Formulat e reduktimit janë marrëdhënie që ju lejojnë të kaloni nga sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja me këndet `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` për të njëjtat funksione të këndit `\alfa`, i cili ndodhet në çerekun e parë të rrethit të njësisë. Kështu, formulat e reduktimit "na çojnë" në punë me kënde në rangun nga 0 në 90 gradë, gjë që është shumë e përshtatshme.
Të gjitha së bashku ka 32 formula reduktimi. Ata padyshim që do të vijnë në ndihmë gjatë Provimit të Unifikuar të Shtetit, provimeve dhe testeve. Por le t'ju paralajmërojmë menjëherë se nuk ka nevojë t'i mësoni përmendësh! Duhet të kaloni pak kohë dhe të kuptoni algoritmin për aplikimin e tyre, atëherë nuk do ta keni të vështirë momentin e duhur nxjerrin barazinë e nevojshme.
Së pari, le të shkruajmë të gjitha formulat e reduktimit:
Për këndin (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) ose (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Për këndin (`\pi \pm \alpha`) ose (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alfa)=-tg \ \alfa;` ` tg(\pi + \alfa)=tg \ \alfa`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Për këndin (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) ose (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \\alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alfa)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alfa)=tg \ \alfa;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alfa)=-tg \ \alfa`
Për këndin (`2\pi \pm \alpha`) ose (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alfa)=-tg \ \alfa;` ` tg(2\pi + \alfa)=tg \ \alfa`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alfa`
Shpesh mund të gjeni formula reduktimi në formën e një tabele ku këndet shkruhen në radianë:
Për ta përdorur atë, duhet të zgjedhim rreshtin me funksionin që na nevojitet dhe kolonën me argumentin e dëshiruar. Për shembull, për të zbuluar duke përdorur një tabelë se me çfarë do të jetë e barabartë `sin(\pi + \alpha)`, mjafton të gjesh përgjigjen në kryqëzimin e rreshtit `sin \beta` dhe kolonës ` \pi + \alfa`. Ne marrim `sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.
Dhe tabela e dytë, e ngjashme, ku këndet shkruhen në gradë:
Rregulla mnemonike për formulat e reduktimit ose si t'i mbani mend ato
Siç e kemi përmendur tashmë, nuk ka nevojë të mësoni përmendësh të gjitha marrëdhëniet e mësipërme. Nëse i shikoni me kujdes, me siguri keni vënë re disa modele. Ato na lejojnë të formulojmë një rregull mnemonik (mnemonik - mbaj mend), me ndihmën e të cilit mund të marrim lehtësisht çdo formulë reduktimi.
Le të vërejmë menjëherë se për të zbatuar këtë rregull duhet të jeni të mirë në identifikimin (ose kujtimin) e shenjave funksionet trigonometrike në lagje të ndryshme të rrethit njësi. 
Vetë vaksina përmban 3 faza:
- Argumenti i funksionit duhet të përfaqësohet si `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha` dhe kërkohet `\alpha` kënd i mprehtë(nga 0 në 90 gradë).
- Për argumentet `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` funksioni trigonometrik i shprehjes së transformuar ndryshon në një bashkëfunksion, pra në të kundërtën (sinus në kosinus, tangjente me kotangjent dhe anasjelltas). Për argumentet `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` funksioni nuk ndryshon.
- Përcaktohet shenja e funksionit origjinal. Funksioni që rezulton në anën e djathtë do të ketë të njëjtën shenjë.
Për të parë se si ky rregull mund të zbatohet në praktikë, le të transformojmë disa shprehje:
1. `cos(\pi + \alfa)`.
Funksioni nuk është i kundërt. Këndi `\pi + \alfa` është në tremujorin e tretë, kosinusi në këtë tremujor ka një shenjë "-", kështu që funksioni i transformuar do të ketë gjithashtu një shenjë "-".
Përgjigje: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`
2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alfa)`.
Sipas rregullit mnemonik, funksioni do të ndryshohet. Këndi `\frac (3\pi)2 - \alfa` është në tremujorin e tretë, sinusi këtu ka një shenjë "-", kështu që rezultati do të ketë gjithashtu një shenjë "-".
Përgjigje: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`
3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alfa)`.
`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi )2-\alfa))`. Le të përfaqësojmë `3\pi` si `2\pi+\pi`. `2\pi` është periudha e funksionit.
E rëndësishme: Funksionet "cos \alpha" dhe "sin \alpha" kanë një periudhë prej "2\pi" ose "360^\circ", vlerat e tyre nuk do të ndryshojnë nëse argumenti rritet ose zvogëlohet nga këto vlera.
Bazuar në këtë, shprehja jonë mund të shkruhet si më poshtë: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Duke zbatuar rregullin mnemonik dy herë, marrim: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alfa)= - cos (\frac(\pi)2-\alfa)= - sin \alfa`.
Përgjigje: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.
Rregulli i kalit
Pika e dytë e rregullit mnemonik të përshkruar më sipër quhet gjithashtu rregulli i kalit të formulave të reduktimit. Pyes veten pse kuajt?
Pra, kemi funksione me argumente `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, pikat `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` janë kyçe, ato ndodhen në boshtet e koordinatave. "\pi" dhe "2\pi" janë aktive boshti horizontal abscissa, dhe `\frac (\pi)2` dhe `\frac (3\pi)2` në boshti vertikal ordinator
Ne i bëjmë vetes pyetjen: "A shndërrohet një funksion në një bashkëfunksion?" Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, duhet të lëvizni kokën përgjatë boshtit në të cilin ndodhet pika kyçe.
Kjo do të thotë, për argumentet me pika kyçe të vendosura në boshtin horizontal, ne përgjigjemi "jo" duke tundur kokën në anët. Dhe për qoshet me pika kyçe të vendosura në boshtin vertikal, ne përgjigjemi "po" duke tundur kokën nga lart poshtë, si një kalë :)
Ne ju rekomandojmë të shikoni një video tutorial në të cilin autori shpjegon në detaje se si të mbani mend formulat e reduktimit pa i memorizuar ato.
Shembuj praktikë të përdorimit të formulave të reduktimit
Përdorimi i formulave të reduktimit fillon në klasat 9 dhe 10. Shumë probleme me përdorimin e tyre iu nënshtruan Provimit të Unifikuar të Shtetit. Këtu janë disa nga problemet ku do t'ju duhet të aplikoni këto formula:
- problema për zgjidhjen e një trekëndëshi kënddrejtë;
- shndërrimet numerike dhe alfabetike shprehjet trigonometrike, llogaritja e vlerave të tyre;
- detyra stereometrike.
Shembulli 1. Llogaritni duke përdorur formulat e reduktimit a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.
Zgjidhje: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;
c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;
d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.
Shembulli 2. Pasi të keni shprehur kosinusin përmes sinusit duke përdorur formulat e reduktimit, krahasoni numrat: 1) `sin \frac (9\pi)8` dhe `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` dhe `cos \frac (3\pi)10`.
Zgjidhje: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`
`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`
`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`
`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.
2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`
`sin \frac (\pi)8 `sin \frac (\pi)8 Le të vërtetojmë fillimisht dy formula për sinusin dhe kosinusin e argumentit `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` dhe `cos (\frac (\ pi)2 + \alfa)=-sin \\alfa`. Pjesa tjetër rrjedh prej tyre. Le ta marrim rrethi njësi dhe mbi të pika A me koordinatat (1,0). Lëreni pasi të ktheheni në Duke ardhur nga përkufizimi i tangjentës dhe kotangjentës, marrim ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` dhe ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\ frac (\ pi)2 + \alfa))(sin(\frac (\pi)2 + \alfa))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, që vërteton formulat e reduktimit për tangjenten dhe kotangjenten e këndit `\frac (\pi)2 + \alfa`. Për të vërtetuar formulat me argumentin `\frac (\pi)2 - \alpha`, mjafton ta paraqesim atë si `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` dhe të ndiqni të njëjtën rrugë si më sipër. Për shembull, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alfa)`. Këndet `\pi + \alpha` dhe `\pi - \alpha` mund të përfaqësohen si `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` dhe `\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alfa)` përkatësisht. Dhe `\frac (3\pi)2 + \alpha` dhe `\frac (3\pi)2 - \alpha` si `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` dhe `\pi +(\frac (\pi)2-\alfa)`. Formulat e trigonometrisë. Formulat e reduktimit nuk kanë nevojë të mësohen; Të kuptojë algoritmin për nxjerrjen e tyre. është shumë e lehtë! Le të marrim një rreth njësi dhe të vendosim të gjitha masat e shkallës (0°; 90°; 180°; 270°; 360°) mbi të. Le të analizojmë funksionet sin(a) dhe cos(a) në çdo tremujor. Mos harroni se ne shikojmë funksionin sin(a) përgjatë boshtit Y dhe funksionin cos(a) përgjatë boshtit X. Në tremujorin e parë është e qartë se funksioni sin(a)>0 Në tremujorin e dytë është e qartë se funksioni sin(a)>0, sepse boshti Y është pozitiv në këtë tremujor. Në tremujorin e tretë është e qartë se funksionet mëkat (a) Tremujori i tretë mund të përshkruhet në terma të shkallëve, si (180+α) ose (270-α).
Në tremujorin e katërt është e qartë se funksioni sin(a) sepse boshti Y është negativ në këtë tremujor. Tani le të shohim vetë formulat e reduktimit. Le të kujtojmë thjeshtë algoritmi: Dhe kështu ne do të fillojmë ta analizojmë këtë algoritëm në tremujorë. Gjeni se me çfarë do të jetë e barabartë shprehja cos(90-α). Gjeni se me çfarë do të jetë e barabartë shprehja sin(90-α). Gjeni se me çfarë do të jetë e barabartë shprehja cos(360+α). Gjeni se me çfarë do të jetë e barabartë shprehja sin(360+α). Gjeni se me çfarë do të jetë e barabartë shprehja cos(90+α). Gjeni se me çfarë do të jetë e barabartë shprehja sin(90+α). Gjeni se me çfarë do të jetë e barabartë shprehja cos(180-α). Gjeni se me çfarë do të jetë e barabartë shprehja sin(180-α). Unë po flas për tremujorin e tretë dhe të katërt, le të krijojmë një tabelë në një mënyrë të ngjashme: Abonohu në kanalin në YOUTUBE dhe shikoni videon, përgatituni për provimet në matematikë dhe gjeometri me ne. Si të mbani mend formulat për reduktimin e funksioneve trigonometrike? Është e lehtë nëse përdor një shoqatë Kjo shoqatë nuk është shpikur nga unë. Siç u tha tashmë, shoqërim i mirë duhet të "kapë", domethënë të shkaktojë emocione të ndritshme. Nuk mund t'i quaj pozitive emocionet e shkaktuara nga kjo shoqëri. Por jep një rezultat - ju lejon të mbani mend formulat e reduktimit, që do të thotë se ka të drejtë të ekzistojë. Në fund të fundit, nëse nuk ju pëlqen, nuk keni pse ta përdorni, apo jo? Formulat e reduktimit kanë formën: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). Mos harroni se +α jep lëvizje kundër akrepave të orës, - α jep lëvizje në drejtim të akrepave të orës. Për të punuar me formulat e reduktimit, ju nevojiten dy pika: 1) vendos një shenjë që ka funksioni fillestar(në tekste shkruajnë: i reduktueshëm. Por për të mos u ngatërruar është më mirë ta quajmë fillestar), nëse α e konsiderojmë këndin e tremujorit të parë, pra të vogël. 2) Diametri horizontal - π±α, 2π±α, 3π±α... - në përgjithësi, kur nuk ka thyesë, emri i funksionit nuk ndryshon. Π/2±α vertikale, 3π/2±α, 5π/2±α... - kur ka një thyesë, emri i funksionit ndryshon: sinus - në kosinus, kosinus - në sinus, tangjente - në kotangjent dhe cotangent - në tangent. Tani, në fakt, shoqata: diametri vertikal (ka një fraksion) - duke qëndruar i dehur. Çfarë do të ndodhë me të herët? apo eshte shume vone? Ashtu është, do të bjerë. Emri i funksionit do të ndryshojë. Nëse diametri është horizontal, i dehuri tashmë është shtrirë. Ai ndoshta është në gjumë. Asgjë nuk do t'i ndodhë, ai tashmë e ka pranuar pozicion horizontal. Prandaj, emri i funksionit nuk ndryshon. Domethënë sin(π/2±α), sin(3π/2±α), sin(5π/2±α) etj. jep ±cosα, dhe sin(π±α), sin(2π±α), sin(3π±α), … - ±sinα. Ne tashmë e dimë se si. Si punon? Le të shohim shembuj. 1) cos(π/2+α)=? Bëhemi π/2. Meqenëse +α do të thotë që ne shkojmë përpara, në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Ne e gjejmë veten në tremujorin e dytë, ku kosinusi ka një shenjë "-". Emri i funksionit ndryshon ("një person i dehur është në këmbë", që do të thotë se ai do të bjerë). Kështu që, cos(π/2+α)=-sin α. Le të arrijmë në 2π. Meqenëse -α - shkojmë prapa, domethënë në drejtim të akrepave të orës. Gjendemi në tremujorin e IV, ku tangjentja ka shenjën “-”. Emri i funksionit nuk ndryshon (diametri është horizontal, "i dehuri tashmë është shtrirë"). Kështu, tan(2π-α)=- tanα. 3) ctg²(3π/2-α)=? Shembujt në të cilët një funksion është ngritur në një fuqi të barabartë janë edhe më të thjeshtë për t'u zgjidhur. Shkalla e barabartë "-" e heq atë, domethënë, thjesht duhet të zbuloni nëse emri i funksionit ndryshon apo mbetet. Diametri është vertikal (ka një fraksion, "duke qëndruar i dehur", do të bjerë), emri i funksionit ndryshon. Marrim: ctg²(3π/2-α)= tan²α. Ekzistojnë dy rregulla për përdorimin e formulave të reduktimit. 1. Nëse këndi mund të paraqitet si (π/2 ±a) ose (3*π/2 ±a), atëherë ndryshon emri i funksionit mëkat për cos, cos për mëkat, tg për ctg, ctg për tg. Nëse këndi mund të paraqitet në formën (π ±a) ose (2*π ±a), atëherë Emri i funksionit mbetet i pandryshuar. Shikoni foton më poshtë, tregon në mënyrë skematike kur duhet të ndryshoni shenjën dhe kur jo. 2. Rregulli “si ke qenë, ashtu mbetesh”. Shenja e funksionit të reduktuar mbetet e njëjtë. Nëse funksioni origjinal kishte një shenjë plus, atëherë funksioni i reduktuar gjithashtu ka një shenjë plus. Nëse funksioni origjinal kishte një shenjë minus, atëherë funksioni i reduktuar gjithashtu ka një shenjë minus. Figura më poshtë tregon shenjat e funksioneve bazë trigonometrike në varësi të tremujorit. Llogarit mëkatin (150˚) Le të përdorim formulat e reduktimit: Sin(150˚) është në tremujorin e dytë nga figura shohim se shenja e mëkatit në këtë tremujor është e barabartë me +. Kjo do të thotë se funksioni i dhënë do të ketë gjithashtu një shenjë plus. Ne zbatuam rregullin e dytë. Tani 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ është π/2. Domethënë kemi të bëjmë me rastin π/2+60, prandaj sipas rregullit të parë e ndërrojmë funksionin nga sin në cos. Si rezultat, marrim Sin(150˚) = cos(60˚) = ½. Nëse dëshironi, të gjitha formulat e reduktimit mund të përmblidhen në një tabelë. Por është akoma më e lehtë të mbani mend këto dy rregulla dhe t'i përdorni ato. Ky artikull i kushtohet studim i detajuar formulat trigonometrike fantazmat Dan listën e plotë tregohen formulat e reduktimit, shembujt e përdorimit të tyre dhe jepet vërtetimi i korrektësisë së formulave. Artikulli ofron gjithashtu një rregull kujtimor që ju lejon të nxirrni formulat e reduktimit pa memorizuar secilën formulë. Yandex.RTB R-A-339285-1 Formulat e reduktimit ju lejojnë të reduktoni funksionet bazë trigonometrike të këndeve me madhësi arbitrare në funksionet e këndeve që shtrihen në intervalin nga 0 në 90 gradë (nga 0 në π 2 radian). Të operosh me kënde nga 0 në 90 gradë është shumë më i përshtatshëm sesa të punosh me arbitraritet vlera të mëdha Prandaj, formulat e reduktimit përdoren gjerësisht në zgjidhjen e problemeve të trigonometrisë. Para se të shkruajmë vetë formulat, le të sqarojmë disa pika të rëndësishme për t'u kuptuar. Tani le të kalojmë drejtpërdrejt në formulat e reduktimit. Formulat e reduktimit ju lejojnë të lëvizni nga puna me arbitrare dhe arbitrare kënde të mëdha për të punuar me kënde që variojnë nga 0 në 90 gradë. Le t'i shkruajmë të gjitha formulat në formë tabele. Formulat e reduktimit sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = mëkat α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α NË në këtë rast formulat shkruhen në radianë. Megjithatë, ju gjithashtu mund t'i shkruani ato duke përdorur gradë. Mjafton vetëm konvertimi i radianeve në gradë, duke zëvendësuar π me 180 gradë. Ne do të tregojmë se si të përdorim formulat e reduktimit dhe si përdoren këto formula për zgjidhjen e shembujve praktikë. Këndi nën shenjën e funksionit trigonometrik mund të përfaqësohet jo në një, por në shumë mënyra. Për shembull, argumenti i një funksioni trigonometrik mund të përfaqësohet në formën ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z. Le ta demonstrojmë këtë. Le të marrim këndin α = 16 π 3. Ky kënd mund të shkruhet kështu: α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π Në varësi të paraqitjes së këndit të përdorur formula përkatëse fantazmat Le të marrim të njëjtin kënd α = 16 π 3 dhe të llogarisim tangjenten e tij Shembulli 1: Përdorimi i formulave të reduktimit α = 16 π 3 , t g α = ? Le të paraqesim këndin α = 16 π 3 si α = π + π 3 + 2 π 2 Ky paraqitje e këndit do të korrespondojë me formulën e reduktimit t g (π + α + 2 π z) = t g α t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3 Duke përdorur tabelën, ne tregojmë vlerën e tangjentes Tani përdorim një paraqitje tjetër të këndit α = 16 π 3. Shembulli 2: Përdorimi i formulave të reduktimit α = 16 π 3 , t g α = ? α = - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3 Së fundi, për paraqitjen e tretë të këndit shkruajmë Shembulli 3. Përdorimi i formulave të reduktimit α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c t g π 6 = 3 Tani le të japim një shembull të përdorimit të formulave më komplekse të reduktimit Shembulli 4: Përdorimi i formulave të reduktimit Le të imagjinojmë mëkatin 197° përmes sinusit dhe kosinusit të një këndi akut. Për të qenë në gjendje të aplikoni formulat e reduktimit, duhet të përfaqësoni këndin α = 197 ° në një nga format ± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Sipas kushteve të problemit, këndi duhet të jetë i mprehtë. Prandaj, ne kemi dy mënyra për ta përfaqësuar atë: 197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73° marrim mëkat 197° = mëkat (180° + 17°) mëkat 197° = mëkat (270° - 73°) Tani le të shohim formulat e reduktimit për sinuset dhe të zgjedhim ato të përshtatshmet mëkat (π + α + 2 πz) = - sinα mëkat (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = mëkat (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - mëkat 17 ° mëkat 197 ° = mëkat (270 ° - 73 ° + 360 ° z) = - cos 73 ° Ka shumë formula reduktimi dhe, për fat të mirë, nuk ka nevojë t'i mësoni përmendësh. Ka rregullsi me të cilat mund të nxirren formulat e reduktimit kënde të ndryshme dhe funksionet trigonometrike. Këto modele quhen rregulla mnemonike. Mnemonika është arti i memorizimit. Rregulli mnemonik përbëhet nga tre pjesë, ose përmban tre faza. Rregulli mnemonik 1. Argumenti i funksionit origjinal paraqitet në një nga format e mëposhtme: ± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz Këndi α duhet të jetë ndërmjet 0 dhe 90 gradë. 2. Përcaktohet shenja e funksionit origjinal trigonometrik. Funksioni i shkruar në anën e djathtë të formulës do të ketë të njëjtën shenjë. 3. Për këndet ± α + 2 πz dhe π ± α + 2 πz, emri i funksionit origjinal mbetet i pandryshuar, dhe për këndet π 2 ± α + 2 πz dhe 3 π 2 ± α + 2 πz, përkatësisht, ai ndryshon në "bashkëfunksionim". Sinus - kosinus. Tangent - kotangjente. Për të përdorur udhëzuesin mnemonik për formulat e reduktimit, duhet të jeni në gjendje të përcaktoni shenjat e funksioneve trigonometrike bazuar në të katërtat e rrethit të njësisë. Le të shohim shembuj të përdorimit të rregullit mnemonik. Shembulli 1: Përdorimi i një rregulli mnemonik Le të shkruajmë formulat e reduktimit për cos π 2 - α + 2 πz dhe t g π - α + 2 πz. α është regjistri i tremujorit të parë. 1. Meqenëse sipas kushtit α është regjistri i tremujorit të parë, ne kapërcejmë pikën e parë të rregullit. 2. Përcaktoni shenjat funksionet cosπ 2 - α + 2 πz dhe t g π - α + 2 πz. Këndi π 2 - α + 2 πz është gjithashtu këndi i tremujorit të parë, dhe këndi π - α + 2 πz është në tremujorin e dytë. Në tremujorin e parë, funksioni kosinus është pozitiv, dhe tangjentja në tremujorin e dytë ka një shenjë minus. Le të shkruajmë se si do të duken formulat e kërkuara në këtë fazë. cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = - 3. Sipas pikës së tretë, për këndin π 2 - α + 2 π emri i funksionit ndryshon në Konfuci, kurse për këndin π - α + 2 πz mbetet i njëjtë. Le të shkruajmë: cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α Tani le të shohim formulat e dhëna më sipër dhe të sigurohemi që rregulli i kujtesës funksionon. Le të shohim një shembull me një kënd specifik α = 777°. Le të reduktojmë alfa sinus në funksionin trigonometrik të një këndi akut. Shembulli 2: Përdorimi i një rregulli mnemonik 1. Imagjinoni këndin α = 777 ° në formën e kërkuar 777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2 2. Këndi origjinal është këndi i tremujorit të parë. Kjo do të thotë se sinusi i këndit ka shenjë pozitive. Si rezultat kemi: 3. mëkat 777° = mëkat (57° + 360° 2) = mëkat 57° mëkat 777° = mëkat (90° - 33° + 360° 2) = cos 33° Tani le të shohim një shembull që tregon se sa e rëndësishme është të përcaktohet saktë shenja e funksionit trigonometrik dhe të paraqitet saktë këndi kur përdoret rregulli mnemonik. Le ta përsërisim përsëri. E rëndësishme! Këndi α duhet të jetë i mprehtë! Le të llogarisim tangjenten e këndit 5 π 3. Nga tabela e vlerave të funksioneve kryesore trigonometrike, mund të merrni menjëherë vlerën t g 5 π 3 = - 3, por ne do të zbatojmë rregullin mnemonik. Shembulli 3: Përdorimi i një rregulli mnemonik Le të imagjinojmë këndin α = 5 π 3 në formën e kërkuar dhe të përdorim rregullin t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3 Nëse këndin alfa e paraqesim në formën 5 π 3 = π + 2 π 3, atëherë rezultati i zbatimit të rregullit mnemonik do të jetë i pasaktë. t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3 Rezultati i pasaktë është për faktin se këndi 2 π 3 nuk është akut. Vërtetimi i formulave të reduktimit bazohet në vetitë e periodicitetit dhe simetrisë së funksioneve trigonometrike, si dhe në vetinë e zhvendosjes sipas këndeve π 2 dhe 3 π 2. Vërtetimi i vlefshmërisë së të gjitha formulave të reduktimit mund të kryhet pa marrë parasysh termin 2 πz, pasi ai tregon një ndryshim në kënd me një numër të plotë revolucione të plota dhe pasqyron saktësisht vetinë e periodicitetit. 16 formulat e para rrjedhin drejtpërdrejt nga vetitë e funksioneve bazë trigonometrike: sinus, kosinus, tangjent dhe kotangjent. Këtu është një provë e formulave të reduktimit për sinuset dhe kosinuset sin π 2 + α = cos α dhe cos π 2 + α = - sin α Le të shohim rrethin e njësisë, pikënisje e cila, pas rrotullimit sipas këndit α, shkoi në pikën A 1 x, y, dhe pas rrotullimit nga këndi π 2 + α - në pikën A 2. Nga të dyja pikat vizatojmë pingul me boshtin e abshisave. Dy trekëndësh kënddrejtë O A 1 H 1 dhe O A 2 H 2 janë të barabarta në hipotenuzë dhe kënde ngjitur. Nga vendndodhja e pikave në rreth dhe barazia e trekëndëshave, mund të konkludojmë se pika A 2 ka koordinata A 2 - y, x. Duke përdorur përkufizimet e sinusit dhe kosinusit, ne shkruajmë: sin α = y, cos α = x, sin π 2 + α = x, cos π 2 + α = y sin π 2 + α = cos α, cos π 2 + α = - sin α Duke marrë parasysh identitetet bazë të trigonometrisë dhe atë që sapo është vërtetuar, mund të shkruajmë t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - mëkat α cos α = - t g α Për të vërtetuar formulat e reduktimit me argument π 2 - α, duhet të paraqitet në formën π 2 + (- α). Për shembull: cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - mëkat (- α) = mëkat α Vërtetimi përdor vetitë e funksioneve trigonometrike me argumente të shenjave të kundërta. Të gjitha formulat e tjera të reduktimit mund të vërtetohen bazuar në ato të shkruara më sipër. Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
këndi `\alpha` do të shkojë në pikën `A_1(x, y)`, dhe pasi të kthehet me kënd `\frac (\pi)2 + \alpha` në pikën `A_2(-y, x)`. Duke i hedhur pingulet nga këto pika në drejtëzën OX, shohim se trekëndëshat `OA_1H_1` dhe `OA_2H_2` janë të barabartë, pasi hipotenuset e tyre dhe këndet ngjitur janë të barabartë. Pastaj, bazuar në përkufizimet e sinusit dhe kosinusit, mund të shkruajmë `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alfa)=-y`. Ku mund të shkruajmë se `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` dhe `cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, që vërteton reduktimin formulat për këndet e sinusit dhe kosinusit `\frac (\pi)2 + \alfa`.
Dhe funksion cos(a)>0
Tremujori i parë mund të përshkruhet në terma të masë shkallë, si (90-α) ose (360+α).
Një funksion cos(a) sepse boshti X është negativ në këtë kuadrat.
Tremujori i dytë mund të përshkruhet në terma të shkallëve, si (90+α) ose (180-α).
Një funksion cos(a)>0, sepse boshti X është pozitiv në këtë tremujor.
Tremujori i katërt mund të përshkruhet në terma të shkallëve, si (270+α) ose (360-α).
1. lagje.(Gjithmonë shikoni se në cilën lagje jeni).
2. Shenjë.(Për sa i përket tremujorit, shih pozitiv ose funksionet negative kosinus ose sinus).
3. Nëse keni (90° ose π/2) dhe (270° ose 3π/2) në kllapa, atëherë ndryshimet e funksionit.
Ne arsyetojmë sipas algoritmit:
1. Tremujori i parë.
do cos(90-α) = mëkat (α)
Ne arsyetojmë sipas algoritmit:
1. Tremujori i parë.
do sin(90-α) = cos(α)
Ne arsyetojmë sipas algoritmit:
1. Tremujori i parë.
2. Në tremujorin e parë, shenja e funksionit të kosinusit është pozitive.
do cos(360+α) = cos(α)
Ne arsyetojmë sipas algoritmit:
1. Tremujori i parë.
2. Në tremujorin e parë, shenja e funksionit sinus është pozitive.
3. Nuk ka (90° ose π/2) dhe (270° ose 3π/2) në kllapa, atëherë funksioni nuk ndryshon.
do sin(360+α) = mëkat(α)
Ne arsyetojmë sipas algoritmit:
1. Çereku i dytë.
3. Ka (90° ose π/2) në kllapa, më pas funksioni ndryshon nga kosinusi në sinus.
do cos(90+α) = -sin(α)
Ne arsyetojmë sipas algoritmit:
1. Çereku i dytë.
3. Ka (90° ose π/2) në kllapa, më pas funksioni ndryshon nga sinusi në kosinus.
do sin(90+α) = cos(α)
Ne arsyetojmë sipas algoritmit:
1. Çereku i dytë.
2. Në tremujorin e dytë, shenja e funksionit të kosinusit është negative.
3. Nuk ka (90° ose π/2) dhe (270° ose 3π/2) në kllapa, atëherë funksioni nuk ndryshon.
do cos(180-α) = cos(α)
Ne arsyetojmë sipas algoritmit:
1. Çereku i dytë.
2. Në tremujorin e dytë, shenja e funksionit sinus është pozitive.
3. Nuk ka (90° ose π/2) dhe (270° ose 3π/2) në kllapa, atëherë funksioni nuk ndryshon.
do sin (180-α) = mëkat (α)
Keni nevojë për ndihmë me studimet tuaja?
Tema e mëparshme: Formulat e reduktimit. Listë
Shembuj të përdorimit të formulave të reduktimit
Rregulli mnemonik
