Neposredna inverzna diskretna Fourierjeva transformacija. Diskretna Fourierjeva transformacija

To je ena od Fourierjevih transformacij, ki se pogosto uporablja v algoritmih za digitalno obdelavo signalov (njene modifikacije se uporabljajo pri stiskanju zvoka v MP3, stiskanju slike v JPEG itd.), pa tudi na drugih področjih, povezanih z analizo frekvenc v diskretnih (za na primer digitaliziran analogni signal. Diskretna pretvorba Fourier zahteva kot vhod diskretna funkcija. Takšne funkcije so pogosto ustvarjene z vzorčenjem (vzorčenje vrednosti iz zvezne funkcije). Diskretne Fourierjeve transformacije pomagajo rešiti delno diferencialne enačbe in izvajajo operacije, kot je zvijanje. Diskretne Fourierjeve transformacije se aktivno uporabljajo tudi v statistiki, pri analizi časovnih vrst. Transformacije so lahko enodimenzionalne, dvodimenzionalne in celo tridimenzionalne.

Neposredna pretvorba:

Povratna pretvorba:

Oznake:

§ n- število vrednosti signala, izmerjenih v obdobju, kot tudi število komponent razgradnje;

§ - izmerjene vrednosti signala (v diskretnih časovnih točkah s številkami, ki so vhodni podatki za neposredno pretvorbo in izhodni podatki za povratno pretvorbo;

§ - n kompleksne amplitude sinusnih signalov, ki sestavljajo izvirni signal; so izhodni podatki za direktno pretvorbo in vhodni podatki za obratno pretvorbo; ker so amplitude kompleksne, je mogoče iz njih izračunati tako amplitudo kot fazo;

§ je običajna (realna) amplituda k-tega sinusnega signala;

§ arg( Xk) - faza k-tega sinusnega signala (argument kompleksnega števila);

§ k- frekvenca k-tega signala, enaka , kjer je T- časovno obdobje, v katerem so bili vneseni podatki.

Iz slednjega je razvidno, da transformacija razgradi signal na sinusne komponente (ki jih imenujemo harmoniki) s frekvencami od N nihajev na periodo do enega nihanja na periodo. Ker je sama frekvenca vzorčenja enaka N vzorcev na periodo, visokofrekvenčnih komponent ni mogoče pravilno prikazati - pojavi se učinek moiré. To vodi do dejstva, da je druga polovica N kompleksnih amplitud pravzaprav zrcalna slika prve in ne nosi dodatnih informacij.

Razmislite o periodičnem signalu x(t) s periodo, enako T. Razširimo jo v Fourierjev niz:

Vzorčimo signal tako, da je N vzorcev na periodo. Predstavimo diskretni signal v obliki vzorcev: x n = x(tn), kjer , potem bodo ti odčitki skozi Fourierjev niz zapisani kot sledi:

Z uporabo relacije: , dobimo:

Kje

Torej smo dobili inverzna diskretna Fourierjeva transformacija.

Zdaj skalarno pomnožimo izraz za x n naprej in dobimo:

Pri tem uporabimo: a) izraz za vsoto končno številočlani (razstavljavec) geometrijsko napredovanje, in b) izraz Kroneckerjevega simbola kot meje razmerja Eulerjevih funkcij za kompleksna števila. Sledi, da:

Ta formula opisuje direktna diskretna Fourierjeva transformacija.

V literaturi je običajno, da se množitelj zapiše v inverzni transformaciji, zato so transformacijske formule običajno zapisane v naslednji obliki:

Diskretna Fourierjeva transformacija je linearna transformacija, ki pretvori vektor časovnih vzorcev v vektor spektralnih vzorcev enake dolžine. Tako lahko transformacijo izvedemo kot množenje kvadratna matrika v vektor:

Podana je programska koda za direktno in inverzno Fourierjevo transformacijo. Upoštevana je hitra Fourierjeva transformacija.

Diskretna Fourierjeva transformacija (DFT) je močno orodje analiza, ki se pogosto uporablja na področju digitalne obdelave signalov (DSP). Obstajata direktna in inverzna Fourierjeva transformacija. Neposredna diskretna Fourierjeva transformacija pretvori signal iz časovne domene v frekvenčno domeno in se uporablja za analizo frekvenčnega spektra signala. Inverzna transformacija naredi ravno nasprotno: z frekvenčni spekter signal rekonstruira signal v časovni domeni.

Za izračun Fourierove transformacije se običajno uporablja postopek pospešenega izračuna - t.i. hitro Fourierjevo transformacijo (FFT). To vam omogoča znatno zmanjšanje časa procesorja za dokaj zapletene in intenzivne matematične izračune.

1 Kompleksnoštevilke

Najprej potrebujemo pomožni razred, ki bo opisoval kompleksna števila. Kompleksna števila so posebna vrstaštevila v matematiki. Vsako kompleksno število je sestavljeno iz dveh delov - realnega in imaginarnega. Zdaj je dovolj, da vemo o kompleksnih številih v povezavi z DFT, da realni del kompleksnega števila hrani informacijo o amplitudi signala, imaginarni del pa informacijo o fazi.

Koda razreda za opisovanje kompleksnih števil(obrne se) """

""" Kompleksno število. """

Javni razred ComplexNumber """

""" Realni del kompleksnega števila. """

Javno resnično kot dvojno = 0 """

""" Imaginarni del kompleksnega števila. """

Public Imaginary As Double = 0 Public Sub New() Real = 0 Imaginary = 0 End Sub """

""" Ustvari kompleksno število. """

""" Realni del kompleksnega števila. """ Imaginarni del kompleksnega števila. Public Sub New(ByVal r As Double, Optional ByVal im As Double = 0) Real = r Imaginary = im End Sub Private usCult As New Globalization.CultureInfo("en-US") "uporabljamo kulturo "en-US", tako da da so bili celi in ulomki ločeni s piko, ne z vejico """

""" Vrne niz, sestavljen iz realnega in namišljenega dela, ločenih z znakom tabulator. """

Javno preglasi funkcijo ToString() kot vrnitev niza (Real.ToString(usCult) & ControlChars.Tab & Imaginary.ToString(usCult)) Končna funkcija Končni razred

2 Direktno diskretno hitro Fourierjeva transformacija

Niz kompleksnih števil se posreduje vhodu funkcije. Katerih realni del predstavlja poljuben diskretni signal z vzorci v rednih intervalih. Imaginarni del vsebuje ničle. Število vzorcev v signalu mora biti enako potenci dvojke. Če je vaš signal krajši, ga dopolnite z ničlami do večkratnika 2: 256, 512, 1024 itd. Daljši kot je signal, večja je frekvenčna ločljivost izračunanega spektra.

Koda za izračun direktne hitre Fourierove transformacije v VB.NET(obrne se) """

""" Izračuna spekter signala z uporabo metode hitre Fourierove transformacije. Uporabi samo (N/2+1) vrnjene vrednosti (do polovice hitrosti vzorčenja). """

""" Signal, ki vsebuje število vzorcev, ki je večkratnik potence števila dva in je sestavljen iz realnega in imaginarnega dela. Vsi imaginarni deli signala so zapolnjeni z ničlami. """ Vrne niz kompleksnih spektralnih števil. """ Samo prvi N/2+1 so pomembni, ostali so simetrični del, ki ustreza negativnim frekvencam. """ Prva vrednost spektra je konstantna komponenta, zadnja ustreza polovici frekvence vzorčenja (Nyquist pogostost). """ Vrednosti nad polovico frekvence vzorčenja - ne uporabite. """ Javna skupna funkcija FFT(ByVal signal As ComplexNumber()) As ComplexNumber() Dim order As Integer = signal.Length "DFT order CheckFftOrder(order) "Preverite, ali je vrstni red enako moči twos Dim spectrumLen As Integer = order \ 2 Dim j As Integer = spectrumLen "Bit-reverse sort: For i As Integer = 1 To order - 2 If (i< j) Then Dim tmpRe As Double = signal(j).Real Dim tmpIm As Double = signal(j).Imaginary signal(j).Real = signal(i).Real signal(j).Imaginary = signal(i).Imaginary signal(i).Real = tmpRe signal(i).Imaginary = tmpIm End If Dim k As Integer = spectrumLen Do Until (k >j) j -= k k \= 2 Zanka j += k Naprej "Zanka skozi stopnje razširitve: Za raven As Integer = 1 To CInt(Math.Log(order) / Math.Log(2)) Dim lvl As Integer = CInt (2 ^ raven) Dim lvl2 As Integer = lvl \ 2 Dim tmp As Double = Math.PI / lvl2 Dim sr As Double = Math.Cos(tmp) Dim si As Double = -Math.Sin(tmp) Dim tr As Double = 0 Dim ur As Double = 1 Dim ui As Double = 0 For jj As Integer = 1 To lvl2 "Križaj skozi spektre znotraj nivoja For i As Integer = (jj - 1) To (order - 1) Step lvl "Klori skozi posamezni "metulji" Dim ip As Integer = i + lvl2 tr = signal(ip).Real * ur - signal(ip).Imaginary * ui "Butterfly operation" Dim ti As Double = signal(ip).Real * ui + signal (ip).Imaginarni * ur signal(ip).Realni = signal(i).Realni - tr signal(ip).Imaginarni = signal(i).Imaginarni - ti signal(i).Realni = signal(i).Realni + tr signal(i).Imaginarni = signal(i).Imaginarni + ti Naslednji tr = ur ur = tr * sr - ui * si ui = tr * si + ui * sr Naslednji Naslednji "Izpolnite matriko obdelanih kompleksnih števil s FFT: Dim spectrum(order - 1) Kot ComplexNumber For i As Integer = 0 To order - 1 With signal(i) spectrum(i) = New ComplexNumber(.Real, .Imaginary) End With Next Return spectrum Končna funkcija

3 Inverzno diskretno hitro Fourierjeva transformacija

Inverzna diskretna Fourierjeva transformacija (IDFT), ena od faz izračuna, vključuje neposredno DFT na nizu kompleksnih števil, kjer je imaginarni del inverzija glede na os X imaginarnega dela spektra.

Koda za izračun inverzne hitre Fourierove transformacije v VB.NET(obrne se) """

""" Obnovi signal iz njegovega spektra z uporabo metode obratne hitre Fourierove transformacije. """

""" Spekter signala, ki vsebuje število vzorcev, ki je večkratnik potence dva in je sestavljen iz realnega in imaginarnega dela. Javna skupna funkcija InverseFFT(ByVal spectrum As ComplexNumber()) As ComplexNumber() Dim order As Integer = spectrum.Length "Inverzni DFT order. CheckFftOrder(order) "Spreminjanje aritmetičnega predznaka elementov imaginarnega dela: For i As Integer = 0 Na spekter. Dolžina - 1 spekter(i).Imaginarni = -spektr(i).Imaginarni Naslednji "Neposredni izračun FFT: Dim directFFT As ComplexNumber() = FFT(spekter) "Deljenje po vrstnem redu v časovni domeni s spreminjanjem aritmetični znak imaginarnega dela: Dim signal (directFFT.Length - 1) As ComplexNumber For i As Integer = 0 To directFFT.Length - 1 Dim ReX As Double = directFFT(i).Real / order Dim ImX As Double = -directFFT (i). Imaginarni / vrstni signal (i) = Novo kompleksno število (ReX, ImX) Naslednji povratni signal Končna funkcija

In seveda bomo opisali uporabljeno metodo, ki preverja število elementov posredovane matrike:

"""

""" Preveri, ali je vrstni red FFT potenca dvojke, in če ni, vrže izjemo. """

""" vrstni red FFT. Private Shared Sub CheckFftOrder(ByVal order As Integer) Dim chk As Double = Math.Abs(Math.Floor(Math.Log(order, 2)) - Math.Log(order, 2)) If (chk > 0,0001) Then Throw New ArgumentException(String.Format("Dolžina matrike ((0)) ni potenca dvojke.", order)) End If End Sub

4 Preverjanje naprej in nazaj Fourierjeva transformacija

Zdaj pa preverimo, ali naše funkcije delujejo. Da bi to naredili, spustimo poljuben signal skozi mehanizem neposredne Fourierjeve transformacije in ga nato "sestavimo" nazaj z inverzno Fourierjevo transformacijo. Rekonstruirani signal bi moral praktično sovpadati z originalnim. Napake pri zaokroževanju, ki se pojavljajo pri delu s številkami na računalniku, se sicer pojavljajo, zato signala ne bosta popolnoma enaka, vendar mora biti njuno odstopanje med seboj zanemarljivo.

Na primer, vzemimo sinusno funkcijo kot izvorni signal in ustvarimo podatke z dolžino 128 vzorcev, kot je ta:

Dim cn(127) Kot kompleksno število za i kot celo število = 0 v cn.Dolžina - 1 cn(i) = novo kompleksno število(Math.Sin(i * 3 * Math.PI / 180)) Naprej

Dobimo ta signal:

Tu je os X število vzorcev v časovni domeni, os Y pa amplituda. Upoštevajte, da je signal sestavljen samo iz realnih delov, imaginarni del v celotnem segmentu pa je enak "0".

Zdaj pa posredujmo ta signal na vhod funkcije FFT(). Z uporabo nizov kompleksnih števil, pridobljenih med direktno Fourierjevo transformacijo, bomo zgradili dva grafa - realni (Re) in imaginarni (Im) del spektra:

Tukaj vzdolž osi X so odčitki v frekvenčna domena, vzdolž osi Y - amplituda. Za pridobitev dejanskih vrednosti frekvence jih je treba izračunati, pri čemer je treba upoštevati, da "0" osi Y ustreza ničelni frekvenci, maksimum osi Y ustreza frekvenci vzorčenja.

Nastali spekter signala bomo prenesli v inverzno Fourierjevo transformacijsko funkcijo IFFT(). Dobimo niz kompleksnih števil, kjer bo realni del vseboval rekonstruiran signal:

Kot lahko vidite, rekonstruirani signal popolnoma ponavlja izvirnega.

Priročno je analizirati veliko signalov tako, da jih razgradimo na sinusoide (harmonike). Razlogov za to je več. Na podoben način na primer deluje človeško uho. Zvok razgradi na posamezne tresljaje različnih frekvenc. Poleg tega je mogoče dokazati, da so sinusoide " lastne funkcije"linearni sistemi (ker prehajajo skozi linearni sistemi, brez spreminjanja oblike, ampak lahko spremeni le fazo in amplitudo). Drugi razlog je, da je Kotelnikov izrek formuliran v smislu spektra signala.

Fourierjeva transformacija je razgradnja funkcij na sinusoide (v nadaljevanju kosinusne funkcije imenujemo tudi sinusoide, saj se od “pravih” sinusoidov razlikujejo le po fazi). Obstaja več vrst Fourierove transformacije.

1. Neperiodično neprekinjen signal lahko razširimo v Fourierjev integral.

2. Periodični zvezni signal je mogoče razširiti v neskončno Fourierjevo vrsto.

3. Neperiodični diskretni signal je mogoče razširiti v Fourierjev integral.

4. Periodični diskretni signal je mogoče razširiti v končno Fourierjevo vrsto.

Računalnik lahko dela le z omejeno količino podatkov, zato lahko v resnici izračuna le zadnjo vrsto Fourierove transformacije. Oglejmo si ga pobližje.

Kompleksni DFT

Doslej smo obravnavali DFT iz resničnih signalov. Posplošimo zdaj DFT na primer kompleksnih signalov. Naj bo x[n], n=0,…,N-1 - izvirni kompleksni signal, sestavljen iz N kompleksnih števil. Označimo X[k], k=0,…N-1 - njegov kompleksni spekter, prav tako sestavljen iz N kompleksnih števil. Nato sledijo naslednje formule za neposredno in inverzne transformacije Fourier:

Če realni signal razgradimo v spekter s temi formulami, potem bodo prvi N/2+1 kompleksni koeficienti spektra sovpadali s spektrom »običajnega« realnega DFT, predstavljenega v »kompleksni« obliki, preostali koeficienti pa bo njihov simetrični odboj glede na polovico frekvence vzorčenja. Pri kosinusnih koeficientih je odboj sod, pri sinusnih pa lih.

2D DFT

Za slike, ki so dvodimenzionalni signal, je spekter tudi dvodimenzionalen signal. Bazične funkcije Fourierjeve transformacije imajo obliko:

Poleg tega so lahko faze tudi različne. Na sliki vsaka od teh baznih funkcij predstavlja val določene frekvence, določene orientacije in določene faze.

Tu je N 1 x N 2 velikost izvirnega signala, ki je tudi velikost spektra. k 1 in k 2 sta števili baznih funkcij (števili koeficientov dvodimenzionalnega DFT, pri katerih so te funkcije najdene). Od velikosti spektra enako velikosti izvorni signal, potem k 1 = 0,…,N 1 -1; k 2 = 0,…,N 2 -1.

n 1 in n 2 sta spremenljiva argumenta baznih funkcij. Ker domena definicije baznih funkcij sovpada z domeno definicije signala, potem je n 1 = 0,...,N 1 -1; n 2 = 0,…,N 2 -1.

2D DFT (in kompleksna oblika) je določen naslednje formule(tukaj je x izvirni signal in X njegov spekter):

Neposredni izračun dvodimenzionalnega DFT z uporabo zgornjih formul zahteva ogromne računske stroške. Vendar pa je mogoče dokazati, da ima dvodimenzionalni DFT lastnost ločljivosti, tj. lahko se zaporedno izračuna iz dveh dimenzij.

Za izračun dvodimenzionalne DFT je dovolj, da izračunate enodimenzionalne kompleksne DFT vseh vrstic slike in nato izračunate enodimenzionalne kompleksne DFT vseh stolpcev na dobljeni "sliki".

V tem primeru je treba rezultate vseh enodimenzionalnih kompleksnih DFT zapisati namesto izvirnih podatkov za te DFT. Na primer, ko izračunavate enodimenzionalni DFT prve vrstice slike, morate rezultat DFT zapisati v prvo vrstico te slike (ima enako velikost). Če želite to narediti, morate vsako "piksel" shraniti kot kompleksno število.

torej učinkovit algoritem Izračun DFT slike je sestavljen iz izračuna enodimenzionalnih FFT najprej iz vseh vrstic in nato iz vseh stolpcev slike.

Pustiti f(x 1 , x 2) – funkcija dveh spremenljivk. Po analogiji z enodimenzionalno Fourierjevo transformacijo lahko uvedemo dvodimenzionalno Fourierjevo transformacijo:

Funkcija za fiksne vrednosti ω 1, ω 2 opisuje ravninski val v letalu x 1 , x 2 (slika 19.1).

Količine ω 1, ω 2 imata pomen prostorskih frekvenc in dimenzij mm−1, funkcija F(ω 1, ω 2) pa določa spekter prostorskih frekvenc. Sferična leča je sposobna izračunati spekter optičnega signala (slika 19.2). Na sliki 19.2 so uvedeni naslednji zapisi: φ - Goriščna razdalja,

Slika 19.1 - Za določitev prostorskih frekvenc

Dvodimenzionalna Fourierjeva transformacija ima vse lastnosti enodimenzionalne transformacije, poleg tega pa opazimo še dve dodatni lastnosti, katerih dokaz zlahka sledi iz definicije dvodimenzionalne Fourierjeve transformacije.

Slika 19.2 – Izračun spektra optičnega signala z uporabo
sferična leča

Faktorizacija. Če je dvodimenzionalni signal faktoriziran,

potem je njegov spekter tudi faktoriziran:

Radialna simetrija . Če je dvodimenzionalni signal radialno simetričen, tj

Kje je Besselova funkcija ničelnega reda. Formula, ki definira razmerje med radialno simetričnim dvodimenzionalnim signalom in njegovim prostorskim spektrom, se imenuje Hanklova transformacija.

PREDAVANJE 20. Diskretna Fourierjeva transformacija. Nizkoprepustni filter

Neposredna dvodimenzionalna diskretna Fourierjeva transformacija (DFT) transformira sliko, ki ima prostorsko koordinatni sistem (x, y), v dvodimenzionalno diskretno transformacijo slike, podano v frekvenčnem koordinatnem sistemu ( u,v):

Inverzna diskretna Fourierjeva transformacija (IDFT) ima obliko:

Vidi se, da je DFT kompleksna preobrazba. Modul te transformacije predstavlja amplitudo spektra slike in se izračuna kot kvadratni koren vsote kvadratov realnega in imaginarnega dela DFT. Faza (kot faznega premika) je opredeljena kot arktangens razmerja med imaginarnim delom DFT in realnim delom. Energijski spekter enako kvadratu amplituda spektra ali vsota kvadratov imaginarnega in realnega dela spektra.

Konvolucijski izrek

V skladu s konvolucijskim izrekom lahko konvolucijo dveh funkcij v prostorski domeni dobimo z ODFT produkta njunega DFT, tj.

Filtriranje v frekvenčni domeni vam omogoča, da uporabite DFT slike za izbiro frekvenčnega odziva filtra, ki zagotavlja potrebno transformacijo slike. Oglejmo si frekvenčne značilnosti najpogostejših filtrov.

V radijski tehniki se pogosto uporablja koncept konvolucije dveh signalov. Na primer, signal na izhodu štiriportnega omrežja je mogoče najti s konvolucijo vhodnega signala in impulznega odziva štiriportnega omrežja. Ker smo obravnavali diskretne in digitalne signale, definiramo pojem konvolucija za diskretni signali , oz diskretna konvolucija.

Naj bo diskreten signal x D (t), ki jo sestavljajo nšteje x k, in diskretni signal y d (G), sestavljen iz nšteje u k, Potem diskretna konvolucija ta dva signala imenujemo signal zA(t), za katerega

Diskretni signali so postali razširjeni pri ustvarjanju sistemov impulzne modulacije.

V najpreprostejšem primeru je naprava za vzorčenje zaprta kaskada (ključ), ki se za nekaj časa odpre. t in z obdobjem A (slika 4.7).

riž. 4.

Interval vzorčenja A je lahko konstanten (enotno vzorčenje) ali spremenljiv (prilagodljivo vzorčenje). Najpogostejša oblika diskretizacije je uniformna, ki temelji na Kotelnikovem izreku.

Impulzni modulator - To je naprava z dvema vhodoma, od katerih je eden priložen analogni signal, drugi pa sprejema kratke sinhronizacijske impulze s periodo ponavljanja A. V tem primeru se v trenutku prihoda sinhronizacijskega impulza izmeri trenutna vrednost signala hp(g). Na izhodu modulatorja se pojavi zaporedje impulzov, od katerih ima vsak površino sorazmerno z ustrezno referenčno vrednostjo analognega signala (slika 4.7).

Signal Hmpn ( t) na izhodu impulznega modulatorja se pokliče modulirano impulzno zaporedje(MIP). Matematično je MIP zapisan na naslednji način:

A MIP spektralna gostota izraženo skozi spektralna gostota analogni signal, kot sledi:

Model diskretnega signala predpostavlja, da je mogoče vzorčne vrednosti analognega signala pridobiti na neomejenem številu točk na časovni osi. V praksi se obdelava vedno izvaja v končnem časovnem intervalu.

Oglejmo si značilnosti spektralne predstavitve diskretnega signala, definiranega na intervalu z lastnimi odčitki x 0 ,x x ,...,x N _ x . Polna številkašteje N - T/ A.

Tehnika preučevanja takšnih diskretnih signalov je, da se dobljeni vzorec referenčnih vrednosti mentalno ponavlja neskončno število enkrat. Zaradi tega signal postane periodičen (slika 4.8).

Z ujemanjem takega signala matematični model, lahko uporabite razširitev v Fourierjev niz in poiščete ustrezne koeficiente amplitude. Kombinacija teh koeficientov tvori spekter diskretnega periodičnega signala.

riž. 4.8.

Zapišimo model omejenega periodičnega signala v obliki zaporedja delta impulzov:

Razširimo signal Xmip (0) v Fourierjev niz:

Je to sprememba spremenljivk? = f / A. Končno dobimo

Ta formula določa zaporedje tvorjenja koeficientov diskretna Fourierjeva transformacija (DFT) obravnavanega signala.

DFT ima naslednje lastnosti:

1. DFT je linearna transformacija, tj z k = a x k + /? u k, to

C "Z P ~ ^ C X p R Su str .

2. Število različnih koeficientov Cq,Ci,...,C n _i je enako številu nšteje za obdobje, z n = n koeficient C N= C 0 .

3. C 0 je povprečna vrednost vseh odčitkov C 0 = - ^x Za.

N do=o

4. Če je N- sodo število, To Z N = -^(-1) k x k.
7 ^ ?=o
5. Če odčitki x k - realna števila in n je sodo število, torej C N = C* N, / = 0; L/7 2 -1.
-+i - -jaz
6. Če y k =x k+m, m = l;JV-l,TO C, t =C, * e ~ j2rrkm,N .
2 tf-l
7. Če z k= -> T0 C z k =C X k C y k

iy/i=0

DFT se uporablja za izračun spektrov funkcij, določenih s tabelami ali grafi, obdelavo eksperimentalnih podatkov, iskanje signala na izhodu diskretnega filtra itd.

Če temelji na branjih x 0 ,x l ,...,x N _ l Koeficienti DFT se najdejo za nek signal C 0 ,Ci,... 9 C n/2 , potem lahko z njihovo uporabo rekonstruirate analogni signal z omejenim spektrom x(t). Fourierjeva vrsta takega signala ima obliko (za sodo N)

kjer |Q| - modul DFT koeficientov; =arg - fazni kot (argument)

DFT koeficienti. Prva harmonska frekvenca: f= -/ v = - = -/i- liho n zadnji člen v formuli (4.17) je enak:

Za izračun diskretnih vzorcev x k Na podlagi razpoložljivih koeficientov DFT je naslednja formula:

Ta formula se imenuje inverzna diskretna Fourierjeva transformacija (IDFT).