Prva stopnja

Opisani krog. Vizualni vodnik (2019)

Prvo vprašanje, ki se lahko pojavi, je: kaj je opisano – okoli česa?

No, pravzaprav se včasih zgodi okoli česar koli, a mi bomo govorili o krogu, ki je opisan okoli (včasih rečejo tudi "približno") trikotnika. Kaj je to?

In samo predstavljajte si, zgodi se neverjetno dejstvo:

Zakaj je to dejstvo presenetljivo?

Toda trikotniki so drugačni!

In za vsakega obstaja krog, ki ga bo šel skozi skozi vse tri vrhove, to je opisani krog.

Dokaz za to neverjetno dejstvo lahko najdete v naslednjih ravneh teorije, vendar tukaj samo ugotavljamo, da če vzamemo na primer štirikotnik, potem ne bo za vsakogar krog, ki poteka skozi štiri oglišča. Na primer, paralelogram je odličen štirikotnik, vendar noben krog ne poteka skozi vsa njegova štiri oglišča!

In obstaja samo za pravokotnik:

Izvoli, in vsak trikotnik ima vedno svoj opisani krog! In vedno je zelo enostavno najti središče tega kroga.

Ali veš kaj je to pravokotna simetrala?

Zdaj pa poglejmo, kaj se zgodi, če na stranice trikotnika upoštevamo kar tri pravokotne simetrale.

Izkazalo se je (in prav to je treba dokazati, čeprav ne bomo), da vse tri navpičnice se sekajo v eni točki. Poglejte sliko – vse tri pravokotne simetrale se sekajo v eni točki.

Ali menite, da je središče opisane krožnice vedno znotraj trikotnika? Predstavljajte si - ne vedno!

Ampak če ostrokoten, nato - znotraj:

Kaj storiti s pravokotnim trikotnikom?

In z dodatnim bonusom:

Ker govorimo o polmeru opisanega kroga: čemu je enak poljuben trikotnik? In na to vprašanje obstaja odgovor: t.i.

namreč:

In seveda,

1. Eksistenca in središče kroga

Tu se pojavi vprašanje: ali tak krog obstaja za vsak trikotnik? Izkazalo se je, da da, za vse. In poleg tega bomo zdaj oblikovali izrek, ki odgovarja tudi na vprašanje, kje se nahaja središče opisanega kroga.

Poglej, takole:

Bodimo pogumni in dokažimo ta izrek. Če ste že prebrali temo "" in razumeli, zakaj se tri simetrale sekajo v eni točki, vam bo lažje, če pa je niste prebrali, ne skrbite: zdaj bomo to ugotovili.

Dokaz bomo izvedli s konceptom geometrijskega mesta točk (GMT).

No, na primer, je komplet žog - " lokus» okrogle predmete? Ne, seveda, ker obstajajo okrogle ... lubenice. Je skupek ljudi, »geometrijsko mesto«, ki lahko govori? Tudi ne, ker obstajajo dojenčki, ki ne znajo govoriti. V življenju je na splošno težko najti primer resnične "geometrijske lokacije točk". Pri geometriji je lažje. Tukaj je na primer točno to, kar potrebujemo:

Tu je množica pravokotna simetrala, lastnost " " pa je "biti enako oddaljen (točka) od koncev segmenta."

Naj preverimo? Torej se morate prepričati o dveh stvareh:

1. Vsaka točka, ki je enako oddaljena od koncev segmenta, se nahaja na simetrali, ki je pravokotna nanj.

Povežimo c in c. Potem je premica srednjica in višina b. To pomeni - enakokraki - pazili smo, da je vsaka točka, ki leži na simetrali pravokotnice, enako oddaljena od točk in.

Vzemimo sredino in povežimo in. Rezultat je mediana. Toda glede na pogoj ni enakokraka samo mediana, ampak tudi višina, to je pravokotna simetrala. To pomeni, da točka natančno leži na simetrali pravokotnice.

Vse! Dejstvo smo v celoti preverili Simetrala odseka je geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od koncev odseka.

Vse lepo in prav, a smo pozabili na opisani krog? Nikakor, samo pripravili smo si »odskočno desko za napad«.

Razmislite o trikotniku. Narišimo dve bisektoralni navpičnici in, recimo, na segmente in. Na neki točki, ki jo bomo poimenovali, se bosta sekali.

Zdaj pa pozor!

Točka leži na simetrali pravokotnice;
točka leži na simetrali pravokotnice.
In to pomeni, in.

Iz tega sledi več stvari:

Prvič, točka mora ležati na tretji simetrali, pravokotni na segment.

To pomeni, da mora skozi točko potekati tudi simetrala pravokotnice in vse tri simetrale se sekajo v eni točki.

Drugič: če narišemo krog s središčem v točki in polmerom, potem bo tudi ta krog potekal skozi točko in točko, torej bo opisan krog. To pomeni, da že obstaja, da je presečišče treh pravokotnih simetral središče opisanega kroga za vsak trikotnik.

In zadnja stvar: o edinstvenosti. Jasno (skoraj) je, da je točko mogoče dobiti na edinstven način, zato je krog edinstven. No, "skoraj" bomo pustili za vaš razmislek. Torej smo dokazali izrek. Lahko zavpijete "Hura!"

Kaj pa, če je v nalogi "poišči polmer opisanega kroga"? Ali obratno, radij je podan, vendar morate najti nekaj drugega? Ali obstaja formula, ki povezuje polmer opisanega kroga z drugimi elementi trikotnika?

Prosimo, upoštevajte: sinusni izrek pravi, da da bi našli polmer opisanega kroga, potrebujete eno stran (poljubno!) in njej nasprotni kot. To je vse!

3. Središče kroga - znotraj ali zunaj

Zdaj se postavlja vprašanje: ali lahko leži središče opisanega kroga zunaj trikotnika?
Odgovor: kolikor je mogoče. Poleg tega se to vedno zgodi v tupokotnem trikotniku.

In na splošno:

KROŽNI KROG. NA KRATKO O GLAVNEM

1. Okoli trikotnika opisan krog

To je krog, ki poteka skozi vsa tri oglišča tega trikotnika.

2. Eksistenca in središče kroga

Pa je tema končana. Če berete te vrstice, pomeni, da ste zelo kul.

Ker le 5% ljudi zmore nekaj obvladati samih. In če preberete do konca, potem ste v teh 5%!

Zdaj pa najpomembnejše.

Razumeli ste teorijo o tej temi. In ponavljam, to ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.

Težava je v tem, da to morda ni dovolj ...

Za kaj?

Za uspešen zaključek Enotni državni izpit, za sprejem na fakulteto na proračun in, kar je NAJPOMEMBNEJE, za življenje.

Ne bom vas prepričeval v nič, samo eno stvar bom rekel ...

Ljudje, ki so prejeli dobra izobrazba, zaslužijo veliko več kot tisti, ki tega niso prejeli. To je statistika.

Ampak to ni glavna stvar.

Glavno, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker je pred njimi veliko več odprtega več možnosti in življenje postane svetlejše? ne vem ...

Ampak pomislite sami ...

Kaj je potrebno, da smo prepričani, da smo boljši od drugih na Enotnem državnem izpitu in na koncu ... srečnejši?

PRIDOBITE SE Z REŠEVANJEM PROBLEMOV NA TO TEMO.

Med izpitom ne boste zahtevali teorije.

Boste potrebovali reševanje težav s časom.

In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali preprosto ne boste imeli časa.

To je kot v športu – večkrat moraš ponoviti, da zagotovo zmagaš.

Poiščite zbirko kjer koli želite, nujno z rešitvami, podrobna analiza in odločaj se, odločaj se!

Uporabite lahko naše naloge (izbirno) in jih seveda priporočamo.

Če želite bolje uporabljati naše naloge, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.

kako Obstajata dve možnosti:

1. Odklenite vse skrite naloge v tem članku - 299 rubljev.
2. Odkleni dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 členih učbenika - 999 rubljev.

Da, v našem učbeniku imamo 99 takih členov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih se lahko odpre takoj.

V drugem primeru vam bomo dali simulator "6000 problemov z rešitvami in odgovori, za vsako temo, na vseh ravneh zahtevnosti." Zagotovo bo dovolj, da se lotite reševanja problemov na katero koli temo.

Pravzaprav je to veliko več kot le simulator - celoten program usposabljanja. Po potrebi ga lahko uporabljate tudi BREZPLAČNO.

Dostop do vseh besedil in programov je zagotovljen za CELOTNO obdobje obstoja strani.

V zaključku...

Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne ustavite se pri teoriji.

"Razumem" in "znam rešiti" sta popolnoma različni veščini. Potrebujete oboje.

Poiščite težave in jih rešite!

Krog, obkrožen pravokotnemu trikotniku. V tej publikaciji si bomo ogledali dokaz enega " matematično dejstvo", ki se pogosto uporablja pri reševanju geometrijskih problemov. V nekaterih virih je to dejstvo označeno kot izrek, v drugih kot lastnost, obstajajo različne formulacije, vendar je njihovo bistvo enako:

Vsak trikotnik, zgrajen na premeru kroga, katerega tretje oglišče leži na tem krogu, je pravokoten!

To pomeni, da je vzorec v tem geometrijskem vzorcu tak, da kamor koli postavite oglišče trikotnika, bo kot pri tem oglišču vedno pravi:

Na izpitu iz matematike je kar nekaj nalog, pri reševanju katerih se uporablja ta lastnost.

Standardni dokaz se mi zdi zelo zmeden in preobremenjen matematičnih simbolov, boste našli v učbeniku. Upoštevali bomo preproste in intuitivne. Odkril sem ga v čudovitem eseju z naslovom " Matematikov jok«, priporočam v branje učiteljem in učencem.

Najprej se spomnimo nekaj teoretičnih točk:

Znak za paralelogram. Paralelogram ima nasprotni stranici, ki sta enaki. To pomeni, da če ima štirikotnik oba para nasprotnih strani enaka, potem je ta štirikotnik paralelogram.

Pravokotni znak. Pravokotnik je paralelogram in njegovi diagonali sta enaki. Se pravi, če ima paralelogram enake diagonale, potem je to pravokotnik.

*Pravokotnik je paralelogram;

Pa začnimo:

Vzemimo trikotnik in ga zavrtimo za 180 0 glede na središče kroga (obrnemo). Dobimo štirikotnik, vpisan v krog:

Ker smo trikotnik preprosto zavrteli, sta nasprotni stranici štirikotnika enaki, kar pomeni, da je paralelogram. Ker je trikotnik zasukan natanko za 180 stopinj, je njegovo oglišče diametralno nasprotno oglišču "prvotnega" trikotnika.

Izkaže se, da sta diagonali štirikotnika enaki, torej sta premera. Imamo štirikotnik, katerega nasprotni stranici sta enaki in diagonali enaki, torej je pravokotnik, vsi njegovi koti pa so pravi koti.

To je ves dokaz!

Lahko razmislite tudi o tem, prav tako preprostem in razumljivem:

Oglejte si še en dokaz =>>

Iz točke C bomo zgradili odsek, ki poteka skozi središče kroga, katerega drugi konec bo ležal na nasprotni točki kroga (točka D). Povežite točko D z oglišči A in B:Dobili smo štirikotnik. Trikotnik AOD enaka trikotniku SOVA na dveh stranicah in kot med njima:

Iz enakosti trikotnikov sledi AD = CB.

Podobno je AC = DB.

Sklepamo lahko, da je štirikotnik paralelogram. Poleg tega sta njegovi diagonali enaki - AB je na začetku podan kot premer, CD je prav tako premer (gre skozi točko O).

Tako je ACBD pravokotnik, kar pomeni, da so vsi njegovi koti pravi. Dokazano!

Še en izjemen pristop, ki jasno in »lepo« pove, da je zadevni kot vedno pravi.

Poglejte in si zapomnite podatke o. Poglejte zdaj skico:

Kot AOB ni nič drugega kot središčni kot, ki temelji na loku ADB in je enak 180 stopinj. Da, AB je premer kroga, vendar nam nič ne preprečuje štetja AOB središčni kot(to je ravni kot). Na istem loku na ADB je včrtan tudi kot ACB.

In vemo, da je včrtani kot enaka polovici središčni, torej ne glede na to, kako na krožnici postavimo točko C, bo kot ACB vedno enak 90 stopinj, kar pomeni, da je premo.

Kakšne zaključke je mogoče narediti v zvezi z reševanjem nalog, zlasti tistih, ki so vključene v izpit?

Če se pogoj nanaša na trikotnik, včrtan v krog in zgrajen na premeru tega kroga, potem je ta trikotnik zagotovo pravokoten trikotnik.

Če rečemo, da je pravokotni trikotnik vpisan v krog, potem to pomeni, da njegova hipotenuza sovpada z njegovim premerom (ki mu je enak) in središče hipotenuze sovpada s središčem kroga.

To je vse. Srečno!

S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh.

Simetrala navpično na daljico

Definicija 1. Simetrala pravokotna na odsek imenovana ravna črta, ki je pravokotna na ta segment in poteka skozi njegovo sredino (slika 1).

1. izrek. Vsaka točka simetrale pravokotnice na odsek se nahaja na enaki razdalji od koncev ta segment.

Dokaz . Razmislimo poljubna točka D, ki leži na simetrali pravokotnici na odsek AB (slika 2), in dokažite, da sta trikotnika ADC in BDC enaka.

Dejansko so ti trikotniki pravokotni trikotniki, v katerih sta kraka AC in BC enaka, krak DC pa je skupen. Enakost trikotnikov ADC in BDC pomeni enakost segmentov AD in DB. Izrek 1 je dokazan.

Izrek 2 (konverzija k izreku 1). Če je točka enako oddaljena od koncev odseka, potem leži na simetrali, ki je pravokotna na ta odsek.

Dokaz . Dokažimo izrek 2 s protislovjem. V ta namen predpostavimo, da je neka točka E na enaki razdalji od koncev odseka, vendar ne leži na simetrali, ki je pravokotna na ta odsek. To predpostavko pripeljemo do protislovja. Najprej si oglejmo primer, ko točki E in A ležita vzdolž različne strani od srednje pravokotnice (slika 3). V tem primeru odsek EA seka pravokotno simetralo v neki točki, ki jo bomo označili s črko D.

Dokažimo, da je odsek AE daljši od odseka EB. res,

V primeru, ko ležita točki E in A na nasprotnih straneh simetrale pravokotnice, imamo torej protislovje.

Poglejmo zdaj primer, ko točki E in A ležita na isti strani simetrale pravokotnice (slika 4). Dokažimo, da je odsek EB daljši od odseka AE. res,

Nastalo protislovje dopolnjuje dokaz izreka 2

Okoli trikotnika obkrožen krog

Definicija 2. Krog, obkrožen s trikotnikom, se imenuje krog, ki poteka skozi vsa tri oglišča trikotnika (slika 5). V tem primeru se imenuje trikotnik trikotnik vpisan v krog oz včrtan trikotnik.

Lastnosti okroglega kroga trikotnika. Sinusni izrek

Slika	risanje	Lastnina
Simetrale pravokotnice na stranice trikotnika		sekata v eni točki .
Center opisano približno ostrokotni trikotnik krog		Center opisan o ostrokoten znotraj trikotnik.
Center okrog pravokotnega trikotnika opisan krog		Opisano središče približno pravokotne sredina hipotenuze .
Center okrog topega trikotnika opisan krog		Center opisan o topokoten trikotnik krog leži zunaj trikotnik.
		,
kvadrat trikotnik		S= 2R 2 greh A greh B greh C ,
Cirkumradius		Za vsak trikotnik velja enakost:

Simetrale pravokotnice na stranice trikotnika

Vse pravokotne simetrale , narisane na stranice poljubnega trikotnika, sekata v eni točki .

Okoli trikotnika obkrožen krog

Vsak trikotnik je lahko obkrožen s krogom . Središče okrog trikotnika opisanega kroga je točka, v kateri se sekajo vse pravokotnice, narisane na stranice trikotnika.

Središče okroglega kroga ostrokotnega trikotnika

Center opisan o ostrokoten trikotnik krog leži znotraj trikotnik.

Središče obremenjenega kroga pravokotnega trikotnika

Opisano središče približno pravokotne trikotnik krog je sredina hipotenuze .

Središče okroglega kroga tupokotnega trikotnika

Center opisan o topokoten trikotnik krog leži zunaj trikotnik.

Za vsak trikotnik veljajo naslednje enakosti (sinusni izrek): , kjer so a, b, c stranice trikotnika, A, B, C so koti trikotnika, R je polmer opisanega kroga.

Območje trikotnika

Za vsak trikotnik velja enakost: S= 2R 2 greh A greh B greh C , kjer so A, B, C koti trikotnika, S je površina trikotnika, R je polmer obkroženega kroga.

Cirkumradius

Za vsak trikotnik velja enakost: kjer so a, b, c stranice trikotnika, S je površina trikotnika, R je polmer obkroženega kroga.

Dokazi izrekov o lastnostih okroglega kroga trikotnika

Izrek 3. Vse simetrale, narisane na stranice poljubnega trikotnika, se sekajo v eni točki.

Dokaz . Oglejmo si dve pravokotni simetrali, narisani na stranicama AC in AB trikotnik ABC, in označite točko njihovega presečišča s črko O (slika 6).

Ker leži točka O na simetrali navpičnici na odsek AC, potem na podlagi izreka 1 velja enakost:

Ker leži točka O na simetrali navpično na odsek AB, potem na podlagi izreka 1 velja enakost:

Torej velja enakost:

od koder s pomočjo izreka 2 sklepamo, da leži točka O na simetrali navpičnici na daljico BC.

Torej gredo vse tri pravokotnice skozi isto točko, kot je treba dokazati. Vsak trikotnik je lahko obkrožen s krogom . Središče okrog trikotnika opisanega kroga je točka, v kateri se sekajo vse pravokotnice, narisane na stranice trikotnika.

Posledica.

Pri dokazovanju izreka 3 je bila pridobljena naslednja enakost:

iz česar sledi, da krožnica s središčem v točki O in polmeri OA, OB, OC poteka skozi vsa tri oglišča trikotnika ABC, kar je bilo potrebno dokazati.

Trikotnik je najpreprostejša ravnina. poligonalne figure. Če je vrednost katerega koli kota na njegovih ogliščih 90°, se trikotnik imenuje pravokotni trikotnik. Okoli takega mnogokotnika lahko narišemo krog tako, da ima vsako od 3 oglišč s svojo mejo (krožnico) eno skupno točko. Ta krog se bo imenoval obkrožen in prisotnost pravi kot zelo poenostavi nalogo njegove izdelave.

Boste potrebovali

• Ravnilo, šestilo, kalkulator.

Navodila

1. Začnite z določitvijo polmera kroga, ki ga boste morali zgraditi. Če je mogoče izmeriti dolžine strani trikotnika, bodite pozorni na njegovo hipotenuzo - stran, ki leži nasproti pravega kota. Izmerite ga in dobljeno vrednost razdelite na polovico - to bo polmer kroga, opisanega okoli desnega trikotnika.

2. Če dolžina hipotenuze ni znana, vendar obstajata dolžini (a in b) krakov (2 strani, ki mejita na pravi kot), poiščite polmer (R) s pomočjo Pitagorovega izreka. Iz tega sledi, da bo ta parameter enak polovici kvadratnega korena, izvlečenega iz vsote kvadratov dolžin nog: R=?*?(a?+b?).

3. Če sta znani dolžina le ene od nog (a) in velikost sosednjega ostrega kota (?), potem za določitev polmera opisanega kroga (R) uporabite trigonometrična funkcija– kosinus. V pravokotnem trikotniku določa razmerje dolžin hipotenuze in tega kraka. Izračunajte polovico kvocienta dolžine kraka, deljenega s kosinusom znanega kota: R=?*a/cos(?).

4. Če je poleg dolžine ene od nog (a) znana vrednost ostrega kota (?), ki leži nasproti nje, potem za izračun polmera (R) uporabite drugo trigonometrično funkcijo - sinus. Razen zamenjave funkcije in stranice se v formuli ne spremeni nič - dolžino kraka delite s sinusom znanega ostrega kota in rezultat delite na pol: R=?*b/sin(?).

5. Po iskanju polmera s katerim koli od naštete metode določite središče opisanega kroga. Če želite to narediti, postavite dobljeno vrednost na kompas in jo nastavite na vsako točko trikotnika. Opišite poln krog ni potrebe, preprosto označite mesto, kjer se seka s hipotenuzo - ta točka bo središče kroga. To je lastnost pravokotnega trikotnika - središče kroga, ki je okoli njega opisan, je vedno na sredini njegove najdaljše stranice. Narišite krog s polmerom, določenim na kompasu, s središčem v zaznani točki. S tem bo gradnja zaključena.

Občasno približno konveksni poligon Dovoljeno je narisati krog tako, da oglišča vseh kotov ležijo na njem. Takšen krog glede na mnogokotnik bi morali imenovati opisan. Njo center ne sme biti nujno znotraj oboda vpisane figure, ampak z uporabo lastnosti opisanega krog, odkrivanje te točke, kot običajno, ni zelo težko.

Boste potrebovali

• Ravnilo, svinčnik, kotomer ali kvadrat, šestilo.

Navodila

1. Če je mnogokotnik, okoli katerega je treba opisati krog, narisan na papir, najti center in krog je dovolj z ravnilom, svinčnikom in kotomerom ali kvadratom. Izmerite dolžino vsake stranice figure, določite njeno sredino in na to mesto na risbi postavite pomožno točko. S pomočjo kvadrata ali kotomerja narišite segment znotraj mnogokotnika pravokotno na to stran, dokler se ne seka z nasprotno stranjo.

2. Naredite isto operacijo z vsako drugo stranjo poligona. Presečišče dveh zgrajenih segmentov bo želena točka. To izhaja iz glavne lastnosti opisanega krog- njo center v konveksnem mnogokotniku s poljubnim številom stranic vedno leži na presečišču simetral, narisanih na te stranice.

3. Za pravilne mnogokotnike definicija center in vpisana krog lahko bi bilo veliko bolj preprosto. Recimo, če je to kvadrat, potem narišite dve diagonali - njuno presečišče bo center ohm vpisan krog. V pozitivnem mnogokotniku s poljubnim sodim številom stranic je dovolj, da združimo dva para nasprotnih kotov s pomožnimi segmenti - center opisano krog mora sovpadati s točko njihovega presečišča. V pravokotnem trikotniku za rešitev problema enostavno določite sredino najdaljše stranice lika - hipotenuzo.

4. Če iz pogojev ni razvidno, ali je v diplomski nalogi dovoljeno narisati opisani krog za dani mnogokotnik, po določitvi položaja točke center in lahko ugotovite s katero koli od opisanih metod. Na kompasu označite razdaljo med zaznano točko in vsakim vrhom, kompas nastavite na želeno center krog in narišite krog - celotno oglišče mora ležati na tem krog. Če temu ni tako, pomeni, da ena od osnovnih lastnosti ni izpolnjena in okoli tega mnogokotnika ni mogoče opisati kroga.

Po definiciji, opisano krog mora potekati skozi vsa oglišča vogalov dani mnogokotnik. V tem primeru v idealnem primeru ni pomembno, kakšen poligon je - trikotnik, kvadrat, pravokotnik, trapez ali kaj drugega. Prav tako ni pomembno, ali je poligon resničen ali napačen. Upoštevati morate le, da obstajajo poligoni, okoli katerih krog nemogoče opisati. Vedno je dovoljeno opisovati krog okoli trikotnika. Glede štirikotnikov torej krog Lahko opišete kvadrat ali pravokotnik ali enakokraki trapez.

Boste potrebovali

• Določen poligon
• Ravnilo
• kvadrat
• Svinčnik
• Kompas
• Kotomer
• Tabele sinusov in kosinusov
• Matematične predstavitve in formule
• Pitagorov izrek
• Sinusni izrek
• Kosinusni izrek
• Znaki podobnosti trikotnikov

Navodila

1. Konstruirajte mnogokotnik z danih parametrov in ugotoviti, ali je dovoljeno opisovati okoli njega krog. Če vam je dan štirikotnik, izračunajte njegove vsote nasprotni koti. Vsak od njih mora biti enak 180 °.

2. Da bi opisali krog, morate izračunati njegov polmer. Zapomni si, kje leži središče opisanega kroga v različnih mnogokotnikih. V trikotniku se nahaja na presečišču vseh višin dani trikotnik. V kvadratu in pravokotniku - na presečišču diagonal, za trapezoid - na presečišču simetrijske osi s črto, ki povezuje središča stranskih stranic, in za kateri koli drug konveksni poligon - na točki presečišča razpolovišč navpičnic na stranice.

3. Izračunaj premer okrog kvadrata in pravokotnika opisanega kroga s pomočjo Pitagorovega izreka. Enako bo kvadratni koren iz vsote kvadratov stranic pravokotnika. Za kvadrat z enakimi stranicami je diagonala enaka kvadratnemu korenu dvakratnega kvadrata stranice. Če premer delite z 2, dobite polmer.

4. Izračunaj polmer kroga trikotnika. Ker so parametri trikotnika podani v pogojih, izračunajte polmer z uporabo formule R = a/(2·sinA), kjer je a ena od stranic trikotnika, ? - nasprotni kot. Namesto te strani lahko vzamete katero koli drugo stran in njej nasprotni kot.

5. Izračunaj polmer krožnice, ki je opisana okrog trapeza. R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) V tej formuli sta a in b osnovici trapeza, h je višina, d je diagonala, p = 1 /2*(a+d+c) . Izračunaj manjkajoče vrednosti. Višino lahko izračunamo s sinusnim ali kosinusnim izrekom, saj so dolžine stranic trapeza in koti določeni v pogojih problema. Če poznate višino in upoštevate znake podobnosti trikotnikov, izračunajte diagonalo. Po tem je vse, kar ostane, izračunati polmer z uporabo zgornje formule.

Video na temo

Koristen nasvet
Če želite izračunati polmer kroga, opisanega okoli drugega mnogokotnika, izvedite niz dodatne konstrukcije. Pridobite bolj primitivne figure, katerih parametre poznate.

Nasvet 4: Kako narisati pravokotni trikotnik z uporabo ostrega kota in hipotenuze

Trikotnik imenujemo pravokotni trikotnik, če je kot pri eni od njegovih oglišč 90°. Stran nasproti tega kota se imenuje hipotenuza, strani nasproti dveh ostrih kotov trikotnika pa noge. Če sta dolžina hipotenuze in velikost enega od ostri koti, potem ti podatki zadostujejo za sestavo trikotnika z uporabo vsaj dveh metod.

Boste potrebovali

• List papirja, svinčnik, ravnilo, šestilo, kalkulator.

Navodila

1. 1. metoda zahteva poleg svinčnika in papirja še ravnilo, kotomer in kvadrat. Najprej narišite stran, ki je hipotenuza - postavite točko A, od nje odmaknite znano dolžino hipotenuze, postavite točko C in združite točke.

2. Kotomer pritrdite na narisani segment tako, da ničelna oznaka sovpada s točko A, izmerite vrednost znanega ostrega kota in postavite pomožno točko. Narišite črto, ki se začne v točki A in poteka skozi pomožno točko.

3. Kvadrat pritrdite na segment AC tako, da se pravi kot začne v točki C. Označite točko, kjer kvadrat seka črto, narisano v prejšnjem koraku, s črko B in jo združite s točko C. S tem je končana konstrukcija pravokotni trikotnik s slavno stransko dolžino AC (hipotenuzo) in ostrim kotom pri točki A bo dokončan.

4. Druga metoda bo poleg svinčnika in papirja zahtevala ravnilo, kompas in kalkulator. Začnite z izračunom dolžin katet - poznavanje velikosti enega ostrega kota in dolžine hipotenuze je za to povsem dovolj.

5. Izračunajte dolžino te noge (AB), tiste, ki leži nasproti kota znane količine (β) - to bo enako zmnožku dolžina hipotenuze (AC) s sinusom znanega kota AB=AC*sin(β).

6. Določite dolžino drugega kraka (BC) – ta bo enak zmnožku dolžine hipotenuze in kosinusa danega kota BC=AC*cos(β).

7. Postavite točko A, od nje izmerite dolžino hipotenuze, postavite točko C in med njima narišite črto.

8. Na šestilu odstavimo dolžino kraka AB, izračunano v petem koraku, in narišemo pomožni polkrog s središčem v točki A.

9. Dolžino kraka BC, izračunano v šestem koraku, odložimo na šestilo in narišemo pomožni polkrog s središčem v točki C.

10. Označite presečišče obeh polkrogov s črko B in narišite odseke med točkama A in B, C in B. S tem boste dokončali konstrukcijo pravokotnega trikotnika.

Nasvet 5: Kako se imenujejo stranice pravokotnega trikotnika?

Ljudje so se začeli zanimati za osupljive lastnosti pravokotnih trikotnikov že v starih časih. Mnoge od teh lastnosti je opisal starogrški znanstvenik Pitagora. V stari Grčiji so se pojavila tudi imena strani pravokotnega trikotnika.

Kateri trikotnik imenujemo pravokotni trikotnik?

Obstaja več vrst trikotnikov. Nekateri imajo vse ostre kote, drugi imajo enega topega in dva ostra, tretji pa dva ostra in enega ravnega. Po tem znaku vsaka vrsta teh geometrijske oblike in prejeli ime: ostrokotni, tupokotni in pravokotni. To pomeni, da se trikotnik, v katerem je eden od kotov 90°, imenuje pravokotni trikotnik. Obstaja še ena definicija, podobna prvi. Trikotnik, katerega stranice sta pravokotni, se imenuje pravokotni trikotnik.

Hipotenuza in noge

Ostrokotni in topokotni trikotniki segmenti, ki povezujejo oglišča vogalov, se imenujejo primitivne stranice. Pri trikotniku pravokotna stran Imajo tudi druga imena. Tisti, ki mejijo na pravi kot, se imenujejo noge. Stran nasproti pravemu kotu se imenuje hipotenuza. Prevedeno iz grška beseda"hipotenuza" pomeni "tesno", "leg" pa "pravokotno".

Odnosi med hipotenuzo in katetama

Stranice pravokotnega trikotnika so povezane z določenimi razmerji, ki močno olajšajo izračune. Na primer, če poznate dimenzije nog, lahko izračunate dolžino hipotenuze. To razmerje, poimenovano po matematiku, ki ga je odkril, so poimenovali Pitagorov izrek in je videti takole: c2 = a2 + b2, kjer je c hipotenuza, a in b pa kraka. To pomeni, da bo hipotenuza enaka kvadratnemu korenu vsote kvadratov nog. Da bi odkrili vsak od krakov, je dovolj, da od kvadrata hipotenuze odštejemo kvadrat drugega kraka in iz dobljene razlike izvlečemo kvadratni koren.

Sosednja in nasprotna noga

Nariši pravokotni trikotnik DIA. Črka C običajno označuje oglišče pravega kota, A in B - oglišča ostrih kotov. Strani, ki so nasproti celotnega kota, je priročno imenovati a, b in c, glede na imena kotov, ki ležijo nasproti njih. Poglejte kot A. Krak a mu bo nasproti, krak b bo sosednji. Odnos nasprotna noga na hipotenuzo se imenuje sinus. To trigonometrično funkcijo je mogoče izračunati z uporabo formule: sinA=a/c. Razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo se imenuje kosinus. Izračuna se po formuli: cosA=b/c. Tako lahko, če poznamo kot in eno od strani, izračunamo drugo stran s temi formulami. Trigonometrične relacije Obe strani sta tudi povezani. Razmerje med nasprotnim in sosednjim imenujemo tangens, razmerje med sosednjim in nasprotnim pa kotangens. Ta razmerja lahko izrazimo s formulama tgA=a/b ali ctgA=b/a.