Lekcija na temo: "Graf in lastnosti funkcije $y=x^3$. Primeri risanja grafov"
Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, mnenj, želja. Vsa gradiva so bila preverjena s protivirusnim programom.
Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini Integral za 7. razred
Elektronski učbenik za 7. razred "Algebra v 10 minutah"
Izobraževalni kompleks 1C "Algebra, razredi 7-9"
Lastnosti funkcije $y=x^3$
Opišimo lastnosti te funkcije:
1. x je neodvisna spremenljivka, y je odvisna spremenljivka.
2. Domena definicije: očitno je, da je za katero koli vrednost argumenta (x) mogoče izračunati vrednost funkcije (y). V skladu s tem je domena definicije te funkcije celotna številska premica.
3. Razpon vrednosti: y je lahko karkoli. V skladu s tem je obseg vrednosti tudi celotna številska premica.
4. Če je x= 0, potem je y= 0.
Graf funkcije $y=x^3$
1. Ustvarimo tabelo vrednosti:
2. Za pozitivne vrednosti x je graf funkcije $y=x^3$ zelo podoben paraboli, katere veje so bolj "pritisnjene" na os OY.
3. Ker za negativne vrednosti x funkcija $y=x^3$ ima nasprotni pomeni, potem je graf funkcije simetričen glede na izvor.
Zdaj pa označimo točke koordinatna ravnina in zgradite graf (glej sliko 1).
Ta krivulja se imenuje kubična parabola.
Primeri
I. Na majhni ladji je bilo popolnoma konec sveža voda. Treba prinesti zadostna količina vode iz mesta. Voda se naroča vnaprej in se plača za polno kocko, tudi če jo natočite malo manj. Koliko kock naj naročim, da ne bi preplačal dodatne kocke in popolnoma napolnil rezervoar? Znano je, da ima rezervoar enake dolžine, širine in višine, ki so enake 1,5 m. Rešimo ta problem brez izračunov.
rešitev:
1. Zgradimo graf funkcije $y=x^3$.
2. Poiščite točko A, koordinato x, ki je enaka 1,5. Vidimo, da je koordinata funkcije med vrednostmi 3 in 4 (glej sliko 2). Torej morate naročiti 4 kocke.
Ustvarimo tabelo funkcijskih vrednosti
Vidimo, da kdaj (kocka pozitivnega števila je pozitivna), in kdaj (kub negativnega števila je negativna). Posledično se bo graf nahajal na koordinatni ravnini v 1. in 3. četrtini. Zamenjamo vrednost argumenta x z nasprotno vrednostjo, potem bo funkcija dobila nasprotno vrednost; ker če , potem
To pomeni, da vsaka točka na grafu ustreza točki na istem grafu, ki se nahaja simetrično glede na izvor.
Tako je izhodišče središče simetrije grafa.
Graf funkcije je prikazan na sliki 81. To premico imenujemo kubična parabola.
V prvi četrtini se kubična parabola (pri ) »strmo« dvigne
navzgor (vrednosti y "hitro" naraščajo z naraščanjem x. Glej tabelo), z majhnimi vrednostmi x se črta "tesno" približa osi abscise (z "majhnimi" vrednostmi y "zelo majhna" , glej tabelo). Leva stran kubična parabola (v tretji četrtini) je simetrična na desno glede na izhodišče.
Lepo narisan graf lahko služi kot sredstvo za aproksimacijo kubov števil. Torej, na primer, dajanje najdemo glede na graf
Za približen izračun kock so bile sestavljene posebne tabele.
Takšna tabela je na voljo tudi v priročniku V. M. Bradisa “Štirimestne matematične tabele”.
Ta tabela vsebuje približne kocke števil od 1 do 10, zaokrožene na 4 pomembne številke.
Struktura kockaste mize in pravila za njeno uporabo so enaki kvadratni mizi. Ko pa se število poveča (ali zmanjša) za 10, 100 itd., se njegova kocka poveča (ali zmanjša) za 1000, 1000.000 itd. To pomeni, da morate pri uporabi tabele kock upoštevati naslednje pravilo prenos z vejico:
Če v številu premaknete vejico za več števk, potem morate v kocki tega števila vejico premakniti v isto smer za trikratno število števk.
Razložimo to s primeri:
1) Izračunajte 2,2353. Iz tabele najdemo: ; dodati k zadnja številka sprememba 8 k zadnji znak:
2) Izračunaj. Torej ga najdemo
S pomočjo tabele poiščemo s premikanjem vejice dobimo
Približne formule. Če v identiteti
število a je majhno v primerjavi z enoto, potem, če zavržemo izraze c, dobimo približne formule:
Z uporabo teh formul je enostavno najti približne kocke števil, ki so blizu ena, na primer: natančna kocka: 1,061208;
Poglejmo, kako zgraditi graf z modulom.
Poiščimo točke, na prehodu katerih se spremeni predznak modulov.
Vsak izraz pod modulom enačimo z 0. Imamo dva x-3 in x+3.
x-3=0 in x+3=0
x=3 in x=-3
Naša številska premica bo razdeljena na tri intervale (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞). Pri vsakem intervalu morate določiti predznak modularnih izrazov.
1. To je zelo enostavno narediti, upoštevajte prvi interval (-∞;-3). Vzemimo katero koli vrednost iz tega segmenta, na primer -4, in jo nadomestimo v vsakem modularna enačba namesto vrednosti x.
x=-4
x-3=-4-3=-7 in x+3=-4+3=-1
Oba izraza imata negativna predznaka, kar pomeni, da v enačbi pred znak modula postavimo minus, namesto znaka modula pa oklepaj in dobimo zahtevano enačbo na intervalu (-∞;-3).
y= — (x-3)-( — (x+3))=-x+3+x+3=6
Na intervalu (-∞;-3) smo dobili graf linearna funkcija(neposredno) y=6
2. Upoštevajte drugi interval (-3;3). Ugotovimo, kakšna bo enačba grafa na tem segmentu. Vzemimo poljubno število od -3 do 3, na primer 0. Nadomestimo vrednost x z vrednostjo 0.
x=0
x-3=0-3=-3 in x+3=0+3=3
Prvi izraz x-3 ima negativen predznak, drugi izraz x+3 pa pozitiven predznak. Zato pred izrazom x-3 zapišemo znak minus, pred drugim izrazom pa znak plus.
y= — (x-3)-( + (x+3))=-x+3-x-3=-2x
Na intervalu (-3;3) smo dobili graf linearne funkcije (premice) y=-2x
3. Upoštevajte tretji interval (3;+∞). Vzemimo katero koli vrednost iz tega segmenta, na primer 5, in nadomestimo vrednost x v vsako od modularnih enačb.
x=5
x-3=5-3=2 in x+3=5+3=8
Pri obeh izrazih sta se predznaka izkazala za pozitivna, kar pomeni, da v enačbi pred znak modula postavimo plus, namesto znaka modula pa oklepaj in dobimo zahtevano enačbo na intervalu (3;+ ∞).
y= + (x-3)-( + (x+3))=x-3-x-3=-6
Na intervalu (3;+∞) smo dobili graf linearne funkcije (premice) у=-6
4. Sedaj pa povzamemo graf y=|x-3|-|x+3|.
Na intervalu (-∞;-3) zgradimo graf linearne funkcije (premice) y=6.
Na intervalu (-3;3) zgradimo graf linearne funkcije (premice) y=-2x.
Za izdelavo grafa y = -2x izberemo več točk.
x=-3 y=-2*(-3)=6 rezultat je točka (-3;6)
x=0 y=-2*0=0 rezultat je točka (0;0)
x=3 y=-2*(3)=-6 rezultat je točka (3;-6)
Na intervalu (3;+∞) zgradimo graf linearne funkcije (premice) у=-6.
5. Zdaj pa analizirajmo rezultat in odgovorimo na vprašanje, poiščimo vrednost k, pri kateri ima premica y=kx z grafom y=|x-3|-|x+3| dana funkcija ima točno eno skupno točko.
Premica y=kx za katero koli vrednost k bo vedno potekala skozi točko (0;0). Zato lahko spremenimo samo naklon te premice y=kx, za naklon pa je odgovoren koeficient k.
Če je k kakršen koli pozitivno število, potem bo eno presečišče premice y=kx z grafom y=|x-3|-|x+3|. Ta možnost nam ustreza. 
Če k zavzame vrednost (-2;0), potem presečišče premice y=kx z grafom y=|x-3|-|x+3| bodo tri. Ta možnost nam ne ustreza. 
Če je k=-2, bo rešitev [-2;2] veliko, saj bo premica y=kx sovpadala z grafom y=|x-3|-|x+3| v tem območju. Ta možnost nam ne ustreza. 
Če je k manjši od -2, potem premica y=kx z grafom y=|x-3|-|x+3| bo imel eno križišče Ta možnost nam ustreza. 
Če je k=0, potem je presečišče premice y=kx z grafom y=|x-3|-|x+3| tudi ta možnost nam bo ustrezala. 
Odgovor: ko k pripada intervalu (-∞;-2)U in narašča na intervalu )
