Vlera e përafërt e rritjes së funksionit kur është mjaft e vogël. Përafrimi i llogaritjes duke përdorur diferencial

Vlera e përafërt e rritjes së funksionit

Për vlera mjaft të vogla, rritja e funksionit është afërsisht e barabartë me diferencialin e tij, d.m.th. Dy » dy dhe prandaj

Shembulli 2. Gjeni vlerën e përafërt të rritjes së funksionit y= kur argumenti x ndryshon nga vlera x 0 =3 në x 1 =3.01.

Zgjidhje. Le të përdorim formulën (2.3). Për ta bërë këtë, le të llogarisim

X 1 - x 0 = 3,01 - 3 = 0,01, atëherë

Du" .

Vlera e përafërt e një funksioni në një pikë

Në përputhje me përkufizimin e rritjes së funksionit y = f(x) në pikën x 0, kur argumenti Dx (Dx®0) rritet, Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) dhe formula (3.3) mund të shkruhet

f(x 0 + Dx) » f(x 0) + . (3.4)

Raste të veçanta të formulës (3.4) janë shprehjet:

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4b)

sinDx » Dx (3.4v)

tgDx » Dx (3.4g)

Këtu, si më parë, supozohet se Dx®0.

Shembulli 3. Gjeni vlerën e përafërt të funksionit f(x) = (3x -5) 5 në pikën x 1 =2.02.

Zgjidhje. Për llogaritjet ne përdorim formulën (3.4). Le të paraqesim x 1 si x 1 = x 0 + Dx. Pastaj x 0 = 2, Dx = 0,02.

f(2.02)=f(2 + 0.02) » f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2,02) = (3 × 2,02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0,02 = 1,3

Shembulli 4. Llogaritni (1.01) 5, , ln(1.02), ln.

Zgjidhje

1. Le të përdorim formulën (3.4a). Për ta bërë këtë, le të imagjinojmë (1.01) 5 në formën (1+0.01) 5.

Pastaj, duke supozuar Dx = 0.01, n = 5, marrim

(1,01) 5 = (1 + 0,01) 5 » 1 + 5 × 0,01 = 1,05.

2. Duke paraqitur 1/6 në formën (1 - 0.006), sipas (3.4a), marrim

(1 - 0,006) 1/6 » 1 + .

3. Duke marrë parasysh se ln(1.02) = ln(1 + 0.02) dhe duke supozuar Dx=0.02, duke përdorur formulën (3.4b) marrim

ln(1.02) = ln(1 + 0.02) » 0.02.

4. Po kështu

ln = ln (1 - 0,05) 1/5 = .

Gjeni vlerat e përafërta të rritjeve të funksionit

155. y = 2x 3 + 5 kur argumenti x ndryshon nga x 0 = 2 në x 1 = 2,001

156. y = 3x 2 + 5x + 1 me x 0 = 3 dhe Dx = 0,001

157. y = x 3 + x - 1 me x 0 = 2 dhe Dx = 0,01

158. y = ln x në x 0 = 10 dhe Dx = 0,01

159. y = x 2 - 2x në x 0 = 3 dhe Dx = 0,01

Gjeni vlerat e përafërta të funksioneve

160. y = 2x 2 - x + 1 në pikën x 1 = 2.01

161. y = x 2 + 3x + 1 në x 1 = 3,02

162.y= në pikën x 1 = 1.1

163. y= në pikën x 1 = 3.032

164. y = në pikën x 1 = 3,97

165. y = sin 2x në pikën x 1 = 0,015

Llogaritni përafërsisht

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178.ln(1.003×e) 179.ln(1.05) 5 180.ln

181.ln0.98 182.ln 183.ln(e 2 ×0.97)

Hulumtimi i funksionit dhe grafiku

Shenjat e monotonitetit të një funksioni

Teorema 1 (kusht i nevojshëm funksioni rritës (zvogëlues) . Nëse funksioni i diferencueshëm y = f(x), xО(a; b) rritet (zvogëlohet) në intervalin (a; b), atëherë për çdo x 0 О(a; b).

Teorema 2 (gjendje e mjaftueshme funksioni rritës (zvogëlues) . Nëse funksioni y = f(x), xО(a; b) ka një derivat pozitiv (negativ) në çdo pikë të intervalit (a; b), atëherë ky funksion rritet (zvogëlohet) në këtë interval.

Ekstreme e funksionit

Përkufizimi 1. Një pikë x 0 quhet pikë maksimale (minimale) e funksionit y = f(x) nëse për të gjitha x nga disa fqinjësi d të pikës x 0 plotësohet pabarazia f(x).< f(x 0) (f(x) >f(x 0)) për x ¹ x 0 .

Teorema 3 (Fermat) (një kusht i domosdoshëm për ekzistencën e një ekstremi) . Nëse pika x 0 është pika ekstreme e funksionit y = f(x) dhe në këtë pikë ka një derivat, atëherë

Teorema 4 (kushti i parë i mjaftueshëm për ekzistencën e një ekstremi) . Le të jetë funksioni y = f(x) i diferencueshëm në ndonjë fqinjësi d të pikës x 0 . Pastaj:

1) nëse derivati, kur kalon nëpër pikën x 0, ndryshon shenjën nga (+) në (-), atëherë x 0 është pika maksimale;

2) nëse derivati, kur kalon nëpër pikën x 0, ndryshon shenjën nga (-) në (+), atëherë x 0 është pika minimale;

3) nëse derivati nuk ndryshon shenjë kur kalon në pikën x 0, atëherë në pikën x 0 funksioni nuk ka një ekstrem.

Përkufizimi 2. Quhen pikat në të cilat derivati i një funksioni zhduket ose nuk ekziston pikat kritike të llojit të parë.

duke përdorur derivatin e parë

1. Gjeni domenin e përkufizimit D(f) të funksionit y = f(x).

3. Gjeni pikat kritike lloji i parë.

4. Vendosni pikat kritike në domenin e përkufizimit D(f) të funksionit y = f(x) dhe përcaktoni shenjën e derivatit në intervalet në të cilat pikat kritike ndajnë domenin e përcaktimit të funksionit.

5. Zgjidhni pikat maksimale dhe minimale të funksionit dhe llogaritni vlerat e funksionit në këto pika.

Shembulli 1. Shqyrtoni funksionin y = x 3 - 3x 2 për një ekstremum.

Zgjidhje. Në përputhje me algoritmin për gjetjen e ekstremit të një funksioni duke përdorur derivatin e parë, kemi:

1. D(f): xО(-¥; ¥).

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 Þ x = 0, x = 2 - pika kritike të llojit të parë.

Derivati kur kalon në pikën x = 0

ndryshon shenjën nga (+) në (-), prandaj është një pikë

Maksimumi. Kur kaloni nëpër pikën x = 2, shenja ndryshon nga (-) në (+), prandaj kjo është pika minimale.

5. y max = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0.

Koordinatat maksimale (0; 0).

y min = f(2) = 2 3 - 3 × 2 2 = -4.

Koordinatat minimale (2; -4).

Teorema 5 (kushti i dytë i mjaftueshëm për ekzistimin e një ekstremi) . Nëse funksioni y = f(x) është i përcaktuar dhe dy herë i diferencueshëm në ndonjë fqinjësi të pikës x 0, dhe , atëherë në pikën x 0 funksioni f(x) ka një maksimum nëse dhe një minimum nëse .

Algoritmi për gjetjen e ekstremumit të një funksioni

duke përdorur derivatin e dytë

1. Gjeni domenin e përkufizimit D(f) të funksionit y = f(x).

2. Njehsoni derivatin e parë

Nga njëra anë, llogaritja e diferencialit është shumë më e thjeshtë se llogaritja e rritjes nga ana tjetër, dy≈∆y dhe gabimi i lejuar në këtë rast mund të bëhet arbitrarisht i vogël duke reduktuar ∆x. Këto rrethana bëjnë të mundur në shumë raste zëvendësimin e ∆y me vlerën dy. Nga barazia e përafërt dy≈∆y, duke marrë parasysh se ∆y = f(x) – f(x 0), dhe dy=f'(x 0)(x-x 0), fitojmë f(x) ≈ f( x 0) + f'(x 0)(x – x 0), ku x-x 0 = ∆x.
Shembull. Llogaritni.
Zgjidhje. Duke marrë funksionin, kemi: . Duke supozuar x 0 =16 (ne zgjedhim veten në mënyrë që rrënja të nxirret), ∆x = 0.02, marrim .

Shembull. Njehsoni vlerën e funksionit f(x) = e x në pikën x=0.1.
Zgjidhje. Për x 0 marrim numrin 0, pra x 0 =0, pastaj ∆x=x-x 0 =0,1 dhe e 0,1 ≈e 0 + e 0 0,1 = 1+0,1 = 1,1. Sipas tabelës, e 0.1 ≈1.1052. Gabimi ishte i vogël.
Le të vërejmë edhe një gjë pronë e rëndësishme diferencial. Formula për gjetjen e diferencialit dy=f’(x)dx është e saktë si në rastin kur xështë një variabël i pavarur, dhe në rastin kur x– funksioni i një ndryshoreje të re t. Kjo veti e një diferenciali quhet veti e pandryshueshmërisë së formës së tij. Për shembull, për funksionin y=tg(x) diferenciali do të shkruhet në formë pavarësisht nëse x variabël ose funksion i pavarur. Nëse x– funksioni është specifikuar në mënyrë specifike, për shembull x=t 2, atëherë mund të vazhdohet llogaritja e dy, për të cilën gjejmë dx=2tdt dhe e zëvendësojmë me shprehjen e marrë më parë për dy:
.
Nëse në vend të formulës (2) do të përdornim formulën jo të pandryshueshme (1), atëherë në rastin kur x është një funksion, nuk mund të vazhdonim llogaritjen e dy në një mënyrë të ngjashme, pasi ∆x, në përgjithësi, nuk e bën përkojnë me dx.

Merrni parasysh problemin e përhapur në llogaritjen e përafërt të vlerës së një funksioni duke përdorur një diferencial.

Këtu dhe më tej do të flasim për diferenciale të rendit të parë për shkurtim, shpesh do të themi thjesht "diferencial". Problemi i llogaritjeve të përafërta duke përdorur diferenciale ka një algoritëm të rreptë zgjidhjeje, dhe, për këtë arsye, nuk duhet të shfaqen vështirësi të veçanta. E vetmja gjë është se ka gracka të vogla që gjithashtu do të pastrohen. Pra, ndjehuni të lirë të zhyteni në kokë së pari.

Përveç kësaj, seksioni përmban formula për gjetjen e gabimeve absolute dhe relative të llogaritjeve. Materiali është shumë i dobishëm, pasi gabimet duhet të llogariten në probleme të tjera.

Për të zotëruar me sukses shembujt, duhet të jeni në gjendje të gjeni derivatet e funksioneve të paktën në një nivel mesatar, kështu që nëse jeni plotësisht në humbje me diferencimin, ju lutemi filloni me gjetja e derivatit në një pikë dhe me gjetja e diferencialit në pikë. Nga mjete teknike do t'ju duhet një mikro kalkulator me të ndryshme funksionet matematikore. Ju mund të përdorni aftësitë e MS Excel, por në këtë rastështë më pak i përshtatshëm.

Mësimi përbëhet nga dy pjesë:

– Llogaritjet e përafërta duke përdorur vlerën diferenciale të një funksioni të një ndryshoreje në një pikë.

– Llogaritjet e përafërta duke përdorur diferencial i plotë vlerat e një funksioni të dy ndryshoreve në një pikë.

Detyra në shqyrtim është e lidhur ngushtë me konceptin e diferencialit, por meqenëse nuk kemi ende një mësim mbi kuptimin e derivateve dhe diferencialeve, do të kufizohemi në një shqyrtim zyrtar të shembujve, i cili është mjaft i mjaftueshëm për të mësuar se si të zgjidhim ato.

Llogaritjet e përafërta duke përdorur diferencialin e një funksioni të një ndryshoreje

Në paragrafin e parë, funksioni i një ndryshoreje rregullon. Siç e dinë të gjithë, shënohet me y ose përmes f(x). Për këtë detyrë është shumë më i përshtatshëm për të përdorur shënimin e dytë. Le të shkojmë direkt në shembull popullor, e cila shpesh ndodh në praktikë:

Shembulli 1

Zgjidhja: Ju lutemi kopjoni në fletore formulën e punës për një llogaritje të përafërt duke përdorur një diferencial:

Le të fillojmë ta kuptojmë, gjithçka është e thjeshtë këtu!

Hapi i parë është krijimi i një funksioni. Sipas kushtit, propozohet të llogaritet rrënjë kubike nga mesi: , pra funksionin përkatës ka formën: .

Duhet të përdorim formulën për të gjetur vlerën e përafërt.

Le të shohim ana e majte formulat dhe të vjen në mendje mendimi se numri 67 duhet të paraqitet në formë. Cila është mënyra më e lehtë për ta bërë këtë? Unë rekomandoj algoritmi i ardhshëm: le të llogarisim vlerën e dhënë në kalkulator:

– doli të ishte 4 me bisht, ky është një udhëzues i rëndësishëm për zgjidhjen.

Si x 0 zgjidhni një vlerë "të mirë", në mënyrë që rrënja të hiqet plotësisht. Natyrisht ky kuptim x 0 duhet të jetë sa më afër deri në 67.

Në këtë rast x 0 = 64. Në të vërtetë, .

Shënim: Kur me përzgjedhjex 0 ka ende një vështirësi, thjesht shikoni vlerën e llogaritur (në këtë rast ), merrni pjesën e plotë më të afërt (në këtë rast 4) dhe ngrijeni atë në fuqinë e kërkuar (në këtë rast ). Si rezultat, do të bëhet zgjedhja e dëshiruar x 0 = 64.

Nëse x 0 = 64, pastaj rritja e argumentit: .

Pra, numri 67 përfaqësohet si një shumë

Fillimisht llogarisim vlerën e funksionit në pikë x 0 = 64. Në fakt, kjo tashmë është bërë më herët:

Diferenciali në një pikë gjendet me formulën:

– Ju gjithashtu mund ta kopjoni këtë formulë në fletoren tuaj.

Nga formula rrjedh se ju duhet të merrni derivatin e parë:

Dhe gjeni vlerën e saj në pikën x 0:

Kështu:

Gjithçka është gati! Sipas formulës:

Vlera e përafërt e gjetur është mjaft e afërt me vlerën 4.06154810045 të llogaritur duke përdorur një mikrollogaritës.

Përgjigje:

Shembulli 2

Llogaritni afërsisht, duke zëvendësuar rritjet e funksionit me diferencialin e tij.

Ky është një shembull për vendim i pavarur. Mostra e përafërt duke përfunduar dhe përgjigjur në fund të orës së mësimit. Për fillestarët, unë rekomandoj fillimisht llogaritjen vlerën e saktë në një mikrollogaritëse për të gjetur se cili numër duhet të merret si x 0, dhe cila - për Δ x. Duhet të theksohet se Δ x V në këtë shembull do të jetë negative.

Disa mund të kenë pyetur veten pse është e nevojshme kjo detyrë nëse gjithçka mund të llogaritet me qetësi dhe më saktë në një makinë llogaritëse? Jam dakord, detyra është marrëzi dhe naive. Por do të përpiqem ta justifikoj pak. Së pari, detyra ilustron kuptimin e funksionit diferencial. Së dyti, në kohët e lashta, një kalkulator ishte diçka si një helikopter personal në kohët moderne. Unë vetë pashë se si një kompjuter me madhësinë e një dhome u hodh nga një prej instituteve diku në vitet 1985-86 (amatorë radio erdhën me vrap nga i gjithë qyteti me kaçavida dhe pas nja dy orësh mbeti vetëm rasti nga njësia ). Ne kishim gjithashtu antike në departamentin tonë të fizikës, megjithëse ato ishin më të vogla në madhësi - sa një tavolinë. Kështu luftuan paraardhësit tanë me metodat e llogaritjeve të përafërta. Një karrocë me kuaj është gjithashtu transport.

Në një mënyrë apo tjetër, detyra mbeti në kursin standard matematikë e lartë, dhe do të duhet të zgjidhet. Kjo është përgjigjja kryesore për pyetjen tuaj =).

Shembulli 3

Llogaritni përafërsisht vlerën e një funksioni duke përdorur një diferencial në pikën x= 1,97. Llogaritni një vlerë më të saktë të funksionit në një pikë x= 1,97 duke përdorur një mikrollogaritës, vlerësoni absolutin dhe gabim relativ llogaritjet.

Në fakt, kjo detyrë mund të riformulohet lehtësisht si më poshtë: “Llogaritni vlerën e përafërt duke përdorur një diferencial"

Zgjidhja: Ne përdorim formulën e njohur:

Në këtë rast, një funksion i gatshëm është dhënë tashmë: . Edhe një herë, unë do të doja të tërhiqja vëmendjen tuaj për faktin se për të treguar një funksion, në vend të "lojë" është më i përshtatshëm për t'u përdorur f(x).

Kuptimi x= 1,97 duhet të përfaqësohet në formë x 0 = Δ x. Epo, këtu është më e lehtë, ne shohim që numri 1.97 është shumë afër "dy", kështu që sugjeron veten x 0 = 2. Dhe, prandaj: .

Le të llogarisim vlerën e funksionit në pikë x 0 = 2:

Duke përdorur formulën , le të llogarisim diferencialin në të njëjtën pikë.

Gjejmë derivatin e parë:

Dhe kuptimi i saj në pikën x 0 = 2: