Uporaba krivuljnih enačb 1. in 2. vrste. Izračun krivočrtnih integralov: teorija in primeri

Predavanje 5 Krivočrtni integrali 1. in 2. vrste, njihove lastnosti..

Problem krivulje mase. Krivočrtni integral 1. vrste.

Problem krivulje mase. Naj bo v vsaki točki krivulje L: (AB) delno gladkega materiala določena njegova gostota. Določite maso krivulje.

Nadaljujmo enako kot pri določanju mase ravnega področja ( dvojni integral) in prostorsko telo (trojni integral).

1. Razdelitev območja L razdelimo na elemente - elementarne loke tako, da ti elementi nimajo skupnih notranje točke In ( stanje A )

3. Konstruirajte integralno vsoto , kjer je dolžina loka (običajno je uveden enak zapis za lok in njegovo dolžino). to - približna vrednost masna krivulja. Poenostavitev je v tem, da smo predpostavili, da je gostota loka konstantna pri vsakem elementu in vzeli končna številka elementi.

Premik do predvidene meje (stanje B ), dobimo kot limito integralnih vsot krivočrtni integral prve vrste:

.

Izrek o eksistenci.

Naj bo funkcija zvezna na delno gladkem loku L. Potem obstaja premični integral prve vrste kot limita integralnih vsot.

Komentiraj. Ta omejitev ni odvisna od

Lastnosti krivuljnega integrala prve vrste.

1. Linearnost
a) lastnost superpozicije

b) lastnost homogenosti .

Dokaz. Zapišimo integralne vsote za integrale na levih straneh enačb. Ker ima integralna vsota končno število členov, preidemo na integralne vsote za desne strani enačb. Nato preidemo do limite, s pomočjo izreka o limitnem prehodu v enakosti dobimo želeni rezultat.

2. Aditivnost.
če , to = +

3. Tukaj je dolžina loka.

4. Če je na loku neenakost izpolnjena, potem

Dokaz. Zapišimo neenakost za integralne vsote in preidimo na limito.

Upoštevajte, da je zlasti možno

5. Ocenjevalni izrek.

Če obstajajo konstante, potem

Dokaz. Integracija neenakosti (lastnost 4), dobimo . Z lastnostjo 1 lahko konstante odstranimo iz integralov. Z uporabo lastnosti 3 dobimo želeni rezultat.

6. Izrek o srednji vrednosti(vrednost integrala).

Obstaja točka , Kaj

Dokaz. Ker je funkcija zvezna na zaprtem omejen nabor, potem obstaja spodnji rob in zgornji rob . Neenakost je izpolnjena. Če obe strani delimo z L, dobimo . Toda številka zaprt med spodnjo in zgornjo mejo funkcije. Ker je funkcija zvezna na zaprti omejeni množici L, mora funkcija na neki točki prevzeti to vrednost. torej .

Izračun krivočrtnega integrala prve vrste.

Parametrizirajmo lok L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Naj t 0 ustreza točki A in t 1 ustreza točki B. Potem se premični integral prve vrste reducira na določen integral (- iz 1. semestra poznana formula za izračun diferenciala dolžine loka):

Primer. Izračunajte maso enega obrata homogene (z gostoto enako k) vijačnice: .

Krivočrtni integral 2. vrste.

Problem dela sile.

1. Organiziramo razdelitev regijskega loka AB na elemente - elementarne loke tako, da ti elementi nimajo skupnih notranjih točk in ( stanje A )

2. Označimo "označene točke" M i na elementih particije in izračunamo vrednosti funkcije v njih

3. Sestavimo integralno vsoto , kjer je vektor usmerjen vzdolž tetive, ki zajema -lok .

4. Prehod na zagotovljeno mejo (stanje B ), dobimo krivočrtni integral druge vrste kot limit integralnih vsot (in dela sile):

. Pogosto označeno

Izrek o eksistenci.

Naj bo vektorska funkcija zvezna na delno gladkem loku L. Potem obstaja krivočrtni integral druge vrste kot limita integralnih vsot.

.

Komentiraj. Ta omejitev ni odvisna od

Metoda izbire particije, če je izpolnjen pogoj A

Izbira "označenih točk" na particijskih elementih,

Metoda za izboljšanje particije, če je izpolnjen pogoj B

Lastnosti krivočrtnega integrala 2. vrste.

1. Linearnost
a) lastnost superpozicije

b) lastnost homogenosti .

Dokaz. Zapišimo integralne vsote za integrale na levih straneh enačb. Ker je v integralni vsoti število členov končno, z uporabo lastnosti pikasti izdelek, pojdimo k integralnim vsotam za desne strani enačb. Nato preidemo do limite, s pomočjo izreka o limitnem prehodu v enakosti dobimo želeni rezultat.

2. Aditivnost.
če , to = + .

Dokaz. Izberimo particijo regije L tako, da nobeden od elementov particije (na začetku in ob izpopolnjevanju particije) ne vsebuje hkrati elementa L 1 in elementa L 2 . To lahko storimo z uporabo izreka o obstoju (opomba k izreku). Nato se dokaz izvede preko integralnih vsot, kot v 1. odstavku.

3. Orientabilnost.

= -

Dokaz. Arc integral –L, tj. V negativno smer prečkanje loka je meja integralnih vsot, v členih katerih obstaja (). Če odvzamemo "minus" iz skalarnega produkta in iz vsote končnega števila členov ter preidemo na mejo, dobimo zahtevani rezultat.

Teoretični minimum

Krivočrtna in površinski integrali pogosto najdemo v fiziki. Na voljo so v dveh vrstah, od katerih je prva obravnavana tukaj. to
vrsta integralov je zgrajena glede na splošna shema, s katerim določene, dvojne in trojni integrali. Na kratko se spomnimo te sheme.
Obstaja nek predmet, nad katerim se izvaja integracija (enodimenzionalno, dvodimenzionalno ali tridimenzionalno). Ta predmet je razbit na majhne dele,
v vsakem delu je izbrana točka. Na vsaki od teh točk se vrednost integranda izračuna in pomnoži z mero dela, ki
pripada dano točko(dolžina segmenta, površina ali prostornina delne regije). Nato se vsi takšni zmnožki seštejejo in omejitev je izpolnjena
prehod na lomljenje predmeta na neskončno majhne dele. Dobljeno mejo imenujemo integral.

1. Definicija krivuljnega integrala prve vrste

Oglejmo si funkcijo, definirano na krivulji. Predpostavlja se, da je krivulja popravljiva. Spomnimo se, kaj to v grobem pomeni,
da lahko lomljeno črto s poljubno majhnimi členi vpišemo v krivuljo in je v limiti neskončna veliko število povezave, naj ostane dolžina prekinjene črte
dokončno. Krivulja je razdeljena na delne loke dolžine in na vsakem od lokov je izbrana točka. Delo se sestavlja
seštevanje se izvede po vseh delnih lokih . Nato se prehod do meje izvede s težnjo dolžine največje
od delnih lokov do nič. Limita je krivočrtni integral prve vrste
.
Pomembna lastnost tega integrala, ki neposredno izhaja iz njegove definicije, je njegova neodvisnost od smeri integracije, tj.
.

2. Definicija površinskega integrala prve vrste

Razmislite o funkciji, definirani na gladki ali delno gladki površini. Površina je razdeljena na delna območja
s področji se v vsakem takem območju izbere točka. Delo se sestavlja , se izvede seštevanje
na vseh delnih območjih . Nato se prehod do meje izvede s težnjo premera največjega od vseh delnih
območij na nič. Limita je površinski integral prve vrste
.

3. Izračun krivočrtnega integrala prve vrste

Metoda za izračun krivuljnega integrala prve vrste je razvidna že iz njegovega formalnega zapisa, dejansko pa sledi neposredno iz
definicije. Integral se reducira na določeno; zapisati morate le diferencial loka krivulje, po kateri se izvaja integracija.
Začnimo z preprost primer integracija vzdolž ravninske krivulje, podane z eksplicitno enačbo. V tem primeru diferencial obloka
.
Nato se v integrandu izvede sprememba spremenljivke in integral dobi obliko
,
kjer segment ustreza spremembi spremenljivke vzdolž tistega dela krivulje, vzdolž katerega se izvaja integracija.

Zelo pogosto je krivulja določena parametrično, tj. enačbe oblike Nato diferencial obloka
.
Ta formula je zelo preprosto utemeljena. V bistvu je to Pitagorov izrek. Diferencial loka je pravzaprav dolžina neskončno majhnega dela krivulje.
Če je krivulja gladka, potem lahko njen infinitezimalni del štejemo za pravočrtnega. Za premico imamo relacijo
.
Da bi ga lahko izvedli za majhen lok krivulje, bi se morali premakniti od končnih prirastkov do diferencialov:
.
Če je krivulja določena parametrično, se razlike preprosto izračunajo:
itd.
Skladno s tem se po spremembi spremenljivk v integrandu linijski integral izračuna na naslednji način:
,
kjer del krivulje, po katerem se izvaja integracija, ustreza segmentu spremembe parametra.

Situacija je nekoliko bolj zapletena v primeru, ko je krivulja podana v krivuljne koordinate. To vprašanje se običajno obravnava v okviru diferenciala
geometrija. Navedimo formulo za izračun integrala vzdolž podane krivulje polarne koordinate enačba:
.
Utemeljimo razliko loka v polarnih koordinatah. Podrobna razprava o konstrukciji mreže polarni sistem koordinate
cm. Izberimo majhen lok krivulje, ki se nahaja glede na koordinatne črte, kot je prikazano na sl. 1. Zaradi majhnosti vseh predstavljenih
loki, lahko ponovno uporabite Pitagorov izrek in zapišete:
.
Zato sledi želeni izraz za diferencial loka.

S čisto teoretična točka Z vizualne perspektive je dovolj, da preprosto razumemo, da je treba krivuljni integral prve vrste reducirati na njegov poseben primer -
na določen integral. Dejansko s spremembo, ki jo narekuje parametrizacija krivulje, po kateri se izračuna integral, ugotovimo
preslikava ena proti ena med delom dane krivulje in segmentom spremembe parametra. In to je redukcija na integral
vzdolž ravne črte, ki sovpada z koordinatna os- določen integral.

4. Izračun površinskega integrala prve vrste

Po prejšnji točki mora biti jasno, da je eden od glavnih delov izračuna površinskega integrala prve vrste pisanje površinskega elementa,
nad katerim se izvaja integracija. Spet začnimo s preprostim primerom površine, definirane z eksplicitno enačbo. Potem
.
V integrandu se izvede zamenjava, površinski integral pa se zmanjša na dvojnik:
,
kjer je območje ravnine, v katero je projiciran del površine, po katerem se izvaja integracija.

Pogosto pa je površine nemogoče definirati z eksplicitno enačbo, potem pa je definirana parametrično, tj. enačbe oblike
.
Element površine je v tem primeru zapisan bolj zapleteno:
.
Površinski integral lahko zapišemo takole:
,
kjer je območje spremembe parametrov, ki ustreza delu površine, na katerem se izvaja integracija.

5. Fizikalni pomen krivuljnih in površinskih integralov prve vrste

Obravnavani integrali so zelo preprosti in jasni fizični pomen. Naj obstaja neka krivulja, katere linearna gostota ni
konstanta in je funkcija točke . Poiščimo maso te krivulje. Razčlenimo krivuljo na veliko majhnih elementov,
znotraj katerega se njegova gostota lahko šteje za približno konstantno. Če je dolžina majhnega dela krivulje enaka , potem je njegova masa
, kjer je katera koli točka izbranega dela krivulje (katera koli, saj je gostota znotraj
ta kos se približno domneva, da je konstanten). V skladu s tem dobimo maso celotne krivulje s seštevanjem mas njenih posameznih delov:
.
Da bi bila enakost točna, je treba iti do meje razdelitve krivulje na neskončno majhne dele, vendar je to krivočrtni integral prve vrste.

Vprašanje celotnega naboja krivulje se reši podobno, če je znana linearna gostota naboja .

Te argumente je mogoče zlahka prenesti na primer neenakomerno nabite površine z površinska gostota napolniti . Potem
površinski naboj je površinski integral prve vrste
.

Opomba. Okorno formulo za površinski element, definiran parametrično, si je težko zapomniti. Drug izraz dobimo v diferencialni geometriji,
uporablja t.i prvi kvadratna oblika površine.

Primeri računanja krivuljskih integralov prve vrste

Primer 1. Integral vzdolž premice.
Izračunaj integral

vzdolž črte, ki poteka skozi točke in .

Najprej zapišemo enačbo premice, vzdolž katere poteka integracija: . Poiščimo izraz za:
.
Izračunamo integral:

Primer 2. Integral vzdolž krivulje v ravnini.
Izračunaj integral

po loku parabole od točke do točke.

Nastavitvene točke in vam omogočajo, da izrazite spremenljivko iz enačbe parabole: .

Izračunamo integral:
.

Vendar pa je bilo mogoče izvesti izračune na drug način, pri čemer je bilo izkoriščeno dejstvo, da je krivulja podana z enačbo, razrešeno glede na spremenljivko.
Če vzamemo spremenljivko kot parameter, bo to vodilo do majhna sprememba izrazi za diferencial loka:
.
V skladu s tem se bo integral nekoliko spremenil:
.
Ta integral je enostavno izračunati tako, da spremenljivko nadomestimo z diferencialom. Rezultat je enak integral kot pri prvi metodi izračuna.

Primer 3. Integral vzdolž krivulje v ravnini (z uporabo parametrizacije).
Izračunaj integral

vzdolž zgornje polovice kroga .

Eno od spremenljivk seveda lahko izrazite iz enačbe kroga, ostale izračune pa nato izvedete na standarden način. Lahko pa uporabite tudi
specifikacija parametrične krivulje. Kot veste, lahko krog definiramo z enačbami. Zgornji polkrog
ustreza spremembi parametra znotraj . Izračunajmo diferencial loka:
.
torej

Primer 4. Integral vzdolž krivulje na ravnini, določeni v polarnih koordinatah.
Izračunaj integral

vzdolž desnega režnja lemniskate .

Zgornja risba prikazuje lemniskato. Integracijo je treba izvesti vzdolž njegovega desnega režnja. Poiščimo diferencial loka za krivuljo :
.
Naslednji korak je določitev meja integracije po polarnem kotu. Jasno je, da mora biti neenakost izpolnjena in zato
.
Izračunamo integral:

Primer 5. Integral po krivulji v prostoru.
Izračunaj integral

vzdolž obrata vijačnice, ki ustreza mejam spremembe parametrov

Krivulja AB, definirana s parametričnimi enačbami, se imenuje gladka, če imajo funkcije in zvezne odvode na odseku, in če na končnem številu točk na odseku ti odvodi ne obstajajo ali hkrati izginejo, potem se krivulja imenuje kosovno gladka. Naj bo AB ravna krivulja, gladka ali delno gladka. Naj bo f(M) funkcija, definirana na krivulji AB ali v neki domeni D, ki vsebuje to krivuljo. Razmislimo o razdelitvi krivulje A B na dele po točkah (slika 1). Na vsakem od lokov izberemo A^At+i poljubna točka Mk in naredite vsoto, kjer je Alt dolžina loka, in jo poimenujte integralna vsota za funkcijo f(M) po dolžini loka krivulje. Naj bo D / največja od dolžin delnih lokov, tj. Lastnosti krivuljnih integralov 1. vrste za prostorske krivulje Krivuljni integrali 2. vrste Izračun krivuljnega integrala Lastnosti Razmerje med definicijami. Če ima pri integralni vsoti (I). končna meja , ki ni odvisna niti od metode razdelitve krivulje AB na dele niti od izbire točk na vsakem od lokov razdelitve, potem se ta meja imenuje krivuljni integral \th vrste funkcije f( M) vzdolž krivulje AB (integral po dolžini loka krivulje) in je označen s simbolom. V tem primeru pravimo, da je funkcija /(M) integrabilna vzdolž krivulje ABU; krivulja A B se imenuje kontura integracija, A je začetna točka, B je končna točka integracije. Tako je po definiciji primer 1. Naj bo masa s spremenljivo linearno gostoto J(M) porazdeljena vzdolž neke gladke krivulje L. Poiščite maso m krivulje L. (2) Razdelimo krivuljo L na n poljubnih delov) in približno izračunajmo maso vsakega dela ob predpostavki, da je na vsakem delu gostota konstantna in enaka gostoti v kateri koli njegovi točki. , na primer na skrajni levi točki /(Af*). Takrat bo vsota ksh, kjer je D/d dolžina D-tega dela, približna vrednost mase m masa celotne krivulje L, tj. Toda meja na desni je krivuljni integral 1. vrste. Torej, 1.1. Obstoj krivuljnega integrala 1. vrste Vzemimo kot parameter na krivulji AB dolžino loka I, merjeno od začetne točke A (slika 2). Nato lahko krivuljo AB opišemo z enačbami (3), kjer je L dolžina krivulje AB. Enačbe (3) imenujemo naravne enačbe krivulje AB. Pri prehodu na naravne enačbe bo funkcija f(x) y), definirana na krivulji AB, reducirana na funkcijo spremenljivke I: / (x(1)) y(1)). Ko označimo z vrednostjo parametra I, ki ustreza točki Mky, prepišemo integralno vsoto (I) v obliki. To je integralna vsota, ki ustreza določenemu integralu, saj sta integralni vsoti (1) in (4) enaki drug drugemu, potem so jim pripadajoči integrali enaki. Tako (5) Izrek 1. Če je funkcija /(M) zvezna vzdolž gladke krivulje AB, potem obstaja krivočrtni integral (ker je pod temi pogoji v enačbi (5) na desni določen integral. 1.2. Lastnosti krivočrtnih integralov 1. vrste 1. Iz oblike integralne vsote (1) sledi, da je t.j. vrednost krivuljnega integrala 1. vrste ni odvisna od smeri integracije. 2. Linearnost. Če za vsako od funkcij /() obstaja krivuljasti integral vzdolž krivulje ABt, potem za funkcijo a/, kjer sta a in /3 poljubni konstanti, obstaja tudi krivočrtni integral vzdolž krivulje AB> in 3. Aditivnost . Če je krivulja AB sestavljena iz dveh delov in za funkcijo /(M) obstaja krivuljasti integral nad ABU, potem obstajajo integrali, kjer je 4. Če je 0 na krivulji AB, potem je 5. Če je funkcija integrabilna na krivulji AB, potem je funkcija || je tudi integrabilen na A B in hkrati b. Povprečna formula. Če je funkcija / zvezna vzdolž krivulje AB, potem je na tej krivulji točka Mc taka, da je L dolžina krivulje AB. 1.3. Izračun krivuljnega integrala 1. vrste Naj bo krivulja AB podana s parametričnimi enačbami, pri čemer točka A ustreza vrednosti t = to, točka B pa vrednosti. Predpostavimo, da so funkcije zvezne skupaj s svojimi odvodnicami in da je neenakost izpolnjena. Potem je diferencial loka krivulje izračunan po formuli. Zlasti, če je krivulja AB zvezna diferencibilen na [a, b] in točka A ustreza vrednosti x = a, točka B pa vrednost x = 6, potem, če vzamemo x kot parameter, dobimo 1,4. Krivuljni integrali 1. vrste za prostorske krivulje Definicija krivuljnega integrala 1. vrste, formulirana zgoraj za ravninsko krivuljo, je dobesedno prenesena na primer, ko je funkcija f(M) podana vzdolž neke prostorske krivulje AB. Naj bo krivulja AB podana s parametričnimi enačbami Lastnosti krivuljnih integralov 1. vrste za prostorske krivulje Krivuljni integrali 2. vrste Izračun krivuljnega integrala Lastnosti Razmerje med Potem lahko krivuljni integral, vzet vzdolž te krivulje, reduciramo na določen integral z uporabo naslednjo formulo: Primer 2. Izračunajte krivočrtni integral, kjer je L kontura trikotnika z oglišči v točki* (slika 3). Z lastnostjo aditivnosti imamo Izračunajmo vsakega od integralov posebej. Ker imamo na segmentu OA: , potem imamo na segmentu AN, kjer in potem sl. Končno, torej Opomba. Pri izračunu integralov smo uporabili lastnost 1, po kateri. Krivočrtni integrali 2. vrste Naj bo A B gladka ali delno gladko usmerjena krivulja na ravnini xOy in naj bo vektorska funkcija definirana v neki domeni D, ki vsebuje krivuljo AB. Razdelimo krivuljo AB na dele s točkami, katerih koordinate označimo z (slika 4). Na vsakem od elementarnih lokov AkAk+\ vzamemo poljubno točko in seštejemo D/ dolžino največjega od lokov. Če ima vsota (1) končno mejo, ki ni odvisna niti od načina razdelitve krivulje AB niti od izbire točk rjk) na elementarnih lokih, potem se ta meja imenuje krivočrtni integral 2-mesta vektorja funkcija vzdolž krivulje AB in je označena s simbolom So po definiciji Izrek 2. Če so v neki domeni D, ki vsebuje krivuljo AB, funkcije zvezne, potem obstaja krivuljni integral 2-mesta. Naj bo vektor radij točke M(x, y). Potem lahko integrand v formuli (2) predstavimo kot skalarni produkt vektorjev F(M) in dr. Torej lahko integral 2. vrste vektorske funkcije vzdolž krivulje AB na kratko zapišemo takole: 2.1. Izračun krivuljnega integrala 2. vrste Naj bo krivulja AB določena s parametričnimi enačbami, kjer so funkcije zvezne skupaj z odpeljankami na segmentu, sprememba parametra t iz t0 v t\ pa ustreza gibanju a točko vzdolž krivulje AB od točke A do točke B. Če so v nekem območju D, ki vsebuje krivuljo AB, funkcije zvezne, potem se krivočrtni integral 2. vrste reducira na naslednji določeni integral: Tako je izračun krivočrtni integral 2. vrste lahko reduciramo tudi na izračun določenega integrala. O) Primer 1. Izračunaj integral vzdolž premice, ki povezuje točke 2) vzdolž parabole, ki povezuje iste točke) Enačba parametra premice, od koder So 2) Enačba premice AB: Torej torej Obravnavani primer maže, da vrednost ukrivljenega integrala 2. vrste je na splošno odvisno od oblike integracijske poti. 2.2. Lastnosti krivočrtnega integrala 2. vrste 1. Linearnost. Če obstajajo Lastnosti krivuljnih integralov 1. vrste za prostorske krivulje Krivuljni integrali 2. vrste Izračun krivuljnega integrala Lastnosti Povezava med potem za vsak realni a in /5 obstaja integral, kjer 2. Additenost. Če je krivulja AB razdeljena na dela AC in SB in obstaja krivuljni integral, potem obstajajo tudi integrali. Zadnja lastnost fizikalne interpretacije krivuljnega integrala 2. vrste deluje zaščitno polje F vzdolž določene poti: ko se spremeni smer gibanja po krivulji, delo polja sil vzdolž te krivulje spremeni predznak v nasprotno. 2.3. Razmerje med krivuljnimi integrali 1. in 2. vrste Razmislite o krivuljnem integralu 2. vrste, kjer je usmerjena krivulja AB (A -. Izhodišče, IN - končna točka) je podana z vektorsko enačbo (tukaj je I dolžina krivulje, merjena v smeri, v katero je usmerjena krivulja AB) (slika 6). Potem je dr ali kjer je r = m(1) - enotski vektor tangenta na krivuljo AB v točki M(1). Potem Upoštevajte, da je zadnji integral v tej formuli krivočrtni integral 1. vrste. Ko se usmeritev krivulje AB spremeni, se enotski vektor tangente r nadomesti z nasprotnim vektorjem (-r), kar povzroči spremembo njenega predznaka integrand in s tem predznak samega integrala.

Problem krivulje mase. Naj bo v vsaki točki krivulje L: (AB) delno gladkega materiala določena njegova gostota. Določite maso krivulje.

Nadaljujmo enako kot pri določanju mase ploščatega področja (dvojni integral) in prostorskega telesa (trojni integral).

1. Organiziramo razdelitev območja-loka L na elemente - elementarne loke tako da ti elementi nimajo skupnih notranjih točk in
(stanje A )

2. Označimo "označene točke" M i na elementih particije in izračunamo vrednosti funkcije v njih

3. Sestavimo integralno vsoto
, Kje - dolžina loka (običajno sta uvedena enaka zapisa za lok in njegovo dolžino). To je približna vrednost za maso krivulje. Poenostavitev je v tem, da smo predpostavili, da je gostota loka konstantna pri vsakem elementu in vzeli končno število elementov.

Premik do predvidene meje
(stanje B ), dobimo krivočrtni integral prve vrste kot limit integralnih vsot:

.

Izrek o eksistenci 10 .

Naj funkcija
je zvezna na delno gladkem loku L 11. Potem obstaja linearni integral prve vrste kot limita integralnih vsot.

Komentiraj. Ta meja ni odvisna od

način izbire particije, če je izpolnjen pogoj A

izbira "označenih točk" na particijskih elementih,

način prečiščevanja particije, dokler je izpolnjen pogoj B

Lastnosti krivuljnega integrala prve vrste.

1. Linearnost a) lastnost superpozicije

b) lastnost homogenosti
.

Dokaz. Zapišimo integralne vsote za integrale na levih straneh enačb. Ker ima integralna vsota končno število členov, preidemo na integralne vsote za desne strani enačb. Nato preidemo do limite, s pomočjo izreka o limitnem prehodu v enakosti dobimo želeni rezultat.

2. Aditivnost.če
, to
=
+

Dokaz. Izberimo particijo regije L tako, da nobeden od particijskih elementov (na začetku in ob izpopolnjevanju particije) ne vsebuje tako elementov L ​​1 kot elementov L ​​2 hkrati. To lahko storimo z uporabo izreka o obstoju (opomba k izreku). Nato se dokaz izvede preko integralnih vsot, kot v 1. odstavku.

3.
.Tukaj – dolžina loka .

4. Če na lok neenakost je torej izpolnjena

Dokaz. Zapišimo neenakost za integralne vsote in preidimo na limito.

Upoštevajte, da je zlasti možno

5. Ocenjevalni izrek.

Če obstajajo konstante
, nekaj

Dokaz. Integracija neenakosti
(lastnost 4), dobimo
. Po lastnosti 1 konstante
lahko vzamemo izpod integralov. Z uporabo lastnosti 3 dobimo želeni rezultat.

6. Izrek o srednji vrednosti(vrednost integrala).

Obstaja točka
, Kaj

Dokaz. Od funkcije
zvezna na zaprti omejeni množici , potem njen infimum obstaja
in zgornji rob
. Neenakost je izpolnjena. Če obe strani delimo z L, dobimo
. Toda številka
zaprt med spodnjo in zgornjo mejo funkcije. Od funkcije
zvezna na zaprti omejeni množici L, potem na neki točki
funkcija mora sprejeti to vrednost. torej
.