Progresioni aritmetik. Teori e detajuar me shembuj (2019)

Sekuenca e numrave

Pra, le të ulemi dhe të fillojmë të shkruajmë disa numra. Për shembull:
Ju mund të shkruani çdo numër, dhe mund të ketë sa më shumë prej tyre që dëshironi (në rastin tonë, ka ato). Sado numra të shkruajmë, gjithmonë mund të themi se cili është i pari, cili është i dyti, e kështu me radhë deri në të fundit, domethënë mund t'i numërojmë. Ky është një shembull i një sekuence numrash:

Sekuenca e numrave
Për shembull, për sekuencën tonë:

Numri i caktuar është specifik për vetëm një numër në sekuencë. Me fjalë të tjera, nuk ka tre numra të dytë në sekuencë. Numri i dytë (si numri i th) është gjithmonë i njëjtë.
Numri me numër quhet termi i th i sekuencës.

Ne zakonisht e quajmë të gjithë sekuencën me ndonjë shkronjë (për shembull,), dhe çdo anëtar i kësaj sekuence është e njëjta shkronjë me një indeks të barabartë me numrin e këtij anëtari: .

Në rastin tonë:

Le të themi se kemi sekuenca e numrave, në të cilën diferenca midis numrave ngjitur është e njëjtë dhe e barabartë.
Për shembull:

etj.
Ky sekuencë numrash quhet progresion aritmetik.
Termi "përparim" u prezantua nga autori romak Boethius në shekullin e 6-të dhe u kuptua në më shumë. në një kuptim të gjerë, si një sekuencë numrash të pafund. Emri "aritmetikë" u transferua nga teoria e përmasave të vazhdueshme, e cila u studiua nga grekët e lashtë.

Ky është një sekuencë numrash, secili anëtar i të cilit është i barabartë me atë të mëparshëm të shtuar në të njëjtin numër. Ky numër quhet diferencë progresion aritmetik dhe është caktuar.

Mundohuni të përcaktoni se cilat sekuenca numrash janë një progresion aritmetik dhe cilat jo:

a)
b)
c)
d)

E kuptova? Le të krahasojmë përgjigjet tona:
Është progresion aritmetik - b, c.
Nuk eshte progresion aritmetik - a, d.

Le të kthehemi në progresionin e dhënë () dhe të përpiqemi të gjejmë vlerën e termit të tij të th. ekziston dy mënyrë për ta gjetur.

1. Metoda

Ne mund të shtojmë numrin e progresionit në vlerën e mëparshme derisa të arrijmë termin e th të progresionit. Është mirë që nuk kemi shumë për të përmbledhur - vetëm tre vlera:

Pra, termi i th i progresionit aritmetik të përshkruar është i barabartë me.

2. Metoda

Po sikur të na duhej të gjenim vlerën e termit të th të progresionit? Mbledhja do të na merrte më shumë se një orë dhe nuk është fakt që nuk do të bënim gabime kur mblidhnim numrat.
Natyrisht, matematikanët kanë dalë me një mënyrë në të cilën nuk është e nevojshme të shtohet diferenca e një progresion aritmetik në vlerën e mëparshme. Shikoni më nga afër foton e vizatuar... Me siguri tashmë keni vënë re një model të caktuar, përkatësisht:

Për shembull, le të shohim se nga përbëhet vlera e termit të th të këtij progresioni aritmetik:

Me fjale te tjera:

Përpiquni të gjeni vetë vlerën e një anëtari të një progresioni të caktuar aritmetik në këtë mënyrë.

E keni llogaritur? Krahasoni shënimet tuaja me përgjigjen:

Ju lutemi vini re se keni marrë saktësisht të njëjtin numër si në metodën e mëparshme, kur kemi shtuar në mënyrë sekuenciale termat e progresionit aritmetik në vlerën e mëparshme.
Le të përpiqemi të "depersonalizojmë" këtë formulë- Le ta vendosim në formë të përgjithshme dhe të marrim:

Ekuacioni i progresionit aritmetik.

Progresionet aritmetike mund të jenë në rritje ose në rënie.

Në rritje- progresionet në të cilat çdo vlerë pasuese e termave është më e madhe se ajo e mëparshme.
Për shembull:

Duke zbritur- progresionet në të cilat çdo vlerë pasuese e termave është më e vogël se ajo e mëparshme.
Për shembull:

Formula e prejardhur përdoret në llogaritjen e termave si në terma në rritje ashtu edhe në ulje të një progresion aritmetik.
Le ta kontrollojmë këtë në praktikë.
Na jepet një progresion aritmetik i përbërë nga numrat e mëposhtëm: Le të kontrollojmë se cili do të jetë numri i th i këtij progresioni aritmetik nëse përdorim formulën tonë për ta llogaritur atë:

Që atëherë:

Kështu, ne jemi të bindur se formula funksionon si në zvogëlimin ashtu edhe në rritjen e progresionit aritmetik.
Përpiquni të gjeni vetë termat e th dhe të të këtij progresi aritmetik.

Le të krahasojmë rezultatet:

Vetia e progresionit aritmetik

Le ta komplikojmë problemin - do të nxjerrim vetinë e progresionit aritmetik.
Le të themi se na jepet kushti i mëposhtëm:
- progresion aritmetik, gjeni vlerën.
Lehtë, thoni dhe filloni të numëroni sipas formulës që tashmë e dini:

Le, ah, atëherë:

Absolutisht e drejtë. Rezulton se ne fillimisht e gjejmë, pastaj e shtojmë në numrin e parë dhe marrim atë që kërkojmë. Nëse progresioni përfaqësohet nga vlera të vogla, atëherë nuk ka asgjë të komplikuar në lidhje me të, por çka nëse na jepen numra në kusht? Pajtohem, ekziston mundësia për të bërë një gabim në llogaritjet.
Tani mendoni nëse është e mundur të zgjidhet ky problem në një hap duke përdorur ndonjë formulë? Sigurisht që po, dhe kjo është ajo që ne do të përpiqemi të nxjerrim në pah tani.

Le të shënojmë termin e kërkuar të progresionit aritmetik si, formula për gjetjen e tij është e njohur për ne - kjo është e njëjta formulë që kemi nxjerrë në fillim:
, Pastaj:

termi i mëparshëm i progresionit është:
termi tjetër i progresionit është:

Le të përmbledhim termat e mëparshëm dhe të mëvonshëm të progresionit:

Rezulton se shuma e termave të mëparshëm dhe të mëpasshëm të progresionit është vlera e dyfishtë e termit të progresionit që ndodhet midis tyre. Me fjalë të tjera, për të gjetur vlerën e termit të progresionit të dhënë paraprakisht të njohur dhe vlerat e njëpasnjëshme, duhet t'i mblidhni dhe t'i ndani me.

Është e drejtë, kemi të njëjtin numër. Le të sigurojmë materialin. Llogaritni vetë vlerën për përparimin, nuk është aspak e vështirë.

Te lumte! Ju dini pothuajse gjithçka për përparimin! Mbetet për të zbuluar vetëm një formulë, e cila, sipas legjendës, u konkludua lehtësisht nga një nga matematikanët më të mëdhenj të të gjitha kohërave, "mbreti i matematikanëve" - Karl Gauss ...

Kur Carl Gauss ishte 9 vjeç, një mësues, i zënë duke kontrolluar punën e nxënësve në klasat e tjera, pyeti problemin e mëposhtëm në klasë: "Llogaritni shumën e të gjitha numrat natyrorë nga në (sipas burimeve të tjera deri në) përfshirëse.” Imagjinoni habinë e mësuesit kur një nga nxënësit e tij (ky ishte Karl Gauss) një minutë më vonë i dha përgjigjen e saktë detyrës, ndërsa shumica e shokëve të klasës së guximtarit, pas llogaritjeve të gjata, morën rezultatin e gabuar...

I riu Carl Gauss vuri re një model të caktuar që edhe ju mund ta vini re lehtësisht.
Le të themi se kemi një progresion aritmetik të përbërë nga -të terma: Duhet të gjejmë shumën e këtyre termave të progresionit aritmetik. Sigurisht, ne mund t'i përmbledhim manualisht të gjitha vlerat, por çka nëse detyra kërkon gjetjen e shumës së termave të saj, siç po kërkonte Gauss?

Le të përshkruajmë përparimin që na është dhënë. Shikoni më nga afër numrat e theksuar dhe përpiquni të kryeni veprime të ndryshme matematikore me ta.

E keni provuar? Çfarë keni vënë re? E drejtë! Shumat e tyre janë të barabarta

Tani më thuaj, sa çifte të tilla ka gjithsej në progresionin që na është dhënë? Sigurisht, saktësisht gjysma e të gjithë numrave, domethënë.
Duke u bazuar në faktin se shuma e dy anëtarëve të një progresion aritmetik është e barabartë dhe çiftet e ngjashme janë të barabarta, marrim se shuma totaleështë e barabartë me:
.
Kështu, formula për shumën e termave të parë të çdo progresioni aritmetik do të jetë:

Në disa probleme nuk e dimë termin e th, por dimë dallimin e progresionit. Përpiquni të zëvendësoni formulën e termit të th në formulën e shumës.
Çfarë more?

Te lumte! Tani le t'i kthehemi problemit që iu drejtua Karl Gausit: llogarisni vetë se sa është e barabartë shuma e numrave që fillojnë nga th dhe shuma e numrave që fillojnë nga th.

Sa keni marrë?
Gausi zbuloi se shuma e termave është e barabartë dhe shuma e termave. Kështu vendosët?

Në fakt, formula për shumën e termave të një progresion aritmetik u vërtetua nga shkencëtari i lashtë grek Diophantus në shekullin e 3-të, dhe gjatë gjithë kësaj kohe, njerëzit e zgjuar përdorën plotësisht vetitë e progresionit aritmetik.
Për shembull, imagjinoni Egjipti i lashte dhe më së shumti ndërtim në shkallë të gjerë atë kohë - ndërtimi i një piramide... Fotografia tregon njërën anë të saj.

Ku është përparimi këtu, ju thoni? Shikoni me kujdes dhe gjeni një model në numrin e blloqeve të rërës në çdo rresht të murit të piramidës.

Pse jo një progresion aritmetik? Llogaritni sa blloqe nevojiten për të ndërtuar një mur nëse tullat e bllokut vendosen në bazë. Shpresoj se nuk do të numëroni ndërsa lëvizni gishtin nëpër monitor, ju kujtohet formula e fundit dhe gjithçka që thamë për progresionin aritmetik?

NË në këtë rast Progresioni duket si ky: .
Diferenca e progresionit aritmetik.
Numri i termave të një progresion aritmetik.
Le t'i zëvendësojmë të dhënat tona në formulat e fundit (llogaritni numrin e blloqeve në 2 mënyra).

Metoda 1.

Metoda 2.

Dhe tani mund të llogaritni në monitor: krahasoni vlerat e marra me numrin e blloqeve që janë në piramidën tonë. E kuptova? Bravo, ju keni zotëruar shumën e termave të n-të të një progresion aritmetik.
Sigurisht, nuk mund të ndërtoni një piramidë nga blloqet në bazë, por nga? Mundohuni të llogaritni sa tulla rëre nevojiten për të ndërtuar një mur me këtë gjendje.
A ia dolët?
Përgjigja e saktë është blloqet:

Trajnimi

Detyrat:

Masha po bëhet në formë për verën. Çdo ditë ajo rrit numrin e squats me. Sa herë do të bëjë Masha squats në një javë nëse ajo bën squats në seancën e parë stërvitore?
Sa është shuma e të gjithë numrave tek që përmbahen.
Gjatë ruajtjes së shkrimeve, regjistruesit i grumbullojnë ato në mënyrë të tillë që secili shtresa e sipërme përmban një regjistër më pak se ai i mëparshmi. Sa trungje ka në një muraturë, nëse themeli i muraturës është trungje?

Përgjigjet:

Le të përcaktojmë parametrat e progresionit aritmetik. Në këtë rast
(javë = ditë).
Përgjigje: Në dy javë, Masha duhet të bëjë squats një herë në ditë.
Së pari numër i rastësishëm, numri i fundit.
Diferenca e progresionit aritmetik.
Numri i numrave tek është gjysma, megjithatë, le ta kontrollojmë këtë fakt duke përdorur formulën për të gjetur termin e th të një progresion aritmetik:
Numrat përmbajnë numra tek.
Le të zëvendësojmë të dhënat e disponueshme në formulën:
Përgjigje: Shuma e të gjithë numrave tek të përfshirë është e barabartë.
Le të kujtojmë problemin për piramidat. Për rastin tonë, një , meqenëse çdo shtresë e sipërme zvogëlohet me një regjistër, atëherë në total ka një bandë shtresash, domethënë.
Le t'i zëvendësojmë të dhënat në formulën:
Përgjigje: Në muraturë ka trungje.

Le ta përmbledhim

- një sekuencë numrash në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë. Mund të jetë në rritje ose në ulje.
Gjetja e formulës Termi i th i një progresioni aritmetik shkruhet me formulën - , ku është numri i numrave në progresion.
Vetia e anëtarëve të një progresion aritmetik- - ku është numri i numrave në progresion.
Shuma e termave të një progresion aritmetik mund të gjendet në dy mënyra:

, ku është numri i vlerave.

PROGRESIONI ARITHMETIK. NIVELI MESATAR

Sekuenca e numrave

Le të ulemi dhe të fillojmë të shkruajmë disa numra. Për shembull:

Ju mund të shkruani çdo numër dhe mund të ketë aq sa të doni. Por ne gjithmonë mund të themi se cili është i pari, cili është i dyti e kështu me radhë, domethënë mund t'i numërojmë. Ky është një shembull i një sekuence numrash.

Sekuenca e numraveështë një grup numrash, secilit prej të cilëve mund t'i caktohet një numër unik.

Me fjalë të tjera, çdo numër mund të shoqërohet me një numër të caktuar natyror dhe një unik. Dhe ne nuk do ta caktojmë këtë numër në asnjë numër tjetër nga ky grup.

Numri me numër quhet anëtari i th i sekuencës.

Është shumë i përshtatshëm nëse termi i th i sekuencës mund të specifikohet me ndonjë formulë. Për shembull, formula

vendos sekuencën:

Dhe formula është sekuenca e mëposhtme:

Për shembull, një progresion aritmetik është një sekuencë (termi i parë këtu është i barabartë, dhe ndryshimi është). Ose (, dallimi).

Formula e termit të ntë

Ne e quajmë një formulë të përsëritur në të cilën, për të gjetur termin e th, duhet të njihni ato të mëparshme ose disa të mëparshme:

Për të gjetur, për shembull, termin e th të progresionit duke përdorur këtë formulë, do të duhet të llogarisim nëntë e mëparshme. Për shembull, lëreni. Pastaj:

Epo, a është e qartë tani cila është formula?

Në çdo rresht që i shtojmë, shumëzuar me një numër. Cila? Shumë e thjeshtë: ky është numri i anëtarit aktual minus:

Shumë më i përshtatshëm tani, apo jo? Ne kontrollojmë:

Vendosni vetë:

Në një progresion aritmetik, gjeni formulën për termin e n-të dhe gjeni termin e qindtë.

Zgjidhja:

Termi i parë është i barabartë. Qfare eshte dallimi? Ja çfarë:

(Kjo është arsyeja pse quhet ndryshim sepse është i barabartë me diferencën e termave të njëpasnjëshëm të progresionit).

Pra, formula:

Atëherë termi i njëqindtë është i barabartë me:

Sa është shuma e të gjithë numrave natyrorë nga deri në?

Sipas legjendës, matematikan i madh Karl Gauss si një djalë 9-vjeçar e ka llogaritur këtë shumë në pak minuta. Ai vuri re se shuma e të parës dhe data e funditështë e barabartë, shuma e të dytit dhe e parafundit është e njëjtë, shuma e të tretit dhe të 3-tës nga fundi është e njëjtë, e kështu me radhë. Sa çifte të tilla ka gjithsej? Kjo është e drejtë, saktësisht gjysma e numrit të të gjithë numrave, domethënë. Kështu që,

Formula e përgjithshme për shumën e termave të parë të çdo progresioni aritmetik do të jetë:

Shembull:
Gjeni shumën e të gjithave numra dyshifrorë, të shumëfishta.

Zgjidhja:

Numri i parë i tillë është ky. Çdo numër i mëpasshëm fitohet duke i shtuar numrin e mëparshëm. Kështu, numrat që na interesojnë formojnë një progresion aritmetik me termin e parë dhe diferencën.

Formula e termit të th për këtë progresion:

Sa terma ka në progresion nëse të gjithë duhet të jenë dyshifrorë?

Shumë e lehtë: .

Afati i fundit i progresionit do të jetë i barabartë. Pastaj shuma:

Përgjigje:.

Tani vendosni vetë:

Çdo ditë atleti vrapon më shumë metra se një ditë më parë. Sa kilometra gjithsej do të vrapojë në javë nëse ka vrapuar km m në ditën e parë?
Një çiklist udhëton më shumë kilometra çdo ditë se një ditë më parë. Ditën e parë ai udhëtoi km. Sa ditë i duhen të udhëtojë për të kaluar një kilometër? Sa kilometra do të udhëtojë ai gjatë ditës së fundit të udhëtimit të tij?
Çmimi i një frigoriferi në një dyqan ulet me të njëjtën sasi çdo vit. Përcaktoni se sa u ul çmimi i një frigoriferi çdo vit nëse, i vendosur në shitje për rubla, gjashtë vjet më vonë ai shitet për rubla.

Përgjigjet:

Gjëja më e rëndësishme këtu është njohja e progresionit aritmetik dhe përcaktimi i parametrave të tij. Në këtë rast, (javë = ditë). Ju duhet të përcaktoni shumën e termave të parë të këtij progresi:
.
Përgjigje:
Këtu jepet: , duhet gjetur.
Natyrisht, ju duhet të përdorni të njëjtën formulë të shumës si në problemin e mëparshëm:
.
Zëvendësoni vlerat:
Rrënja padyshim nuk përshtatet, kështu që përgjigja është.
Le të llogarisim shtegun e përshkuar gjatë ditës së fundit duke përdorur formulën e termit të th:
(km).
Përgjigje:
Jepet: . Gjej: .
Nuk mund të ishte më e thjeshtë:
(fshij).
Përgjigje:

PROGRESIONI ARITHMETIK. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Kjo është një sekuencë numrash në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë.

Progresioni aritmetik mund të jetë në rritje () dhe në rënie ().

Për shembull:

Formula për gjetjen e mandatit të n-të të një progresion aritmetik

shkruhet me formula, ku është numri i numrave në progresion.

Vetia e anëtarëve të një progresion aritmetik

Kjo ju lejon të gjeni me lehtësi një term të një progresion nëse dihen termat fqinjë të tij - ku është numri i numrave në progresion.

Shuma e termave të një progresion aritmetik

Ka dy mënyra për të gjetur shumën:

Ku është numri i vlerave.

Çfarë pika kryesore formulat?

Kjo formulë ju lejon të gjeni ndonjë ME NUMRIN E TIJ" n" .

Sigurisht, duhet të dini edhe termin e parë a 1 dhe ndryshimi i progresionit d, mirë, pa këto parametra nuk mund të shkruani një progresion specifik.

Të mësosh përmendësh (ose të bësh krevat fëmijësh) këtë formulë nuk mjafton. Ju duhet të kuptoni thelbin e saj dhe të aplikoni formulën në probleme të ndryshme. Dhe mos harroni brenda momentin e duhur, por si mos harro- Une nuk e di. Dhe këtu si të mbani mend Nëse është e nevojshme, unë patjetër do t'ju këshilloj. Për ata që e përfundojnë mësimin deri në fund.)

Pra, le të shohim formulën për termin e n-të të një progresion aritmetik.

Çfarë është një formulë në përgjithësi? Meqë ra fjala, hidhini një sy nëse nuk e keni lexuar. Gjithçka është e thjeshtë atje. Mbetet për të kuptuar se çfarë është mandati i nëntë.

Progresi në pamje e përgjithshme mund të shkruhet si një seri numrash:

një 1, një 2, një 3, një 4, një 5, .....

a 1- tregon termin e parë të një progresion aritmetik, a 3- anëtari i tretë, a 4- e katërta, e kështu me radhë. Nëse na intereson mandati i pestë, le të themi se po punojmë a 5, nëse njëqind e njëzet - s një 120.

Si mund ta përkufizojmë atë në terma të përgjithshëm? ndonjë term i një progresion aritmetik, me ndonjë numri? Shume e thjeshte! Si kjo:

a n

Kjo është ajo që është termi i n-të i një progresion aritmetik. Shkronja n fsheh të gjithë numrat e anëtarëve menjëherë: 1, 2, 3, 4, e kështu me radhë.

Dhe çfarë na jep një rekord i tillë? Thjesht mendoni, në vend të një numri ata shkruan një letër...

Kjo hyrje na jep mjet i fuqishëm për punën me progresion aritmetik. Duke përdorur shënimin a n, ne mund ta gjejmë shpejt ndonjë anëtar ndonjë progresion aritmetik. Dhe zgjidhni një mori problemesh të tjera të përparimit. Do ta shihni vetë më tej.

Në formulën për mandatin e n-të të një progresion aritmetik:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- termi i parë i një progresion aritmetik;

n- numri i anëtarit.

Formula lidh parametrat kryesorë të çdo progresioni: a n ; a 1; d Dhe n. Të gjitha problemet e progresionit rrotullohen rreth këtyre parametrave.

Formula e termit të n-të mund të përdoret gjithashtu për të shkruar një progresion specifik. Për shembull, problemi mund të thotë se përparimi specifikohet nga kushti:

a n = 5 + (n-1) 2.

Një problem i tillë mund të jetë një qorrsokak... Nuk ka as seri, as ndryshim... Por, duke krahasuar gjendjen me formulën, kuptohet lehtë se në këtë progresion a 1 =5 dhe d=2.

Dhe mund të jetë edhe më keq!) Nëse marrim të njëjtin kusht: a n = 5 + (n-1) 2, Po, hapni kllapat dhe sillni të ngjashme? marrim formulë e re:

a n = 3 + 2n.

Kjo Thjesht jo e përgjithshme, por për një përparim specifik. Këtu fshihet gracka. Disa njerëz mendojnë se mandati i parë është tre. Edhe pse në realitet termi i parë është pesë... Pak më poshtë do të punojmë me një formulë të tillë të modifikuar.

Në problemet e progresionit ka një shënim tjetër - një n+1. Ky është, siç e menduat, termi "n plus i pari" i progresionit. Kuptimi i tij është i thjeshtë dhe i padëmshëm.) Ky është një anëtar i progresionit, numri i të cilit është më i madh se numri n për një. Për shembull, nëse në ndonjë problem marrim a n mandati i pestë atëherë një n+1 do të jetë anëtari i gjashtë. etj.

Më shpesh emërtimi një n+1 gjendet në formulat e përsëritjes. Mos u tremb nga kjo fjalë e tmerrshme!) Kjo është thjesht një mënyrë për të shprehur një anëtar të një progresion aritmetik përmes të mëparshmit. Le të themi se na jepet një progresion aritmetik në këtë formë, duke përdorur një formulë të përsëritur:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

E katërta - përmes të tretës, e pesta - deri në të katërtin, e kështu me radhë. Si mund të numërojmë menjëherë, le të themi, mandatin e njëzetë? një 20? Por nuk ka asnjë mënyrë!) Derisa të zbulojmë mandatin e 19-të, nuk mund të numërojmë të 20-tin. Kjo eshte dallimi themelor formula e përsëritur nga formula e termit të n-të. Punon përsëritëse vetëm përmes e mëparshme termi, dhe formula e mandatit të n-të është përmes së pari dhe lejon menjëherë gjeni ndonjë anëtar me numrin e tij. Pa llogaritur të gjithë serinë e numrave me radhë.

Në një progresion aritmetik, është e lehtë të shndërrohet një formulë e përsëritur në një të rregullt. Numëroni një çift termash të njëpasnjëshëm, llogarisni ndryshimin d, gjeni, nëse është e nevojshme, termin e parë a 1, shkruani formulën në në formën e zakonshme, dhe punoni me të. Në Akademinë Shtetërore të Shkencave, detyra të tilla ndeshen shpesh.

Zbatimi i formulës për mandatin e n-të të një progresion aritmetik.

Së pari, le të shohim aplikimi i drejtpërdrejtë formulat. Në fund të mësimit të mëparshëm kishte një problem:

Është dhënë një progresion aritmetik (a n). Gjeni një 121 nëse a 1 =3 dhe d=1/6.

Ky problem mund të zgjidhet pa asnjë formulë, thjesht bazuar në kuptimin e një progresion aritmetik. Shtoni dhe shtoni... Një ose dy orë.)

Dhe sipas formulës, zgjidhja do të zgjasë më pak se një minutë. Mund ta vendosësh.) Le të vendosim.

Kushtet ofrojnë të gjitha të dhënat për përdorimin e formulës: a 1 =3, d=1/6. Mbetet për të kuptuar se çfarë është e barabartë n. Nuk ka problem! Duhet të gjejmë a 121. Kështu që ne shkruajmë:

Ju lutemi kushtojini vëmendje! Në vend të një indeksi n u shfaq një numër specifik: 121. që është mjaft logjike.) Na intereson anëtari i progresionit aritmetik. numri njëqind e njëzet e një. Kjo do të jetë e jona n. Ky është kuptimi n= 121 ne do të zëvendësojmë më tej në formulë, në kllapa. Ne i zëvendësojmë të gjithë numrat në formulë dhe llogarisim:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Kjo eshte. Po aq shpejt dikush mund të gjente termin e pesëqind e dhjetë, dhe njëmijë e të tretën, cilindo. Ne vendosëm në vend n numrin e dëshiruar në indeksin e letrës " a" dhe në kllapa, dhe ne numërojmë.

Më lejoni t'ju kujtoj pikën: kjo formulë ju lejon të gjeni ndonjë termi i progresionit aritmetik ME NUMRIN E TIJ" n" .

Le ta zgjidhim problemin në një mënyrë më dinake. Le të hasim problemin e mëposhtëm:

Gjeni termin e parë të progresionit aritmetik (a n), nëse a 17 =-2; d=-0,5.

Nëse keni ndonjë vështirësi, unë do t'ju tregoj hapin e parë. Shkruani formulën për mandatin e n-të të një progresion aritmetik! Po Po. Shkruani me duart tuaja, pikërisht në fletoren tuaj:

a n = a 1 + (n-1)d

Dhe tani, duke parë shkronjat e formulës, kuptojmë se çfarë të dhënash kemi dhe çfarë mungon? Në dispozicion d=-0.5, ka një anëtar të shtatëmbëdhjetë... A është kjo? Nëse mendoni se është ashtu, atëherë nuk do ta zgjidhni problemin, po...

Kemi ende një numër n! Ne gjendje a 17 =-2 i fshehur dy parametra. Kjo është edhe vlera e termit të shtatëmbëdhjetë (-2) dhe numri i tij (17). Ato. n=17. Kjo “gjakësi” shpesh rrëshqet nga koka, dhe pa të, (pa “të vogël”, jo kokën!) problemi nuk mund të zgjidhet. Edhe pse... dhe pa kokë gjithashtu.)

Tani thjesht mund t'i zëvendësojmë të dhënat tona në formulë:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Oh po, një 17 ne e dimë se është -2. Mirë, le të zëvendësojmë:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Kjo është në thelb e gjitha. Mbetet të shprehim termin e parë të progresionit aritmetik nga formula dhe ta llogarisim atë. Përgjigja do të jetë: a 1 = 6.

Kjo teknikë është shkrimi i formulës dhe zëvendësim i thjeshtë të dhënat e njohura - ndihmojnë shumë në detyra të thjeshta. Epo, sigurisht, duhet të jeni në gjendje të shprehni një variabël nga një formulë, por çfarë të bëni!? Pa këtë aftësi, matematika mund të mos studiohet fare...

Një tjetër enigmë popullore:

Gjeni ndryshimin e progresionit aritmetik (a n), nëse a 1 =2; a 15 = 12.

Cfare po bejme? Do të habiteni, ne po shkruajmë formulën!)

a n = a 1 + (n-1)d

Le të shqyrtojmë atë që dimë: a 1 = 2; a 15 = 12; dhe (do të theksoj veçanërisht!) n=15. Mos ngurroni ta zëvendësoni këtë në formulën:

12=2 + (15-1)d

Ne bëjmë aritmetikën.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Kjo është përgjigja e saktë.

Pra, detyrat për a n, a 1 Dhe d vendosi. E tëra që mbetet është të mësoni se si të gjeni numrin:

Numri 99 është anëtar i progresionit aritmetik (a n), ku a 1 =12; d=3. Gjeni numrin e këtij anëtari.

Ne zëvendësojmë sasitë e njohura për ne në formulën e termit të n-të:

a n = 12 + (n-1) 3

Në shikim të parë, ka dy sasi të panjohura këtu: një n dhe n. Por a n- ky është një pjesëtar i progresionit me një numër n...Dhe ne e njohim këtë anëtar të progresionit! Është 99. Nuk e dimë numrin e tij. n, Pra, ky numër është ajo që ju duhet të gjeni. Ne e zëvendësojmë termin e progresionit 99 në formulën:

99 = 12 + (n-1) 3

Ne shprehemi nga formula n, ne mendojmë. Ne marrim përgjigjen: n=30.

Dhe tani një problem për të njëjtën temë, por më kreativ):

Përcaktoni nëse numri 117 është anëtar i progresionit aritmetik (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Le të shkruajmë formulën përsëri. Çfarë, nuk ka parametra? Hm... Pse na janë dhënë sytë?) A e shohim termin e parë të progresionit? Ne shohim. Kjo është -3.6. Ju mund të shkruani me siguri: a 1 = -3,6. Diferenca d mund ta përcaktoni nga një seri? Është e lehtë nëse e dini se cili është ndryshimi i një progresion aritmetik:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Pra, bëmë gjënë më të thjeshtë. Ajo që mbetet është të merremi me numrin e panjohur n dhe numri i pakuptueshëm 117. Në problemin e mëparshëm të paktën dihej se ishte termi i progresionit që jepej. Por këtu as që dimë... Çfarë të bëjmë!? Epo, çfarë të bësh, çfarë të bësh... Ndize Aftësitë krijuese!)

ne supozojmë se 117 është, në fund të fundit, një anëtar i progresionit tonë. Me një numër të panjohur n. Dhe, ashtu si në problemin e mëparshëm, le të përpiqemi të gjejmë këtë numër. Ato. ne shkruajmë formulën (po, po!)) dhe zëvendësojmë numrat tanë:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Përsëri shprehemi nga formulan, numërojmë dhe marrim:

Oops! Numri doli thyesore! Njëqind e një e gjysmë. Dhe numrat thyesorë në progresione nuk mund të jetë.Çfarë përfundimi mund të nxjerrim? Po! Numri 117 nuk eshte anëtar i përparimit tonë. Është diku midis mandateve njëqind e parë dhe njëqind e dytë. Nëse numri doli i natyrshëm, d.m.th. është një numër i plotë pozitiv, atëherë numri do të ishte anëtar i progresionit me numrin e gjetur. Dhe në rastin tonë, përgjigja e problemit do të jetë: Nr.

Bazuar në detyrë opsion real GIA:

Një progresion aritmetik jepet nga kushti:

a n = -4 + 6,8n

Gjeni termat e parë dhe të dhjetë të progresionit.

Këtu përparimi nuk është mjaft i vendosur në mënyrën e zakonshme. Një lloj formule... Ndodh.) Megjithatë, kjo formulë (siç kam shkruar më lart) - edhe formula për mandatin e n-të të një progresion aritmetik! Ajo gjithashtu lejon gjeni ndonjë anëtar të progresionit sipas numrit të tij.

Ne jemi në kërkim të anëtarit të parë. Ai që mendon. që termi i parë është minus katër është gabim fatal!) Sepse formula në problem është modifikuar. Termi i parë i progresionit aritmetik në të i fshehur.Është në rregull, do ta gjejmë tani.)

Ashtu si në problemet e mëparshme, ne zëvendësojmë n=1 në këtë formulë:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Këtu! Termi i parë është 2.8, jo -4!

Ne e kërkojmë termin e dhjetë në të njëjtën mënyrë:

a 10 = -4 + 6.8 10 = 64

Kjo eshte.

Dhe tani, për ata që i kanë lexuar këto rreshta, bonusi i premtuar.)

Supozoni, në një situatë të vështirë luftarake të Provimit të Shtetit ose Provimit të Unifikuar të Shtetit, ju keni harruar formulën e dobishme për mandatin e n-të të një progresion aritmetik. Më kujtohet diçka, por disi e pasigurt... Ose n atje, ose n+1, ose n-1... Si të jesh!?

Qetë! Kjo formulë është e lehtë për t'u nxjerrë. Jo shumë rreptësisht, por për besim dhe vendimi i duhur definitivisht mjafton!) Për të nxjerrë një përfundim, mjafton të mbani mend kuptimin elementar të një progresioni aritmetik dhe të keni disa minuta kohë. Thjesht duhet të vizatoni një foto. Për qartësi.

Le të vizatojmë boshti numerik dhe shënoni të parën mbi të. e dyta, e treta etj. anëtarët. Dhe ne vërejmë ndryshimin d ndërmjet anëtarëve. Si kjo:

Ne shikojmë figurën dhe mendojmë: me çfarë është termi i dytë? Së dyti një d:

a 2 =a 1 + 1 d

Cili është termi i tretë? Së treti termi është i barabartë me termin e parë plus dy d.

a 3 =a 1 + 2 d

E kuptoni? Jo më kot theksoj disa fjalë me shkronja të zeza. Mirë, një hap më shumë).

Cili është termi i katërt? Së katërti termi është i barabartë me termin e parë plus tre d.

a 4 =a 1 + 3 d

Është koha për të kuptuar se numri i boshllëqeve, d.m.th. d, Gjithmonë një më pak se numri i anëtarit që kërkoni n. Kjo është, në numrin n, numri i hapësirave do n-1. Prandaj, formula do të jetë (pa ndryshime!):

a n = a 1 + (n-1)d

Në përgjithësi, fotografitë vizuale janë shumë të dobishme në zgjidhjen e shumë problemeve në matematikë. Mos i lini pas dore fotot. Por nëse është e vështirë të vizatoni një figurë, atëherë ... vetëm një formulë!) Për më tepër, formula e termit të nëntë ju lejon të lidhni të gjithë arsenalin e fuqishëm të matematikës me zgjidhjen - ekuacione, pabarazi, sisteme, etj. Nuk mund të futësh një foto në ekuacion...

Detyrat për zgjidhje të pavarur.

Për tu ngrohur:

1. Në progresionin aritmetik (a n) a 2 =3; a 5 =5.1. Gjeni një 3.

Këshillë: sipas fotos problemi zgjidhet për 20 sekonda... Sipas formulës del më i vështirë. Por për të zotëruar formulën, është më e dobishme.) Në seksionin 555, ky problem zgjidhet duke përdorur si figurën ashtu edhe formulën. Ndjeje ndryshimin!)

Dhe kjo nuk është më një ngrohje.)

2. Në progresionin aritmetik (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Gjeni një 3.

Çfarë, nuk doni të vizatoni një foto?) Sigurisht! Më mirë sipas formulës, po...

3. Progresioni aritmetik jepet nga kushti:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Gjeni termin e njëqind e njëzet e pestë të këtij progresioni.

Në këtë detyrë, progresioni specifikohet në mënyrë të përsëritur. Por duke llogaritur deri në mandatin e njëqind e njëzet e pestë... Jo të gjithë janë të aftë për një sukses të tillë.) Por formula e mandatit të nëntë është në fuqinë e secilit!

4. Jepet një progresion aritmetik (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Gjeni numrin e termit më të vogël pozitiv të progresionit.

5. Sipas kushteve të detyrës 4, gjeni shumën e termave më të vegjël pozitivë dhe më të mëdhenj negativë të progresionit.

6. Prodhimi i termave të pestë dhe të dymbëdhjetë të një progresioni aritmetik në rritje është i barabartë me -2,5, dhe shuma e anëtarëve të tretë dhe të njëmbëdhjetë është e barabartë me zero. Gjeni një 14.

Jo detyra më e lehtë, po...) Metoda "maja e gishtit" nuk do të funksionojë këtu. Ju do të duhet të shkruani formula dhe të zgjidhni ekuacione.

Përgjigjet (në rrëmujë):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Ka ndodhur? Eshte mire!)

Nuk funksionon gjithçka? Ndodh. Nga rruga, ka një pikë delikate në detyrën e fundit. Do të kërkohet kujdes kur lexoni problemin. Dhe logjika.

Zgjidhja e të gjitha këtyre problemeve diskutohet në detaje në seksionin 555. Dhe elementi i fantazisë për të katërtin, dhe pika delikate për të gjashtin, dhe qasjet e përgjithshme për të zgjidhur çdo problem që përfshin formulën e termit të n-të - gjithçka është shkruar. Unë rekomandoj.

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Termi i përgjithshëm i sekuencës është $u_n=n^2$. Duke zëvendësuar $n=1$, marrim:

$$ u_1=1^2=1. $$

Ky është termi i parë i sekuencës. Duke zëvendësuar $n=2$ në $u_n=n^2$, marrim termin e dytë të sekuencës:

$$ u_2=2^2=4. $$

Nëse zëvendësojmë $n=3$, marrim termin e tretë të sekuencës:

$$ u_3=3^2=9. $$

Në të njëjtën mënyrë gjejmë termat e katërt, të pestë, të gjashtë dhe të tjerë të sekuencës. Kështu marrim numrat përkatës:

$$ 1;\; 4;\; 9;\; 16;\; 25;\; 36;\; 49;\; 64; \;81; \lddos $$

Vlen gjithashtu të kihen parasysh termat e sekuencës $u_n=n^3$. Këtu janë disa nga anëtarët e saj të parë:

\fillimi(ekuacioni)1;\; 8;\; 27;\; 64;\; 125;\; 216;\; 343;\; 512;\;729; \ldots \fund (ekuacioni)

Përveç kësaj, për të formuar termin e përgjithshëm të një serie, shpesh përdoret sekuenca $u_n=n!$, termat e parë të së cilës janë si më poshtë:

\fillimi(ekuacioni)1;\; 2;\; 6;\; 24;\; 120;\; 720;\; 5040; \ldots \fund (ekuacioni)

Regjistrimi "n!" (lexo "en faktorial") tregon prodhimin e të gjithë numrave natyrorë nga 1 në n, d.m.th.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n. $$

Sipas përkufizimit, supozohet se $0!=1!=1$. Për shembull, le të gjejmë 5!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Shpesh përdoren gjithashtu progresione aritmetike dhe gjeometrike. Nëse termi i parë i një progresion aritmetik është i barabartë me $a_1$ dhe diferenca është i barabartë me $d$, atëherë anëtar i përbashkët Një progresion aritmetik shkruhet duke përdorur formulën e mëposhtme:

\fillimi(ekuacioni)a_n=a_1+d\cdot (n-1) \fundi (ekuacioni)

Çfarë është një progresion aritmetik? Shfaq Fshih

Një progresion aritmetik është një sekuencë numrash në të cilat ndryshimi midis termave të ardhshëm dhe të mëparshëm është konstant. Ky ndryshim konstant quhet ndryshimi i progresionit

$$ 3;\; 10;\; 17;\; 24;\; 31;\; 38;\; 45;\; 52; \lddos $$

Ju lutemi vini re se pavarësisht nga çifti i elementeve fqinjë që marrim, ndryshimi midis anëtarëve pasues dhe të mëparshëm do të jetë gjithmonë konstant dhe i barabartë me 7:

\fillimi (rreshtuar) & 10-3=7;\\ & 17-10=7;\\ & 31-24=7; \ldots\end (në linjë)

Ky numër, d.m.th. 7, dhe ka një ndryshim progresi. Zakonisht shënohet me shkronjën $d$, d.m.th. $d=7$. Elementi i parë i progresionit është $a_1=3$. Ne shkruajmë termin e përgjithshëm të këtij progresioni duke përdorur formulën. Duke zëvendësuar $a_1=3$ dhe $d=7$ në të, do të kemi:

$$ a_n=3+7\cdot (n-1)=3+7n-7=7n-4. $$

Për qartësi, le të përdorim formulën $a_n=7n-4$ për të gjetur termat e parë të progresionit aritmetik:

\fillimi (rreshtuar) & a_1=7\cdot 1-4=3;\\ & a_2=7\cdot 2-4=10;\\ & a_3=7\cdot 3-4=17;\\ & a_4= 7\cpika 4-4=24;\\ & a_5=7\cpika 5-4=31. \fund (në linjë)

Duke zëvendësuar çdo vlerë të numrit $n$ në formulën $a_n=7n-4$, ju mund të merrni çdo anëtar të progresionit aritmetik.

Vlen gjithashtu të përmendet përparimi gjeometrik. Nëse termi i parë i progresionit është i barabartë me $b_1$, dhe emëruesi është i barabartë me $q$, atëherë termi i përgjithshëm i progresionit gjeometrik jepet me formulën e mëposhtme:

\fillimi(ekuacioni)b_n=b_1\cdot q^(n-1) \fund(ekuacioni)

Cfare ndodhi progresion gjeometrik? Shfaq Fshih

Progresioni gjeometrik është një sekuencë numrash në të cilat lidhja midis termave të mëpasshëm dhe të mëparshëm është konstante. Kjo marrëdhënie e vazhdueshme quhet emërues i progresionit. Për shembull, merrni parasysh sekuencën e mëposhtme:

$$ 6;\; 18;\; 54;\; 162;\; 486;\; 1458;\; 4374; \lddos $$

Ju lutemi vini re se pavarësisht nga çifti i elementeve fqinjë që marrim, raporti i pasardhësve me atë të mëparshëm do të jetë gjithmonë konstant dhe i barabartë me 3:

\fillim(rrenjosur) & \frac(18)(6)=3;\\ & \frac(54)(18)=3;\\ & \frac(1458)(486)=3;\\ & \ldots \fund (në linjë)

Ky numër, d.m.th. 3 është emëruesi i progresionit. Zakonisht shënohet me shkronjën $q$, d.m.th. $q=3$. Elementi i parë i progresionit është $b_1=6$. Ne shkruajmë termin e përgjithshëm të këtij progresioni duke përdorur formulën. Duke zëvendësuar $b_1=6$ dhe $q=3$ në të, do të kemi:

$$ b_n=6\cdot 3^(n-1). $$

Për qartësi, le të përdorim formulën $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ për të gjetur termat e parë të progresionit gjeometrik:

\fillimi (rrenjosur) & b_1=6\cdot 3^0=6;\\ & b_2=6\cdot 3^1=18;\\ & b_3=6\cdot 3^2=54;\\ & b_4= 6\cdot 3^3=162;\\ & b_5=6\cdot 3^4=486. \fund (në linjë)

Duke zëvendësuar çdo vlerë të numrit $n$ në formulën $b_n=6\cdot 3^(n-1)$, mund të merrni çdo term të progresionit gjeometrik.

Në të gjithë shembujt e mëposhtëm, ne do t'i shënojmë anëtarët e serisë me shkronjat $u_1$ (anëtari i parë i serisë), $u_2$ (anëtari i dytë i serisë) e kështu me radhë. Shënimi $u_n$ do të tregojë termin e përbashkët të serisë.

Shembulli nr. 1

Gjeni termin e përbashkët të serisë $\frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\ldots$.

Thelbi i detyrave të tilla është të vëreni modelin që është i natyrshëm në anëtarët e parë të serisë. Dhe bazuar në këtë model, nxirrni një përfundim për llojin e anëtarit të përbashkët. Çfarë do të thotë shprehja "gjeni termin e përbashkët"? Do të thotë se është e nevojshme të gjendet një shprehje e tillë, duke zëvendësuar $n=1$ në të cilën marrim termin e parë të serisë, d.m.th. $\frac(1)(7)$; Duke zëvendësuar $n=2$ marrim termin e dytë të serisë, d.m.th. $\frac(2)(9)$; Duke zëvendësuar $n=3$ marrim termin e tretë të serisë, d.m.th. $\frac(3)(11)$ dhe kështu me radhë. Ne i dimë katër termat e parë të serisë:

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13). $$

Le të lëvizim gradualisht. Të gjithë anëtarët e serisë së njohur për ne janë thyesa, kështu që është e arsyeshme të supozojmë se anëtari i përbashkët i serisë përfaqësohet gjithashtu nga një thyesë:

$$ u_n=\frac(?)(?) $$

Detyra jonë është të zbulojmë se çfarë fshihet nën pikëpyetjet në numërues dhe emërues. Le të shohim së pari numëruesin. Numëruesit e anëtarëve të serisë të njohur për ne janë numrat 1, 2, 3 dhe 4. Vini re se numri i secilit anëtar të serisë është i barabartë me numëruesin. Termi i parë ka një numërues një, i dyti ka një dy, i treti ka një tre dhe i katërti ka një katër.

Është logjike të supozohet se termi i n-të do të ketë $n$ në numëruesin e tij:

$$ u_n=\frac(n)(?) $$

Meqë ra fjala, mund të arrijmë në këtë përfundim në një mënyrë tjetër, më formale. Cila është sekuenca 1, 2, 3, 4? Vini re se çdo anëtar i mëpasshëm i kësaj sekuence është 1 më i madh se ai i mëparshmi. Kemi të bëjmë me katër terma të një progresion aritmetik, termi i parë i të cilëve është $a_1=1$, dhe diferenca është $d=1$. Duke përdorur formulën, marrim shprehjen për termin e përgjithshëm të progresionit:

$$ a_n=1+1\cdot (n-1)=1+n-1=n. $$

Pra, hamendja apo llogaritja formale është çështje shije. Gjëja kryesore është që ne shënuam numëruesin e termit të zakonshëm të serisë. Le të kalojmë te emëruesi.

Në emërues kemi vargun 7, 9, 11, 13. Këto janë katër terma të një progresion aritmetik, termi i parë i të cilit është i barabartë me $b_1=7$, dhe ndryshimi është $d=2$. Ne gjejmë termin e përgjithshëm të progresionit duke përdorur formulën:

$$ b_n=7+2\cdot (n-1)=7+2n-2=2n+5. $$

Shprehja që rezulton, d.m.th. $2n+5$, dhe do të jetë emëruesi i termit të përbashkët të serisë. Kështu që:

$$ u_n=\frac(n)(2n+5). $$

Merret termi i përgjithshëm i serisë. Le të kontrollojmë nëse formula që gjetëm $u_n=\frac(n)(2n+5)$ është e përshtatshme për llogaritjen e termave tashmë të njohur të serisë. Le të gjejmë termat $u_1$, $u_2$, $u_3$ dhe $u_4$ duke përdorur formulën $u_n=\frac(n)(2n+5)$. Rezultatet, natyrisht, duhet të përkojnë me katër termat e parë të serisë që na janë dhënë sipas kushteve.

$$ u_1=\frac(1)(2\cdot 1+5)=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(2\cdot 2+5)=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(2\cdot 3+5)=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(2\cdot 4+5)=\frac(4)(13). $$

Kjo është e drejtë, rezultatet janë të njëjta. Seria e specifikuar në kusht tani mund të shkruhet në formën e mëposhtme: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n)(2n+5)$. Termi i përgjithshëm i serisë ka formën $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+0+0+0+0+0+0+ 0+\lpika $$

A nuk ka të drejtë të ekzistojë një serial i tillë? Ende ka. Dhe për këtë seri mund të shkruajmë atë

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=0\; (n≥ 5). $$

Mund të shkruani një vazhdim tjetër. Për shembull, kjo:

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\frac(1)(5)+\frac( 1)(6)+\frac(1)(7)+\frac(1)(8)+\frac(1)(9)+\frac(1)(10)+\ldots $$

Dhe një vazhdim i tillë nuk kundërshton asgjë. Në këtë rast, ne mund të shkruajmë atë

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=\frac(1)(n)\; (n≥ 5). $$

Nëse dy opsionet e para ju janë dukur shumë formale, atëherë unë do të sugjeroj një të tretë. Le të shkruajmë termin e zakonshëm si më poshtë:

$$ u_n=\frac(n)(n^4-10n^3+35n^2-48n+29). $$

Le të llogarisim katër termat e parë të serisë duke përdorur formulën e propozuar të termit të përgjithshëm:

\fillim(lidhur) & u_1=\frac(1)(1^4-10\cdot 1^3+35\cdot 1^2-48\cdot 1+29)=\frac(1)(7);\ \ & u_2=\frac(2)(2^4-10\cdot 2^3+35\cdot 2^2-48\cdot 2+29)=\frac(2)(9);\\ & u_3= \frac(3)(3^4-10\cdot 3^3+35\cdot 3^2-48\cdot 3+29)=\frac(3)(11);\\ & u_4=\frac(4 )(4^4-10\cdot 4^3+35\cdot 4^2-48\cdot 4+29)=\frac(4)(13). \fund (në linjë)

Siç mund ta shihni, formula e propozuar për termin e përgjithshëm është mjaft e saktë. Dhe mund të dilni me një numër të pafund variacionesh të tilla, numri i tyre është i pakufizuar. NË shembuj standardë sigurisht që përdoret set standard disa sekuenca të njohura (progresione, shkallë, faktoriale, etj.). Sidoqoftë, në detyra të tilla ka gjithmonë pasiguri, dhe këshillohet të mbani mend këtë.

Në të gjithë shembujt vijues kjo paqartësi nuk do të specifikohet. Ne do të vendosim duke përdorur metoda standarde, të cilat pranohen në shumicën e librave me probleme.

Përgjigju: term i zakonshëm i serisë: $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

Shembulli nr. 2

Shkruani termin e zakonshëm të serisë $\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1)(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1) (7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots$.

Ne i dimë pesë termat e parë të serisë:

$$ u_1=\frac(1)(1\cdot 5);\; u_2=\frac(1)(3\cdot 8); \; u_3=\frac(1)(5\cdot 11); \; u_4=\frac(1)(7\cdot 14); \; u_5=\frac(1)(9\cdot 17). $$

Të gjithë termat e serisë së njohur për ne janë thyesa, që do të thotë se do të kërkojmë termin e përbashkët të serisë në formën e një fraksioni:

$$ u_n=\frac(?)(?). $$

Le t'i kushtojmë vëmendje menjëherë numëruesit. Të gjithë numëruesit përmbajnë njësi, prandaj edhe numëruesi i termit të përbashkët të serisë do të përmbajë një, d.m.th.

$$ u_n=\frac(1)(?). $$

Tani le të shohim emëruesin. Emëruesit e termave të parë të serisë së njohur për ne përmbajnë prodhimet e numrave: $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$. Të parët nga këta numra janë: 1, 3, 5, 7, 9. Ky sekuencë ka termin e parë $a_1=1$, dhe secili i mëpasshëm fitohet nga ai i mëparshmi duke shtuar numrin $d=2$. Me fjalë të tjera, këto janë pesë termat e parë të një progresion aritmetik, termi i përgjithshëm i të cilit mund të shkruhet duke përdorur formulën:

$$ a_n=1+2\cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1. $$

Në produktet $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$ numrat e dytë janë: 5, 8, 11, 14, 17. Këta janë elementet e një progresioni aritmetik, termi i parë i të cilit është $b_1=5$, dhe emëruesi është $d=3$. Ne shkruajmë termin e përgjithshëm të këtij progresi duke përdorur të njëjtën formulë:

$$ b_n=5+3\cdot (n-1)=5+3n-3=3n+2. $$

Le t'i bashkojmë rezultatet së bashku. Produkti në emëruesin e termit të përbashkët të serisë është: $(2n-1)(3n+2)$. Dhe vetë termi i përgjithshëm i serisë ka formën e mëposhtme:

$$ u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2)). $$

Për të kontrolluar rezultatin e marrë, ne përdorim formulën $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ për të gjetur katër termat e parë të serisë që dimë:

\fillim(rreshtuar) & u_1=\frac(1)((2\cdot 1-1)(3\cdot 1+2))=\frac(1)(1\cdot 5);\\ & u_2=\ frac(1)((2\cdot 2-1)(3\cdot 2+2))=\frac(1)(3\cdot 8);\\ & u_3=\frac(1)((2\cdot 3-1)(3\cdot 3+2))=\frac(1)(5\cdot 11);\\ & u_4=\frac(1)((2\cdot 4-1)(3\cdot 4 +2))=\frac(1)(7\cdot 14);\\ & u_5=\frac(1)((2\cdot 5-1)(3\cdot 5+2))=\frac(1 )(9\cdot 17). \fund (në linjë)

Pra, formula $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ ju lejon të llogaritni me saktësi termat e serisë, të njohura nga kushti. Nëse dëshironi seritë e dhëna mund të shkruhet kështu:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)((2n-1)(3n+2))=\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1 )(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1)(7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldot $$

Përgjigju: term i zakonshëm i serisë: $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$.

Këtë temë do ta vazhdojmë në pjesën e dytë dhe të tretë.

Shumë njerëz kanë dëgjuar për progresionin aritmetik, por jo të gjithë e kanë një ide të mirë se çfarë është. Në këtë artikull do të japim përkufizimin përkatës, dhe gjithashtu do të shqyrtojmë pyetjen se si të gjejmë ndryshimin e një progresion aritmetik dhe të japim një numër shembujsh.

Përkufizimi matematik

Keshtu nese ne po flasim për në lidhje me progresionin aritmetik ose algjebrik (këto koncepte përcaktojnë të njëjtën gjë), atëherë kjo do të thotë se ka disa seri numrash, të kënaqshme ligji tjetër: Çdo dy numra ngjitur në një seri ndryshojnë me të njëjtën vlerë. Matematikisht është shkruar kështu:

Këtu n nënkupton numrin e elementit a n në sekuencë, dhe numri d është ndryshimi i progresionit (emri i tij rrjedh nga formula e paraqitur).

Çfarë do të thotë të njohësh ndryshimin d? Rreth asaj se sa "larg" janë numrat fqinjë nga njëri-tjetri. Megjithatë, njohja e d është e nevojshme, por jo gjendje e mjaftueshme për të përcaktuar (rikthyer) të gjithë përparimin. Është e nevojshme të dini një numër më shumë, i cili mund të jetë absolutisht çdo element i serisë në shqyrtim, për shembull, një 4, a10, por, si rregull, ata përdorin numrin e parë, domethënë një 1.

Formulat për përcaktimin e elementeve të progresionit

Në përgjithësi, informacioni i mësipërm tashmë është i mjaftueshëm për të kaluar te zgjidhja detyra specifike. Megjithatë, përpara se të jepet progresioni aritmetik dhe do të jetë e nevojshme të gjendet ndryshimi i tij, ne paraqesim një çift formula të dobishme, duke lehtësuar kështu procesin e mëpasshëm të zgjidhjes së problemeve.

Është e lehtë të tregohet se çdo element i sekuencës me numër n mund të gjendet si më poshtë:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Në të vërtetë, çdokush mund ta kontrollojë këtë formulë me një kërkim të thjeshtë: nëse zëvendësoni n = 1, ju merrni elementin e parë, nëse zëvendësoni n = 2, atëherë shprehja jep shumën e numrit të parë dhe diferencës, e kështu me radhë.

Kushtet e shumë problemeve janë të përbëra në atë mënyrë që, duke pasur parasysh një çift numrash të njohur, numrat e të cilëve janë dhënë gjithashtu në sekuencë, është e nevojshme të rindërtohet e gjithë seria e numrave (gjeni ndryshimin dhe elementin e parë). Tani do ta zgjidhim këtë problem në formë të përgjithshme.

Pra, le të jepen dy elementë me numra n dhe m. Duke përdorur formulën e marrë më sipër, mund të krijoni një sistem prej dy ekuacionesh:

a n = a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d

Për të gjetur sasi të panjohura, ne përdorim të njohurat truk i thjeshtë zgjidhje për një sistem të tillë: zbritni anën e majtë dhe të djathtë në çifte, barazia do të mbetet e vlefshme. Ne kemi:

a n = a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Kështu, ne kemi përjashtuar një të panjohur (a 1). Tani mund të shkruajmë shprehjen përfundimtare për përcaktimin e d:

d = (a n - a m) / (n - m), ku n > m

Ne morëm shumë formulë e thjeshtë: për të llogaritur diferencën d në përputhje me kushtet e problemit, ju vetëm duhet të merrni raportin e dallimeve midis vetë elementëve dhe tyre numrat serialë. Duhet t'i kushtohet vëmendje një pikë e rëndësishme vëmendje: dallimet merren midis anëtarëve "të vjetër" dhe "të rinj", domethënë n > m ("i moshuar" do të thotë të qëndrosh më larg nga fillimi i sekuencës, vlere absolute mund të jetë ose më i madh ose më i vogël se elementi "junior").

Shprehja për progresionin e ndryshimit d duhet të zëvendësohet në cilindo nga ekuacionet në fillim të zgjidhjes së problemit për të marrë vlerën e termit të parë.

Në epokën tonë të zhvillimit teknologji kompjuterike Shumë nxënës përpiqen të gjejnë zgjidhje për detyrat e tyre në internet, kështu që shpesh lindin pyetje të këtij lloji: gjeni ndryshimin e një progresion aritmetik në internet. Për një kërkesë të tillë, motori i kërkimit do të kthejë një numër faqesh në internet, duke shkuar në të cilat do t'ju duhet të vendosni të dhënat e njohura nga kushti (kjo mund të jetë ose dy terma të progresionit ose shuma e një numri të caktuar të tyre ) dhe merrni menjëherë një përgjigje. Sidoqoftë, kjo qasje për zgjidhjen e problemit është joproduktive për sa i përket zhvillimit të studentit dhe kuptimit të thelbit të detyrës që i është caktuar.

Zgjidhje pa përdorur formula

Le të zgjidhim problemin e parë pa përdorur asnjë nga formulat e dhëna. Le të jepen elementet e serisë: a6 = 3, a9 = 18. Gjeni ndryshimin e progresionit aritmetik.

Elementet e njohur qëndrojnë pranë njëri-tjetrit në një rresht. Sa herë duhet t'i shtohet diferenca d më të voglit për të marrë më të madhin? Tre herë (herën e parë duke shtuar d, marrim elementin e 7-të, herën e dytë - të tetën, më në fund, herën e tretë - të nëntën). Cilin numër duhet t'i shtohet tre tre herë për të marrë 18? Ky është numri pesë. Vërtet:

Kështu, ndryshimi i panjohur d = 5.

Sigurisht, zgjidhja mund të arrihet duke përdorur formula përkatëse, por kjo nuk është bërë qëllimisht. Shpjegim i detajuar zgjidhja e problemit duhet të bëhet e qartë dhe një shembull i ndritshëmÇfarë është një progresion aritmetik?

Një detyrë e ngjashme me atë të mëparshme

Tani le të zgjidhim një problem të ngjashëm, por ndryshojmë të dhënat hyrëse. Pra, duhet të gjeni nëse a3 = 2, a9 = 19.

Natyrisht, përsëri mund të drejtoheni në metodën e zgjidhjes "kokë-më". Por meqenëse janë dhënë elementët e serisë, të cilat janë relativisht larg njëri-tjetrit, kjo metodë nuk do të jetë plotësisht e përshtatshme. Por përdorimi i formulës që rezulton do të na çojë shpejt në përgjigjen:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Këtu kemi rrumbullakosur numri përfundimtar. Shkalla në të cilën ky rrumbullakim çoi në një gabim mund të gjykohet duke kontrolluar rezultatin:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Ky rezultat ndryshon vetëm me 0,1% nga vlera e dhënë në kusht. Prandaj, rrumbullakimi i përdorur në të qindtat më të afërta mund të konsiderohet një zgjedhje e suksesshme.

Problemet që përfshijnë zbatimin e formulës për termin an

Le të shqyrtojmë shembull klasik detyra për të përcaktuar të panjohurën d: gjeni ndryshimin e progresionit aritmetik nëse a1 = 12, a5 = 40.

Kur jepen dy numra të një të panjohure sekuencë algjebrike, dhe një prej tyre është elementi a 1, atëherë nuk keni nevojë të mendoni gjatë, por duhet të aplikoni menjëherë formulën për anëtarin a n. Në këtë rast kemi:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Ne morëm numrin e saktë gjatë pjesëtimit, kështu që nuk ka kuptim të kontrollojmë saktësinë e rezultatit të llogaritur, siç u bë në paragrafin e mëparshëm.

Le të zgjidhim një problem tjetër të ngjashëm: duhet të gjejmë ndryshimin e një progresion aritmetik nëse a1 = 16, a8 = 37.

Ne përdorim një qasje të ngjashme me atë të mëparshme dhe marrim:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Çfarë tjetër duhet të dini për progresionin aritmetik?

Përveç problemeve të gjetjes së një ndryshimi të panjohur ose elemente individuale, shpesh është e nevojshme të zgjidhen problema të shumës së termave të parë të një sekuence. Shqyrtimi i këtyre detyrave është përtej qëllimit të artikullit, megjithatë, për plotësinë e informacionit që ne paraqesim formulë e përgjithshme për shumën e n numrave në një seri: