Danes si zasluži, da jo opevamo v poeziji
Vietov izrek o lastnostih korenin.
Kaj je bolje, povej mi, doslednost, kot je ta:
Pomnožili ste korenine - in ulomek je pripravljen
V števniku z, v imenovalcu A.
In vsota korenin ulomka je prav tako enaka
Tudi z minusom ta ulomek
Kakšen problem
V števnikih V, v imenovalcu A.
(Iz šolske folklore)
V epigrafu čudovit izrek Françoisa Vieta ni podana povsem natančno. Pravzaprav lahko zapišemo kvadratno enačbo, ki nima korenin, in zapišemo njuno vsoto in produkt. Na primer, enačba x 2 + 2x + 12 = 0 nima pravih korenin. Toda s formalnim pristopom lahko zapišemo njihov produkt (x 1 · x 2 = 12) in vsoto (x 1 + x 2 = -2). Naš verzi bodo ustrezali izreku z opozorilom: »če ima enačba korene«, tj. D ≥ 0.
najprej praktično uporabo Ta izrek je konstrukcija kvadratne enačbe, ki ima podane korene. Drugič, omogoča ustno reševanje številnih kvadratnih enačb. Šolski učbeniki se osredotočajo predvsem na razvijanje teh veščin.
Tukaj bomo razmislili več kompleksne naloge, rešeno z uporabo Vietovega izreka.
Primer 1.
Eden od korenov enačbe 5x 2 – 12x + c = 0 je trikrat večji od drugega. Najdi s.
rešitev.
Naj bo drugi koren x 2.
Potem je prvi koren x1 = 3x 2.
Po Vietovem izreku je vsota korenin 12/5 = 2,4.
Ustvarimo enačbo 3x 2 + x 2 = 2,4.
Zato je x 2 = 0,6. Zato je x 1 = 1,8.
Odgovor: c = (x 1 x 2) a = 0,6 1,8 5 = 5,4.
Primer 2.
Znano je, da sta x 1 in x 2 korena enačbe x 2 – 8x + p = 0, pri čemer je 3x 1 + 4x 2 = 29. Poiščite p.
rešitev.
Po Vietovem izreku je x 1 + x 2 = 8, po pogoju pa 3x 1 + 4x 2 = 29.
Po rešitvi sistema teh dveh enačb najdemo vrednost x 1 = 3, x 2 = 5.
In zato je p = 15.
Odgovor: p = 15.
Primer 3.
Brez izračunavanja korenov enačbe 3x 2 + 8 x – 1 = 0 poiščite x 1 4 + x 2 4
rešitev.
Upoštevajte, da je po Vietovem izreku x 1 + x 2 = -8/3 in x 1 x 2 = -1/3 ter transformirajte izraz
a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) 2 – 2(x 1 x 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9
Odgovor: 4898/9.
Primer 4.
Pri katerih vrednostih parametra a je razlika med največjim in najmanjše korenine enačbe
2x 2 – (a + 1)x + (a – 1) = 0 je enako njunemu produktu.
rešitev.
To je kvadratna enačba. Imel bo 2 različna korena, če je D > 0. Z drugimi besedami, (a + 1) 2 – 8(a – 1) > 0 ali (a – 3) 2 > 0. Zato imamo 2 korena za vse a, razen a = 3.
Za določnost bomo predpostavili, da je x 1 > x 2 in dobili x 1 + x 2 = (a + 1)/2 in x 1 x 2 = (a – 1)/2. Na podlagi pogojev problema x 1 – x 2 = (a – 1)/2. Vsi trije pogoji morajo biti izpolnjeni hkrati. Upoštevajmo prvo in zadnjo enačbo kot sistem. Z lahkoto jo je mogoče rešiti z algebraičnim seštevanjem.
Dobimo x 1 = a/2, x 2 = 1/2. Preverimo pri čem A izpolnjena bo druga enakost: x 1 · x 2 = (a – 1)/2. Zamenjajmo dobljene vrednosti in imeli bomo: a/4 = (a – 1)/2. Potem je a = 2. Očitno je, da če je a = 2, so vsi pogoji izpolnjeni.
Odgovor: ko je a = 2.
Primer 5.
Čemu je enako najmanjša vrednost a, pri kateri je vsota korenov enačbe
x 2 – 2a(x – 1) – 1 = 0 je enako vsoti kvadratov njegovih korenin.
rešitev.
Najprej zmanjšajmo enačbo na kanonična oblika: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. Imelo bo korenine, če je D/4 ≥ 0. Torej: a 2 – (2a – 1) ≥ 0. Ali (a – 1) 2 ≥ 0. In to je pogoj velja za vsak a.
Uporabimo Vietov izrek: x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. Izračunajmo
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2. Ali po zamenjavi x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2. Še vedno je treba ustvariti enakost, ki ustreza pogojem problema: x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2 . Dobimo: 2a = 4a 2 – 4a + 2. Ta kvadratna enačba ima 2 korena: a 1 = 1 in a 2 = 1/2. Najmanjši med njimi je –1/2.
Odgovor: 1/2.
Primer 6.
Poiščite razmerje med koeficienti enačbe ax 2 + bx + c = 0, če je vsota kubov njenih korenin enaka produktu kvadratov teh korenin.
rešitev.
Izhajali bomo iz dejstva, da podana enačba ima korenine in zato lahko zanj uporabimo Vietov izrek.
Potem bo pogoj problema zapisan takole: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. Ali: (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.
Drugi faktor je treba pretvoriti. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) – x 1 x 2.
Dobimo (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2. Ostaja še zamenjava vsot in produktov korenin s koeficienti.
(-b/a)((b/a) 2 – 3 c/a) = (c/a) 2 . Ta izraz je mogoče zlahka pretvoriti v obliko b(3ac – b 2)/a = c 2. Razmerje je bilo ugotovljeno.
Komentiraj. Upoštevati je treba, da je nastalo relacijo smiselno upoštevati šele, ko je izpolnjena druga: D ≥ 0.
Primer 7.
Poiščite vrednost spremenljivke a, za katero je vsota kvadratov korenin enačbe x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 največja vrednost.
rešitev.
Če ima ta enačba korena x 1 in x 2, potem je njuna vsota x 1 + x 2 = -2a in produkt x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2.
Izračunamo x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2(3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2 (a – 3) 2 + 22.
Zdaj je očitno, da ta izraz traja najvišjo vrednost pri a = 3.
Ostaja še preveriti, ali ima izvirna kvadratna enačba dejansko korenine pri a = 3. Preverimo s substitucijo in dobimo: x 2 + 6x + 7 = 0 in zanjo D = 36 – 28 > 0.
Zato je odgovor: za a = 3.
Primer 8.
Enačba 2x 2 – 7x – 3 = 0 ima korena x 1 in x 2. Poiščite trojno vsoto koeficientov dane kvadratne enačbe, katere korena sta števili X 1 = 1/x 1 in X 2 = 1/x 2. (*)
rešitev.
Očitno je x 1 + x 2 = 7/2 in x 1 x 2 = -3/2. Sestavimo drugo enačbo iz njenih korenin v obliki x 2 + px + q = 0. Da bi to naredili, uporabimo obratno od Vietovega izreka. Dobimo: p = -(X 1 + X 2) in q = X 1 · X 2.
Po zamenjavi v te formule na podlagi (*), potem: p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 in q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.
Zahtevana enačba bo imela obliko: x 2 + 7/3 x – 2/3 = 0. Zdaj lahko enostavno izračunamo potrojeno vsoto njenih koeficientov:
3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Odgovor je prejet.
Imate še vprašanja? Niste prepričani, kako uporabiti Vietin izrek?
Če želite dobiti pomoč od mentorja -.
Prva lekcija je brezplačna!
blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.
Občinska vlada izobraževalna ustanova
"Ochkurovskaya sekundarna splošna šola»
Nikolajevskega občinski okraj Volgogradska regija
Vietov izrek
Dopolnila: Kristina Onoprienko,
Učenka 8. razreda
MKOU "Srednja šola Ochkurovskaya"
okrožje Nikolaevsky
Vodja: E.A. Bulba
z. Ochkurovka
2015
Kazalo
Uvod…………………………………………………………………………………………………3
Glavni del
1. Zgodovinsko ozadje………………………………………………………….4
2. Dokaz Vietovega izreka…………………………………………………………..6
3. Sestavljanje bloka enačb, rešenih z uporabo Vietovega izreka……………….8
4. Izdelava simulatorja…………………………………………………………10
Zaključek
Praktični pomen projekta……………………………………... 12
Sklepi………………………………………………………………………………….13
Seznam virov informacij……………………….………………………...14
Aplikacija……………………………………………………………………..15
Upravičeno vreden, da bi bil opevan v poeziji
Vietov izrek o lastnostih korenin.
Kaj je bolje, povej mi, doslednost, kot je ta:
Ko pomnožite korenine, je frakcija pripravljena!
Števec je c, imenovalec a.
In vsota korenin ulomka je prav tako enaka.
Tudi z minus ulomkom, kakšen problem!
V števniku
b
, v imenovalcu a.
Uvod
Relevantnost teme projekta: Uporaba Vietovega izreka je edinstvena tehnika za reševanje kvadratne enačbe ustno. V učbeniku je zelo malo kvadratnih enačb, ki bi jih lahko rešili z uporabo Vietovega izreka. Moji sošolci in jaz delamo napake.
Objekt raziskovanje je Vietov izrek, kot sestavni del reševanja kvadratnih enačb pri pouku algebre.
Predmet študija – Vietov izrek in sestavljanje bloka enačb za krepitev spretnosti reševanja kvadratnih enačb.
Hipoteza: Predlagal sem, da se lahko naučite natančno reševati enačbe z uporabo Vietovega izreka z uporabo simulatorja.
Cilj projekta : ustvarite simulator enačb, rešenih z uporabo Vietovega izreka.
Naloge:
spoznajo zgodovino odkritja Vietovega izreka;
opravi študijo odvisnosti koeficientov kvadrata
enačba ter produkt in vsota njenih korenov.
naučijo se dokazati Vietov izrek;
samostojno sestavljajo enačbe, ki jih lahko rešijo z uporabo Vietovega izreka
sestavite sklop enačb na papir in ustvarite simulator v elektronski obliki
ponudi sošolcem simulator za reševanje enačb z uporabo Vietovega izreka
Metode :
primerjava rezultatov samostojno delo pred projektom in po usposabljanju reševanje kvadratnih enačb z uporabo Vietovega izreka
študija in analiza elektronski viri in literaturo
samostojno delo pri sestavljanju bloka enačb in simulatorja
1. Zgodovinski podatki
François Viet se je rodil leta 1540 na jugu Francije v mestecu Fanteney-le-Comte.
Vietov oče je bil tožilec. Sin je izbral očetov poklic in postal odvetnik ter diplomiral na univerzi v Poitouju. Leta 1560 je dvajsetletni odvetnik začel svojo kariero v domače mesto, vendar je tri leta pozneje odšel služit k plemiški hugenotski družini de Parthenay. Postal je tajnik lastnika hiše in učitelj njegove dvanajstletne hčerke Catherine. Prav poučevanje je v mladem pravniku vzbudilo zanimanje za matematiko.
Ko je študent odrasel in se poročil, se Viet ni ločil od svoje družine in se je z njo preselil v Pariz, kjer mu je bilo lažje spoznati dosežke vodilnih matematikov v Evropi. Komuniciral je z uglednim profesorjem na Sorboni Ramusom in si prijateljsko dopisoval z največjim matematikom v Italiji Raphaelom Bombellijem.
Leta 1571 je Viet prešel na javni servis, postal svetovalec parlamenta in nato svetovalec francoskega kralja Henrika III.
Leta 1580 Henrik III imenoval Vieta na pomembno vladno mesto izsiljevalca, kar mu je dalo pravico nadzorovati izvajanje ukazov v državi in prekiniti ukaze velikih fevdalcev.
Leta 1584 je bil Vieta na vztrajanje Guisesov odstavljen s položaja in izgnan iz Pariza. Ko je znanstvenik našel mir in sprostitev, si je za cilj zadal ustvarjanje celovite matematike, ki bi mu omogočila reševanje kakršnih koli problemov.
Viet je začrtal svoj raziskovalni program in naštel razprave, ki jih združuje skupni koncept in so napisane v matematični jezik nove črkovne algebre, v znamenitem "Uvodu v analitično umetnost", objavljenem leta 1591. Osnovo svojega pristopa je Viet poimenoval vrstna logistika; jasno je ločil števila, količine in razmerja ter jih zbral v določen sistem »vrst«. Ta sistem je vključeval na primer spremenljivke, njihove korenine, kvadrate, kocke, kvadratne kvadrate itd. Za te vrste je Viet dal posebno simboliko in jih označil z velikimi tiskanimi črkami latinska abeceda. Za neznane količine so bili uporabljeni samoglasniki, za spremenljivke - soglasniki.
Viète je pokazal, da je mogoče z delovanjem s simboli dobiti rezultat, ki je uporaben za vse ustrezne količine, tj. rešiti problem v splošni pogled. To je pomenilo začetek korenite spremembe v razvoju algebre: literarni račun je postal mogoč.
Slavni izrek, ki vzpostavlja povezavo med koeficienti polinoma in njegovimi koreninami, je bil objavljen leta 1591. Zdaj nosi ime Vieta, avtor pa ga je formuliral takole: "Če je B + D krat A, minus A na kvadrat je enako BD, potem je A enako B in enako D."
V svoji razpravi "Dodatki k geometriji" je poskušal ustvariti nekakšno geometrijsko algebro z uporabo geometrijskih metod za reševanje enačb tretje in četrte stopnje. Vsako enačbo tretje in četrte stopnje, je trdil Viet, je mogoče rešiti geometrijska metoda trisekcijo kota ali s konstruiranjem dveh povprečnih proporcionalnih.
Matematike je že stoletja zanimalo vprašanje reševanja trikotnikov, saj so to narekovale potrebe astronomije, arhitekture in geodezije. Viet je prvi izrecno oblikoval v besedna oblika kosinusni izrek, čeprav so bili ekvivalenti občasno uporabljeni že od prvega stoletja pr. Primer reševanja trikotnika z dvema podanima stranicama in enim od kotov nasproti njiju, ki je bil prej znan po svoji težavnosti, je Vieta prejel izčrpno analizo. Globoko znanje algebre je dalo Vieta velike koristi. Poleg tega so njegovo zanimanje za algebro sprva povzročile aplikacije v trigonometriji in astronomiji. Ne samo, da je vsaka nova uporaba algebre dala zagon novim raziskavam v trigonometriji, ampak so bili tudi pridobljeni trigonometrični rezultati vir pomembne uspehe algebra. Vieta je zlasti odgovoren za izpeljavo izrazov za sinuse (ali tetive) in kosinuse več lokov.
V spominih nekaterih francoskih dvorjanov je navedba, da je bil Viet poročen, da je imel hčerko, edino naslednico posesti, po kateri se je Viet imenoval Seigneur de la Bigautier. V dvornih novicah je markiz Letual zapisal: »... 14. februarja 1603 g. Viet, izsiljevalec, človek velike inteligence in razuma ter eden najbolj znanstveniki matematiki stoletja umrl... v Parizu. Imel je več kot šestdeset let."
2. Dokaz Vietovega izreka
3. Sestavljanje bloka enačb in elektronskega simulatorja
Bibliografija
Algebra 8. razred : učbenik za izobraževalne ustanove. G.V.Dorofejev, S.B. Suvorova
Didaktična gradiva o algebri za 8. razred. V.I. Zhokhov, Yu.N Makarychev, N.G. Mindyuk. M.: Izobraževanje, 2000.
Matematika.8. razred: didaktično gradivo k učbeniku “Matematika 8. Algebra” / ur. G. V. Dorofejeva. – M.: Bustard, 2012 \
Država končni izpit. 9. razred. Matematika. Tematske testne naloge./L.D. Lappo, M.A. Popov/-M .: Izpitna založba, 2011
Načrtovani rezultat
1. Informativno
Zbiranje informacij, njihova analiza
Študij književnosti
Gradivo za teoretični del projekta
2.Organizacijski
Analiza, posploševanje
Razvoj bloka enačb
Material za delo
3. Tehnološka stopnja
Izbor enačb
Ustvarjanje simulatorja
Naprave za trening
4. Končno
Posploševanje izkušenj
Zaključki o opravljenem delu, zasnova projekta
Projekt. Oblikovanje zbirke. Mojstrski razred. Udeležba na tekmovanju.
X 2 + 17x - 38 = 0,
X 2 - 16x + 4 = 0,
3x 2 + 8x - 15 = 0,
7x 2 + 23x + 5 = 0,
X 2 + 2x - 3 = 0,
X 2 + 12x + 32 = 0,
X 2 - 7x + 10 = 0,
X 2 - 2x - 3 = 0,
X 2 + 12x + 32 = 0,
2x 2 - 11x + 15 = 0,
3x 2 + 3x - 18 = 0,
2x 2 - 7x + 3 = 0,
X 2 + 17x - 18 = 0,
X 2 - 17x - 18 = 0,
X 2 - 11x + 18 = 0,
X 2 + 7x - 38 = 0,
X 2 - 9x + 18 = 0,
X 2 - 13x + 36 = 0,
X 2 - 15x + 36 = 0,
X 2 - 5x - 36 = 0.
X 2 + x – 2 = 0
X 2 + 2x – 3 =0
X 2 - 3x + 2 =0
X 2 - x – 2 = 0
X 2 - 2x – 3 =0
X 2 - 3x – 4 = 0
x 2 +17 x -18=0
x 2 + 23 x – 24=0
x 2 – 39x-40 =0
x 2 – 37x – 38=0
x 2 – 3x – 10 = 0
x 2 – 5x + 3 = 0
x 2 + 8 x – 11 = 0
x 2 + 6x + 5 = 0
x 2 – x – 12 = 0
x 2 + 5 x + 6 = 0
x 2 + 3 x – 10 = 0
x 2 – 8 x– 9 = 0
X 2 + x – 56 = 0
X 2 – 19x + 88 = 0
X 2 – 4x – 4 = 0
x 2 -15x+14=0
x 2 +8x+7=0
x 2 +9x+20=0
x 2 +18x -11 = 0
x 2 +27x – 24 = 0
5x 2 +10x – 3 = 0
3x 2 - 16x +9 = 0
x 2 +18x -11 = 0
x 2 +27x – 24 = 0
4x-21=0
4x-21=0
x 2 -15x+56=0
x 2 -4x-60=0
x 2 +5x+6=0
2x-3=0
x 2 +18x+81=0
X-20=0
x 2 +4x+21=0
x 2 -10x-24=0
x 2 + x-56=0
x 2 -x-56=0
x 2 +3x+2=0
x 2 +5x-6=0
x 2 -18x+81=0
x 2 -9x+20=0
x 2 -5 X +6=0
x 2 -4x-21=0
X 2 - 7x+6=0
x 2 -15x+56=0
X 2 – 3x + 2 = 0
X 2 – 4x + 3 = 0
X 2 – 2x + 4 = 0
X 2 – 2x + 5 = 0
X 2 – 2x + 6 = 0
X 2 – 11x + 24 = 0
X 2 + 11x – 30 = 0
X 2 + x – 12 = 0
x 2 – 6x + 8 = 0
X 2 – 15x + 14 = 0
x 2 – 15x + 14 = 0
x 2 + 4 x -21 =0
X 2 + x – 42 =0
X 2 – x – 20 =0
X 2 + 4 x -32=0
X 2 - 2x – 35 =0
X 2 + x - 20 =0
X 2 + 7 x + 10 =0
X 2 - x - 6=0
X 2 + 2 x+0 =0
X 2 + 6 x+0 =0
X 2 + 3x - 18=0
X 2 + 5 x -24=0
X 2 - 2 x - 24=0
X 2 – 15x + 14 = 0
X 2 + 8x + 7 =0
X 2 + 9x – 20=0
X 2 – 6x - 7 = 0
X 2
4.
Praktični pomen projekta
Uporaba pri pouku algebre v 8. razredu in pri končnem ponavljanju OGE Sklepi:
Rezultat mojega dela je blok kvadratnih enačb, ki jih je mogoče rešiti z uporabo Vietovega izreka. Delo me je zaneslo, najlažje je bilo sestaviti kvadratne enačbe, v katerih se prosti člen nahaja po tabeli množenja. Zdaj ne le natančno najdem korenov enačbe z uporabo Vietovega izreka, ampak ga tudi uporabim pri preverjanju rešitve katere koli kvadratne enačbe. Na simulatorju smo se s sošolci naučili reševati kvadratne enačbe z uporabo Vietovega izreka. Seznam virov informacij:
"Kako rešiti nepopolne kvadratne enačbe" - Veščine reševanja. Kostroma. Jaroslavlj. Ladiženska Olga Aleksandrovna. Steklov Vladimir Andrejevič. Rešimo enačbo. Enakopravnost. Ustno delo. Kazan. Predmet gibanja. Kriptografska tabela. Nižni Novgorod. Lyapunov Aleksander Mihajlovič. Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb. Hitrost. Avtobus. Gibalne naloge.
“Matematika “Kvadratne enačbe”” - f) Pri kateri vrednosti a ima enačba en koren? Reševanje kvadratnih enačb. Ustno rešite kvadratno enačbo. Reši enačbo s črkovnimi koeficienti. Poskusite svojemu umu dati čim več hrane. Cilj: naučiti se videti racionalen način reševanje kvadratnih enačb. M.V. Lomonosov. Delanje vaj.
“François Viète in njegov izrek” - Dva polinoma sta identično enaka. Pouk matematike. Matematična odkritja. Vietove formule. Francois Viet. Učitelji. Izvedite iz različnih virov Kdo je Francois Viet? Diskriminator. Vietov izrek je mogoče posplošiti na polinome katere koli stopnje. Formule, ki jih je izpeljal Viethe za kvadratne enačbe.
"Iskanje korenin kvadratne enačbe" - Enačba nima korenin. Nepopolne kvadratne enačbe. Lastnosti koeficientov enačbe. Reševanje enačb z uporabo formule. Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb. Določanje števila korenov kvadratne enačbe. Iskanje korenin nepopolnih kvadratnih enačb. Iskanje diskriminante. Metode reševanja kvadratnih enačb.
"Reševanje enačb s kvadratnimi koreninami" - Dodatek. risanje. Reševanje enačbe z metodo »meta«. Grafična rešitev kvadratne enačbe. Lastnosti koeficientov kvadratne enačbe. Faktorizacija. Metoda izbire polni kvadrat. Enačba. Koeficient. Vsota koeficientov. Metode reševanja kvadratnih enačb. Brezplačni član.
"Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb" - Reševanje problema. Kopičenje dejstev. Te enačbe razdelite v 4 skupine. Strokovni pregled. Primarno razumevanje in uporaba preučenega gradiva. Tema lekcije. Imejte dan ali uro za nesrečno, v kateri se niste ničesar naučili. Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb. vprašanje. Postavitev učne naloge.
V temi je skupno 34 predstavitev
Francois Viet se je rodil leta 1540 v Franciji v Fontenay-le-Comte. Po izobrazbi pravnik. Veliko se je ukvarjal z odvetništvom, od leta 1571 do 1584 je bil svetovalec kraljev Jurija III. in Jurija IV. Ampak vse je tvoje prosti čas, ves svoj prosti čas je posvetil matematiki in astronomiji. Na področju matematike se je začel posebej intenzivno ukvarjati leta 1584 po odstavitvi s položaja pod kraljevi dvor. Viet je podrobno preučeval dela starodavnih in sodobnih matematikov.
François Viète je v bistvu ustvaril novo algebro. Vanjo je vnesel abecedno simboliko. Njegove glavne ideje so predstavljene v delu "Uvod v analitično umetnost". Zapisal je: »Vsi matematiki so vedeli, da se pod njihovo algebro in almukabalo skrivajo neprimerljivi zakladi, niso pa vedeli, kako jih najti: probleme, ki so se jim zdeli najtežje, je povsem enostavno rešiti s pomočjo naše umetnosti.«
Pravzaprav vsi vemo, kako enostavno je rešiti na primer kvadratne enačbe. Za njihovo rešitev obstajajo že pripravljene formule. Pred F. Vieto je bila rešitev vsake kvadratne enačbe izvedena po lastnih pravilih v obliki zelo dolgih verbalnih argumentov in opisov, precej okornih dejanj. Tudi sama enačba moderna oblika ni mogel zapisati. Tudi to je zahtevalo precej dolgo in zapleteno besedni opis. Trajala so leta, da so obvladali tehnike reševanja enačb. Splošna pravila, podobno sodobnim, še bolj pa ni bilo formul za reševanje enačb. Stalne kvote niso bile označene s črkami. Upoštevani so bili le izrazi z določenimi številskimi koeficienti.
Viet je v algebro uvedel črkovne simbole. Po Vietini inovaciji je postalo mogoče zapisati pravila v obliki formul. Res je, da je Viet še vedno označeval eksponente z besedami, kar je povzročilo določene težave pri reševanju nekaterih problemov. V času Vieta je bila ponudba številk še omejena. François Viète je v svojih delih zelo natančno orisal teorijo reševanja enačb prve do četrte stopnje.
Vietova velika zasluga je bila odkritje razmerja med koreninami in koeficienti enačb reducirane oblike poljubnega naravna stopnja. Dobro poznamo Vietov slavni izrek za reducirano kvadratno enačbo: »vsota korenin kvadratne enačbe reducirane oblike je enaka drugemu koeficientu, vzetemu iz nasprotno znamenje, produkt korenin te enačbe pa je enak brezplačen član" Ta izrek vam omogoča, da ustno preverite pravilnost reševanja kvadratnih enačb in v najpreprostejših primerih poiščete korenine enačb.
Upoštevajte tudi, da je Viète dal prvo analitično (z uporabo formule) predstavitev števila π v Evropi.
Viet je leta 1603 umrl v starosti 63 let.
Vietov izrek.
Vsota korenin kvadratni trinom x2 + px + q je enak drugemu koeficientu p z nasprotnim predznakom, produkt pa je enak prostemu členu q.
Dokaz.
Naj sta x1 in x2 različna korena kvadratnega trinoma x2 + px + q. Vietov izrek pravi, da veljajo naslednje relacije: x1 + x2 = –p x1 x2 = q
Da bi to dokazali, nadomestimo vsakega od korenov v izraz za kvadratni trinom. Dobimo dve pravilni številski enakosti: x12 + px1 + q = 0 x22 + px2 + q = 0
Odštejmo te enačbe eno od druge. Dobimo x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0
Razširimo razliko kvadratov in hkrati premaknimo drugi člen na desno stran:
(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)
Ker sta po pogoju korena x1 in x2 različna, potem je x1 – x2 ≠ 0 in lahko enakost delimo z x1 – x2. Dobimo prvo enakost izreka: x1 + x2 = –p
Za dokaz drugega zamenjajmo v eno od zgoraj zapisanih enakosti (na primer prvo) namesto koeficienta p enako število – (x1 + x2): x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0
Preoblikovanje leva stran, dobimo: x12 – x12 – x2 x1 + q = 0 x1 x2 = q, kar je bilo treba dokazati.
V primeru nereducirane kvadratne enačbe ax2 + bx + c = 0: x1+x2 = x1x2 =
Izrek, inverzen Vietovemu izreku.
Če sta izpolnjeni enakosti x1+x2 = in x1x2 =, sta števili x1 in x2 korenini kvadratne enačbe ax2 + bx + c = 0.
Dokaz.
Iz enakosti x1+x2 = in x1x2 = sledi x2 + x + =x2 - (x1+x2)x + x1x2.
Toda x2 - (x1+x2)x + x1x2 = (x-x1)(x-x2) in torej x2 + x + = (x-x1)(x-x2).
Iz tega sledi, da sta x1 in x2 korena enačbe x2 + x + = 0, zato sta enačbi ax2 + bx + c = 0.
Uporaba Vietovega izreka.
Vietov izrek se uporablja v 8. razredu za iskanje korenov kvadratnih enačb. Obseg uporabe tega izreka lahko razširite na primer za reševanje sistemov enačb v 9.–11. razredu in reševanje problemov, povezanih s študijem kvadratnih enačb in njihovih korenin. To skrajša čas in poenostavi reševanje sistema.
Rešite sistem enačb:
Če predpostavimo, da sta korena x in y neke kvadratne enačbe, katere vsota korenin je enaka 5, njihov produkt pa je enak 6, potem dobimo niz dveh sistemov
Odgovor: (2;3), (3;2).
Učenci hitro osvojijo ta način reševanja in ga z veseljem uporabljajo. Poleg tega lahko zakomplicirate sisteme in uporabite to tehniko pri učenju različne teme v 10-11 razredih.
Rešite sistem enačb:
Pod pogojem x > 0 y > 0 dobimo
Naj sta torej in korenini neke reducirane kvadratne enačbe ta sistem je enakovredna kombinaciji dveh sistemov
Drugi sistem populacije nima rešitve; rešitev prvega je par x=9,y=4.
Odgovor: (9;4).
Spodaj so sistemi enačb, ki jih je mogoče rešiti z uporabo Vietovega izreka.
Odgovor: (65;3),(5;63).
Odgovor: (23;11),(7;27).
Odgovor: (4;729),(81;4096).
Odgovor: (2;2).
5. x + y =12 Odgovor: (8;4),(4;8).
Odgovor: (9;4),(4;9).
Podobne sisteme enačb lahko učitelj sestavi sam ali pa pri tem vključi učence, kar prispeva k razvoju zanimanja za predmet.
Ustno reševanje nalog.
Brez reševanja kvadratnih enačb poiščite njihove korenine.
1. x2 - 6x + 8 = 0 Odgovor: 2;4.
2. x2 – 5x – 6 = 0 Odgovor: -1;6.
3. x2 + 2x - 24 = 0 Odgovor: -6;4.
4. x2 + 9x + 14 = 0 Odgovor: -7;-2.
5. x2 – 7x + 10 = 0 Odgovor: 2;5.
6. 2x2 + 7x + 5 = 0 Odgovor: -2,5;-1.
Razmislimo o problemih, pri katerih se uporablja Vietin izrek.
Brez reševanja enačbe 9x²+18x-8=0 poiščite x1³+x2³, kjer sta x1,x2 njeni korenini.
9x²+18x-8=0 │:9 x²+2x-=0
1) Diskriminator Nad ničlo, D>0, kar pomeni, da sta x1,x2 prava korena.
Po Vietovem izreku sledi: x1+x2=-2 x1∙x2= -
3) Pretvorite izraz x1³+x2³: x1³+x2³=(x1+x2)(x1²-x1 x2 +x2²)= (x1+x2)(x1²+2x1 x2 +x2² -2x1 x2 –
X1 x2)=(x1+x2)((x1 +x2)²-3x1 x2).
Nadomestimo vrednosti, ki jih poznamo, v nastalo formulo in dobimo odgovor:
2((-2)²-3(-))= -2(4+)= -2∙= -
Pri kateri vrednosti k v enačbi je 9x²-18(k-1)x-8k+24=0,x2 =2x1.
9x²-18(k-1)x -8k+24=0 │:9 x²-2(k-1)x -k+=0 x2=2x1.
Po Vietovem izreku: x1∙x2= -k x1+ x2=2(k-1) smo dobili sistem dveh enačb in zamenjali 2x1 namesto x2.
2x12=-k│:2 x1²=-k
3x1=2(k-1)│:3 x1=k-
Primerjajmo nastale enačbe:
Rešimo kvadratno enačbo in poiščemo k:
D=b²-4ac D=+=+=()² x1;x2= k1;k2= k1=2 k2=-1
Odgovor: pri k1=-1 in k2=2.
Naj bodo x1;x2 korenine kvadratne enačbe x²+13x-17=0. Sestavite enačbo, katere koreni bi bili števili 2-x1 in 2-x2.
Razmislite o enačbi x²+13x-17=0.
1) Diskriminanta D>0, kar pomeni, da so x1; x2 pravi koreni.
Po Vietovem izreku: x1 +x2 = -13 x1 x2 = -17
3) Zamenjajte števili 2-x2 in 2-x2 v ta sistem.
(2-x1)+(2-x2)= -13 2-x1+2-x2 =-13 x1+x2 =17
(2-x1)·(2-x2)= -17 4-2x1-2x2+x1x =-17 -2(x1+x2) +x1x2 =-21 x1+x2 =17 x1 + x2 =17
2 17+x1 x2 = -21 x1x2 =13
Zato je z uporabo Vietovega izreka želena enačba x²-17x+13=0.
Odgovor: x²-17x+13=0.
Kakšna sta predznaka b in c, če je podana kvadratna enačba ax2+bx+c=0, če je x2>x1,x1>0,x2
Ker je x2 x1, sledi b>0,c
Odgovor: b>0,с
6) Kakšna sta predznaka b in c za kvadratno enačbo ax2+bx+c=0, če je x1 0,x2>0.
Po Vietovem izreku: x1+x2=-b x1∙x2=c
Ker je x1>0, x2>0 in x2>x1, je b 0.
Naloge za samostojno reševanje.
1) Brez reševanja enačbe 2x²-3x-11=0 poiščite +, kjer sta x1;x2 njeni koreni.
2) Poiščite vrednost izraza +, kjer sta x1;x2 korena trinoma x²-18x+11=0.
3) Naj bodo x1;x2 korenine kvadratne enačbe x²-7x-46=0.
Napišite kvadratno enačbo, katere koreni so števila
2x1 +x2 in 2x2 +x1.
Odgovor: 9x2-21x-481=0
4) Pri kateri celoštevilski vrednosti k je eden od korenov enačbe
4x²-(3k+2)x+(k²-1)=0 trikrat manj kot drugi?
Odgovor: k=2.
5) Kakšna sta predznaka b in c za kvadratno enačbo ax2+bx+c=0, če je x1 0.
