Teorija redukcije kvadratne oblike na kanonično obliko, predstavljena v prejšnjem odstavku, je zgrajena po analogiji z geometrijsko teorijo centralnih krivulj drugega reda, vendar je ni mogoče šteti za posplošitev te zadnje teorije. Pravzaprav je v naši teoriji dovoljena uporaba kakršnih koli nedegeneriranih linearnih transformacij, medtem ko je krivulja drugega reda v kanonično obliko dosežena z zelo uporabo linearnih transformacij. posebna vrsta(2), ki so rotacije ravnine. to geometrijska teorija lahko pa posplošimo na primer kvadratnih oblik v neznankah z realnimi koeficienti, tako da zahtevamo, da je transformacijska matrika pravokotna. Ta transformacija se imenuje pravokoten in sam postopek redukcija kvadratnih oblik na glavne osi.

TEOREM. Vsak kvadratna oblika lahko spravimo v kanonično obliko z neko ortogonalno transformacijo.

DOKAZ. Na matriko kvadratne oblike bomo gledali kot na matriko nekaterih linearni operator v evklidskem prostoru. Če je matrika kvadratne oblike, potem je simetrična. če neke ortonormirane baze dimenzionalnega evklidskega prostora, potem matrika definira simetrični operator v tej bazi. Po glavnem izreku o simetričnih operatorjih v evklidskem prostoru bo v primerni ortonormirani bazi njegova matrika diagonalna. Naj bo matrika prehoda iz v , potem pa .

Toda matrika , kot matrika prehoda iz ene ortonormirane baze v drugo, bo po izreku 2 §1.6 pravokotna in zato . Zato . Tako se namreč transformira matrika kvadratne oblike, podvržena linearni transformaciji neznank z matriko .

Torej je transformacija neznank, ki imajo matriko, pravokotna in matrika, ki je diagonalna, ustreza kvadratni obliki kanonična oblika. □

Dejstvo, da je matrika linearnega operatorja v bazi sestavljena iz lastni vektorji, ima diagonalno obliko (z lastnimi vrednostmi vzdolž glavne diagonale), nam daje metodo za praktično iskanje kanonične oblike kvadratne oblike, pa tudi to samo pravokotna transformacija.

Primer 2. Poiščite ortogonalno transformacijo, ki reducira kvadratno obliko

kanoničnemu pogledu in napišite ta kanonični pogled.

rešitev. Matrika te oblike ima obliko

,

Poiščimo jo karakteristični polinom:

.

Tako ima matrika dvojni in preprosti koren. Zato bo kanonična oblika te kvadratne oblike

.

Poiščimo ortogonalno transformacijo, ki izvaja to redukcijo. Da bi to naredili, poiščemo lastne vektorje, ki ustrezajo najdenim lastnim vrednostim , tj. rešujemo sisteme linearnih homogene enačbe za vsakogar .

Ko imamo

.

Kje , tj. obstajata 2 neodvisni spremenljivki in temeljni niz rešitve bodo:

Če zanje uporabimo postopek ortogonalizacije, dobimo.

- Linearna algebra

Redukcija kvadratne oblike na glavne osi

Prej smo obravnavali problem zmanjšanja realnega

q(x)= \vsota_(n=1)^(n) \vsota_(j=1)^(n) a_(ij)x_ix_j=x^TAx

n spremenljivk za

\widetilde(q)(y)=\lambda_1y_1^2+ \lambda_2y_2^2+ \ldots+ \lambda_ny_n^2

z uporabo nedegenerirane linearne spremembe spremenljivk x=Sy. Za rešitev tega problema smo uporabili.

Razmislimo o drugem pristopu k rešitvi. Linearno nedegenerirano spremembo spremenljivk x=Sy z ortogonalno matriko S~(S^(-1)=S^T) bomo imenovali ortogonalna sprememba spremenljivk (ali pravokotna transformacija spremenljivk).

Formulirajmo problem redukcija kvadratne oblike na glavne osi: potrebno je najti ortogonalno spremembo spremenljivk x=Sy (S^(-1)=S^T), s čimer se kvadratna oblika (9.23) privede do kanonične oblike (9.24).

Za rešitev uporabimo naslednje geometrijski pomen naloge. Prešteli bomo spremenljivke x_1,x_2,\lpike,x_n koordinate vektorja \boldsymbol(x) n-dimenzionalnega evklidskega prostora \mathbb(E) v ortonormirani bazi (\boldsymbol(e))= (\boldsymbol(e)_1,\ldots,\boldsymbol(e)_n), in matrika A kvadratne oblike (9.23) je matrika nekaterih linearna transformacija \mathcal(A)\dvopičje \mathbb(E)\do \mathbb(E) na enaki podlagi. Poleg tega je ta transformacija samopridružena, saj je njena matrika simetrična: A^T=A. Kvadratno obliko (9.23) lahko predstavimo kot skalarni produkt

q(\boldsymbol(x))= \bigl\langle \mathcal(A)(\boldsymbol(x)), \boldsymbol(x)\bigr\rangle= \bigl\langle \boldsymbol(x), \mathcal(A )(\boldsymbol(x))\bigr\rangle.

Ortogonalna sprememba spremenljivk x=Sy ustreza prehodu iz ene ortonormirane baze v drugo. Naj bo S prehodna matrika iz ortonormirane baze (\boldsymbol(e)) v ortonormirano bazo (\boldsymbol(s))= (\boldsymbol(s)_1,\ldots,\boldsymbol(s)_n), tj. (\boldsymbol(s))= (\boldsymbol(e))S in S^(-1)=S^T. Potem so koordinate x vektorja \boldsymbol(x) v bazi (\boldsymbol(e)) in koordinate y istega vektorja v bazi (\boldsymbol(s)) povezane s formulo (8.11): x= Sy .

Tako lahko problem redukcije kvadratne oblike na glavne osi formuliramo takole: v prostoru \mathbb(E) je potrebno najti osnovo, v kateri ima samopridružena transformacijska matrika \mathcal(A) diagonalo oblika. Po izreku 9.10 je treba izbrati ortonormirano bazo izmed lastnih vektorjev samopridružene transformacije. V tem primeru se matrika prehoda S na kanonično bazo izkaže za pravokotno: S^T=S^(-1) .

Formulirajmo ta rezultat za kvadratno obliko.

Izrek (9.12) o redukciji kvadratne oblike na glavne osi

Realno kvadratno obliko (9.23) lahko reduciramo na kanonično obliko (9.24) z ortogonalno transformacijo spremenljivk x=Sy, kjer je - lastne vrednosti matrike A.

Posledica. Kvadratna oblika (9.23) je pozitivno določena (nenegativno določena), če in samo če so vse lastne vrednosti njene matrike pozitivne (nenegativne).

Opombe 9.10

1. Z linearno nedegenerirano zamenjavo spremenljiva matrika kvadratna oblika se spreminja po formuli (6.10): A"=S^TAS. Za pravokotna matrika S ta formula ima obliko A"=S^(-1)AS, ki sovpada s formulo (9.4) za spremembo matrike linearne transformacije pri spremembi baze.

2. Za iskanje kanonične oblike (9.24) je dovolj, da določimo vse korene \lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_m(med katerimi so lahko enake) (enačbe) \det(A-\lambda E)=0, kjer je E identitetna matrika.

3. Posledica izreka 9.12 se lahko uporabi za analizo predznaka kvadratne oblike:

– če so vse lastne vrednosti pozitivne (negativne), potem je kvadratna oblika pozitivno (negativno) določena;

– če so vse lastne vrednosti nenegativne (nepozitivne), potem je kvadratna oblika nenegativna (nepozitivna) dokončna;

– če obstajajo lastne vrednosti različnih predznakov, potem je kvadratna oblika nedoločena (izmenična).

4. Rezultati iz odstavka 3 pripomb se lahko uporabijo za preverjanje zadostnosti in potrebne pogoje drugega reda v problemu iskanja brezpogojnega ekstrema funkcij. Če želite to narediti, morate najti lastne vrednosti \lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_m \dfrac(d^2f(x))(dx^Tdx) v vsakem stacionarne točke x^(\ast) funkcije f(x)=f(x_1,\ldots,x_n).

Če so vse lastne vrednosti pozitivne: \lambda_i>0,~ i=1,\ldots,n, nato v točki x^(\ast) lokalni minimum;

– če so vse lastne vrednosti negativne: \lambda_i<0,~ i=1,\ldots,n , potem je v točki x^(\ast) lokalni maksimum;

– če so vse lastne vrednosti nenegativne: \lambda_i\geqslant0,~ i=1,\ldots,n, potem je lahko v točki x^(\ast) lokalni minimum;

– če so vse lastne vrednosti nepozitivne: \lambda_i\leqslant0,~ i=1,\ldots,n, potem je lahko v točki x^(\ast) lokalni maksimum;

– če lastne vrednosti \lambda_i,~ i=1,\ldots,n, različni predznaki, potem v točki x^(\ast) ni ekstremuma;

– če so vse lastne vrednosti nič: \lambda_i=0,~ i=1,\ldots,n, potem so potrebne dodatne raziskave.

5. Problem redukcije kvadratne oblike na glavne osi rešimo z algoritmom redukcije samopridružene transformacije na diagonalno obliko. V tem primeru se najdeta diagonalna oblika matrike kvadratne oblike in ortogonalna matrika S spremembe spremenljivk x=Sy, s čimer se kvadratna oblika privede do kanonične oblike (na glavne osi).

Primer 9.7. Določite predznak kvadratne oblike treh spremenljivk

q(x)= x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3+x_2^2+2x_2x_3+x_3^2

rešitev. Sestavimo matriko kvadratne oblike: A=\begin(pmatrix) 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end(pmatrix). V primeru 9.6 so bile ugotovljene lastne vrednosti te matrike: \lambda_(1,2)=0, \lambda_3=3. Vse lastne vrednosti so nenegativne, zato je kvadratna oblika nenegativno določena (glej točko 4 opomb 9.10).

Najdena je bila pravokotna matrika

S=\begin(pmatrix) \dfrac(\sqrt(2))(2)& \dfrac(\sqrt(6))(6)& \dfrac(\sqrt(3))(3)\\ 0&-\ dfrac(\sqrt(6))(3)& \dfrac(\sqrt(3))(3)\\ -\dfrac(\sqrt(2))(2)& \dfrac(\sqrt(6))( 6)& \dfrac(\sqrt(3))(3) \end(pmatrix)\!,

redukcija matrike A na diagonalno obliko \Lambda= \operatorname(diag) (0,0,3). Zapišemo zahtevano ortogonalno spremembo spremenljivk x=Sy:

x_1= \frac(\sqrt(2))(2)\,y_1+ \frac(\sqrt(6))(6)\,y_2+ \frac(\sqrt(3))(3)\,y_3;\quad x_2= -\frac(\sqrt(6))(3)\,y_2+ \frac(\sqrt(3))(3)\,y_3;\quad x_3= -\frac(\sqrt(2))(2 )\,y_1+ \frac(\sqrt(6))(6)\,y_2+ \frac(\sqrt(3))(3)\,y_3.

in kvadratna oblika v kanonični obliki: \widetilde(q)(y)= 3y_3^2.

Primer 9.8. Poiščite lokalne ekstremne točke funkcije dveh spremenljivk z uporabo matrik

f(x)=3x_1^5+x_1^4-5x_1^3-2x_1^2x_2+x_2^2.

rešitev. V koraku 1 je bil najden gradient funkcije in iz nujnega pogoja za ekstrem prvega reda tri stacionarne točke:

x^0= \begin(pmatrix)0&0 \end(pmatrix)^T,\qquad x^1=\begin(pmatrix) 1&1 \end(pmatrix)^T,\qquad x^2=\begin(pmatrix) - 1&1\konec(pmatrika)^T.

\frac(df(x))(dx^Tdx)= \begin(pmatrix) 60x_1^3+12x_1^2-30x_1-4x_2&-4x_1\\-4x_1&2 \end(pmatrix)\!.

Poiščimo lastne vrednosti Hessove matrike na vsaki stacionarni točki:

\frac(df(x^0))(dx^Tdx)= \begin(pmatrix)0&0\\ 0&2 \end(pmatrix)\!;\quad \frac(df(x^1))(dx^Tdx ) = \begin(pmatrix)38&-4\\ -4&2 \end(pmatrix)\!,\quad \frac(df(x^2))(dx^Tdx)= \begin(pmatrix) -22&4\\4&2\ konec (pmatrika)

Na točki x^0=\begin(pmatrix)0\\0 \end(pmatrix) Hessova matrika ima obliko \begin(pmatrix) 0&0\\ 0&2\end(pmatrix). Iz enačbe \begin(vmatrix) -\lambda&0\\ 0&2-\lambda\end(vmatrix)=0 najdemo \lambda_1=0, \lambda_2=2 . Ker so vse lastne vrednosti nenegativne, lahko obstaja lokalni minimum na točki x^0 in za končni sklep so potrebne dodatne raziskave (glej primer 6.13).

Na točki x^1=\begin(pmatrix)1\\1 \end(pmatrix) Hessova matrika ima obliko \begin(pmatrix) 38&-4\\ -4&2 \end(pmatrix). Iz enačbe \begin(vmatrix) 38-\lambda&-4\\ -4&2-\lambda\end(vmatrix)=0, oz \lambda^2-40 \lambda+60=0 dobimo \lambda_(1,2)= 20\pm2\sqrt(85). Ker so vse lastne vrednosti pozitivne, je v točki x^1 lokalni minimum funkcije.

Na točki x^2=\začetek(pmatrika)-1\\1 \konec(pmatrika) Hessova matrika ima obliko \begin(pmatrix) -22&4\\ 4&2 \end(pmatrix). Iz enačbe \begin(vmatrix) -22-\lambda&4\\ 4&2-\lambda\end(vmatrix)=0, oz \lambda^2+40 \lambda-60=0 dobimo \lambda_(1,2)=-10\pm4\sqrt(10). Ker imajo lastne vrednosti različne predznake, v točki x^2 ni ekstrema.

Razmislite o poljubni realni kvadratni obliki

Njegova koeficientna matrika je realno simetrična. Zato (glej poglavje IX, § 13) je ortogonalno podobna neki realni diagonalni matriki, tj. obstaja realna pravokotna matrika, taka da je

Tukaj so značilne številke matrike.

Ker za ortogonalno matriko iz (41) sledi oblika pri ortogonalni transformaciji spremenljivk

ali v podrobnejši objavi

(42")

gre v formo

. (43)

Izrek 7. Realno kvadratno obliko lahko vedno reduciramo na kanonično obliko (43) z ortogonalno transformacijo; v tem primeru so karakteristična števila matrike.

Redukcija kvadratne oblike z ortogonalno transformacijo na kanonično obliko (43) se imenuje redukcija na glavne osi. To ime je posledica dejstva, da enačba centralne hiperpovršine drugega reda,

, (44)

z ortogonalno transformacijo spremenljivk (42) dobi kanonično obliko

. (45)

Če jih obravnavamo kot koordinate v neki ortonormirani bazi -dimenzionalnega evklidskega prostora, potem bodo to koordinate v novi ortonormirani bazi istega prostora, "rotacija" osi pa se izvaja z ortogonalno transformacijo (42). Nove koordinatne osi so simetrične osi središčne ploskve (44) in jih običajno imenujemo glavne osi te ploskve.

Iz formule (43) sledi, da je rang obrazca enak številu neničelnih karakterističnih števil matrike, signatura pa je enaka razliki med številom pozitivnih in negativnih karakterističnih števil matrike. matrica.

Od tod izhaja zlasti naslednji predlog:

Če pri zvezni spremembi koeficientov kvadratne oblike njen rang ostane nespremenjen, potem pri tej spremembi koeficientov ostane nespremenjena tudi njena signatura.

V tem primeru izhajamo iz dejstva, da stalna sprememba koeficientov povzroči stalno spremembo značilnih števil. Signatura se lahko spremeni le, ko neka značilna številka spremeni predznak. Toda v nekem vmesnem trenutku bo zadevno karakteristično število prešlo na nič, kar potegne za seboj spremembo ranga oblike.. (48)