Shembull. Le të kthehemi te shembulli (1.13):

x = 1 + 12t 3t2

(koordinata matet në metra, koha në sekonda). Duke dalluar vazhdimisht dy herë, marrim:

vx = x = 12 6t;

sëpatë = vx = 6:

Siç mund ta shohim, nxitimi është konstant në vlerë absolute dhe i barabartë me 6 m/s2. Nxitimi drejtohet në drejtim të kundërt me boshtin X.

Shembulli i dhënë është rasti i lëvizjes së përshpejtuar në mënyrë uniforme, në të cilën madhësia dhe drejtimi i nxitimit janë të pandryshuara. Lëvizja e përshpejtuar në mënyrë të njëtrajtshme është një nga llojet më të rëndësishme dhe më të zakonshme të lëvizjes në mekanikë.

Nga ky shembull nuk është e vështirë të kuptohet se me lëvizje të përshpejtuar njëtrajtësisht projeksioni i shpejtësisë është funksion linear koha dhe koordinata funksion kuadratik. Ne do të flasim për këtë në mënyrë më të detajuar në seksionin përkatës mbi lëvizjen e përshpejtuar uniformisht.

Shembull. Le të shqyrtojmë një rast më ekzotik:

x = 2 + 3t 4t2 + 5t3:

Le të dallojmë:

vx = x = 3 8t + 15t2;

sëpatë = vx = 8 + 30t:

Kjo lëvizje nuk përshpejtohet në mënyrë të njëtrajtshme: nxitimi varet nga koha.

Shembull. Lëreni trupin të lëvizë përgjatë boshtit X sipas ligjit të mëposhtëm:

Ne shohim se koordinata e trupit ndryshon periodikisht, duke filluar nga 5 në 5. Kjo lëvizje është një shembull dridhjet harmonike, kur koordinata ndryshon me kalimin e kohës sipas ligjit sinus.

Le të dallojmë dy herë:

vx = x = 5 cos 2t 2 = 10 cos 2t;

sëpatë = vx = 20 sin 2t:

Projeksioni i shpejtësisë ndryshon sipas ligjit të kosinusit, dhe projeksioni i nxitimit përsëri sipas ligjit të sinusit. Sasia ax është proporcionale me koordinatën x dhe në shenjë e kundërt (pra, sëpatë = 4x); në përgjithësi, një lidhje e formës ax = !2 x është karakteristikë e lëkundjeve harmonike.

1.2.8 Ligji i shtimit të shpejtësive

Le të ketë dy sisteme referimi. Njëra prej tyre lidhet me trup pa lëvizje referenca O. Le ta shënojmë këtë sistem referimi K dhe ta quajmë stacionar.

Sistemi i dytë i referencës, i shënuar me K0, shoqërohet me trupin referues O0, i cili lëviz në raport me trupin O me një shpejtësi prej ~u. Ne e quajmë këtë sistem referimi lëvizës. Për më tepër

supozojmë se boshtet koordinative sistemet K0 lëvizin paralel me vete (nuk ka rrotullim të sistemit të koordinatave), kështu që vektori ~u mund të konsiderohet shpejtësia e sistemit lëvizës në raport me atë të palëvizshëm.

Korniza fikse e referencës K zakonisht lidhet me tokën. Nëse një tren lëviz pa probleme përgjatë shinave me një shpejtësi prej ~u, atëherë korniza e referencës e lidhur me vagonin e trenit do të jetë një kornizë referuese lëvizëse K0.

Vini re se shpejtësia e çdo pike në makinën3 është ~u. Nëse një mizë ulet pa lëvizur në një pikë në karrocë, atëherë në lidhje me tokën miza lëviz me një shpejtësi prej ~u. Miza bartet nga karroca, dhe për këtë arsye shpejtësia ~u e sistemit lëvizës në raport me atë të palëvizshme quhet shpejtësi e lëvizshme.

Tani supozoni se një mizë u zvarrit përgjatë karrocës. Pastaj ka edhe dy shpejtësi të tjera që duhet të merren parasysh.

Shpejtësia e fluturimit në lidhje me makinën (d.m.th., në sistemin lëvizës K0) shënohet me ~v0 dhe

quhet shpejtësi relative.

Shpejtësia e fluturimit në raport me tokën (d.m.th., në një kornizë të palëvizshme K) shënohet me ~v dhe

quhet shpejtësi absolute.

Le të zbulojmë se si këto tre shpejtësi - absolute, relative dhe portative - lidhen me njëra-tjetrën.

Në Fig. 1.11 miza tregohet nga pika M. Më pas:

~r vektori i rrezes së pikës M në një sistem fiks K; ~r0 vektori i rrezes së pikës M në sistemin lëvizës K0 ;

~ vektori i rrezes së trupit të referencës 0 në një sistem të palëvizshëm.

Oriz. 1.11. Deri në përfundimin e ligjit të mbledhjes së shpejtësive

Siç shihet nga figura,

~ 0 ~r = R + ~r:

Duke e diferencuar këtë barazi, marrim:

Derivati ​​d~r=dt është shpejtësia e pikës M në sistemin K, pra shpejtësia absolute:

d~r dt = ~v:

Në mënyrë të ngjashme, derivati ​​d~r 0 =dt është shpejtësia e pikës M në sistemin K0, domethënë relative

shpejtësia:

d~r dt 0 = ~v0:

3 Përveç rrotave rrotulluese, por ne nuk i marrim parasysh ato.

Çfarë është ~? Kjo është shpejtësia e pikës 0 në një sistem të palëvizshëm, domethënë i lëvizshëm dR=dt O

shpejtësia ~u e një sistemi në lëvizje në raport me një të palëvizshëm:

dR dt = ~u:

Si rezultat, nga (1.28) marrim:

~v = ~u + ~v 0:

Ligji i shtimit të shpejtësive. Shpejtësia e një pike në lidhje me një kornizë referimi të palëvizshme është e barabartë me shumën vektoriale të shpejtësisë së sistemit lëvizës dhe shpejtësisë së pikës në lidhje me sistemin lëvizës. Me fjalë të tjera, shpejtësia absolute është shuma e shpejtësive portative dhe relative.

Kështu, nëse një mizë zvarritet përgjatë një karroce në lëvizje, atëherë shpejtësia e mizës në lidhje me tokën është e barabartë me shumën vektoriale të shpejtësisë së karrocës dhe shpejtësisë së mizës në lidhje me karrocën. Rezultati intuitivisht i dukshëm!

1.2.9 Llojet e lëvizjes mekanike

Llojet më të thjeshta lëvizje mekanike të një pike materiale janë lëvizje uniforme dhe drejtvizore.

Lëvizja quhet uniforme nëse madhësia e vektorit të shpejtësisë mbetet konstante (drejtimi i shpejtësisë mund të ndryshojë).

Lëvizja quhet drejtvizore nëse ndodh përgjatë një vije të caktuar të drejtë (madhësia e shpejtësisë mund të ndryshojë). Me fjalë të tjera, trajektorja e lëvizjes drejtvizore është një vijë e drejtë.

Për shembull, një makinë me të cilën po udhëton shpejtësi konstante përgjatë një rruge gjarpëruese, bën një lëvizje uniforme (por jo drejtvizore). Një makinë që përshpejton në një seksion të drejtë të autostradës lëviz në një vijë të drejtë (por jo në mënyrë uniforme).

Por nëse, gjatë lëvizjes së një trupi, si madhësia e shpejtësisë ashtu edhe drejtimi i tij mbeten konstante, atëherë lëvizja quhet drejtvizore uniforme. Kështu që:

lëvizje uniforme, j~vj = konst;

uniforme lëvizje drejtvizore, ~v = konst.

Rasti më i rëndësishëm i veçantë lëvizje e pabarabartëështë lëvizje e përshpejtuar në mënyrë të njëtrajtshme, në të cilën qëndrojnë modul konstant dhe drejtimi i vektorit të nxitimit:

lëvizje e përshpejtuar në mënyrë të njëtrajtshme, ~a = konst.

Së bashku me pikën materiale, një tjetër idealizim konsiderohet në mekanikë - një trup i ngurtë.

Një trup i ngurtë është një sistem pikash materiale, distancat midis të cilave nuk ndryshojnë me kalimin e kohës. Model të ngurta përdoret në rastet kur nuk mund të neglizhojmë përmasat e trupit, por nuk mund të marrim parasysh ndryshimin e madhësisë dhe formës së trupit gjatë lëvizjes.

Llojet më të thjeshta të lëvizjes mekanike të një trupi të ngurtë janë lëvizja përkthimore dhe rrotulluese.

Lëvizja e një trupi quhet përkthimore nëse çdo vijë e drejtë që lidh dy pika të trupit lëviz paralel me drejtimin e tij origjinal. Gjatë lëvizjes përkthimore, trajektoret e të gjitha pikave të trupit janë identike: ato merren nga njëra-tjetra me një zhvendosje paralele.

Pra, në Fig. 1.12 treguar lëvizje përpara katror gri. Një segment i gjelbër i zgjedhur në mënyrë arbitrare i këtij sheshi lëviz paralel me vetveten. Trajektoret e skajeve të segmentit përshkruhen me vija blu me pika.

Oriz. 1.12. Lëvizja përpara

Lëvizja e një trupi quhet rrotulluese nëse të gjitha pikat e tij përshkruajnë rrathë që shtrihen brenda plane paralele. Në këtë rast, qendrat e këtyre rrathëve shtrihen në një vijë të drejtë, e cila është pingul me të gjitha këto plane dhe quhet bosht i rrotullimit.

Në Fig. 1.13 tregon një top që rrotullohet rreth e rrotull boshti vertikal. Kështu vizatojnë zakonisht Toka në problemet përkatëse të dinamikës.

Oriz. 1.13. Lëvizja rrotulluese

Ligji i mbledhjes së shpejtësive në mekanika relativiste

Le në lidhje me sistemin TE' pikë materiale lëviz me shpejtësi ju (Fig. 2.3.2). Le të gjejmë shpejtësinë u pikë materiale në lidhje me sistemin TE. Projeksionet e shpejtësisë u Dhe u ′ në boshtin e koordinatave në sisteme TE Dhe TE' në përputhje me rrethanat mund të përfaqësohet si më poshtë:

, , , , , . (2.3.10)

Sipas transformimeve të Lorencit (4 – 7),

, , , . (2.3.11)

Duke zëvendësuar shprehjet (2.3.11) në (2.3.10), pas transformimeve marrim ligjin relativist të mbledhjes së shpejtësive:

, (2.3.12)

, (2.3.13)

. (2.3.14)

Nëse shpejtësia v Dhe u janë të vogla në krahasim me shpejtësinë e dritës, atëherë shprehjet (2.3.12) - (2.3.14) shndërrohen në ligjin e mbledhjes së shpejtësive në mekanika klasike:

, , . (2.3.15)

Lëreni pikën materiale të lëvizë paralelisht me boshtin X.

Atëherë ligji relativist i mbledhjes së shpejtësive (2.3.12) merr formën:

. (2.3.16)

Nëse në sistem TE', pastaj në sistem TE ,

ato. kur shtoni dy shpejtësi, shpejtësia që rezulton doli të ishte shpejtësi të barabartë dritë në një vakum, gjë që konfirmon postulatin e dytë të Ajnshtajnit.

Intervali

Lëreni në sistemin e referencës TE ndodhin dy ngjarje: e para - në një pikë me koordinata x 1, y 1, z 1 në një moment në kohë t 1,

e dyta - në një pikë me koordinata x 2, y 2, z 2 në një moment në kohë t 2. Çdo ngjarje në hapësirë-kohë katërdimensionale korrespondon me një pikë ( x,y,z,t), e cila quhet pika botërore. Madhësia

quhet intervali ndërmjet këtyre ngjarjeve ose intervali ndërmjet dy pikave ( x 1,y 1,z 1,t 1) Dhe ( x 2,y 2,z 2,t 2) në hapësirë-kohë katërdimensionale. Mund të tregohet duke përdorur transformimet e Lorencit se kjo sasi ka të njëjtën vlerë në të gjitha sistemet e referencës, d.m.th. është një invariant i transformimeve të Lorencit.

Le të shënojmë intervalin kohor midis ngjarjeve t 2 – t 1= =t 12, dhe distancën hapësinore ndërmjet pikave në të cilat ndodhin ngjarjet .

Pastaj intervali do të marrë formën .

Ngjarja e parë le të jetë ajo në momentin e kohës t 1 nga pika ( x 1,y 1,z 1) lëshohet një sinjal drite dhe i dyti është ai në momentin e kohës t 2 ky sinjal merret në pikën ( x 2,y 2,z 2). Sinjali udhëton me shpejtësinë e dritës, pra l 12= ct 12. Intervali për këtë rast s 12= 0. Ky interval quhet zero. Ekziston një interval zero midis ngjarjeve që mund të lidhen me një sinjal që udhëton me shpejtësinë e dritës. Me një interval zero, ngjarjet mund të lidhen me njëra-tjetrën nga një marrëdhënie shkak-pasojë në çdo kornizë referimi.

Nëse l 12 > ct 12, atëherë ngjarjet në shqyrtim nuk mund të ndikojnë njëra-tjetrën, d.m.th. nuk mund të ketë një marrëdhënie shkak-pasojë midis tyre, pasi asnjë sinjal, asnjë ndikim nuk mund të përhapet me një shpejtësi më të madhe se shpejtësia e dritës në vakum. Intervali në këtë rast do të jetë imagjinar. Quhen intervale imagjinare si hapësirë. Ngjarjet e ndara nga një interval imagjinar nuk mund të ndodhin në një pikë në asnjë kornizë referimi, pasi në këtë rast intervali do të bëhej real në këtë kornizë referimi ( l 12= 0). Dhe për shkak të pandryshueshmërisë, intervali në të gjitha sistemet e referencës duhet të mbetet imagjinar. Për ngjarjet e ndara nga një interval hapësinor, është e mundur të gjendet një kornizë referimi në të cilën ato ndodhin në të njëjtën kohë ( t 12=0).

Nëse l 12 < ct 12, atëherë intervali rezulton i vërtetë. Intervale të tilla quhen në kohë. Ngjarjet e ndara nga një interval i ngjashëm me kohën mund të lidhen me njëra-tjetrën. Ngjarje të tilla nuk mund të ndodhin në të njëjtën kohë në asnjë kornizë referimi ( t 12= 0), pasi në këtë rast intervali do të bëhej imagjinar. Por për këto ngjarje ekziston një kornizë referimi në të cilën ato ndodhin në një pikë ( l 12 = 0).

Transformimet e Lorencit na japin mundësinë të llogarisim ndryshimin në koordinatat e një ngjarjeje kur kalojmë nga një sistem referimi në tjetrin. Le të shtrojmë tani pyetjen se si, kur sistemi i referencës ndryshon, shpejtësia e të njëjtit trup do të ndryshojë?

Në mekanikën klasike, siç dihet, shpejtësia e një trupi thjesht i shtohet shpejtësisë së sistemit të referencës. Tani do të shohim se në teorinë e relativitetit, shpejtësia transformohet sipas një ligji më kompleks.

Ne përsëri do të kufizohemi në shqyrtimin e rastit njëdimensional. Le të "vëzhgojnë" dy sisteme referimi S dhe S' lëvizjen e një trupi, i cili lëviz në mënyrë të njëtrajtshme dhe drejtvizore paralelisht me boshtet X Dhe x` të dy sistemet e referencës. Lëreni shpejtësinë e trupit, të matur nga sistemi i referencës S, ka Dhe; shpejtësia e të njëjtit trup, e matur me sistemin S`, do të shënohet me dhe` . Letër v Ne do të vazhdojmë të tregojmë shpejtësinë e sistemit S` në lidhje me S.

Le të supozojmë se dy ngjarje ndodhin me trupin tonë, koordinatat e të cilave në sistem S esenca x 1, t 1, DheX 2 , t 2 . Koordinatat e të njëjtave ngjarje në sistem S` le të jenë x` 1, t` 1 ; x` 2 , t` 2 . Por shpejtësia e një trupi është raporti i distancës së përshkuar nga trupi me periudhën kohore përkatëse; prandaj, për të gjetur shpejtësinë e një trupi në njërin dhe tjetrin sistem referimi, duhet të ndani ndryshimin në koordinatat hapësinore të të dy ngjarjeve me ndryshimin në koordinatat kohore.

e cila, si gjithmonë, mund të merret nga ajo relativiste nëse shpejtësia e dritës konsiderohet e pafundme. E njëjta formulë mund të shkruhet si

Për shpejtësi të vogla, "të zakonshme", të dyja formulat - relativiste dhe klasike - japin rezultate pothuajse identike, të cilat lexuesi mund t'i verifikojë lehtësisht nëse dëshiron. Por me shpejtësi afër shpejtësisë së dritës, ndryshimi bëhet shumë i dukshëm. Pra, nëse v=150,000 km/sek, u`=200 000 km/Meek, km/sek formula relativiste jep u = 262 500 km/Meek.

S me shpejtësi v = 150,000 km/sek. S` jep rezultatin u =200 000 km/sek. km/Meek.


km/sek, dhe e dyta - 200,000 km/sek, km.

Me. Nuk është e vështirë të vërtetosh këtë deklaratë mjaft strikte. Është vërtet e lehtë për tu kontrolluar.

Për shpejtësi të vogla, "të zakonshme", të dyja formulat - relativiste dhe klasike - japin rezultate pothuajse identike, të cilat lexuesi mund t'i verifikojë lehtësisht nëse dëshiron. Por me shpejtësi afër shpejtësisë së dritës, ndryshimi bëhet shumë i dukshëm. Pra, nëse v=150,000 km/sek, u`=200 000 km/Meek, atëherë në vend të rezultatit klasik u = 350.000 km/sek formula relativiste jep u = 262 500 km/Meek. Sipas kuptimit të formulës për shtimin e shpejtësive, ky rezultat nënkupton sa vijon.

Lëreni sistemin e referencës S` të lëvizë në raport me sistemin e referencës S me shpejtësi v = 150,000 km/sek. Lëreni një trup të lëvizë në të njëjtin drejtim dhe shpejtësia e tij matet nga sistemi i referencës S` jep rezultate u` =200 000 km/sek. Nëse tani matim shpejtësinë e të njëjtit trup duke përdorur kornizën e referencës S, marrim u=262,500 km/Meek.


Duhet theksuar se formula që kemi marrë synon posaçërisht për rillogaritjen e shpejtësisë së të njëjtit trup nga një sistem referimi në tjetrin, dhe aspak për llogaritjen e "shpejtësisë së afrimit" ose "largimit" të dy trupave. Nëse vëzhgojmë dy trupa që lëvizin drejt njëri-tjetrit nga e njëjta kornizë referencë, dhe shpejtësia e një trupi është 150,000 km/sek, dhe e dyta - 200,000 km/sek, atëherë distanca ndërmjet këtyre trupave do të ulet me 350.000 çdo sekondë km. Teoria e relativitetit nuk shfuqizon ligjet e aritmetikës.

Lexuesi tashmë e ka kuptuar, natyrisht, se duke zbatuar këtë formulë për shpejtësi që nuk e kalojnë shpejtësinë e dritës, ne përsëri do të marrim një shpejtësi që nuk e kalon Me. Nuk është e vështirë të vërtetosh këtë deklaratë mjaft strikte. Në të vërtetë, është e lehtë të kontrollosh nëse barazia vlen

Sepse u` ≤ с Dhe v < c, atëherë në anën e djathtë të barazisë numëruesi dhe emëruesi dhe bashkë me ta edhe e gjithë thyesa janë jonegative. Kjo është arsyeja pse kllapa katrore më pak se një, dhe për këtë arsye dhe ≤ c .
Nëse Dhe` = Me, pastaj dhe dhe=Me. Ky nuk është asgjë më shumë se ligji i qëndrueshmërisë së shpejtësisë së dritës. Sigurisht, ky përfundim nuk duhet të konsiderohet si "provë" ose të paktën "konfirmim" i postulatit të qëndrueshmërisë së shpejtësisë së dritës. Në fund të fundit, ne u nisëm nga ky postulat që në fillim dhe nuk është për t'u habitur që arritëm në një rezultat që nuk e kundërshton atë, përndryshe ky postulat do të ishte hedhur poshtë nga prova me kontradiktë. Në të njëjtën kohë, ne shohim se ligji i mbledhjes së shpejtësive është i barabartë me postulatin e qëndrueshmërisë së shpejtësisë së dritës, secila prej këtyre dy pohimeve rrjedh logjikisht nga tjetra (dhe postulatet e mbetura të teorisë së relativitetit).

Kur nxjerrim ligjin e mbledhjes së shpejtësive, supozuam se shpejtësia e trupit është paralele shpejtësi relative sistemet e referencës. Ky supozim nuk mund të bëhej, por atëherë formula jonë do të lidhej vetëm me atë komponent të shpejtësisë që drejtohet përgjatë boshtit x, dhe formula duhet të shkruhet në formën

Duke përdorur këto formula do të analizojmë fenomenin devijimet(shih § 3). Le të kufizohemi në rastin më të thjeshtë. Lëreni disa ndriçues në sistemin e referencës S i palëvizshëm, le, më tej, sistemi i referencës S` lëviz në lidhje me sistemin S me shpejtësi v dhe lëreni vëzhguesin, duke lëvizur me S`, të marrë rreze drite nga ylli pikërisht në momentin kur ai është pikërisht mbi kokën e tij (Fig. 21). Komponentët e shpejtësisë së kësaj rreze në sistem S do
u x = 0, u y = 0, u x = -c.

Për kornizën e referencës S` formulat tona japin
u` x = -v, u` y = 0,
u` z = -c√ (1 - v 2 /c 2 )
Marrim tangjenten e këndit të prirjes së rrezes në boshtin z nëse ndajmë dhe`X në u` z:
tan α = dhe`X / dhe`z = (v/c) / √(1 - v 2 /c 2)

Nëse shpejtësia v nuk është shumë i madh, atëherë mund të zbatojmë formulën e përafërt të njohur për ne, me ndihmën e së cilës marrim
tan α = v/c + 1/2*v 2 /c 2 .
Termi i parë është një rezultat i njohur klasik; termi i dytë është korrigjimi relativist.

Shpejtësia orbitale e Tokës është afërsisht 30 km/sek, Kështu që (v/ c) = 1 0 -4 . Për kënde të vogla, tangjentja është e barabartë me vetë këndin, e matur në radianë; meqenëse një radian përmban në rreth 200,000 sekonda harkore, marrim për këndin e devijimit:
α = 20°
Korrigjimi relativist është 20,000,000 herë më i vogël dhe qëndron shumë përtej kufijve të saktësisë matjet astronomike. Për shkak të devijimit, yjet përshkruajnë çdo vit elipset në qiell me një bosht gjysmë të madh prej 20".

Kur shikojmë një trup në lëvizje, ne e shohim atë jo aty ku është ky moment, por aty ku ka qenë pak më herët, sepse drita merr pak kohë për të arritur në sytë tanë nga trupi. Nga pikëpamja e teorisë së relativitetit, kjo dukuri është ekuivalente me devijimin dhe reduktohet në të kur kalon në kornizën e referencës në të cilën trupi në fjalë është i palëvizshëm. Bazuar në këtë konsideratë të thjeshtë, ne mund të marrim formulën e devijimit në një mënyrë krejtësisht elementare, pa përdorur ligji relativist shtimi i shpejtësive.

Lëreni ndriçuesin tonë të lëvizë paralelisht sipërfaqen e tokës nga e djathta në të majtë (Fig. 22). Kur arrin në pikën A, një vëzhgues i vendosur saktësisht poshtë tij në pikën C e sheh atë ende në pikën NË. Nëse shpejtësia e yllit është e barabartë v, dhe periudhën kohore gjatë së cilës kalon segmentin ANË, barazohet Δt, Se

AB =Δt ,
B.C. = cΔt ,

mëkatα = AB/BC = v/c.

Por më pas, sipas formula e trigonometrisë,

Q.E.D. Vini re se në kinematikën klasike këto dy këndvështrime nuk janë ekuivalente.

Gjithashtu interesante pyetja e radhës. Siç dihet, në kinematikën klasike shpejtësitë shtohen sipas rregullit të paralelogramit. Ne e zëvendësuam këtë ligj me një tjetër, më kompleks. A do të thotë kjo se në teorinë e relativitetit shpejtësia nuk është më një vektor?

Së pari, fakti që u≠u`+ v (ne i shënojmë vektorët me shkronja të zeza), në vetvete nuk ofron bazë për të mohuar natyrën vektoriale të shpejtësisë. Nga dy vektorë të dhënë, një vektor i tretë mund të merret jo vetëm duke i mbledhur ato, por, për shembull, me shumëzim vektori, dhe në përgjithësi në mënyra të panumërta. Nga askund nuk rezulton se kur ndryshon sistemi i referencës, vektorët dhe` Dhe v duhet të mblidhen saktësisht. Në të vërtetë, ekziston një formulë që shpreh Dhe përmes dhe` Dhe v duke përdorur veprimet e llogaritjes vektoriale:

Në këtë drejtim, duhet pranuar se emri "ligji i mbledhjes së shpejtësive" nuk është plotësisht i përshtatshëm; është më e saktë të flitet, siç bëjnë disa autorë, jo për mbledhje, por për transformimin e shpejtësisë gjatë ndryshimit të sistemit të referencës.

Së dyti, në teorinë e relativitetit është e mundur të tregohen rastet kur shpejtësitë ende mblidhen vektorialisht. Le të lëvizë, për shembull, trupi për një periudhë të caktuar kohe Δt me shpejtësi ju 1, dhe pastaj - të njëjtën periudhë kohore me një shpejtësi u 2. Kjo lëvizje komplekse mund të zëvendësohet me lëvizje me shpejtësi konstante u = ju 1+ ju 2. Këtu është shpejtësia ju 1 dhe ti 2 mblidhen si vektorë, sipas rregullit të paralelogramit; teoria e relativitetit nuk bën asnjë ndryshim këtu.
Në përgjithësi, duhet të theksohet se shumica e "paradokseve" të teorisë së relativitetit janë të lidhura në një mënyrë ose në një tjetër me një ndryshim në kornizën e referencës. Nëse i konsiderojmë fenomenet në të njëjtin kornizë referimi, atëherë ndryshimet në modelet e tyre të paraqitura nga teoria e relativitetit nuk janë aq dramatike sa mendohet shpesh.

Le të vërejmë gjithashtu se një përgjithësim natyror i vektorëve të zakonshëm tre-dimensionale në teorinë e relativitetit janë vektorët katërdimensionale; kur sistemi i referencës ndryshon, ato shndërrohen sipas formulave të Lorencit. Përveç tre komponentëve hapësinorë, ato kanë një komponent të përkohshëm. Në veçanti, mund të merret parasysh vektor katër dimensional shpejtësia. Sidoqoftë, "pjesa" hapësinore e këtij vektori nuk përkon me shpejtësinë e zakonshme tre-dimensionale, dhe në përgjithësi, shpejtësia katër-dimensionale është dukshëm e ndryshme në vetitë e saj nga ajo tredimensionale. Në veçanti, shuma e dy shpejtësive katër-dimensionale, në përgjithësi, nuk do të jetë një shpejtësi.

Le të ketë trupi në kornizën e referencës K" një shpejtësi v", të drejtuar përgjatë boshtit x" (dhe x): . Në kornizën referencë K, shpejtësia e këtij trupi do të jetë
. Le të zbulojmë se cila është marrëdhënia midis shpejtësive v" dhe v. Merrni parasysh derivatin si raport i diferencialeve dx dhe dt, të cilin e gjejmë duke përdorur transformimet e Lorencit:

Ndajeni numëruesin dhe emëruesin e anës së djathtë me dt" dhe merrni

ato. ndryshe nga transformimet e Galileos, shpejtësia totale nuk është e barabartë me shumën e shpejtësive, por në
herë më e ulët. Lëreni trupin të lëvizë në raketë me shpejtësinë e dritës v" x = c, dhe raketa lëviz me shpejtësinë e dritës në raport me sistemin fiks të koordinatave v 0 = c. Me çfarë shpejtësie v x lëviz trupi në raport me atë fikse sistemi i koordinatave?

Sipas transformimit të Galileos, kjo shpejtësi është v = v" x + v 0 = 2c. Sipas transformimit të Lorencit

Koncepti i dinamikës relativiste. Ligjet e marrëdhënies ndërmjet masës dhe energjisë. Energjia totale dhe kinetike. Marrëdhënia midis energjisë totale dhe momentit të një grimce.

Lëvizja e trupave jo shumë të vegjël me shpejtësi jo shumë të mëdha u bindet ligjeve të mekanikës klasike. NË fundi i XIX shekulli, u vërtetua eksperimentalisht se masa e një trupi m nuk është një sasi konstante, por varet nga shpejtësia v e lëvizjes së tij. Kjo varësi ka formën

ku m 0 është masa e pushimit.

Nëse v = 300 km/s, atëherë v 2 /c 2 = 1∙ 10 -6 dhe m > m 0 me një sasi prej 5 ∙ 10 -7 m 0 .

Refuzimi i njërës prej dispozitave bazë (m = const) të mekanikës klasike çoi në nevojën për një analizë kritike të një sërë themelesh të tjera të saj. Shprehja e momentit në dinamikën relativiste ka formën

Ligjet e mekanikës ruajnë formën e tyre në dinamikën relativiste. Ndryshimi i momentit d(mv ) e barabartë me impulsin e forcës Fdt

dp = d(mv) = F dt.

Prandaj dp/dt = F- është shprehja e ligjit bazë dinamika relativiste për një pikë materiale.

Në të dyja rastet, masa e përfshirë në këto shprehje është një sasi e ndryshueshme (m ≠ konst) dhe gjithashtu duhet të diferencohet në lidhje me kohën.

Le të vendosim lidhjen midis masës dhe energjisë. Rritja e energjisë, si në mekanikën klasike, shkaktohet nga puna e forcës F. Prandaj, dE = Fds. Duke e ndarë anën e majtë dhe të djathtë me dt, marrim

Zëvendëso këtu

Duke shumëzuar anët e majta dhe të djathta të barazisë që rezulton me dt, marrim

Nga shprehja për masë
le të përcaktojmë

.

Të dallojmë shprehjen v 2 .

Le të zëvendësojmë v 2 dhe d(v 2) në shprehjen për dE

Duke integruar këtë shprehje, marrim E = mc 2.

Energjia totale e sistemit E është e barabartë me masën e shumëzuar me katrorin e shpejtësisë së dritës në vakum. Marrëdhënia midis energjisë dhe momentit për grimcat pa masë pushimi në dinamikën relativiste jepet nga relacioni

e cila është e lehtë për t'u marrë matematikisht: E=mc 2 ,p=mv . Le të vendosim në katror të dy barazitë dhe të shumëzojmë të dyja anët e sekondës me c 2

E 2 = m 2 c 4, p 2 c 2 = m 2 v 2 c 2.

Zbrit term pas termi nga barazia e parë e dyta

E 2 – p 2 c 2 = m 2 c 4 -m 2 v 2 c 2 = m 2 c 4 (1-v 2 / c 2).

Duke pasur parasysh atë
marrim

Meqenëse masa e pushimit m 0 dhe shpejtësia e dritës c janë sasi të pandryshueshme ndaj transformimeve të Lorencit, lidhja (E 2 - p 2 c 2) është gjithashtu e pandryshueshme ndaj transformimeve të Lorencit. Nga kjo marrëdhënie marrim një shprehje për energjinë totale

Kështu, nga ky ekuacion mund të konkludojmë:

Grimcat materiale që nuk kanë masë pushimi (fotonet, neutrinot) kanë gjithashtu energji. Për këto grimca, formula për marrëdhënien midis energjisë dhe momentit është E = pc.

Nga shndërrimet e mësipërme kemi marrë dE=c 2 dm. Integrimi i anës së majtë nga E 0 në E, dhe i anës së djathtë nga m 0 në m, jep

E – E 0 = c 2 (m – m 0) = mc 2 – m 0 c 2 ,

ku E = mc 2 - energji totale pika materiale,

E 0 =m 0 c 2 - energjia e pushimit të një pike materiale.

Diferenca E – E 0 është energjia kinetike T e pikës materiale.

Me shpejtësi v «c, ne zgjerojmë
me radhë:

=
.

Duke marrë parasysh se v «c, ne kufizohemi në dy termat e parë në seri.

Pastaj

ato. me shpejtësi v shumë më të ulëta se shpejtësia e dritës në vakum, formula relativiste energjia kinetike bëhet formula klasike për energjinë kinetike
.