1.1 Ekuacionet irracionale

Ekuacionet irracionale gjenden shpesh në provimet pranuese në matematikë, pasi me ndihmën e tyre është e lehtë të diagnostikosh njohuritë e koncepteve të tilla si transformimet ekuivalente, fusha e përkufizimit dhe të tjera. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve irracionale zakonisht bazohen në mundësinë e zëvendësimit (duke përdorur disa transformime) ir ekuacioni racional racionale, e cila është ose ekuivalente me ekuacionin fillestar irracional ose është pasojë e tij. Më shpesh, të dy anët e ekuacionit janë ngritur në të njëjtën fuqi. Ekuivalenca nuk cenohet kur të dyja pjesët janë të integruara shkallë tek. Përndryshe, është e nevojshme të kontrollohen zgjidhjet e gjetura ose të vlerësohet shenja e të dy anëve të ekuacionit. Por ka teknika të tjera që mund të jenë më efektive në zgjidhjen e ekuacioneve irracionale. Për shembull, metoda zëvendësimi trigonometrik.

Shembulli 1: Zgjidheni ekuacionin

Që atëherë. Prandaj mund të vendosim . Ekuacioni do të marrë formën

Le të vendosim ku, atëherë

.

.

Përgjigje: .

Zgjidhje algjebrike

Që atëherë . Do të thotë, , kështu që ju mund të zgjeroni modulin

.

Përgjigje: .

Zgjidhja e ekuacionit në mënyrë algjebrike kërkon aftësi të mira në kryerjen e transformimeve identike dhe trajtimin kompetent të tranzicioneve ekuivalente. Por në përgjithësi, të dyja metodat e vendimit janë ekuivalente.

Shembulli 2: Zgjidheni ekuacionin

.

Zgjidhje duke përdorur zëvendësimin trigonometrik

Fusha e përkufizimit të ekuacionit jepet nga pabarazia, e cila është ekuivalente me kushtin, atëherë. Prandaj, mund të vendosni. Ekuacioni do të marrë formën

Që atëherë. Le të hapim modulin e brendshëm

Le të vendosim , Pastaj

.

Kushti plotësohet nga dy vlera dhe .

.

.

Përgjigje: .

Zgjidhje algjebrike

.

Le të vendosim në katror ekuacionin e sistemit të parë të popullsisë dhe të marrim

Le të jetë atëherë. Ekuacioni do të rishkruhet si

Duke kontrolluar përcaktojmë se është një rrënjë, pastaj duke e ndarë polinomin me një binom marrim zbërthimin e anës së djathtë të ekuacionit në faktorë

Le të kalojmë nga ndryshorja në ndryshore, marrim

.

gjendja kënaq dy vlera

.

Duke i zëvendësuar këto vlera në ekuacionin origjinal, gjejmë se është rrënja.

Duke zgjidhur në mënyrë të ngjashme ekuacionin e sistemit të dytë të grupit origjinal, gjejmë se ai është gjithashtu një rrënjë.

Përgjigje: .

Nëse në shembullin e mëparshëm zgjidhja algjebrike dhe zgjidhja duke përdorur zëvendësimin trigonometrik ishin ekuivalente, atëherë në në këtë rast zgjidhja me zëvendësim është më fitimprurëse. Kur zgjidh një ekuacion duke përdorur algjebër, duhet të zgjidhësh një grup prej dy ekuacionesh, domethënë ta katrorosh dy herë. Pas këtij transformimi të pabarabartë, fitojmë dy ekuacione të shkallës së katërt me koeficientë irracionalë, të cilët mund të eliminohen me zëvendësim. Një vështirësi tjetër është kontrollimi i zgjidhjeve të gjetura duke i zëvendësuar ato në ekuacionin origjinal.

Shembulli 3: Zgjidheni ekuacionin

.

Zgjidhje duke përdorur zëvendësimin trigonometrik

Që atëherë. Vini re se një vlerë negative e të panjohurës nuk mund të jetë një zgjidhje për problemin. Në të vërtetë, le të transformojmë ekuacionin origjinal në formë

.

Faktori në kllapa në anën e majtë të ekuacionit është pozitiv, ana e djathtë e ekuacionit është gjithashtu pozitive, kështu që faktori në anën e majtë të ekuacionit nuk mund të jetë negativ. Kjo është arsyeja pse, atëherë, kjo është arsyeja pse ju mund të vendosni Ekuacioni origjinal do të rishkruhet si

Që atëherë dhe . Ekuacioni do të marrë formën

Le . Le të kalojmë nga ekuacioni në një sistem ekuivalent

.

Numrat janë rrënjë ekuacioni kuadratik

.

Zgjidhje algjebrike Le të vendosim në katror të dy anët e ekuacionit

Le të prezantojmë zëvendësimin , atëherë ekuacioni do të shkruhet në formë

Rrënja e dytë është e tepërt, prandaj merrni parasysh ekuacionin

.

Që atëherë.

Në këtë rast, zgjidhja algjebrike në teknikisht më e thjeshtë, por është e nevojshme të merret në konsideratë zgjidhja e dhënë duke përdorur zëvendësimin trigonometrik. Kjo është për shkak, së pari, për natyrën jo standarde të vetë zëvendësimit, i cili shkatërron stereotipin se përdorimi i zëvendësimit trigonometrik është i mundur vetëm kur. Rezulton se edhe zëvendësimi trigonometrik gjen zbatim. Së dyti, është e vështirë të zgjidhet ekuacioni trigonometrik , i cili reduktohet duke futur një zëvendësim në një sistem ekuacionesh. Në një farë kuptimi, ky zëvendësim mund të konsiderohet gjithashtu jo standard, dhe njohja me të ju lejon të pasuroni arsenalin tuaj të teknikave dhe metodave për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.

Shembulli 4: Zgjidheni ekuacionin

.

Zgjidhje duke përdorur zëvendësimin trigonometrik

Meqenëse ndryshorja mund të marrë çdo vlerë reale, ne vendosim . Pastaj

,

Sepse.

Ekuacioni origjinal, duke marrë parasysh transformimet e kryera, do të marrë formën

Meqenëse ndajmë të dyja anët e ekuacionit me , marrim

Le , Pastaj . Ekuacioni do të marrë formën

.

Duke pasur parasysh zëvendësimin , marrim një grup prej dy ekuacionesh

.

Le të zgjidhim secilin ekuacion të grupit veç e veç.

.

Nuk mund të jetë një vlerë sinus, pasi për çdo vlerë të argumentit.

.

Sepse dhe ana e djathtë e ekuacionit origjinal është pozitive, atëherë . Nga ku rrjedh se .

Ky ekuacion nuk ka rrënjë, pasi .

Pra, ekuacioni origjinal ka një rrënjë të vetme

.

Zgjidhje algjebrike

Ky ekuacion mund të "transformohet" lehtësisht në një ekuacion racional të shkallës së tetë duke kuadruar të dyja anët e ekuacionit origjinal. Gjetja e rrënjëve të ekuacionit racional që rezulton është e vështirë, dhe është e nevojshme të ketë shkallë të lartë zgjuarsi për të përballuar detyrën. Prandaj, këshillohet të njihni një mënyrë tjetër zgjidhjeje, më pak tradicionale. Për shembull, zëvendësimi i propozuar nga I. F. Sharygin.

Le të vendosim , Pastaj

Le të transformojmë anën e djathtë të ekuacionit :

Duke marrë parasysh shndërrimet, ekuacioni do të marrë formën

.

Le të prezantojmë zëvendësimin, atëherë

.

Rrënja e dytë është e tepërt, prandaj, dhe .

Nëse paraprakisht nuk dihet ideja për zgjidhjen e ekuacionit , atëherë zgjidhja e zgjidhjes standarde duke i katrorizuar të dyja anët e ekuacionit është problematike, pasi rezultati është një ekuacion i shkallës së tetë, rrënjët e të cilit janë jashtëzakonisht të vështira për t'u gjetur. Zgjidhja duke përdorur zëvendësimin trigonometrik duket e rëndë. Mund të jetë e vështirë të gjesh rrënjët e një ekuacioni nëse nuk vëreni se ai është reciprok. Zgjidhja e këtij ekuacioni ndodh duke përdorur aparatin e algjebrës, kështu që mund të themi se zgjidhja e propozuar është e kombinuar. Në të, informacioni nga algjebra dhe trigonometria punojnë së bashku për një qëllim - për të marrë një zgjidhje. Gjithashtu, zgjidhja e këtij ekuacioni kërkon shqyrtim të kujdesshëm të dy rasteve. Zgjidhja me zëvendësim është teknikisht më e thjeshtë dhe më e bukur sesa përdorimi i zëvendësimit trigonometrik. Këshillohet që nxënësit ta njohin këtë metodë zëvendësimi dhe ta përdorin për zgjidhjen e problemeve.

Theksojmë se përdorimi i zëvendësimit trigonometrik për zgjidhjen e problemeve duhet të jetë i vetëdijshëm dhe i justifikuar. Këshillohet përdorimi i zëvendësimit në rastet kur zgjidhja në një mënyrë tjetër është më e vështirë ose plotësisht e pamundur. Le të japim një shembull tjetër, i cili, ndryshe nga ai i mëparshmi, mund të zgjidhet më lehtë dhe më shpejt duke përdorur metodën standarde.

Numrat realë. Përafrimi i numrave realë me thyesa dhjetore të fundme.

Numër real ose real - abstraksioni matematik, që lindi nga nevoja për të matur gjeometrik dhe sasive fizike botën përreth, si dhe kryerja e operacioneve të tilla si nxjerrja e rrënjëve, llogaritja e logaritmeve, zgjidhja e ekuacioneve algjebrike. Nëse numra të plotë lindën në procesin e numërimit, ato racionale - nga nevoja për të vepruar me pjesë të një tërësie, atëherë numrat realë janë të destinuar për matjen e sasive të vazhdueshme. Kështu, zgjerimi i stokut të numrave në shqyrtim çoi në një grup numrash realë, i cili, përveç numrave racionalë, përfshin edhe elementë të tjerë të quajtur numrat irracionalë .

Gabimi absolut dhe kufiri i tij.

Le të ketë një vlerë numerike, dhe vlerë numerike, e cila i është caktuar, konsiderohet e saktë, pastaj nën gabim i vlerës së përafërt vlerë numerike (gabim) kuptojnë dallimin ndërmjet vlerës së saktë dhe të përafërt të një vlere numerike: . Gabimi mund të marrë vlera pozitive dhe negative. Sasia quhet përafrim i njohur në vlerën e saktë të një sasie numerike - çdo numër që përdoret në vend vlerën e saktë. Masa sasiore më e thjeshtë e gabimit është gabimi absolut. Gabim absolut vlera e përafërt është një sasi për të cilën dihet se: Gabimi relativ dhe kufiri i tij.

Cilësia e përafrimit varet në mënyrë të konsiderueshme nga njësitë e pranuara të matjes dhe shkallët e sasive, prandaj këshillohet që të lidhet gabimi i një sasie dhe vlera e saj, për të cilat është futur koncepti i gabimit relativ. Gabim relativ vlera e përafërt është një sasi për të cilën dihet se: . Gabimi relativ shpesh shprehet si përqindje. Përdorimi gabime relative të përshtatshme, në veçanti, sepse ato nuk varen nga shkalla e sasive dhe njësive matëse.

Ekuacionet irracionale

Ekuacionet që përmbajnë një ndryshore nën shenjën e rrënjës quhen irracionale. Kur zgjidhen ekuacionet irracionale, zgjidhjet që rezultojnë kërkojnë verifikim, sepse, për shembull, një barazi e pasaktë në katror mund të japë një barazi të saktë. Në fakt, një barazi e pasaktë kur vihet në katror jep barazinë e saktë 1 2 = (-1) 2, 1=1. Ndonjëherë është më e përshtatshme për të zgjidhur ekuacionet irracionale duke përdorur tranzicione ekuivalente.

Le të vendosim në katror të dy anët e këtij ekuacioni; Pas transformimeve arrijmë në një ekuacion kuadratik; dhe le të zëvendësojmë.

Numrat kompleks. Veprimet me numra kompleks.

Numrat kompleksë janë një zgjatim i grupit të numrave realë, që zakonisht shënohen me . Çdo numër kompleks mund të përfaqësohet si një shumë formale x + iy, Ku x Dhe y- numra realë, i - njësi imagjinare Numrat kompleks formojnë një fushë të mbyllur algjebrikisht - kjo do të thotë se një polinom i shkallës n me koeficientët kompleks ka saktësisht n rrënjë komplekse, domethënë, teorema themelore e algjebrës është e vërtetë. Kjo është një nga arsyet kryesore të përdorimit të saj të gjerë numra komplekse V kërkime matematikore. Për më tepër, përdorimi i numrave kompleks na lejon të formulojmë në mënyrë të përshtatshme dhe kompakte shumë modele matematikore, përdorur në fizikës matematikore dhe ne shkencat natyrore- inxhinieri elektrike, hidrodinamikë, hartografi, Mekanika kuantike, teoria e lëkundjeve dhe shumë të tjera.

Krahasimi a + bi = c + di do të thotë se a = c Dhe b = d(dy numra kompleksë janë të barabartë nëse dhe vetëm nëse pjesët e tyre reale dhe imagjinare janë të barabarta).

Shtesa ( a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i .

Zbritja ( a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d) i .

Shumëzimi

Funksioni numerik. Metodat për përcaktimin e një funksioni

Në matematikë funksioni numerikështë një funksion, domenet e përkufizimit dhe vlerave të të cilit janë nënbashkësi grupe numrash- zakonisht një grup numrash realë ose një grup numrash kompleksë.

Verbale: Me gjuha natyrore Igrek është i barabartë pjesë e tërë nga x. Analitike: Duke përdorur formula analitike f (x) = x !

Grafika Përdorimi i një grafi Fragment i një grafiku të një funksioni.

Tabela: Përdorimi i një tabele vlerash

Vetitë themelore të një funksioni

1) Domeni i funksionit dhe diapazoni i funksionit . Funksioni Domain x(ndryshueshme x), për të cilin funksioni y = f(x) të përcaktuara.

Gama e funksionit y, të cilin funksioni e pranon. NË matematikë elementare funksionet studiohen vetëm mbi bashkësinë e numrave realë.2 ) Funksioni zero) Monotonia e funksionit . Funksioni në rritje Funksioni në rënie . Edhe funksionin X f(-x) = f(x). Funksioni tek- një funksion domeni i përkufizimit të të cilit është simetrik në lidhje me origjinën e koordinatave dhe për cilindo X f (-x) = - f (x. Funksioni thirret kufizuar e pakufizuar .7) Periodiciteti i funksionit. Funksioni f(x) - periodike periudha e funksionit

Grafikët e funksioneve. Shndërrimet më të thjeshta të grafikëve duke përdorur funksionin

Grafiku i një funksioni- një grup pikash, abshisat e të cilave janë vlera të vlefshme argumenti x, dhe ordinatat janë vlerat përkatëse të funksionit y .

Vijë e drejtë- grafiku i një funksioni linear y = sëpatë + b. Funksioni y rritet në mënyrë monotonike për a > 0 dhe zvogëlohet për a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Parabola- grafiku i funksionit trinom kuadratik y = sëpatë 2 + bx + c. Ajo ka boshti vertikal simetri. Nëse a > 0, ka një minimum nëse a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения sëpatë 2 + bx +c =0

Hiperbola- grafiku i funksionit. Kur a > O ndodhet në tremujorin I dhe III, kur a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) ose y - x (a< 0).

Funksioni logaritmik y = log a x(a > 0)

Funksionet trigonometrike. Gjatë ndërtimit të funksioneve trigonometrike përdorim radian masë e këndeve. Pastaj funksioni y= mëkat x paraqitet me një grafik (Fig. 19). Kjo kurbë quhet sinusoid .

Grafiku i një funksioni y=cos x treguar në Fig. 20; kjo është gjithashtu një valë sinus që rezulton nga lëvizja e grafikut y= mëkat x përgjatë boshtit X lënë në / 2.

Vetitë themelore të funksioneve. Monotonia, barazia, çuditshmëria, periodiciteti i funksioneve.

Funksioni Domain dhe Funksioni Domain . Funksioni Domainështë grupi i të gjitha të vlefshme vlerat reale argument x(ndryshueshme x), për të cilin funksioni y = f(x) të përcaktuara.

Gama e funksionitështë bashkësia e të gjitha vlerave reale y, të cilin funksioni e pranon.

Në matematikën elementare funksionet studiohen vetëm mbi bashkësinë e numrave realë.2 ) Funksioni zero- vlera e argumentit në të cilin vlera e funksionit është zero.3 ) Intervalet e shenjës konstante të një funksioni- grupe të tilla vlerash argumentesh mbi të cilat vlerat e funksionit janë vetëm pozitive ose vetëm negative.4 ) Monotonia e funksionit .

Funksioni në rritje(në një interval) - një funksion për të cilin vlerë më të lartë argumenti nga ky interval korrespondon me një vlerë më të madhe të funksionit.

Funksioni në rënie(në një interval të caktuar) - një funksion për të cilin korrespondon vlera më e madhe e argumentit nga ky interval vlerë më të ulët funksionet.5 ) Funksioni çift (tek). . Edhe funksionin- një funksion domeni i përkufizimit të të cilit është simetrik në lidhje me origjinën e koordinatave dhe për cilindo X nga fusha e përkufizimit barazia f(-x) = f(x). Orari madje funksion simetrike rreth boshtit të ordinatave. Funksioni tek- një funksion domeni i përkufizimit të të cilit është simetrik në lidhje me origjinën e koordinatave dhe për cilindo X nga fusha e përkufizimit barazia është e vërtetë f (-x) = - f (x). Orari funksion tek simetrike për origjinën.6 ) Funksione të kufizuara dhe të pakufizuara. Funksioni thirret kufizuar, nëse ka një numër pozitiv M të tillë që |f (x) | ≤ M për të gjitha vlerat e x. Nëse një numër i tillë nuk ekziston, atëherë funksioni është e pakufizuar .7) Periodiciteti i funksionit. Funksioni f(x) - periodike, nëse ekziston një numër jo zero T i tillë që për çdo x nga fusha e përcaktimit të funksionit vlen: f (x+T) = f (x). Kjo numri më i vogël thirrur periudha e funksionit. Të gjitha funksionet trigonometrike janë periodike. (Formulat trigonometrike).

Funksionet periodike. Rregullat për gjetjen e periudhës kryesore të një funksioni.

Funksioni periodik- një funksion që përsërit vlerat e tij pas një periudhe jozero, domethënë nuk e ndryshon vlerën e tij kur argumentit i shtohet një numër (periudha) fiks jozero. Të gjitha funksionet trigonometrike janë periodike. Janë të pabesë deklaratat në lidhje me shumën funksionet periodike: Shuma e 2 funksioneve me periudha të krahasueshme (madje edhe bazë). T 1 dhe T 2 është një funksion me periudhë LCM ( T 1 ,T 2). Shuma 2 funksionet e vazhdueshme me periudha të pakrahasueshme (edhe themelore) është një funksion jo periodik. Nuk ka funksione periodike e barabartë me një konstante, periudhat e të cilave janë numra të pakrahasueshëm.

Hartimi i grafikëve të funksioneve të fuqisë.

Funksioni i fuqisë. Ky është funksioni: y = axn, Ku a, n- e përhershme. Në n= 1 marrim proporcionaliteti i drejtpërdrejtë : y =sëpatë; në n = 2 - parabolë katrore ; në n = 1 - proporcionaliteti i anasjelltë ose hiperbolë. Pra, këto funksione janë raste të veçanta të funksionit të fuqisë. Ne e dimë se fuqia zero e çdo numri tjetër përveç zeros është 1, pra kur n = 0 funksioni i fuqisë shndërrohet në vlerë konstante: y =a, d.m.th. grafiku i tij është një vijë e drejtë paralele me boshtin X, duke përjashtuar origjinën (ju lutemi shpjegoni pse?). Të gjitha këto raste (me a= 1) janë paraqitur në figurën 13 ( n 0) dhe Fig. 14 ( n < 0). Vlerat negative x nuk janë përfshirë këtu, që atëherë disa funksione:

Funksioni i anasjelltë

Funksioni i anasjelltë- një funksion që anulon varësinë e shprehur nga ky funksion. Një funksion është i anasjelltë me një funksion nëse plotësohen identitetet e mëposhtme: për të gjithë per te gjithe

Kufiri i një funksioni në një pikë. Vetitë themelore të kufirit.

Rrënja e n-të dhe vetitë e saj.

Rrënja e n-të e një numri është një numër, fuqia e n-të e të cilit është e barabartë me a.

Përkufizimi: Rrënja aritmetike Fuqia e n-të e a-së është një numër jo negativ, fuqia e n-të e të cilit është e barabartë me a.

Karakteristikat themelore të rrënjëve:

Një fuqi me një eksponent real arbitrar dhe vetitë e saj.

Le të jepet një numër pozitiv dhe një numër real arbitrar. Numri quhet fuqi, numri është baza e fuqisë dhe numri është eksponent.

Sipas përkufizimit ata besojnë:

nese - numra pozitiv, dhe janë ndonjë numër real, atëherë ata janë të vlefshëm vetitë e mëposhtme:

.

.

Funksioni i fuqisë, vetitë dhe grafikët e tij

Funksioni i fuqisë ndryshore komplekse f (z) = z n me një eksponent numër të plotë përcaktohet duke përdorur vazhdimin analitik të një funksioni të ngjashëm të argumentit real. Për këtë qëllim përdoret forma eksponenciale e shkrimit të numrave kompleksë. një funksion fuqie me një eksponent numër të plotë është analitik në të gjithë plan kompleks si vepër numër i kufizuar raste të hartës së identitetit f (z) = z. Sipas teoremës së unike, këto dy kritere janë të mjaftueshme për veçantinë e vazhdimit analitik që rezulton. Duke përdorur këtë përkufizim, mund të konkludojmë menjëherë se funksioni i fuqisë së një ndryshoreje komplekse ka dallime domethënëse nga homologu i tij real.

Ky është një funksion i formës , . Konsiderohen rastet e mëposhtme:

A). Nese atehere. Pastaj, ; nëse numri është çift, atëherë funksioni është çift (d.m.th para të gjithëve); nëse numri është tek, atëherë funksioni është tek (d.m.th para të gjithëve).

Funksioni eksponencial, vetitë dhe grafikët e tij

Funksioni eksponencial - funksioni matematik.

Në rastin real, baza e gradës është disi jo negative numër real, dhe argumenti i funksionit është një eksponent real.

Në teori funksionet komplekse konsiderohet një rast më i përgjithshëm kur argumenti dhe eksponenti mund të jenë një numër kompleks arbitrar.

Në shumë pamje e përgjithshme - u v, prezantuar nga Leibniz në 1695

Vlen të përmendet veçanërisht rasti kur numri e vepron si bazë e shkallës. Një funksion i tillë quhet eksponencial (real ose kompleks).

Vetitë ; ; .

Ekuacionet eksponenciale.

Le të kalojmë drejtpërdrejt në ekuacionet eksponenciale. Për të vendosur ekuacioni eksponencialështë e nevojshme të përdoret teorema e mëposhtme: Nëse fuqitë janë të barabarta dhe bazat janë të barabarta, pozitive dhe të ndryshme nga një, atëherë eksponentët e tyre janë të barabartë. Le të vërtetojmë këtë teoremë: Le të a>1 dhe a x =a y.

Le të vërtetojmë se në këtë rast x=y. Le të supozojmë të kundërtën e asaj që duhet vërtetuar, d.m.th. le të supozojmë se x>y ose se x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х ay. Të dyja këto rezultate kundërshtojnë kushtet e teoremës. Prandaj, x = y, që është ajo që duhet të vërtetohet.

Përkufizimi 1. Një pingul me një vijë të caktuar është një segment i një drejtëze pingul me një vijë të caktuar, e cila ka një nga skajet e saj në pikën e tyre të kryqëzimit. Fundi i një segmenti që shtrihet në një vijë të caktuar quhet baza e pingules.

Përkufizimi 2. Pjerrësia e tërhequr nga një pikë e caktuar në një vijë të caktuar quhet segment lidhës këtë pikë me çdo pikë në një drejtëz që nuk është baza e një pingule të rënë nga e njëjta pikë në një drejtëz të caktuar. AB është pingul me rrafshin α.

AC - i zhdrejtë, CB - projeksion.

C është baza e të pjerrës, B është baza e pingules.

Këndi ndërmjet vijës së drejtë dhe rrafshit.

Këndi ndërmjet vijës së drejtë dhe rrafshitÇdo kënd midis një drejtëze dhe projeksionit të saj në këtë rrafsh quhet.

Këndi dihedral.

Këndi dihedral- hapësinore figura gjeometrike, i formuar nga dy gjysmërrafshe që dalin nga një vijë e drejtë, si dhe një pjesë e hapësirës së kufizuar nga këto gjysmërrafshe. Quhen gjysëm plane skajet këndi dihedral, dhe drejtëza e përbashkët e tyre është buzë. Maten këndet dihedrale kënd linear, pra këndi i formuar nga kryqëzimi i një këndi dihedral me një rrafsh pingul me skajin e tij. Çdo shumëfaqësh, i rregullt ose i parregullt, konveks ose konkav, ka një kënd dykëndor në çdo skaj.

Perpendikulariteti i dy planeve.

SHENJË E PËRPENDIKULARITETIT TË RRAFSHËVE.

Nëse një rrafsh kalon nëpër një vijë pingul me një rrafsh tjetër, atëherë këto plane janë pingul.

Institucion arsimor komunal

"Shkolla e mesme Kuedino nr. 2"

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve irracionale

Plotësuar nga: Olga Egorova,

Mbikëqyrësi:

Mësues

matematikë,

kualifikimi me i larte

Prezantimi....……………………………………………………………………………………… 3

Seksioni 1. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve irracionale…………………………………6

1.1 Zgjidhja e ekuacioneve irracionale të pjesës C……….…….……………………………

Seksioni 2. Detyrat individuale…………………………………………….....………...24

Përgjigjet………………………………………………………………………………………….25

Bibliografi…….…………………………………………………………………….26

Prezantimi

Arsimi në matematikë i marrë në shkolla e mesme, eshte komponent thelbësor arsimi i përgjithshëm Dhe kulturën e përgjithshme njeriu modern. Pothuajse gjithçka që e rrethon njeriun modern është e lidhur disi me matematikën. A arritjet e fundit në fizikë, inxhinieri dhe teknologji informacioni nuk ka dyshim se në të ardhmen gjendja e punëve do të mbetet e njëjtë. Prandaj, vendimi i shumë probleme praktike vjen deri te një vendim lloje të ndryshme ekuacionet që duhet të mësoni t'i zgjidhni. Një nga këto lloje janë ekuacionet irracionale.

Ekuacionet irracionale

Një ekuacion që përmban një të panjohur (ose racionale shprehje algjebrike nga e panjohura) nën shenjën radikale, e quajtur ekuacioni irracional. Në matematikën elementare, zgjidhjet e ekuacioneve irracionale gjenden në bashkësinë e numrave realë.

Të gjitha llojet e gjërave ekuacioni irracional me ndihmën e veprimeve elementare algjebrike (shumëzimi, pjesëtimi, ngritja e të dy anëve të ekuacionit në një fuqi të plotë) mund të reduktohet në një ekuacion racional algjebrik. Duhet të kihet parasysh se ekuacioni racional algjebrik që rezulton mund të rezultojë të jetë jo ekuivalent me ekuacionin fillestar irracional, domethënë, ai mund të përmbajë rrënjë "ekstra" që nuk do të jenë rrënjë të ekuacionit origjinal irracional. Prandaj, duke gjetur rrënjët e racionales që rezulton ekuacioni algjebrik, është e nevojshme të kontrollohet nëse të gjitha rrënjët e ekuacionit racional janë rrënjë të ekuacionit irracional.

NË rast i përgjithshëmështë e vështirë të tregohet ndonjë metodë universale për zgjidhjen e ndonjë ekuacioni irracional, pasi është e dëshirueshme që si rezultat i transformimeve të ekuacionit origjinal irracional, rezultati të mos jetë vetëm një ekuacion racional algjebrik, ndër rrënjët e të cilit do të jenë rrënjët. të ekuacionit të dhënë irracional, por një ekuacion racional algjebrik i formuar nga polinomet sa më pak të jetë e mundur. Dëshira për të marrë atë ekuacion racional algjebrik të formuar nga polinome të shkallës më të vogël të mundshme është krejt e natyrshme, pasi gjetja e të gjitha rrënjëve të një ekuacioni racional algjebrik në vetvete mund të jetë mjaft detyrë e vështirë, të cilat ne mund ta zgjidhim plotësisht vetëm në një numër shumë të kufizuar rastesh.

Llojet e ekuacioneve irracionale

Zgjidhja e ekuacioneve irracionale të shkallës çift gjithmonë shkakton më shumë probleme sesa zgjidhja e ekuacioneve irracionale të shkallës tek. Kur zgjidhen ekuacionet irracionale të shkallës tek, OD nuk ndryshon. Prandaj, më poshtë do të shqyrtojmë ekuacionet irracionale, shkalla e të cilave është çift. Ekzistojnë dy lloje ekuacionesh irracionale:

2..

Le të shqyrtojmë të parën prej tyre.

Ekuacionet ODZ: f(x)≥ 0. Në ODZ, ana e majtë e ekuacionit është gjithmonë jo negative - prandaj, një zgjidhje mund të ekzistojë vetëm kur g(x)≥ 0. Në këtë rast, të dyja anët e ekuacionit janë jonegative, dhe fuqia 2 n jep një ekuacion të barabartë. Ne e kuptojmë atë

Le t'i kushtojmë vëmendje faktit se në këtë rast ODZ kryhet automatikisht dhe nuk duhet ta shkruani atë, por kushting(x) ≥ 0 duhet të kontrollohet.

Shënim: Kjo është shumë kusht i rëndësishëm ekuivalencë. Së pari, e çliron nxënësin nga nevoja për të hetuar dhe pasi të gjejë zgjidhjet, kontrolloni kushtin f(x) ≥ 0 – mosnegativiteti i shprehjes radikale. Së dyti, fokusohet në kontrollimin e gjendjesg(x) ≥ 0 – jonegativiteti i anës së djathtë. Në fund të fundit, pas katrorit, ekuacioni zgjidhet d.m.th., dy ekuacione zgjidhen njëherësh (por në intervale të ndryshme të boshtit numerik!):

1. - ku g(x)≥ 0 dhe

2. - ku g(x) ≤ 0.

Ndërkohë, shumë, jashtë zakonit shkollor për të gjetur ODZ, veprojnë pikërisht të kundërtën kur zgjidhin ekuacione të tilla:

a) pasi gjejnë zgjidhje kontrollojnë kushtin f(x) ≥ 0 (që plotësohet automatikisht), duke bërë gabime aritmetike dhe duke marrë një rezultat të pasaktë;

b) injoroni kushting(x) ≥ 0 - dhe përsëri përgjigja mund të rezultojë e pasaktë.

Shënim: Kushti i ekuivalencës është veçanërisht i dobishëm kur zgjidhen ekuacionet trigonometrike, në të cilat gjetja e ODZ-së lidhet me zgjidhjen pabarazitë trigonometrike, që është shumë më e vështirë se zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike. Kontrollimi i kushteve çift në ekuacionet trigonometrike g(x)≥ 0 nuk është gjithmonë e lehtë për t'u bërë.

Le të shqyrtojmë llojin e dytë të ekuacioneve irracionale.

. Le të jepet ekuacioni . ODZ e tij:

Në ODZ të dyja anët janë jo negative, dhe katrori jep ekuacionin ekuivalent f(x) =g(x). Prandaj, në ODZ ose

Me këtë metodë zgjidhjeje, mjafton të kontrolloni jonegativitetin e njërit prej funksioneve - mund të zgjidhni një më të thjeshtë.

Seksioni 1. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve irracionale

1 metodë. Largimi i radikalëve duke ngritur në mënyrë sekuenciale të dyja anët e ekuacionit në përkatësinë shkallë natyrore

Metoda më e përdorur për zgjidhjen e ekuacioneve irracionale është metoda e eliminimit të radikalëve duke ngritur në mënyrë të njëpasnjëshme të dyja anët e ekuacionit në fuqinë e duhur natyrore. Duhet të kihet parasysh se kur të dyja anët e ekuacionit janë ngritur në një fuqi tek, ekuacioni që rezulton është i barabartë me atë origjinal dhe kur të dyja anët e ekuacionit janë ngritur në një fuqi çift, ekuacioni që rezulton, në përgjithësi, do të duke folur, të jetë jo ekuivalent me ekuacionin origjinal. Kjo mund të verifikohet lehtësisht duke ngritur të dyja anët e ekuacionit në çdo fuqi të barabartë. Rezultati i këtij operacioni është ekuacioni , grupi i zgjidhjeve të të cilave është një bashkim grupesh zgjidhjesh: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Megjithatë , megjithë këtë pengesë, është procedura e ngritjes së të dy anëve të ekuacionit në disa fuqi (shpesh madje edhe) ajo që është procedura më e zakonshme për reduktimin e një ekuacioni irracional në një ekuacion racional.

Zgjidhe ekuacionin:

Ku - disa polinome. Për shkak të përcaktimit të operacionit të nxjerrjes së rrënjës në grupin e numrave realë, vlerat e lejuara të të panjohurës janë https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width="123 lartësi =21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.

Meqenëse të dyja anët e ekuacionit 1 ishin në katror, ​​mund të rezultojë se jo të gjitha rrënjët e ekuacionit 2 do të jenë zgjidhje për ekuacionin origjinal, kontrollimi i rrënjëve është i nevojshëm.

Zgjidhe ekuacionin:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Kube të dyja anët e ekuacionit, ne marrim

Duke marrë parasysh që https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(Ekuacioni i fundit mund të ketë rrënjë që, në përgjithësi, nuk janë rrënjë të ekuacioni ).

I bëjmë kubike të dyja anët e këtij ekuacioni: . Le ta rishkruajmë ekuacionin në formën x3 – x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Duke kontrolluar konstatojmë se x1 = 0 është një rrënjë e jashtme e ekuacionit (-2 ≠ 1), dhe x2 = 1 plotëson origjinalin ekuacioni.

Përgjigje: x = 1.

Metoda 2. Zëvendësimi sistemi ngjitur kushtet

Kur zgjidhen ekuacionet irracionale që përmbajnë radikale të rendit të barabartë, rrënjët e jashtme mund të shfaqen në përgjigje, të cilat nuk janë gjithmonë të lehta për t'u identifikuar. Për ta bërë më të lehtë identifikimin dhe heqjen e rrënjëve të jashtme, kur zgjidhen ekuacionet irracionale, ai zëvendësohet menjëherë nga një sistem kushtesh ngjitur. Pabarazitë shtesë në sistem në fakt marrin parasysh ODZ-në e ekuacionit që zgjidhet. Ju mund ta gjeni ODZ-në veçmas dhe ta merrni parasysh më vonë, por preferohet të përdorni sisteme të përziera të kushteve: ka më pak rrezik të harrohet diçka ose të mos merret parasysh në procesin e zgjidhjes së ekuacionit. Prandaj, në disa raste është më racionale të përdoret metoda e kalimit në sisteme të përziera.

Zgjidhe ekuacionin:

Përgjigje: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

Ky ekuacion është ekuivalent me sistemin

Përgjigje: ekuacioni nuk ka zgjidhje.

Metoda 3. Përdorimi i vetive të rrënjës së n-të

Kur zgjidhen ekuacionet irracionale, përdoren vetitë e rrënjës së n-të. Rrënja aritmetike n- th gradë nga mesi A telefononi një numër jo negativ n- i fuqia e të cilit është e barabartë me A. Nëse n - edhe( 2n), atëherë a ≥ 0, përndryshe rrënja nuk ekziston. Nëse n - i rastësishëm ( 2 n+1), atëherë a është çdo dhe = - ..gif" width="45" height="19"> Pastaj:

2.

3.

4.

5.

Kur aplikoni ndonjë nga këto formula, formalisht (pa marrë parasysh kufizimet e specifikuara), duhet të kihet parasysh se ODZ e së majtës dhe pjesët e duhura secila prej tyre mund të jetë e ndryshme. Për shembull, shprehja përcaktohet me f ≥ 0 Dhe g ≥ 0, dhe shprehja është sikur f ≥ 0 Dhe g ≥ 0, dhe me f ≤ 0 Dhe g ≤ 0.

Për secilën nga formulat 1-5 (pa marrë parasysh kufizimet e specifikuara), ODZ e anës së djathtë të saj mund të jetë më e gjerë se ODZ e së majtës. Nga kjo rrjedh se transformimet e ekuacionit me përdorimin formal të formulave 1-5 "nga e majta në të djathtë" (siç janë shkruar) çojnë në një ekuacion që është pasojë e atij origjinal. Në këtë rast, rrënjët e jashtme të ekuacionit origjinal mund të shfaqen, kështu që verifikimi është një hap i detyrueshëm në zgjidhjen e ekuacionit origjinal.

Transformimet e ekuacioneve me përdorimin zyrtar të formulave 1-5 "nga e djathta në të majtë" janë të papranueshme, pasi është e mundur të gjykohet OD e ekuacionit origjinal, dhe rrjedhimisht, humbja e rrënjëve.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

që është pasojë e origjinalit. Zgjidhja e këtij ekuacioni reduktohet në zgjidhjen e një grupi ekuacionesh .

Nga ekuacioni i parë i këtij grupi gjejmë https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> nga ku gjejmë. Kështu, rrënjët e ky ekuacion mund të jetë vetëm numrat (-1) dhe (-2). Kontrolli tregon se të dyja rrënjët e gjetura plotësojnë këtë ekuacion.

Përgjigje: -1,-2.

Zgjidheni ekuacionin: .

Zgjidhje: në bazë të identiteteve, termi i parë zëvendësohet me . Vini re se si shuma e dy numra jonegativë ana e majte. “Hiqni” modulin dhe, pasi të keni sjellë terma të ngjashëm, zgjidhni ekuacionin. Meqenëse , marrim ekuacionin . Që kur , pastaj https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">

Përgjigje: x = 4,25.

Metoda 4 Prezantimi i variablave të rinj

Një shembull tjetër i zgjidhjes së ekuacioneve irracionale është metoda e futjes së variablave të rinj, në lidhje me të cilat fitohet ose një ekuacion irracional më i thjeshtë ose një ekuacion racional.

Zgjidhja e ekuacioneve irracionale duke e zëvendësuar ekuacionin me pasojën e tij (e ndjekur nga kontrollimi i rrënjëve) mund të bëhet si më poshtë:

1. Gjeni ODZ-në e ekuacionit origjinal.

2. Kaloni nga ekuacioni në pasojat e tij.

3. Gjeni rrënjët e ekuacionit që rezulton.

4. Kontrolloni nëse rrënjët e gjetura janë rrënjët e ekuacionit origjinal.

Kontrolli është si më poshtë:

A) kontrollohet përkatësia e secilës rrënjë të gjetur në ekuacionin origjinal. Ato rrënjë që nuk i përkasin ODZ janë të jashtme për ekuacionin origjinal.

B) për çdo rrënjë të përfshirë në ODZ të ekuacionit origjinal, kontrollohet nëse kanë shenja identike anën e majtë dhe të djathtë të secilit prej ekuacioneve që lindin në procesin e zgjidhjes së ekuacionit origjinal dhe ngrihen në një fuqi të barabartë. Ato rrënjë për të cilat kanë pjesët e çdo ekuacioni të ngritur në një fuqi çift shenja të ndryshme, janë të jashtëligjshme për ekuacionin origjinal.

C) vetëm ato rrënjë që i përkasin ODZ-së së ekuacionit origjinal dhe për të cilat të dyja anët e secilit prej ekuacioneve që lindin në procesin e zgjidhjes së ekuacionit origjinal dhe të ngritura në një fuqi çift, kontrollohen me të njëjtat shenja me zëvendësim të drejtpërdrejtë në ekuacioni origjinal.

Kjo metodë e zgjidhjes me metodën e specifikuar të verifikimit lejon që njeriu të shmangë llogaritjet e rënda në rastin e zëvendësimit të drejtpërdrejtë të secilës prej rrënjëve të gjetura të ekuacionit të fundit në atë origjinal.

Zgjidheni ekuacionin irracional:

.

Seti i vlerave të vlefshme për këtë ekuacion është:

Duke vënë , pas zëvendësimit marrim ekuacionin

ose ekuacion ekuivalent

i cili mund të konsiderohet si një ekuacion kuadratik në lidhje me. Duke zgjidhur këtë ekuacion, marrim

.

Prandaj, bashkësia e zgjidhjeve të ekuacionit fillestar irracional është bashkimi i bashkësive të zgjidhjeve të dy ekuacioneve të mëposhtme:

, .

Duke ngritur të dyja anët e secilit prej këtyre ekuacioneve në një kub, marrim dy ekuacione racionale algjebrike:

, .

Duke zgjidhur këto ekuacione, gjejmë se ky ekuacion irracional ka një rrënjë të vetme x = 2 (nuk kërkohet verifikim, pasi të gjitha transformimet janë ekuivalente).

Përgjigje: x = 2.

Zgjidheni ekuacionin irracional:

Le të shënojmë 2x2 + 5x – 2 = t. Atëherë ekuacioni origjinal do të marrë formën . Duke vendosur në katror të dy anët e ekuacionit që rezulton dhe duke sjellë anëtarë të ngjashëm, marrim një ekuacion që është pasojë e të mëparshmit. Prej saj gjejmë t=16.

Duke u kthyer te e panjohura x, marrim ekuacionin 2x2 + 5x – 2 = 16, që është pasojë e atij origjinal. Duke kontrolluar jemi të bindur se rrënjët e tij x1 = 2 dhe x2 = - 9/2 janë rrënjët e ekuacionit origjinal.

Përgjigje: x1 = 2, x2 = -9/2.

Metoda 5. Shndërrim identik i ekuacionit

Kur zgjidhni ekuacione irracionale, nuk duhet të filloni zgjidhjen e ekuacionit duke ngritur të dyja anët e ekuacioneve në një fuqi natyrore, duke u përpjekur të reduktoni zgjidhjen e ekuacionit irracional në zgjidhjen e një ekuacioni racional algjebrik. Së pari duhet të shohim nëse është e mundur të bëjmë ndonjë transformim identik të ekuacionit që mund të thjeshtojë ndjeshëm zgjidhjen e tij.

Zgjidhe ekuacionin:

Seti i vlerave të pranueshme për këtë ekuacion: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Le ta ndajmë këtë ekuacion me .

.

Ne marrim:

Kur a = 0 ekuacioni nuk do të ketë zgjidhje; kur ekuacioni mund të shkruhet si

për këtë ekuacion nuk ka zgjidhje, pasi për asnjë X, që i përkasin grupit vlerat e lejuara të ekuacionit, shprehja në anën e majtë të ekuacionit është pozitive;

kur ekuacioni ka një zgjidhje

Duke marrë parasysh se shumë zgjidhjet e pranueshme ekuacioni përcaktohet nga kushti, në fund marrim:

Kur zgjidhni këtë ekuacion irracional, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> zgjidhja e ekuacionit do të jetë. Për të gjitha vlerat e tjera X ekuacioni nuk ka zgjidhje.

SHEMBULL 10:

Zgjidheni ekuacionin irracional: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

Zgjidhja e ekuacionit kuadratik të sistemit jep dy rrënjë: x1 = 1 dhe x2 = 4. E para nga rrënjët që rezultojnë nuk plotëson pabarazinë e sistemit, prandaj x = 4.

Shënime

1) Kryerja e transformimeve identike ju lejon të bëni pa kontrolluar.

2) Pabarazia x – 3 ≥0 i referohet transformime identike, dhe jo në domenin e përkufizimit të ekuacionit.

3) Në anën e majtë të ekuacionit ka një funksion zbritës, dhe në anën e djathtë të këtij ekuacioni ka një funksion rritës. Grafikët e funksioneve zvogëluese dhe rritëse në kryqëzimin e domeneve të tyre të përkufizimit nuk mund të kenë më shumë se një pikë e përbashkët. Natyrisht, në rastin tonë x = 4 është abshisa e pikës së kryqëzimit të grafikëve.

Përgjigje: x = 4.

Metoda 6. Përdorimi i fushës së funksioneve për zgjidhjen e ekuacioneve

Kjo metodë është më efektive kur zgjidhni ekuacione që përfshijnë funksione https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> dhe gjeni përkufizimet e zonës së saj (f)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, atëherë duhet të kontrolloni nëse ekuacioni është i saktë në skajet e intervalit, dhe nëse< 0, а b >0, atëherë kontrollimi në intervale është i nevojshëm (a;0) Dhe . Numri më i vogël i plotë në E(y) është 3.