1. Osnovni koncepti teorije polja

Teorija polja je osnova številnih konceptov moderna fizika, mehanika, matematika. Njeni glavni koncepti so gradient, tok, potencial, rotor, divergenca, cirkulacija itd. Ti koncepti so pomembni tudi pri obvladovanju osnovnih idej matematična analiza funkcije mnogih spremenljivk.

Polje je območje G prostora, v vsaki točki katerega je določena vrednost določene količine.

IN telesne težave Običajno obstajata dve vrsti količin: skalarji in vektorji. V skladu s tem se obravnavata dve vrsti polj.

Če je vsaki točki M tega območja pridruženo določeno število U(M), pravijo, da je v

območju je podano (definirano) skalarno polje. Primeri skalarnih polj so temperaturno polje znotraj nekega segretega telesa (v vsaki točki M tega telesa je podana ustrezna temperatura U (M), polje

osvetlitev, ki jo ustvari kateri koli vir svetlobe. Naj bo sistem fiksiran v prostoru

koordinate točke M v tem koordinatnem sistemu. Vrednosti funkcijeU(x,y,z) sovpadajo z vrednostmi poljaU(M),

zato se zanj ohrani enak simbol.

Če je vsaka točka M tega območja povezana z določenim vektorjem (M), to pravijo

podano je vektorsko polje. En primer vektorskih polj je polje hitrosti stacionarnega toka tekočine. Definirano je takole: naj bo območje G napolnjeno s tekočino, ki teče v vsaki točki z

neka hitrost v, neodvisna od časa (vendar

drugačen, na splošno gledano, v različne točke); Če vsaki točki M iz G pripišemo vektor v (M), dobimo vektorsko polje, ki ga imenujemo polje hitrosti.

Če je a(M) neko vektorsko polje v

prostora, nato pa vzamemo fiksni pravokotni kartezični koordinatni sistem v tem prostoru, lahko

predstavi a(M) kot urejeno trojko skalarja

funkcije: a (M) = (P (x,y,z),Q (x,y,z),R (x,y,z)). te

Če funkcija U (M) (ali a (M)) ni odvisna od

čas, potem se skalarno (vektorsko) polje imenuje stacionarno; polje, ki se s časom spreminja, imenujemo nestacionarno. Spodaj bomo obravnavali le stacionarna polja.

2. Osnovne značilnosti skalarnih in vektorskih polj

Vektor, katerega koordinate so vrednosti parcialnih odvodov funkcije U (x,y,z) v točki

M (x , y , z ) imenujemo gradient funkcije in označuje

gradU (x,y,z), tj.
	∂U(M)	∂U(M)	∂U(M)
gradU (x,y,z) =	∂U(M)	∂U(M)	∂U(M)
	∂x	∂y	∂z

Znano je, da gradient določa smer najhitrejšega naraščanja funkcije U (x,y,z) v točki M. Pravijo, da skalarno polje U generira

vektorsko gradientno polje U.

Gradientna linija imenujemo skalarno polje U(M).

vsaka krivulja, katere tangenta v vsaki točki je usmerjena vzdolž gradU v tej točki.

Tako so črte gradienta polja tiste črte, vzdolž katerih se polje najhitreje spreminja.

Za oblikovanje druge lastnosti gradienta se spomnimo definicije ravne površine.

Ravna površina funkcije (polja)U =U (x,y,z)

je površina, na kateri se ohranja funkcija (polje). konstantna vrednost. Enačba ravninske površine ima obliko U (x,y,z) =C.

Tako je na vsaki točki polja gradient usmerjen vzdolž normale na ravno površino, ki poteka skozi to točko.

Pretok Π vektorsko polje a = (P,Q,R) prek

površina σ imenujemo površinski integral

∫∫ (P cosα + Q cosβ + R cosγ )dS

ali na kratko ∫∫ a n dS, kjer je skozi n = (cosα, cosβ, cosγ)

določeno enotski vektor normala na površino σ, ki določa njeno stran.

Divergenca vektorskega polja a (M) v
		a ns
imenovana meja

	v→ 0
območje Ω G, ki vsebuje		točka M in σ
območje Ω, ki ga označujemo z diva(M).
Če zasebno	odvod		∂P,	∂Q,	∂R
			∂x	∂y	∂z

so torej neprekinjene

∂P+

∂Q+

∂R.

div a(M) =

∂x

∂y

∂z

Rotor (ali vrtinec) vektorskega polja a = (P,Q,R)

kliče se naslednji vektor

∂R

∂Q

∂P

∂R

∂Q

∂P

gnitje a

∂y

∂z

∂x

∂y

V obliki je priročno zapisati zvit vektorskega polja

simbolna determinanta

gnitje a =

∂x

∂y

∂z

kjer je pod množenjem enega od simbolov

∂x

∂z

∂y

nekaj

se razume

izvedba

primerno

operacije

diferenciacija

(Na primer,

Q pomeni

∂Q

∂x

Naj bo L zaprta krivulja v domeni Ω. Integral

∫ P dx+ Q dy+ R dz

imenovano poljsko kroženje a = (P,Q,R)

vzdolž krivulje L in

označen z

∫ a d r,

d r = (dx, dy, dz) .

3. Formule Stokes in Ostrogradsky-Gauss

Označimo z L določeno zaprto konturo, σ pa površino, ki jo ta kontura zajema.

Predpostavimo, da je izbira smeri na konturi skladna z izbiro strani ploskve (pri prehodu konture v izbrani smeri je izbrana stran na levi strani).

Stokesova formula pravi, da je kroženje vektorskega polja vzdolž določene konture enako toku rotorja vektorskega polja skozi površino, raztegnjeno čez to konturo.

Naj bo zdaj Ω nekaj zaprtega omejeno območje, aσ je meja tega območja. Potem je pošteno

σ Ω

Spomnimo se, da je površinski integral na levi strani formule (5) vzet v skladu z zunaj površina σ.

Formula Ostrogradsky-Gauss to pomeni trojni integral nad območjem od divergence vektorskega polja enak pretoku tega polja skozi površino, ki omejuje to območje.

4. Hamiltonov operator. Nekatere vrste skalarnih in vektorskih polj

Angleški matematik in mehanik Hamilton je predstavil vektorski diferencialni operator


∂x	∂y	∂z

poklical operater nabla.

Takoj je treba opozoriti, da analogija med simbolnim vektorjem in "resničnimi" vektorji ni

popolna. Formule, ki vsebujejo simbolni vektor, so namreč podobne običajnim formulam vektorska algebra v primeru, da ne vsebujejo del spremenljivke(skalarno in vektorsko), to je, dokler ne boste morali uporabiti diferenciacije, vključene v operacije, na produkt spremenljivih količin.

Uporaba vektorja nabla, gradient skalarnega polja

Primernost uvedbe simbolnega vektorja je v tem, da je z njegovo pomočjo priročno pridobiti in zapisati razne formule vektorska analiza.

Pokažimo to s primeri.

Naloga 1. Dokaži, da je rotor gradienta skalarnega polja U (M) enak 0, to je rot(gradU) = 0.

Najprej dokažimo to enakost brez uporabe Hamiltonovega operatorja. torej

rot(gradU) = rot	∂U(M)	, ∂U (M) ,	∂U (M) =

	∂x	∂y	∂z

∂ ∂

= ∂ x∂ y∂ U∂ U

∂x∂y

∂z

∂U

∂z ∂y

∂x ∂z

∂y ∂z

∂z ∂x

∂z

∂y ∂x

∂x ∂y

k = 0,

ker so po Schwarzovem izreku zvezne mešane odvodnje enake.

Sedaj, z uporabo oblike zapisovanja gradienta (7) in rotorja (9) skozi, imamo rot(gradU ) =× U .

Ker je vektor U (zmnožek vektorja in skalarja U) kolinearen vektorju, potem je njihov vektor

izdelek je 0.

Naloga 2. Zapišite divergenco gradienta skalarnega polja div(gradU ) z uporabo.

Če tvorimo odstopanje od gradU, dobimo

div(gradU) = div	∂ U s i + ∂ U s j +		∂ U k s =

∂x		∂y	∂z

= ∂ 2 U + ∂ 2 U + ∂ 2 U . ∂ x 2∂ y 2∂ z 2

Operater	∂2	∂2	∂2	klicanega operaterja
	∂x2	∂y 2	∂z 2

Laplace in je označen s simbolom:

= ∂ 2+ ∂ 2+ ∂ 2. ∂ x 2∂ y 2∂ z 2

Ker je skalarni kvadrat vektorja enako kvadratu njegov modul, potem = 2. Tako je div(gradU ) =2 U .

Vektorsko polje a (M) imenujemo potencial,

če ga lahko predstavimo kot gradient nekega skalarnega polja U(M):

a = gradU .

Samo skalarno polje U imenujemo potencial vektorskega polja.

Da bi bilo vektorsko polje a(M).

Nujnost izpolnjevanja enakosti (10) je bila dokazana (glej problem 1, obravnavan zgoraj).

Potencial vektorskega polja je mogoče najti s formulo


U (M) = ∫ P(x, y, z) dx+ ∫ Q(x0 , y, z) dy+ ∫ R(x0 , y0 , z) dz+ C,

kjer (x 0, y 0, z 0) - poljubna točka področja G.

Vektorsko polje a(M), katerega divergenca

identično enaka nič, se imenuje solenoidna (cevasta).

Da bi oblikovali enega od najpomembnejše lastnosti solenoidno polje, uvedemo pojma vektorska premica in vektorska cev.

Premico L, ki leži v G, imenujemo vektor

premica, če v vsaki točki te premice smer tangente nanjo sovpada s smerjo vektorskega polja v tej točki.

Znano je, da je vektorska premica integralna krivulja sistema diferencialnih enačb

Zlasti, če je vektorsko polje polje hitrosti stacionarnega toka tekočine, potem so njegove vektorske črte trajektorije delcev tekočine.

Vektorska cev je zaprta množica Φ točk v območju G, v kateri je določeno vektorsko polje a (M), tako da je normalni vektor n povsod na njeni mejni površini pravokoten na (M).

Vektorsko cev sestavljajo vektorske silnice a(M). Vektorska premica je v celoti vsebovana v Φ, če

ena točka premice je vsebovana v Φ.

Jakost cevi Φ v odseku je poljski tok (M) skozi ta odsek.

Če je polje solenoidno, potem je zakon o ohranitvi intenzitete vektorske cevi izpolnjen.

Za polje hitrosti v(M) nestisljive tekočine v odsotnosti ponorov in virov (to je pod pogojem divv(M) = 0) velja zakon o ohranitvi vektorske intenzitete

cevi lahko formuliramo na ta način: količina tekočine, ki teče na časovno enoto skozi odsek vektorske cevi, je enaka za vse njene odseke.

Spodaj je nekaj tipične naloge z rešitvami.

Naloga 3. Poiščite ravni skalarnega polja

U (M) = x2 + y2 − z.

Ravne površine so družina eliptičnih paraboloidov, katerih simetrijska os je os Oz.

Naloga 4.

V skalarnem polju U (M ) = xy 2 + z 2 poiščite

gradient v točki M 0 (2,1,− 1) .

Poiščimo vrednosti

delni derivati

U (M) v točki M 0:

∂U

|M 0 =y 2 |M 0 = 12 = 1,

∂U

|M 0 = 2xy | M 0 = 2 2 1 = 4,

∂x

∂y

∂U

2 (− 1) =− 2.

∂z

torej

gradU (M 0 ) =s i + 4s j − 2k s .

Izračunajte divergenco vektorskega polja

a(M) = 2 xy2 i− yz j+ 3 z2 k

v točki M 0 (1,− 2,1) .

P = 2xy 2 ,Q =− yz ,R = 3z 2 . Poiščimo vrednost

ustrezne parcialne odvode v točki M 0:

∂P|

2 leti 2 |

2 (− 2)2 = 8,

∂Q

= − z |

= − 1,

∂x

∂y

Najpomembnejši značilnosti vektorskega polja sta rotor in divergenca. V tem odstavku si bomo ogledali matematični opis te značilnosti vektorskih polj in metode za njihov izračun z uporabo diferencialnih operacij. V tem primeru bomo uporabili le kartezični koordinatni sistem. več popolna definicija divergenca in rotor ter njun fizični pomen Ogledali si ga bomo v naslednjem poglavju. Izračun teh količin v krivuljnih koordinatnih sistemih bomo obravnavali kasneje.

Oglejmo si vektorsko polje, definirano v tridimenzionalnem prostoru.

Definicija 1. Divergenca vektorskega polja je število, ki je definirano z izrazom

Predpostavlja se, da v obravnavani točki obstajajo ustrezni delni odvodi. Divergenco vektorskega polja, tako kot gradient, lahko zapišemo z operatorjem nabla

Tukaj je razhajanje predstavljeno kot skalarni produkt vektorji in F. Naj brez dokaza opozorimo, da divergenca opisuje gostoto virov, ki ustvarjajo polje.

Primer 1. Izračunajte divergenco vektorskega polja v točki.

Definicija 2. Curl vektorskega polja je vektor, ki je definiran z izrazom

Upoštevajte, da se v predstavljenem seštevku indeksi v sosednjih členih spreminjajo po pravilu krožne permutacije, pri čemer se upošteva pravilo.

Zavihek vektorskega polja lahko zapišemo z uporabo operatorja nabla

Rotor označuje težnjo vektorskega polja po vrtenju ali vrtinčenju, zato ga včasih imenujemo vrtinec in ga imenujemo curlF.

Primer 1. Izračunaj zvitost vektorskega polja v točki.

Včasih je treba izračunati gradient vektorskega polja. V tem primeru se izračuna gradient vsake komponente vektorskega polja. Rezultat je tenzor drugega ranga, ki določa gradient vektorja. Ta tenzor lahko opišemo z matriko

Za opis takšnih objektov je priročno uporabiti tenzorski zapis

verjeti. Uporaba tenzorskih metod poenostavlja matematične operacije nad takimi objekti. Natančna predstavitev aparature tenzorskega računa je podana v predmetu "Osnove tenzorske analize", ki se poučuje vzporedno s predmetom "Dodatna poglavja višje matematike".

Primer 1. Izračunaj gradient vektorskega polja.

rešitev. Za izračune uporabljamo tenzorski zapis. Imamo

Tukaj je Kroneckerjev simbol identitetna matrika.

Primer 2. Izračunajte gradient skalarnega polja in primerjajte izraza in.

Nekatere lastnosti operatorja nabla

Prej smo predstavili operator vektorske diferenciacije

S tem operatorjem smo zapisali osnovne diferencialne operacije v tenzorska polja:

Operator je posplošitev operatorja diferenciacije in ima ustrezne lastnosti odvoda:

1) odvod vsote je enak vsoti odvodov

2) stalni množitelj lahko vzamete kot operaterski znak

Prevedeno v jezik vektorskih funkcij imajo te lastnosti obliko:

Te formule so izpeljane na enak način kot ustrezne formule za odvode funkcije ene spremenljivke.

Uporaba Hamiltonovega operatorja nam omogoča poenostavitev številnih operacij, povezanih z diferenciacijo v tenzorskih poljih. Vendar ne pozabite, da je ta operator vektorski in da je treba z njim ravnati previdno. Oglejmo si nekaj aplikacij tega operaterja. V tem primeru so ustrezne formule zapisane tako z uporabo Hamiltonovega operaterja kot v običajnem zapisu.

Rotor (matematika)

Rotor, oz vrtinec je vektorski diferencialni operator nad vektorskim poljem.

Določeno

(v ruskojezični literaturi) oz

(v angleški literaturi),

in tudi kot vektorsko množenje diferencialnega operatorja z vektorskim poljem:

Rezultat delovanja tega operatorja na določenem vektorskem polju F klical poljski rotor F ali skratka samo rotor F in predstavlja novo vektorsko polje:

Rot polje F(dolžina in smer vrtenja vektorja F na vsaki točki v prostoru) v nekem smislu označuje rotacijsko komponento polja F oziroma na vsaki točki.

Intuitivna slika

če v(x,y,z) je polje hitrosti plina (ali toka tekočine), torej gnitje v- vektor, ki je sorazmeren z vektorjem kotne hitrosti zelo majhnega in lahkega prahu (ali krogle), ki se nahaja v toku (in ga vleče gibanje plina ali tekočine; čeprav se lahko središče krogle po želji fiksira, kot dokler se lahko prosto vrti okoli njega).

Konkretno gnitje v = 2 ω , Kje ω - ta kotna hitrost.

Za preprost prikaz tega dejstva glejte spodaj.

To analogijo je mogoče formulirati precej strogo (glej spodaj). Osnovno definicijo skozi kroženje (podano v naslednjem odstavku) lahko štejemo za enakovredno tako pridobljeni.

Matematična definicija

Zavoj vektorskega polja je vektor, katerega projekcija na vsako smer n je meja razmerja kroženja vektorskega polja vzdolž konture L, ki je rob ravnega območja Δ S, pravokotno na to smer, na velikost tega območja, ko se dimenzije območja nagibajo k nič, območje samo pa se skrči v točko:

Smer prečkanja konture je izbrana tako, da gledano v smeri kontura L hodil v smeri urinega kazalca.

V treh dimenzijah kartezični sistem koordinate rotorja (kot je definirano zgoraj) se izračunajo na naslednji način (tukaj F- označuje določeno vektorsko polje s kartezičnimi komponentami in - enotske vektorje kartezičnih koordinat):

Zaradi priročnosti lahko rotor formalno predstavimo kot vektorski produkt operatorja nabla (na levi) in vektorskega polja:

(Zadnja enakost formalno predstavlja vektorski izdelek kot determinanta).

Sorodne definicije

Vektorsko polje, katerega rotor enako nič na kateri koli točki se kliče irotacijski in je potencial. Ker sta ta pogoja drug za drugega nujna in zadostna, sta oba pojma praktična sinonima. (Vendar to velja le za primer polj, definiranih na preprosto povezani domeni).

Za nekaj več podrobnosti o medsebojni pogojenosti potencialnosti in irotacijske narave polja glej spodaj (Osnovne lastnosti).

Nasprotno, običajno se pokliče polje, katerega curl ni enak nič vrtinec , tako polje ne more biti potencialno.

Posploševanje

Najbolj neposredna posplošitev rotorja, ki se uporablja za vektorska (in psevdovektorska) polja, definirana na prostorih poljubne dimenzije (pod pogojem, da dimenzija prostora sovpada z dimenzijo vektorja polja), je naslednja:

z indeksi m in n od 1 do dimenzije prostora.

To lahko zapišemo tudi kot zunanji izdelek:

V tem primeru je rotor antisimetrično tenzorsko polje valence dva.

V primeru dimenzije 3 da konvolucija tega tenzorja s simbolom Levi-Civita običajna definicija tridimenzionalni rotor iz zgornjega članka.

Za dvodimenzionalni prostor lahko poleg tega po želji uporabimo podobno formulo s psevdoskalarnim produktom (takšen rotor bo psevdoskalar, ki sovpada s projekcijo tradicionalnega vektorskega produkta na os, pravokotno na dano dvodimenzionalno prostor - če menimo, da je dvodimenzionalni prostor vpet v nek tridimenzionalni prostor, tako da ima tradicionalni vektorski produkt pomen).

Za operacijo lahko uporabite tudi operator "nabla":

Pri tem se upošteva, da je vektorski produkt kolinearnih operatorjev enak nič. Predlaga se, da dobimo enak rezultat z neposredno diferenciacijo.

Iz dobljenega rezultata lahko dobimo pomembna posledica. Razmislite o zaprti krivulji L in nanjo raztegnemo poljubno površino S.

Z uporabo Stokesovega izreka lahko zapišemo

Dobljeni rezultat oblikujmo v obliki izreka:

Izrek 1. Kroženje vektorskega polja vzdolž poljubne zaprte konture je enako nič.

Posledica 1. Krivočrtni integral na gradientu skalarne funkcije ni odvisen od izbire integracijske poti in je popolnoma določen z začetnim in končne točke integracijske linije.

Dokaz. Naredimo risbo.

Izvedimo najpreprostejše transformacije

Zato

To pomeni, da integrand je polni diferencial. Posledično je vrednost integrala odvisna le od izbire točk A in B:

Izračunajmo operacijo. Za to uporabimo formulo za dvojni vektorski produkt, poznano iz vektorske algebre

Prepišimo to formulo v obliki, ki nam bolj ustreza

Transformacija je narejena tako, da se v nadaljnjih formulah operator “nabla” ne pojavi na zadnjem mestu. V smislu operaterja "nabla" dobimo

(Kaj bi se zgodilo, če bi uporabili običajno formulo za dvojni navzkrižni produkt?)

Z zapisom Laplaceovega operatorja lahko zapišemo

Za vektorske komponente imamo napisan sistem treh diferencialnih relacij F.

Ogledali smo si osnovne diferencialne operacije drugega reda. V prihodnje jih bomo uporabljali za reševanje različnih problemov.

Greenove formule

Vzemimo še nekaj formul splošno, ki se nanašajo na lastnosti različne funkcije in se pogosto uporabljajo v aplikacijah. Zapišimo formulo Gauss-Ostrogradskega