Skemat e urnës

Ka një urnë (domethënë një kuti) që përmban n objekte të numëruara, të cilat do t'i quajmë topa. Ne zgjedhim nga kjo urnë k topa. Ne jemi të interesuar se sa mënyra mund të zgjedhim k topa nga n, ose sa rezultate të ndryshme(d.m.th., grupe të përbëra nga k topa) do të funksionojë.

Është e pamundur t'i japim një përgjigje të qartë kësaj pyetjeje derisa të vendosim

– me mënyrën se si është organizuar zgjedhja (të themi, nëse topat mund të kthehen në urnë), dhe

- me atë që nënkuptohet me të ndryshme rezultatet e përzgjedhjes.

Le të shqyrtojmë të mundshmen e mëposhtme skemat e përzgjedhjes:

1. Zgjedhja Mirëse u ktheve: çdo top i zgjedhur kthehet në urnë, domethënë secili k topat zgjidhen nga një urnë e plotë. Në grupin që rezulton, i përbërë nga k numra topash, mund të ndodhin të njëjtët numra ( kampionimi me përsëritje).

2. Zgjedhja pa kthim: topat e zgjedhur nuk kthehen në urnë dhe të njëjtat numra nuk mund të shfaqen në grupin që rezulton ( kampionimi pa përsëritje).

Në të dyja rastet, rezultati i zgjedhjes është një grup k numrat e topave. Është e përshtatshme të supozohet se topat zgjidhen gjithmonë në mënyrë sekuenciale, një nga një (me ose pa kthim).

Ka dy mundësi:

1. Zgjedhja e bazuar në renditje: dy grupe numrash të topave konsiderohen të ndryshëm nëse ndryshojnë në përbërje ose renditje numrash. Kështu, kur zgjidhni tre topa nga një urnë që përmban 5 topa, grupet (1,2,5), (2,5,1) (4,4,5) janë të ndryshme nëse zgjedhje e bazuar në porosi.

2. Zgjedhja pa marrë parasysh renditjen: dy grupe numrash të topave konsiderohen të ndryshëm nëse ndryshojnë në përbërje. Kompletet që ndryshojnë vetëm në rendin e numrave të tyre konsiderohen të njëjta. Pra, në shembullin e mësipërm, dy grupet e para (1,2,5), (2,5,1) janë i njëjti rezultat zgjedhjeje, dhe grupi (4,4,5) është një rezultat i ndryshëm zgjedhjeje.

Le të numërojmë tani sa rezultate të ndryshme janë të mundshme për secilën nga katër skemat (zgjedhja me dhe pa kthim, dhe në secilin prej këtyre rasteve nëse marrim parasysh rendin apo jo).

Dizajni i urnës: përzgjedhje pa kthim, duke marrë parasysh rendin

Dizajni i urnës: zgjedhje me kthim dhe duke marrë parasysh porosinë

Numri total i mostrave në skemën e përzgjedhjes k elementet nga n me kthim dhe duke marrë parasysh rendi përcaktohet nga numri i permutacioneve të elementeve:

Dizajni i urnës: përzgjedhje me kthim dhe pa marrë parasysh porosinë

Merrni parasysh një urnë me dy topa dhe renditni rezultatet e zgjedhjes së dy topave nga kjo urnë kur zgjidhni me kthim:

Në skemën “pa marrë parasysh rendin” janë marrë 3 rezultate të ndryshme, në ndryshim nga katër në skemën “duke marrë parasysh rendin”. Pastaj numri i përgjithshëm i mostrave në skemën e përzgjedhjes k elementet nga n me kthim dhe pa marrë parasysh renditjen përcaktohet nga numri i kombinimeve me përsëritje

Vini re se numri i mostrave që gjithashtu ndryshojnë në rregull, V k! herë më i madh se numri i mostrave që ndryshojnë vetëm nga përbërja.

11. Urna përmban topa të numëruar me numra nga 1 deri në 9. Topat hiqen një nga një pa u zëvendësuar. Ngjarjet e mëposhtme konsiderohen:
A– numrat e topave sipas radhës së mbërritjes formojnë sekuencën 1,2,...,M.
NË
ME– Nuk ka asnjë ndeshje të vetme midis numrit të topit dhe rendit të nxjerrjes.
Përcaktoni probabilitetin e ngjarjeve A, B, C. Gjeni vlerat kufizuese të probabiliteteve në.
Zgjidhja:
1) Le të gjejmë probabilitetin e ngjarjes A.
Probabiliteti që topi me numër 1 të tërhiqet i pari është i barabartë (pasi vetëm një top me numrin 1 është i përshtatshëm dhe gjithsej janë 9 topa).
Probabiliteti që topi i dytë nga nr. 2 të tërhiqet është i barabartë me , sepse Kanë mbetur vetëm 8 topa, por vetëm 1 përshtatet.
etj.
Duke përdorur teoremën e shumëzimit të probabilitetit marrim:

2) Le të gjejmë probabilitetin e ngjarjes NË.
NË– numri i topit dhe numri i serisë së nxjerrjes përkojnë të paktën një herë.
- ngjarja e kundërt, d.m.th. numri i topit asnjëherë nuk përputhet me numër serik nxjerrjes.
— probabiliteti që topi i parë që tërhiqet të mos jetë topi me nr. 1, d.m.th. Gjithsej janë 9 topa dhe përshtaten 8 copa.

Le të llogarisim probabilitetin që topi numër 2 të vizatohet i dyti.
Ato. nuk duhet të hiqet së pari dhe të hiqet së dyti.
.
Pastaj, sipas teoremës për probabilitetin e ngjarjes së kundërt, probabiliteti që topi i dytë që do të tërhiqet nuk është topi nr. 2:
.
Le të gjejmë probabilitetin që topi i tretë të tërheqë topin me numrin 3 (d.m.th., ai nuk duhet të hiqet gjatë tërheqjes së parë dhe të dytë dhe duhet të hiqet në të tretën):

Dhe probabiliteti që topi me nr.3 të mos tërhiqet në të tretën:

E njëjta gjë me topat e tjerë. Ne zbuluam se probabiliteti që një top individual të tërhiqet në një rend që nuk korrespondon me numrin e tij është: .
Atëherë probabiliteti që numri i topit të mos përkojë kurrë me numrin rendor të nxjerrjes:

Kjo do të thotë:
3)
Le të gjejmë probabilitetin e ngjarjes C - nuk ka asnjë rastësi të vetme midis numrit të topit dhe rendit të nxjerrjes.
Ngjarjet C dhe përkojnë, d.m.th.
4) Le të gjejmë vlerat probabilitete kufizuese në .

Shembulli 1. Në urnën e parë: tre të kuqe, një top i bardhë A. Në urnën e dytë: një të kuqe, tre topa të bardhë. Një monedhë hidhet rastësisht: nëse është stemë, zgjidhet nga urna e parë, përndryshe, nga e dyta.
Zgjidhja:
a) probabiliteti që të jetë tërhequr një top i kuq
A - mori një top të kuq
P 1 – ra stema, P 2 – ndryshe

b) Përzgjidhet topi i kuq. Gjeni probabilitetin që është marrë nga urna e parë nga urna e dytë.
B 1 - nga urna e parë, B 2 - nga urna e dytë
,

Shembulli 2. Ka 4 topa në një kuti. Mund të jetë: vetëm e bardhë, vetëm e zezë ose e bardhë dhe e zezë. (Përbërja e panjohur).
Zgjidhja:
A – probabiliteti i shfaqjes së një topi të bardhë
a) E gjitha e bardhë:
(probabiliteti që keni një nga tre opsionet ku ka të bardha)
(probabiliteti që një top i bardhë të shfaqet aty ku të gjithë janë të bardhë)

b) Tërhequr aty ku të gjithë janë të zinj



c) hoqi opsionin ku të gjithë janë të bardhë dhe/ose të zinj

- të paktën njëri prej tyre është i bardhë

P a + P b + P c =

Shembulli 3. Në urnë ka 5 topa të bardhë dhe 4 të zinj. Prej saj hiqen 2 topa me radhë. Gjeni probabilitetin që të dy topat të jenë të bardhë.
Zgjidhja:
5 topa të bardhë, 4 të zinj
P(A 1) – u hoq topi i bardhë

P(A 2) – probabiliteti që topi i dytë të jetë gjithashtu i bardhë

P(A) - topa të bardhë të zgjedhur me radhë

Shembulli 3a. Paketa përmban 2 kartëmonedha false dhe 8 të vërteta. 2 kartëmonedha u nxorrën nga pakoja me radhë. Gjeni probabilitetin që të dyja janë të rreme.
Zgjidhja:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0,022

Shembulli 4. Ka 10 kosha. Ka 9 urna me 2 topa të zinj dhe 2 të bardhë. Ka 5 te bardha dhe 1 te zeze ne 1 urne. Një top u nxor nga një urnë e marrë rastësisht.
Zgjidhja:
P(A) - ? një top i bardhë merret nga një urnë që përmban 5 të bardha
B – probabiliteti për t'u nxjerrë nga një urnë që përmban 5 të bardha
, - nxjerrë nga të tjerët
C 1 - probabiliteti që një top i bardhë të shfaqet në nivelin 9.

C 2 – probabiliteti i shfaqjes së një topi të bardhë, ku ka 5 prej tyre

P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)

Shembulli 5. 20 rula cilindrikë dhe 15 në formë koni. Zgjedhësi merr 1 rul, dhe më pas një tjetër.
Zgjidhja:
a) të dy rrotullat janë cilindrikë
P(C1)=; P(Ts 2)=
C 1 – cilindri i parë, C 2 – cilindri i dytë
P(A)=P(Ts 1)P(Ts 2) =
b) Të paktën një cilindër
K 1 - i pari në formë koni.
K 2 - në formë koni të dytë.
P(B)=P(Ts 1)P(K 2)+P(Ts 2)P(K 1)+P(Ts 1)P(Ts 2)
;

c) cilindri i parë, por jo i dyti
P(C)=P(C 1)P(K 2)

e) Asnjë cilindër i vetëm.
P(D)=P(K 1)P(K 2)

e) Saktësisht 1 cilindër
P(E)=P(C1)P(K2)+P(K1)P(K2)

Shembulli 6. Ka 10 pjesë standarde dhe 5 pjesë me defekt në një kuti.
Tre pjesë janë tërhequr në mënyrë të rastësishme
a) Njëri prej tyre është me defekt
P n (K)=C n k ·p k ·q n-k,
P - probabiliteti i produkteve me defekt

q – probabiliteti i pjesëve standarde

n=3, tre pjesë


b) dy nga tre pjesët janë me defekt P(2)
c) të paktën një standard
P (0) - nuk ka të meta

P=P(0)+ P(1)+ P(2) - probabiliteti që të paktën një pjesë të jetë standarde

Shembulli 7. Urna e parë përmban 3 topa të bardhë dhe të zi, dhe urna e dytë përmban 3 topa të bardhë dhe 4 të zinj. 2 topa transferohen nga urna e parë në të 2-tën pa shikuar, dhe më pas 2 topa tërhiqen nga e dyta. Sa është probabiliteti që ato të jenë me ngjyra të ndryshme?
Zgjidhja:
Kur lëvizni topa nga urna e parë, opsionet e mëposhtme janë të mundshme:
a) nxori 2 topa të bardhë me radhë
P BB 1 =
Në hapin e dytë do të ketë gjithmonë një top më pak, pasi në hapin e parë një top tashmë është nxjerrë jashtë.
b) nxori një top të bardhë dhe një të zi
Situata kur tërhiqet fillimisht topi i bardhë dhe më pas ai i zi
P koka luftarake =
Situata kur u hodh fillimisht topi i zi dhe më pas ai i bardhë
P BW =
Totali: P koka luftarake 1 =
c) nxori 2 topa të zinj me radhë
P HH 1 =
Meqenëse 2 topa u transferuan nga urna e parë në urnën e dytë, atëherë numri i përgjithshëm Do të ketë 9 topa në urnën e dytë (7 + 2). Prandaj, ne do të kërkojmë të gjitha opsionet e mundshme:
a) nga urna e dytë u mor fillimisht një top i bardhë dhe më pas i zi

P BB 2 P BB 1 - nënkupton probabilitetin që fillimisht të vizatohej një top i bardhë, pastaj një top i zi, me kusht që të nxirren 2 topa të bardhë nga urna e parë me radhë. Kjo është arsyeja pse numri i topave të bardhë në këtë rast është 5 (3+2).
P BC 2 P BC 1 - nënkupton probabilitetin që fillimisht të vizatohej një top i bardhë, pastaj një top i zi, me kusht që topat e bardhë dhe të zinj të ishin tërhequr nga urna e parë. Kjo është arsyeja pse numri i topave të bardhë në këtë rast është 4 (3+1), dhe numri i topave të zinj është pesë (4+1).
P BC 2 P BC 1 - nënkupton probabilitetin që fillimisht të vizatohej një top i bardhë, pastaj një top i zi, me kusht që të dy topat e zinj të ishin tërhequr nga urna e parë me radhë. Kjo është arsyeja pse numri i topave të zinj në këtë rast është 6 (4+2).

Probabiliteti që 2 topa të vizatuar të jenë me ngjyra të ndryshme është e barabartë me:

Përgjigje: P = 0,54

Shembulli 7a. Nga urna e parë me 5 topa të bardhë dhe 3 të zinj, 2 topa u transferuan rastësisht në urnën e dytë që përmban 2 topa të bardhë dhe 6 topa të zinj. Pastaj 1 top u tërhoq rastësisht nga urna e 2-të.
1) Sa është probabiliteti që topi i nxjerrë nga urna e dytë të dalë i bardhë?
2) Topi i marrë nga urna e dytë rezultoi i bardhë. Llogaritni probabilitetin që topat të zhvendosen nga urna e parë në të dytën ngjyra të ndryshme.
Zgjidhje.
1) Ngjarja A - topi i tërhequr nga urna e 2-të rezulton të jetë i bardhë. Le të shqyrtojmë opsionet e mëposhtme për ndodhjen e kësaj ngjarje.
a) Dy topa të bardhë u vendosën nga urna e parë në të dytën: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
Në urnën e dytë ka gjithsej 4 topa të bardhë. Atëherë probabiliteti për të nxjerrë një top të bardhë nga urna e dytë është P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
b) Topat e bardhë dhe të zinj u vendosën nga urna e parë në të dytën: P1(bch) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
Në urnën e dytë ka gjithsej 3 topa të bardhë. Atëherë probabiliteti për të nxjerrë një top të bardhë nga urna e dytë është P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
c) Dy topa të zinj u vendosën nga urna e parë në të dytën: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56.
Në urnën e dytë ka gjithsej 2 topa të bardhë. Atëherë probabiliteti për të nxjerrë një top të bardhë nga urna e dytë është P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Atëherë probabiliteti që topi i tërhequr nga urna e dytë të dalë i bardhë është:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) Topi i marrë nga urna e 2-të doli i bardhë, d.m.th. probabiliteti total është P(A)=13/32.
Probabiliteti që topa me ngjyra të ndryshme (bardh e zi) të vendosen në urnën e dytë dhe u zgjodh e bardha: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2 (3) / P (A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Shembulli 7b. Urna e parë përmban 8 topa të bardhë dhe 3 të zinj, urna e dytë përmban 5 topa të bardhë dhe 3 të zinj. Një top zgjidhet rastësisht nga i pari dhe dy topa nga i dyti. Pas kësaj, një top merret rastësisht nga tre topat e përzgjedhur. Ky top i fundit doli të ishte i zi. Gjeni probabilitetin që një top i bardhë është tërhequr nga urna e parë.
Zgjidhje.
Le të shqyrtojmë të gjitha variantet e ngjarjes A - nga tre topa, topi i tërhequr rezulton të jetë i zi. Si mund të ndodhte që midis tre topave të ishte një i zi?
a) Nga urna e parë u mor një top i zi dhe nga urna e dytë u morën dy topa të bardhë.
P1 = (3/11) (5/8*4/7) = 15/154
b) Nga urna e parë është marrë një top i zi, nga urna e dytë janë marrë dy topa të zinj.
P2 = (3/11) (3/8*2/7) = 9/308
c) Nga urna e parë është marrë një top i zi, nga urna e dytë një top i bardhë dhe një i zi.
P3 = (3/11) (3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
d) Nga urna e parë u mor një top i bardhë dhe nga urna e dytë u morën dy topa të zinj.
P4 = (8/11) (3/8*2/7) = 6/77
e) Nga urna e parë është marrë një top i bardhë, nga urna e dytë është marrë një top i bardhë dhe një i zi.
P5 = (8/11) (3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Probabiliteti total është: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Probabiliteti që një top i bardhë të nxirret nga një urnë e bardhë është:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Atëherë probabiliteti që një top i bardhë është zgjedhur nga urna e parë, duke pasur parasysh se një top i zi është zgjedhur nga tre topa, është i barabartë me:
Pch = Pb(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57

Shembulli 7c. Urna e parë përmban 12 topa të bardhë dhe 16 topa të zinj, urna e dytë përmban 8 topa të bardhë dhe 10 topa të zinj. Në të njëjtën kohë, një top nxirret nga urna e parë dhe e dytë, përzihet dhe kthehet një në secilën urnë. Pastaj nga çdo urnë nxirret një top. Doli të ishin me të njëjtën ngjyrë. Përcaktoni probabilitetin që të ketë mbetur po aq topa të bardhë në urnën e parë sa kishte në fillim.

Zgjidhje.
Ngjarja A - një top tërhiqet njëkohësisht nga urna e 1-rë dhe e dytë.
Probabiliteti për të nxjerrë një top të bardhë nga urna e parë: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Probabiliteti për të nxjerrë një top të zi nga urna e parë: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Probabiliteti për të nxjerrë një top të bardhë nga urna e dytë: P2(B) = 8/18 = 4/9
Probabiliteti për të nxjerrë një top të zi nga urna e dytë: P2(H) = 10/18 = 5/9

Ngjarja A ka ndodhur. Ngjarja B - një top nxirret nga çdo urnë. Pas përzierjes, probabiliteti që një top i bardhë ose i zi të kthehet në urnë është ½.
Le të shqyrtojmë opsionet për ngjarjen B - ato doli të ishin me të njëjtën ngjyrë.

Për urnën e parë
1) në urnën e parë vendosej një top i bardhë dhe vizatohej një top i bardhë, me kusht që më parë të ishte tërhequr një top i bardhë, P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) një top i bardhë është vendosur në urnën e parë dhe një top i bardhë është tërhequr, me kusht që një top i zi është nxjerrë më herët, P1(BB/A=H) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/ 98
3) në urnën e parë vendosej një top i bardhë dhe nxirrej një top i zi, me kusht që të nxirret një top i bardhë më herët, P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/ 49
4) një top i bardhë u vendos në urnën e parë dhe një i zi nxirret jashtë, me kusht që një top i zi të ishte nxjerrë më herët, P1(BC/A=H) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/ 98
5) në urnën e parë vendosej një top i zi dhe vizatohej një top i bardhë, me kusht që më parë të ishte tërhequr një top i bardhë, P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) një top i zi u vendos në urnën e parë dhe një top i bardhë ishte tërhequr, me kusht që një top i zi të ishte tërhequr më herët, P1(B/A=H) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) një top i zi u vendos në urnën e parë dhe një i zi të nxirret jashtë, me kusht që një top i bardhë të tërhiqej më herët, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/ 392
8) në urnën e parë vendosej një top i zi dhe vizatohej një i zi, me kusht që të vizatohej më herët një top i zi, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49

Për urnën e dytë
1) në urnën e parë vendosej një top i bardhë dhe vizatohej një top i bardhë, me kusht që më parë të ishte tërhequr një top i bardhë, P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) një top i bardhë është vendosur në urnën e parë dhe një top i bardhë është tërhequr, me kusht që një top i zi është nxjerrë më herët, P1(BB/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
3) në urnën e parë vendosej një top i bardhë dhe nxirrej një top i zi, me kusht që të nxirret më herët një top i bardhë, P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/ 42
4) një top i bardhë u vendos në urnën e parë dhe një i zi nxirret jashtë, me kusht që një top i zi të ishte nxjerrë më herët, P1(BC/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
5) një top i zi u vendos në urnën e parë dhe një top i bardhë nxirret jashtë, me kusht që një top i bardhë të tërhiqej më herët, P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/ 12
6) një top i zi u vendos në urnën e parë dhe një top i bardhë nxirret jashtë, me kusht që një top i zi të ishte nxjerrë më herët, P1(BW/A=H) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/ 63
7) një top i zi u vendos në urnën e parë dhe një i zi të nxirret jashtë, me kusht që një top i bardhë të tërhiqej më herët, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/ 84
8) në urnën e parë vendosej një top i zi dhe vizatohej një i zi, me kusht që një top i zi të ishte tërhequr më herët, P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63

Topat doli të ishin me të njëjtën ngjyrë:
a) e bardhë
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
b) e zezë
P1(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252

P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42

Shembulli 7d. Kutia e parë përmban 5 topa të bardhë dhe 4 blu, e dyta përmban 3 dhe 1, dhe e treta përmban respektivisht 4 dhe 5. Një kuti u zgjodh rastësisht dhe një top i nxjerrë prej saj doli të ishte blu. Sa është probabiliteti që ky top të jetë nga kutia e dytë?

Zgjidhje.
A - ngjarja e rikthimit top blu. Le të shqyrtojmë të gjitha rezultatet e mundshme të një ngjarjeje të tillë.
H1 - topi i tërhequr nga kutia e parë,
H2 - topi i tërhequr nga kutia e dytë,
H3 - një top i nxjerrë nga kutia e tretë.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Sipas kushteve të problemit, probabilitetet e kushtëzuara të ngjarjes A janë të barabarta me:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Probabiliteti që ky top të jetë nga kutia e dytë është:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0,2

Shembulli 8. Pesë kuti me 30 topa përmbajnë secila 5 topa të kuq (kjo është një kuti e përbërjes H1), gjashtë kuti të tjera me nga 20 topa secila përmbajnë 4 topa të kuq (kjo është një kuti me përbërje H2). Gjeni probabilitetin që një top i kuq i marrë rastësisht të gjendet në një nga pesë kutitë e para.
Zgjidhja: Problemi i aplikimit të formulës probabilitet të plotë.

Shembulli 9. Urna përmban 2 topa të bardhë, 3 të zinj dhe 4 të kuq. Tre topa janë tërhequr në mënyrë të rastësishme. Sa është probabiliteti që të paktën dy topa të kenë të njëjtën ngjyrë?
Zgjidhje. Ekzistojnë tre rezultate të mundshme:
a) midis tre topave të tërhequr kishte të paktën dy të bardhë.
P b (2) = P 2b
Numri total i të mundshmeve rezultatet elementare për këto teste është e barabartë me numrin e mënyrave në të cilat mund të nxirren 3 topa nga 9:

Le të gjejmë probabilitetin që nga 3 topat e përzgjedhur, 2 të jenë të bardhë.

Numri i opsioneve për të zgjedhur nga 2 topa të bardhë:

Numri i opsioneve për të zgjedhur nga 7 topa të tjerë topi i tretë:

b) midis tre topave të tërhequr kishte të paktën dy të zinj (d.m.th. ose 2 të zinj ose 3 të zinj).
Le të gjejmë probabilitetin që nga 3 topat e përzgjedhur, 2 të jenë të zinj.

Numri i opsioneve për të zgjedhur nga 3 topa të zinj:

Numri i opsioneve për të zgjedhur nga 6 topa të tjerë të një topi:


P 2h = 0,214
Le të gjejmë probabilitetin që të gjithë topat e zgjedhur të jenë të zinj.

P h (2) = 0,214+0,0119 = 0,2259

c) midis tre topave të tërhequr kishte të paktën dy topa të kuq (d.m.th., ose 2 të kuq ose 3 të kuq).
Le të gjejmë probabilitetin që nga 3 topat e përzgjedhur, 2 të jenë të kuq.

Numri i opsioneve për të zgjedhur nga 4 topa të zinj:

Numri i opsioneve për të zgjedhur: 5 topa të bardhë, 1 i bardhë i mbetur:


Le të gjejmë probabilitetin që të gjithë topat e përzgjedhur të jenë të kuq.

P deri në (2) = 0,357 + 0,0476 = 0,4046
Atëherë probabiliteti që të paktën dy topa do të kenë të njëjtën ngjyrë është i barabartë me: P = P b (2) + P h (2) + P k (2) = 0,0833 + 0,2259 + 0,4046 = 0,7138

Shembulli 10. Urna e parë përmban 10 topa, 7 prej tyre të bardha; Urna e dytë përmban 20 topa, 5 prej të cilëve janë të bardhë. Një top nxirret rastësisht nga secila urnë, dhe më pas një top tërhiqet rastësisht nga këto dy topa. Gjeni probabilitetin që topi i bardhë të vizatohet.
Zgjidhje. Probabiliteti që një top i bardhë të nxirret nga urna e parë është P(b)1 = 7/10. Prandaj, probabiliteti për të vizatuar një top të zi është P(h)1 = 3/10.
Probabiliteti që një top i bardhë të nxirret nga urna e dytë është P(b)2 = 5/20 = 1/4. Prandaj, probabiliteti për të vizatuar një top të zi është P(h)2 = 15/20 = 3/4.
Ngjarja A - një top i bardhë merret nga dy topa
Le të shqyrtojmë opsionet për rezultatin e ngjarjes A.

1. Një top i bardhë u nxor nga urna e parë dhe një top i bardhë u nxor nga urna e dytë. Pastaj nga këto dy topa u nxorr një top i bardhë. P1 = 7/10 * 1/4 = 7/40
2. Nga urna e parë nxirret një top i bardhë dhe nga urna e dytë një top i zi. Më pas nga këto dy topa u nxorr një top i bardhë. P2 = 7/10 * 3/4 ​​= 21/40
3. Nga urna e parë nxirrej një top i zi dhe nga urna e dytë një top i bardhë. Më pas nga këto dy topa u nxorr një top i bardhë. P3 = 3/10 * 1/4 = 3/40

Shembulli 11. Ka n topa tenisi në kuti. Prej tyre u luajtën m. Për ndeshjen e parë, dy topa u morën në mënyrë të rastësishme dhe u vendosën pas lojës. Për ndeshjen e dytë morëm edhe dy topa rastësisht. Sa është probabiliteti që ndeshja e dytë të luhet me topa të rinj?
Zgjidhje. Merrni parasysh ngjarjen A - loja u luajt për herë të dytë me topa të rinj. Le të shohim se cilat ngjarje mund të çojnë në këtë.
Le të shënojmë me g = n-m numrin e topave të rinj përpara se të tërhiqen.
a) për ndeshjen e parë u nxorrën dy topa të rinj.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
b) për ndeshjen e parë, ata nxorrën një top të ri dhe një e luajtur tashmë një.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2 mg/(n(n-1))
c) në ndeshjen e parë u nxorrën dy topa të luajtur.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))

Le të shohim ngjarjet e ndeshjes së dytë.
a) Janë tërhequr dy topa të rinj, në kushtin P1: meqenëse topa të rinj ishin tërhequr tashmë për ndeshjen e parë, atëherë për ndeshjen e dytë numri i tyre u ul me 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
b) Janë tërhequr dy topa të rinj, në kushtin P2: meqenëse një top i ri ishte tërhequr tashmë për ndeshjen e parë, atëherë për ndeshjen e dytë numri i tyre u ul me 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2 mg /(n(n-1))
c) Janë tërhequr dy topa të rinj, në kushtin P3: meqenëse më parë nuk janë përdorur topa të rinj për ndeshjen e parë, numri i tyre nuk ka ndryshuar për ndeshjen e dytë g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))

Probabiliteti total P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2 mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
Përgjigje: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)

Shembulli 12. Kutitë e para, të dyta dhe të treta përmbajnë 2 topa të bardhë dhe 3 të zinj, kutitë e katërt dhe të pestë përmbajnë 1 top të bardhë dhe 1 të zi. Një kuti zgjidhet rastësisht dhe prej saj nxirret një top. Cfare eshte probabiliteti i kushtëzuar Cila është kutia e katërt ose e pestë e zgjedhur nëse topi i tërhequr është i bardhë?
Zgjidhje.
Probabiliteti i zgjedhjes së çdo kutie është P(H) = 1/5.
Le të shqyrtojmë probabilitetet e kushtëzuara të ngjarjes A - vizatimi i topit të bardhë.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Probabiliteti total për të vizatuar një top të bardhë:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0,44
Probabiliteti i kushtëzuar që të zgjidhet kutia e katërt
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Probabiliteti i kushtëzuar që të zgjidhet kutia e pestë
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Në total, probabiliteti i kushtëzuar që të zgjidhet kutia e katërt ose e pestë është
P(H=4, H=5|A) = 0,2273 + 0,2273 = 0,4546

Shembulli 13. Në urnë kishte 7 topa të bardhë dhe 4 të kuq. Pastaj në urnë vendosej një top tjetër i bardhë ose i kuq ose i zi dhe pas përzierjes nxirret një top. Doli të ishte e kuqe. Sa është probabiliteti që a) të jetë vendosur një top i kuq? b) top i zi?
Zgjidhje.
a) top i kuq
Ngjarja A - vizatohet topi i kuq. Ngjarja H - vendoset topi i kuq. Probabiliteti që një top i kuq është vendosur në urnë P(H=K) = 1/3
Atëherë P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0,139
b) top i zi
Ngjarja A - vizatohet topi i kuq. Ngjarja H - vendoset një top i zi.
Probabiliteti që një top i zi është vendosur në urnë P(H=H) = 1/3
Atëherë P(A|H=H)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0,111

Shembulli 14. Ka dy urna me topa. Njëra ka 10 topa të kuq dhe 5 blu, e dyta ka 5 topa të kuq dhe 7 blu. Sa është probabiliteti që një top i kuq të tërhiqet rastësisht nga urna e parë dhe një top blu nga e dyta?
Zgjidhje. Le të jetë ngjarja A1 një top i kuq i nxjerrë nga urna e parë; A2 - një top blu është tërhequr nga urna e dytë:
,
Ngjarjet A1 dhe A2 janë të pavarura. Probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të ngjarjeve A1 dhe A2 është i barabartë me

Shembulli 15. Ka një kuvertë letrash (36 copë). Dy letra tërhiqen në mënyrë të rastësishme me radhë. Sa është probabiliteti që të dyja letrat e tërhequra të jenë të kuqe?
Zgjidhje. Le të jetë ngjarja A 1 kartoni i parë i kuq i tërhequr. Ngjarja A 2 - kartoni i dytë i kuq i tërhequr. B - të dyja letrat e nxjerra janë të kuqe. Meqenëse ngjarja A 1 dhe ngjarja A 2 duhet të ndodhin, atëherë B = A 1 · A 2 . Ngjarjet A 1 dhe A 2 janë të varura, prandaj, P(B):
,
Nga këtu

Shembulli 16. Dy urna përmbajnë topa që ndryshojnë vetëm në ngjyrë, dhe në urnën e parë ka 5 topa të bardhë, 11 topa të zinj dhe 8 topa të kuq, dhe në të dytën janë përkatësisht 10, 8, 6 topa. Një top nxirret rastësisht nga të dy urnat. Sa është probabiliteti që të dy topat të kenë të njëjtën ngjyrë?
Zgjidhje. Le të thotë indeksi 1 Ngjyra e bardhë, indeksi 2 - i zi; 3 - ngjyra e kuqe. Le të jetë ngjarja A i që nga urna e parë tërhiqet një top me ngjyrë i-të; ngjarja B j - një top me ngjyrë j është nxjerrë nga urna e dytë; ngjarja A - të dy topat kanë të njëjtën ngjyrë.
A = A 1 · B 1 + A 2 · B 2 + A 3 · B 3. Ngjarjet A i dhe B j janë të pavarura, dhe A i · B i dhe A j · B j janë të papajtueshme për i ≠ j. Prandaj,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =

Shembulli 17. Nga një urnë me 3 topa të bardhë dhe 2 të zinj, tërhiqen topa një nga një derisa të shfaqet e zeza. Gjeni probabilitetin që 3 topa të nxirren nga urna? 5 topa?
Zgjidhje.
1) probabiliteti që 3 topa të nxirren nga urna (d.m.th., topi i tretë do të jetë i zi, dhe dy të parët do të jenë të bardhë).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) probabiliteti që të nxirren 5 topa nga urna
Kjo situatë nuk është e mundur, sepse vetëm 3 topa të bardhë.
P=0

Nga urna e parë me 5 topa të bardhë dhe 3 të zinj, 2 topa u transferuan rastësisht në urnën e dytë që përmban 2 topa të bardhë dhe 6 topa të zinj. Pastaj 1 top u tërhoq rastësisht nga urna e 2-të.
1) Sa është probabiliteti që topi i nxjerrë nga urna e dytë të dalë i bardhë?
2) Topi i marrë nga urna e dytë rezultoi i bardhë. Llogaritni probabilitetin që topa me ngjyra të ndryshme të zhvendosen nga urna e parë në 2.

Përgjigjet:

Zgjidhje.1) Ngjarja A - topi i nxjerrë nga urna e 2-të rezulton të jetë i bardhë. Le të shqyrtojmë opsionet e mëposhtme për ndodhjen e kësaj ngjarjeje topa të bardhë në urnën e dytë. Atëherë probabiliteti për të nxjerrë një top të bardhë nga urna e dytë është e barabartë me P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448b) Nga urna e parë u vendosën topa të bardhë dhe të zi. në të dytën: P1(bh) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56 Ka 3 topa të bardhë në urnën e dytë. Atëherë probabiliteti për të nxjerrë një top të bardhë nga urna e dytë është e barabartë me P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448c) Dy topa të zinj u vendosën nga urna e parë në e dyta: P1(hh) = 3 /8*2/7 = 6/56 Ka 2 topa të bardhë në urnën e dytë. Atëherë probabiliteti për të nxjerrë një top të bardhë nga urna e dytë është P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448 Atëherë probabiliteti që topi i nxjerrë nga urna e dytë të jetë i bardhë është: P( A) = 80 /448 + 90/448 + 12/448 = 13/322) Topi i marrë nga urna e 2-të doli i bardhë, d.m.th. probabiliteti total është P(A) = 13/32 Probabiliteti që topa me ngjyra të ndryshme (bardh e zi) të vendosen në urnën e dytë dhe të bardhë u zgjodh: P2(3) = 30/56*(2+1). /( 6+2) = 90/448P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Teorema e shumëzimit

quhet teoremat e shumëzimit.

Kjo teoremë përgjithësohet me rastin n ngjarjet:

Detyra 1. Nga një urnë që përmban 5 topa të bardhë dhe 3 të zinj, një top nxirret në mënyrë të rastësishme dhe radhazi derisa të shfaqet një top i zi. Gjeni probabilitetin që një nxjerrje e katërt do të duhet të bëhet nëse zgjedhja bëhet pa u kthyer.

Zgjidhje. Le të prezantojmë ngjarjet e mëposhtme: A 1 = (topi i bardhë i tërhequr i pari), A 2 = (topi i bardhë është tërhequr i dyti), A 3 = (topi i bardhë është tërhequr i treti). Pastaj ngjarja që na intereson A = (do të duhet të bëjë një barazim të katërt) = (tre topat e parë janë të bardhë) =
. Nga teorema e shumëzimit të probabilitetit

P(A 1) = 5/8;
, meqenëse një top i bardhë tashmë është tërhequr dhe para vizatimit të dytë në urnë kanë mbetur 7 topa, 4 prej të cilëve janë të bardhë; , meqenëse tashmë janë nxjerrë dy topa të bardhë dhe para nxjerrjes së tretë në urnë kanë mbetur 6 topa, 3 prej të cilëve janë të bardhë. Prandaj,

Përgjigju. 5/28.
Nga aksiomat e probabilitetit rrjedh, siç e përmendëm, se për dy ngjarje arbitrare A Dhe NË probabiliteti

Kjo barazi quhet teorema të mbledhjes.

ku shumat vlejnë për gjithçka kombinime të mundshme indekse të ndryshme, të marra nga 1, 2, 3, etj. përkatësisht.

Formula e probabilitetit total

Sipas përcaktimit të hipotezave
dhe , dhe sipas aksiomës së dytë të probabilitetit
, Kjo është arsyeja pse:

domethënë, për grupin e plotë të ngjarjeve barazia është e vërtetë:

Për çdo event A dhe një grup të plotë ngjarjesh H 1 , H 2 ,..., H n i drejtë formula e probabilitetit total:

Është e arsyeshme të zbatohet formula e probabilitetit total në rastin kur ekzistojnë, si të thuash, dy elemente të rastësisë dhe rezultati i të dytit. ngjarje e rastësishme varet nga zbatimi i ngjarjes së parë të rastësishme.

Zgjidhje. Le të shqyrtojmë ngjarjet:

A = (një produkt i marrë me inspektim të rastësishëm);

N 1 = (produkt standard i marrë), R(N 1)=0,99;

N 2 = (produkti i marrë është jo standard), R(N 2)=0,01;

A|N 1 = (një produkt i marrë me inspektim të rastësishëm me kusht që të jetë standard), R(A|N 1) = 0,995;

A|N 2 = (një produkt i marrë në mënyrë të rastësishme, me kusht që të jetë jo standard), R(A|N 2) = 0,001;

Detyrë. 3. Në dy urna ka topa bardh e zi: në urnën e parë ka 8 të bardha dhe 2 të zeza, në të dytën 6 të bardha dhe 2 të zeza. Një top i marrë rastësisht nga urna e parë transferohet në të dytën, pas së cilës një top zgjidhet rastësisht nga urna e dytë. Gjeni probabilitetin për të nxjerrë një top të zi nga urna e dytë.

Zgjidhje. Le të shënojmë: A= (nga urna e dytë nxirret një top i zi). Duhet gjetur P(A)

Mënyrat e mëposhtme të zhvillimit të ngjarjeve janë të mundshme:

ose me një probabilitet 2/10 një top i zi tërhiqet nga urna e parë dhe transferohet në urnën e dytë, pas së cilës ka 9 topa në urnën e dytë (nga të cilat 3 janë të zeza), dhe probabiliteti për të marrë një top të zi. prej saj është 3/9;

ose me një probabilitet 8/10 një top i bardhë tërhiqet nga urna e parë dhe transferohet në urnën e dytë, pas së cilës grupi i dytë përmban 9 topa (nga të cilët 2 janë të zinj) dhe probabilitetin për të marrë një top të zi prej tij. është 2/9.

Le të paraqesim hipoteza:

H 1 = (një top i zi nxirret nga urna e parë), P(H 1) = 2/10 = 0,2;

H 2 = (një top i bardhë nxirret nga urna e parë), P(H 2) = 8/10 = 0,8;

P(H 1) + P(H 2) = 1.

Pastaj R(A|N 1) = (një top i zi nxirret nga urna e dytë, me kusht që një top i zi të jetë nxjerrë nga urna e parë), P(A|H 1) = 3/9 = 1/3. Po kështu, P(A|H 2) = 2/9.

Sipas formulës së probabilitetit total:

Përgjigju. 11/45.

Formula e Bayes

.

Formula e fundit quhet Formulat e Bayes.

.
Detyra 4. Në kushtet e problemit 3, gjeni probabilitetin që nga urna e parë të jetë nxjerrë një top i zi nëse nga urna e dytë është nxjerrë edhe një top i zi.

Zgjidhje. Në shënimin e paraqitur gjatë zgjidhjes së problemit 3. kërkohet të gjendet P(H 1 |A). Sipas formulës së Bayes

Përgjigju. 3/11.
Detyra 5. Mesazhi përbëhet nga sinjalet "1" dhe "0". Vetitë e interferencës janë të tilla që mesatarisht 5% e sinjaleve "0" dhe 3% e sinjaleve "1" janë të shtrembëruara. Në rast shtrembërimi, në vend të sinjalit "0", merret një sinjal "1" dhe anasjelltas. Dihet se midis sinjaleve të transmetuara "0" dhe "1" ndodhin në një raport prej 3:2. Gjeni probabilitetin që të dërgohet një sinjal "0" nëse merret një sinjal "1".

Zgjidhje. Eksperimenti u krye dhe ngjarja ndodhi A =(sinjali "1" u mor).

Hipotezat: H 1 = (sinjali "0" u dërgua), H 2 = (sinjali "1" u dërgua).

Sipas kushtit: P(H 1) = 3/5 = 0,6, P(H 2) = 2/5 = 0,4, domethënë P(H 1) + P(H 2) = 1.

Le të shqyrtojmë ngjarjet:

A|H 1 = (sinjali "1" merret, me kusht që të dërgohet sinjali "0") = (sinjali "0" është i shtrembëruar), prandaj, sipas kushtit P(A|H 1)=0,05;

A|H 2 = (sinjali "1" merret, me kusht që sinjali "1" të dërgohet) = (sinjali "1" nuk është i shtrembëruar), prandaj, sipas kushtit P(A|H 2)=1–0,03=0,97;

H 1 | A = (sinjali “0” dërgohet nëse merret sinjali “1”).

Sipas formulës së Bayes