Na kratko: vsoto podprostorov imenujemo direktna vsota, če je razpad katerega koli vektorja vsote v podprostorih enoličen.

Neposredna vsota podprostorov ni neka nova operacija na podprostorih. To je preprosto neka lastnost predhodno uvedene vsote podprostorov.

Če je vsota podprostorov direktna, potem je presečišče teh podprostorov sestavljeno iz enega – ničelnega – vektorja.

Kriterij neposredne vsote podprostorov

Za končnodimenzionalne podprostore linearni prostor naslednje izjave so enakovredne:

1) Vsota podprostorov je direktna

2) Množica podprostorskih baz je linearno neodvisna

3) Množica baz podprostorov tvori osnovo vsote podprostorov https://pandia.ru/text/78/133/images/image080_0.gif" width="140" height="46">

5) Obstaja vektor iz vsote, za katerega je raztezanje v podprostore edinstveno.

6) Poljubni sistem neničelni vektorji, vzeti po enega iz vsakega linearnega podprostora, linearno neodvisni

7) Presečišče linearnih podprostorov je samo ničelni vektor: https://pandia.ru/text/78/133/images/image085_0.gif" width="19" height="20 src="> se imenuje dodatni podprostor v L, če je Očitno L dodatni podprostor v .

Figurativno povedano, dodatni podprostor tako rekoč »dopolnjuje« podprostor v popoln prostor.

Izrek o obstoju dodatnega podprostora

Za vsak podprostor linearnega prostora https://pandia.ru/text/78/133/images/image088_0.gif" width="18 height=24" height="24"> je nek vektor prostora V. Množica H , sestavljen iz vseh vektorjev oblike , kjer je https://pandia.ru/text/78/133/images/image088_0.gif" width="18" height="24 src=">).

Vodilni podprostor

Podprostor L v definiciji linearnega mnogoterja se imenuje usmerjevalni podprostor linearnega mnogoterja H.

Faktorski prostor

Naj bo V linearni prostor nad poljem P, L njegov podprostor. Kvocientni prostor linearnega prostora V nad podprostorom L (označen z V/L) je množica, sestavljena iz ekvivalenčnih razredov H. Ti razredi ustrezajo vsem linearnim mnogoterostim, dobljenim iz podprostora L: .

Pravilo določa zunanje pravo sestava na V/L (množenje elementa H iz V/L s številom (ali elementom glavnega polja P) α, pravilo - notranje pravo sestava (dodatek dveh elementov - H1 in H2 - iz V/L).

2.4. Podprostor rešitev homogene SLAE

Podprostori, definirani s homogenim sistemom linearnih algebrskih enačb

To je niz odločitev homogeni sistem linearne enačbe, kjer je A matrika koeficientov linearnih enačb sistema.

Predavanje št. 5. Sekcija 3. Podprostori evklidskega (unitarnega) linearnega prostora

3.1. Ortogonalni komplement podprostoru

Vektor pravokoten na podprostor

Naj L – linearni podprostor Evklidski (enotni) prostor. Vektor x pravimo, da je pravokoten na podprostor L, če je pravokoten na vsak vektor iz tega podprostora. Oznaka: .

Ortogonalni komplement podprostoru

Naj bo L linearni podprostor evklidskega prostora. Totalnost vsi vektorji https://pandia.ru/text/78/133/images/image098_0.gif" width="20" height="20 src=">.

Izrek o ortogonalnem komplementu kot podprostoru

Ortogonalni komplement podprostora je linearni podprostor istega prostora.

3.2. Ortografska projekcija, ortografska komponenta

Ortogonalna projekcija vektorja na podprostor

Naj bo L linearni podprostor evklidskega (enotnega) prostora https://pandia.ru/text/78/133/images/image099_0.gif" width="69" height="27 src="> v obliki vsota: , kjer je https://pandia.ru/text/78/133/images/image102_0.gif" width="41" height="19">. Vektor g imenujemo pravokotna projekcija vektorja f v podprostor L, vektor h imenujemo ortogonalna komponenta.

Ortogonalna vektorska komponenta

Ortogonalna komponenta vektorja f glede na podprostor L evklidskega (enotnega) prostora https://pandia.ru/text/78/133/images/image100_0.gif" width="65" height="21 src= ">, kjer se .gif" width="43" height="27 src="> imenuje vektor h v razširitvi, kjer je https://pandia.ru/text/78/133/images/image102_0.gif" width="41" height="19">.

Poševno na podprostor

Vektor f v razgradnji https://pandia.ru/text/78/133/images/image101_0.gif" width="40" height="21">.gif" width="43" height="27 src=">.

Izrek o vsoti podprostora in njegovega ortogonalnega komplementa

Če je linearni podprostor prostora, potem neposredna vsota tega linearnega podprostora in njegovega ortogonalnega komplementa tvori celoten prostor: https://pandia.ru/text/78/133/images/image087_0.gif" width="15" height="18" > linearni podprostor prostora, potem za vsak vektor obstaja in poleg tega edinstvena predstavitev f kot vsota: https://pandia.ru/text/78/133/images/image105_0.gif" width="90" height="21">.

3.3. Razdalja od vektorja do podprostora

Razdalja od vektorja do podprostora

Razdalja od vektorja do podprostora je dolžina navpičnice, spuščene iz tega vektorja na podprostor (to je dolžina ortogonalne komponente vektorja glede na ta podprostor).

Predavanje št. 6. Oddelek 4. Bilinearne in kvadratne oblike.

4.1. Linearna oblika

4.2. Bilinearna oblika

4.1. Linearna oblika

Linearna funkcija (linearna oblika)

Naj bo linearni prostor nad poljem. funkcija f, ki preslika vektor iz prostora v število (element polja https://pandia.ru/text/78/133/images/image107_0.gif" width="36" height="21">, se imenuje linearni , Če:

1) za vse vektorje https://pandia.ru/text/78/133/images/image110_0.gif" width="121 height=21" height="21"> za poljubno število a(element polja) in poljuben vektor

Posnemite katero koli linearna oblika v neki (poljubni) osnovi e zgleda takole:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image114_0.gif" width="111" height="20">.gif" width="74" height="24">, - številke (elementi polja P) odvisno od podlage e in seveda iz oblike f.

Upoštevajte, da pri izbiri drugačne osnove e a 1", a 2", …, a n".

Linearna matrika

Matrika A linearne oblike f v osnovi se imenuje vrstična matrika, sestavljena iz števil - rezultatov delovanja linearne oblike na vektorje te osnove:

A = ( a 1, a 2, …, a n) = .

Naj bo X = koordinate vektorja x v osnovi e, A – matrika linearne oblike f na isti podlagi. Potem vrednost f(x) je enak produktu matrike A in stolpca X:

f(x) = A·X.

Izrek o spremembi matrike linearne oblike pri prehodu iz ene baze v drugo

Pri premikanju od baze do baze https://pandia.ru/text/78/133/images/image120_0.gif" width="36" height="27 src=">) se matrika linearne oblike spremeni na naslednji način:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image087_0.gif" width="15" height="18"> - linearni presledek nad poljem (številska) Funkcija a dva vektorska argumenta https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27 src=">se imenuje bilinearna oblika, če je linearna v vsakem argumentu:

2)

4)

- poljubni vektorji prostora L, - poljubno število(element polja P).

Snemanje katere koli bilinearne oblike https://pandia.ru/text/78/133/images/image130_0.gif" width="514" height="27 src=">,

Kje ( x 1, x 2, …, x n) in ( l 1, l 2, …, l n) – koordinate v bazi e vektorja x oziroma y, a 11, a 12, …, a 1n, …, a nn – niz n2 števil (elementov polja P).

Upoštevajte, da številke a 11, a 12, …, a 1n, …, a nn odvisno od osnove e in seveda od same forme a. Pri izbiri drugačne podlage e "Ustrezni nabor številk bo na splošno drugačen: a 11", a 12", …, a nn".

Bilinearna matrika

Naj bo dano bilinearna oblika in nekaj (poljubne) osnove e .

Zapišimo delovanje bilinearne oblike v to osnovo:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27 src=">v osnovi e Imenuje se naslednja matrika:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27">na ​​(urejen) par baznih vektorjev ( e jaz, e j). Tako:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image133_0.gif" width="100" height="29 src="> je matrika edinstvene bilinearne oblike v dani (fiksni) prostorski osnovi.

Izrek o spremembi matrike bilinearne oblike pri prehodu iz ene baze v drugo

Pri premikanju od osnove do baze (matrika prehoda https://pandia.ru/text/78/133/images/image134_0.gif" width="140" height="27 src=">

Rang bilinearne oblike

Rang bilinearne oblike je rang njene matrike v poljubni bazi.

(ne) Degenerirana bilinearna oblika

Bilinearna oblika je degenerirana, če , in nedegenerirano, če se https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27"> imenuje simetrično, če za . Bilinearna oblika se imenuje poševno-simetrična (ali poševno-simetrična), če za https://pandia.ru/text/78/133/images/image140_0.gif" width="192" height="27 src=">.

komentar:

Matrika poševno simetrične bilinearne oblike (v kateri koli bazi) je poševno simetrična: , za vse jaz, j. Še posebej za vse jaz enakost DIV_ADBLOCK81">

4.3. Kvadratna oblika

Bilinearne in kvadratne oblike v poljubnem linearnem prostoru

4.3. Kvadratna oblika

Kvadratna oblika

Naj bo podana simetrična bilinearna oblika https://pandia.ru/text/78/133/images/image138_0.gif" width="114" height="27">. Upoštevajmo delovanje te bilinearne oblike samo na pari sovpadajočih vektorjev, tj. a(x, x). Dobimo funkcijo, ki priredi vsakemu vektorju x linearna prostorska številka (element glavnega polja P) f(x) = a(x, x). funkcija f(x) = se imenuje kvadratna oblika, ki ustreza dani simetrični bilinearni obliki https://pandia.ru/text/78/133/images/image143_0.gif" width="49" height="27 src="> se imenuje ustrezna simetrična bilinearna oblika.

Izrek o polarni bilinearni obliki

Polarna bilinearna oblika za katero koli kvadratna oblika nedvoumno opredeljena.

Kvadratna matrika

Matrika kvadratne oblike je matrika njene polarne bilinearne oblike.

Rang kvadratne oblike

Rang kvadratne oblike je rang njene matrike v poljubni bazi.

(ne)degenerirana kvadratna oblika

Kvadratno obliko imenujemo degenerirana, če https://pandia.ru/text/78/133/images/image145_0.gif" width="120" height="27 src=">.

Lastnosti matrike kvadratne oblike

1) Matrika kvadratne oblike je simetrična

2) Vsaka kvadratna simetrična matrika je matrika edine kvadratne oblike v dani osnovi

3) Pri premikanju od osnove do baze (matrika prehoda https://pandia.ru/text/78/133/images/image134_0.gif" width="140 height=27" height="27">

4) Naj bo poljubna fiksna baza. Naj bo kvadratna oblika f(x) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image146_0.gif" width="64" height="29 src="> in poljuben vektor x ima koordinate v isti osnovi ( x 1, x 2, …, x n). Nato rezultat delovanja kvadratne oblike na vektor x lahko zapišemo kot

f(x) = ,

ali v bolj strnjeni obliki:

f(x) =

kjer je X = - vektorski koordinatni stolpec x v osnovi e

4.4. Kanonična oblika kvadratne oblike

Kanonična oblika kvadratne oblike

Kanonična oblika kvadratne oblike je njen zapis, ki vsebuje samo kvadrate spremenljivk:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image150_0.gif" width="43" height="24"> (od katerih so nekateri lahko enaki nič) se imenujejo kanonični koeficienti kvadratne oblike.

Očitno je število neničelnih koeficientov v kanonična oblika kvadratne oblike sovpada z njenim rangom.

Kanonična baza kvadratne oblike

f(x) = a(x, x),

če je zapis te oblike v tej osnovi kanoničen, to je, da vsebuje samo kvadrate spremenljivk:

matrični jezik" zveni takole:

Osnova se imenuje kanonična baza kvadratne oblike f(x) = a(x, x),

če ima matrika Ae te oblike v tej bazi diagonalno obliko:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image153_0.gif" width="589" height="25 src=">

2. Odstranite koeficient (≠ 0), ko je ta spremenljivka na kvadrat:

DIV_ADBLOCK83">

Komentiraj.

Če zapisano vsoto kvadrirate in pomnožite s koeficientom zunaj oklepaja, bodo rezultat vsi členi, ki vsebujejo spremenljivko x 1, vključeno v zapis kvadratne oblike. Hkrati se bodo pojavili izrazi (in to precej), ki niso bili vključeni v prvotni zapis kvadratne oblike. Toda vsi "novi" izrazi ne vsebujejo spremenljivke x 1.

Tako ima pisanje kvadratne oblike naslednjo obliko:

oklepaji". Ko smo naredili spremembo spremenljivk, v kateri "prvi oklepaj" označimo z x 1", drugi - skozi x 2" itd., dobimo naslednji zapis kvadratne oblike, členi v kateri vsebujejo samo kvadrate spremenljivk:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image158_0.gif" width="84" height="51 src=">

Kot rezultat te zamenjave je termin aijxixj, ki vsebuje produkt spremenljivk xi in xj, se pretvori v dva člena, ki že vsebujeta kvadrate spremenljivk xi"In xj":

DIV_ADBLOCK84">

Izrek o obstoju ortonormirane kanonične baze (redukcija na glavne osi).

Za vsako kvadratno obliko v evklidskem prostoru obstaja ortonormirana baza, v kateri ima kanonično obliko.

Jacobijeve formule

Če je v matriki kvadratne oblike f(x) uvrstite na prvo mesto https://pandia.ru/text/78/133/images/image161_0.gif" width="88" height="27 src="> , potem je osnova e, v katerem ima matrika kvadratne oblike diagonalno obliko

Še več, kanonični koeficienti λ jaz kvadratne oblike so povezane s kotnimi minori Δ jaz naslednje relacije: ,

ki se imenujejo Jacobijeve formule.

Bilinearne in kvadratne oblike

v realnem (realnem) linearnem prostoru.

4.5. Indeksi kvadratne vztrajnosti

Indeksi kvadratne vztrajnosti

Naj bo kvadratna oblika f(x) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image164_0.gif" width="50" height="46 src="> Število pozitivnih koeficientov enako številu spremembe znakov v tem zaporedju.

4.6. Določene in izmenične kvadratne oblike

Določena kvadratna oblika

Za kvadratno obliko pravimo, da je pozitivno (negativno) določena, če ima samo pozitivne (negativne) vrednosti na vseh neničelnih vektorjih: ( f(x) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image170.gif" width="48" height="19 src=">. Takšne oblike imenujemo znakovno določene.

Izmenična kvadratna oblika

Kvadratna oblika, za katero obstajajo vektorji https://pandia.ru/text/78/133/images/image172.gif" width="15" height="18">, tako da f(x) = > 0 in f(l) = < 0 называется знакопеременной.

Kriterij predznaka kvadratne oblike

Kvadratna oblika je pozitivno (negativno) določena, če in samo če njen pozitivni (oziroma negativni) indeks vztrajnosti sovpada z dimenzijo prostora.

To je v kateri koli kanonični obliki pozitivno (negativno) določene kvadratne oblike v n-dimenzionalnem prostoru

https://pandia.ru/text/78/133/images/image143_0.gif" width="49" height="27">.gif" width="151 height=99" height="99">

Kvadratna oblika je pozitivno določena, če in samo če so vsi njeni kotni minori pozitivni.

Kvadratna oblika je negativno določena, če in samo če so njeni predznaki kot mladoletniki nadomestne in kratke kode">

Pr a b = |b|cos(a,b) oz

Kjer je a b skalarni produkt vektorjev, |a| - modul vektorja a.

Navodila. Če želite najti projekcijo vektorja Пp a b in spletni način potrebno je navesti koordinate vektorjev a in b. V tem primeru lahko vektor določimo na ravnini (dve koordinati) in v prostoru (tri koordinate). Nastala rešitev se shrani v datoteko Word. Če so vektorji določeni s koordinatami točk, potem morate uporabiti ta kalkulator.

Klasifikacija vektorskih projekcij

Vrste projekcij po definiciji vektorska projekcija

Vrste projekcij glede na koordinatni sistem

Lastnosti vektorske projekcije

1. Geometrijska projekcija vektorja je vektor (ima smer).
2. Algebraična projekcija vektorja je število.

Izreki o vektorski projekciji

Pr a b = |b|cos(a,b)

Vrste vektorskih projekcij

1. projekcija na os OX.
2. projekcija na os OY.
3. projekcija na vektor.

Projekcija na os OX	Projekcija na os OY	Projekcija v vektor
Če smer vektorja A’B’ sovpada s smerjo osi OX, ima projekcija vektorja A’B’ pozitiven predznak.	Če smer vektorja A’B’ sovpada s smerjo osi OY, ima projekcija vektorja A’B’ pozitiven predznak.	Če smer vektorja A’B’ sovpada s smerjo vektorja NM, ima projekcija vektorja A’B’ pozitiven predznak.
Če je smer vektorja nasprotna smeri osi OX, potem ima projekcija vektorja A’B’ negativni predznak.	Če je smer vektorja A’B’ nasprotna smeri osi OY, ima projekcija vektorja A’B’ negativni predznak.	Če je smer vektorja A’B’ nasprotna smeri vektorja NM, ima projekcija vektorja A’B’ negativni predznak.
Če je vektor AB vzporeden z osjo OX, potem je projekcija vektorja A’B’ enaka absolutni vrednosti vektorja AB.	Če je vektor AB vzporeden z osjo OY, potem je projekcija vektorja A’B’ enaka absolutni vrednosti vektorja AB.	Če je vektor AB vzporeden z vektorjem NM, potem je projekcija vektorja A’B’ enaka absolutni vrednosti vektorja AB.
Če je vektor AB pravokoten na os OX, je projekcija A’B’ enaka nič (ničelni vektor).	Če je vektor AB pravokoten na os OY, je projekcija A’B’ enaka nič (ničelni vektor).	Če je vektor AB pravokoten na vektor NM, potem je projekcija A’B’ enaka nič (ničelni vektor).

1. Vprašanje: Ali ima lahko projekcija vektorja negativni predznak? Odgovor: Da, vektorske projekcije so lahko negativna vrednost. V tem primeru ima vektor nasprotna smer(glej kako sta usmerjena os OX in vektor AB)
2. Vprašanje: Ali lahko projekcija vektorja sovpada z absolutno vrednostjo vektorja? Odgovor: Da, lahko. V tem primeru sta vektorja vzporedna (ali ležita na isti premici).
3. Vprašanje: Ali je lahko projekcija vektorja enaka nič (ničelni vektor). Odgovor: Da, lahko. V tem primeru je vektor pravokoten na ustrezno os (vektor).

Primer 1. Vektor (sl. 1) tvori z osjo OX kot 60° (določen je z vektorjem a). Če je OE enota obsega, potem |b|=4, torej .

Dejansko je dolžina vektorja ( geometrijska projekcija b) je enako 2, smer pa sovpada s smerjo osi OX.

Primer 2. Vektor (slika 2) tvori z osjo OX (z vektorjem a) kot (a,b) = 120 o. Dolžina |b| vektor b je enak 4, torej pr a b=4·cos120 o = -2.

Dejansko je dolžina vektorja 2, smer pa je nasprotna smeri osi.