Vpisani in opisani štirikotniki in njihove lastnosti - materiali za pripravo na enotni državni izpit iz matematike. Kriterij, da je štirikotnik, ki ga premica seka iz trikotnika, vpisan v določen krog

Krog je vpisan v štirikotnik, če se vse stranice štirikotnika dotikajo kroga.

Središče tega kroga je presečišče simetral vogalov štirikotnika. V tem primeru so polmeri, narisani na tangentne točke, pravokotni na stranice štirikotnika

Krog se imenuje okrog štirikotnika, če poteka skozi vsa njegova oglišča.

Središče tega kroga je točka presečišča simetral pravokotnic na stranice štirikotnika.

Vsakemu štirikotniku ni mogoče vpisati kroga in vsakemu štirikotniku ni mogoče vpisati kroga.

LASTNOSTI VČRTANIH IN KROŽNIH štirikotnikov

IZREK V konveksno včrtanem štirikotniku sta vsoti nasprotnih kotov med seboj enaki in enaki 180°.

IZREK Nasprotno: če sta v štirikotniku vsoti nasprotnih kotov enaki, lahko okrog štirikotnika opišemo krog. Njegovo središče je presečišče simetral pravokotnic na stranice.

IZREK Če je štirikotnik včrtan krog, sta vsoti njegovih nasprotnih stranic enaki.

IZREK Nasprotno: če sta v štirikotniku vsoti nasprotnih stranic enaki, je lahko vanj vpisan krog. Njegovo središče je presečišče simetral.

Posledice: od vseh paralelogramov je le okoli pravokotnika (zlasti okoli kvadrata) mogoče opisati krog.

Od vseh paralelogramov lahko samo romb (zlasti kvadrat) vpiše krog (središče je točka presečišča diagonal, polmer je enaka polovici višina).

Če lahko okoli trapeza opišemo krog, potem je enakokrak. Okoli kateregakoli enakokrakega trapeza lahko opišemo krog.

Če je v trapez vpisan krog, je njegov polmer enak polovici višine.

Naloge z rešitvami

1. Poiščite diagonalo pravokotnika, včrtanega v krog s polmerom 5.

Središče kroga, urejenega okoli pravokotnika, je točka presečišča njegovih diagonal. Zato je diagonala AC enako 2 R. To je AC=10
Odgovor: 10.

2. Okoli trapeza je opisan krog, katerega osnovici sta 6 cm in 8 cm, višina pa 7 cm. Poiščite ploščino tega kroga.

Naj DC=6, AB=8. Ker je okrog trapeza opisan krog, je ta enakokrak.

Narišimo dve višini DM in CN.Ker je trapez enakokrak, torej AM=OPOMBA=

Potem AN=6+1=7

Iz trikotnika ANS s pomočjo Pitagorovega izreka najdemo AC.

Iz trikotnika CВN s pomočjo Pitagorovega izreka najdemo sonce.

Opisani krog trapeza je tudi opisan krog trikotnika. DIA

Poiščimo območje ta trikotnik na dva načina z uporabo formul

kje h- višina in - osnova trikotnika

Kjer je R polmer opisanega kroga.

Iz teh izrazov dobimo enačbo. kje

Površina kroga bo enaka

3. Koti in štirikotniki so povezani kot . Poiščite kot, če je danemu štirikotniku mogoče opisati krog. Podajte svoj odgovor v stopinjah

Iz pogoja sledi, da .Ker lahko okoli štirikotnika opišemo krog, torej

Dobimo enačbo . Potem. Vsota vseh kotov štirikotnika je 360º. Potem

. kje to dobimo

4. Stranici trapeza, opisanega krogu, sta 3 in 5. Poiščite srednjo črto trapeza.

Potem srednja črta enako

5. Obod pravokotni trapez okrog kroga, ki je opisan okoli kroga, je 22, njegova velika stranica pa 7. Poiščite polmer kroga.

V trapezu je polmer včrtanega kroga enak polovici višine. Narišimo višino SC.

Potem .

Ker je trapezu vpisan krog, je vsota dolžin nasprotnih straneh so enaki. Potem

Nato obod

Dobimo enačbo

6. Osnovici enakokrakega trapeza sta 8 in 6. Polmer opisane krožnice je 5. Poišči višino trapeza.

Naj bo O središče krožnice, ki je opisana okoli trapeza. Potem.

Skozi točko O narišimo višino KH

Potem , kjer sta KO in OH višini in hkrati mediani enakokraki trikotniki DOC in AOB. Potem

Po Pitagorovem izreku.

Vpisanoštirikotnik - štirikotnik, katerega oglišča ležijo na istem krogu.
Očitno se bo ta krog imenoval opisano okoli štirikotnika.

Opisanoštirikotnik je tak, da se vse njegove stranice dotikajo enega kroga. V tem primeru krog vpisana v štirikotnik.

Na sliki sta prikazana črtana in opisana štirikotnika ter njihove lastnosti.

Poglejmo, kako se te lastnosti uporabljajo pri reševanju problemov enotnega državnega izpita.

1. Dva kota štirikotnika, včrtanega v krog, imata 82° in 58°. Poiščite največji preostali kot. Podajte svoj odgovor v stopinjah.

Vsota nasprotnih kotov včrtanega štirikotnika je 180°. Naj bo kot A 82°. Nato je nasproti kot 98 stopinj. Če je kot B 58°, potem je kot D 180° - 58° = 122°.

Odgovor: 122.

2. Tri stranice štirikotnika, opisanega okrog kroga, so v razmerju (v zaporednem vrstnem redu) 1:2:3. Poiščite najdaljšo stranico tega štirikotnika, če je znano, da je njegov obseg 32.

Naj bo stranica AB x, AD 2x in DC 3x. Glede na lastnost opisanega štirikotnika sta vsoti nasprotnih stranic enaki in torej
x + 3x = BC + 2x.
Izkaže se, da je BC enak 2x. Potem je obseg štirikotnika 8x. Dobimo, da je x = 4 in velika stran enako 12.

3. Trapez je opisan okrog kroga, katerega obseg je 40. Poiščite njegovo središčnico.

Spomnimo se, da je srednjica trapeza enaka polovici vsote osnov. Naj bosta osnovici trapeza enaki a in c, in straneh- b in d. Glede na lastnost opisanega štirikotnika je
a + c = b + d, kar pomeni, da je obseg 2(a + c).
Dobimo, da je a + c = 20, srednja črta pa je 10.

Še enkrat ponovimo lastnosti črtanega in očrtanega štirikotnika.

Štirikotnik je lahko včrtan v krog, če in samo če je vsota njegovih nasprotnih kotov enaka 180°.

Štirikotnik je mogoče opisati okoli kroga, če in samo če sta vsoti dolžin njegovih nasprotnih stranic enaki.

"Krog" Videli smo, da lahko okrog katerega koli trikotnika opišemo krog. To pomeni, da za vsak trikotnik obstaja krog, tako da vsa tri oglišča trikotnika "sedijo" na njem. takole:

Vprašanje: ali lahko enako rečemo za štirikotnik? Ali drži, da bo vedno obstajal krog, na katerem bodo »sedela« vsa štiri oglišča štirikotnika?

Izkazalo se je, da to NI RES! Štirikotnika NI mogoče VEDNO včrtati v krog. Obstaja zelo pomemben pogoj:

Na naši sliki:

Poglejte, kota in ležita drug proti drugemu, kar pomeni, da sta nasprotna. Kaj pa koti in? Zdi se, da sta tudi nasprotja? Ali je mogoče namesto kotov in vzeti kote in?

Seveda lahko! Glavna stvar je, da ima štirikotnik nekaj dveh nasprotni koti, katere vsota bo. Tudi preostala dva kota se bosta nato sama seštela. ne verjameš? Prepričajmo se. poglej:

Naj bo. Ali se spomnite, kakšna je vsota vseh štirih kotov katerega koli štirikotnika? Vsekakor,. Se pravi – vedno! . Ampak, → .

Čarovnija tam!

Zato si to zelo trdno zapomnite:

Če je štirikotnik vpisan v krog, potem je vsota poljubnih dveh njegovih nasprotnih kotov enaka

in obratno:

Če ima štirikotnik dva nasprotna kota, katerih vsota je enaka, potem je štirikotnik cikličen.

Vsega tega tukaj ne bomo dokazovali (če vas zanima, poglejte v naslednje nivoje teorije). Toda poglejmo, kam to vodi čudovito dejstvo da je vsota nasprotnih kotov včrtanega štirikotnika enaka.

Na primer, pride na misel vprašanje: ali je mogoče opisati krog okoli paralelograma? Najprej poskusimo z »poke method«.

Nekako ne gre.

Zdaj pa uporabimo znanje:

Predpostavimo, da nam je nekako uspelo namestiti krog na paralelogram. Potem mora zagotovo obstajati: , tj.

Zdaj pa se spomnimo lastnosti paralelograma:

Vsak paralelogram ima enake nasprotne kote.

Izkazalo se je, da

Kaj pa koti in? No, seveda isto.

Vpisano → →

Paralelogram → →

Neverjetno, kajne?

Izkazalo se je, da če je paralelogram vpisan v krog, potem so vsi njegovi koti enaki, to je pravokotnik!

In hkrati - središče kroga sovpada s presečiščem diagonal tega pravokotnika. To je tako rekoč vključeno kot bonus.

No, to pomeni, da smo ugotovili, da je paralelogram, vpisan v krog pravokotnik.

Zdaj pa se pogovorimo o trapezu. Kaj se zgodi, če je trapez včrtan v krog? A izkazalo se je, da bo enakokraki trapez . Zakaj?

Naj bo trapez vpisan v krog. Potem spet, vendar zaradi vzporednosti črt in.

To pomeni, da imamo: → → enakokraki trapez.

Še lažje kot s pravokotnikom, kajne? Vendar se morate trdno spomniti - prišlo bo prav:

Naj naštejemo največ glavne izjave tangenta na štirikotnik, vpisan v krog:

Štirikotnik je vpisan v krog takrat in samo, če je vsota njegovih dveh nasprotnih kotov enaka
Paralelogram, včrtan v krog – vsekakor pravokotnik in središče kroga sovpada s presečiščem diagonal
Krogu včrtan trapez je enakostranični.

Včrtan štirikotnik. Srednja stopnja

Znano je, da za vsak trikotnik obstaja opisan krog (to smo dokazali v temi »Opisani krog«). Kaj lahko rečemo o štirikotniku? Izkazalo se je, da VSAKEGA štirikotnika NI mogoče včrtati v krog, in obstaja takšen izrek:

Štirikotnik je vpisan v krog takrat in samo, če je vsota njegovih nasprotnih kotov enaka.

Na naši risbi -

Poskusimo razumeti, zakaj je tako? Z drugimi besedami, zdaj bomo dokazali ta izrek. Toda preden to dokažete, morate razumeti, kako sama izjava deluje. Ste v izjavi opazili besede "takrat in šele takrat"? Takšne besede pomenijo, da so škodljivi matematiki stlačili dve izjavi v eno.

Dešifriramo:

"Potem" pomeni: Če je štirikotnik vpisan v krog, potem je vsota katerih koli dveh njegovih nasprotnih kotov enaka.
»Samo takrat« pomeni: Če ima štirikotnik dva nasprotna kota, katerih vsota je enaka, potem lahko tak štirikotnik vpišemo v krog.

Tako kot Alice: "Mislim, kar rečem" in "Povem, kar mislim."

Zdaj pa ugotovimo, zakaj sta 1 in 2 resnični?

Prvi 1.

Naj bo v krog vpisan štirikotnik. Označimo njegovo središče in narišimo polmere in. Kaj se bo zgodilo? Ali se spomnite, da je včrtan kot polovica velikosti ustreznega središčnega kota? Če se spomnite, ga bomo zdaj uporabili, če ne, pa si oglejte temo "Krog. Včrtani kot".

Vpisano

Ampak poglej:.

Dobimo, da če je - vpisano, potem

No, jasno je, da se tudi sešteje. (tudi to morate upoštevati).

Zdaj "obratno", to je 2.

Naj se izkaže, da je v štirikotniku vsota nekaterih dveh nasprotnih kotov enaka. Recimo naj

Ne vemo še, ali lahko opišemo krog okoli njega. Zagotovo pa vemo, da bomo zagotovljeno sposobni opisati krog okoli trikotnika. Torej naredimo to.

Če točka ne »sedi« na krog, potem neizogibno konča zunaj ali znotraj.

Upoštevajmo oba primera.

Naj bo točka najprej zunaj. Nato segment na neki točki seka krog. Povežimo se in. Rezultat je včrtan (!) štirikotnik.

O njem že vemo, da je vsota njegovih nasprotnih kotov enaka, torej in po našem pogoju.

Izkazalo se je, da bi moralo biti tako.

Ampak to nikakor ne more biti, ker - zunanji kotiček za in pomeni.

Kaj pa notri? Delajmo podobne stvari. Naj bo bistvo notri.

Nato nadaljevanje odseka seka krog v točki. Spet - včrtan štirikotnik in po pogoju mora biti izpolnjen, vendar - zunanji kot za in pomeni, torej spet ne more biti to.

To pomeni, da točka ne more biti ne zunaj ne znotraj kroga - to pomeni, da je na krogu!

Celoten izrek je dokazan!

Zdaj pa poglejmo, kakšne dobre posledice daje ta izrek.

Posledica 1

Krogu včrtan paralelogram je lahko le pravokotnik.

Razumejmo, zakaj je tako. Naj bo v krog včrtan paralelogram. Potem je treba to storiti.

Toda iz lastnosti paralelograma to vemo.

In enako, seveda, glede kotov in.

Tako se izkaže, da je pravokotnik - vsi vogali so vzdolž.

Toda poleg tega obstaja še eno prijetno dejstvo: središče kroga, ki je opisan okoli pravokotnika, sovpada s presečiščem diagonal.

Razumejmo zakaj. Upam, da se dobro spomnite, da je kot, ki ga sestavlja premer, ravna črta.

premer,

Premer

kar pomeni, da je središče. To je vse.

Posledica 2

Krogu včrtan trapez je enakokrak.

Naj bo trapez vpisan v krog. Potem.

In enako.

Sva se pogovorila o vsem? res ne. Pravzaprav obstaja še en, "skrivni" način za prepoznavanje včrtanega štirikotnika. To metodo bomo oblikovali ne zelo strogo (vendar razumljivo) in jo bomo dokazali le v zadnja stopnja teorije.

Če lahko v štirikotniku opazimo takšno sliko, kot je tukaj na sliki (tukaj sta kota, ki gledata na strani točk in enaka), potem je tak štirikotnik včrtan.

To je zelo pomembna risba - v težavah jo je pogosto lažje najti enaki koti, kot vsota kotov in.

Kljub popolnemu pomanjkanju strogosti v naši formulaciji je pravilna, poleg tega pa jo izpraševalci enotnega državnega izpita vedno sprejmejo. Moral bi napisati nekaj takega:

"- vpisano" - in vse bo v redu!

Ne pozabi tega pomemben znak- zapomnite si sliko in morda vam bo pravočasno padla v oči pri reševanju težave.

Včrtan štirikotnik. Kratek opis in osnovne formule

Če je štirikotnik vpisan v krog, potem je vsota poljubnih dveh njegovih nasprotnih kotov enaka

in obratno:

Če ima štirikotnik dva nasprotna kota, katerih vsota je enaka, potem je štirikotnik cikličen.

Štirikotnik je vpisan v krog, če in samo če je vsota njegovih dveh nasprotnih kotov enaka.

Paralelogram, včrtan v krog- zagotovo pravokotnik, središče kroga pa sovpada s presečiščem diagonal.

Krogu včrtan trapez je enakokrak.

VČRTANI IN KROŽNI MNOGOKOTNIKI,

§ 106. LASTNOSTI VRČISANIH IN OPISANIH ŠTIRIKOTNIKOV.

1. izrek. Vsota nasprotnih kotov cikličnega štirikotnika je 180°.

Naj bo v krog s središčem O vpisan štirikotnik ABCD (slika 412). To je potrebno dokazati / A+ / C = 180° in / B + / D = 180°.

/ A, kot je vpisano v krog O, meri 1/2 BCD.
/ C, kot je vpisan v isti krog, meri 1/2 BAD.

Posledično se vsota kotov A in C meri s polovično vsoto lokov BCD in BAD v seštevku, ti loki sestavljajo krog, tj. Imajo 360°.
Od tukaj / A+ / C = 360°: 2 = 180°.

Podobno je dokazano, da / B + / D = 180°. Vendar je to mogoče sklepati na drug način. Vemo, da je vsota notranjih kotov konveksni štirikotnik enako 360°. Vsota kotov A in C je enaka 180°, kar pomeni, da tudi vsota ostalih dveh kotov štirikotnika ostane 180°.

2. izrek(vzvratno). Če je v štirikotniku vsota dveh nasprotnih kotov enaka 180° , potem lahko okoli takšnega štirikotnika opišemo krog.

Naj bo vsota nasprotnih kotov štirikotnika ABCD enaka 180°, in sicer
/ A+ / C = 180° in / B + / D = 180° (risba 412).

Dokažimo, da lahko okoli takšnega štirikotnika opišemo krog.

Dokaz. Skozi poljubna 3 oglišča tega štirikotnika lahko narišete krog, na primer skozi točke A, B in C. Kje bo točka D?

Točka D lahko zaseda le enega od naslednje tri položaji: biti znotraj kroga, biti zunaj kroga, biti na obodu kroga.

Predpostavimo, da je oglišče znotraj kroga in zavzame položaj D" (slika 413). Potem bomo v štirikotniku ABCD" imeli:

/ B + / D" = 2 d.

Če nadaljujemo stranico AD" do presečišča s krožnico v točki E in povezujemo točki E in C, dobimo ciklični štirikotnik ABCE, v katerem po direktnem izreku

/ B+ / E = 2 d.

Iz teh dveh enakosti sledi:

/ D" = 2 d - / B;
/ E=2 d - / B;

/ D" = / E,

a to ne more biti, ker / D", kot zunanji glede na trikotnik CD"E, mora biti več kota E. Zato točka D ne more biti znotraj kroga.

Dokazano je tudi, da oglišče D ne more zavzeti položaja D" zunaj kroga (slika 414).

Upoštevati je treba, da mora oglišče D ležati na obodu kroga, tj. sovpadati s točko E, kar pomeni, da lahko okrog štirikotnika ABCD opišemo krog.

Posledice. 1. Okoli kateregakoli pravokotnika lahko opišemo krog.

2. Okoli enakokrakega trapeza lahko opišemo krog.

V obeh primerih je vsota nasprotnih kotov 180°.

Izrek 3. V opisanem štirikotniku sta vsoti nasprotnih stranic enaki. Opišemo štirikotnik ABCD okoli kroga (slika 415), tj. njegove stranice AB, BC, CD in DA se dotikajo tega kroga.

Dokazati je treba, da je AB + CD = AD + BC. Dotične točke označimo s črkami M, N, K, P. Na podlagi lastnosti tangent, ki potekajo na krožnico iz ene točke (§ 75), imamo:

AR = AK;
VR = VM;
DN = DK;
CN = CM.

Seštejmo te enakosti člen za členom. Dobimo:

AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,

tj. AB + CD = AD + BC, kar je bilo treba dokazati.

vaje.

1. V včrtanem štirikotniku sta dva nasprotna kota v razmerju 3:5,
druga dva pa sta v razmerju 4:5.

2. V opisanem štirikotniku je vsota dveh nasprotnih stranic 45 cm. Preostali dve stranici sta v razmerju 0,2 : 0,3. Poišči dolžine teh stranic.

Naloga 6: v enakokrakem trapezu sta osnovnici 21 in 9 centimetrov, višina je 8 centimetrov. Poiščite polmer opisane krožnice.

1. Izvedimo pravokotne simetrale osnovici H in K, tedaj središče krožnice O leži na premici NK.

2. AO=OB=R. Točka O deli odsek NK na dva dela: naj bo HO = x, potem je OK = 8 - x.

3. AO 2 = AK 2 + KO 2; OB 2 = VN 2 + NO 2;

ker je OA 2 = OB 2, dobimo:

AK 2 + KO 2 = VN 2 + NO 2

90 + 64 - 16x = 0

OB 2 = HV 2 + NO 2

Odgovor: OB = 10,625

Težave s krogom, včrtanim štirikotniku

Naloga 7: Krožnica s polmerom R je včrtana v romb. Poiščite ploščino romba velika diagonala 4-krat večji od polmera včrtani krog.

Podano: romb, polmer včrtanega kroga - R, BD r 4-krat

1. Naj bo OE = R, BD = 4OE = 4R

Problem 8: Poiščite ploščino enakokrakega trapeza, urejenega okoli kroga s polmerom 4, če je znano, da je stranska stranica trapeza 10.

Podano: ABCD - enakokraki trapez, r = 4, AB = 10

1. AB = CD = 10 po pogoju

2. AB + CD = AD + BC po lastnosti vpisanega kroga

3. AD + BC = 10 + 10 = 20

4. FE = 2r = 2 4 = 8

Problem 9: znotraj navaden trikotnik s stranjo a so trije enake kroge, od katerih se vsaka dotika dveh stranic trikotnika in dveh drugih krogov. Poiščite območje dela trikotnika, ki se nahaja zunaj teh krogov.

1. Naj bo AB = BC = AC = a.

2. Označimo O 1 E = O 1 K = ED = r, potem je AD = AE + ED = AE + r = .

3. AO 1 je simetrala kota A, torej ? O 1 AE = 30? in v pravokotniku?AO 1 E velja AO 1 = 2O 1 E = 2r in AE ===. Potem je AE + r = == , od koder je.

Problem 10: celoten lok kroga polmera R je razdeljen na 4 velike in 4 male dele, ki se izmenjujejo drug za drugim. večina dvakrat daljši od malega. Določite ploščino osmerokotnika, katerega oglišča so ločnice krožnega loka.

1. Naj velja?AOB = 2x, ?BOC = x, potem po pogoju 8x + 4x = 360°, x = 30°, 2x = 60°, ?AOB = 60°, ?BOC = 30°

Problem 11: Stranice trikotnika so 12 m, 16 m in 20 m.

1. 202 = 122 + 162

400 = 400 je pravilno, torej ? ABC - pravokotnik (po izreku, obratni izrek Pitagora)