednost funkcije na koncih segmenta in na stacionarnih točkah iz 3. koraka
3. Med dobljenimi rezultati izberite največjo ali najmanjšo vrednost.

Če želite najti največje ali najmanjše število točk, morate:

1. Poiščite odvod funkcije $f"(x)$
2. Poiščite stacionarne točke tako, da rešite enačbo $f"(x)=0$
3. Faktoriziraj odvod funkcije.
4. Narišite koordinatno premico, nanjo postavite stacionarne točke in v dobljenih intervalih določite predznake odvoda z uporabo zapisa v 3. koraku.
5. Poiščite največje ali najmanjše točke po pravilu: če v neki točki odvod spremeni predznak iz plusa v minus, bo to največja točka (če iz minusa v plus, potem bo to najmanjša točka). V praksi je priročno uporabiti sliko puščic na intervalih: na intervalu, kjer je odvod pozitiven, je puščica narisana navzgor in obratno.

Tabela odvodov nekaterih elementarnih funkcij:

Osnovna pravila razlikovanja

1. Odvod vsote in razlike je enak odvodu vsakega člena

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Poiščite odvod funkcije $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Odvod vsote in razlike je enak odvodu vsakega člena

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Izpeljanka izdelka.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Poiščite odvod $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Izpeljava količnika

$((f(x))/(g(x)"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Poiščite odvod $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Izpeljanka kompleksna funkcija je enak produktu odvoda zunanje funkcije in odvoda notranje funkcije

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Poiščite najmanjšo točko funkcije $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Poiščimo ODZ funkcije: $x+11>0; x>-11$

2. Poiščite odvod funkcije $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Poiščite stacionarne točke tako, da izenačite odvod na nič

$(2x+21)/(x+11)=0$

Ulomek je enak nič, če je števec enako nič, in imenovalec ni nič

$2x+21=0; x≠-11$

4. Narišimo koordinatno premico, nanjo postavimo stacionarne točke in v nastalih intervalih določimo predznake odvoda. Če želite to narediti, zamenjajte poljubno število iz skrajno desnega območja v izpeljanko, na primer nič.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. V točki minimuma odvod spremeni predznak iz minusa v plus, zato je točka $-10,5$ točka minimuma.

Odgovor: $-10,5 $

Poiščite največjo vrednost funkcije $y=6x^5-90x^3-5$ na segmentu $[-5;1]$

1. Poiščite odvod funkcije $y′=30x^4-270x^2$

2. Izenačite odvod na nič in poiščite stacionarne točke

$30x^4-270x^2=0$

Vzeli ga bomo ven skupni množitelj$30x^2$ v oklepaju

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Izenačimo vsak faktor z nič

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Izberite stacionarne točke, ki pripadajo ta segment $[-5;1]$

Ustrezata nam stacionarni točki $x=0$ in $x=-3$

4. Izračunajte vrednost funkcije na koncih segmenta in na stacionarnih točkah iz 3. koraka

In za rešitev boste potrebovali minimalno znanje o temi. Naslednji se konča študijsko leto, vsi si želijo na dopust in da približam ta trenutek, bom takoj prešel k bistvu:

Začnimo z območjem. Območje, na katero se nanaša pogoj, je omejeno zaprto množica točk na ravnini. Na primer množica točk, ki jih omejuje trikotnik, vključno s CELIM trikotnikom (če iz meje"izbodite" vsaj eno točko, potem regija ne bo več zaprta). V praksi obstajajo tudi pravokotne, krožne in nekoliko večje površine. kompleksne oblike. Treba je opozoriti, da v teoriji matematična analiza podane so stroge definicije omejitve, izolacija, meje itd., vendar mislim, da se vsi zavedajo teh konceptov na intuitivni ravni in zdaj ni potrebno nič več.

Ravno območje je standardno označeno s črko in je praviloma določeno analitično - z več enačbami (ni nujno linearno); redkeje neenakosti. Tipično obračanje fraze: "zaprto območje, omejeno s črtami ».

Sestavni del obravnavane naloge je konstrukcija območja na risbi. Kako narediti? Narisati morate vse navedene črte (v tem primeru 3 naravnost) in analizirajte, kaj se je zgodilo. Iskano območje je običajno rahlo zasenčeno, njegova meja pa je označena z debelo črto:


Nastavite lahko tudi isto območje linearne neenakosti: , ki so iz neznanega razloga pogosto napisani kot oštevilčen seznam in ne sistem.
Ker meja pripada regiji, potem vse neenakosti seveda ohlapen.

In zdaj bistvo naloge. Predstavljajte si, da gre os iz izhodišča naravnost proti vam. Razmislite o funkciji, ki neprekinjeno v vsakem območna točka. Graf te funkcije predstavlja nekaj površino, In malo sreče je, da nam za rešitev današnjega problema ni treba vedeti, kako ta površina izgleda. Lahko se nahaja višje, nižje, seka ravnino - vse to ni pomembno. In pomembno je naslednje: po Weierstrassovi izreki, neprekinjeno V omejeno zaprto območju funkcija doseže največjo vrednost (najvišja") in najmanj (najnižji") vrednosti, ki jih je treba najti. Takšne vrednosti so dosežene oz V stacionarne točke, ki pripadajo regijiD , oz na točkah, ki ležijo na meji tega območja. To vodi do preprostega in preglednega algoritma rešitve:

Primer 1

V omejenem zaprto območje

rešitev: Najprej morate prikazati območje na risbi. Na žalost mi je tehnično težko interaktivni model nalogo, zato bom takoj predstavil končno ilustracijo, ki prikazuje vse »sumljive« točke, odkrite med študijo. Običajno so navedeni drug za drugim, ko so odkriti:

Na podlagi preambule lahko odločitev priročno razdelimo na dve točki:

I) Poiščite stacionarne točke. To je standardno dejanje, ki smo ga večkrat izvajali v razredu. o ekstremih več spremenljivk:

Najdena stacionarna točka pripada območja: (označi na risbi), kar pomeni, da bi morali izračunati vrednost funkcije v dani točki:

- kot v članku Največja in najmanjša vrednost funkcije na segmentu, pomembne rezultate Izpisal bom krepko. Priročno jih je prerisati v zvezek s svinčnikom.

Bodite pozorni na našo drugo srečo - nima smisla preverjati zadosten pogoj za ekstrem. Zakaj? Tudi če na neki točki funkcija doseže npr. lokalni minimum , potem to NE POMENI, da bo dobljena vrednost minimalen po vsej regiji (glej začetek lekcije o brezpogojnih ekstremih) .

Kaj storiti, če stacionarna točka NE pripada območju? Skoraj nič! To je treba upoštevati in preiti na naslednjo točko.

II) Raziskujemo mejo regije.

Ker je meja sestavljena iz stranic trikotnika, je študijo primerno razdeliti na 3 pododdelke. Vendar je bolje, da tega vseeno ne storite. Z mojega vidika je ugodneje najprej upoštevati segmente, ki so vzporedni koordinatne osi, predvsem pa tiste, ki ležijo na oseh. Če želite razumeti celotno zaporedje in logiko dejanj, poskusite preučiti konec "v enem dihu":

1) Ukvarjajmo se s spodnjo stranjo trikotnika. Če želite to narediti, zamenjajte neposredno v funkcijo:

Druga možnost je, da to storite takole:

Geometrijsko to pomeni koordinatna ravnina (kar je tudi podano z enačbo)"izrezuje" iz površine»prostorska« parabola, katere vrh takoj pride pod sum. Pa ugotovimo kje se nahaja:

– nastala vrednost je "padla" v območje in lahko se izkaže, da na točki (označeno na risbi) funkcija doseže največjo ali najmanjšo vrednost v celotni regiji. Tako ali drugače naredimo izračune:

Ostali »kandidati« so seveda konci segmenta. Izračunajmo vrednosti funkcije v točkah (označeno na risbi):

Tukaj, mimogrede, lahko izvedete ustno mini preverjanje z uporabo "skrajšane" različice:

2) Za raziskave desna stran trikotnik zamenjamo v funkcijo in "spravimo stvari v red":

Tukaj bomo takoj izvedli grobo preverjanje, "pozvonili" že obdelan konec segmenta:
, Super.

Geometrijska situacija je povezana s prejšnjo točko:

– tudi nastala vrednost je »prišla v sfero naših interesov«, kar pomeni, da moramo izračunati, čemu je enaka funkcija na prikazani točki:

Oglejmo si drugi konec segmenta:

Uporaba funkcije , opravimo kontrolni pregled:

3) Verjetno lahko vsak ugane, kako raziskati preostalo stran. Nadomestimo ga v funkcijo in izvedemo poenostavitve:

Konci segmenta so že raziskane, vendar v osnutku še preverjamo, ali smo funkcijo pravilno našli :
– sovpada z rezultatom iz 1. pododstavka;
– sovpada z rezultatom iz 2. pododstavka.

Še vedno je treba ugotoviti, ali je znotraj segmenta kaj zanimivega:

- Tukaj je! Če nadomestimo ravno črto v enačbo, dobimo ordinato te "zanimivosti":

Na risbi označimo točko in poiščemo ustrezno vrednost funkcije:

Preverimo izračune z uporabo "proračunske" različice :
, naročilo.

In zadnji korak: POZORNO pregledamo vse "krepke" številke, priporočam, da začetniki naredijo celo en seznam:

med katerimi izberemo največjo in najmanjšo vrednost. Odgovori Zapišimo v slogu problema iskanja največja in najmanjša vrednost funkcije na segmentu:

Za vsak slučaj še enkrat komentiram geometrijski pomen rezultat:
- tukaj je največ visoka točka površine v okolici;
- tukaj je največ nizka točka površin v okolici.

V analizirani nalogi smo identificirali 7 »sumljivih« točk, vendar se njihovo število od naloge do naloge razlikuje. Za trikotno regijo je minimalni "raziskovalni niz" sestavljen iz tri točke. To se zgodi, ko funkcija na primer določi letalo– popolnoma jasno je, da stacionarnih točk ni in funkcija lahko doseže svoje največje/najmanjše vrednosti samo na ogliščih trikotnika. Vendar obstajata samo en ali dva podobna primera - običajno se morate soočiti s kakšno vrsto površina 2. reda.

Če malo poskušaš rešiti takšne naloge, potem ti trikotniki lahko naredijo glavo in zato sem ti pripravil nenavadni primeri tako da postane kvadratna :))

Primer 2

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije v zaprtem območju, omejenem s črtami

Primer 3

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije v omejenem zaprtem območju.

Posebna pozornost Bodite pozorni na racionalen vrstni red in tehniko preučevanja meje območja ter na verigo vmesnih pregledov, ki bodo skoraj popolnoma preprečile računske napake. Na splošno lahko to rešite na kakršenkoli način, vendar pri nekaterih težavah, na primer v primeru 2, obstaja velika verjetnost, da si močno otežite življenje. Približen vzorec dokončanje nalog na koncu lekcije.

Sistematizirajmo algoritem rešitve, sicer se je z mojo pridnostjo pajka nekako izgubil v dolgi niti komentarjev 1. primera:

– Na prvem koraku zgradimo območje, priporočljivo je, da ga zasenčimo in poudarimo mejo s krepko črto. Med reševanjem se bodo pojavile točke, ki jih je treba označiti na risbi.

– Poiščite stacionarne točke in izračunajte vrednosti funkcije le v tistih izmed njih ki pripadajo regiji. Dobljene vrednosti označimo v besedilu (na primer obkrožite jih s svinčnikom). Če stacionarna točka NE pripada regiji, potem to dejstvo označimo z ikono ali ustno. če stacionarne točke sploh ne, potem naredimo pisni zaključek, da jih ni. V nobenem primeru te točke ni mogoče preskočiti!

– Raziskujemo mejo regije. Najprej je koristno razumeti ravne črte, ki so vzporedne s koordinatnimi osemi (če sploh obstajajo). Izpostavimo tudi vrednosti funkcij, izračunane na "sumljivih" točkah. Zgoraj je bilo veliko povedanega o tehniki reševanja in nekaj drugega bo povedano spodaj - preberite, ponovno preberite, poglobite se!

– Izmed izbranih števil izberite največjo in najmanjšo vrednost ter podajte odgovor. Včasih se zgodi, da funkcija doseže takšne vrednosti na več točkah hkrati - v tem primeru bi se morale vse te točke odražati v odgovoru. Naj npr. in izkazalo se je, da je to najmanjša vrednost. Potem to zapišemo

Zadnji primeri so namenjeni drugim uporabne ideje kar bo koristno v praksi:

Primer 4

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije v zaprtem območju .

Ohranil sem avtorjevo formulacijo, v kateri je ploščina podana v obliki dvojne neenakosti. Ta pogoj je mogoče zapisati enakovreden sistem ali v bolj tradicionalni obliki za to nalogo:

Opomnim vas, da z nelinearno naleteli smo na neenakosti na , in če ne razumete geometrijskega pomena zapisa, prosimo, da ne odlašate in razjasnite situacijo takoj;-)

rešitev, kot vedno, se začne z gradnjo območja, ki predstavlja nekakšen »podplat«:

Hmm, včasih je treba žvečiti ne samo granit znanosti ...

I) Poiščite stacionarne točke:

Sistem so idiotske sanje :)

Stacionarna točka pripada regiji, namreč leži na njeni meji.

In tako je v redu ... lekcija je šla dobro - to pomeni piti pravi čaj =)

II) Raziskujemo mejo regije. Brez odlašanja, začnimo z osjo x:

1) Če , potem

Ugotovimo, kje je vrh parabole:
– cenite takšne trenutke – »zadenete« prav do točke, od koder je že vse jasno. Še vedno pa ne pozabimo na preverjanje:

Izračunajmo vrednosti funkcije na koncih segmenta:

2) Ukvarjajmo se s spodnjim delom "podplata" "v eni seji" - brez kakršnih koli kompleksov ga nadomestimo v funkcijo in zanimal nas bo samo segment:

Nadzor:

Že to vnaša nekaj razburjenja v monotono vožnjo po narebričeni stezi. Poiščimo kritične točke:

Odločimo se kvadratna enačba, se spomniš še česa o tem? ...Vendar ne pozabite, seveda, drugače ne bi brali teh vrstic =) Če bi v prejšnjih dveh primerih izračuni v decimalke(kar je, mimogrede, redko), potem nas tukaj čakajo običajni navadni ulomki. Poiščemo korenine "X" in uporabimo enačbo za določitev ustreznih koordinat "igre" točk "kandidatov":


Izračunajmo vrednosti funkcije na najdenih točkah:

Funkcijo preverite sami.

Zdaj natančno preučujemo osvojene trofeje in jih zapisujemo odgovor:

To so “kandidati”, to so “kandidati”!

Za neodvisna odločitev:

Primer 5

Poiščite najmanjšo in največjo vrednost funkcije v zaprtem prostoru

Snemanje iz zavit oklepaj se glasi takole: "nabor točk, tako da."

Včasih v podobni primeri uporaba Lagrangeova metoda množitelja, vendar verjetno ne bo resnične potrebe po uporabi. Torej, na primer, če je podana funkcija z enakim območjem "de", potem po zamenjavi vanjo - z izpeljanko brez težav; Poleg tega je vse sestavljeno v "eni vrstici" (z znaki), ne da bi bilo treba ločeno upoštevati zgornji in spodnji polkrog. A jih je seveda še več zapleteni primeri, kjer brez Lagrangeove funkcije (kjer je na primer enaka enačba kroga) Težko je preživeti - tako kot je težko preživeti brez dobrega počitka!

Lepo se imejte vsi in se kmalu vidimo naslednjo sezono!

Rešitve in odgovori:

Primer 2: rešitev: Na risbi upodabljamo območje:

Majhna in lepa preprosta naloga iz kategorije tistih, ki služijo kot reševalna palica za lebdečega študenta. V naravi je sredina julija, zato je čas, da se umirite s prenosnikom na plaži. Zgodaj zjutraj začel igrati sončni zajček teorijo, da bi se kmalu posvetila praksi, ki kljub trditvi lahkotnosti vsebuje drobce stekla v pesku. V zvezi s tem priporočam, da vestno preučite nekaj primerov te strani. Za rešitve praktične naloge mora biti sposoben poiščite izpeljanke in razumeti snov članka Intervali monotonosti in ekstremi funkcije.

Najprej na kratko o glavnem. V lekciji o kontinuiteta delovanja Podal sem definicijo kontinuitete v točki in kontinuitete v intervalu. Na podoben način je formulirano zgledno obnašanje funkcije na segmentu. Funkcija je zvezna na intervalu, če:

1) je zvezen na intervalu ;
2) zvezna v točki na desni in v bistvu levo.

V drugem odstavku smo govorili o t.i enostranska kontinuiteta funkcije na točki. Obstaja več pristopov za njegovo opredelitev, vendar se bom ostal pri vrstici, ki sem jo začel prej:

Funkcija je v točki zvezna na desni, če je definirana v dani točki in njena desna meja sovpada z vrednostjo funkcije v dani točki: . V točki je neprekinjen levo, če je definiran na dani točki in njegova leva meja enaka vrednosti na tej točki:

Predstavljaj si to zelene pike- to so nohti, na katere je pritrjena čarobna elastika:

Mentalno vzemite rdečo črto v roke. Očitno je, da ne glede na to, kako daleč graf raztegnemo gor in dol (vzdolž osi), bo funkcija še vedno ostala omejeno– ograja zgoraj, ograja spodaj, naš izdelek pa se pase v ogradi. torej na intervalu zvezna funkcija je na njem omejena. Med matematično analizo je to na videz preprosto dejstvo navedeno in strogo dokazano. Weierstrassov prvi izrek....Marsikoga moti, da se elementarne trditve v matematiki dolgočasno utemeljujejo, a to ima pomemben pomen. Recimo, da je neki prebivalec frotirnega srednjega veka potegnil graf v nebo izven meja vidnosti, ta je bil vstavljen. Pred izumom teleskopa omejena funkcija v vesolju sploh ni bila očitna! Res, kako veš, kaj nas čaka za obzorjem? Konec koncev je nekoč veljala, da je Zemlja ravna, tako da danes tudi navadna teleportacija zahteva dokaz =)

Po navedbah Weierstrassov drugi izrek, neprekinjeno na segmentufunkcija doseže svojo natančno zgornji rob in tvoj točen spodnji rob .

Številka se tudi imenuje največjo vrednost funkcije na segmentu in so označeni z , in število je minimalna vrednost funkcije na segmentu označeno.

V našem primeru:

Opomba : v teoriji so posnetki pogosti .

Grobo povedano je največja vrednost tam, kjer je najvišja točka na grafu, najmanjša pa tam, kjer je najnižja točka.

Pomembno! Kot že poudarjeno v članku o ekstremi funkcije, največja vrednost funkcije in najmanjša vrednost funkcije – NI ENAKO, Kaj maksimalna funkcija in minimalna funkcija. Torej je v obravnavanem primeru število najmanjša vrednost funkcije, ne pa najmanjša vrednost.

Mimogrede, kaj se zgodi zunaj segmenta? Ja, tudi poplava nas v kontekstu obravnavanega problema sploh ne zanima. Naloga vključuje samo iskanje dveh števil in to je to!

Poleg tega je rešitev torej povsem analitična ni treba narediti risbe!

Algoritem leži na površini in je razviden iz zgornje slike:

1) Poiščite vrednosti funkcije v kritične točke, ki spadajo v ta segment.

Ujemite še en bonus: tukaj ni potrebe po preverjanju zadostnega pogoja za ekstrem, saj, kot je bilo prikazano, prisotnost minimuma ali maksimuma še ne jamči, koliko je minimalno oz največja vrednost. Demonstracijska funkcija doseže maksimum in po volji usode je isto število največja vrednost funkcije na segmentu. Seveda pa se takšno naključje ne zgodi vedno.

Tako je v prvem koraku hitreje in lažje izračunati vrednosti funkcije na kritičnih točkah, ki pripadajo segmentu, ne da bi se obremenjevali, ali so v njih ekstremi ali ne.

2) Izračunamo vrednosti funkcije na koncih segmenta.

3) Med vrednostmi funkcij, ki jih najdete v 1. in 2. odstavku, izberite najmanjšo in najbolj velika številka, zapišite odgovor.

Usedemo se na obalo modro morje in s petami udarjamo po plitvi vodi:

Primer 1

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu

rešitev:
1) Izračunajmo vrednosti funkcije na kritičnih točkah, ki pripadajo temu segmentu:

Izračunajmo vrednost funkcije v drugem kritična točka:

2) Izračunajmo vrednosti funkcije na koncih segmenta:

3) Pri eksponentih in logaritmih so bili pridobljeni »krepki« rezultati, kar bistveno oteži njihovo primerjavo. Zato se oborožimo s kalkulatorjem ali Excelom in izračunajmo približne vrednosti, pri čemer ne pozabimo, da:

Zdaj je vse jasno.

Odgovori:

Frakcijsko-racionalna instanca za neodvisno rešitev:

Primer 6

Poiščite največ in najmanjša vrednost deluje v intervalu

V tem članku bom govoril o tem, kako uporabiti veščino iskanja pri preučevanju funkcije: najti njeno največjo ali najmanjšo vrednost. Nato bomo rešili več nalog iz naloge B15 iz Odprta banka naloge za.

Kot ponavadi se najprej spomnimo teorije.

Na začetku kakršnega koli preučevanja funkcije jo najdemo

Da bi našli največjo ali najmanjšo vrednost funkcije, morate preveriti, v katerih intervalih funkcija narašča in v katerih pada.

Da bi to naredili, moramo poiskati odvod funkcije in preučiti njene intervale s konstantnim predznakom, to je intervale, v katerih odvod ohrani svoj predznak.

Intervali, v katerih je odvod funkcije pozitiven, so intervali naraščajoče funkcije.

Intervali, na katerih je odvod funkcije negativen, so intervali padajoče funkcije.

1. Rešimo nalogo B15 (št. 245184)

Za rešitev bomo sledili naslednjemu algoritmu:

a) Poišči domeno definicije funkcije

b) Poiščimo odvod funkcije.

c) Izenačimo ga z nič.

d) Poiščimo intervale konstantnega predznaka funkcije.

e) Poiščite točko, v kateri funkcija prevzame največjo vrednost.

f) Poiščite vrednost funkcije na tej točki.

Podrobno rešitev te naloge podajam v VIDEO VODNICI:

Vaš brskalnik verjetno ni podprt. Za uporabo trenerja " Enotna ura državnega izpita", poskusite prenesti
Firefox

2. Rešimo nalogo B15 (št. 282862)

Poiščite največjo vrednost funkcije na segmentu

Očitno je, da ima funkcija največjo vrednost na segmentu v največji točki, pri x=2. Poiščimo vrednost funkcije na tej točki:

Odgovor: 5

3. Rešimo nalogo B15 (št. 245180):

Poiščite največjo vrednost funkcije

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Ker glede na domeno definicije izvirne funkcije title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Števec je enak nič pri . Preverimo, ali ODZ pripada funkciji. Če želite to narediti, preverimo, ali je pogoj title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

to pomeni, da točka pripada funkciji ODZ

Oglejmo si predznak odvoda desno in levo od točke:

Vidimo, da funkcija dobi največjo vrednost v točki . Zdaj pa poiščimo vrednost funkcije na:

Opomba 1. Upoštevajte, da v tej nalogi nismo našli domene definicije funkcije, temveč smo samo popravili omejitve in preverili, ali točka, v kateri je odvod enak nič, spada v domeno definicije funkcije. To se je izkazalo za dovolj za to nalogo. Vendar ni vedno tako. Odvisno od naloge.

Opomba 2. Ko preučujete obnašanje kompleksne funkcije, lahko uporabite naslednje pravilo:

• če zunanja funkcija kompleksne funkcije narašča, potem funkcija dobi največjo vrednost na isti točki, kjer notranja funkcija ima največjo vrednost. To izhaja iz definicije naraščajoče funkcije: funkcija narašča na intervalu I if višja vrednost argument iz tega intervala ustreza večji vrednosti funkcije.
• če zunanja funkcija kompleksne funkcije pada, potem funkcija prevzame svojo največjo vrednost na isti točki, kjer notranja funkcija prevzame najmanjšo vrednost . To izhaja iz definicije padajoče funkcije: funkcija pada na intervalu I, če večja vrednost argumenta iz tega intervala ustreza manjši vrednosti funkcije

V našem primeru se zunanja funkcija povečuje skozi celotno domeno definicije. Pod znakom logaritma je izraz - kvadratni trinom, ki ima ob negativnem vodilnem koeficientu največjo vrednost v točki . Nato to vrednost x nadomestimo v funkcijsko enačbo in najti njegovo največjo vrednost.