Osnovni pojmi. Izreki seštevanja in množenja.
Formule polna verjetnost, Bayes, Bernoulli. Laplaceovi izreki.
Vprašanja
- Predmet teorije verjetnosti.
- Vrste dogodkov.
- Klasična definicija verjetnosti.
- Statistična definicija verjetnosti.
- Geometrijska definicija verjetnosti.
- Verjetnostni adicijski izrek ne skupne dogodke.
- Teorem o množenju verjetnosti ni odvisni dogodki.
- Pogojna verjetnost.
- Množenje odvisnih dogodkov.
- Dodatek skupnih dogodkov.
- Formula skupne verjetnosti.
- Bayesova formula.
13. Binomski, polinomski zakon porazdelitve.
- Predmet teorije verjetnosti. Osnovni pojmi.
Dogodek v teoriji verjetnosti je vsako dejstvo, ki se lahko zgodi kot posledica neke izkušnje (test).
Na primer: Strelec strelja v tarčo. Strel je preizkus, zadeti tarčo je dogodek. Dogodki so običajno označeni
Posamezen naključni dogodek je posledica številnih naključnih vzrokov, ki jih pogosto ni mogoče upoštevati. Če pa upoštevamo množične homogene dogodke (opažene večkrat med poskusom pod enakimi pogoji), se izkaže, da so predmet določenih vzorcev: če vržete kovanec v enakih pogojih velikokrat, lahko napoveste z majhno napako, da bo število pojavitev grba enako polovičnemu številu metov.
Predmet teorije verjetnosti je preučevanje verjetnostnih vzorcev množičnih homogenih naključnih dogodkov. Metode teorije verjetnosti se pogosto uporabljajo v teorijah zanesljivosti, streljanja, avtomatskega nadzora itd. Teorija verjetnosti služi kot osnova za matematično in uporabna statistika, ki se uporablja pri načrtovanju in organizaciji proizvodnje, pri analiziranju tehnološki procesi itd.
Definicije.
1. Če je kot posledica izkušnje dogodek
a) se vedno zgodi, potem je to zanesljiv dogodek,
b) nikoli se ne bo zgodilo, potem - nemogoč dogodek,
c) lahko se zgodi, lahko se ne zgodi, potem je to naključen (možen) dogodek.
2. Dogodki se imenujejo enako možni, če obstaja razlog za domnevo, da noben od teh dogodkov ni več možnosti izhajajo iz izkušenj kot drugi.
3. Dogodki in so skupni (nezdružljivi), če nastop enega od njih ne izključuje (izključuje) nastopa drugega.
4. Skupina dogodkov je kompatibilna, če sta vsaj dva dogodka iz te skupine kompatibilna, sicer je nekompatibilna.
5. Skupina dogodkov se imenuje popolna, če se bo eden od njih zagotovo zgodil kot posledica izkušnje.
Primer 1. V tarčo se izstrelijo trije streli: Let - zadeti (zgrešiti) pri prvem strelu - pri drugem strelu - pri tretjem strelu. Potem
a) - skupna skupina enako možnih dogodkov.
b) - popolna skupina nezdružljivih dogodkov. - dogodek, ki je nasproten.
c) - popolna skupina dogodkov.
Klasična in statistična verjetnost
Klasičen način določanje verjetnosti se uporablja za celotno skupino enako možnih nekompatibilnih dogodkov.
Vsak dogodek v tej skupini se bo imenoval primer ali osnovni rezultat. Glede na vsak dogodek se primeri delijo na ugodne in neugodne.
Definicija 2. Verjetnost dogodka je količina
kjer je število primerov, ki so ugodni za nastanek dogodka, je skupno število enako možnih ta izkušnja primerih.
Primer 2. Dva vržena kocke. Naj bo dogodek - vsota padlih točk enak . Najti .
a) Napačna odločitev. Obstajata samo 2 možna primera: in - popolna skupina nezdružljivih dogodkov. Samo en primer je ugoden, tj. 
To je napaka, saj nista enako mogoča.
b) Skupaj enako možnih primerov. Ugodni primeri: prolaps
Slabosti klasične definicije so:
1. - število primerov je končno.
2. Rezultata eksperimenta zelo pogosto ni mogoče predstaviti v obliki niza elementarnih dogodkov (primerov).
3. Težko je navesti razloge za obravnavanje primerov kot enako možnih.
Naj se izvede vrsta testov.
Definicija 3. Relativna pogostost dogodka je količina
kjer je število poskusov, v katerih so se pojavili dogodki, in je skupno število poskusov.
Dolgoletna opazovanja so pokazala, da v različne izkušnje pri dovolj velikem
Spreminja se malo, niha okoli določenega stalno število, ki ji pravimo statistična verjetnost.
Verjetnost ima naslednje lastnosti:
Algebra dogodkov
7.3.1 Definicije.
8. Seštevek ali zveza več dogodkov je dogodek, ki ga sestavlja vsaj eden od njih.
9. Produkt več dogodkov je dogodek, ki je sestavljen iz skupnega pojava vseh teh dogodkov.
Iz primera 1. 
- najmanj en zadetek s tremi streli, - zadetek s prvim in drugim strelom ter zgrešen s tretjim.
Točno en zadetek.
Vsaj dva zadetka.
10. Dva dogodka se imenujeta neodvisna (odvisna), če verjetnost enega od njiju ni odvisna (odvisna) od pojava ali ne-pojavitve drugega.
11. Več dogodkov se imenuje skupno neodvisnih, če so vsak od njih in katera koli linearna kombinacija preostalih dogodkov neodvisni dogodki.
12. Pogojna verjetnost 
je verjetnost dogodka, izračunana ob predpostavki, da se je dogodek zgodil.
7.3.2 Izrek verjetnostnega množenja.
Verjetnost skupnega pojava (proizvodnje) več dogodkov je enaka zmnožku verjetnosti enega izmed njih z pogojne verjetnosti preostali dogodki, izračunani ob predpostavki, da so se zgodili vsi prejšnji dogodki
Posledica 1.Če - so skupaj neodvisni, potem
Dejansko: od.
Primer 3. V žari je 5 belih, 4 črne in 3 modre kroglice. Vsak test je sestavljen iz naključnega žrebanja ene kroglice iz žare. Kolikšna je verjetnost, da bo na prvem testu bela žoga, z drugo - črno kroglico, s tretjo - modro kroglico, če
a) vsakič, ko se žoga vrne v žaro.
- v žari po prvem preizkusu žog so 4 bele. . Od tod
b) žoga se ne vrne v žaro. Potem - neodvisno v agregatu in
7.3.3 Verjetnostni adicijski izrek.
Verjetnost, da se zgodi vsaj eden od dogodkov, je enaka
Posledica 2.Če sta dogodka parno nezdružljiva, potem
V tem primeru res
Primer 4. Na eno tarčo se izstrelijo trije streli. Verjetnost zadetka pri prvem strelu je , pri drugem - , pri tretjem - . Poiščite verjetnost vsaj enega zadetka.
rešitev. Naj bo zadetek na prvem strelu, na drugem, na tretjem in vsaj en zadetek na treh strelih. Potem , kje so skupni neodvisni v agregatu. Potem
Posledica 3.Če nastanejo parno nezdružljivi dogodki polna skupina, To
Posledica 4. Za nasprotne dogodke
Včasih je pri reševanju problemov lažje ugotoviti verjetnost nasprotnega dogodka. Na primer, v primeru 4 - zgrešeno s tremi streli. Od neodvisnega v agregatu, nato pa
Kot je navedeno zgoraj, klasična definicija verjetnost predpostavlja, da so vsi osnovni izidi enako možni. Enakost izidov poskusa je sklenjena zaradi upoštevanja simetrije. Problemi, pri katerih je mogoče uporabiti upoštevanje simetrije, so v praksi redki. V mnogih primerih je težko zagotoviti razloge za prepričanje, da so vsi osnovni izidi enako možni. V zvezi s tem je postalo potrebno uvesti drugo definicijo verjetnosti, imenovano statistična. Najprej predstavimo koncept relativne frekvence.
Relativna pogostost dogodka ali frekvenca je razmerje med številom poskusov, v katerih se je zgodil ta dogodek, in številom vseh izvedenih poskusov. Označimo pogostost dogodka A skozi W(A), Potem
Kje n– skupno število poskusov; m– število poskusov, v katerih se je dogodek zgodil A.
Pri majhnem številu poskusov je pogostost dogodka večinoma naključna in se lahko opazno razlikuje od ene skupine poskusov do druge. Na primer, pri kakih desetih metih kovancev je povsem možno, da se bo grb pojavil 2-krat (frekvenca 0,2), pri nadaljnjih desetih metih pa lahko dobimo 8 grbov (frekvenca 0,8). Z večanjem števila eksperimentov pa pogostost dogodka vse bolj izgublja svoj naključni značaj; naključne okoliščine, ki so neločljivo povezane z vsako posamezno izkušnjo, se v množici izničijo in frekvenca teži k stabilizaciji ter se z manjšimi nihanji približuje določenemu povprečju konstantna vrednost. Ta konstanta, ki je objektivna numerična značilnost pojavi štejejo za verjetnost danega dogodka.
Statistična definicija verjetnosti: verjetnost dogodki poimenujejo številko, okoli katere so razvrščene frekvenčne vrednosti danega dogodka v različnih serijah veliko število testi.
Lastnost frekvenčne stabilnosti, večkrat eksperimentalno preizkušena in potrjena z izkušnjami človeštva, je eden najbolj značilnih vzorcev, opaženih v naključni dogodki. Med pogostostjo dogodka in njegovo verjetnostjo obstaja globoka povezava, ki jo lahko izrazimo takole: ko ocenjujemo stopnjo možnosti dogodka, to oceno povezujemo z večjo ali manjšo pogostostjo pojavljanja podobnih dogodkov v praksi. .
Geometrijska verjetnost
Klasična definicija verjetnosti predpostavlja, da število osnovni izidi Vsekakor. V praksi obstajajo poskusi, pri katerih je nabor takih rezultatov neskončen. Da bi odpravili to pomanjkljivost klasične definicije verjetnosti, to je, da ni uporabna za teste z neskončnim številom rezultatov, uvajajo geometrijske verjetnosti – verjetnosti, da točka pade v območje.
Predpostavimo, da je na ravnini podano kvadratno območje G, tj. območje, ki ima območje S G. V območju G vsebuje območje g območje S g. V regijo G Pika je vržena naključno. Predvidevamo, da lahko vržena točka pade v nek del območja G z verjetnostjo, sorazmerno s površino tega dela in neodvisno od njegove oblike in lokacije. Naj dogodek A– »vržena konica zadene območje g«, Potem geometrijska verjetnost ta dogodek je določen s formulo:
IN splošni primer Koncept geometrijske verjetnosti uvedemo na naslednji način. Označimo mero ploščine g(dolžina, površina, prostornina) skozi mes g, in merilo površine G- skozi mes G ; naj tudi A– dogodek »vržena konica zadene območje g, ki se nahaja na območju G" Verjetnost udarca v območje g vrženih točk v območje G, se določi s formulo
.
Naloga. V krog je vpisan kvadrat. V krog se naključno vrže pika. Kakšna je verjetnost, da bo točka padla v kvadrat?
rešitev. Naj bo polmer kroga R, potem je območje kroga . Diagonala kvadrata je , potem je stranica kvadrata , ploščina kvadrata pa . Verjetnost želenega dogodka je opredeljena kot razmerje med površino kvadrata in površino kroga, tj. 
.
Kontrolna vprašanja
1. Kaj se imenuje test (izkušnja)?
2. Kaj je dogodek?
3. Kateri dogodek se imenuje a) zanesljiv? b) naključno? c) nemogoče?
4. Kateri dogodki se imenujejo a) nezdružljivi? b) sklep?
5. Katere dogodke imenujemo nasprotni? Ali so a) nezdružljivi b) združljivi ali naključni?
6. Kaj imenujemo popolna skupina naključnih dogodkov?
7. Če se vsi dogodki zaradi preizkusa ne morejo zgoditi skupaj, ali bodo v paru nekompatibilni?
8. Oblikujte dogodke A in cela skupina?
9. Kateri osnovni izidi so ugodni? ta dogodek?
10. Kakšna definicija verjetnosti se imenuje klasična?
11. Kakšne so meje verjetnosti katerega koli dogodka?
12. Pod kakšnimi pogoji velja? klasična verjetnost?
13. Pod katerimi pogoji se uporabi geometrijska verjetnost?
14. Kakšna definicija verjetnosti se imenuje geometrijska?
15. Kakšna je pogostost dogodka?
16. Kakšna definicija verjetnosti se imenuje statistična?
1. Ena črka je naključno izbrana izmed črk besede "konservatorij". Poiščite verjetnost, da je ta črka samoglasnik. Poiščite verjetnost, da je to črka "o".
2. Črke "o", "p", "s", "t" so napisane na enakih karticah. Poiščite verjetnost, da se beseda "kabel" pojavi na karticah, ki so naključno postavljene v vrsto.
3. V ekipi so 4 ženske in 3 moški. Med člani brigade izžrebajo 4 vstopnice za gledališče. Kakšna je verjetnost, da bosta med imetniki vstopnic 2 ženski in 2 moška?
4. Dve kocki sta vrženi. Poiščite verjetnost, da je vsota točk na obeh kockah večja od 6.
5. Črke l, m, o, o, t so napisane na petih enakih karticah. Kolikšna je verjetnost, da bomo, ko jemljemo karte eno za drugo, dobili besedo "kladivo" v vrstnem redu, kot so se pojavile?
6. Od 10 listkov sta 2 zmagovalna?
7. Kolikšna je verjetnost, da v naključno izbranem dvomestno številoštevila so takšna, da je njihov produkt enak nič.
8. Število, ki ne presega 30, je izbrano naključno. Poiščite verjetnost, da je to število delitelj 30.
9. Število, ki ne presega 30, je izbrano naključno. Poiščite verjetnost, da je to število večkratnik 3.
10. Naključno izberemo število, ki ne presega 50. Poiščite verjetnost, da je to število praštevilo.
Kazalo rang korelacija Kendall, preizkušanje ustrezne hipoteze o pomembnosti razmerja.
2.Klasična definicija verjetnosti. Lastnosti verjetnosti.
Verjetnost je eden od osnovnih konceptov teorije verjetnosti. Obstaja več definicij tega pojma. Naj podamo definicijo, ki se imenuje klasična. Naprej navedemo šibke strani to definicijo in podajte druge definicije, ki nam omogočajo premagovanje pomanjkljivosti klasične definicije.
Poglejmo si primer. V žari naj bo 6 enakih, temeljito premešanih kroglic, od katerih sta 2 rdeči, 3 modre in 1 bela. Očitno je možnost, da iz žare naključno izvlečete barvno (tj. rdečo ali modro) kroglo, večja od možnosti, da izvlečete belo kroglo. Ali je to priložnost mogoče kvantificirati? Izkazalo se je, da je to mogoče. To število imenujemo verjetnost dogodka (pojav barvne kroglice). Verjetnost je torej število, ki označuje stopnjo možnosti, da se dogodek zgodi.
Zadajmo si nalogo dajanja kvantitativno oceno možnost, da je naključno vzeta žogica obarvana. Pojav barvne kroglice se šteje za dogodek A. Vsak od možnih rezultatov testa (preizkus je sestavljen iz odstranitve kroglice iz žare) se imenuje osnovni izid (elementarni dogodek). Elementarne izide označujemo z w 1, w 2, w 3 itd. V našem primeru je možnih naslednjih 6 osnovnih izidov: w 1 - pojavi se bela krogla; w 2, w 3 - pojavila se je rdeča krogla; w 4, w 5, w 6 - pojavi se modra krogla. Zlahka je videti, da ti izidi tvorijo popolno skupino po paru nekompatibilnih dogodkov (pojavila se bo samo ena kroglica) in so enako možni (žogica je izžrebana naključno, kroglice so enake in temeljito premešane).
Elementarni izidi bomo imenovali tiste, v katerih se zgodi dogodek, ki nas zanima ugodno ta dogodek. V našem primeru je naslednjih 5 izidov naklonjeno dogodku A (pojav barvne žoge): w 2, w 3, w 4, w 5, w 6.
Dogodek A je torej opažen, če se v testu pojavi eden od osnovnih rezultatov, ki dajejo prednost A, ne glede na katerega; v našem primeru je A opazen, če se pojavi w 2, ali w 3, ali w 4, ali w 5, ali w 6. V tem smislu je dogodek A razdeljen na več elementarnih dogodkov (w 2, w 3, w 4, w 5, w 6); osnovni dogodek ni razdeljen na druge dogodke. To je razlika med dogodkom A in osnovnim dogodkom (elementarni izid).
Razmerje med številom osnovnih izidov, ki so ugodni za dogodek A, in njihovimi skupno število imenujemo verjetnost dogodka A in jo označimo s P (A). V obravnavanem primeru je 6 osnovnih izidov; 5 jih daje prednost dogodku A. Posledično je verjetnost, da bo odvzeta žoga obarvana, enaka P(A) = 5 / 6. To število daje kvantitativno oceno stopnje možnosti pojava barvne žoge, ki jo želel najti. Dajmo zdaj definicijo verjetnosti.
Verjetnost dogodka A imenujejo razmerje med številom izidov, ki so ugodni za ta dogodek, in skupnim številom vseh enako možnih nekompatibilnih elementarnih izidov, ki tvorijo celotno skupino. Torej je verjetnost dogodka A določena s formulo
kjer je m število osnovnih izidov, ugodnih za A; n je število vseh možnih elementarnih rezultatov testa.
Tu se predpostavlja, da so osnovni izidi nezdružljivi, enako možni in tvorijo popolno skupino. Iz definicije verjetnosti sledijo naslednje lastnosti:
S približno s t v približno 1. Verjetnost zanesljiv dogodek enako ena.
Dejansko, če je dogodek zanesljiv, potem je vsak osnovni izid testa naklonjen dogodku. V tem primeru je m = n, torej
P (A) = m / n = n / n = 1.
S v približno s t v približno 2. Verjetnost nemogočega dogodka je enaka nič.
Dejansko, če je dogodek nemogoč, potem noben od elementarnih rezultatov testa ne daje prednosti dogodku. V tem primeru je m = 0, torej
P (A) = m / n = 0 / n = 0.
Z v približno s t v približno 3. Verjetnost naključni dogodek Tukaj je pozitivno število, zaprt med ničlo in ena.
Dejansko je le del skupnega števila elementarnih rezultatov testa naklonjen naključnemu dogodku. V tem primeru 0< m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,
0 < Р (А) < 1
Torej verjetnost katerega koli dogodka izpolnjuje dvojno neenakost
Opomba: Sodobni strogi predmeti teorije verjetnosti so zgrajeni na podlagi teoretike množic. Omejimo se na predstavitev zgoraj obravnavanih konceptov v jeziku teorije množic.
Naj se kot rezultat testa zgodi en in samo eden od dogodkov w i, (i = 1, 2, ..., n). Dogodki w i se imenujejo osnovni dogodki (elementarni rezultati). Že iz tega sledi, da so elementarni dogodki parno nekompatibilni. Nabor vseh elementarnih dogodkov, ki se lahko pojavijo v testu, se imenuje prostor elementarnega dogajanja W, in sami osnovni dogodki so točke v prostoru W.
Dogodek A je identificiran s podmnožico (prostora W), katere elementi so osnovni izidi, ugodni za A; dogodek B je podmnožica W, katere elementi so izidi, ugodni za B itd. Tako je množica vseh dogodkov, ki se lahko pojavijo v testu, množica vseh podmnožic W. W sam nastopi za kateri koli izid testa, zato je W zanesljiv dogodek; prazna podmnožica prostora W je nemogoč dogodek (se ne pojavi pri nobenem rezultatu testa).
Upoštevajte, da se elementarni dogodki od vseh dogodkov razlikujejo po tem, da vsak od njih vsebuje samo en element W.
Vsakemu osnovnemu rezultatu w i je dodeljeno pozitivno število str i je verjetnost tega izida in
Po definiciji je verjetnost P(A) dogodka A enaka vsoti verjetnosti elementarnih izidov, ki so ugodni za A. Od tu je enostavno dobiti, da je verjetnost zanesljivega dogodka enaka ena, nemogočega dogodka je enako nič, poljuben dogodek pa je med nič in ena.
Razmislimo o pomembnem poseben primer ko so vsi izidi enako možni. Število izidov je n, vsota verjetnosti vseh izidov je enaka ena; zato je verjetnost vsakega izida 1/n. Naj bo dogodku A naklonjeno m izidov. Verjetnost dogodka A je enaka vsoti verjetnosti izidov v korist A:
P (A) = 1 / n + 1 / n + .. + 1 / n.
Glede na to, da je število členov enako m, imamo
P(A) = m/n.
Dobimo klasično definicijo verjetnosti.
Gradnja logično popolna teorija verjetnosti na podlagi aksiomatska definicija naključni dogodek in njegova verjetnost. V sistemu aksiomov, ki ga je predlagal A. N. Kolmogorov, so nedoločljivi koncepti osnovni dogodek in verjetnost. Tukaj so aksiomi, ki definirajo verjetnost:
1. Vsak dogodek A je povezan z nenegativnim realno število R(A). To število imenujemo verjetnost dogodka A.
2. Verjetnost zanesljivega dogodka je enaka ena:
3. Verjetnost nastopa vsaj enega od parno nekompatibilnih dogodkov je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov.
Na podlagi teh aksiomov so lastnosti verjetnosti in odvisnosti med njimi izpeljane kot izreki.
3.Statična določitev verjetnosti, relativna frekvenca.
Klasična definicija ne zahteva eksperimentiranja. Medtem ko resnično uporabni problemi imajo neskončno število rezultatov, klasična definicija pa v tem primeru ne more dati odgovora. Zato bomo pri takih težavah uporabili statična definicija verjetnosti, ki se izračuna po poskusu oz.
Statična verjetnost w(A) ali relativna frekvenca je razmerje med številom izidov, ki so ugodni za določen dogodek, in skupnim številom dejansko izvedenih testov.
w(A)=nm
Relativna frekvenca dogodkov ima lastnost stabilnosti:
lim n→∞p(∣ ∣ nm−str∣ ∣ <ε)=1 (свойство устойчивости относительной частоты)
4. Geometrijske verjetnosti.
pri geometrijski pristop do definicije verjetnosti poljubno množico obravnavamo kot prostor elementarnih dogodkov končna Lebesgueva mera na premici, ravnini ali prostoru. Dogodki se imenujejo vse vrste merljivih podmnožice množice.
Verjetnost dogodka A se določi s formulo
kjer označuje Lebesgueova mera množice A. S to definicijo dogodkov in verjetnosti vse Aksiomi A.N. Kolmogorova so izpolnjeni.
Pri specifičnih nalogah, ki se spuščajo v zgornje verjetnostna shema, test se interpretira kot naključna izbira točke na nekem območju in dogodek A– kako izbrana točka zadene določeno podregija A regije. V tem primeru je potrebno, da imajo vse točke v regiji enake možnosti biti izbran. Ta zahteva je običajno izražena z besedami »naključno«, »naključno« itd.
Pojem verjetnosti dogodka se nanaša na temeljne koncepte teorije verjetnosti. Verjetnost je kvantitativna mera možnosti nastopa naključnega dogodka A. Označujemo jo s P(A) in ima naslednje lastnosti.
Verjetnost je pozitivno število v razponu od nič do ena:
Verjetnost nemogočega dogodka je enaka nič
Verjetnost zanesljivega dogodka je enaka ena
Klasična definicija verjetnosti. Naj bo = (1, 2,…, n) prostor elementarnih dogodkov, ki opisujejo vse možne elementarne izide in tvorijo popolno skupino nekompatibilnih in enako možnih dogodkov. Naj dogodek A ustreza podmnožici m osnovnih izidov
ti izidi se imenujejo ugodni za dogodek A. V klasični definiciji verjetnosti velja, da je verjetnost katerega koli osnovnega izida
in verjetnost dogodka A, ki mu daje prednost m izidov, je enaka
Od tod definicija:
Verjetnost dogodka A je razmerje med številom izidov, ki so ugodni za ta dogodek, in skupnim številom vseh enako možnih nekompatibilnih osnovnih izidov, ki tvorijo celotno skupino. Verjetnost je podana s formulo
kjer je m število osnovnih izidov, ki so ugodni za dogodek A, in je število vseh možnih osnovnih izidov testa.
Klasična definicija verjetnosti omogoča v nekaterih problemih analitično izračunavanje verjetnosti dogodka.
Naj se izvede poskus, zaradi katerega se lahko zgodijo določeni dogodki. Če ti dogodki tvorijo popolno skupino po parih nezdružljivih in enako možnih dogodkov, se reče, da ima izkušnja simetrijo možnih izidov in je reducirana na »shemo primerov«. Za poskuse, ki so reducirani na shemo primerov, je uporabna klasična verjetnostna formula.
Primer 1.13. Loterija izžreba 1000 srečk, od tega 5 dobitnih. Določite verjetnost, da boste ob nakupu ene srečke prejeli dobitek
Osnovni dogodek te izkušnje je nakup vstopnice. Vsaka srečka je unikatna, saj ima svojo številko, kupljene srečke pa ne vračamo. Dogodek A pomeni nakup zmagovalnega listka. Pri nakupu ene od 1000 vstopnic bodo vsi možni izidi tega eksperimenta = 1000, izidi tvorijo celotno skupino nekompatibilnih dogodkov. Število izidov, ki so ugodni za dogodek A, bo enako =5. Potem je verjetnost dobitka z nakupom ene vstopnice enaka
P(A) = = 0,005
Za neposredno izračunavanje verjetnosti je priročno uporabiti kombinatorične formule. Pokažimo to na primeru problema nadzora vzorčenja.
Primer 1.14 Naj obstaja serija izdelkov, med katerimi so nekateri okvarjeni. Del izdelkov je izbran za kontrolo. Kakšna je verjetnost, da bodo med izbranimi izdelki ravno tisti z napako?
Osnovni dogodek v tem poskusu je izbira elementarne podmnožice iz prvotne elementarne množice. Izbor katerega koli dela izdelkov iz serije izdelkov lahko štejemo za enako možne dogodke, zato je ta izkušnja zmanjšana na shemo primerov. Za izračun verjetnosti dogodka A = (med izdelki z napako, če so bili izbrani iz serije izdelkov z napako), lahko uporabite klasično formulo verjetnosti. Število vseh možnih izidov poskusa je število načinov, na katere je mogoče izbrati izdelke iz serije, enako je številu kombinacij elementov z: . Dogodek, ki je ugoden za dogodek A, je sestavljen iz produkta dveh elementarnih dogodkov: (izmed izdelkov z napako so izbrani _ (iz _ standardnih izdelkov _). Število takšnih dogodkov bo v skladu s pravilom množenja kombinatorike
Nato želena verjetnost
Naj bo na primer =100, =10, =10, =1. Takrat je verjetnost, da bo med izbranimi 10 izdelki točno en izdelek z napako, enaka
Statistična definicija verjetnosti. Za uporabo klasične definicije verjetnosti v pogojih danega eksperimenta je potrebno, da eksperiment ustreza vzorcu primerov, pri večini resničnih problemov pa je tem zahtevam praktično nemogoče izpolniti. Vendar pa je verjetnost dogodka objektivna realnost, ki obstaja ne glede na to, ali je klasična definicija uporabna ali ne. Obstaja potreba po drugi definiciji verjetnosti, ki se uporablja, kadar izkušnje ne ustrezajo vzorcu primerov.
Naj bo poskus sestavljen iz izvajanja niza testov, ki ponavljajo isti poskus, in naj se dogodek A pojavi enkrat v nizu poskusov. Relativna frekvenca dogodka W(A) je razmerje med številom poskusov, v katerih se je zgodil dogodek A, in številom vseh izvedenih poskusov
Eksperimentalno je bilo dokazano, da ima frekvenca lastnost stabilnosti: če je število poskusov v seriji dovolj veliko, potem se relativne frekvence dogodka A v različnih serijah istega eksperimenta malo razlikujejo med seboj.
Statistična verjetnost dogodka je število, h kateremu težijo relativne frekvence, če število poskusov neomejeno narašča.
Za razliko od apriorne (izračunane pred poskusom) klasične verjetnosti je statistična verjetnost a posteriorna (dobljena po poskusu).
Primer 1.15 Meteorološka opazovanja v 10 letih na določenem območju so pokazala, da je bilo število deževnih dni v juliju v različnih letih: 2; 4; 3; 2; 4; 3; 2; 3; 5; 3. Določite verjetnost, da bo kateri koli dan v juliju deževen
Dogodek A je, da bo deževalo na določen dan v juliju, na primer 10. julija. Navedena statistika ne vsebuje podatka o tem, kateri dnevi v juliju je deževalo, zato lahko domnevamo, da so vsi dnevi enako možni za ta dogodek. Naj bo eno leto ena serija testov 31 enih dni. Skupaj je 10 serij. Relativne frekvence serij so:
Frekvence so različne, vendar je opaziti, da se združujejo okoli števila 0,1. To število lahko vzamemo kot verjetnost dogodka A. Če vzamemo vse dni v juliju za deset let kot en niz testov, potem bo statistična verjetnost dogodka A enaka
Geometrijska definicija verjetnosti. Ta definicija verjetnosti posplošuje klasično definicijo na primer, ko prostor elementarnih rezultatov vključuje nešteto množico elementarnih dogodkov in je pojav vsakega od dogodkov enako možen. Geometrična verjetnost dogodka A je razmerje med merami (A) regije, ki je ugodna za pojav dogodka, in merami () celotne regije
Če ploščine predstavljajo a) dolžine segmentov, b) ploščine likov, c) prostornine prostorskih likov, potem sta geometrijski verjetnosti enaki.
Primer 1.16. Oglasi so izobešeni v razmaku 10 metrov vzdolž nakupovalne vrste. Nekatere stranke imajo širino gledanja 3 metre. Kolikšna je verjetnost, da ne bo opazil oglasa, če se premika pravokotno na nakupovalno vrsto in jo lahko kadar koli prečka?
Odsek nakupovalne vrstice, ki se nahaja med dvema oglasoma, lahko predstavimo kot ravni segment AB (slika 1.6). Potem, da bi kupec opazil oglase, mora iti skozi ravne segmente AC ali DV, enake 3 m. Če prečka nakupovalno vrsto na eni od točk segmenta SD, katerega dolžina je 4 m, potem ne bo opazil oglasa. Verjetnost tega dogodka bo
Naključnost pojava dogodkov je povezana z nezmožnostjo vnaprejšnje napovedi izida določenega testa. Če pa upoštevamo na primer test: ponovni met kovanca, ω 1, ω 2, ..., ω n, potem se izkaže, da je pri približno polovici rezultatov ( n / 2) odkrije se določen vzorec, ki ustreza konceptu verjetnosti.
Spodaj verjetnost dogodkov A razumemo kot določeno numerično karakteristiko možnosti, da se zgodi dogodek A. Označimo to numerično značilnost R(A). Obstaja več pristopov k določanju verjetnosti. Glavni so statistično, klasično in geometrijsko.
Naj se proizvaja n testi in hkrati nek dogodek A prispelo je n A krat. številka n A se imenuje absolutna frekvenca(ali preprosto pogostost) dogodka A, relacija pa se imenuje relativna pogostost pojavljanja dogodka A. Relativna pogostost katerega koli dogodka značilen po naslednjih lastnostih:
Osnova za uporabo metod teorije verjetnosti pri preučevanju realnih procesov je objektivni obstoj naključnih dogodkov, ki imajo lastnost frekvenčne stabilnosti. Več poskusov dogodka, ki se proučuje A pokazati, da za velike n relativna frekvenca ( A) ostane približno konstantna.
Statistična definicija verjetnosti je, da je verjetnost dogodka A vzeta kot konstantna vrednost p(A), okoli katere nihajo vrednosti relativnih frekvenc (A) z neomejenim povečanjem števila testovn.
Opomba 1. Upoštevajte, da je meje spremembe verjetnosti naključnega dogodka od nič do ena izbral B. Pascal zaradi udobja njegovega izračuna in uporabe. V korespondenci s P. Fermatom je Pascal nakazal, da je mogoče kot označeni interval izbrati kateri koli interval, na primer od nič do sto in druge intervale. V spodnjih težavah v tem priročniku so verjetnosti včasih izražene v odstotkih, tj. od nič do sto. V tem primeru je treba odstotke, navedene v nalogah, pretvoriti v deleže, tj. deli s 100.
Primer 1. Izvedenih je bilo 10 serij metov kovancev, vsaka s 1000 meti. Magnituda ( A) v vsaki seriji je enako 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Te frekvence so združene okoli R(A) = 0,5.
Ta primer potrjuje, da je relativna frekvenca ( A) je približno enako R(A), tj.
