Funksioni y = x2 dhe grafiku i tij - Hipermarketi i njohurive. Video tutoriale me parabola

Si të ndërtoni një parabolë? Ka disa mënyra për të grafikuar një funksion kuadratik. Secila prej tyre ka të mirat dhe të këqijat e veta. Le të shqyrtojmë dy mënyra.

Le të fillojmë duke vizatuar një funksion kuadratik të formës y=x²+bx+c dhe y= -x²+bx+c.

Shembull.

Grafikoni funksionin y=x²+2x-3.

Zgjidhja:

y=x²+2x-3 është një funksion kuadratik. Grafiku është një parabolë me degë lart. Koordinatat e kulmit të parabolës

Nga kulmi (-1;-4) ndërtojmë grafikun e parabolës y=x² (nga origjina e koordinatave. Në vend të (0;0) - kulmi (-1;-4) Nga (-1; -4) ne shkojmë djathtas me 1 njësi dhe lart, pastaj majtas me 1 dhe lart me 1 pastaj: 2 - djathtas, 4 - lart, 2 - majtas, 3 - lart, 3 -; majtas, 9 - lart Nëse këto 7 pikë nuk janë të mjaftueshme, atëherë 4 në të djathtë, 16 në krye, etj.).

Grafiku i funksionit kuadratik y= -x²+bx+c është një parabolë, degët e së cilës janë të drejtuara poshtë. Për të ndërtuar një grafik, kërkojmë koordinatat e kulmit dhe prej tij ndërtojmë një parabolë y= -x².

Shembull.

Grafikoni funksionin y= -x²+2x+8.

Zgjidhja:

y= -x²+2x+8 është një funksion kuadratik. Grafiku është një parabolë me degë poshtë. Koordinatat e kulmit të parabolës

Nga lart ndërtojmë një parabolë y= -x² (1 - në të djathtë, 1- poshtë; 1 - majtas, 1 - poshtë; 2 - djathtas, 4 - poshtë; 2 - majtas, 4 - poshtë, etj.):

Kjo metodë ju lejon të ndërtoni një parabolë shpejt dhe nuk është e vështirë nëse dini të grafikoni funksionet y=x² dhe y= -x². Disavantazhi: nëse koordinatat e kulmit janë numrat thyesorë, ndërtimi i një grafiku nuk është shumë i përshtatshëm. Nëse keni nevojë të dini vlerat e sakta pikat e prerjes së grafikut me boshtin Ox, do të duhet të zgjidhni shtesë ekuacionin x²+bx+c=0 (ose -x²+bx+c=0), edhe nëse këto pika mund të përcaktohen drejtpërdrejt nga vizatimi.

Një mënyrë tjetër për të ndërtuar një parabolë është me pika, domethënë, mund të gjeni disa pika në grafik dhe të vizatoni një parabolë përmes tyre (duke marrë parasysh që drejtëza x=xₒ është boshti i saj i simetrisë). Zakonisht për këtë marrin kulmin e parabolës, pikat e prerjes së grafikut me boshtet koordinative dhe 1-2 pika shtesë.

Vizatoni një grafik të funksionit y=x²+5x+4.

Zgjidhja:

y=x²+5x+4 është një funksion kuadratik. Grafiku është një parabolë me degë lart. Koordinatat e kulmit të parabolës

pra kulmi i parabolës është pika (-2,5; -2,25).

Kërkojnë. Në pikën e prerjes me boshtin Ox y=0: x²+5x+4=0. Rrënjët ekuacioni kuadratik x1=-1, x2=-4, pra morëm dy pikë në grafikun (-1; 0) dhe (-4; 0).

Në pikën e prerjes së grafikut me boshtin Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Morëm pikën (0; 4).

Për të sqaruar grafikun, mund të gjeni një pikë shtesë. Le të marrim x=1, pastaj y=1²+5∙1+4=10, domethënë, një pikë tjetër në grafik është (1; 10). Ne i shënojmë këto pika plan koordinativ. Duke marrë parasysh simetrinë e parabolës në lidhje me vijën që kalon nëpër kulmin e saj, ne shënojmë dy pika të tjera: (-5; 6) dhe (-6; 10) dhe vizatojmë një parabolë përmes tyre:

Grafikoni funksionin y= -x²-3x.

Zgjidhja:

y= -x²-3x është një funksion kuadratik. Grafiku është një parabolë me degë poshtë. Koordinatat e kulmit të parabolës

Kulmi (-1,5; 2,25) është pika e parë e parabolës.

Në pikat e prerjes së grafikut me boshtin x y=0, pra zgjidhim ekuacionin -x²-3x=0. Rrënjët e tij janë x=0 dhe x=-3, pra (0;0) dhe (-3;0) - dy pika të tjera në grafik. Pika (o; 0) është gjithashtu pika e prerjes së parabolës me boshtin e ordinatave.

Në x=1 y=-1²-3∙1=-4, domethënë (1; -4) është një pikë shtesë për vizatim.

Ndërtimi i një parabole nga pikat është një metodë më punë intensive në krahasim me të parën. Nëse parabola nuk e pret boshtin Ox, pikë shtesë do të nevojiten më shumë.

Përpara se të vazhdojmë të ndërtojmë grafikët e funksioneve kuadratike të formës y=ax²+bx+c, le të shqyrtojmë ndërtimin e grafikëve të funksioneve duke përdorur transformime gjeometrike. Është gjithashtu më e përshtatshme për të ndërtuar grafikët e funksioneve të formës y=x²+c duke përdorur një nga këto transformime - përkthimin paralel.

Forma y = kx + m me dy ndryshore x, y. Vërtetë, variablat x, y, që shfaqen në këtë ekuacion (në këtë model matematikor) u konsideruan të pabarabarta: x është një variabël (argument) i pavarur, të cilit mund t'i caktojmë çdo vlerë, pavarësisht nga çdo gjë; y është një ndryshore e varur sepse vlera e saj varej nga ajo vlerë e x-së u zgjodh. Por atëherë lind një pyetje e natyrshme: a takohen? modele matematikore të të njëjtit plan, por ato në të cilat y shprehet përmes x jo sipas formulës y = kx + m, por në ndonjë mënyrë tjetër? Përgjigja është e qartë: sigurisht që e bëjnë. Nëse, për shembull, x është brinja e një katrori dhe y është e tij
zona, pastaj y - x 2. Nëse x është ana e një kubi dhe y është vëllimi i tij, atëherë y - x 3. Nëse x është njëra anë e një drejtkëndëshi, sipërfaqja e të cilit është 100 cm 2, dhe y është ana tjetër e tij, atëherë. Prandaj, është e natyrshme që në matematikë nuk kufizohen në studimin e modelit y-kx + m ata duhet të studiojnë modelin y = x 2, dhe modelin y = x 3, dhe modelin, dhe shumë modele të tjera; kanë të njëjtën strukturë: në anën e majtë të ekuacionit ka një ndryshore y, dhe në të djathtë ka një shprehje me ndryshoren x. Për modele të tilla, termi "funksion" ruhet, duke lënë jashtë mbiemrin "linear".

Në këtë seksion do të shqyrtojmë funksionin y = x 2 dhe do ta ndërtojmë atë orarin.

Le të japim variablin e pavarur x disa vlera specifike dhe llogaritni vlerat përkatëse të ndryshores së varur y (duke përdorur formulën y = x 2):

nëse x = 0, atëherë y = O 2 = 0;
nëse x = 1, atëherë y = I 2 = 1;
nëse x = 2, atëherë y = 2 2 = 4;
nëse x = 3, atëherë y = 3 2 = 9;
nëse x = - 1, atëherë y = (- I 2) - 1;
nëse x = - 2, atëherë y = (- 2) 2 = 4;
nëse x = - 3, atëherë y = (- 3) 2 = 9;
Shkurtimisht, ne kemi përpiluar tabelën e mëposhtme:

Të ndërtojmë pikat e gjetura (0; 0), (1; 1), (2; 4), 93; 9), (-1; 1), (- 2; 4), (- 3; 9), në planin koordinativ xOy (Fig. 54, a).

Këto pika janë të vendosura në një vijë të caktuar, le ta vizatojmë atë (Fig. 54, b). Kjo linjë quhet parabolë.

Sigurisht, në mënyrë ideale do të jepnim argumentin x gjithçka vlerat e mundshme, llogaritni vlerat përkatëse të ndryshores y dhe vizatoni pikat që rezultojnë (x; y). Atëherë orari do të ishte absolutisht i saktë, i patëmetë. Megjithatë, kjo është joreale, sepse ka pafundësisht shumë pika të tilla. Kjo është arsyeja pse matematikanët e bëjnë këtë: ata marrin grup i kufizuar pikat, ndërto mbi to plan koordinativ dhe shikoni se cila vijë përvijohet nga këto pika. Nëse konturet e kësaj linje duken mjaft qartë (siç ishte rasti për ne, le të themi, në shembullin 1 nga § 28), atëherë kjo vijë është tërhequr. A janë të mundshme gabimet? Jo pa të. Kjo është arsyeja pse ne duhet të studiojmë matematikën gjithnjë e më thellë, në mënyrë që të kemi mjetet për të shmangur gabimet.

Le të përpiqemi, duke parë figurën 54, të përshkruajmë vetitë gjeometrike parabolat.

Së pari, vërejmë se parabola duket mjaft bukur sepse ka simetri. Në fakt, nëse vizatoni ndonjë vijë të drejtë paralele me boshtin x mbi boshtin x, atëherë kjo vijë e drejtë do të presë parabolën në dy pika të vendosura në distanca të barabarta nga boshti y, por përgjatë anët e ndryshme prej tij (Fig. 55). Nga rruga, e njëjta gjë mund të thuhet për pikat e shënuara në Figurën 54, a:

(1; 1) dhe (- 1; 1); (2; 4) dhe (-2; 4); C; 9) dhe (-3; 9).

Ata thonë se boshti y është boshti i simetrisë së parabolës y=x2 ose se parabola është simetrike në lidhje me boshtin y.

Së dyti, vërejmë se boshti i simetrisë duket se e pret parabolën në dy pjesë, të cilat zakonisht quhen degët e parabolës.

Së treti, vërejmë se parabola ka pikë njëjës, në të cilin takohen të dy degët dhe që shtrihet në boshtin e simetrisë së parabolës - pika (0; 0). Nisur nga veçoria e saj, ajo u caktua emër i veçantë- kulmi i parabolës.

Së katërti kur një degë e një parabole lidhet në kulm me një degë tjetër, kjo ndodh pa probleme, pa ndërprerje; parabola duket se është "shtypur" në boshtin x. Zakonisht ata thonë: një parabolë prek boshtin x.

Tani le të përpiqemi, duke parë figurën 54, të përshkruajmë disa veti të funksionit y = x 2.

Së pari, vërejmë se y - 0 në x = 0, y > 0 në x > 0 dhe në x< 0.

Së dyti, shënojmë se emri y. = 0, por naib nuk ekziston.

Së treti, vërejmë se funksioni y = x 2 zvogëlohet në rreze (-°°, 0] - me këto vlera të x, duke lëvizur përgjatë parabolës nga e majta në të djathtë, ne "zbrisim kodrën" (shih Fig. 55 Funksioni y = x 2 rritet në rreze;
b) në segmentin [- 3, - 1.5];
c) në segmentin [- 3, 2].

Zgjidhje,

a) Të ndërtojmë një parabolë y = x 2 dhe të zgjedhim atë pjesë të saj që korrespondon me vlerat e ndryshores x nga segmenti (Fig. 56). Për pjesën e përzgjedhur të grafikut gjejmë te emri. = 1 (në x = 1), y max. = 9 (në x = 3).

b) Të ndërtojmë një parabolë y = x 2 dhe të zgjedhim atë pjesë të saj që korrespondon me vlerat e ndryshores x nga segmenti [-3, -1.5] (Fig. 57). Për pjesën e zgjedhur të grafikut, gjejmë emrin y. = 2,25 (në x = - 1,5), y max. = 9 (në x = - 3).

c) Të ndërtojmë një parabolë y = x 2 dhe të zgjedhim atë pjesë të saj që korrespondon me vlerat e ndryshores x nga segmenti [-3, 2] (Fig. 58). Për pjesën e përzgjedhur të grafikut gjejmë y max = 0 (në x = 0), y max. = 9 (në x = - 3).

Këshilla. Për të shmangur vizatimin e funksionit y - x 2 pikë për pikë çdo herë, hiqni një shabllon parabole nga letra e trashë. Me ndihmën e saj ju do të vizatoni një parabolë shumë shpejt.

Komentoni. Duke ju ftuar të përgatisni një shabllon parabole, duket se po barazojmë të drejtat e funksionit y = x 2 dhe funksion linear y = kx + m. Në fund të fundit, orari funksion linearështë një vijë e drejtë, dhe për të përshkruar një vijë të drejtë, përdoret një vizore e zakonshme - ky është modeli për grafikun e funksionit y = kx + m. Pra, le të keni një shabllon për grafikun e funksionit y = x 2.

Shembulli 2. Gjeni pikat e kryqëzimit të parabolës y = x 2 dhe drejtëzës y - x + 2.

Zgjidhje. Le të ndërtojmë në një sistem koordinativ parabolën y = x 2 dhe drejtëzën y ​​= x + 2 (Fig. 59). Ato kryqëzohen në pikat A dhe B dhe nga vizatimi nuk është e vështirë të gjenden koordinatat e këtyre pikave A dhe B: për pikën A kemi: x = - 1, y = 1, dhe për pikën B kemi: x. - 2, y = 4.

Përgjigje: parabola y = x 2 dhe drejtëza y = x + 2 priten në dy pika: A (-1; 1) dhe B (2; 4).

Shënim i rëndësishëm. Deri më tani, ne kemi qenë mjaft të guximshëm në nxjerrjen e përfundimeve duke përdorur vizatimin. Sidoqoftë, matematikanët nuk u besojnë shumë vizatimeve. Pasi ka zbuluar në figurën 59 dy pika të kryqëzimit të një parabole dhe një vijë të drejtë dhe pasi ka përcaktuar koordinatat e këtyre pikave duke përdorur vizatimin, matematikani zakonisht kontrollon veten: nëse pika (-1; 1) shtrihet në të dy vijën e drejtë. dhe parabola; a qëndron vërtet pika (2; 4) si në një vijë të drejtë ashtu edhe në një parabolë?

Për ta bërë këtë, ju duhet të zëvendësoni koordinatat e pikave A dhe B në ekuacionin e vijës së drejtë dhe në ekuacionin e parabolës, dhe më pas sigurohuni që në të dyja rastet të merret barazia e saktë. Në shembullin 2, në të dyja rastet barazitë do të jenë të vërteta. Ky kontroll kryhet veçanërisht shpesh kur ka dyshime për saktësinë e vizatimit.

Si përfundim, vërejmë një veti interesante të parabolës, të zbuluar dhe provuar së bashku nga fizikanët dhe matematikanët.

Nëse e konsiderojmë parabolën y = x 2 si një ekran, si një sipërfaqe reflektuese dhe vendosim një burim drite në pikë, atëherë rrezet, të reflektuara nga parabola e ekranit, formojnë një rreze paralele drite (Fig. 60) . Pika quhet fokusi i parabolës. Kjo ide përdoret në makina: sipërfaqja reflektuese e fenerit ka një formë parabolike, dhe llamba e dritës vendoset në pikën qendrore - atëherë drita nga feneri përhapet mjaft larg.

Planifikimi kalendar-tematik në matematikë, video në matematikë online, Matematika në shkollë shkarko

A. V. Pogorelov, Gjeometria për klasat 7-11, Libër mësuesi për institucionet arsimore