Klasa, grupe, grupe, sisteme. I njëjti objekt mund të ketë shumë modele, dhe objekte të ndryshme mund të përshkruhen nga një model

Analiza matematikore është dega e matematikës që merret me studimin e funksioneve bazuar në idenë e një funksioni infinitimal.

Konceptet bazë analiza matematikore janë madhësi, grup, funksion, i pafund funksion i vogël, limit, derivat, integral.

MadhësiaÇdo gjë që mund të matet dhe të shprehet me numër quhet.

Shumëështë një koleksion i disa elementeve të bashkuar nga disa tipar i përbashkët. Elementet e një grupi mund të jenë numra, figura, objekte, koncepte etj.

Kompletet shënohen me shkronja të mëdha, dhe ka shumë elementë shkronja te vogla. Elementet e grupeve janë të mbyllura në mbajtëse kaçurrelë.

Nëse elementi x i përket grupit X, pastaj shkruani x∈X (∈ - i përket).
Nëse grupi A është pjesë e grupit B, atëherë shkruani A ⊂ B (⊂ - të përmbajtura).

Një grup mund të përcaktohet në një nga dy mënyrat: me numërim dhe duke përdorur një veçori përcaktuese.

• A=(1,2,3,5,7) - grup numrash
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) - grup i disa elementeve x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) - bashkësi numrash natyrorë
• Z=(0,±1,±2,...,±n) - bashkësi numrash të plotë

Bashkësia (-∞;+∞) thirret rreshti numerik, dhe çdo numër është një pikë në këtë linjë. le një - pikë arbitrare vija numerike dhe δ - numër pozitiv. Quhet intervali (a-δ; a+δ). δ-lagja e pikës a.

Një grup X është i kufizuar nga lart (nga poshtë) nëse ka një numër c të tillë që për çdo x ∈ X vlen pabarazia x≤с (x≥c). Numri c në këtë rast quhet buza e sipërme (e poshtme). grupi X. Një grup i kufizuar si sipër ashtu edhe poshtë quhet kufizuar. Më e vogla (më e madhe) e faqeve të sipërme (të poshtme) të një grupi quhet skaji i saktë i sipërm (poshtë). të kësaj shumice.

Kompletet bazë të numrave

Nëse një grup nuk përmban një element të vetëm, atëherë thirret grup bosh dhe regjistrohet Ø .

Elemente të simbolizmit logjik

Shënimi ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Kuantifikuesit përdoren shpesh gjatë shkrimit të shprehjeve matematikore.

Kuantifikues quhet simbol logjik që karakterizon elementet që e ndjekin në aspektin sasior.

• ∀- sasior i përgjithshëm, përdoret në vend të fjalëve "për të gjithë", "për këdo".
• ∃- sasior i ekzistencës, përdoret në vend të fjalëve "ekziston", "është në dispozicion". Përdoret edhe kombinimi i simboleve ∃, i cili lexohet sikur ka vetëm një.

Vendosni operacionet

Dy grupet A dhe B janë të barabarta(A=B) nëse përbëhen nga të njëjtat elementë.
Për shembull, nëse A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) atëherë A=B.

Sipas bashkimit (shumës) grupet A dhe B është një bashkësi A ∪ B, elementët e të cilit i përkasin të paktën njërës prej këtyre bashkësive.
Për shembull, nëse A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), atëherë A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Sipas kryqëzimit (produkti) bashkësitë A dhe B quhet bashkësia A ∩ B, elementet e së cilës i përkasin bashkësisë A dhe bashkësisë B.
Për shembull, nëse A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), atëherë A ∩ B = (2,4)

Nga dallimi Bashkësitë A dhe B quhen bashkësia AB, elementet e së cilës i përkasin bashkësisë A, por nuk i përkasin bashkësisë B.
Për shembull, nëse A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), atëherë AB = (1,2)

Dallimi simetrik bashkësitë A dhe B quhet bashkësia A Δ B, e cila është bashkimi i dallimeve të bashkësive AB dhe BA, pra A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Për shembull, nëse A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), atëherë A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5,6)

Vetitë e operacioneve të grupit

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Komplete të numërueshme dhe të panumërueshme

Për të krahasuar çdo dy grupe A dhe B, krijohet një korrespondencë midis elementeve të tyre.

Nëse kjo korrespodencë është një me një, atëherë grupet quhen ekuivalente ose po aq të fuqishme, A B ose B A.

Bashkësia e pikave në këmbën BC dhe hipotenuza AC e trekëndëshit ABC janë me fuqi të barabartë.

Elementet e mësimdhënies së paragrafit:

Historicizmi në zhvillimin e konceptit të modelit.

Sistemi

Vetitë

Marrëdhënia ndërmjet elementeve.

Përkufizimi i modelit të konceptit.

Koncepti i një modeli ka pësuar ndryshime të rëndësishme në zhvillimin e shkencës.

Fillimisht, një model quhej një pajisje ndihmëse, një objekt që në një situatë të caktuar zëvendësonte një objekt tjetër. Në të njëjtën kohë, universaliteti i ligjeve të natyrës dhe universaliteti i modelimit, d.m.th., nuk u kuptuan menjëherë. jo thjesht një mundësi, por edhe një domosdoshmëri për të përfaqësuar çdo njohuri tonë në formën e modeleve.

Për shembull, filozofët e lashtë e konsideronin të pamundur modelimin e proceseve natyrore, pasi, sipas ideve të tyre, proceset natyrore dhe artificiale iu bindeshin ligjeve të ndryshme. Ata besonin se natyra mund të përshkruhet vetëm me ndihmën e logjikës, debatit, arsyetimit, d.m.th. sipas terminologjisë moderne, modeleve gjuhësore.

Disa shekuj më vonë, motoja e Shoqërisë Mbretërore Shkencore Angleze u bë slogani "asgjë me fjalë". U pranuan vetëm përfundimet e mbështetura nga llogaritjet eksperimentale ose matematikore. Si rezultat, për një kohë shumë të gjatë koncepti i "modelit" zbatohej vetëm për objektet materiale.

Vetëm më vonë u realizuan vetitë model të vizatimeve, vizatimeve, hartave - objekte reale me origjinë artificiale, që mishërojnë abstraksione të një niveli mjaft të lartë. Hapi tjetër ishte njohja se jo vetëm objektet reale, por edhe strukturat ideale, abstrakte, për shembull, modelet matematikore, mund të shërbejnë si modele.

Duhet kujtuar se çdo objekt (origjinal) është SISTEM. Formalisht, sistemi mund të përfaqësohet nga relacioni i mëposhtëm:

S= (E, P, R)→ C

Një sistem përbëhet nga SHUMË elementë E, me VETITË e caktuara R dhe të lidhura me MARRËDHËNIE të caktuara R. Sistemi realizon një qëllim specifik ME.

Në një kuptim të caktuar, modeli është gjithashtu një sistem:

s=(e , p , r )→ s

Me marrëdhënie, R do të kuptojmë ndërvarësinë ose ndërveprimin e dy ose më shumë objekteve ose fenomeneve materiale ose abstrakte. Marrëdhëniet e ndërveprimit mund të jenë materiale, energjike ose informative. Dallohen këto marrëdhënie të ndërvarësisë: ngjashmëri, identitet, analogji, homomorfizëm, izomorfizëm, shkak - pasojë, qëllim - mjet, lidhje (renditëse, paralele, e kundërt, e kombinuar). Ndërvarësia mund të jetë gjithashtu funksionale, logjike, hapësinore dhe kohore. Për më tepër, mund të ketë marrëdhënie midis objekteve A, B, C:

refleksiviteti – A=A

simetria – A=B dhe B=A

kalueshmëria – A=B, B=C, A=C

ekuivalenca – nëse plotësohen tre marrëdhëniet e para.

Vetia P është një relacion i shembur (një vend).

Ashtu si me konceptin "sistem", ka shumë përkufizime të konceptit "model". Ne do t'i përmbahemi sa vijon:

Model në një kuptim të përgjithshëm, ekziston një objekt specifik i krijuar me qëllim të marrjes dhe (ose) ruajtjes së informacionit në formën e një imazhi mendor, përshkrimi me mjete simbolike (formula, grafikë, etj.), ose një objekt material, që pasqyron vetitë, karakteristikat dhe lidhjet e objektit origjinal të natyrës arbitrare, thelbësore për problemin e zgjidhur nga një person.

Nga ky përkufizim rezulton se koncepti i një modeli nuk mund të kufizohet vetëm në atë që drejtpërdrejt quhet model.

Diagrami në Figurën 1.1 tregon modelin si një marrëdhënie shumë-vendëshe midis "subjektit" - iniciatorit të modelimit dhe (ose) përdoruesit të rezultateve të tij; “objekt origjinal” është objekt i modelimit; “model” - shfaqja e një objekti; “mjedis” në të cilin ndodhen dhe ndërveprojnë të gjithë elementët e këtij grupi. Mund të themi shkurt se modeli është një pasqyrim sistematik i origjinalit.

Çdo objekt material korrespondon me modele të panumërta të ndryshme që lidhen me detyra të ndryshme. Prandaj, ekzistojnë disa kritere për klasifikimin e modeleve.

Pyetje për vetëkontroll dhe përgatitje për MK:

Si ka ndryshuar koncepti i një modeli me zhvillimin e shkencës?

Cila është marrëdhënia midis elementeve në një sistem?

Si përcaktohet aktualisht koncepti i modelit?

A mundet një objekt origjinal të ketë shumë modele?

Gjeni në enciklopedi përkufizime të koncepteve për llojet dhe llojet e marrëdhënieve të ndërvarësisë.

Cilat marrëdhënie u konsideruan në sisteme, të studiuara në fizikë, matematikë dhe shkenca kompjuterike?

Në disa grupe të hapura (d.m.th., ato që nuk përmbajnë pikat e tyre kufitare), mund të vërehet një mospërputhje serioze në dimensione.

Seti i pikave fundore të tre pluhurit Cantor është i ngjashëm dhe karakterizohet nga të njëjtat vlera dhe si i gjithë pluhuri Cantor, d.m.th. dimensioni i ngjashmërisë së tij përkon me dimensionin e ngjashmërisë së pluhurit të Cantor-it. Megjithatë, ai është i numërueshëm, që do të thotë se dimensioni i tij Hausdorff–Besicovitch është zero. Nëse shtojmë këtu pikat kufizuese të pluhurit, atëherë marrim vetë pluhurin e Cantor-it dhe mospërputhja do të zhduket "në favor" të dimensionit të ngjashmërisë, që për këtë grup është një karakteristikë më e rëndësishme.

Një shembull tjetër i thjeshtë, të cilin unë e quaj grupi Besicovich, diskutohet në seksionin mbi fraktale jo-lakunare, 3.

Dimensioni Furier dhe heuristika

Lë të jetë një funksion jo në rënie të . Nëse intervalet maksimale të hapura në të cilat vlera është konstante shtohen me komplementin e grupit të mbyllur, atëherë themi se grupi është një mbështetje për . Transformimi Fourier–Stieltjes i funksionit ka formën

Funksionet më të buta japin shkallën më të lartë të mundshme të reduktimit. Le të shënojmë me numrin real më të madh për të cilin të paktën një funksion me mbështetje plotëson barazinë

për të gjithë,

por asnjëra prej tyre nuk kënaq

në për disa.

Shprehja "at" do të thotë këtu se . Kur grupi mbush të gjithë intervalin, madhësia është e pafundme. Dhe anasjelltas, kur ka një pikë - e vetmja, . Interesante, kur përfaqëson një grup të masës Lebesgue zero, sasia është e fundme dhe nuk e kalon dimensionin Hausdorff-Besicovich të këtij grupi. Pabarazia tregon se vetitë fraktale dhe harmonike të një grupi fraktal janë të ndërlidhura, por jo domosdoshmërisht përkojnë.

Për të vërtetuar se këto dimensione mund të ndryshojnë, supozoni se është një grup në një vijë, dhe dimensioni i tij është i barabartë me . Nëse e konsiderojmë si një grup në një plan, atëherë dimensioni nuk do të ndryshojë, por do të bëhet zero.

Përkufizimi. Si një mënyrë e përshtatshme për të përgjithësuar disa veti harmonike, unë propozoj që sasia të quhet dimensioni Furier i grupit.

Komplete Salem. Barazia përshkruan një kategori të tërë grupesh të quajtura grupe unike, ose grupe Salem (shih).

Rregulla e gishtit dhe heuristika. Fraktalet që na interesojnë në studimet precedente rezultojnë, si rregull, të jenë grupe Salem. Meqenëse vlera në shumë raste përcaktohet lehtësisht nga të dhënat eksperimentale, ajo mund të përdoret për të vlerësuar .

Komplete jo të rastësishme të Salem. Pluhuri jo i rastësishëm Cantor është një grup Salem vetëm nëse koeficienti plotëson disa veti teorike të numrave.

Komplete të rastësishme Salem. Pluhuri i rastësishëm Cantor është një grup Salem kur rastësia e tij është mjaft e madhe për të shkelur çdo rregullsi aritmetike.

Shembulli origjinal, i propozuar nga vetë R. Salem, është shumë kompleks. Si shembull alternativ, mund të citojmë pluhurin Levy: tregohet se spektri (këtu - shkalla Levy, shih Fig. 399) mesatarisht pothuajse përkon me spektrin e funksionit fraksional Brownian nga vija e drejtë në vijë të drejtë dhe është një versioni i zbutur i spektrit të funksionit Gauss–Weierstrass.

Monografia (teoremat 1, f. 165 dhe 5, f. 173) tregon se imazhi i një grupi kompakt me dimension në lidhje me një funksion të pjesshëm Brownian nga rreshti në rresht me eksponent është një grup Salem me dimension .

Pluhuri Cantor nuk është një grup Salem. Pluhuri i Trinity Cantor-it lindi në një kohë si rezultat i kërkimit të Georg Cantor-it për grupin e veçantisë (shih, I, f. 196), një kërkim që nuk u kurorëzua me sukses. (Më pas Cantor braktisi analizën harmonike dhe - për mungesë të ndonjë gjëje më të mirë - krijoi teorinë e grupeve.) Le të shënojmë shkallën e Cantor-it me . Spektri ka të njëjtën formë të përgjithshme si spektri, por, ndryshe nga ky i fundit, përmban një numër majash të mprehta të vendosura rastësisht me madhësi jo në rënie, nga të cilat mund të konkludojmë se. Cm .

Për teorinë e grupeve unike, prania e këtyre majave luan një rol vendimtar, por në praktikë ato nuk janë aspak aq domethënëse. Në shumicën e rasteve, kur vlerësohet dendësia spektrale, majat injorohen dhe merret parasysh vetëm forma e përgjithshme e spektrit, e përcaktuar nga dimensioni.

Pika e mesme dhe shumëkëndëshat me ndërprerje

Materiali mbi këtë temë (në lidhje me kthesat e Peano) mund të gjendet në Kapitullin XII të Fractals 1977.

Analiza statistikore duke përdorur diapazonin e normalizuar

Deri kohët e fundit, statistikat e aplikuara merrnin të mirëqenë dy supozimet e mëposhtme për seritë kohore: supozohej se dhe se ndryshorja e rastësishme ka një varësi afatshkurtër. Megjithatë, kam treguar (shih Kapitullin 37), se sekuencat empirike të të dhënave me bisht të gjatë shpesh interpretohen më mirë në dritën e supozimit. Për herë të parë u ndeshën me pyetjen nëse kjo apo ajo sekuencë të dhënash është e varur dobët (afatshkurtër) ose fort (afatgjatë) kur prezantova varësinë afatgjatë për të interpretuar fenomenin Hurst (shih Kapitullin 27).

Kjo përzierje e bishtave të gjata dhe varësisë shumë afatgjatë mund t'i çojë statisticienët në një rrugë pa krye, pasi metodat standarde të rendit të dytë, të dizajnuara për varësi të vazhdueshme (korrelacion, spektra), udhëhiqen nga supozimi . Hani. Megjithatë, ekziston një alternativë.

Ju mund të neglizhoni shpërndarjen e sasisë dhe të analizoni varësinë e saj afatgjatë duke përdorur diapazonin e normalizuar; Përndryshe, kjo procedurë quhet analizë. Kjo metodë statistikore, e propozuar dhe e justifikuar matematikisht në, bazohet në dallimin midis varësive afatshkurtra dhe shumë afatgjata. Në këtë metodë, futet një konstante, e cila quhet koeficienti Hurst, ose - eksponent, dhe mund të marrë çdo vlerë në intervalin nga 0 në 1.

Rëndësia e një konstante mund të përshkruhet edhe para se të përcaktohet. Me rëndësi të veçantë është karakteristikë e funksioneve të pavarura, Markov dhe të tjera të rastësishme me varësi afatshkurtër. Kështu, për të ditur nëse një varësi statistikore jo periodike shumë afatgjatë është e pranishme në të dhënat empirike ose në funksionet e mostrës, mjafton të kontrollohet nëse supozimi është statistikisht i pranueshëm. Nëse jo, atëherë një varësi e tillë është e pranishme dhe masa e intensitetit të saj përcaktohet nga diferenca, vlera e së cilës mund të vlerësohet bazuar në të dhënat e disponueshme.

Avantazhi kryesor i kësaj qasjeje është se treguesi është i qëndrueshëm në lidhje me shpërndarjen margjinale. Kjo do të thotë, është efektive jo vetëm në rastet kur sekuencat e të dhënave ose funksionet e rastësishme janë gati Gaussian, por edhe kur shpërndarja është aq larg nga Gaussian-i sa divergjent, në këtë rast asnjë nga metodat e rendit të dytë nuk funksionon.

Përkufizimi i statistikave - fushëveprimi. Në kohë të vazhdueshme përcaktojmë , Dhe . Në kohë diskrete ne përcaktojmë dhe ; këtu është e gjithë pjesa. Për secilën (le të quajmë vonesë të vlerës) ne përcaktojmë diapazonin e rregulluar të shumës në intervalin kohor nga 0 në formë

Madhësia quhet diapazoni statistikor ose diapazoni i vetë-korrigjuar i vetë-normalizuar i shumës.

Përkufizimi - tregues Supozoni se ka një numër real të tillë që kur vlera konvergon në shpërndarje në disa ndryshore të rastësishme kufizuese jo të degjeneruara. Siç vërtetohet në , nga ky supozim del se . Në këtë rast, ata thonë se funksioni ka një eksponent dhe një parafaktor konstant.

Le të bëjmë një supozim më të përgjithshëm: le relacionin , ku është një funksion që ndryshon ngadalë në pafundësi, d.m.th. funksion që plotëson kushtin në për të gjithë. Shembulli më i thjeshtë i një funksioni të tillë është . Në këtë rast, funksioni thuhet se ka - eksponent dhe - parafaktor.

Rezultatet kryesore. Kur - zhurma e bardhë Gaussian, kemi gjithashtu një parafaktor konstant. Më saktësisht, qëndrimi është një funksion i rastësishëm i palëvizshëm i .

Në përgjithësi, barazia është e vërtetë në të gjitha rastet kur , dhe shuma e normalizuar në konvergjon dobët në .

Kur është zhurma fraksionale diskrete Gaussian (d.m.th. një sekuencë e rritjeve të funksionit, shih f. 488), kemi , ku .

Në përgjithësi, për të marrë një parafaktor konstant mjafton që dhe kështu që shuma i afrohet funksionit në mënyrë që .

Në përgjithësi, kuptimi dhe parafaktori mbizotërojnë nëse , dhe i afrohet funksionit dhe plotëson relacionin .

Dhe së fundi, nëse , por i afrohet një funksioni të rastësishëm të pandryshueshëm në shkallë jo-Gaussian me eksponent . Shembujt mund të gjenden në.

Nga ana tjetër, nëse është zhurmë e bardhë e qëndrueshme ndaj Levy (d.m.th.), atëherë .

Kur një funksion bëhet i palëvizshëm si rezultat i diferencimit, atëherë .

Stacionariteti. Shkallët e stacionaritetit

Kur përdorim fjalë "të zakonshme" në tekstet shkencore, ose nënkuptojmë kuptimet e tyre të përdorura zakonisht, "të kësaj bote" (zgjedhja e të cilave varet nga autori), ose u japim atyre statusin e përkufizimeve formale (për të cilat theksojmë disa kuptime të veçanta dhe futeni atë në - në këtë rast - "tabelat" matematikore). Termat stacionar dhe ergodik janë me fat që matematikanët kanë arritur marrëveshje për kuptimin e tyre. Megjithatë, unë pata mundësinë të shoh nga përvoja ime se shumë inxhinierë, fizikanë dhe statisticien praktikues, duke pranuar përkufizimin matematikor me fjalë, në fakt u përmbahen pikëpamjeve më të ngushta. Përkundrazi, do të doja të zgjeroja përkufizimin matematik. Më poshtë do të listoj keqkuptimet kryesore që lindin gjatë përdorimit të këtyre termave dhe do të përpiqem të shpjegoj pse duhet të zgjerohet përkufizimi matematik.

Përkufizimi matematik. Procesi është i palëvizshëm nëse shpërndarja e sasisë nuk varet nga , dhe shpërndarja e përbashkët nuk varet nga ; dhe e njëjta gjë vlen edhe për shpërndarjet e përbashkëta para të gjithëve.

Keqkuptimi i parë (filozofia). Sipas besimit popullor, veprimtari shkencore mund të konsiderohet ajo veprimtari, objekti i së cilës janë dukuri që u binden rregullave të pandryshueshme. Një keqkuptim i stacionaritetit është më shpesh pasojë e pikërisht kësaj pikëpamjeje të gjërave: shumë besojnë se stacionariteti thjesht nënkupton pandryshueshmërinë kohore të rregullave që rregullojnë procesin. Kjo është larg nga e vërteta. Për shembull, rritja e lëvizjes Brownian është një variabël e rastësishme Gaussian mesatarja dhe varianca e së cilës nuk varen nga . Rregulli për ndërtimin e grupit të zerove të lëvizjes Browniane nuk varet nga asnjëra. Sidoqoftë, vetëm ato rregulla që rregullojnë vlerat e vetë procesit janë të rëndësishme për stacionaritetin. Në rastin e lëvizjes Brownian, këto rregulla nuk janë të pandryshueshme në kohë.

Keqkuptimi i dytë (statistikat e aplikuara). Statisticienët na ofrojnë shumë metoda (ndonjëherë edhe në formën e softuerit kompjuterik) të “analizës së serive kohore”; në fakt, diapazoni i aftësive të këtyre metodave rezulton të jetë shumë më i ngushtë nga sa mund të pritej, duke gjykuar nga etiketa. Kjo është e pashmangshme, pasi stacionariteti matematik është një koncept shumë i përgjithshëm që çdo metodë e vetme të jetë e zbatueshme në të gjitha rastet e mundshme. Megjithatë, duke e bërë këtë, statisticienët rrënjosin padashur te klientët e tyre besimin se koncepti i "serive kohore stacionare" është identik me konceptet e tjera më të ngushta të mbuluara nga një metodë ose një tjetër. Edhe në ato raste kur autorët e metodave marrin mundimin të kontrollojnë krijimet e tyre për "stabilitet", ata marrin parasysh vetëm devijimet minimale nga gjendja më e thjeshtë, pa marrë parasysh devijimet shumë radikale që nuk bien aspak në kundërshtim me stacionaritetin.

Keqkuptimi i tretë (inxhinierët dhe fizikantët). Shumë studiues (pjesërisht për shkak të keqkuptimeve të mëparshme) besojnë se nëse procesi i marrjes së mostrave është i palëvizshëm, kjo do të thotë se ai "mund të lëvizë lart e poshtë, por mbetet në një farë mënyre statistikisht i njëjtë". Ky interpretim ishte mjaft i përshtatshëm në një fazë të hershme, "joformale", por për momentin është i papranueshëm. Përkufizimi matematik përshkruan vetëm rregullat e gjenerimit, por nuk ndikon në objektet e krijuara në asnjë mënyrë. Kur matematikanët takuan për herë të parë procese të palëvizshme me mostra jashtëzakonisht të rastësishme, ata u mahnitën që koncepti i stacionaritetit mund të përfshinte një pasuri të tillë formash sjelljeje shumë të ndryshme dhe të papritura. Fatkeqësisht, janë pikërisht këto forma të sjelljes që shumë praktikues refuzojnë kategorikisht t'i njohin si të palëvizshme.

Zonë gri. Nuk ka dyshim se kufiri midis proceseve stacionare dhe jostacionare qëndron diku midis zhurmës së bardhë Gaussian dhe lëvizjes Brownian; Vetëm vendndodhja e tij e saktë është e diskutueshme.

Përsosja e kufirit duke përdorur zhurmën e pandryshueshme në shkallë. Zhurma e pandryshueshme në shkallë Gaussian (shih Kapitullin 27) mund të shërbejë si një mjet shumë i përshtatshëm për rafinimin e kufirit të diskutueshëm, pasi dendësia e tyre spektrale ka formën , ku . Për zhurmën e bardhë, për lëvizjen Brownian, kufiri midis proceseve të palëvizshme dhe jo-stacionare bie në vlera të ndryshme në varësi të cilës konsiderata udhëhiqen "toketuesit e tokës".

Unë, nga ana tjetër, zbulova se duke përjashtuar vlerat nga shqyrtimi, përkufizimi i stacionaritetit nuk është mjaft i përgjithshëm për shumë raste studimore.

Proceset sporadike me kusht stacionare. Për shembull, teoria e zhurmës fraktal (shih Kapitullin 9) sugjeron që një proces i përbërë nga zero Brownian është i palëvizshëm në një formë të dobësuar. Në fakt, supozoni se diku midis dhe ka të paktën një zero. Rezultati i një supozimi të tillë do të jetë një proces i rastësishëm në varësi të një parametri të jashtëm shtesë. Vura re se shpërndarja e përbashkët e vlerave nuk varet nga. Renyi gjithashtu shkroi për masën e pafundme për ndryshoret e rastësishme. Në mënyrë që masa të mos çojë në një katastrofë, në teorinë e variablave të rastësishëm të përgjithësuar supozohet se këto sasi vërehen vetëm kur kushtëzohen nga ndonjë ngjarje, e tillë që .

Megjithëse zbatueshmëria e ndryshoreve të rastësishme Renyi është shumë e kufizuar, funksionet sporadike ndonjëherë rezultojnë të jenë shumë të dobishme: në veçanti, me ndihmën e tyre arrita të shmangja një katastrofë infra të kuqe në disa raste, duke shpjeguar kështu ekzistencën e një zhurme të pandryshueshme në shkallë me .

Ergodiciteti. Përzierja. Koncepti i ergodicitetit gjithashtu i nënshtrohet interpretimeve të ndryshme. Në literaturën matematikore, koncepti i ergodicitetit përfshin forma të ndryshme të përzierjes. Ka procese me përzierje të fortë dhe procese me përzierje të dobët. Dallimi midis këtyre formave (duke gjykuar nga punimet matematikore) mund të duket shumë i parëndësishëm dhe larg fenomeneve reale natyrore. Mos u mashtroni - kjo nuk është e vërtetë. Për shembull, zhurma e pandryshueshme në shkallë c, ose efekti Joseph (varësia e pafund, si në - zhurma c). Sidoqoftë, duhet thënë se pothuajse të gjitha studimet e mia precedente në një fazë u kritikuan a priori nga një "ekspert" i cili argumentoi se fenomenet në studim ishin qartësisht jo-stacionare dhe, për rrjedhojë, modelet e mia të palëvizshme ishin të destinuara të dështonin. qysh në fillim. Arsyetimi është i gabuar, por psikologjikisht shumë domethënës.

konkluzioni. Mosmarrëveshjet e dhunshme semantike vazhdojnë rreth kufirit midis proceseve matematikisht të palëvizshme dhe jostacionare. Në praktikë, kufiri është i pushtuar nga procese që, megjithëse nuk korrespondojnë me idetë tona intuitive për proceset stacionare, janë ende të afta të veprojnë si objekte të kërkimit shkencor. Këto procese ishin shumë të dobishme për mua, si në këtë ese ashtu edhe në pjesën tjetër të punës sime kërkimore.

Probleme leksikore. Dhe përsëri ka nevojë për kushte të reja. Unë do të marr guximin të rekomandoj termin e vendosur si një sinonim për atë që matematikanët e quajnë "stacionar dhe i tillë që shuma konvergjon në ", dhe një term për atë koncept intuitiv që studiuesit praktikë priren ta quajnë "stacionaritet". Koncepti i kundërt mund të shënohet me termat e paqëndrueshme ose endacake.

Në një nga veprat e mia të hershme (domethënë: në) unë propozova që proceset e qëndrueshme t'i quaj Laplacian dhe të buta. Fjala e fundit përdoret në kuptimin "i sigurt, lehtësisht i kontrollueshëm"; kjo vlerë më dukej mjaft e përshtatshme, pasi kur kemi të bëjmë me një proces kaq të rastësishëm, nuk duhet të kesh frikë nga ndonjë surprizë nga ana e tij - nuk duhet të presësh prej tij ato devijime të mprehta dhe konfigurime të ndryshme, për shkak të të cilave analiza e përhumbur e rastësishme proceset janë më komplekse, por edhe një aktivitet shumë më interesant.

Komplet matematikor

Një tufë me- një nga objektet kryesore të matematikës, në veçanti, teoria e grupeve. “Me shumësi nënkuptojmë bashkimin në një tërësi të objekteve të caktuara, mjaft të dallueshme të intuitës apo të mendimit tonë” (G. Kantor). Ky nuk është, në kuptimin e plotë, një përkufizim logjik i grupit të koncepteve, por vetëm një shpjegim (sepse të përkufizosh një koncept do të thotë të gjesh një koncept gjenerik në të cilin ky koncept përfshihet si specie, por grupi është, ndoshta, koncepti më i gjerë i matematikës dhe logjikës).

Teoritë

Ekzistojnë dy qasje kryesore ndaj konceptit të grupit - naive Dhe aksiomatike teoria e grupeve.

Teoria aksiomatike e grupeve

Sot, një grup përkufizohet si një model që plotëson aksiomat ZFC (aksiomat Zermelo-Frenkel me aksiomën e zgjedhjes). Me këtë qasje, në disa teori matematikore, lindin koleksione objektesh që nuk janë grupe. Koleksione të tilla quhen klasa (të rendeve të ndryshme).

Elementi i vendosjes

Objektet që përbëjnë një grup quhen elementet e kompletit ose pikat e kompletit. Kompletet më së shpeshti shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin, elementët e tij - me ato të vogla. Nëse a është një element i bashkësisë A, atëherë shkruani një ∈ A (a i përket A-së). Nëse a nuk është element i bashkësisë A, atëherë shkruani a∉A (a nuk i përket A-së).

Disa lloje grupesh

• Një grup i renditur është një grup në të cilin është specifikuar marrëdhënia e rendit.
• Një grup (veçanërisht një çift i porositur). Ndryshe nga një grup i thjeshtë, shkruhet brenda kllapave: ( x 1, x 2, x 3,…), dhe elementet mund të përsëriten.

Sipas hierarkisë:

Bashkësia e grupeve Nënbashkësi Superset

Sipas kufizimit:

Vendosni operacionet

Letërsia

• Stoll R.R. Turma. Logjikat. Teoritë aksiomatike. - M.: Arsimi, 1968. - 232 f.

Shiko gjithashtu

Fondacioni Wikimedia. 2010.

Shihni se çfarë është "Grupi matematikor" në fjalorë të tjerë:

Bashkësia Vitali është shembulli i parë i një grupi numrash realë që nuk kanë masën Lebesgue. Ky shembull, i cili është bërë klasik, u botua në vitin 1905 nga matematikani italian G. Vitali në artikullin e tij “Sul problema della misura dei gruppi di punti... ... Wikipedia

- (vlera mesatare) e një ndryshoreje të rastësishme është një karakteristikë numerike e një ndryshoreje të rastësishme. Nëse një ndryshore e rastësishme përcaktohet në një hapësirë ​​probabiliteti (shih teorinë e probabilitetit), atëherë M. o. MX (ose EX) përkufizohet si integrali Lebesgue: ku ... Enciklopedia fizike

Një ndryshore e rastësishme është karakteristika e saj numerike. Nëse një ndryshore e rastësishme X ka një funksion të shpërndarjes F(x), atëherë M. o i saj. do: . Nëse shpërndarja X është diskrete, atëherë M.o.: , ku x1, x2, ... vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme diskrete X; p1... Enciklopedia gjeologjike

Softueri ACS- , njësoj si softveri, softveri, një kompleks programesh dhe algoritmesh matematikore, një nga nënsistemet mbështetëse. Zakonisht ai përfshin shumë programe për zgjidhjen e problemeve specifike në një kompjuter, të bashkuar nga programi kryesor... ... Fjalor ekonomik dhe matematikor

Softueri ACS- njësoj si softveri, softveri, një kompleks programesh dhe algoritmesh matematikore, një nga nënsistemet mbështetëse. Zakonisht ai përfshin shumë programe për zgjidhjen e problemeve specifike në një kompjuter, të bashkuara nga programi kryesor nga dispeçeri.… … Udhëzues teknik i përkthyesit

- (matematikore) shih Teorinë e grupeve...

Një model matematikor është një paraqitje matematikore e realitetit. Modelimi matematik është procesi i ndërtimit dhe studimit të modeleve matematikore. Të gjitha shkencat natyrore dhe shoqërore që përdorin aparate matematikore, në thelb... ... Wikipedia

Një disiplinë matematikore kushtuar teorisë dhe metodave të zgjidhjes së problemeve të gjetjes së ekstremeve të funksioneve në grupe të hapësirës vektoriale me dimensione të fundme të përcaktuara nga kufizime lineare dhe jolineare (barazitë dhe pabarazitë). M. p....... Enciklopedia Matematikore

Një disiplinë matematikore kushtuar teorisë dhe metodave të zgjidhjes së problemeve të gjetjes së ekstremeve të funksioneve në grupe të përcaktuara nga kufizime lineare dhe jolineare (barazitë dhe pabarazitë). seksioni M.p i shkencës së... ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

Ky term ka kuptime të tjera, shih Prova. Në matematikë, një provë është një zinxhir përfundimesh logjike që tregojnë se, duke pasur parasysh një grup të caktuar aksiomash dhe rregullash konkluzionesh, një pohim i caktuar është i vërtetë. Në varësi të... Wikipedia

libra

• Modelimi matematikor i ekonomisë, Malykhin V.I.. Libri diskuton modelet kryesore matematikore të ekonomisë: modelin e konsumatorit individual (bazuar në funksionin e dobisë), modelin e kompanisë prodhuese (bazuar në funksionin e prodhimit), .. .

Përshkrimi i një zone lëndore (krijimi i ontologjisë së saj) fillon me përzgjedhjen e objekteve dhe klasifikimin e tyre, i cili tradicionalisht konsiston në përpilimin e një peme klasash-nënklasash dhe caktimin e individëve për to. Në këtë rast, termi "klasë" përdoret në thelb në kuptimin e "bashkësisë": caktimi i një objekti në një klasë mendohet se e përfshin atë si një element në grupin përkatës. Qëllimi i këtij teksti është të tregojë se një qasje e tillë e unifikuar për përshkrimin e strukturës së një zone lëndore është një thjeshtim i fortë dhe nuk na lejon të kapim larminë e marrëdhënieve semantike të objekteve.

Le të shohim tre opsione për klasifikimin e individit Bug:

1. Kafshë - qen - husky - Bug.
2. Shërbimi - hipur - Bug.
3. Lukuni - ekipi i qenve - Zhuchka.

Sekuenca e parë e entiteteve vartëse përshkruhet pa mëdyshje përmes përkufizimit të klasave dhe nënklasave: Një gabim është një individ i klasës "Lika", klasa "Lika" është një nënklasë qensh dhe kjo është një nënklasë e "kafshës". klasës. Në këtë rast, klasa "kafshët" interpretohet si grup i të gjitha kafshëve, dhe klasa "pëlqime" si një nëngrup i grupit "qentë". Sidoqoftë, një përshkrim i tillë, pavarësisht nga fakti se është mjaft vizual, është kuptimisht tautologjik, vetë-referues: ne e quajmë individin Bug një husky nëse ai përfshihet në grupin e huskive, dhe ne e përkufizojmë vetë grupin e huskive si tërësia e të gjithë individëve të huskive - domethënë, përfshirja në grup është kuptimplotë dublikon emrin. Për më tepër, përshkrimi i një grupi klasash është shteruar plotësisht nga përshkrimi i një individi që i përket konceptit që përcakton klasën. Duhet gjithashtu të theksohet se funksionimi i klasave të tilla të grupeve nuk varet nga numri i elementeve në to: Bug husky do të jetë një husky edhe kur të mbetet i vetmi husky i fundit në Tokë. Për më tepër, ne mund të operojmë me grupe të tilla klasash edhe në mungesë të individëve në to: mund të ndërtojmë një ontologji të dinosaurëve tashmë të zhdukur, të imagjinojmë një klasë që do të përfshijë vetëm pajisjen unike që do të projektohet në të ardhmen, ose të ndërtojmë një model të fusha lëndore e kafshëve mitike, heronjve të përrallave, megjithëse në të njëjtën kohë kardinaliteti i të gjitha grupeve të klasave do të jetë i barabartë me zero.

Pra, nëse flasim për anën përmbajtjesore të klasifikimit të analizuar (kafshë - qen - husky - Bug), atëherë ajo (ana e përmbajtjes) në asnjë mënyrë nuk mund të shprehet përmes marrëdhënies së grupeve dhe nëngrupeve. Në këtë rast kemi të bëjmë me konceptualizim – izolues të koncepteve dhe vendosja e marrëdhënieve gjini-specie mes tyre. Për më tepër, numri aktual i elementeve të klasës konceptuale, domethënë shtrirja e konceptit, nuk shfaqet në përkufizimin e tij dhe përmendet (edhe atëherë jo kuptimisht) vetëm kur një koncept ("si") bie nën një tjetër ( "qen"), domethënë kur vepron si një specie e gjinisë. Po, mund të themi se shtrirja e konceptit "qen" është më e madhe se shtrirja e konceptit "si", por marrëdhënia reale numerike e këtyre grupeve nuk ka ndonjë kuptim ontologjik. Kur vëllimi i një klase tejkalon vëllimin e një nënklase në marrëdhëniet specifike për gjininë, kjo pasqyron vetëm faktin se, sipas përkufizimit të një gjinie, ajo duhet të përfshijë disa lloje - përndryshe ky klasifikim bëhet i pakuptimtë. Kjo do të thotë, në klasifikimin konceptual gjini-specie, ne jemi të interesuar pikërisht për përmbajtjen e koncepteve - si ndryshon specia "qen" nga specia "mace" (e cila gjithashtu bie nën konceptin gjenerik "kafshë" për ta), dhe jo si lidhen vëllimet e grupeve të gjinive dhe specieve dhe aq më tepër vëllimet e koncepteve të specieve (“qen” dhe “mace”). Dhe për të dalluar klasat konceptuale nga grupet vërtet të numërueshme, do të ishte më e saktë të flitej për të nëse një individ i përket konceptit, jo rreth përfshirjes atë në një klasë / grup. Është e qartë se në shënimin formal thëniet "bie nën konceptin X" dhe "është një element i klasës X" mund të duken të njëjta, por moskuptimi i ndryshimit thelbësor midis këtyre dy përshkrimeve mund të çojë në gabime serioze në ndërtimin e ontologjinë.

Në opsionin e dytë (shërbimi - kalërimi - Zhuchka) ne gjithashtu nuk jemi të interesuar të krahasojmë konceptin "kalërim" të ndonjë grupi: përmbajtja semantike e thënies "Zhuchka - hipur" nuk varet nëse është i vetmi apo atje. janë shumë prej tyre. Duket se këtu kemi të bëjmë me marrëdhënie gjenerike-specifike: koncepti i "kalërimit" mund të konsiderohet si specifik në lidhje me konceptin gjenerik të "shërbimit". Por lidhja e "Bug" individuale me konceptin e "kalërimit" është dukshëm e ndryshme nga lidhja me konceptin "si": koncepti i dytë, konceptual është imanent dhe i pandryshueshëm i natyrshëm tek individi, dhe i pari pasqyron lokale në kohë specializimi. Insekti nuk ka lindur si qen sajë dhe ndoshta me kalimin e moshës mund të pushojë së qeni i tillë dhe të shkojë në kategorinë e një qeni roje dhe në pleqëri mund të humbasë të gjithë "profesionin" fare. Kjo do të thotë, kur flasim për specializim, ne gjithmonë mund të theksojmë ngjarjet e përvetësimit dhe humbjes së lidhjes me një koncept të veçantë. Për shembull, Zhuchka mund të njihet si kampionia absolute e racës dhe më pas të humbasë këtë titull, gjë që është thelbësisht e pamundur me konceptet konceptuale: Zhuchka nga lindja deri në vdekje, domethënë gjatë gjithë periudhës kohore të ekzistencës së saj si individ, është një qen dhe një husky. Po kështu, një person mbetet koncepti i “personit” gjatë gjithë jetës së tij, por situativisht (nga ngjarja në ngjarje) ai mund të bjerë nën konceptet e specializuara të “nxënës shkollor”, “student”, “mjek”, “burrë” etj. siç u përmend tashmë, lidhja me këto koncepte nuk do të thotë aspak përfshirje në një grup të caktuar (edhe pse mund të duket kështu) - atribuimi i një koncepti të specializuar është gjithmonë rezultat i marrëdhënies specifike të një individi me individë të tjerë: hyrja në shkollë, universiteti, marrja e diplomës, regjistrimi i martesës etj. Prandaj mund të quhen edhe koncepte të specializuara relacionale. Nga shembujt e mësipërm, vijon një tjetër ndryshim domethënës midis klasifikimit konceptual dhe specializimit: një individ mund të ketë disa specializime (Zhuchka mund të jetë një qen sajë dhe një kampion race, një person është student dhe bashkëshort), por nuk mund të përfshihet njëkohësisht në më shumë se një hierarki konceptuale (Zhuchka nuk mund të jetë një qen, dhe një mace).

Dhe vetëm në versionin e tretë të përshkrimit të Zhuchka - si i përket një lukuni të caktuar dhe si anëtar i një ekipi specifik që tërheq sajë nëpër tundër - është thjesht e nevojshme të përmendet turma. Vetëm në këtë rast kemi të drejtë të themi se një individ është një element i një grupi konkret me një numër të numërueshëm elementësh dhe nuk i përket një koncepti që mund të përfaqësohet si një grup abstrakt që rregullon në mënyrë konvencionale qëllimin e kësaj. koncept. Dhe këtu është thelbësore që një individ është pjesë e një individi tjetër, i përcaktuar fillimisht si një grup: një lukuni dhe një ekip janë domosdoshmërisht një grup qensh jo bosh dhe numri i elementeve të këtij grupi sigurisht që përfshihet në përkufizimet e tyre si individët. Kjo do të thotë, në këtë rast duhet të flasim për marrëdhënien pjesërisht e tërë: Defekti është pjesë e lukunisë dhe pjesë e ekipit. Për më tepër, përfshirja ose moshyrja e Bug-it në një ekip specifik ndryshon përmbajtjen e tij (të ekipit): nëse do të kishim një ekip të dyfishtë, atëherë pas heqjes së Bug-it, ekipi shndërrohet në një ekip të vetëm. Në raste të tilla, nuk kemi të bëjmë thjesht me një grup të numërueshëm (qentë në lukuni), por me një individ, thelbi i të cilit ndryshon kur përbërja e elementeve të tij ndryshon dhe përcaktohet nga kjo përbërje, pra me sistemi. Nëse një lukuni është thjesht një grup individual, i përshkruar përmes shumë elementeve të përfshira në të, atëherë një ekip është një sistem, thelbi i të cilit varet nga numri dhe specifika e pjesëve të tij.

Rrjedhimisht, kur ndërtohet një ontologji e një zone lëndore, është e mundur të identifikohen objekte-bashkësi reale, të përcaktuara pikërisht si një koleksion i një numri të caktuar individësh. Këto janë: një klasë në shkollë, mallra në një kuti në një magazinë, pjesë të një njësie pajisje elektronike, etj. Dhe këto grupe mund të jenë nëngrupe të grupeve të tjera reale të numërueshme: të gjithë nxënësit në shkollë, të gjitha mallrat në një magazinë, të gjitha pjesë të një pajisjeje. Kur identifikohen këto grupe, është thelbësore që ata (këto grupe) të veprojnë si individë të pavarur (një ekip, një grup mallrash, një grup pjesësh), atributi kryesor i të cilit është pikërisht numri i elementeve të përfshira në to. Për më tepër, ndryshimi i këtij atributi mund të çojë në një ndryshim në statusin e objektit, të themi, me një rritje të numrit të elementeve, duke e kthyer një kuartet në një kuintet ose një regjiment në një brigadë. Është gjithashtu e rëndësishme që përshkrimi i këtyre grupeve të objekteve, objekteve komplekse, të mos reduktohet në një përshkrim të individëve të përfshirë në to, megjithëse mund të përfshijë një tregues të llojit të lejuar të këtij të fundit (kuarteti i harqeve, ekipi i kuajve) . Dhe marrëdhënie të tilla - jo midis grupeve abstrakte, por midis grupeve që janë individë, objekte komplekse - përshkruhen më saktë si marrëdhënie pjesë-tërësie, sesa klasë-nënklasë.

Pra, klasifikimi tradicional i individëve duke i caktuar ata në një grup klasash nuk mund të konsiderohet homogjen. Është e nevojshme të bëhet dallimi midis (1) përfshirjes së individëve si pjesë në një objekt (tërësi) kompleks, specifika semantike e të cilit nuk kufizohet në përshkrimin e elementeve të tij. Në këtë rast (1.1.) një objekt-tërësi mund të konsiderohet vetëm si një grup i emërtuar individësh (pjesë në një paketë, një koleksion pikturash), për të cilat, në fakt, vetëm numri i pjesëve është i rëndësishëm. Objekte të tilla mund të quhen grupe (ose koleksione)). Gjithashtu (1.2.) një objekt-tërësi mund të përcaktohet kuptimisht (dhe jo vetëm sasior) nga pjesët e tij dhe, si pasojë, të ketë atribute që pjesët nuk i posedojnë. Një integritet i tillë quhet tradicionalisht sistemeve, dhe pjesë të sistemeve - elemente. Opsioni i dytë për përshkrimin e objekteve duke i caktuar ato në klasa-nënklasa është (2) përfshirja e individëve nën një koncept, i cili mund të përshkruhet vetëm zyrtarisht, tautologjikisht si përfshirja e individëve në një grup, fuqia e të cilëve është e barabartë me fuqinë e koncept. Përshkrimi konceptual i individëve nga ana tjetër mund të klasifikohet në (2.1) konceptuale, duke fiksuar globalisht llojin e një individi, dhe (2.2) i specializuar (relativ), lokalisht në kohë dhe hapësirë ​​(përfundimisht) duke e lidhur individin me objekte të tjera.

Konsideratat e mësipërme, para së gjithash, shtrojnë çështjen e mjaftueshmërisë dhe përshtatshmërisë së qasjes tradicionale për përshkrimin e fushës lëndore duke përdorur klasifikimin e bazuar në teorinë e grupeve. Dhe përfundimi propozohet: për të kapur të gjithë diversitetin e lidhjeve të objekteve në ontologji, nevojiten mjete klasifikimi më të diferencuara (grupe, sisteme, koncepte konceptuale dhe të specializuara). Formalizmi i teorisë së grupeve mund të përdoret vetëm si një thjeshtësim lokal për nevojat e konkluzionit logjik, dhe jo si metoda kryesore e përshkrimit.