V kocko je včrtana krogla, katere prostornina je 8π. Poiščite prostornino kocke.
rešitev
Naj bo a stranica kocke. Potem je prostornina kocke V = a 3.
Ker je krogla včrtana v kocko, je polmer krogle enak enaka polovici robovi kocke, tj. R = a/2 (glej sliko).
Prostornina krogle je enaka V w = (4/3)πR 3 in enaka 8π, torej
(4/3)πR 3 = 8π,
In prostornina kocke je V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.
Naloga B9 ( Tipične možnosti 2015)
Prostornina stožca je 32. Skozi sredino višine je narisan prerez vzporedno z vznožjem stožca, ki je osnova. manjši stožec z enakim vrhom. Poišči prostornino manjšega stožca.
rešitev
Razmislimo o nalogah:
72353. Prostornina stožca je 10. Skozi sredino višine je narisan prerez, vzporeden z osnovo stožca, ki je osnovka manjšega stožca z enakim vrhom. Poišči prostornino manjšega stožca.
Naj takoj opozorimo, da sta prvotni in odrezani stožec podobna in če upoštevamo odrezani stožec glede na prvotni, lahko rečemo tole: manjši stožec je podoben večjemu s koeficientom, ki je enak polovici ali 0,5. . Lahko zapišemo:
Lahko bi napisali:
Lahko bi si mislili!
Razmislimo o prvotnem stožcu glede na odsekanega. Lahko rečemo, da je večji stožec podoben odseku s koeficientom, ki je enak dve, zapišimo:
Zdaj si oglejte rešitev brez uporabe lastnosti podobnosti.
Prostornina stožca je enaka eni tretjini zmnožka površine njegove osnove in njegove višine:
Razmislite o stranski projekciji (pogled s strani) z navedenim prečnim prerezom:
Naj bo polmer večjega stožca enak R, višina H. Prerez (osnova manjšega stožca) poteka skozi sredino višine, kar pomeni, da bo njegova višina enaka H/2. In polmer baze je enak R/2, kar izhaja iz podobnosti trikotnikov.
Zapišimo prostornino prvotnega stožca:
Prostornina odrezanega stožca bo enaka:
torej podrobne rešitve so predstavljeni tako, da lahko vidite, kako je mogoče zgraditi sklepanje. Delujte na kakršen koli način - glavna stvar je, da razumete bistvo odločitve. Tudi če pot, ki ste jo izbrali, ni racionalna, je rezultat (pravilen rezultat) pomemben.
Odgovor: 1,25
318145. V posodi stožčaste oblike nivo tekočine doseže polovico njene višine. Prostornina tekočine je 70 ml. Koliko mililitrov tekočine je treba dodati, da se posoda popolnoma napolni?
Ta naloga je podobna prejšnji. Čeprav tukaj govorimo o tekočini, je princip rešitve enak.
Imamo dva stožca - to je sama posoda in "majhen" stožec (napolnjen s tekočino), sta si podobna. Znano je, da so količine podobna telesa so povezani takole:
Začetni stožec (posoda) je podoben stožcu, napolnjenem s tekočino s koeficientom 2, saj pravijo, da nivo tekočine doseže polovico višine. Lahko napišete bolj podrobno:
Izračunamo:
Tako morate dodati:
Druge težave s tekočinami.
74257. Poiščite prostornino V stožca, katerega generatrisa je enaka 44 in je nagnjena na ravnino osnove pod kotom 30 0. V odgovoru navedite V/Pi.
Volumen stožca:
Višino stožca poiščemo z uporabo lastnosti pravokotnega trikotnika.
Krak, ki leži nasproti kota 30°, je enak polovici hipotenuze. Hipotenuza, in v tem primeru, je generator stožca. Zato je višina stožca 22.
Kvadrat polmera baze najdemo s pomočjo Pitagorovega izreka:
*Potrebujemo kvadrat polmera, ne polmera samega.
Vrtilna telesa, ki jih preučujejo v šoli, so valj, stožec in krogla.
Če morate v nalogi na enotnem državnem izpitu iz matematike izračunati prostornino stožca ali površino krogle, menite, da ste srečni.
Uporabite formule za prostornino in površino valja, stožca in krogle. Vsi so v naši tabeli. Učijo na pamet. Tu se začne poznavanje stereometrije.
Včasih je dobro narisati pogled od zgoraj. Ali, kot v tem problemu, od spodaj.
2. Kolikokrat je prostornina stožca opisana okoli pravilne štirikotna piramida, je večja od prostornine stožca, včrtanega v to piramido?
Preprosto je - narišite pogled od spodaj. Vidimo, da je polmer večjega kroga krat večji od polmera manjšega. Višini obeh stožcev sta enaki. Zato bo prostornina večjega stožca dvakrat večja.
Še ena pomembna točka. Ne pozabite, da je v nalogah dela B Možnosti enotnega državnega izpita v matematiki je odgovor zapisan kot celo število ali končno število decimalno. Zato v vašem odgovoru v delu B ne sme biti nobenega ali. Tudi približne vrednosti števila ni treba zamenjati! Vsekakor se mora skrčiti! V ta namen je v nekaterih težavah naloga oblikovana, na primer, kot sledi: "Poiščite površino bočne površine valja, deljeno s."
Kje drugje se uporabljajo formule za prostornino in površino vrtilnih teles? Seveda v nalogi C2 (16). O tem vam bomo tudi povedali.
V kocko je včrtana krogla, katere prostornina je 8π. Poiščite prostornino kocke.
rešitev
Naj bo a stranica kocke. Potem je prostornina kocke V = a 3.
Ker je krogla včrtana v kocko, je polmer krogle enak polovici roba kocke, to je R = a/2 (glej sliko).
Prostornina krogle je enaka V w = (4/3)πR 3 in enaka 8π, torej
(4/3)πR 3 = 8π,
In prostornina kocke je V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.
Naloga B9 (Tipične možnosti 2015)
Prostornina stožca je 32. Skozi sredino višine, vzporedno z osnovo stožca, je narisan prerez, ki je osnovka manjšega stožca z enakim vrhom. Poišči prostornino manjšega stožca.
rešitev
Prostornina večjega stožca je enaka V к1 = (1/3)π(OB) 2 *AO = 32.
Prostornina manjšega stožca je enaka V к2 = (1/3)π(PK) 2 *AP =(1/3)π(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3 )π(OB) 2 *AO*1/8 = 32/8 = 4 .
To pomeni, da je prostornina manjšega stožca 8-krat manjša in je enaka 4.
Naloga B9 (Tipične možnosti 2015)
Prostornina stožca je 40. Skozi sredino višine je vzporedno z vznožjem stožca narisan prerez, ki je osnovo manjšega stožca z enakim vrhom. Poišči prostornino manjšega stožca.
rešitev
Ker je prerez narisan skozi sredino višine stožca, je AP = 1/2 AO in PK = 1/2 OB. To pomeni, da sta višina in polmer manjšega stožca 2-krat manjša od višine in polmera večjega stožca.
Prostornina večjega stožca je enaka V к1 = (1/3)π(OB) 2 *AO = 40.
Prostornina manjšega stožca je enaka V к2 = (1/3)π(PK) 2 *AP =(1/3)π(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3 )π(OB) 2 *AO*1/8 = 40/8 = 5 .
To pomeni, da je prostornina manjšega stožca 8-krat manjša in je enaka 5.
Naloga B9 (Tipične možnosti 2015)
V kocki ABCDA1B1C1D1 točke E,F, E1 in F1 so razpolovišča robov BC, DC, B1C1 in D1C1. Prostornina prizme, odrezane od kocke z ravnino EFF1, je 15. Poiščite prostornino kocke.
rešitev
Prostornina prizme je V = S glavna H =S CEF *CC1 = 15.
Označimo rob kocke z a. Potem je prostornina prizme enaka: V = 1/2 * a/2 * a/2 * a = 1/8 a 3 = 15.
Prostornina kocke je V = a 3 = 15*8 = 120.
Odgovor: 120.
Naloga B9 (Tipične možnosti 2015)
Prostornina stožca je 152. Skozi sredino višine je vzporedno z vznožjem stožca narisan prerez, ki je osnovo manjšega stožca z enakim vrhom. Poišči prostornino manjšega stožca.
Prostornina stožca. Zdaj smo prišli do stožcev in valjev. Poleg že objavljenih bo še približno devet člankov, obravnavali bomo vse vrste nalog. Če med letom odprta banka Nove naloge bodo seveda dodane, objavljene bodo tudi na blogu. Ta članek predstavlja teorijo in primere, v katerih se uporablja. Ni dovolj, da poznate formulo za volumen stožca, tukaj je:
Lahko zapišemo:
Če želite rešiti nekaj primerov, morate razumeti, kako so prostornine podobnih teles povezane. Treba je razumeti in se ne samo naučiti formule:
To pomeni, da če povečamo (zmanjšamo) linearne dimenzije telesa za k-krat, bo razmerje med prostornino nastalega telesa in prostornino izvirnika enako k 3 .
OPOMBA! Ni pomembno, kako definirate količine:
Dejstvo je, da se lahko v procesu reševanja problemov pri obravnavi podobnih teles nekateri zmedejo s koeficientom k. Lahko se pojavi vprašanje - Čemu je to enako?
(odvisno od vrednosti, navedene v pogoju)
Vse je odvisno od tega, "s katere strani" gledaš. To je pomembno razumeti! Poglejmo primer: glede na kocko je rob druge kocke trikrat večji:
V tem primeru je koeficient podobnosti tri (rob se poveča trikrat), kar pomeni, da bo razmerje videti tako:
To pomeni, da bo prostornina nastale (večje) kocke 27-krat večja.
Lahko pogledate z druge strani.
Glede na kocko je rob druge kocke trikrat manjši:
Koeficient podobnosti je enak eni tretjini (z zmanjšanjem roba za trikrat), kar pomeni, da bo razmerje videti tako:
To pomeni, da bo prostornina nastale kocke 27-krat manjša.
Zaključek! Indeksi niso pomembni pri označevanju volumnov; pomembno je razumeti, kako se telesa gledajo relativno drug na drugega.
Jasno je, da:
— če se prvotno telo poveča, bo koeficient večji od ena.
— če se prvotno telo zmanjša, bo koeficient manjši od ena.
O prostorninskih razmerjih lahko rečemo naslednje:
- če v problemu razdelimo glas večje telo z manjšim, potem dobimo kub koeficienta podobnosti, sam koeficient pa bo večji od ena.
— če prostornino manjšega telesa delimo z večjim, dobimo kub koeficienta podobnosti, sam koeficient pa bo manjši od ena.
Najpomembnejša stvar, ki si jo morate zapomniti je, da ima koeficient podobnosti pri PROSTORNINI podobnih teles TRETJO stopnjo in ne drugo stopnjo, kot je to pri površinah.
Še ena točka v zvezi.
Pogoj vsebuje koncept, kot je generatriksa stožca. To je segment, ki povezuje vrh stožca s točkami osnovnega kroga (na sliki označen s črko L).
Pri tem velja omeniti, da bomo probleme analizirali samo z ravnim stožcem (v nadaljevanju samo stožec). Generatorji ravni stožec enaka
S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh.
P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.
