Vërtetoni se sistemi i vektorëve është linearisht i pavarur. Vektorë të varur dhe linearisht të pavarur

Sistemi vektorial quhet varur në mënyrë lineare, nëse ka numra midis të cilëve të paktën njëri është i ndryshëm nga zero, të tillë që barazia https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= ">.

Nëse kjo barazi plotësohet vetëm në rastin kur të gjithë , atëherë quhet sistemi i vektorëve i pavarur në mënyrë lineare.

Teorema. Sistemi vektorial do të varur në mënyrë lineare nëse dhe vetëm nëse të paktën njëri prej vektorëve të tij është një kombinim linear i të tjerëve.

Shembulli 1. Polinom është një kombinim linear i polinomeve https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomet përbëjnë një sistem linear të pavarur, pasi polinomi https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Shembulli 2. Sistemi i matricës, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> është linearisht i pavarur, pasi një kombinim linear është i barabartë me matrica zero vetëm në rastin kur https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> varur në mënyrë lineare.

Zgjidhje.

Le të bëjmë një kombinim linear të këtyre vektorëve https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" lartësi=" 22">.

Barazimi i koordinatave me të njëjtin emër vektorë të barabartë, marrim https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Më në fund arrijmë

Dhe

Sistemi ka një zgjidhje unike të parëndësishme, kështu që një kombinim linear i këtyre vektorëve është i barabartë me zero vetëm në rastin kur të gjithë koeficientët janë të barabartë me zero. Kjo është arsyeja pse këtë sistem vektorët janë linearisht të pavarur.

Shembulli 4. Vektorët janë linearisht të pavarur. Si do të jenë sistemet vektoriale?

a).;

b).?

Zgjidhje.

a). Le të bëjmë një kombinim linear dhe ta barazojmë me zero

Duke përdorur vetitë e veprimeve me vektorë në hapësirën lineare, ne rishkruajmë barazinë e fundit në formën

Meqenëse vektorët janë linearisht të pavarur, koeficientët për duhet të jenë të barabartë me zero, d.m.th.gif" width="12" height="23 src=">

Sistemi i ekuacioneve që rezulton ka një zgjidhje unike të parëndësishme .

Që nga barazia (*) ekzekutohet vetëm kur https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> - linearisht i pavarur;

b). Le të bëjmë një barazi https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Duke aplikuar arsyetime të ngjashme, marrim

Duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve me metodën e Gausit, marrim

ose

Sistemi i fundit ka grup i pafund zgjidhje https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src="> Kështu, ekziston një grup koeficientësh jo zero për të cilët barazia mban (**) . Prandaj, sistemi i vektorëve – varur në mënyrë lineare.

Shembulli 5 Një sistem vektorësh është linearisht i pavarur, dhe një sistem vektorësh është i varur në mënyrë lineare..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Në barazi (***) . Në të vërtetë, në , sistemi do të ishte i varur në mënyrë lineare.

Nga marrëdhënia (***) marrim ose Le të shënojmë .

marrim

Detyrat për vendim i pavarur(në audiencë)

1. Një sistem që përmban një vektor zero është i varur në mënyrë lineare.

2. Sistemi i përbërë nga një vektor A, është i varur në mënyrë lineare nëse dhe vetëm nëse, a=0.

3. Një sistem i përbërë nga dy vektorë është i varur në mënyrë lineare nëse dhe vetëm nëse vektorët janë proporcional (d.m.th., njëri prej tyre fitohet nga tjetri duke shumëzuar me një numër).

4. Nëse k është lineare sistemi i varur shtoni një vektor, merrni një sistem të varur linearisht.

5. Nëse një vektor hiqet nga një sistem linear i pavarur, atëherë sistemi i vektorëve që rezulton është linearisht i pavarur.

6. Nëse sistemi Sështë linearisht i pavarur, por bëhet i varur në mënyrë lineare kur shtohet një vektor b, pastaj vektori b të shprehura në mënyrë lineare nëpërmjet vektorëve të sistemit S.

c). Sistemi i matricave , , në hapësirën e matricave të rendit të dytë.

10. Le të sistemit të vektorëve a,b,c hapësirë ​​vektoriale i pavarur në mënyrë lineare. Vërtetoni pavarësinë lineare të sistemeve vektoriale të mëposhtme:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– numër arbitrar

c).a+b, a+c, b+c.

11. Le a,b,c– tre vektorë në rrafshin nga të cilët mund të formohet një trekëndësh. A do të jenë këta vektorë të varur në mënyrë lineare?

12. Janë dhënë dy vektorë a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Merr edhe dy të tjera vektor katërdimensional a3 dhea4 në mënyrë që sistemi a1,a2,a3,a4 ishte linearisht i pavarur .

Le L- arbitrare hapësirë ​​lineare, a i Î L,- elementet (vektorët) e tij.

Përkufizimi 3.3.1. Shprehje , Ku, - arbitrare numra realë, quhet kombinim linear vektorët a 1, a 2,…, a n.

Nëse vektori r = , atëherë ata thonë atë r zbërthehet në vektorë a 1, a 2,…, a n.

Përkufizimi 3.3.2. Një kombinim linear i vektorëve quhet jo i parëndësishëm, nëse midis numrave ka të paktën një jozero. Përndryshe, quhet kombinimi linear i parëndësishëm.

Përkufizimi 3.3.3 . Vektorët a 1, a 2,…, a n quhen të varura linearisht nëse ekziston një kombinim linear jo i parëndësishëm i tyre i tillë që

= 0 .

Përkufizimi 3.3.4. Vektorët a 1 ,a 2 ,…, a n quhen linearisht të pavarur nëse barazia = 0 është e mundur vetëm në rastin kur të gjithë numrat l 1, l 2,…, l n janë njëkohësisht të barabarta me zero.

Vini re se çdo element jo zero a 1 mund të konsiderohet si një sistem linearisht i pavarur, pasi barazia l a 1 = 0 e mundur vetëm nëse l= 0.

Teorema 3.3.1. E nevojshme dhe gjendje e mjaftueshme varësia lineare a 1, a 2,…, a nështë mundësia e zbërthimit të të paktën një prej këtyre elementeve në pjesën tjetër.

Dëshmi. Domosdoshmëri. Lërini elementet a 1 , a 2 ,…, a n varur në mënyrë lineare. Kjo do të thotë se = 0 , dhe të paktën një nga numrat l 1, l 2,…, l n të ndryshme nga zero. Le për siguri l 1 ¹ 0. Pastaj

dmth elementi a 1 zbërthehet në elementë a 2 , a 3 , ..., a n.

Përshtatshmëria. Le të zbërthehet elementi a 1 në elementet a 2 , a 3 , …, a n, pra a 1 = . Pastaj = 0 , pra, ekziston një kombinim linear jo i parëndësishëm i vektorëve a 1 , a 2 ,…, a n, të barabartë 0 , pra janë të varura në mënyrë lineare .

Teorema 3.3.2. Nëse të paktën një nga elementët a 1 , a 2 ,…, a n zero, atëherë këta vektorë janë të varur në mënyrë lineare.

Dëshmi . Le a n= 0 , pastaj = 0 , që nënkupton varësinë lineare të këtyre elementeve.

Teorema 3.3.3. Nëse midis n vektorëve ndonjë p (f< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Dëshmi. Le të përcaktohen elementet a 1 , a 2 ,…, a fq varur në mënyrë lineare. Kjo do të thotë se ekziston një kombinim linear jo i parëndësishëm i tillë që = 0 . Barazia e specifikuar do të ruhet nëse shtojmë elementin në të dy pjesët e tij. Pastaj + = 0 , dhe të paktën një nga numrat l 1, l 2,…, lp të ndryshme nga zero. Prandaj, vektorët a 1, a 2,…, a n janë të varura në mënyrë lineare.

Përfundimi 3.3.1. Nëse n elementë janë linearisht të pavarur, atëherë çdo k prej tyre është linearisht i pavarur (k< n).

Teorema 3.3.4. Nëse vektorët a 1, a 2,…, a n- 1 janë linearisht të pavarur, dhe elementet a 1, a 2,…, a n- 1, a n janë të varura në mënyrë lineare, pastaj vektori a n mund të zgjerohet në vektorë a 1, a 2,…, a n- 1 .

Dëshmi. Meqenëse nga kushti a 1, a 2 ,…, a n- 1, a n janë të varura në mënyrë lineare, atëherë ekziston një kombinim linear jo i parëndësishëm i tyre = 0 , dhe (përndryshe, vektorët a 1, a 2,…, a do të rezultojnë të jenë të varur në mënyrë lineare n- 1). Por pastaj vektori

,

Q.E.D.

Përkufizimi. Kombinimi linear i vektorëve a 1 , ..., a n me koeficientë x 1 , ..., x n quhet vektor

x 1 a 1 + ... + x n a n .

i parëndësishëm, nëse të gjithë koeficientët x 1 , ..., x n janë të barabartë me zero.

Përkufizimi. Kombinimi linear x 1 a 1 + ... + x n a n quhet jo i parëndësishëm, nëse të paktën njëri nga koeficientët x 1, ..., x n nuk është i barabartë me zero.

i pavarur në mënyrë lineare, nëse nuk ka kombinim jo të parëndësishëm të këtyre vektorëve të barabartë me vektorin zero.

Domethënë, vektorët a 1, ..., a n janë linearisht të pavarur nëse x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 nëse dhe vetëm nëse x 1 = 0, ..., x n = 0.

Përkufizimi. Quhen vektorët a 1, ..., a n varur në mënyrë lineare, nëse ekziston një kombinim jo i parëndësishëm i këtyre vektorëve të barabartë me vektorin zero.

Vetitë e vektorëve të varur linearisht:

Për vektorët 2 dhe 3 dimensional.

Dy lineare vektorë të varur- kolinear. (Vektorët kolinearë janë të varur në mënyrë lineare.)

Për vektorët 3-dimensionale.

Tre vektorë të varur linearisht janë koplanarë. (Tre vektorët koplanarë- varur në mënyrë lineare.)

• Për vektorët n-dimensionale.

  n + 1 vektorët janë gjithmonë të varur në mënyrë lineare.

Shembuj të problemeve mbi varësinë lineare dhe pavarësinë lineare të vektorëve:

Shembulli 1. Kontrolloni nëse vektorët a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) janë linearisht të pavarur .

Zgjidhja:

Vektorët do të jenë të varur linearisht, pasi dimensioni i vektorëve është më i vogël se numri i vektorëve.

Shembulli 2. Kontrolloni nëse vektorët a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) janë linearisht të pavarur.

Zgjidhja:

zbrit të dytën nga rreshti i parë; shtoni një rresht të dytë në rreshtin e tretë:

Kjo zgjidhje tregon se sistemi ka shumë zgjidhje, domethënë ekziston një kombinim jo zero i vlerave të numrave x 1, x 2, x 3 i tillë që kombinimi linear i vektorëve a, b, c është i barabartë me vektor zero, Për shembull:

A + b + c = 0

dhe kjo do të thotë se vektorët a, b, c janë të varur në mënyrë lineare.

Përgjigje: vektorët a, b, c janë të varur në mënyrë lineare.

Shembulli 3. Kontrolloni nëse vektorët a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) janë linearisht të pavarur.

Zgjidhja: Le të gjejmë vlerat e koeficientëve në të cilët kombinimi linear i këtyre vektorëve do të jetë i barabartë me vektorin zero.

Kjo ekuacioni vektorial mund të shkruhet si sistem ekuacionet lineare

Le ta zgjidhim këtë sistem duke përdorur metodën e Gausit

zbrit të parën nga rreshti i dytë; zbrit të parën nga rreshti i tretë:

zbrit të dytën nga rreshti i parë; shtoni një të dytë në rreshtin e tretë.

Prezantuar nga ne operacionet lineare mbi vektorët bëjnë të mundur kompozimin shprehje të ndryshme Për sasive vektoriale dhe transformojini ato duke përdorur vetitë e vendosura për këto operacione.

Bazuar në një grup të caktuar vektorësh a 1, ..., a n, mund të krijoni një shprehje të formës

ku a 1, ..., dhe n janë numra realë arbitrarë. Kjo shprehje quhet kombinim linear i vektorëve a 1, ..., a n. Numrat α i, i = 1, n, përfaqësojnë koeficientët e kombinimit linear. Një grup vektorësh quhet gjithashtu sistemi i vektorëve.

Në lidhje me konceptin e paraqitur të një kombinimi linear vektorësh, lind problemi i përshkrimit të një grupi vektorësh që mund të shkruhet si një kombinim linear i një sistemi të caktuar vektorësh a 1, ..., a n. Për më tepër, ekzistojnë pyetje të natyrshme në lidhje me kushtet në të cilat ekziston një paraqitje e një vektori në formën e një kombinimi linear dhe për veçantinë e një paraqitjeje të tillë.

Përkufizimi 2.1. Quhen vektorët a 1, ..., dhe n varur në mënyrë lineare, nëse ekziston një grup koeficientësh α 1 , ... , α n të tillë që

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

dhe të paktën njëri prej këtyre koeficientëve është jo zero. Nëse grupi i specifikuar i koeficientëve nuk ekziston, atëherë thirren vektorët i pavarur në mënyrë lineare.

Nëse α 1 = ... = α n = 0, atëherë, padyshim, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Duke pasur parasysh këtë, mund të themi këtë: vektorët a 1, ..., dhe n janë linearisht të pavarur nëse nga barazia (2.2) del se të gjithë koeficientët α 1 , ... , α n janë të barabartë me zero.

Teorema e mëposhtme shpjegon pse koncepti i ri quhet termi "varësi" (ose "pavarësi") dhe ofron një kriter të thjeshtë për varësinë lineare.

Teorema 2.1. Në mënyrë që vektorët a 1, ..., dhe n, n > 1, të jenë të varur linearisht, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që njëri prej tyre të jetë një kombinim linear i të tjerëve.

◄ Domosdoshmëri. Le të supozojmë se vektorët a 1, ..., dhe n janë të varur në mënyrë lineare. Sipas përkufizimit 2.1 të varësisë lineare, në barazinë (2.2) në të majtë ka të paktën një koeficient jozero, për shembull α 1. Duke e lënë termin e parë në anën e majtë të barazisë, kalojmë pjesën tjetër në anën e djathtë, duke ndryshuar shenjat e tyre, si zakonisht. Duke pjesëtuar barazinë që rezulton me α 1, marrim

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

ato. paraqitja e vektorit a 1 si një kombinim linear i vektorëve të mbetur a 2, ..., a n.

Përshtatshmëria. Le të, për shembull, vektori i parë a 1 mund të përfaqësohet si një kombinim linear i vektorëve të mbetur: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Duke transferuar të gjithë termat nga ana e djathtë në të majtë, marrim një 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, d.m.th. një kombinim linear i vektorëve a 1, ..., a n me koeficientë α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, e barabartë me vektor zero. Në këtë kombinim linear, jo të gjithë koeficientët janë zero. Sipas përkufizimit 2.1, vektorët a 1, ..., dhe n janë të varur në mënyrë lineare.

Përkufizimi dhe kriteri për varësinë lineare janë formuluar për të nënkuptuar praninë e dy ose më shumë vektorëve. Sidoqoftë, mund të flasim gjithashtu për një varësi lineare të një vektori. Për të realizuar këtë mundësi, në vend të "vektorët janë të varur në mënyrë lineare", duhet të thoni "sistemi i vektorëve është i varur në mënyrë lineare". Është e lehtë të shihet se shprehja "një sistem i një vektori është i varur në mënyrë lineare" do të thotë se ky vektor i vetëm është zero (në një kombinim linear ka vetëm një koeficient, dhe ai nuk duhet të jetë i barabartë me zero).

Koncepti i varësisë lineare ka një të thjeshtë interpretimi gjeometrik. Tre deklaratat e mëposhtme sqarojnë këtë interpretim.

Teorema 2.2. Dy vektorë janë të varur linearisht nëse dhe vetëm nëse ata kolineare.

◄ Nëse vektorët a dhe b janë të varur në mënyrë lineare, atëherë njëri prej tyre, për shembull a, shprehet përmes tjetrit, d.m.th. a = λb për një numër real λ. Sipas përkufizimit 1.7 punon vektorët për numër, vektorët a dhe b janë kolinear.

Le të jenë tani vektorët a dhe b kolinear. Nëse të dyja janë zero, atëherë është e qartë se ato janë të varura në mënyrë lineare, pasi çdo kombinim linear i tyre është i barabartë me vektorin zero. Le të mos jetë një nga këta vektorë të barabartë me 0, për shembull vektori b. Le të shënojmë me λ raportin e gjatësive të vektorit: λ = |a|/|b|. Vektorët kolinearë mund të jenë njëdrejtimëshe ose drejtuar në të kundërt. NË rastin e fundit le të ndryshojmë shenjën e λ. Pastaj, duke kontrolluar përkufizimin 1.7, jemi të bindur se a = λb. Sipas teoremës 2.1, vektorët a dhe b janë të varur në mënyrë lineare.

Vërejtje 2.1. Në rastin e dy vektorëve, duke marrë parasysh kriterin e varësisë lineare, teorema e provuar mund të riformulohet si më poshtë: dy vektorë janë kolinear nëse dhe vetëm nëse njëri prej tyre përfaqësohet si prodhim i tjetrit me një numër. Ky është një kriter i përshtatshëm për kolinearitetin e dy vektorëve.

Teorema 2.3. Tre vektorë janë të varur linearisht nëse dhe vetëm nëse ata koplanare.

◄ Nëse tre vektorë a, b, c janë të varur linearisht, atëherë, sipas teoremës 2.1, njëri prej tyre, për shembull a, është një kombinim linear i të tjerëve: a = βb + γс. Le të kombinojmë origjinën e vektorëve b dhe c në pikën A. Atëherë vektorët βb, γс do të kenë një origjinë të përbashkët në pikën A dhe përgjatë sipas rregullit të paralelogramit, shuma e tyre është ato. vektori a do të jetë një vektor me origjinë A dhe fundi, e cila është kulmi i një paralelogrami të ndërtuar mbi vektorët përbërës. Kështu, të gjithë vektorët shtrihen në të njëjtin rrafsh, d.m.th., koplanar.

Le të jenë koplanarë vektorët a, b, c. Nëse njëri prej këtyre vektorëve është zero, atëherë është e qartë se do të jetë një kombinim linear i të tjerëve. Mjafton të merren të gjithë koeficientët e kombinimit linear e barabartë me zero. Prandaj, mund të supozojmë se të tre vektorët nuk janë zero. E përputhshme filloi këta vektorë në pikë e përbashkët O. Fundet e tyre le të jenë përkatësisht pikat A, B, C (Fig. 2.1). Nëpër pikën C vizatojmë drejtëza paralele me drejtëza që kalojnë nëpër çifte pikash O, A dhe O, B. Duke përcaktuar pikat e kryqëzimit si A" dhe B", marrim një paralelogram OA"CB", pra, OC" = OA" + OB". Vektori OA" dhe vektori jozero a = OA janë kolinear, prandaj i pari prej tyre mund të merret duke shumëzuar të dytin me numër realα:OA" = αOA. Në mënyrë të ngjashme, OB" = βOB, β ∈ R. Si rezultat, marrim se OC" = α OA + βOB, d.m.th. vektori c është një kombinim linear i vektorëve a dhe b. Sipas teoremës 2.1 , vektorët a , b, c janë të varur në mënyrë lineare.

Teorema 2.4.Çdo katër vektorë janë të varur në mënyrë lineare.

◄ Ne e kryejmë vërtetimin sipas të njëjtës skemë si në teoremën 2.3. Konsideroni katër vektorë arbitrarë a, b, c dhe d. Nëse njëri nga katër vektorët është zero, ose midis tyre ka dy vektorë kolinearë, ose tre nga katër vektorët janë koplanarë, atëherë këta katër vektorë janë të varur në mënyrë lineare. Për shembull, nëse vektorët a dhe b janë kolinearë, atëherë ne mund të bëjmë kombinimin e tyre linear αa + βb = 0 me koeficientë jo zero, dhe pastaj të shtojmë dy vektorët e mbetur në këtë kombinim, duke marrë zero si koeficientë. Ne marrim një kombinim linear të katër vektorëve të barabartë me 0, në të cilin ka koeficientë jo zero.

Kështu, mund të supozojmë se midis katër vektorëve të zgjedhur, asnjë vektor nuk është zero, asnjë dy nuk është kolinear dhe asnjë tre nuk është koplanar. Le t'i zgjedhim ato si fillimi i përbashkët pika O. Atëherë skajet e vektorëve a, b, c, d do të jenë disa pika A, B, C, D (Fig. 2.2). Nëpër pikën D vizatojmë tre plane, paralel me aeroplanët OBC, OCA, OAB dhe le të jenë A", B", C" pikat e prerjes së këtyre rrafsheve me drejtëza përkatësisht OA, OB, OS. Përftojmë OA"C"B"C"B"DA paralelipiped. ", dhe vektorët a, b, c shtrihen në skajet e tij që dalin nga kulmi O. Meqenëse katërkëndëshi OC"DC" është një paralelogram, atëherë OD = OC" + OC" . Nga ana tjetër, segmenti OC" është një diagonale e paralelogrami OA"C"B", pra. që OC" = OA" + OB" dhe OD = OA" + OB" + OC" .

Mbetet të theksohet se çiftet e vektorëve OA ≠ 0 dhe OA" , OB ≠ 0 dhe OB" , OC ≠ 0 dhe OC" janë kolinearë dhe, për rrjedhojë, është e mundur të zgjidhen koeficientët α, β, γ në mënyrë që OA" = αOA , OB" = βOB dhe OC" = γOC. Më në fund marrim OD = αOA + βOB + γOC. Rrjedhimisht, vektori OD shprehet përmes tre vektorëve të tjerë, dhe të katër vektorët, sipas Teoremës 2.1, janë të varur në mënyrë lineare.

Detyra 1. Zbuloni nëse sistemi i vektorëve është linearisht i pavarur. Sistemi i vektorëve do të specifikohet nga matrica e sistemit, kolonat e të cilit përbëhen nga koordinatat e vektorëve.

.

Zgjidhje. Lëreni kombinimin linear e barabartë me zero. Duke shkruar këtë barazi në koordinata, marrim sistemin e mëposhtëm ekuacionet:

.

Një sistem i tillë ekuacionesh quhet trekëndësh. Ajo ka e vetmja zgjidhje . Prandaj, vektorët i pavarur në mënyrë lineare.

Detyra 2. Zbuloni nëse sistemi i vektorëve është linearisht i pavarur.

.

Zgjidhje. Vektorët janë linearisht të pavarur (shih problemin 1). Le të vërtetojmë se vektori është një kombinim linear i vektorëve . Koeficientët e zgjerimit të vektorit përcaktohen nga sistemi i ekuacioneve

.

Ky sistem, si një trekëndësh, ka një zgjidhje unike.

Prandaj, sistemi i vektorëve varur në mënyrë lineare.

Koment. Matricat e të njëjtit lloj si në problemin 1 thirren trekëndëshi , dhe në problemin 2 - trekëndësh i shkallëzuar . Çështja e varësisë lineare të një sistemi vektorësh zgjidhet lehtësisht nëse matrica e përbërë nga koordinatat e këtyre vektorëve është hap trekëndore. Nëse matrica nuk ka lloj i veçantë, pastaj duke përdorur konvertimet elementare të vargut , duke ruajtur marrëdhëniet lineare midis kolonave, mund të reduktohet në një formë trekëndore hapash.

Transformimet elementare linjat matricat (EPS) veprimet e mëposhtme në një matricë quhen:

1) rirregullimi i linjave;

2) shumëzimi i një vargu me një numër jo zero;

3) shtimi i një vargu tjetër në një varg, i shumëzuar me një numër arbitrar.

Detyra 3. Gjeni maksimumin në mënyrë lineare nënsistem i pavarur dhe njehsoni rangun e sistemit vektorial

.

Zgjidhje. Le të reduktojmë matricën e sistemit duke përdorur EPS në një formë trekëndore hapash. Për të shpjeguar procedurën, shënojmë vijën me numrin e matricës që do të transformohet me simbolin . Kolona pas shigjetës tregon veprimet në rreshtat e matricës që konvertohet që duhet të kryhen për të marrë rreshtat e matricës së re.

.

Natyrisht, dy kolonat e para të matricës që rezulton janë linearisht të pavarura, kolona e tretë është kombinimi i tyre linear dhe e katërta nuk varet nga dy të parat. Vektorët quhen bazë. Ato formojnë një nënsistem maksimal linear të pavarur të sistemit , dhe rangu i sistemit është tre.

Baza, koordinatat

Detyra 4. Gjeni bazën dhe koordinatat e vektorëve në këtë bazë në bashkësinë vektorët gjeometrikë, koordinatat e të cilit plotësojnë kushtin .

Zgjidhje. Kompleti është një aeroplan që kalon përmes origjinës. Një bazë arbitrare në një plan përbëhet nga dy vektorë jo-kolinearë. Koordinatat e vektorëve në bazën e zgjedhur përcaktohen duke zgjidhur sistemin përkatës të ekuacioneve lineare.

Ekziston një mënyrë tjetër për të zgjidhur këtë problem, kur mund të gjeni bazën duke përdorur koordinatat.

Koordinatat hapësirat nuk janë koordinata në rrafsh, pasi ato lidhen nga relacioni , pra nuk janë të pavarur. Variablat e pavarur dhe (ato quhen të lira) përcaktojnë në mënyrë unike një vektor në rrafsh dhe, për rrjedhojë, ato mund të zgjidhen si koordinata në . Pastaj baza përbëhet nga vektorë të shtrirë dhe që u korrespondojnë grupeve të ndryshoreve të lira Dhe , që është .

Detyra 5. Gjeni bazën dhe koordinatat e vektorëve në këtë bazë në bashkësinë e të gjithë vektorëve në hapësirë, koordinatat tek të cilat janë të barabarta me njëri-tjetrin.

Zgjidhje. Le të zgjedhim si në detyrë e mëparshme, koordinatat në hapësirë.

Sepse , pastaj variablat e lira përcaktojnë në mënyrë unike vektorin nga dhe prandaj janë koordinata. Baza përkatëse përbëhet nga vektorë.

Detyra 6. Gjeni bazën dhe koordinatat e vektorëve në këtë bazë në bashkësinë e të gjitha matricave të formës , Ku – numra arbitrar.

Zgjidhje. Çdo matricë nga përfaqësohet në mënyrë unike në formën:

Kjo lidhje është zgjerimi i vektorit nga në lidhje me bazën
me koordinata .

Detyra 7. Gjeni dimensionin dhe bazën guaskë lineare sistemet vektoriale

.

Zgjidhje. Duke përdorur EPS, ne e transformojmë matricën nga koordinatat e vektorëve të sistemit në një formë trekëndore hapash.

.

Kolonat matricat e fundit janë linearisht të pavarura dhe kolonat të shprehura në mënyrë lineare nëpërmjet tyre. Prandaj, vektorët formojnë një bazë , Dhe .

Koment. Baza në është zgjedhur në mënyrë të paqartë. Për shembull, vektorët gjithashtu përbëjnë një bazë .