Pozdravljeni, dragi študenti Univerze Argemona! Vabljeni na še eno predavanje o čarobnosti funkcij in integralov.
Danes bomo govorili o hiperboli. Začnimo preprosto. Najenostavnejša vrsta hiperbole je:
Ta funkcija ima za razliko od ravne črte v standardnih oblikah posebnost. Kot vemo, imenovalec ulomka ne more biti nič, ker ne morete deliti z nič.
x ≠ 0
Od tu sklepamo, da je definicijsko področje celotna številska premica, razen točke 0: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).
Če se x nagiba k 0 z desne (zapisano takole: x->0+), tj. postane zelo, zelo majhen, vendar ostane pozitiven, potem y postane zelo, zelo velik pozitiven (y->+∞).
Če se x nagiba k 0 z leve (x->0-), tj. postane zelo, zelo majhen v absolutni vrednosti, vendar ostane negativen, potem bo tudi y negativen, vendar bo v absolutni vrednosti zelo velik (y->-∞).
Če x teži k plus neskončnosti (x->+∞), tj. postane zelo veliko pozitivno število, potem bo y postajal vse manjše pozitivno število, tj. se bo nagibal k 0 in ves čas ostal pozitiven (y->0+).
Če se x nagiba k minus neskončnosti (x->-∞), tj. postane veliko po modulu, vendar negativno število, potem bo tudi y vedno negativno število, vendar majhno po modulu (y->0-).
Y, tako kot x, ne more imeti vrednosti 0. Teži le k ničli. Zato je nabor vrednosti enak domeni definicije: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).
Na podlagi teh premislekov lahko shematično narišemo graf funkcije
Vidimo lahko, da je hiperbola sestavljena iz dveh delov: eden se nahaja v 1. koordinatnem kotu, kjer sta vrednosti x in y pozitivni, drugi del pa je v tretjem koordinatnem kotu, kjer sta vrednosti x in y. so negativni.
Če se premaknemo od -∞ do +∞, potem vidimo, da naša funkcija pada od 0 do -∞, nato pride do ostrega skoka (od -∞ do +∞) in začne se druga veja funkcije, ki prav tako pada, ampak od +∞ do 0. To pomeni, da se ta hiperbola zmanjšuje.
Če samo malo spremenite funkcijo: uporabite čarobnost minusa,
(1")
To je funkcija čudežno se bo premaknil iz 1. in 3. koordinatne četrtine v 2. in 4. četrtino in postal naraščajoč.
Naj vas spomnim, da je funkcija povečevanje, če sta za dve vrednosti x 1 in x 2 tako, da je x 1<х 2 , значения функции находятся в том же отношении f(х 1) < f(х 2).
In funkcija bo zmanjševanje, če je f(x 1) > f(x 2) za enake vrednosti x.
Veje hiperbole se približujejo osem, vendar jih nikoli ne sekajo. Premice, ki se jim graf funkcije približuje, vendar jih nikoli ne seka, se imenujejo asimptota to funkcijo.
Za našo funkcijo (1) sta asimptoti premici x=0 (os OY, navpična asimptota) in y=0 (os OX, vodoravna asimptota).
Zdaj pa malo zakomplicirajmo najpreprostejšo hiperbolo in poglejmo, kaj se zgodi z grafom funkcije.
(2)
Pravkar smo dodali konstanto "a" na imenovalec. Dodajanje števila imenovalcu kot izraz k x pomeni premikanje celotne »hiperbolične konstrukcije« (skupaj z navpično asimptoto) (-a) na položaje v desno, če je a negativno število, in (-a) položaje na levo če - pozitivno število.
Na levem grafu je x dodana negativna konstanta (a<0, значит, -a>0), zaradi česar se graf premakne v desno, na desnem grafu pa je pozitivna konstanta (a>0), zaradi katere se graf premakne v levo.
In kakšna čarovnija lahko vpliva na prenos "hiperbolične strukture" gor ali dol? Dodajanje konstantnega člena ulomku.
(3)
Zdaj se bo naša celotna funkcija (obe veji in vodoravna asimptota) dvignila za b položajev navzgor, če je b pozitivno število, in se bo spustila za b položajev navzdol, če je b negativno število.
Upoštevajte, da se asimptote premikajo skupaj s hiperbolo, tj. hiperbolo (obe njeni veji) in obe njeni asimptoti moramo nujno obravnavati kot neločljivo strukturo, ki se enakomerno premika levo, desno, gor ali dol. Zelo prijeten občutek je, ko samo z dodajanjem številke celotno funkcijo premakneš v katero koli smer. Ali ni čarovnija, ki jo lahko zelo enostavno obvladate in jo po lastni presoji usmerite v pravo smer?
Mimogrede, na ta način lahko nadzorujete gibanje katere koli funkcije. V naslednjih učnih urah bomo to veščino še utrdili.
Preden vas vprašam Domača naloga, želim vas opozoriti na to funkcijo
(4)
Spodnja veja hiperbole se premika iz 3. koordinatnega kota navzgor - v drugi, do kota, kjer je vrednost y pozitivna, tj. ta veja se odraža simetrično glede na os OX. In zdaj dobimo sodo funkcijo.
Kaj pomeni " celo funkcijo"? Funkcija se imenuje celo, če je izpolnjen pogoj: f(-x)=f(x)
Funkcija se imenuje Čuden, če je izpolnjen pogoj: f(-x)=-f(x)
V našem primeru
(5)
Vsaka soda funkcija je simetrična glede na os OY, tj. pergament z risbo grafa lahko prepognemo vzdolž osi OY in oba dela grafa se natančno ujemata drug z drugim.
Kot lahko vidimo, ima tudi ta funkcija dve asimptoti - vodoravno in navpično. Za razliko od zgoraj obravnavanih funkcij se ta funkcija na eni strani povečuje, na drugi pa zmanjšuje.
Poskusimo zdaj manipulirati s tem grafom z dodajanjem konstant.
(6)
Spomnimo se, da dodajanje konstante kot izraza "x" povzroči, da se celoten graf (skupaj z navpično asimptoto) premakne vodoravno, vzdolž vodoravne asimptote (na levo ali na desno, odvisno od predznaka te konstante).
(7)
In dodajanje konstante b kot izraza ulomku povzroči, da se graf premakne navzgor ali navzdol. Vse je zelo preprosto!
Zdaj poskusite sami eksperimentirati s to čarovnijo.
Domača naloga 1.
Vsak ima za svoje poskuse dve funkciji: (3) in (7).
a=prva številka vašega LD
b=druga številka vašega LD
Poskusite priti do čarovnije teh funkcij, začenši z najpreprostejšo hiperbolo, kot sem naredil v lekciji, in postopoma dodajajte lastne konstante. Funkcijo (7) lahko modelirate že na podlagi končne oblike funkcije (3). Navedite domene definicije, množico vrednosti in asimptote. Kako se obnašajo funkcije: zmanjšanje, povečanje. Sodo liho. Na splošno poskusite opraviti isto raziskavo, kot ste jo opravili v razredu. Morda boste našli še kaj, o čemer sem pozabil govoriti.
Mimogrede, obe veji najpreprostejše hiperbole (1) sta simetrični glede na simetralo 2 in 4. koordinatnih kotov. Zdaj pa si predstavljajte, da se je hiperbola začela vrteti okoli te osi. Dobimo tako lepo figuro, ki jo je mogoče uporabiti.
Naloga 2. Kje ga lahko uporabim? ta številka? Poskusite narisati rotacijsko figuro za funkcijo (4) glede na njeno simetrijsko os in razmislite, kje bi taka figura lahko našla uporabo.
Se spomnite, kako smo na koncu prejšnje lekcije dobili ravno črto s preluknjano točko? In tukaj je zadnji naloga 3.
Zgradite graf te funkcije:
(8)
Koeficienti a, b so enaki kot pri nalogi 1.
c=tretja številka vašega LD ali a-b, če je vaš LD dvomesten.
Majhen namig: najprej je treba ulomek, dobljen po zamenjavi števil, poenostaviti, nato pa boste dobili navadno hiperbolo, ki jo morate sestaviti, a na koncu morate upoštevati domeno definicije prvotnega izraza.
Pomembne opombe!
1. Če namesto formul vidite gobbledygook, počistite predpomnilnik. Kako to storiti v vašem brskalniku je napisano tukaj:
2. Preden začnete brati članek, bodite najbolj pozorni na naš navigator uporaben vir Za
Da bi razumeli, kaj bo tukaj napisano, morate dobro vedeti, kaj je inverzna odvisnost in s čim se uporablja. Če ste prepričani, da veste vse o obratnem razmerju, dobrodošli. Če pa ne, preberite temo "".
Zelo priporočam tudi, da se najprej naučite graditi, saj jih je nekaj splošna načela za risanje kvadratnih in inverznih odvisnosti.
Začnimo z majhnim preverjanjem:
Kaj je obratna sorazmernost?
Kako izgleda funkcija, ki opisuje? inverzno razmerje V splošni pogled(formula)?
Kako se imenuje graf takšne funkcije?
Kateri koeficienti vplivajo na graf funkcije in kako?
Če ste lahko takoj odgovorili na ta vprašanja, nadaljujte z branjem. Če je vsaj eno vprašanje povzročilo težave, pojdite na.
Torej, že veste, kako ravnati z inverznim razmerjem, analizirati njegov graf in zgraditi graf po točkah.
No, to je vse, naučili ste se zgraditi kakršno koli hiperbolo.
Opažam tudi, da so se pravila za konstrukcijo hiperbole izkazala za nekoliko enostavnejša kot za parabolo, ker vsako število preprosto premakne graf v eno smer. In koeficienti med seboj niso povezani.
KONSTRUKCIJA GRAFA INVERZNE ODVISNOSTI. NA KRATKO O GLAVNEM
1. Opredelitev
Funkcija, ki opisuje inverzno razmerje, je funkcija oblike kjer.
Graf obratnega razmerja je hiperbola.
2. Koeficienti in.
Odgovoren za “ploskost” in smer grafa: večji kot je ta koeficient, dlje se hiperbola nahaja od izhodišča in zato manj strmo "obrne" (glej sliko). Predznak koeficienta vpliva na to, v katerih četrtinah se nahaja graf:
- če in prestavite navzdol če.
Zato je to horizontalna asimptota.
3. Pravilo za izgradnjo grafa funkcije:
0) Določite koeficiente in.
1) Zgradimo graf funkcije (najprej z uporabo 3-4 točk desno vejo, nato simetrično narišemo levo vejo).
2) Graf naj bo premaknjen v desno za. Toda lažje je premikati ne graf, ampak osi, torej os premakni levo mimo.
3) Graf naj bo premaknjen navzgor za. Toda lažje je premikati ne graf, ampak osi, torej os premakni se navzdol.
4) Stare osi (ravne črte, ki so nam služile kot osi v točki 1) pustimo kot pikčaste črte. To sta zdaj samo navpične in vodoravne asimptote.
Pa je tema končana. Če berete te vrstice, pomeni, da ste zelo kul.
Ker le 5% ljudi zmore nekaj obvladati samih. In če preberete do konca, potem ste v teh 5%!
Zdaj pa najpomembnejše.
Razumeli ste teorijo o tej temi. In ponavljam, to ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.
Težava je v tem, da to morda ni dovolj ...
Za kaj?
Za uspešen zaključek Enotni državni izpit, za sprejem na fakulteto na proračun in, kar je NAJPOMEMBNEJE, za življenje.
Ne bom vas prepričeval v nič, samo eno stvar bom rekel ...
Ljudje, ki so prejeli dobra izobrazba, zaslužijo veliko več kot tisti, ki tega niso prejeli. To je statistika.
Ampak to ni glavna stvar.
Glavno, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker je pred njimi veliko več odprtega več možnosti in življenje postane svetlejše? ne vem ...
Ampak pomislite sami ...
Kaj je potrebno, da smo prepričani, da smo boljši od drugih na Enotnem državnem izpitu in na koncu ... srečnejši?
PRIDOBITE SE Z REŠEVANJEM PROBLEMOV NA TO TEMO.
Med izpitom ne boste zahtevali teorije.
Boste potrebovali reševanje težav s časom.
In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali preprosto ne boste imeli časa.
To je kot v športu – večkrat moraš ponoviti, da zagotovo zmagaš.
Poiščite zbirko kjer koli želite, nujno z rešitvami, podrobna analiza in odločaj se, odločaj se!
Uporabite lahko naše naloge (izbirno) in jih seveda priporočamo.
Če želite bolje uporabljati naše naloge, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.
kako Obstajata dve možnosti:
- Odklenite vse skrite naloge v tem članku -
- Odkleni dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 členih učbenika - Kupite učbenik - 499 RUR
Da, v našem učbeniku imamo 99 takih členov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih se lahko odpre takoj.
Dostop do vseh skritih nalog je zagotovljen za CELOTNO življenjsko dobo spletnega mesta.
V zaključku...
Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne ustavite se pri teoriji.
"Razumem" in "lahko rešim" sta popolnoma različni veščini. Potrebujete oboje.
Poiščite težave in jih rešite!
Hiperbola je množica točk na ravnini, razlika v razdaljah od dveh danih točk, žarišč, je konstantna vrednost in enaka .
Podobno kot pri elipsi postavimo žarišča na točke , (glej sliko 1).
riž. 1
Iz slike je razvidno, da lahko obstajajo primeri in title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> title="Upodobilo QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> , тогда согласно определению !}
Znano je, da je v trikotniku razlika med dvema stranicama manjša od tretje stranice, zato na primer z dobimo:
Postavimo obe strani na trg in po nadaljnjih transformacijah ugotovimo:
Kje . Enačba hiperbole (1) je kanonična enačba hiperbole.
Hiperbola je simetrična glede na koordinatne osi, zato je za elipso dovolj, da narišemo njen graf v prvi četrtini, kjer:
Razpon vrednosti za prvo četrtletje.
Ko imamo eno od oglišč hiperbole. Drugi vrh. Če , potem ni pravih korenin iz (1). Pravijo, da in so namišljena oglišča hiperbole. Iz relacije se izkaže, da za dovolj velike vrednosti obstaja mesto najbližje enakosti title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> title="Upodobilo QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> . Поэтому прямая есть линией, расстояние между которой и соответствующей точкой гиперболы направляется к нулю при .!}
Oblika in značilnosti hiperbole
Oglejmo si enačbo (1) obliko in lokacijo hiperbole.
- Spremenljivke in so vključene v enačbo (1) v parih potenc. Če torej točka pripada hiperboli, potem tudi točke pripadajo hiperboli. To pomeni, da je lik simetričen glede na ose in točko, ki ji pravimo središče hiperbole.
- Poiščimo presečišča s koordinatnimi osemi. Če nadomestimo v enačbo (1), ugotovimo, da hiperbola seka os v točkah . Če jo postavimo, dobimo enačbo, ki nima rešitev. To pomeni, da hiperbola ne seka osi. Točke imenujemo oglišča hiperbole. Odsek = in imenujemo realna os hiperbole, odsek pa namišljena os hiperbole. Števili in se imenujeta realna oziroma namišljena polos hiperbole. Pravokotnik, ki ga ustvarita osi, se imenuje glavni pravokotnik hiperbole.
- Iz enačbe (1) izhaja, da , to je . To pomeni, da se vse točke hiperbole nahajajo desno od premice (desna veja hiperbole) in levo od premice (leva veja hiperbole).
- Vzemimo točko na hiperboli v prvi četrtini, to je in torej . Od 0" title="Upodobljeno s strani QuickLaTeX.com" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> 0" title="Upodobilo QuickLaTeX.com" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> , при title="Upodobilo QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Upodobilo QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция монотонно возрастает при title="Upodobilo QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Upodobilo QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> . Аналогично, так как при title="Upodobilo QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Upodobilo QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция выпуклая вверх при title="Upodobilo QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Upodobilo QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> .!}
Asimptote hiperbole
Obstajata dve asimptoti hiperbole. Poiščimo asimptoto veje hiperbole v prvi četrtini in nato uporabimo simetrijo. Upoštevajte točko v prvi četrtini, to je. V tem primeru ima asimptota obliko: , kjer je
To pomeni, da je premica asimptota funkcije. Zato so asimptote hiperbole zaradi simetrije ravne črte.
Z ugotovljenimi značilnostmi bomo zgradili vejo hiperbole, ki se nahaja v prvi četrtini, in uporabili simetrijo:
riž. 2
V primeru, ko je , je hiperbola opisana z enačbo. Ta hiperbola vsebuje asimptote, ki so simetrale koordinatnih kotov.
Primeri problemov pri konstruiranju hiperbole
Primer 1
Naloga
Poiščite osi, oglišča, žarišča, ekscentričnost in enačbe asimptot hiperbole. Konstruirajte hiperbolo in njene asimptote.
rešitev
Zmanjšajmo enačbo hiperbole na kanonično obliko:
Primerjanje podana enačba s kanoničnim (1) najdemo , , . Vrhovi, fokusi in . Ekscentričnost; asptoti; Gradimo parabolo. (glej sliko 3)
Zapišite enačbo hiperbole:
rešitev
Z zapisom enačbe asimptote v obliki poiščemo razmerje polosi hiperbole. Glede na pogoje problema izhaja, da. Zato se je problem zmanjšal na reševanje sistema enačb:
Če zamenjamo drugo enačbo sistema, dobimo:
kje . Zdaj ga najdemo.
Zato ima hiperbola naslednjo enačbo:
Odgovori
.Hiperbola in njena kanonična enačba posodobil: 17. junija 2017 avtor: Znanstveni članki.Ru
Opredelitev 7.2. Geometrično mesto točk v ravnini, za katere je razlika v razdaljah do dveh fiksnih točk konstanta, se imenuje hiperbola.
Opomba 7.2. Ko govorimo o razdaljah, je mišljeno, da od večjo razdaljo manjša se odšteje. To pomeni, da je dejansko za hiperbolo modul razlike v razdaljah od katere koli njene točke do dveh fiksnih točk konstanten. #
Definicija hiperbole je podobna definiciji elipsa. Edina razlika med njima je, da je pri hiperboli razlika v razdaljah do fiksnih točk konstantna, pri elipsi pa vsota istih razdalj. Zato je naravno, da imajo te krivulje veliko skupnega tako v svojih lastnostih kot v uporabljeni terminologiji.
Fiksne točke v definiciji hiperbole (označimo jih F 1 in F 2) se imenujejo triki hiperbol. Razdalja med njima (recimo ji 2c) se imenuje Goriščna razdalja, odseki F 1 M in F 2 M, ki povezujeta poljubno točko M na hiperboli z njenimi žarišči, pa sta žariščni polmeri.
Vrsto hiperbole popolnoma določa goriščna razdalja |F 1 F 2 | = 2c in vrednost konstante 2a, enaka razlikažariščni polmeri in njegov položaj na ravnini - položaj žarišč F 1 in F 2.
Iz definicije hiperbole izhaja, da je tako kot elipsa simetrična glede na črto, ki poteka skozi žarišča, pa tudi glede na črto, ki deli segment F 1 F 2 na polovico in je pravokotna nanjo. (slika 7.7). Prva od teh simetrijskih osi se imenuje realna os hiperbole, in drugo - njeno imaginarna os. Konstantna vrednost in sodeluje pri definiciji hiperbole se imenuje prava polos hiperbole.
Središče segmenta F 1 F 2, ki povezuje žarišča hiperbole, leži na presečišču njenih simetrijskih osi in je zato središče simetrije hiperbole, ki se preprosto imenuje središče hiperbole.
Za hiperbolo realna os 2a ne sme biti večja od goriščne razdalje 2c, saj za trikotnik F 1 MF 2 (glej sliko 7.7) velja neenakost ||F 1 M| - |F 2 M| | ≤ |F 1 F 2 |. Enakost a = c velja samo za tiste točke M, ki ležijo na prava os simetrija hiperbole izven intervala F 1 F 2. Če zavržemo ta degenerirani primer, bomo nadalje domnevali, da a
Enačba hiperbole. Oglejmo si določeno hiperbolo na ravnini z žariščema v točkah F 1 in F 2 ter realno osjo 2a. Naj bo 2c goriščna razdalja, 2c = |F 1 F 2 | > 2a. Po opombi 7.2 je hiperbola sestavljena iz tistih točk M(x; y), za katere | |F 1 M| - - |F 2 M| | = 2a. Izberimo pravokotni koordinatni sistem Oxy, tako da je središče hiperbole pri izvor, fokusi pa so bili na x-os(slika 7.8). Tak koordinatni sistem za obravnavano hiperbolo se imenuje kanoničen, ustrezne spremenljivke pa so kanoničen.
V kanoničnem koordinatnem sistemu imajo žarišča hiperbole koordinate F 1 (c; 0) in F 2 (-c; 0). S formulo za razdaljo med točkama zapišemo pogoj ||F 1 M| - |F 2 M|| = 2a v koordinatah |√((x - c) 2 + y 2) - √((x + c) 2 + y 2)| = 2a, kjer so (x; y) koordinate točke M. Za poenostavitev te enačbe se znebimo predznaka modula: √((x - c) 2 + y 2) - √((x + c) 2 + y 2) = ±2a, premaknite drugi radikal na desna stran in kvadrirajte: (x - c) 2 + y 2 = (x + c) 2 + y 2 ± 4a √((x + c) 2 + y 2) + 4a 2. Po poenostavitvi dobimo -εx - a = ±√((x + c) 2 + y 2), oz.
√((x + c) 2 + y 2) = |εx + a| (7,7)
kjer je ε = s/a. Poravnajmo ga drugič in ga spet pripeljimo podobni člani: (ε 2 - 1)x 2 - y 2 = c 2 - a 2, ali ob upoštevanju enakosti ε = c/a in ob predpostavki, da je b 2 = c 2 - a 2,
x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 (7,8)
Pokličemo vrednost b > 0 namišljena polos hiperbole.
Ugotovili smo torej, da vsaka točka na hiperboli z goriščema F 1 (c; 0) in F 2 (-c; 0) ter realno polosjo a zadošča enačbi (7.8). Treba pa je tudi pokazati, da koordinate točk zunaj hiperbole ne zadoščajo tej enačbi. Da bi to naredili, upoštevamo družino vseh hiperbol z danimi žarišči F 1 in F 2. Ta družina hiperbol ima skupne simetrijske osi. Iz geometrijskih premislekov je razvidno, da vsaka točka ravnine (razen točk, ki ležijo na realni simetrični osi zunaj intervala F1F2, in točk, ki ležijo na namišljeni simetrični osi) pripada neki hiperboli družine in samo ena, saj se razlika v razdaljah od točke do žarišč F 1 in F 2 spreminja iz hiperbole v hiperbolo. Naj koordinate točke M(x; y) zadoščajo enačbi (7.8), sama točka pa naj pripada hiperboli družine z neko vrednostjo ã realne pol-osi. Potem, kot smo dokazali, njegove koordinate zadoščajo enačbi 
Posledično sistem dveh enačb z dvema neznankama
ima vsaj eno rešitev. Z neposrednim preverjanjem smo se prepričali, da je za ã ≠ a to nemogoče. Dejansko, če na primer izvzamemo x iz prve enačbe:
po transformacijah dobimo enačbo
ki za ã ≠ a nima rešitev, saj . Torej je (7.8) enačba hiperbole z realno pol-osjo a > 0 in imaginarno pol-osjo b = √(c 2 - a 2) > 0. Imenuje se enačba kanonične hiperbole.
Vrsta hiperbole. Po videzu se hiperbola (7.8) izrazito razlikuje od elipse. Glede na prisotnost dveh simetrijskih osi v hiperboli je dovolj, da sestavi tisti njen del, ki se nahaja v prvi četrtini kanoničnega koordinatnega sistema. V prvem četrtletju, tj. za x ≥ 0, y ≥ 0 je enačba kanonične hiperbole enolično razrešena glede na y:
y = b/a √(x 2 - a 2). (7,9)
Študija te funkcije y(x) daje naslednje rezultate.
Definicijsko področje funkcije je (x: x ≥ a) in v tem definicijskem področju je zvezna kot kompleksna funkcija, v točki x = a pa je na desni zvezna. Edina ničla funkcije je točka x = a.
Poiščimo odvod funkcije y(x): y"(x) = bx/a√(x 2 - a 2). Od tod sklepamo, da pri x > a funkcija monotono narašča. Poleg tega 
, kar pomeni, da je v točki x = a presečišča grafa funkcije z abscisno osjo navpična tangenta. Funkcija y(x) ima drugi odvod y" = -ab(x 2 - a 2) -3/2 za x > a in ta odvod je negativen. Zato je graf funkcije konveksen navzgor in tam ni prevojnih točk.
Navedena funkcija ima poševna asimptota, to izhaja iz obstoja dveh omejitev:
Poševno asimptoto opisuje enačba y = (b/a)x.
Preučevanje funkcije (7.9) nam omogoča, da zgradimo njen graf (slika 7.9), ki sovpada z delom hiperbole (7.8), ki je v prvi četrtini.
Ker je hiperbola simetrična glede na svoje osi, ima celotna krivulja obliko, prikazano na sl. 7.10. Hiperbola je sestavljena iz dveh simetričnih vej, ki se nahajata na različnih mestih
strani od svoje namišljene simetrijske osi. Te veje niso omejene na obeh straneh in premice y = ±(b/a)x so hkrati asimptote tako desne kot leve veje hiperbole.
Simetrijske osi hiperbole se razlikujejo po tem, da realne osi sekajo hiperbolo, medtem ko se namišljene osi, ki so geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od žarišč, ne sekajo (zato se imenujejo namišljene). Dve presečni točki realne simetrijske osi s hiperbolo imenujemo točki hiperbole (točki A(a; 0) in B(-a; 0) na sliki 7.10).
Konstrukcija hiperbole vzdolž njene realne (2a) in namišljene (2b) osi se mora začeti s pravokotnikom s središčem v izhodišču in stranicama 2a oziroma 2b, vzporednima z realno in namišljeno osjo simetrije hiperbole ( Slika 7.11). Asimptote hiperbole so nadaljevanja diagonal tega pravokotnika, oglišča hiperbole pa presečišča stranic pravokotnika z realno simetrijsko osjo. Upoštevajte, da pravokotnik in njegov položaj na ravnini enolično določata obliko in položaj hiperbole. Razmerje b/a stranic pravokotnika določa stopnjo stiskanja hiperbole, vendar se namesto tega parametra običajno uporablja ekscentričnost hiperbole. Ekscentričnost hiperbole imenujemo razmerje med njegovo goriščno razdaljo in realno osjo. Ekscentričnost je označena z ε. Za hiperbolo, opisano z enačbo (7.8), je ε = c/a. Upoštevajte, da če ekscentričnost elipse lahko vzame vrednosti iz polovice intervala)
