Konceptet themelore të modeleve përcaktuese dhe stokastike. Modele përcaktuese dhe stokastike

Modelimi është një nga mjetet më të rëndësishme në jeta moderne kur duan të parashikojnë të ardhmen. Dhe kjo nuk është për t'u habitur, sepse saktësia e kësaj metode është shumë e lartë. Le të hedhim një vështrim se çfarë është në këtë artikull model përcaktues.

informacion i pergjithshem

Modelet përcaktuese të sistemeve kanë veçorinë që mund të studiohen në mënyrë analitike nëse janë mjaft të thjeshta. Në rastin e kundërt, kur përdoret një numër i konsiderueshëm ekuacionesh dhe variablash, kompjuterët elektronikë mund të përdoren për këtë qëllim. Për më tepër, ndihma kompjuterike, si rregull, zbret vetëm në zgjidhjen e tyre dhe gjetjen e përgjigjeve. Për shkak të kësaj, është e nevojshme të ndryshohen sistemet e ekuacioneve dhe të përdoren një diskretizim të ndryshëm. Dhe kjo sjell një rrezik në rritje të gabimit në llogaritjet. Të gjitha llojet e modeleve përcaktuese karakterizohen nga fakti se njohja e parametrave në një interval të caktuar të studiuar na lejon të përcaktojmë plotësisht dinamikën e zhvillimit të treguesve të njohur përtej kufirit.

Veçoritë

Modelimi i faktorëve

Referencat për këtë mund të shihen gjatë gjithë artikullit, por ne ende nuk kemi diskutuar se çfarë është. Modelimi i faktorëve nënkupton që janë identifikuar dispozitat kryesore për të cilat është i nevojshëm krahasimi sasior. Për të arritur qëllimet e deklaruara, hulumtimi transformon formën.

Nëse një model rreptësisht determinist ka më shumë se dy faktorë, atëherë ai quhet multifaktorial. Analiza e saj mund të kryhet duke përdorur teknika të ndryshme. Le të japim si shembull në këtë rast, ajo i konsideron detyrat e caktuara nga këndvështrimi i modeleve të paracaktuara dhe të përpunuara. Zgjedhja midis tyre bëhet sipas përmbajtjes së tyre.

Për të ndërtuar një model me cilësi të lartë, është e nevojshme të përdorni teorik dhe studime eksperimentale thelbi procesi teknologjik dhe marrëdhëniet e saj shkak-pasojë. Ky është pikërisht avantazhi kryesor i lëndëve që po shqyrtojmë. Modelet deterministe lejojnë parashikime të sakta në shumë fusha të jetës sonë. Falë parametrave të tyre të cilësisë dhe shkathtësisë, ato janë bërë kaq të përhapura.

Modelet përcaktuese kibernetike

Ato janë me interes për ne për shkak të proceseve kalimtare të bazuara në analizë që ndodhin me çdo ndryshim, madje edhe më të parëndësishëm në vetitë agresive. mjedisi i jashtëm. Për thjeshtësi dhe shpejtësi të llogaritjeve status quo-në rastet zëvendësohen me një model të thjeshtuar. E rëndësishme është që ai të plotësojë të gjitha nevojat themelore.

Performanca e sistemit të kontrollit automatik dhe efektiviteti i vendimeve që ai merr varen nga uniteti i të gjithë parametrave të nevojshëm. Në këtë rast, është e nevojshme të zgjidhet problemi i mëposhtëm: sa më shumë informacion të mblidhet, aq më i lartë është probabiliteti i gabimit dhe aq më e gjatë është koha e përpunimit. Por nëse kufizoni mbledhjen e të dhënave tuaja, mund të prisni një rezultat më pak të besueshëm. Prandaj është e nevojshme të gjendet mesatare e artë, i cili do t'ju lejojë të merrni informacione me saktësi të mjaftueshme, dhe në të njëjtën kohë nuk do të ndërlikohet pa nevojë nga elementë të panevojshëm.

Modeli shumëzues përcaktues

Ai ndërtohet duke ndarë faktorët në shumë. Si shembull, ne mund të konsiderojmë procesin e formimit të vëllimit të produkteve të prodhuara (PP). Pra, për këtë ju duhet të keni punë (PC), materiale (M) dhe energji (E). Në këtë rast, faktori PP mund të ndahet në një grup (RS;M;E). Ky opsion pasqyron formën shumëzuese të sistemit të faktorëve dhe mundësinë e ndarjes së tij. Në këtë rast, ju mund të përdorni metodat e mëposhtme të transformimit: zgjerimi, dekompozimi formal dhe zgjatja. Opsioni i parë ka gjetur aplikim të gjerë në analizë. Mund të përdoret për të llogaritur performancën e një punonjësi, e kështu me radhë.

Kur zgjatet, një vlerë zëvendësohet nga faktorë të tjerë. Por në fund duhet të jetë i njëjti numër. Një shembull i zgjatjes u diskutua më lart. Mbetet vetëm dekompozimi formal. Ai përfshin përdorimin e zgjatjes së emëruesit të modelit origjinal të faktorit për shkak të zëvendësimit të një ose më shumë parametrave. Le të shqyrtojmë këtë shembull: ne llogarisim përfitimin e prodhimit. Për ta bërë këtë, shuma e fitimit ndahet me shumën e kostove. Kur shumëzojmë, në vend të një vlere të vetme, ne pjesëtojmë me shpenzimet e përmbledhura për materialet, personelin, taksat, e kështu me radhë.

Probabilitetet

Oh, sikur gjithçka të shkonte saktësisht siç ishte planifikuar! Por kjo ndodh rrallë. Prandaj, në praktikë, shpesh përdoren së bashku përcaktuesit dhe Çfarë mund të thuhet për këto të fundit? E veçanta e tyre është se ata marrin parasysh edhe probabilitete të ndryshme. Merrni për shembull sa vijon. Janë dy shtete. Marrëdhënia mes tyre është shumë e keqe. Një palë e tretë vendos nëse do të investojë në biznese në një nga vendet. Në fund të fundit, nëse shpërthen një luftë, fitimet do të vuajnë shumë. Ose mund të jepni një shembull të ndërtimit të një impianti në një zonë me të lartë aktiviteti sizmik. Ata punojnë këtu faktorët natyrorë, e cila nuk mund të merret me saktësi parasysh, kjo mund të bëhet vetëm përafërsisht.

konkluzioni

Ne shikuam se cilat janë modelet analiza përcaktuese. Mjerisht, për t'i kuptuar plotësisht ato dhe për të qenë në gjendje t'i zbatoni ato në praktikë, duhet të studioni shumë mirë. Baza teorike tashmë ka. Gjithashtu brenda kuadrit të artikullit, veç shembuj të thjeshtë. Më pas, është më mirë të ndiqni rrugën e ndërlikimit gradualisht të materialit të punës. Mund ta thjeshtoni pak detyrën dhe të filloni të studioni software, të cilat mund të kryejnë simulimet e duhura. Por cilado qoftë zgjedhja, të kuptuarit e bazave dhe të qenit në gjendje t'i përgjigjeni pyetjeve se çfarë, si dhe pse është ende e nevojshme. Së pari duhet të mësoni të zgjidhni të dhënat e sakta hyrëse dhe të zgjidhni veprimet e nevojshme. Atëherë programet do të jenë në gjendje të kryejnë me sukses detyrat e tyre.

Modelet e sistemeve për të cilat kemi folur deri tani kanë qenë deterministe (të caktuara), d.m.th. vendosja e ndikimit të hyrjes përcaktoi në mënyrë unike daljen e sistemit. Megjithatë, në praktikë kjo ndodh rrallë: përshkrimi sistemet reale pasiguria është zakonisht e natyrshme. Për shembull, për një model statik, pasiguria mund të merret parasysh duke shkruar relacionin (2.1)

ku normalizohet gabimi në daljen e sistemit.

Arsyet e pasigurisë janë të ndryshme:

– gabime dhe ndërhyrje në matjet e hyrjeve dhe daljeve të sistemit (gabimet natyrore);

– pasaktësia e vetë modelit të sistemit, që detyron një gabim të futet artificialisht në model;

– informacion jo i plotë për parametrat e sistemit, etj.

Ndër në mënyra të ndryshme sqarimi dhe zyrtarizimi i pasigurisë shpërndarja më e madhe mori një qasje kaotike (probabiliste), në të cilën sasi të pasigurta konsiderohen të rastësishme. Zhvilloi aparate konceptuale dhe llogaritëse të teorisë së probabilitetit dhe statistika matematikore ju lejon të jepni rekomandime specifike për zgjedhjen e strukturës së sistemit dhe vlerësimin e parametrave të tij. Klasifikimi i modeleve stokastike të sistemeve dhe metodave për studimin e tyre është paraqitur në tabelë. 1.4. Përfundimet dhe rekomandimet bazohen në efektin mesatar: devijime të rastësishme rezultatet e matjeve të një sasie të caktuar nga vlera e saj e pritshme anulojnë njëra-tjetrën kur përmblidhen, dhe mesatarja aritmetike numer i madh matjet rezulton të jenë afër vlerës së pritur. Formulimet matematikore ky efekt jepet me ligj numra të mëdhenj dhe teorema e kufirit qendror. Ligji i numrave të mëdhenj thotë se nëse janë variabla të rastësishëm me pritje matematikore (vlera mesatare) dhe variancë, atëherë

në mjaft të mëdha N. Kjo tregon mundësinë themelore për të bërë një vlerësim arbitrar të saktë bazuar në matje. Teorema e kufirit qendror, duke sqaruar (2.32), thotë se

ku është një ndryshore e rastësishme standarde e shpërndarë normalisht

Meqenëse shpërndarja e sasisë është e njohur dhe e tabeluar mirë (për shembull, dihet se relacioni (2.33) lejon llogaritjen e gabimit të vlerësimit. Le të, për shembull, dëshironi të gjeni se në cilin numër matjesh është gabimi në vlerësim Pritja e tyre matematikore me një probabilitet prej 0,95 do të jetë më e vogël se 0,01, nëse varianca e secilës matje është 0,25 Nga (2,33) marrim se pabarazia nga e cila duhet të jetë. N> 10000.

Natyrisht, formulimet (2.32), (2.33) mund të jepen më shumë vështrim i rreptë, dhe kjo mund të bëhet lehtësisht duke përdorur konceptet e konvergjencës probabilistike. Vështirësitë lindin kur përpiqeni të provoni kushtet e këtyre deklaratave strikte. Për shembull, në ligjin e numrave të mëdhenj dhe qendror teorema e kufirit kërkohet pavarësia e matjeve (zbatimeve) individuale ndryshore e rastësishme dhe fundshmëria e variancës së saj. Nëse shkelen këto kushte, atëherë mund të cenohen edhe përfundimet. Për shembull, nëse të gjitha matjet përkojnë: atëherë, megjithëse plotësohen të gjitha kushtet e tjera, nuk mund të bëhet fjalë për mesataren. Një shembull tjetër: ligji i numrave të mëdhenj nuk është i vlefshëm nëse ndryshoret e rastësishme shpërndahen sipas ligjit të Cauchy (me një densitet të shpërndarjes që nuk ka të fundme pritje matematikore dhe dispersion. Por një ligj i tillë ndodh në jetë! Për shembull, sipas Cauchy, ndriçimi integral i pikave në një breg drejtvizor shpërndahet nga një prozhektues rrotullues uniform i vendosur në det (në një anije) dhe i ndezur. momente të rastësishme koha.

Por gjithashtu vështirësi të mëdha bën thirrje për një kontroll të vlefshmërisë së vetë përdorimit të termit "të rastësishëm". Çfarë është një ndryshore e rastësishme? ngjarje e rastësishme etj. Shpesh thuhet se një ngjarje A rastësisht, nëse si rezultat i eksperimentit mund të ndodhë (me probabilitet R) ose nuk ndodh (me probabilitet 1- R). Gjithçka, megjithatë, nuk është aq e thjeshtë. Vetë koncepti i probabilitetit mund të lidhet me rezultatet e eksperimenteve vetëm përmes shpeshtësisë së shfaqjes së tij në një numër (seri) të caktuar eksperimentesh: , ku N A- numri i eksperimenteve në të cilat ka ndodhur ngjarja, N- numri total; eksperimente. Nëse numrat janë mjaft të mëdhenj N po afrohen disa numër konstant r A:

atë ngjarje A mund të quhet i rastësishëm, dhe numri R- probabiliteti i tij. Në këtë rast, frekuencat e vëzhguara në seri të ndryshme eksperimentesh duhet të jenë afër njëra-tjetrës (kjo veti quhet stabiliteti statistikor ose homogjeniteti). Sa më sipër vlen edhe për konceptin e një ndryshoreje të rastësishme, pasi një vlerë është e rastësishme nëse ngjarjet janë të rastësishme (dhe<£<Ь} для любых чисел A,b. Frekuencat e shfaqjes së ngjarjeve të tilla në seri të gjata eksperimentesh duhet të grupohen rreth vlerave të caktuara konstante.

Pra, që qasja stokastike të jetë e zbatueshme, duhet të plotësohen kërkesat e mëposhtme:

1) shkalla masive e eksperimenteve që po kryhen, d.m.th. një numër mjaft i madh;

2) përsëritshmëria e kushteve eksperimentale, duke justifikuar krahasimin e rezultateve të eksperimenteve të ndryshme;

3) stabiliteti statistikor.

Qasja stokastike padyshim nuk mund të zbatohet për eksperimente të vetme: shprehjet si "probabiliteti që të bjerë shi nesër", "me një probabilitet prej 0.8, Zeniti do të fitojë kupën", etj. janë të pakuptimta. Por edhe nëse eksperimentet janë të përhapura dhe të përsëritshme, mund të mos ketë stabilitet statistikor dhe kontrollimi i kësaj nuk është një detyrë e lehtë. Vlerësimet e njohura të devijimit të lejueshëm të frekuencës nga probabiliteti bazohen në teoremën e kufirit qendror ose pabarazinë e Chebyshev dhe kërkojnë hipoteza shtesë për pavarësinë ose varësinë e dobët të matjeve. Verifikimi eksperimental i gjendjes së pavarësisë është edhe më i vështirë, pasi kërkon eksperimente shtesë.

Metodologjia dhe recetat praktike për zbatimin e teorisë së probabilitetit janë paraqitur më në detaje në librin udhëzues të V.N. Tutubalin, një ide për të cilën jepet nga citatet e mëposhtme:

“Është jashtëzakonisht e rëndësishme të zhduket keqkuptimi që ndodh ndonjëherë midis inxhinierëve dhe shkencëtarëve të natyrës, të cilët nuk janë mjaftueshëm të njohur me teorinë e probabilitetit, se rezultati i çdo eksperimenti mund të konsiderohet si një variabël i rastësishëm. Në raste veçanërisht të rënda, kjo shoqërohet me besimin në ligjin normal të shpërndarjes dhe nëse vetë variablat e rastësishëm nuk janë normalë, atëherë ata besojnë se logaritmet e tyre janë normale.

“Sipas koncepteve moderne, fusha e zbatimit të metodave teorike të probabilitetit është e kufizuar në dukuri që karakterizohen nga stabiliteti statistikor. Megjithatë, testimi i stabilitetit statistikor është i vështirë dhe gjithmonë i paplotë, dhe shpesh jep një përfundim negativ. Si rezultat, në fusha të tëra të dijes, për shembull, në gjeologji, një qasje është bërë normë në të cilën stabiliteti statistikor nuk kontrollohet fare, gjë që çon në mënyrë të pashmangshme në gabime serioze. Për më tepër, propaganda e kibernetikës e ndërmarrë nga shkencëtarët tanë kryesorë ka dhënë (në disa raste!) një rezultat disi të papritur: tani besohet se vetëm një makinë (dhe jo një person) është në gjendje të marrë rezultate objektive shkencore.

Në rrethana të tilla, është detyrë e çdo mësuesi të përhapë përsëri dhe përsëri atë të vërtetën e vjetër që Pjetri I u përpoq (pa sukses) të rrënjoste te tregtarët rusë: se duhet të tregtoni ndershmërisht, pa mashtrim, pasi në fund është më e dobishme për veten.”

Si të ndërtohet një model i një sistemi nëse ka pasiguri në problem, por qasja stokastike nuk është e zbatueshme? Më poshtë ne përshkruajmë shkurtimisht një nga qasjet alternative, bazuar në teorinë e grupeve fuzzy.

Ju kujtojmë se një relacion (lidhja midis dhe) është një nëngrup i një grupi. ato. disa çifte R=(( x, në)), Ku,. Për shembull, një lidhje funksionale (varësi) mund të përfaqësohet si një marrëdhënie midis grupeve, duke përfshirë çiftet ( X, në), per cilin.

Në rastin më të thjeshtë mund të jetë, një R është një lidhje identiteti nëse.

Shembujt 12-15 në tabelë. 1. 1 janë shpikur në vitin 1988 nga një nxënës i klasës së 86-të të shkollës 292 M. Koroteev.

Matematikani këtu, natyrisht, do të vërejë se minimumi në (1.4), në mënyrë rigoroze, mund të mos arrihet dhe në formulimin e (1.4) është e nevojshme të zëvendësohet rnin me inf ("infimum" është infimum i saktë i grup). Sidoqoftë, kjo nuk do ta ndryshojë situatën: zyrtarizimi në këtë rast nuk pasqyron thelbin e detyrës, d.m.th. kryer gabimisht. Në të ardhmen, për të mos "trembur" inxhinierin, do të përdorim shënimin min, max; duke pasur parasysh se, nëse është e nevojshme, ato duhet të zëvendësohen me inf më të përgjithshme, sup.

Këtu termi "strukturë" përdoret në një kuptim disi më të ngushtë, si në nënseksion. 1.1, dhe nënkupton përbërjen e nënsistemeve në sistem dhe llojet e lidhjeve mes tyre.

Një grafik është një çift ( G, R), ku G=(g 1 ... g n) është një grup i fundëm kulmesh, a - lidhje binare me G. Nëse, atëherë dhe vetëm nëse, atëherë grafiku quhet i padrejtuar, përndryshe - i drejtuar. Çiftet quhen harqe (skajet), dhe elementet e grupit G- kulmet e grafikut.

Domethënë algjebrike ose transcendentale.

Në mënyrë të rreptë, një grup i numërueshëm është një idealizim i caktuar që nuk mund të realizohet praktikisht për shkak të madhësisë së kufizuar të sistemeve teknike dhe kufijve të perceptimit njerëzor. Modele të tilla të idealizuara (për shembull, grupi i numrave natyrorë N=(1, 2,...)) ka kuptim të prezantohet për grupe që janë të fundme, por me një numër paraprakisht të pakufizuar (ose të panjohur) elementësh.

Formalisht, koncepti i një operacioni është një rast i veçantë i konceptit të një marrëdhënieje midis elementeve të grupeve. Për shembull, veprimi i mbledhjes së dy numrave specifikon një lidhje treshe R: tre nga numrat (x, y, z) z) i përket relacionit R(shkruajmë (x,y,z)), nëse z = x+y.

Numri kompleks, argumenti i polinomeve A(), NË().

Ky supozim shpesh përmbushet në praktikë.

Nëse sasia është e panjohur, atëherë ajo duhet të zëvendësohet në (2.33) me vlerësimin ku në këtë rast, sasia nuk do të shpërndahet më normalisht, por sipas ligjit të Studentit, i cili praktikisht nuk dallohet nga normalja.

Është e lehtë të shihet se (2.34) është një rast i veçantë i (2.32), kur marrim nëse ngjarja A erdhi në j- m eksperiment, ndryshe. Ku

Dhe sot mund të shtoni "... dhe shkenca kompjuterike" (shënim i autorit).

Çdo proces real karakteristike luhatjet e rastësishme të shkaktuara nga ndryshueshmëria fizike e ndonjë faktori me kalimin e kohës. Përveç kësaj, mund të ketë ndikime të rastësishme të jashtme në sistem. Prandaj, me një vlerë mesatare të barabartë të parametrave të hyrjes në kohë të ndryshme parametrat e daljes do të jenë të ndryshëm. Prandaj, nëse ndikimet e rastësishme në sistemin në studim janë të rëndësishme, është e nevojshme të zhvillohen probabilistik (stokastik) modeli i objektit, duke marrë parasysh ligjet statistikore të shpërndarjes së parametrave të sistemit dhe duke zgjedhur aparatin e duhur matematikor.

Gjatë ndërtimit modele përcaktuese Faktorët e rastësishëm neglizhohen, duke marrë parasysh vetëm kushtet specifike të problemit që zgjidhet, vetitë dhe lidhjet e brendshme të objektit (pothuajse të gjitha degët e fizikës klasike janë ndërtuar mbi këtë parim)

Ideja e metodave deterministe- në përdorimin e dinamikës së vetë modelit gjatë evolucionit të sistemit.

Në kursin tonë janë paraqitur këto metoda: Metoda e dinamikës molekulare, përparësitë e të cilave janë: saktësia dhe siguria e algoritmit numerik; Disavantazhi është se është punë intensive për shkak të llogaritjes së forcave të ndërveprimit midis grimcave (për një sistem prej N grimcash, në çdo hap duhet të kryeni
operacionet e numërimit të këtyre forcave).

Në qasje deterministe ekuacionet e lëvizjes specifikohen dhe integrohen me kalimin e kohës. Ne do të shqyrtojmë sistemet e shumë grimcave. Pozicionet e grimcave kontribuojnë me energji potenciale në energjinë totale të sistemit, dhe shpejtësitë e tyre përcaktojnë kontributin e energjisë kinetike. Sistemi lëviz përgjatë një trajektoreje me energji konstante në hapësirën fazore (do të vijojnë shpjegime të mëtejshme). Për metodat përcaktuese, një ansambël mikrokanonik është i natyrshëm, energjia e të cilit është integrali i lëvizjes. Përveç kësaj, është e mundur të studiohen sistemet për të cilat integrali i lëvizjes është temperatura dhe (ose) presioni. Në këtë rast, sistemi nuk është i mbyllur dhe mund të përfaqësohet në kontakt me një rezervuar termik (ansambël kanonik). Për ta modeluar atë, ne mund të përdorim një qasje në të cilën kufizojmë një numër shkallësh të lirisë së sistemit (për shembull, vendosim kushtin
).

Siç e kemi vërejtur tashmë, në rastin kur proceset në një sistem ndodhin në mënyrë të paparashikueshme, ngjarje të tilla dhe sasi të lidhura me to quhen e rastit, dhe algoritme për proceset e modelimit në sistem - probabilistik (stokastik). greke stoohastikos- fjalë për fjalë do të thotë "ai që mund të hamendësojë".

Metodat stokastike përdorin një qasje paksa të ndryshme nga ato përcaktuese: ato duhet vetëm të llogarisin pjesën e konfigurimit të problemit. Ekuacionet për momentin e një sistemi mund të integrohen gjithmonë. Problemi që lind më pas është se si të kryhen kalimet nga një konfigurim në tjetrin, të cilat në qasjen deterministe përcaktohen nga momenti. Kalime të tilla në metodat stokastike kryhen me evolucion probabilistik në Procesi Markov. Procesi Markov është një analog probabilistik i dinamikës së vetë modelit.

Kjo qasje ka avantazhin se lejon modelimin e sistemeve që nuk kanë ndonjë dinamikë të qenësishme.

Ndryshe nga metodat deterministe, metodat stokastike në një PC janë më të thjeshta dhe më të shpejta për t'u zbatuar, por për të marrë vlera afër atyre të vërteta, kërkohen statistika të mira, gjë që kërkon modelimin e një grupi të madh grimcash.

Një shembull i një metode krejtësisht stokastike është Metoda Monte Carlo. Metodat stokastike përdorin konceptin e rëndësishëm të një procesi Markov (zinxhiri Markov). Procesi Markov është një analog probabilistik i procesit në mekanikën klasike. Zinxhiri Markov karakterizohet nga mungesa e kujtesës, d.m.th., karakteristikat statistikore të së ardhmes së afërt përcaktohen vetëm nga e tashmja, pa marrë parasysh të kaluarën.

Më praktike sesa i zënë 2.

Modeli i ecjes së rastësishme

Shembull(formale)

Le të supozojmë se grimcat vendosen në pozicione arbitrare në nyjet e një rrjete dydimensionale. Në çdo hap kohor, grimca "kërcen" në një nga pozicionet boshe. Kjo do të thotë se grimca ka aftësinë të zgjedhë drejtimin e kërcimit të saj në cilindo nga katër vendet më të afërta. Pas një kërcimi, grimca "nuk kujton" nga u hodh. Ky rast korrespondon me një shëtitje të rastësishme dhe është një zinxhir Markov. Rezultati në çdo hap është një gjendje e re e sistemit të grimcave. Kalimi nga një gjendje në tjetrën varet vetëm nga gjendja e mëparshme, d.m.th., probabiliteti që sistemi të jetë në gjendjen i varet vetëm nga gjendja i-1.

Cilat procese fizike në një trup të ngurtë na kujtojnë (të ngjashme me) modelin formal të përshkruar të një ecjeje të rastësishme?

Sigurisht, difuzioni, domethënë vetë proceset, mekanizmat e të cilave kemi shqyrtuar në rrjedhën e transferimit të nxehtësisë dhe masës (kursi i 3-të). Si shembull, le të kujtojmë vetë-përhapjen e zakonshme klasike në një kristal, kur, pa ndryshuar vetitë e tyre të dukshme, atomet ndryshojnë periodikisht vendet e qëndrimit të përkohshëm dhe enden rreth rrjetës, duke përdorur të ashtuquajturin mekanizëm "vakante". Është gjithashtu një nga mekanizmat më të rëndësishëm të difuzionit në lidhje. Fenomeni i migrimit të atomeve në trupat e ngurtë luan një rol vendimtar në shumë teknologji tradicionale dhe jo tradicionale - metalurgji, përpunimi i metaleve, krijimi i gjysmëpërçuesve dhe superpërçuesve, veshjeve mbrojtëse dhe filmave të hollë.

Ajo u zbulua nga Robert Austen në 1896 duke vëzhguar përhapjen e arit dhe plumbit. Difuzioni- procesi i rishpërndarjes së përqendrimeve atomike në hapësirë ​​përmes migrimit kaotik (termik). Shkaqet, nga pikëpamja e termodinamikës, mund të jenë dy: entropia (gjithmonë) dhe energjia (ndonjëherë). Arsyeja entropike është rritja e kaosit gjatë përzierjes së atomeve të varietetit të gdhendur. Energjia - nxit formimin e një aliazhi, kur është më e dobishme të ketë atome të llojeve të ndryshme pranë, dhe nxit dekompozimin e difuzionit, kur fitimi i energjisë sigurohet duke vendosur atome të të njëjtit lloj së bashku.

Mekanizmat më të zakonshëm të difuzionit janë:

vend i lirë pune

internodale

mekanizmi i zhvendosjes

Për të zbatuar mekanizmin e vendeve të lira, kërkohet të paktën një vend i lirë. Migrimi i vendeve të lira kryhet duke lëvizur në një vend të pabanuar të një prej atomeve fqinjë. Një atom mund të bëjë një kërcim difuzioni nëse ka një vend të lirë pranë tij. Vendi i lirë cm, me një periudhë dridhjesh termike të një atomi në një vend grilë, në një temperaturë T = 1330 K (nga 6 K< точки плавления), число скачков, которое совершает вакансия в 1с, путь за одну секунду-см=3 м (=10 км/ч). По прямой же путь, проходимый вакансиейсм, т. е. в 300 раз короче пути по ломаной.

Natyra kishte nevojë për të. në mënyrë që vendi i lirë të ndryshojë vendbanimin brenda 1 s, të kalojë përgjatë një linje të thyer 3 m dhe të lëvizë përgjatë një vije të drejtë me vetëm 10 mikronë. Atomet sillen më të qetë se vendet e lira. Por ata gjithashtu ndryshojnë vendbanimin e tyre një milion herë në sekondë dhe lëvizin me një shpejtësi afërsisht 1 m/orë.

Kështu që. se një vend i lirë për disa mijëra atome është i mjaftueshëm për të lëvizur atomet në një nivel mikro në një temperaturë afër shkrirjes.

Le të formojmë tani një model ecjeje të rastësishme për fenomenin e difuzionit në një kristal. Procesi i bredhjes së një atomi është kaotik dhe i paparashikueshëm. Sidoqoftë, për një ansambël atomesh enden, duhet të shfaqen rregullsi statistikore. Ne do të konsiderojmë kërcime të pakorreluara.

Kjo do të thotë se nëse
Dhe
është lëvizja e atomeve gjatë kërcimeve i dhe j, pastaj pas mesatares mbi grupin e atomeve endacake:

(produkti mesatar = prodhimi i mesatareve. Nëse ecja është plotësisht e rastësishme, të gjitha drejtimet janë të barabarta dhe
=0.)

le të bëjë çdo grimcë e ansamblit N kërcime elementare. Atëherë zhvendosja totale e tij është:

;

dhe katrorin mesatar të zhvendosjes

Meqenëse nuk ka korrelacion, termi i dytë = 0.

Le të ketë çdo kërcim të njëjtën gjatësi h dhe drejtim të rastësishëm, dhe numri mesatar i kërcimeve për njësi të kohës është v. Pastaj

Është e qartë se

Le ta quajmë sasinë
- koeficienti i difuzionit të atomeve endacakë. Pastaj
;

Për rastin tredimensional -
.

Ne kemi ligji i difuzionit parabolik- katrori mesatar i zhvendosjes është proporcional me kohën e ecjes.

Është ky problem që duhet të zgjidhim në punën tjetër laboratorike - modelimin e ecjeve të rastësishme njëdimensionale.

Modeli numerik.

Ne përcaktojmë një grup grimcash M, secila prej të cilave bën N hapa, në mënyrë të pavarur nga njëra-tjetra, djathtas ose majtas me të njëjtën probabilitet. Gjatësia e hapit = h.

Për secilën grimcë llogarisim katrorin e zhvendosjes
në hapa N. Pastaj ne performojmë mesatarisht mbi ansambël -
. Madhësia
, Nëse
, pra katrori mesatar i zhvendosjes është proporcional me kohën e rastësishme të ecjes
- koha mesatare e një hapi) - ligji parabolik i difuzionit.

Modelet matematikore në ekonomi dhe programim

1. Modele matematikore përcaktuese dhe probabiliste në ekonomi. Avantazhet dhe disavantazhet

Metodat për studimin e proceseve ekonomike bazohen në përdorimin e modeleve matematikore - përcaktuese dhe probabiliste - që përfaqësojnë procesin, sistemin ose llojin e veprimtarisë që studiohet. Modele të tilla ofrojnë një përshkrim sasior të problemit dhe shërbejnë si bazë për marrjen e vendimeve të menaxhimit gjatë kërkimit të opsionit optimal. Sa të justifikuara janë këto vendime, a janë ato më të mirat e mundshme, a merren parasysh dhe peshohen të gjithë faktorët që përcaktojnë zgjidhjen optimale, cili është kriteri për të përcaktuar se kjo zgjidhje është me të vërtetë më e mira - këto janë vargu i pyetjeve që janë të rëndësi të madhe për menaxherët e prodhimit, dhe përgjigja për të cilën mund të gjendet duke përdorur metodat e kërkimit të operacioneve [Analiza përcaktuese e të dhënave socio-ekonomike. - M.: Nauka, 1982, fq.

Një nga parimet e formimit të një sistemi kontrolli është metoda e modeleve kibernetike (matematikore). Modelimi matematik zë një pozicion të ndërmjetëm midis eksperimentit dhe teorisë: nuk ka nevojë të ndërtohet një model fizik real i sistemit, ai do të zëvendësohet nga një model matematikor. E veçanta e formimit të një sistemi kontrolli qëndron në qasjen probabiliste, statistikore ndaj proceseve të kontrollit. Në kibernetikë, pranohet se çdo proces kontrolli është subjekt i ndikimeve të rastësishme, shqetësuese. Kështu, procesi i prodhimit ndikohet nga një numër i madh faktorësh, të cilët nuk mund të merren parasysh në mënyrë deterministe. Prandaj, procesi i prodhimit konsiderohet të jetë i ndikuar nga sinjale të rastësishme. Për shkak të kësaj, planifikimi i ndërmarrjes mund të jetë vetëm probabilist.

Për këto arsye, kur flitet për modelimin matematikor të proceseve ekonomike, shpesh nënkuptojnë modele probabiliste.

Le të përshkruajmë çdo lloj modeli matematikor.

Modelet matematikore përcaktuese karakterizohen nga fakti se ato përshkruajnë lidhjen e disa faktorëve me një tregues efektiv si një varësi funksionale, pra në modelet përcaktuese, treguesi efektiv i modelit paraqitet në formën e një produkti, një koeficienti, një algjebrik. shuma e faktorëve, ose në formën e ndonjë funksioni tjetër. Ky lloj modelesh matematikore është më i zakonshmi, pasi, duke qenë mjaft i thjeshtë për t'u përdorur (krahasuar me modelet probabilistike), lejon të kuptohet logjika e veprimit të faktorëve kryesorë në zhvillimin e procesit ekonomik, të kuantifikohet ndikimi i tyre, kuptojnë cilët faktorë dhe në çfarë proporcioni është e mundur dhe e këshillueshme të ndryshohen për të rritur efikasitetin e prodhimit.

Modelet matematikore probabiliste janë thelbësisht të ndryshme nga ato përcaktuese në atë që në modelet probabilistike marrëdhënia midis faktorëve dhe atributit rezultues është probabiliste (stokastike): me një varësi funksionale (modele përcaktuese), e njëjta gjendje faktorësh korrespondon me një gjendje të vetme të rezultatit. atribut, ndërsa në modelet probabilistike një dhe e njëjta gjendje faktorësh korrespondon me një grup të tërë gjendjesh të atributit rezultues [Tolstova N. Logic of the matematike analysis of Economic processes. - M.: Nauka, 2001, f. 32-33].

Avantazhi i modeleve deterministe është lehtësia e përdorimit të tyre. E meta kryesore është përshtatshmëria e ulët e realitetit, pasi, siç u përmend më lart, shumica e proceseve ekonomike kanë natyrë probabiliste.

Avantazhi i modeleve probabiliste është se, si rregull, ato janë më në përputhje me realitetin (më adekuat) sesa ato deterministe. Megjithatë, disavantazhi i modeleve probabiliste është kompleksiteti dhe natyra intensive e punës së aplikimit të tyre, kështu që në shumë situata mjafton të kufizojmë veten në modele deterministe.

2. Paraqitja e problemit të programimit linear duke përdorur shembullin e problemit të racionit ushqimor

Për herë të parë, formulimi i një problemi të programimit linear në formën e një propozimi për hartimin e një plani optimal të transportit; lejimi i minimizimit të kilometrazhit total u dha në punën e ekonomistit sovjetik A. N. Tolstoy në 1930.

Studimet sistematike të problemeve të programimit linear dhe zhvillimi i metodave të përgjithshme për zgjidhjen e tyre u zhvilluan më tej në veprat e matematikanëve rusë L. V. Kantorovich, V. S. Nemchinov dhe matematikanëve dhe ekonomistëve të tjerë. Gjithashtu, shumë punime nga shkencëtarë të huaj dhe mbi të gjitha amerikanë i kushtohen metodave të programimit linear.

Problemi i programimit linear është maksimizimi (minimizim) i një funksioni linear.

nën kufizime

dhe te gjitha

Koment. Pabarazitë mund të kenë edhe kuptime të kundërta. Duke shumëzuar pabarazitë përkatëse me (-1) gjithmonë mund të merret një sistem i formës (*).

Nëse numri i variablave në sistemin e kufizimeve dhe funksioni objektiv në modelin matematikor të problemës është 2, atëherë ai mund të zgjidhet grafikisht.

Pra, ne duhet të maksimizojmë funksionin në një sistem të kënaqshëm kufizimesh.

Le të kthehemi te një nga pabarazitë e sistemit të kufizimeve.

Nga pikëpamja gjeometrike, të gjitha pikat që plotësojnë këtë pabarazi ose duhet të shtrihen në një vijë ose t'i përkasin njërit prej gjysmërrafsheve në të cilat ndahet rrafshi i kësaj drejtëze. Për ta zbuluar, duhet të kontrolloni se cila prej tyre përmban një pikë ().

Vërejtje 2. Nëse , atëherë është më e lehtë të merret pika (0;0).

Kushtet e jonegativitetit përcaktojnë gjithashtu gjysmëplane, përkatësisht, me vija kufitare. Ne do të supozojmë se sistemi i pabarazive është konsistent, atëherë gjysmëplanët, të kryqëzuar, formojnë një pjesë të përbashkët, e cila është një grup konveks dhe përfaqëson një grup pikash, koordinatat e të cilave janë një zgjidhje për këtë sistem - ky është grupi i pranueshëm Zgjidhjet. Bashkësia e këtyre pikave (zgjidhjeve) quhet shumëkëndësh zgjidhje. Mund të jetë një pikë, një rreze, një shumëkëndësh ose një zonë poligonale e pakufizuar. Kështu, detyra e programimit linear është të gjejë një pikë në poligonin e vendimit në të cilën funksioni objektiv merr vlerën maksimale (minimale). Kjo pikë ekziston kur shumëkëndëshi i zgjidhjes nuk është bosh dhe funksioni objektiv në të është i kufizuar nga lart (nga poshtë). Në kushtet e përcaktuara, në një nga kulmet e shumëkëndëshit të zgjidhjes, funksioni objektiv merr vlerën maksimale. Për të përcaktuar këtë kulm, ne ndërtojmë një vijë të drejtë (ku h është një konstante). Më shpesh merret një vijë e drejtë. Mbetet për të gjetur drejtimin e lëvizjes së kësaj linje. Ky drejtim përcaktohet nga gradienti (antigradienti) i funksionit objektiv.

Vektori në çdo pikë është pingul me drejtëzën, kështu që vlera e f do të rritet ndërsa vija lëviz në drejtim të gradientit (ulje në drejtim të antigradientit). Për ta bërë këtë, vizatoni vija të drejta paralele me vijën e drejtë, duke u zhvendosur në drejtim të gradientit (anti-gradient).

Do t'i vazhdojmë këto ndërtime derisa drejtëza të kalojë nëpër kulmin e fundit të shumëkëndëshit zgjidhje. Kjo pikë përcakton vlerën optimale.

Pra, gjetja e një zgjidhjeje për një problem të programimit linear duke përdorur metodën gjeometrike përfshin hapat e mëposhtëm:

Ndërtohen vija, ekuacionet e të cilave fitohen duke zëvendësuar shenjat e pabarazisë në kufizime me shenja të sakta barazie.

Gjeni gjysmërrafshet e përcaktuara nga secili prej kufizimeve të problemit.

Gjeni shumëkëndëshin e zgjidhjes.

Ndërtoni një vektor.

Ata po ndërtojnë një vijë të drejtë.

Ata ndërtojnë vija të drejta paralele në drejtim të gradientit ose antigradientit, si rezultat i të cilave ata gjejnë pikën në të cilën funksioni merr vlerën maksimale ose minimale, ose konstatojnë se funksioni është i pakufizuar nga lart (nga poshtë) në grup i pranueshëm.

Përcaktohen koordinatat e pikës maksimale (minimale) të funksionit dhe llogaritet vlera e funksionit objektiv në këtë pikë.

Problemi në lidhje me të ushqyerit racional (problem me racionin ushqimor)

Formulimi i problemit

Ferma majmë bagëtinë për qëllime tregtare. Për thjeshtësi, le të supozojmë se ekzistojnë vetëm katër lloje produktesh: P1, P2, P3, P4; Kostoja për njësi e çdo produkti është e barabartë me C1, C2, C3, C4, përkatësisht. Nga këto produkte ju duhet të krijoni një dietë që duhet të përmbajë: proteina - të paktën njësi b1; karbohidratet - të paktën njësi b2; yndyrë - të paktën njësi b3. Për produktet P1, P2, P3, P4, përmbajtja e proteinave, karbohidrateve dhe yndyrave (në njësi për njësi produkti) është e njohur dhe e specifikuar në tabelë, ku aij (i=1,2,3,4; j=1 ,2,3) - disa numra specifikë; indeksi i parë tregon numrin e produktit, i dyti - numrin e elementit (proteina, karbohidrate, yndyrna).

Modelet parashikuese matematikore probabilistiko-përcaktuese të grafikëve të ngarkesës së energjisë janë një kombinim i modeleve statistikore dhe përcaktuese. Janë këto modele që bëjnë të mundur sigurimin e saktësisë më të mirë të parashikimit dhe përshtatshmërisë ndaj procesit të ndryshimit të konsumit të energjisë.

Ato bazohen në konceptet e standardizuara të modelimit ngarkesat, d.m.th. zbërthimi aditiv i ngarkesës aktuale në një grafik të standardizuar (komponenti bazë, tendenca përcaktuese) dhe komponenti i mbetur :

Ku t– koha brenda ditës; d– numri i ditëve, për shembull, në një vit.

Në komponentin standard gjatë modelimit, ata gjithashtu kryejnë përzgjedhje shtesë të përbërësve individualë që marrin parasysh: ndryshimet në ngarkesën mesatare sezonale ; ndryshimet e ciklit javor të konsumit të energjisë ; një komponent trendi që modelon efekte shtesë që lidhen me ndryshimet në kohën e lindjes dhe perëndimit të diellit nga sezoni në stinë ; komponent që merr parasysh varësinë e konsumit të energjisë nga faktorët meteorologjikë , në veçanti temperaturat, etj.

Le të shqyrtojmë më në detaje qasjet për modelimin e komponentëve individualë bazuar në modelet përcaktuese dhe statistikore të përmendura më sipër.

Modelimi ngarkesa mesatare sezonale shpesh bëhet duke përdorur mesataren e thjeshtë lëvizëse:

ku N është numri i ditëve të zakonshme të rregullta (ditësh pune) të përfshira në n javët e kaluara. , pasi nga javët përjashtohen “të veçanta”, “ditët e parregullta”, festat etj. Përditësimet ditore kryhen nga mesatarja e të dhënave gjatë n javëve të fundit.

Simulimi i cikleve javore kryhet edhe duke lëvizur mesataren e formës

përditësuar çdo javë duke matur të dhënat gjatë n javëve të fundit ose duke përdorur një mesatare lëvizëse të ponderuar në mënyrë eksponenciale:

ku është një parametër zbutës i përcaktuar empirikisht ( ).

Në punë për modelim Dhe përdoren shtatë komponentë , për çdo ditë të javës dhe për secilën përcaktohet veçmas duke përdorur një model zbutës eksponencial.

Autorët e veprës për modelim Përdoret zbutja e dyfishtë eksponenciale e tipit Holt-Winters. Në punë për modelim përdorni një paraqitje harmonike të formës

me parametra të vlerësuar nga të dhënat empirike (vlera “52” përcakton numrin e javëve në një vit). Megjithatë, problemi i vlerësimit operacional adaptiv të këtyre parametrave në këtë punë nuk është zgjidhur plotësisht.

Modelimi , në disa raste, kryhet duke përdorur seritë e fundme të Furierit: me një periudhë javore, me një periudhë ditore, ose me modelim të veçantë të ditëve të punës dhe fundjavave, përkatësisht, me periudha pesë dhe dy ditë:

Për të modeluar komponentin e tendencës përdorni ose polinome të rendit 2 - 4, ose funksione të ndryshme empirike jolineare, për shembull, të formës:

ku është një polinom i shkallës së katërt që përshkruan ndryshimet relativisht të ngadalta të ngarkesës së zbutur gjatë ditës sipas stinëve; , , – funksionon efektet e modelimit të lidhura me ndryshimet në kohën e lindjes dhe perëndimit të diellit sipas sezonit.

Për të marrë parasysh varësinë e konsumit të energjisë nga faktorët meteorologjikë, në disa raste futet një komponent shtesë . Puna vërteton teorikisht përfshirjen në model, por mundësitë e modelimit të efektit të temperaturës konsiderohen vetëm në një masë të kufizuar. Kështu, për të përfaqësuar komponentin e temperaturës për kushtet egjiptiane, përdoret një model polinom

ku është temperatura e ajrit në orën t.

Një metodë regresioni përdoret për të "normalizuar" majat dhe kufijtë e procesit duke marrë parasysh temperaturën, me të dhënat e normalizuara të përfaqësuara nga një model mesatar lëvizës i integruar autoregresiv njëdimensional (ARISS).

Përdoret gjithashtu për modelim duke marrë parasysh temperaturën, një filtër rekurziv Kalman, i cili përfshin faktorë të jashtëm - parashikimi i temperaturës. Ose ata përdorin interpolim kub polinomial të ngarkesave për orë në intervalin afatshkurtër dhe marrin parasysh ndikimin e temperaturës në model.

Për të marrë parasysh parashikimet mesatare ditore të temperaturës, kushtet e ndryshme të motit për zbatimin e procesit të analizuar dhe në të njëjtën kohë për të rritur qëndrueshmërinë e modelit, propozohet të përdoret një modifikim i veçantë i modelit të mesatares lëvizëse.

,

ku për kushte të ndryshme moti të shoqëruara me probabilitete formohet një seri m grafikësh të ngarkesës , dhe parashikimi përcaktohet si pritshmëri matematikore e kushtëzuar. Probabilitetet përditësohen duke përdorur metodën Bayes pasi vlerat dhe faktorët e rinj aktual të ngarkesës bëhen të disponueshme gjatë ditës.

Modelimi komponenti i mbetur kryhet si duke përdorur modele njëdimensionale ashtu edhe ato shumëdimensionale, duke marrë parasysh faktorët meteorologjikë dhe faktorë të tjerë të jashtëm. Kështu, një model autoregresiv AR(k) i rendit k shpesh përdoret si një model njëdimensional (një faktor).

,

ku është zhurma e bardhë e mbetur. Për të parashikuar leximet për orë (gjysëm ore), përdoren modelet AR(1), AR(2) dhe madje AR(24). Edhe nëse përdoret modeli i përgjithësuar ARISS për gjithsesi, aplikimi i tij zbret në modelet AR(1), AR(2) si për matjet e ngarkesës pesëminutëshe ashtu edhe për orë.

Një model tjetër me një faktor për modelimin e komponentit është modeli i vetëm ose i dyfishtë zbutje eksponenciale. Ky model ju lejon të identifikoni në mënyrë efektive tendencat afatshkurtra ndërsa ngarkesa e mbetur ndryshon. Thjeshtësia, ekonomia, rekurziviteti dhe efikasiteti llogaritës ofrojnë metodën e zbutjes eksponenciale me aplikim të gjerë. Përdorimi i zbutjes së thjeshtë eksponenciale në konstante të ndryshme dhe përcaktoni dy mesatare eksponenciale Dhe . Parashikimi i komponentit të mbetur përcaktohet në mënyrë proaktive nga formula