Sekuencat monotonike të numrave janë. I

Qëllimi: Të japë konceptin, përkufizimin e një sekuence, të fundme, të pafundme, mënyra të ndryshme të përcaktimit të sekuencave, dallimet e tyre, të mësojë se si t'i përdorim ato gjatë zgjidhjes së shembujve.

Pajisjet: Tavolina.

Ecuria e mësimit

I. Momenti organizativ.

II. Kontroll frontal detyrat e shtëpisë:

1) studenti në tabelë detyra nr. 2.636 (nga pjesa II e “Përmbledhja e detyrave për provimin me shkrim në klasën 9)

2) student. Ndërtoni një grafik

3) frontalisht me të gjithë klasën nr. 2.334 (a).

III. Shpjegimi i materialit të ri.

Një leksion shkollor është një formë e organizimit të procesit arsimor që i orienton studentët kur studiojnë një temë të veçantë në gjënë kryesore dhe përfshin një demonstrim të gjerë të qëndrimit personal të mësuesit dhe studentëve ndaj materialit arsimor. Sepse Mësimi-leksioni parashikon një prezantim në bllok të madh të materialit nga mësuesi, atëherë komunikimi verbal midis mësuesit dhe studentëve është gjëja kryesore në teknologjinë e tij. Fjala e mësuesit ka një ndikim emocional, estetik dhe krijon një qëndrim të caktuar ndaj temës. Me ndihmën e një ligjërate udhëzohen lloje të ndryshme të veprimtarive të nxënësve në klasë dhe nëpërmjet njohurive, aftësive dhe aftësive formohet njohja si bazë e veprimtarisë edukative.

I. Shkruani numrat dyshifrorë që mbarojnë me 3 në rend rritës.

13; 23; 33;………….93.

Për të gjithë numri serial Nga 1 në 9, përputhni një numër specifik dyshifror:

1->13; 2->23;………9->93.

Është krijuar një korrespodencë midis grupit të nëntë numrave të parë natyrorë dhe grupit të numrave dyshifrorë që mbarojnë me numrin 3. Kjo korrespondencë është një funksion.

Fusha e përkufizimit është (1; 2; 3;……..9)

Shumë vlera (13; 23; 33;…….93).

Nëse korrespondenca shënohet me f, atëherë

Kjo sekuencë mund të specifikohet duke përdorur par.

(1;3) (2;5) (3;7) (4;9)

b) 1; 0; 1; 0; 1; 0

Tabela nr. 1

A)

b)

II.

O.o.f. (1; 2; 3; 4;…..)

M.z.f. g(1) = ;

g(3) =;

...

g(60) =

Një funksion i përcaktuar në bashkësinë e numrave natyrorë quhet sekuencë e pafundme.

c) 2; 4; 6; 8; 10;……..

1 -> 2; 2 -> 4; ……. n -> 2n

f(1); f(2); f(3)… …..f(n)

- anëtarët e sekuencës.

Shënim: është e nevojshme të bëhet dallimi midis konceptit të një grupi dhe konceptit të një sekuence.

a) (10; 20; 30; 40)

{40; 30; 20; 10}

I njëjti grup.

b) megjithatë, sekuencat 10; 20; 30; 40

(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)

(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).

Të ndryshme:

III. Konsideroni sekuencën:

2) 10; 9; 8; 7; 6. -> përfundimtar, në rënie.

A)

Një sekuencë quhet në rritje nëse çdo anëtar, duke filluar nga i dyti, është më i madh se ai i mëparshmi.

b)

Është dhënë përkufizimi i një sekuence në rënie.

Sekuencat në rritje ose në ulje quhen monotonike.

1; 0; 1; 0; 1; 0. - luhatëse;

5; 5; 5; 5; ….. - konstante.

IV. Sekuencat mund të përshkruhen gjeometrikisht. Sepse sekuenca është një funksion domeni i përkufizimit të të cilit është bashkësia N, atëherë grafiku, me sa duket, është bashkësia e pikave të rrafshit (x; y).

Shembull: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.

(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)

Le ta përshkruajmë këtë sekuencë

Figura 1.

Shembull: Vërtetoni se një sekuencë e dhënë në këtë formë

99; 74; 49; 24; -1;……………

është në rënie.

V. Metodat për specifikimin e sekuencave.

Sepse Një sekuencë është një funksion i përcaktuar në grupin N, atëherë ekzistojnë pesë mënyra për të përcaktuar sekuencat:

I. Tabela

II. Metoda e përshkrimit

III. Analitike

IV. Grafike

V. Rekurente

I. Tabela - shumë e papërshtatshme. Hartojmë një tabelë dhe e përdorim për të përcaktuar se cilin anëtar? cfare vendi ze ai......

II. Mënyra e përshkrimit.

Shembull: Sekuenca është e tillë që çdo anëtar shkruhet duke përdorur numrin 4, dhe numri i shifrave është i barabartë me numrin e numrit të sekuencës.

III. Metoda analitike(duke përdorur formulën).

Një formulë që shpreh çdo anëtar të një sekuence në lidhje me numrin e tij n quhet formula e n anëtarit të sekuencës.

Për shembull:

dhe nxënësit përbëjnë këto sekuenca, dhe anasjelltas: zgjidhni një formulë për termat e sekuencave:

a) 1; ;
b) ...
;…………..
V)
G)

e) 1;-2;3;-4;5;-6;…………. IV. Metoda grafike

- gjithashtu jo shumë i përshtatshëm, ata zakonisht nuk e përdorin atë.

Teorema e Weierstrass-it mbi kufirin e një sekuence monotone Çdo sekuencë e kufizuar monotone(xn) ka kufiri përfundimtar , e barabartë me kufirin e sipërm të saktë, sup (xn) për një kufi të poshtëm jo në rënie dhe të saktë, inf(xn)
për një sekuencë jo në rritje. Çdo sekuencë monotonike e pakufizuar ka kufi i pafund

, e barabartë me plus pafundësi për një sekuencë jozitëse dhe minus pafundësi për një sekuencë jozritëse.

1) Dëshmi jo në rënie .

(1.1) .

sekuencë e kufizuar
.
Meqenëse sekuenca është e kufizuar, ajo ka një kufi të sipërm të ngushtë

• Kjo do të thotë se:
  (1.2) ;
• 
  (1.3) .

.
per te gjitha n,
Këtu kemi përdorur edhe (1.3). Duke u kombinuar me (1.2), gjejmë:
në .
,
Që atëherë
Këtu kemi përdorur edhe (1.3). Duke u kombinuar me (1.2), gjejmë:
ose

2) Pjesa e parë e teoremës është vërtetuar. Le të jetë tani sekuenca:
(2.1) sekuencë e kufizuar jo në rritje

Meqenëse sekuenca është e kufizuar, ajo ka një kufi të ngushtë të poshtëm
.
Kjo do të thotë sa vijon:

• për të gjithë n vlejnë pabarazitë e mëposhtme:
  (2.2) ;
• për këdo numër pozitiv, ka një numër, në varësi të ε, për të cilin
  (2.3) .

.
Këtu kemi përdorur edhe (2.3). Duke marrë parasysh (2.2), gjejmë:
Këtu kemi përdorur edhe (1.3). Duke u kombinuar me (1.2), gjejmë:
në .
,
Që atëherë
Këtu kemi përdorur edhe (1.3). Duke u kombinuar me (1.2), gjejmë:
Kjo do të thotë se numri është kufiri i sekuencës.
Pjesa e dytë e teoremës është e vërtetuar.

Tani le të shqyrtojmë sekuenca të pakufizuara.
3) Le të jetë sekuenca sekuencë e pakufizuar jo-zvogëluese.

Meqenëse sekuenca nuk është në rënie, pabarazitë e mëposhtme vlejnë për të gjitha n:
(3.1) .

Meqenëse sekuenca nuk është në rënie dhe e pakufizuar, ajo është e pakufizuar me anën e djathtë. Atëherë për çdo numër M ka një numër, në varësi të M, për të cilin
(3.2) .

Meqenëse sekuenca nuk është në rënie, atëherë kur kemi:
.
Këtu kemi përdorur edhe (3.2).

.
Kjo do të thotë që kufiri i sekuencës është plus pafundësi:
.
Pjesa e tretë e teoremës është e vërtetuar.

4) Së fundi, merrni parasysh rastin kur sekuencë e pakufizuar jo në rritje.

Ngjashëm me atë të mëparshmin, meqenëse sekuenca nuk është në rritje, atëherë
(4.1) sekuencë e kufizuar jo në rritje

Meqenëse sekuenca nuk është në rritje dhe e pakufizuar, ajo është e pakufizuar në anën e majtë. Atëherë për çdo numër M ka një numër, në varësi të M, për të cilin
(4.2) .

Meqenëse sekuenca nuk është në rritje, atëherë kur kemi:
.

Pra, për çdo numër M ka një numër natyror në varësi të M, kështu që për të gjithë numrat vlejnë pabarazitë e mëposhtme:
.
Kjo do të thotë që kufiri i sekuencës është minus pafundësia:
.
Teorema është e vërtetuar.

Shembull i zgjidhjes së problemit

Duke përdorur teoremën e Weierstrass-it, provoni konvergjenca e sekuencës:
, , . . . , , . . .
Pastaj gjeni kufirin e saj.

Le të paraqesim sekuencën në formën e formulave të përsëritura:
,
.

Le të vërtetojmë se sekuenca e dhënë është e kufizuar më lart me vlerën
(P1) .
Ne e kryejmë vërtetimin duke përdorur metodën induksioni matematik.
.
Le .
.
Pastaj

Vërtetohet pabarazia (A1).
;
Le të vërtetojmë se sekuenca rritet në mënyrë monotone. .
(P2)
.
Meqenëse , atëherë emëruesi i thyesës dhe faktori i parë në numërues janë pozitiv. Për shkak të kufizimit të termave të sekuencës nga pabarazia (A1), faktori i dytë është gjithashtu pozitiv. Kjo është arsyeja pse

Kjo do të thotë, sekuenca po rritet rreptësisht.

Meqenëse sekuenca është në rritje dhe e kufizuar më lart, ajo është një sekuencë e kufizuar. Prandaj, sipas teoremës së Weierstrass, ajo ka një kufi.
.
Le të përdorim faktin që
.
Le ta zbatojmë këtë në (A2), duke përdorur vetitë aritmetike të kufijve të sekuencave konvergjente:
.
Gjendja plotësohet nga rrënja.

Nëse të gjithë numri natyror n është caktuar për disa numër real x n , atëherë thonë se është dhënë sekuenca e numrave

x 1 , x 2 , … x n , …

Numri x 1 quhet anëtar i sekuencës me numrin 1 ose termi i parë i sekuencës, numri x 2 - anëtar i sekuencës me numrin 2 ose anëtari i dytë i sekuencës etj. Numri x n quhet anëtar i vargut me numër n.

Ka dy mënyra për të specifikuar sekuencat e numrave - me dhe me formula e përsëritur.

Sekuenca duke përdorur formulat anëtar i përgjithshëm sekuencat- kjo është një detyrë e radhës

x 1 , x 2 , … x n , …

duke përdorur një formulë që shpreh varësinë e termit x n nga numri i tij n.

Shembulli 1. Sekuenca e numrave

1, 4, 9, … n 2 , …

dhënë duke përdorur formulën e termit të përbashkët

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Specifikimi i një sekuence duke përdorur një formulë që shpreh një anëtar sekuence x n përmes anëtarëve të sekuencës me numrat e mëparshëm quhet specifikimi i një sekuence duke përdorur formula e përsëritur.

x 1 , x 2 , … x n , …

thirrur në sekuencë në rritje, më shumë anëtar i mëparshëm.

Me fjalë të tjera, për të gjithë n

x n + 1 >x n

Shembulli 3. Sekuenca e numrave natyrorë

1, 2, 3, … n, …

është sekuencë në rritje.

Përkufizimi 2. Sekuenca e numrave

x 1 , x 2 , … x n , …

thirrur sekuencë zbritëse nëse secili anëtar i kësaj sekuence më pak anëtar i mëparshëm.

Me fjalë të tjera, për të gjithë n= 1, 2, 3, ... pabarazia plotësohet

x n + 1 < x n

Shembulli 4. Pasoja

dhënë nga formula

është sekuencë zbritëse.

Shembulli 5. Sekuenca e numrave

1, - 1, 1, - 1, …

dhënë nga formula

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

nuk është as në rritje e as në rënie sekuencë.

Përkufizimi 3. Quhen vargje numrash në rritje dhe në zvogëlim sekuenca monotonike.

Sekuenca të kufizuara dhe të pakufizuara

Përkufizimi 4. Sekuenca e numrave

x 1 , x 2 , … x n , …

thirrur kufizuar nga lart, nëse ka një numër M të tillë që secili anëtar i kësaj sekuence më pak numrat M.

Me fjalë të tjera, për të gjithë n= 1, 2, 3, ... pabarazia plotësohet

Përkufizim 5. Sekuenca e numrave

x 1 , x 2 , … x n , …

thirrur kufizohet më poshtë, nëse ka një numër m të tillë që secili anëtar i kësaj vargu më shumë numrat m.

Me fjalë të tjera, për të gjithë n= 1, 2, 3, ... pabarazia plotësohet

Përkufizimi 6. Sekuenca e numrave

x 1 , x 2 , … x n , …

quhet e kufizuar nëse ajo kufizuar si sipër ashtu edhe poshtë.

Me fjalë të tjera, ka numra M dhe m të tillë që për të gjithë n= 1, 2, 3, ... pabarazia plotësohet

m< x n < M

Përkufizimi 7. Sekuencat e numrave, e cila nuk janë të kufizuara, thirri sekuenca të pakufizuara.

Shembulli 6. Sekuenca e numrave

1, 4, 9, … n 2 , …

dhënë nga formula

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

kufizohet më poshtë, për shembull, numri 0. Megjithatë, kjo sekuencë të pakufizuar nga lart.

Shembulli 7. Pasoja

dhënë nga formula

është sekuencë e kufizuar, sepse për të gjithë n= 1, 2, 3, ... pabarazia plotësohet

Në faqen tonë të internetit ju gjithashtu mund të njiheni me materialet arsimore të zhvilluara nga mësuesit e qendrës së trajnimit Resolventa për përgatitjen për Provimin e Bashkuar të Shtetit dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë.

Për nxënësit e shkollës që duan të përgatiten mirë dhe të kalojnë Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë ose në gjuhën ruse në rezultat i lartë, qendër trajnimi“Resolventa” drejton

Monotonia e sekuencës

Sekuenca monotonike- sekuenca që plotëson një nga kushtet e mëposhtme:

Ndër sekuencat monotonike, dallohen këto: rreptësisht monotone sekuenca që plotësojnë një nga kushtet e mëposhtme:

Ndonjëherë përdoret një variant i terminologjisë në të cilin termi "rend në rritje" konsiderohet si sinonim për termin "rend jo-zvogëlues", dhe termi "rend në rënie" konsiderohet si sinonim për termin "rend pa rritje". ". Në një rast të tillë, sekuencat rritëse dhe zvogëluese nga përkufizimi i mësipërm quhen përkatësisht "rreptësisht në rritje" dhe "rreptësisht në rënie".

Disa përgjithësime

Mund të rezultojë se kushtet e mësipërme nuk plotësohen për të gjithë numrat, por vetëm për numrat nga një diapazon i caktuar

(këtu lejohet të kthehet mbrapsht kufiri i djathtë N+ deri në pafundësi). Në këtë rast sekuenca quhet monotonike në interval I , dhe vetë gamën I thirrur një interval monotonie sekuencat.

Shembuj

Shihni gjithashtu

Fondacioni Wikimedia.

2010.

Shihni se çfarë është "Monotonia e një sekuence" në fjalorë të tjerë: Dega e matematikës që merret me studimin e vetive funksione të ndryshme . Teoria e funksioneve ndahet në dy fusha: teoria e funksioneve të një ndryshoreje reale dhe teoria e funksioneve të një ndryshoreje komplekse, ndryshimi midis të cilave është aq i madh sa... ...

Enciklopedia e Collier Testimi i sekuencave pseudo të rastësishme është një grup metodash për përcaktimin e shkallës së afërsisë së një sekuence të caktuar pseudo të rastësishme me një të rastësishme. Kjo masë është zakonisht prania e shpërndarje uniforme

, i madh... ... Wikipedia Ky term ka kuptime të tjera, shih Masa. Masa e një grupi është një sasi jo negative, e interpretuar në mënyrë intuitive si madhësia (vëllimi) i grupit. Në fakt, kjo është një masë funksioni numerik

Shkrimtar i njohur. Gjinia. në Orel më 1871; babai i tij ishte një topograf. Ai studioi në gjimnazin Oryol dhe në universitetet e Shën Petersburgut dhe Moskës, sipas Fakulteti Juridik. Studenti kishte shumë nevojë. Ishte atëherë kur ai shkroi tregimin e tij të parë "rreth... ... Enciklopedi e madhe biografike

Metodat numerike për zgjidhjen e metodave që zëvendësojnë zgjidhjen problemi i vlerës kufitare zgjidhja e një problemi diskrete (shih problemin e vlerës kufitare lineare; metodat numerike të zgjidhjes dhe ekuacioni jolinear; metodat numerike të zgjidhjes). Në shumë raste, veçanërisht kur merret parasysh... ... Enciklopedia Matematikore

Dorëshkrimi i Voynich u shkrua duke përdorur sistem i panjohur shkronjat Voynich Dorëshkrim (eng. Voyni ... Wikipedia

Shkruar duke përdorur një sistem të panjohur shkrimi Dorëshkrim Voynich - një libër misterioz i shkruar rreth 500 vjet më parë autor i panjohur, në gjuhë e panjohur, duke përdorur një alfabet të panjohur. Dorëshkrimi i Voynich... ...Wikipedia

Sigismondo d'India (italisht: Sigismondo d India, rreth 1582, Palermo? deri më 19 prill 1629, Modena) kompozitor italian. Përmbajtja 1 Biografia 2 Kreativiteti ... Wikipedia

Modernizimi- (Modernizimi) është procesi i ndryshimit të diçkaje në përputhje me kërkesat e modernitetit, kalimi në kushte më të avancuara, përmes futjes së azhurnimeve të ndryshme të modernizimit, llojeve të modernizimit, organik... Enciklopedia e Investitorëve

Një nga kryesore konceptet matematikore, kuptimi i të cilit i është nënshtruar një sërë përgjithësimesh me zhvillimin e matematikës. I. Edhe në "Elementet" e Euklidit (shek. III para Krishtit), vetitë e V., të quajtura tani, ishin formuluar qartë për t'i dalluar ato nga... ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

Përkufizimi 1. Sekuenca quhet në rënie (jo në rritje ), nëse për të gjithë
pabarazia qëndron
.

Përkufizimi 2. Konsistenca
thirrur në rritje (jo në rënie ), nëse për të gjithë
pabarazia qëndron
.

Përkufizimi 3. Sekuencat zvogëluese, jozritëse, rritëse dhe jozvogëluese quhen monotone sekuenca quhen edhe sekuenca zvogëluese dhe rritëse rreptësisht monotone sekuencat.

Natyrisht, një sekuencë jo-zvogëluese është e kufizuar nga poshtë, dhe një sekuencë jo në rritje është e kufizuar nga lart. Prandaj, çdo sekuencë monotonike është padyshim e kufizuar në njërën anë.

Shembull 1. Konsistenca
rritet, nuk ulet,
zvogëlohet
nuk rritet
– sekuencë jo monotonike.

Për sekuencat monotonike, sa vijon luan një rol të rëndësishëm:

Teorema 1. Nëse një sekuencë jo-zvogëluese (jo në rritje) kufizohet sipër (poshtë), atëherë ajo konvergon.

Dëshmi. Lëreni sekuencën
nuk zvogëlohet dhe kufizohet nga lart, d.m.th.
dhe shumë
kufizuar nga lart. Nga Teorema 1 § 2 ekziston
. Le ta vërtetojmë këtë
.

Le të marrim
në mënyrë arbitrare. Që nga viti A– kufiri i saktë i sipërm, ka një numër N të tilla që
. Meqenëse sekuenca nuk është në rënie, atëherë për të gjithë
kemi, d.m.th.
, Kjo është arsyeja pse
për të gjithë
, dhe kjo do të thotë se
.

Për një sekuencë jo në rritje të kufizuar më poshtë, prova është e ngjashme me ( nxënësit mund ta vërtetojnë këtë pohim vetë në shtëpi). Teorema është e vërtetuar.

Komentoni. Teorema 1 mund të formulohet ndryshe.

Teorema 2. Për të konverguar një varg monoton, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ajo të jetë e kufizuar.

Mjaftueshmëria përcaktohet në Teoremën 1, domosdoshmëria - në Teoremën 2 të § 5.

Kushti i monotonitetit nuk është i nevojshëm për konvergjencën e një sekuence, pasi një sekuencë konvergjente nuk është domosdoshmërisht monotonike. Për shembull, sekuenca
jo monotonike, por konvergon në zero.

Pasoja. Nëse sekuenca
rritet (zvogëlohet) dhe kufizohet nga lart (nga poshtë), pastaj
(
).

Në të vërtetë, nga teorema 1
(
).

Përkufizimi 4. Nëse
në
, atëherë thirret sekuenca sistemi kontraktues i segmenteve të mbivendosur .

Teorema 3 (parimi i segmenteve të mbivendosur). Çdo sistem kontraktues i segmenteve të mbivendosur ka, dhe për më tepër, një pikë unike Me, që i përket të gjitha segmenteve të këtij sistemi.

Dëshmi. Le ta vërtetojmë këtë çështje Me ekziston. Që nga viti
, Kjo
dhe për këtë arsye sekuenca
nuk zvogëlohet, por sekuenca
nuk rritet. Në të njëjtën kohë
Dhe
kufizuar sepse. Pastaj, nga Teorema 1, ekzistojnë
Dhe
, por që nga
, Kjo
=
. Pika e gjetur Me i përket të gjitha segmenteve të sistemit, pasi sipas teoremës 1
,
, d.m.th.
për të gjitha vlerat n.

Le të tregojmë tani se pika Me- i vetmi. Le të supozojmë se ka dy pika të tilla: Me Dhe d dhe le për siguri
. Pastaj segmenti
i përket të gjitha segmenteve
, d.m.th.
për të gjithë n, gjë që është e pamundur, pasi
dhe, për rrjedhojë, duke u nisur nga një numër i caktuar,
. Teorema është e vërtetuar.

Vini re se gjëja thelbësore këtu është që të merren parasysh intervalet e mbyllura, d.m.th. segmente. Nëse marrim parasysh një sistem intervalesh kontraktuese, atëherë parimi është, në përgjithësi, i pasaktë. Për shembull, intervalet
, padyshim kontrata deri në një pikë
, megjithatë pikë
nuk i përket asnjë intervali të këtij sistemi.

Le të shqyrtojmë tani shembuj të sekuencave monotonike konvergjente.

1) Numri e.

Le të shqyrtojmë tani sekuencën
. Si po sillet ajo? Baza

gradë
, Kjo është arsyeja pse
? Në anën tjetër,
, A
, Kjo është arsyeja pse
? Apo nuk ka kufi?

Për t'iu përgjigjur këtyre pyetjeve, merrni parasysh sekuencën ndihmëse
. Le të vërtetojmë se zvogëlohet dhe kufizohet më poshtë. Në të njëjtën kohë, do të na duhet

Lemë. Nëse
, pastaj për të gjitha vlerat natyrore n ne kemi

(Pabarazia e Bernulit).

Dëshmi. Le të përdorim metodën e induksionit matematik.

Nëse
, Kjo
, d.m.th. pabarazia është e vërtetë.

Le të supozojmë se është e vërtetë për
dhe të provojë vlefshmërinë e saj për
+1.

E drejta
. Le ta shumëzojmë këtë pabarazi me
:

Kështu,. Kjo do të thotë, sipas parimit të induksionit matematik, pabarazia e Bernulit është e vërtetë për të gjitha vlerat natyrore n. Lema është e vërtetuar.

Le të tregojmë se sekuenca
zvogëlohet. ne kemi

pabarazia e Bernoulli-t
, dhe kjo do të thotë se sekuenca
zvogëlohet.

Kufizimi nga poshtë rrjedh nga pabarazia
pabarazia e Bernoulli-t
për të gjitha vlerat natyrore n.

Nga teorema 1 ekziston
, e cila shënohet me shkronjën e. Kjo është arsyeja pse
.

Numri e irracionale dhe transcendentale, e= 2.718281828…. Është, siç dihet, baza e logaritmeve natyrore.

Shënime. 1) Pabarazia e Bernulit mund të përdoret për të vërtetuar këtë
në
. Në të vërtetë, nëse
, Kjo
. Pastaj, sipas pabarazisë së Bernoulli-t, me
. Prandaj, në
ne kemi
dmth
në
.

2) Në shembullin e diskutuar më sipër, baza e shkallës priret në 1, dhe eksponenti n- Për të , pra ka pasiguri të formës . Pasiguria e këtij lloji, siç kemi treguar, zbulohet nga kufiri i jashtëzakonshëm
.

2)
(*)

Le të vërtetojmë se kjo sekuencë konvergon. Për ta bërë këtë, ne tregojmë se është i kufizuar nga poshtë dhe nuk rritet. Në këtë rast, ne përdorim pabarazinë
për të gjithë
, e cila është pasojë e pabarazisë
.

ne kemi
shih pabarazia është më e lartë!
, d.m.th. sekuenca kufizohet më poshtë me numrin
.

Më pas,
që nga koha

, d.m.th. sekuenca nuk rritet.

Nga teorema 1 ekziston
, të cilën e shënojmë X. Kalimi në barazi (*) në ​​kufirin në
, marrim

, d.m.th.
, ku
(marrim shenjën plus, pasi të gjitha termat e sekuencës janë pozitive).

Sekuenca (*) përdoret në llogaritje
përafërsisht. Për merrni ndonjë numër pozitiv. Për shembull, le të gjejmë
. Le
. Pastaj
,. Kështu,
.

3)
.

ne kemi
. Që nga viti
në
, ka një numër N, e tillë që për të gjithë
pabarazia qëndron
. Pra, sekuenca
, duke filluar nga një numër N, zvogëlohet dhe kufizohet më poshtë, pasi
për të gjitha vlerat n. Kjo do të thotë se nga Teorema 1 ekziston
. Që nga viti
, kemi
.

Pra,
.

4)
, djathtas - n rrënjët.

Duke përdorur metodën e induksionit matematik do të tregojmë se
për të gjitha vlerat n. ne kemi
. Le
. Pastaj, nga këtu marrim një deklaratë të bazuar në parimin e induksionit matematik. Duke përdorur këtë fakt, gjejmë, d.m.th. pasues
rritet dhe kufizohet nga lart. Prandaj ekziston sepse
.

Kështu,
.