Cili nga intervalet tregohet në vijë? Funksioni.Grafiku i funksionit

B) Rreshti numerik

Merrni parasysh vijën numerike (Fig. 6):

Konsideroni grupin e numrave racionalë

Çdo numër racional përfaqësohet nga një pikë në vazhdim boshti numerik. Pra, numrat janë shënuar në figurë.

Le ta vërtetojmë atë.

Dëshmi. Le të jetë një thyesë: . Ne kemi të drejtë ta konsiderojmë këtë thyesë të pareduktueshme. Meqenëse , atëherë - numri është çift: - tek. Duke zëvendësuar shprehjen e tij, gjejmë: , nga ku rezulton se - numër çift. Ne kemi marrë një kontradiktë që vërteton deklaratën.

Pra, jo të gjitha pikat në boshtin e numrave përfaqësojnë numrat racionalë. Ato pika që nuk përfaqësojnë numra racional paraqesin numra të thirrur irracionale.

Çdo numër i formës , , është ose një numër i plotë ose një numër irracional.

Intervalet numerike

Segmentet numerike, intervalet, gjysmëintervalet dhe rrezet quhen intervale numerike.

Le të paraqesim numrat në vijën koordinative a Dhe b, si dhe numrin x mes tyre.

Bashkësia e të gjithë numrave që plotësojnë kushtin a ≤ x ≤ b, thirri segment numerik ose vetëm një segment. Është caktuar si më poshtë: [ a; b] - lexohet kështu: një segment nga a në b.

Tërësia e numrave që plotësojnë kushtin a< x < b , thirri intervali. Është caktuar si më poshtë: ( a; b)

Ai lexohet kështu: intervali nga a në b.

Bashkësi numrash që plotësojnë kushtet a ≤ x< b или a<x ≤ b, quhen gjysmë-intervale. Emërtimet:

Vendosni një ≤ x< b обозначается так:[a; b), lexohet kështu: gjysmë-interval nga a përpara b, duke përfshirë a.

Një tufë me a<x ≤ b tregohet si më poshtë: ( a; b], lexohet kështu: gjysmë-interval nga a përpara b, duke përfshirë b.

Tani le të imagjinojmë Ray me një pikë a, në të djathtë dhe në të majtë të të cilit ka një grup numrash.

a, duke plotësuar kushtin x ≥ a, thirri rreze numerike.

Është caktuar si më poshtë: [ a; +∞)-Lexon kështu: një rreze numerike nga a në plus pafundësi.

Një grup numrash në të djathtë të një pike a, që korrespondon me pabarazinë x>a, thirri rreze me numër të hapur.

Është caktuar si më poshtë: ( a; +∞)-Lexon kështu: një rreze numerike e hapur nga a në plus pafundësi.

a, duke plotësuar kushtin x ≤ a, thirri rreze numerike nga minus pafundësia nëa .

Është caktuar si më poshtë: ( - ∞; a]-Lexohet kështu: një rreze numerike nga minus pafundësia në a.

Një grup numrash në të majtë të pikës a, që korrespondon me pabarazinë x< a , thirri rreze e numrit të hapur nga minus pafundësia nëa .

Është caktuar si më poshtë: ( - ∞; a)-Lexon kështu: një rreze me numër të hapur nga minus pafundësia në a.

Bashkësia e numrave realë përfaqësohet nga e gjithë linja koordinative. Ai quhet rreshti numerik. Është caktuar si më poshtë: ( - ∞; + ∞ )

3) Ekuacionet lineare dhe pabarazitë me një ndryshore, zgjidhjet e tyre:

Një ekuacion që përmban një ndryshore quhet një ekuacion me një ndryshore, ose një ekuacion me një të panjohur. Për shembull, një ekuacion me një ndryshore është 3(2x+7)=4x-1.

Rrënja ose zgjidhja e një ekuacioni është vlera e një ndryshoreje në të cilën ekuacioni bëhet një barazi e vërtetë numerike. Për shembull, numri 1 është zgjidhje e ekuacionit 2x+5=8x-1. Ekuacioni x2+1=0 nuk ka zgjidhje, sepse ana e majtë e ekuacionit është gjithmonë më e madhe se zero. Ekuacioni (x+3)(x-4) =0 ka dy rrënjë: x1= -3, x2=4.

Të zgjidhësh një ekuacion do të thotë të gjesh të gjitha rrënjët e tij ose të provosh se nuk ka rrënjë.

Ekuacionet quhen ekuivalente nëse të gjitha rrënjët e ekuacionit të parë janë rrënjë të ekuacionit të dytë dhe anasjelltas, të gjitha rrënjët e ekuacionit të dytë janë rrënjë të ekuacionit të parë ose nëse të dy ekuacionet nuk kanë rrënjë. Për shembull, ekuacionet x-8=2 dhe x+10=20 janë ekuivalente, sepse rrënja e ekuacionit të parë x=10 është edhe rrënja e ekuacionit të dytë, dhe të dy ekuacionet kanë të njëjtën rrënjë.

Gjatë zgjidhjes së ekuacioneve, përdoren vetitë e mëposhtme:

Nëse zhvendosni një term në një ekuacion nga një pjesë në tjetrën, duke ndryshuar shenjën e tij, do të merrni një ekuacion të barabartë me atë të dhënë.

Nëse të dy anët e një ekuacioni shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër jozero, ju merrni një ekuacion të barabartë me atë të dhënë.

Ekuacioni ax=b, ku x është një ndryshore dhe a dhe b janë disa numra, quhet ekuacion linear me një ndryshore.

Nëse a¹0, atëherë ekuacioni ka një zgjidhje unike.

Nëse a=0, b=0, atëherë ekuacioni plotësohet nga çdo vlerë e x.

Nëse a=0, b¹0, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje, sepse 0x=b nuk ekzekutohet për asnjë vlerë të ndryshores.
Shembulli 1. Zgjidheni ekuacionin: -8(11-2x)+40=3(5x-4)

Le të hapim kllapat në të dy anët e ekuacionit, të zhvendosim të gjithë termat me x në anën e majtë të ekuacionit dhe termat që nuk përmbajnë x në anën e djathtë, marrim:

16x-15x=88-40-12

Shembulli 2. Zgjidh ekuacionet:

x3-2x2-98x+18=0;

Këto ekuacione nuk janë lineare, por ne do të tregojmë se si mund të zgjidhen ekuacione të tilla.

3x2-5x=0; x(3x-5)=0. Produkti është i barabartë me zero, nëse njëri nga faktorët është i barabartë me zero, marrim x1=0; x2= .

Përgjigje: 0; .

Faktoroni anën e majtë të ekuacionit:

x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), d.m.th. (x-2)(x-3)(x+3)=0. Kjo tregon se zgjidhjet e këtij ekuacioni janë numrat x1=2, x2=3, x3=-3.

c) Imagjinoni 7x si 3x+4x, atëherë kemi: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4)= 0, pra x1=-3, x2=- 4.

Përgjigje: -3; - 4.
Shembulli 3. Zgjidhet ekuacioni: ½x+1ç+½x-1ç=3.

Le të kujtojmë përkufizimin e modulit të një numri:

Për shembull: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.

Në këtë ekuacion, nën shenjën e modulit janë numrat x-1 dhe x+1. Nëse x është më i vogël se –1, atëherë numri x+1 është negativ, atëherë ½x+1½=-x-1. Dhe nëse x>-1, atëherë ½x+1½=x+1. Në x=-1 ½x+1½=0.

Kështu,

Po kështu

a) Merrni parasysh ekuacioni i dhënë½x+1½+½x-1½=3 për x£-1, është ekuivalent me ekuacionin -x-1-x+1=3, -2x=3, x=, ky numër i përket bashkësisë x£-1. .

b) Le të -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

c) Shqyrtoni rastin x>1.

x+1+x-1=3, 2x=3, x=. Ky numër i përket grupit x>1.

Përgjigje: x1=-1,5; x2=1,5.
Shembulli 4. Zgjidhet ekuacioni:½x+2½+3½x½=2½x-1½.

Ne do t'ju tregojmë shënim i shkurtër duke zgjidhur ekuacionin, duke zbuluar shenjën e modulit “mbi intervale”.

x £-2, -(x+2)-3x=-2(x-1), - 4x=4, x=-2O(-¥; -2]

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=- 4, x=-2П(1; +¥)

Përgjigje: [-2; 0]
Shembulli 5. Zgjidhet ekuacioni: (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2), për të gjitha vlerat e parametrit a.

Në të vërtetë ka dy variabla në këtë ekuacion, por konsideroni se x është e panjohura dhe a është parametri. Kërkohet të zgjidhet ekuacioni për ndryshoren x për çdo vlerë të parametrit a.

Nëse a=1, atëherë ekuacioni ka formën 0×x=0, çdo numër e plotëson këtë ekuacion.

Nëse a=-1, atëherë ekuacioni duket si 0×x=-2, asnjë numër i vetëm nuk e plotëson këtë ekuacion.

Nëse a¹1, a¹-1, atëherë ekuacioni ka një zgjidhje unike.

Përgjigje: nëse a=1, atëherë x është çdo numër;

nëse a=-1, atëherë nuk ka zgjidhje;

nëse a¹±1, atëherë .

B) Pabarazitë lineare me një ndryshore.

Nëse ndryshores x i jepet ndonjë vlerë numerike, atëherë marrim pabarazia numerike, duke shprehur një deklaratë të vërtetë ose të rreme. Le të jepet, për shembull, pabarazia 5x-1>3x+2. Për x=2 marrim 5·2-1>3·2+2 – deklaratë e vërtetë(deklarata e saktë e numrit); në x=0 marrim 5·0-1>3·0+2 – një pohim i rremë. Çdo vlerë e një ndryshoreje në të cilën kjo pabarazi me një ndryshore kthehet në një mosbarazim të vërtetë numerik quhet zgjidhje e mosbarazimit. Zgjidhja e një pabarazie me një ndryshore do të thotë të gjesh bashkësinë e të gjitha zgjidhjeve të saj.

Dy pabarazi me të njëjtën ndryshore x quhen ekuivalente nëse bashkësitë e zgjidhjeve të këtyre pabarazive përkojnë.

Ideja kryesore e zgjidhjes së pabarazisë është si vijon: ne e zëvendësojmë këtë pabarazi me një tjetër, më të thjeshtë, por ekuivalente me atë të dhënë; ne përsëri zëvendësojmë pabarazinë që rezulton me një pabarazi më të thjeshtë ekuivalente me të, etj.

Zëvendësime të tilla bëhen në bazë të deklaratave të mëposhtme.

Teorema 1. Nëse ndonjë term i një pabarazie me një ndryshore transferohet nga një pjesë e pabarazisë në tjetrën me shenjë e kundërt, duke e lënë të pandryshuar shenjën e pabarazisë, marrim një pabarazi të barabartë me atë të dhënë.

Teorema 2. Nëse të dyja anët e një pabarazie me një ndryshore shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër pozitiv, duke lënë shenjën e mosbarazimit të pandryshuar, atëherë do të fitohet një pabarazi ekuivalente me atë të dhënë.

Teorema 3. Nëse të dyja anët e një pabarazie me një ndryshore shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtën një numër negativ, duke ndryshuar shenjën e pabarazisë në të kundërtën, marrim një mosbarazim të barabartë me atë të dhënë.

Një pabarazi e formës ax+b>0 quhet lineare (përkatësisht, ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

Shembulli 1. Zgjidh inekuacionin: 2(x-3)+5(1-x)³3(2x-5).

Duke hapur kllapat, marrim 2x-6+5-5x³6x-15,

Përgjigje - Bashkësia (-∞;+∞) quhet vijë numerike, dhe çdo numër është një pikë në këtë drejtëz. le një - pikë arbitrare vija numerike dhe δ

Numër pozitiv. Intervali (a-δ; a+δ) quhet δ-lagja e pikës a.

Një grup X është i kufizuar nga lart (nga poshtë) nëse ka një numër c të tillë që për çdo x ∈ X vlen pabarazia x≤с (x≥c). Numri c në këtë rast quhet kufiri i sipërm (i poshtëm) i bashkësisë X. Një grup që kufizohet si sipër ashtu edhe poshtë quhet i kufizuar. Kufiri më i vogël (më i madh) i kufijve të sipërm (të poshtëm) të një grupi quhet kufiri i saktë i sipërm (i poshtëm) i këtij grupi.

Një interval numerik është një grup i lidhur numrash realë, domethënë i tillë që nëse këtij grupi i përkasin 2 numra, atëherë të gjithë numrat ndërmjet tyre i përkasin kësaj bashkësie. Ka disa lloje disi të ndryshme të jo bosh intervale numerike: Drejt, tra i hapur, tra i mbyllur, segment, gjysmë interval, interval

Linja e numrave

Bashkësia e të gjithë numrave realë quhet edhe vija numerike. Ata shkruajne.

Në praktikë, nuk ka nevojë të bëhet dallimi midis konceptit të një vije koordinative ose numerike në kuptimin gjeometrik dhe konceptit të një rreshti numerik të paraqitur nga ky përkufizim. Prandaj, këto koncepte të ndryshme shënohen me të njëjtin term.

Trare e hapur

Bashkësia e numrave të tillë që quhet rreze numerike e hapur. Ata shkruajne ose në përputhje me rrethanat: .

Trare e mbyllur

Bashkësia e numrave të tillë që quhet vijë numerike e mbyllur. Ata shkruajne ose në përputhje me rrethanat:.

Një grup numrash quhet segment numerik.

Komentoni. Përkufizimi nuk e përcakton atë. Supozohet se rasti është i mundur. Pastaj intervali numerik kthehet në një pikë.

Intervali

Një grup numrash të tillë që quhet interval numerik.

Komentoni. Koincidenca e përcaktimeve të një rreze të hapur, një vijë të drejtë dhe një interval nuk është e rastësishme. Një rreze e hapur mund të kuptohet si një interval, një nga skajet e të cilit hiqet në pafundësi, dhe një vijë numerike - si një interval, të dy skajet e së cilës hiqen në pafundësi.

Gjysmë-interval

Një grup numrash si ky quhet gjysmë-interval numerik.

Ata shkruajnë ose, përkatësisht,

3.Funksioni.Grafiku i funksionit. Metodat për përcaktimin e një funksioni.

Përgjigje - Nëse janë dhënë dy ndryshore x dhe y, atëherë ndryshorja y thuhet se është funksion i ndryshores x nëse është dhënë një marrëdhënie e tillë ndërmjet këtyre variablave që lejon që çdo vlerë të përcaktojë në mënyrë unike vlerën e y.

Shënimi F = y(x) do të thotë që po konsiderohet një funksion që lejon çdo vlerë të ndryshores së pavarur x (nga ato që mund të marrë përgjithësisht argumenti x) për të gjetur vlerën përkatëse të ndryshores së varur y.

Metodat për përcaktimin e një funksioni.

Funksioni mund të specifikohet me një formulë, për shembull:

y = 3x2 – 2.

Funksioni mund të specifikohet nga një grafik. Duke përdorur një grafik, mund të përcaktoni se cila vlerë funksioni korrespondon me një vlerë të caktuar argumenti. Kjo është zakonisht një vlerë e përafërt e funksionit.

4.Karakteristikat kryesore të funksionit: monotoniteti, barazia, periodiciteti.

pergjigje - Përkufizimi i periodicitetit. Një funksion f quhet periodik nëse ka një numër të tillë
, që f(x+
)=f(x), për të gjitha x D(f). Natyrisht, ka një numër të panumërt numrash të tillë. Numri më i vogël pozitiv ^ T quhet perioda e funksionit. Shembuj. A. y = cos x, T = 2 . V. y = tg x, T = . S. y = (x), T = 1. D. y = , ky funksion nuk është periodik. Përkufizimi i barazisë. Një funksion f thirret edhe nëse vetia f(-x) = f(x) vlen për të gjitha x në D(f). Nëse f(-x) = -f(x), atëherë funksioni quhet tek. Nëse asnjë nga marrëdhëniet e treguara nuk është e kënaqur, atëherë funksioni quhet funksion i përgjithshëm. Shembuj. A. y = cos (x) - çift; V. y = tg (x) - tek; S. y = (x); y=sin(x+1) – funksione të formës së përgjithshme. Përkufizimi i monotonisë. Një funksion f: X -> R quhet rritje (zvogëluese) nëse ka ndonjë
plotësohet kushti:
Përkufizimi. Një funksion X -> R quhet monoton në X nëse është në rritje ose në rënie në X. Nëse f është monoton në disa nënbashkësi të X, atëherë quhet monoton pjesë-pjesë. Shembull. y = cos x - funksion monoton pjesë-pjesë.

Intervalet numerike. Kontekst. Përkufizimi

Një barazi (ekuacion) ka një pikë në vijën numerike (edhe pse kjo pikë varet nga shndërrimet e bëra dhe nga rrënja e zgjedhur). Zgjidhja e vetë ekuacionit do të jetë një grup numerik (nganjëherë i përbërë nga një numër i vetëm). Sidoqoftë, e gjithë kjo është në vijën numerike (vizualizimi i grupit numra realë) do të shfaqet vetëm në drejtim të pikës, por ka edhe më shumë lloje gjenerike marrëdhëniet ndërmjet dy numrave - pabarazitë. Në to, rreshti i numrave ndahet me një numër të caktuar dhe shkëputet prej tij pjesë e caktuar- vlerat e një shprehjeje ose një intervali numerik.

Është logjike që tema e intervaleve numerike të diskutohet së bashku me pabarazitë, por kjo nuk do të thotë se lidhet vetëm me to. Intervalet numerike (intervalet, segmentet, rrezet) janë një grup vlerash të ndryshueshme që plotësojnë një pabarazi të caktuar. Kjo është, në thelb, ky është grupi i të gjitha pikave në vijën numerike, të kufizuar nga një lloj kornize. Prandaj, tema e intervaleve numerike është më e lidhur me konceptin e ndryshueshme. Aty ku ka një ndryshore, ose një pikë arbitrare x në vijën numerike dhe përdoret, ka edhe intervale numerike, intervalet janë vlera x. Shpesh vlera mund të jetë çdo gjë, por ky është gjithashtu një interval numerik që mbulon të gjithë vijën numerike.

Le të prezantojmë konceptin intervali numerik. Ndër grupe numrash, pra, bashkësitë objektet e të cilave janë numra, dallojnë të ashtuquajturat intervale numerike. Vlera e tyre është se është shumë e lehtë të imagjinohet një grup që korrespondon me një interval të caktuar numerik, dhe anasjelltas. Prandaj, me ndihmën e tyre është e përshtatshme të shkruani shumë zgjidhje për një pabarazi. Ndërsa grupi i zgjidhjeve të ekuacionit nuk do të jetë një interval numerik, por thjesht disa numra në vijën numerike, me pabarazi, me fjalë të tjera, çdo kufizim në vlerën e një ndryshoreje, shfaqen intervale numerike.

Një interval numerik është grupi i të gjitha pikave në vijën numerike, të kufizuar nga një numër ose numra të caktuar (pikat në vijën numerike).

Një interval numerik i çdo lloji (një grup vlerash x të mbyllura midis numrave të caktuar) mund të përfaqësohet gjithmonë në tre mënyra shënimi matematik: shënime të veçanta për intervalet, zinxhirët e mosbarazimeve (jobarazimi i vetëm ose i dyfishtë) ose gjeometrikisht në vijën numerike. Në thelb, të gjitha këto emërtime kanë të njëjtin kuptim. Ato ofrojnë një kufizim(a) në vlerat e disa objekteve matematikore, madhësi e ndryshueshme(disa ndryshore, çdo shprehje me një ndryshore, funksion, etj.).

Nga sa më sipër mund të kuptohet se meqenëse është e mundur të kufizohet zona e vijës së numrave në mënyra të ndryshme (ka tipe te ndryshme pabarazitë), atëherë ekzistojnë lloje të ndryshme të intervaleve numerike.

Llojet e intervaleve numerike

Çdo lloj intervali numrash ka emri i duhur, emërtim i veçantë. Për të treguar intervalet numerike, përdoren kllapa të rrumbullakëta dhe katrore. Një kllapa do të thotë që pika përfundimtare, përcaktuese e kufirit në vijën numerike (fundin) e kësaj kllapa nuk përfshihet në grupin e pikave të këtij intervali. Kllapa katrore do të thotë se fundi hyn në boshllëk. Me pafundësi (në këtë anë intervali nuk është i kufizuar) përdorni një kllapa. Ndonjëherë në vend të kësaj kllapa mund të shkruani katror, ​​të rrotulluar brenda ana e kundërt: (a;b) ⇔]a;b[

Mund të ketë konfuzion me emrat e intervaleve: ka sasi e madhe opsione. Prandaj, është gjithmonë më mirë t'i tregoni ato me saktësi. Në literaturën angleze përdoret vetëm termi intervali ("interval") - i hapur, i mbyllur, gjysmë i hapur (gjysmë i mbyllur). Ka shumë variacione.

Përdorimi i intervaleve në matematikë tregon shumë nje numer i madh i gjërat: ka intervale izolimi gjatë zgjidhjes së ekuacioneve, intervale të integrimit, intervale të konvergjencës së serive. Kur studioni një funksion, intervalet përdoren gjithmonë për të treguar gamën e tij të vlerave dhe domenin e përkufizimit. Boshllëqet janë shumë të rëndësishme, për shembull, ka Teorema Bolzano-Cauchy(Mund të mësoni më shumë në Wikipedia).

Sistemet dhe grupet e pabarazive

Sistemi i pabarazive

Pra, një ndryshore x ose vlera e disa shprehjeve mund të krahasohet me disa vlerë konstante- kjo është një pabarazi, por ju mund ta krahasoni këtë shprehje me disa sasi - një pabarazi e dyfishtë, një zinxhir pabarazish, etj. Kjo është pikërisht ajo që u tregua më lart - si një interval dhe një segment. Të dyja janë sistemi i pabarazive.

Pra, nëse detyra është të gjesh grupin zgjidhjet e përgjithshme dy ose më shumë pabarazi, atëherë mund të flasim për zgjidhjen e një sistemi pabarazish (ashtu si me ekuacionet - megjithëse mund të themi se ekuacionet janë një rast i veçantë).

Atëherë është e qartë se vlera e ndryshores së përdorur në pabarazitë, në të cilën secila prej tyre bëhet e vërtetë, quhet zgjidhja e sistemit të pabarazive.

Të gjitha pabarazitë e përfshira në sistem janë të bashkuara mbajtëse kaçurrelë- "(". Ndonjëherë ato shkruhen në formë pabarazi e dyfishtë(siç tregohet më lart) ose madje zinxhir pabarazish. Shembull i një hyrjeje tipike: f x ≤ 30 g x 5 .

Zgjidhja e sistemeve pabarazitë lineare me një variabël në rast i përgjithshëm zbret në këto 4 lloje: x > a x > b (1) x > a x< b (2) x < a x >b(3)x< a x < b (4) . Здесь предполагается, что b > a.

Çdo sistem mund të zgjidhet grafikisht duke përdorur vijën numerike. Aty ku kryqëzohen zgjidhjet e pabarazive që përbëjnë sistemin, do të ketë një zgjidhje për vetë sistemin.

Le të paraqesim një zgjidhje grafike për secilin rast.