Le të ndërtojmë një funksion ndihmës në një segment hap pas hapi. Në hapin zero do të vendosim dy pika:

Dhe .

Më pas ne rregullojmë parametrin. Në hapat e parë dhe në vijim do të vendosim pikat sipas rregulli tjetër: për çdo dy pika të ndërtuara më parë ngjitur përgjatë boshtit x dhe do të ndërtojmë dy pika të reja dhe në mënyrë qendrore simetrike në lidhje me qendrën e drejtkëndëshit të përcaktuar nga pikat dhe me një koeficient k. Kjo do të thotë, në hapin e parë specifikohen dy pika të reja:

Dhe , etj.

Aktiv (m+1)- om hap përveç pikave të ndërtuara më parë me abshisa

ndërtohen dy pika në të gjitha hapësirat përgjatë abshisës ndërmjet pikave ngjitur tashmë të ndërtuara. Ky konstruksion kryhet si më poshtë: hapësirat përgjatë boshtit të abshisave ndërmjet pikave ngjitur (drejtkëndëshat me brinjë a Dhe b) ndahen në 3 pjesë të barabarta secila. Pastaj dy pika të reja ndërtohen sipas njërës prej skemave të mëposhtme:

Në varësi të asaj se cila nga pikat fqinje është më e lartë ose më e lartë, ne përdorim skemën majtas ose djathtas. Në hapin e parë, siç tregohet më sipër, ne pranojmë a = b = 1.

Ne e përsërisim ndërtimin një numër të numërueshëm herë për m = 1, 2, 3, .... Si rezultat, ne do të marrim një fraktal që do të jetë i ngjashëm, deri në një të caktuar transformimi afin(shtrirja, ngjeshja, rrotullimi) i cilësdo prej pjesëve të tij që përmbahen në çdo shirit:

;

Si rezultat i ndërtimit të një fraktali, marrim një funksion të përcaktuar në një grup pikash

e cila është e dendur kudo në segment .

Çfarë vetish ka funksioni i ndërtuar?

· në çdo pikë të formularit (*) ka ose një maksimum strikte ose një minimum strikte, d.m.th. funksionin g(x) nuk është askund monoton dhe ka grupe të dendura pikash ekstreme strikte në segment;

· Funksioni g(x) është i vazhdueshëm, madje në mënyrë uniforme i vazhdueshëm në bashkësinë e pikave (*);

· funksioni i ndërtuar i vazhdueshëm në segment nuk ka në asnjë pikë këtë segment edhe derivatet e njëanshme;

Vetitë e mësipërme u vërtetuan në lëndën “Kapituj të zgjedhur të analizës matematikore”.

Në shembullin e shqyrtuar, ne supozuam parametrin . Duke ndryshuar vlerën e këtij parametri, ju mund të merrni familjet e funksioneve me vetitë e tyre të veçanta.

· . Këto funksione janë të vazhdueshme dhe rreptësisht në rritje monotone. Ata kanë derivate zero dhe të pafundme (përkatësisht, pikat e lakimit) në grupe pikash që janë të dendura kudo në segment.

· . Marrë funksion linear y = x

· . Vetitë e familjes së funksioneve janë të njëjta si për vlerat e k nga diapazoni i parë.

· . Ne kemi marrë funksionin Cantor, i cili u studiua në detaje nga ne më parë.

· . Këto funksione janë të vazhdueshme, askund monotone, kanë derivate të njëanshme minimale dhe maksimale, zero dhe të pafundme (të të dyja shenjave) në grupe pikash që janë të dendura kudo në segment.

· . Ky funksionështë studiuar nga ne më sipër.

· . Funksionet nga ky varg kanë të njëjtat veti si funksioni në .

konkluzioni.

Në punën time kam zbatuar disa shembuj nga lënda “Kapituj të zgjedhur të analizës matematikore”. NË kjo pune U futën pamjet e programeve që vizualizova. Në fakt, ato janë të gjitha ndërvepruese, studenti mund të shohë pamjen e funksionit; hap specifik, ndërtojini ato vetë në mënyrë të përsëritur dhe afroni shkallën. Algoritmet e ndërtimit, si dhe disa funksione të bibliotekës Skeleti janë përzgjedhur dhe përmirësuar posaçërisht për ky lloj problemet (kryesisht fraktale u morën parasysh).

Ky material padyshim do të jetë i dobishëm për mësuesit dhe studentët dhe është një shoqërues i mirë i leksioneve të lëndës “Kapituj të zgjedhur të analizës matematikore”. Interaktiviteti i këtyre vizualizimeve ndihmon për të kuptuar më mirë natyrën e grupeve të ndërtuara dhe për të lehtësuar procesin e perceptimit të materialit nga nxënësit.

Programet e përshkruara përfshihen në bibliotekën e moduleve vizuale të projektit www.visualmath.ru, për shembull, këtu është funksioni Cantor që kemi konsideruar tashmë:

Në të ardhmen, është planifikuar të zgjerohet lista e detyrave të vizualizuara dhe të përmirësohen algoritmet e ndërtimit për më shumë punë efikase programet. Puna në projektin www.visualmath.ru padyshim që solli shumë përfitime dhe përvojë, aftësi të punës në grup, aftësi për të vlerësuar dhe paraqitur materialin edukativ sa më qartë.

Letërsia.

1. B. Gelbaum, J. Olmsted, Kundërshembuj në analizë. M.: Mir.1967.

2. B.M. Makarov et al. Dialekti Nevski, 2004.

3. B. Mandelbrot. Gjeometria fraktale e natyrës. Instituti për Studime Kompjuterike, 2002.

4. Yu.S. Ochan, Mbledhja e problemeve dhe teoremave mbi TFDP. M.: Iluminizmi. 1963.

5. V.M. Shibinsky Shembuj dhe kundërshembuj në rrjedhën e analizës matematikore. M.: shkollë e diplomuar, 2007.

6. R.M Kronover, Fraktale dhe kaos në sistemet dinamike, M.: Postmarket, 2000.

7. A. A. Nikitin, Kapituj të zgjedhur të analizës matematikore // Koleksion artikujsh nga shkencëtarë të rinj të Fakultetit të Matematikës dhe Matematikës Llogaritëse të Universitetit Shtetëror të Moskës, 2011 / ed. S. A. Lozhkin. M.: Departamenti i Botimeve të Fakultetit të Matematikës dhe Matematikës Kompjuterike të Universitetit Shtetëror të Moskës. M.V. Lomonosova, 2011. fq 71-73.

8. R.M Kronover, Fraktale dhe kaos në sistemet dinamike, M.: Postmarket, 2000.

9. Fraktal dhe ndërtimi i një funksioni kudo të vazhdueshëm, por askund jo të diferencueshëm // Leximet e XVI Ndërkombëtare Lomonosov: Koleksion punimet shkencore. – Arkhangelsk: Pomeranian State University, 2004. F.266-273.

Bashkimi i një numri të numërueshëm grupesh të hapura (intervale ngjitur) është i hapur dhe plotësuesi i një grupi të hapur është i mbyllur.

Çdo lagje e një pike A Set Cantor, ka të paktën një pikë nga , të ndryshme nga A.

E mbyllur dhe nuk përmban pika të izoluara(çdo pikë është një kufi).

Ekziston më së shumti një grup i numërueshëm që është kudo i dendur në .

Një grup A nuk është askund i dendur në hapësirën R nëse ka grup i hapur i kësaj hapësire përmban një grup tjetër të hapur, plotësisht të lirë nga pikat e grupit A.

Një pikë, çdo fqinjësi e së cilës përmban një grup të panumërueshëm pikash të një grupi të caktuar.

Ne do të themi se një grup në një aeroplan nuk është askund i dendur hapësirë metrike R, nëse ndonjë rreth i hapur i kësaj hapësire përmban një rreth tjetër të hapur, plotësisht të lirë nga pikat e këtij grupi.

MINISTRIA E ARSIMIT DHE SHKENCËS E FEDERATËS RUSE

INSTITUCIONI PUBLIK ARSIMOR

ARSIMI I LARTË PROFESIONAL

"INSTITUTI SHTETËROR PEDAGOGJIK USSURI"

Fakulteti i Fizikës dhe Matematikës

Puna e kursit në analiza matematikore

Tema: “Funksionet e vazhdueshme por jo të diferencueshme”

Plotësuar nga: Plyashnik Ksenia

nxënës i grupit 131

Drejtues: Delyukova Y.V.

Ussuriysk - 2011

Prezantimi................................................. .......................................................... 3

Referenca historike ................................................ ...................... 4

Përkufizimet dhe teoremat bazë................................................ ................................ 5

Shembull funksion të vazhdueshëm pa derivat................................ 10

Zgjidhja e ushtrimeve................................................ .......................... 13

konkluzioni................................................ ..................................... 21

Bibliografi................................................ . .......................... 22

Prezantimi

Puna e kursit i kushtohet studimit të lidhjes midis vazhdimësisë dhe ekzistencës së një derivati të një funksioni të një ndryshoreje. Bazuar në qëllimin, u vendosën detyrat e mëposhtme:

1. Studion literaturë arsimore;

2. Studioni një shembull të një funksioni të vazhdueshëm që nuk ka derivat në asnjë pikë, të ndërtuar nga van der Waerden;

3. Vendosni për sistemin e ushtrimeve.

Referencë historike

Bartel Leendert van der Waerden (holandisht Bartel Leendert van der Waerden, 2 shkurt 1903, Amsterdam, Holandë - 12 janar 1996, Cyrih, Zvicër) - matematikan holandez.

Ai studioi në Universitetin e Amsterdamit, më pas në Universitetin e Gottingen, ku Emmy Noether pati një ndikim të madh tek ai.

Punime madhore në fushën e algjebrës, gjeometrisë algjebrike, ku ai (së bashku me Andre Weil dhe O. Zariski) ngriti nivelin e ashpërsisë, dhe fizikës matematikore, ku punoi për zbatimin e teorisë së grupit në pyetje Mekanika kuantike(së bashku me Hermann Weyl dhe Yu. Wigner). Libri i tij klasik Algjebra Moderne (1930) u bë model për tekstet e mëvonshme mbi algjebrën abstrakte dhe kaloi nëpër shumë botime.

Van der Waerden është një nga specialistët kryesorë në historinë e matematikës dhe astronomisë në Bota e lashtë. Shkenca e tij e zgjimit (Ontwakende wetenschap 1950, përkthimi rusisht 1959) jep një përshkrim të gjerë të historisë së matematikës dhe astronomisë në Egjipti i lashte, Babilonia dhe Greqia. Shtojca e përkthimit rusisht të këtij libri përmban artikullin "Doktrina e Pitagorës së Harmonisë" (1943) - një prezantim themelor i pikëpamjeve të Pitagorës mbi harmoninë muzikore.

Përkufizime dhe teorema bazë

Kufiri i një funksioni në një pikë. Kufijtë majtas dhe djathtas

Përkufizimi (Kufiri Cauchy, në gjuhën Numri quhet kufiri i një funksioni në një pikë nëse

Përkufizim (në gjuhën e lagjes) Një numër quhet kufiri i një funksioni në një pikë nëse për çdo fqinjësi të numrit ekziston një fqinjësi e pikës e tillë që sa më shpejt që

Përkufizimi (sipas Heine) Një numër quhet kufiri i një funksioni në një pikë nëse për çdo sekuencë që konvergon në (d.m.th., sekuenca përkatëse e vlerave të funksionit konvergon me numrin

Përkufizimi Një numër quhet kufiri i majtë i një funksioni në një pikë if

Përkufizimi Një numër quhet kufiri i duhur i një funksioni në një pikë nëse

Teorema (e nevojshme dhe gjendje e mjaftueshme ekzistenca e një kufiri)

Në mënyrë që një kufi i një funksioni të ekzistojë në një pikë, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të ketë kufij majtas dhe djathtas që janë të barabartë me njëri-tjetrin.

Koncepti i derivatit. Derivatet e njëanshme.

Konsideroni një funksion të përcaktuar në grup

1. Le të marrim rritjen. Le t'i japim pikës një rritje.

2. Le të llogarisim vlerën e funksionit në pika. Dhe

3. .

4. .

dhe shtimi i argumentit mund të jetë pozitiv ose negativ, atëherë ky kufi quhet derivat në një pikë dhe shënohet me . Mund të jetë gjithashtu i pafund.

derivati i majtë (i majtë) i funksionit në pikën , dhe nëse

ka një kufi të kufizuar atëherë quhet derivat i djathtë i funksionit në pikë.

Një funksion ka në një pikë nëse dhe vetëm nëse derivatet e tij majtas dhe djathtas përkojnë në pikën:

( ( .

Merrni parasysh funksionin Le të gjejmë derivatet e njëanshme në pikë

Prandaj, ( =-1; ( =1 Dhe ( ( , domethënë funksioni nuk ka derivat në një pikë.

Përkufizime të ndryshme vazhdimësia e një funksioni në një pikë.

Përkufizimi 1 (kryesor) Një funksion quhet i vazhdueshëm në pikën nëse kufiri i funksionit në e barabartë me vlerën funksionon në këtë pikë.

Përkufizimi 2 (në gjuhë Një funksion quhet i vazhdueshëm në një pikë nëse ε, δ>0, e tillë që .

Përkufizimi 3 (sipas Heine, në gjuhën e sekuencës) Një funksion quhet i vazhdueshëm në një pikë nëse për çdo sekuencë që konvergon në një pikë sekuenca përkatëse e vlerave të funksionit konvergjon në .

Përkufizimi 4 (në gjuhën e rritjeve) Një funksion quhet i vazhdueshëm në pikën nëse një rritje infinitimale e argumentit i korrespondon një rritje infinite vogël të funksionit.

Koncepti i një funksioni të diferencueshëm

Përkufizimi 1 Një funksion i përcaktuar në një grup (quhet i diferencueshëm në një pikë nëse rritja e tij në këtë pikë mund të përfaqësohet si (*), ku A është konst, i pavarur nga , është infinite vogël në

Përkufizimi 2 Një funksion që është i diferencueshëm në çdo pikë të grupit quhet i diferencueshëm në bashkësi.

Marrëdhënia midis diferencimit dhe vazhdimësisë

Teorema. Nëse një funksion është i diferencueshëm në një pikë, atëherë ai është i vazhdueshëm në një pikë.

Dëshmi.

Le të jepet një funksion Funksioni është i diferencueshëm në pikën ku

Teorema e bashkëbisedimit. Nëse një funksion është i vazhdueshëm, atëherë ai është i diferencueshëm.

Teorema e kundërt nuk është e vërtetë.

B nuk është i diferencueshëm, megjithëse i vazhdueshëm.

Klasifikimi i pikave të thyerjes

Përkufizim Një funksion që nuk është i vazhdueshëm në një pikë është i ndërprerë në pikë, dhe vetë pika quhet pikë ndërprerjeje.

Ekzistojnë dy klasifikime të pikave të thyerjes: tipi I dhe tipi II.

Përkufizim Një pikë quhet pikë ndërprerjeje e llojit të parë nëse në këtë pikë ka kufij të fundëm të njëanshëm të pabarabartë me njëri-tjetrin.

Përkufizim Një pikë quhet pikë e boshllëkut të lëvizshëm yva, nëse , por ato nuk janë të barabarta me vlerën e funksionit në pikë .

Përkufizim Një pikë quhet një pikë ndërprerjeje e llojit të dytë nëse në këtë pikë kufijtë e njëanshëm janë të barabartë ose një nga kufijtë e njëanshëm është i pafund ose nuk ka kufi në pikë.

· – pafund;

· – e pafundme ose – pafund;

Shenjat konvergjencë uniforme ngjitur me V

Shenja e Weierstrass.

Nëse anëtarët diapazoni funksional(1) kënaq në domen pabarazitë ku është një term i disa konvergjent seri numrash atëherë seria (1) konvergon në mënyrë të njëtrajtshme.

Teorema 1 Lërini funksionet janë të përcaktuara në një interval dhe janë të gjitha të vazhdueshme në një pikë të këtij intervali. Nëse seria (1) konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në interval, atëherë shuma e serisë në pikë do të jetë gjithashtu e vazhdueshme.

Shembull i një funksioni të vazhdueshëm pa derivat

Shembulli i parë i këtij lloji u ndërtua nga Weierstrass; funksioni i tij përcaktohet si më poshtë:

ku 0< a <1, а b есть нечетное натуральное число (причем ab >1+π). Kjo seri është e madhe nga një progresion konvergjent, prandaj (shenjat e konvergjencës uniforme të serive), konvergon në mënyrë të njëtrajtshme dhe shuma e saj është një funksion kudo i vazhdueshëm i x. Nëpërmjet kërkimit të mundimshëm, Weierstrass ishte në gjendje të tregonte se, megjithatë, nuk ka asnjë derivat të fundëm për të në asnjë moment.

Këtu do të shqyrtojmë një shembull më të thjeshtë nga van der Waerden, i ndërtuar në thelb mbi të njëjtën ide, vetëm kurbat lëkundëse y = cosωχ zëvendësohen nga vija të thyera lëkundëse.

Pra, le të shënojmë me vlere absolute ndryshimi midis numrit χ dhe numrit të plotë më të afërt. Ky funksion do të jetë linear në çdo interval të formës , ku s është një numër i plotë; është i vazhdueshëm dhe ka një periodë prej 1. Grafiku i tij është një vijë e thyer, është paraqitur në figurën 1; lidhjet individuale të vijës së thyer kanë një koeficient këndor prej ±1.

Le të supozojmë për k=1,2,3,…:

Ky funksion do të jetë linear në intervale të formës; ai është gjithashtu i vazhdueshëm dhe ka një periudhë. Grafiku i tij është gjithashtu i prishur, por me dhëmbë më të vegjël; Fig. 1(b), për shembull, tregon një grafik të funksionit . Në të gjitha rastet shpatet lidhjet individuale të vijës së thyer dhe këtu janë të barabarta me ±1.

Le të përcaktojmë tani, për të gjitha vlerat reale të x, funksionin f (x) me barazi

Meqenëse, padyshim, 0≤ (k =0,1,2,...), në mënyrë që seria të jetë e madhe nga progresioni konvergjent, atëherë (si në rastin e funksionit Weierstrass) seria konvergon në mënyrë të njëtrajtshme, dhe funksioni është i vazhdueshëm kudo.

Le të ndalemi në çdo vlerë. Duke e llogaritur atë brenda (ku n =0,1,2,...), sipas mungesës dhe tepricës, do ta mbyllim atë midis numrave të formës:

≤ , ku është një numër i plotë.

(n =0,1,2,…).

Është e qartë se intervalet e mbyllura rezultojnë të futen njëra brenda tjetrës. Në secilën prej tyre ka një pikë të tillë që distanca e saj nga pika është e barabartë me gjysmën e gjatësisë së intervalit.

Është e qartë se ndërsa n rritet, opsionet .

Tani le të përpilojmë raportin e rritjeve

Por kur k > n, numri është një shumëfish i plotë i periodave të funksionit, termat përkatës të serisë kthehen në 0 dhe mund të hiqen. Nëse k ≤ n, atëherë një funksion që është linear në interval do të jetë gjithashtu linear në intervalin e përfshirë në të, dhe

(k=0,1,…,n).

Kështu, më në fund kemi me fjalë të tjera, ky raport është i barabartë me një numër të plotë çift kur n është tek dhe një numër tek kur n është çift. Nga këtu është e qartë se kur raporti i rritjeve ndaj ndonjë kufi i fundëm tendenca nuk mundet, kështu që funksioni ynë nuk ka derivat të fundëm.

Zgjidhja e ushtrimeve

Ushtrimi 1 (, Nr. 909)

Funksioni është përcaktuar si më poshtë: . Eksploroni vazhdimësinë dhe zbuloni ekzistencën

Na është e vazhdueshme si një polinom;

Në (0;1) është i vazhdueshëm si polinom;

On (1;2) është i vazhdueshëm si polinom;

On (2; është i vazhdueshëm si funksion elementar.

Pika të dyshimta për këputje

Meqenëse kufiri i majtë është i barabartë me kufirin e djathtë dhe i barabartë me vlerën e funksionit në pikë, funksioni është i vazhdueshëm në pikën

Meqenëse kufiri i majtë është i barabartë me vlerën e funksionit në pikë, funksioni është i ndërprerë në pikë.

1 mënyrë. Nuk ka asnjë derivat të fundëm të funksionit në një pikë, le të supozojmë të kundërtën. Le të ketë një derivat të fundëm të funksionit në një pikë është i vazhdueshëm në një pikë (nga teorema 1: Nëse një funksion është i diferencueshëm në një pikë, atëherë ai është i vazhdueshëm.

Metoda 2. Le të gjejmë kufijtë e njëanshëm të funksionit në pikën x =0.

Ushtrimi 2 (, №991)

Trego atë funksion ka një derivat të ndërprerë.

Le të gjejmë derivatin e funksionit.

Kufiri nuk ekziston ndërprerje në pikë

Sepse - pafundësisht funksion i vogël, - e kufizuar.

Le të vërtetojmë se funksioni nuk ka kufi në pikë.

Për ta vërtetuar atë, mjafton të tregojmë se ekzistojnë dy sekuenca të vlerave të argumenteve që konvergojnë në 0, e cila nuk konvergon në

Prodhimi: funksioni nuk ka kufi në pikë.

Ushtrimi 3 (, Nr. 995)

Tregoni se funksioni ku është funksion i vazhdueshëm dhe nuk ka derivat në pikën . Me çfarë barazohen derivatet e njëanshme?

Kufijtë e njëanshëm nuk janë të barabartë;

Ushtrimi 4 (, nr. 996)

Ndërtoni një shembull të një funksioni të vazhdueshëm që nuk ka një funksion derivat në pikat e dhëna:

Konsideroni funksionin në pika

Le të gjejmë kufijtë e njëanshëm

Kufijtë e njëanshëm nuk janë të barabartë; Në mënyrë të ngjashme, funksioni nuk ka derivate në pika të tjera

Ushtrimi 5 (, nr. 125)

Tregoni se funksioni nuk ka derivat në pikë.

Le të gjejmë shtimin e funksionit në pikë

Le të krijojmë raportin e rritjes së një funksioni në një pikë me rritjen e argumentit

Le të shkojmë në kufi

Ushtrimi 6 (, №128)

Trego atë funksion nuk ka derivat në pikë.

Le të marrim rritjen Le t'i japim pikës një rritje Do të marrim

Le të gjejmë vlerën e funksionit në pikat dhe

Le të gjejmë shtimin e funksionit në pikë

Le të krijojmë raportin e rritjes së një funksioni në një pikë me rritjen e argumentit

Le të shkojmë në kufi

Përfundim: nuk ka një derivat të fundëm në pikë.

Ushtrimi 7 (, №131)

Shqyrtoni një funksion për vazhdimësi

– pikë e dyshimtë për këputje

Meqenëse kufiri i majtë është i barabartë me vlerën e funksionit në një pikë, funksioni është i vazhdueshëm në pikë dhe ka një ndërprerje të llojit të parë.

konkluzioni

NË punë kursiështë paraqitur materiali që lidhet me konceptin “Funksione të vazhdueshme por jo të diferencueshme”, qëllimet e kësaj pune janë arritur, problemet janë zgjidhur.

Bibliografi

1. B. P. Demidovich, / Mbledhja e problemeve për kursin e analizës matematikore. Tutorial për studentët e Fakultetit të Fizikës dhe Matematikës institutet pedagogjike. – M.: Arsimi, 1990 –624 f.

2. G. N. Berman, / Përmbledhje problemash për kursin e analizës matematikore. – M.: Nauka, 1977 – 416 f.

3. G. M. Fikhtengolts, / Kursi i diferencialit dhe llogaritja integrale Vëllimi II. - M., Shkencë, 1970-800.

4. I.A. Vinogradova, /Detyrat dhe ushtrimet në analizën matematikore, pjesa 1. – M.: Bustard, 2001 – 725 f.

5. Burimi i internetit \ http://ru.wikipedia.org/wiki.

6. Burimi i Internetit \http://www.mathelp.spb.ru/ma.htm.

Le të ndërtojmë një grup interesant në aeroplan NË si më poshtë: pjesëto, katror me vija të drejta
nga 9 katrorë të barabartë dhe hidhni pesë prej tyre të hapura, jo ngjitur me kulmet e katrorit origjinal. Më pas, secilin nga katrorët e mbetur e ndajmë në 9 pjesë dhe i hedhim pesë prej tyre, etj. Grupi i mbetur pas një numri hapash të numërueshëm shënohet me B dhe le të thërrasim Varrezat e Sierpinskit. Le të llogarisim sipërfaqen e katrorëve të hedhur poshtë:

Varrezat e Sierpinskit janë një turmë e përsosur dhe askund e dendur.

Le të vërejmë strukturën fraktal të grupit.

2.2 Krehër Cantor

Le të thërrasim Krehër kantor një tufë me D në sipërfaqe Oksi, i përbërë nga të gjitha pikat
, koordinatat e të cilit plotësojnë kushtet e mëposhtme:
, Ku
- Kantor i vendosur në bosht Oy. Një krehër Cantor është një grup i përsosur askund i dendur në aeroplan. Një tufë me D përbëhet nga të gjitha pikat
origjinale njësi katrore, abshisat e të cilëve janë arbitrare
, dhe ordinatat mund të shkruhen si një thyesë treshe që nuk përmban një njësi midis shenjave të saj treshe.

A është e mundur të vendoset B(Varrezat e Sierpinskit) dhe D(krehër Cantor) shpreh përmes grupit Cantor
duke përdorur operacionet e komplementit të segmentit dhe produktit kartezian? Është e qartë se grupet B Dhe D shprehet thjesht:

B=
x

D= x

3 Funksioni Cantor

A është e mundur të hartohet vazhdimisht një grup që nuk është askund i dendur në një segment në vetë këtë segment?

Po, le të marrim grupin Cantor, i cili nuk është i dendur askund. Në hapin e parë të ndërtimit, ne vendosëm vlerën e funksionit të barabartë me 0.5 në pikat e intervalit ngjitur të llojit të parë. Në hapin e dytë, për çdo interval ngjitur të llojit të dytë ne caktojmë vlerën e funksionit përkatësisht 0.25 dhe 0.75. Ato. ne duket se ndajmë çdo segment në një bosht Oy në gjysmë ( y i) dhe vendosni në intervalin përkatës fqinj vlerën e funksionit të barabartë me vlerën yi.

Si rezultat, ne morëm një funksion jo-zvogëlues (u vërtetua në kursin "Kapitujt e zgjedhur të analizës matematikore"), i përcaktuar në segmentin dhe konstante në një lagje të caktuar të secilës pikë nga grupi \
. Funksioni i ndërtuar
thirrur Funksioni kantor(funksioni Cantor), dhe grafiku i tij më poshtë është ""shkallët e djallit"".

Vini re strukturën fraktale të funksionit:

Funksioni
plotëson pabarazinë e mëposhtme:

Funksioni Cantor është i vazhdueshëm në interval. Nuk zvogëlohet dhe grupi i vlerave të tij përbën të gjithë segmentin. Prandaj, funksioni
nuk ka kërcime. Dhe sepse një funksion monoton nuk mund të ketë pika të ndërprerjes përveç kërcimeve (shih kriterin e vazhdimësisë funksionet monotonike), atëherë është e vazhdueshme.

Një vëzhgim interesant është se grafiku i funksionit të vazhdueshëm Cantor
Është e pamundur të vizatosh "pa hequr lapsin nga letra".

Një funksion që është i vazhdueshëm kudo, por i diferencueshëm askund

Le të ndërtojmë një funksion ndihmës
në një segment hap pas hapi. Në hapin zero do të vendosim dy pika:

Dhe
.

Më pas ne rregullojmë parametrin . Në hapat e parë dhe në vijim, ne do të specifikojmë pikat sipas rregullit të mëposhtëm: për çdo dy pika të ndërtuara më parë ngjitur me boshtin e abscisës Dhe do të ndërtojmë dy pika të reja Dhe qendrore simetrike në lidhje me qendrën e drejtkëndëshit të përcaktuar nga pikat Dhe me koeficient k. Kjo do të thotë, në hapin e parë specifikohen dy pika të reja:

Dhe
, etj.

Aktiv (m+1)- om hap përveç pikave të ndërtuara më parë me abshisa

Varësisht se cila nga pikat fqinje ose më lart, përdorni skemën majtas ose djathtas. Në hapin e parë, siç tregohet më sipër, ne pranojmë a = b = 1.

Ne e përsërisim ndërtimin një numër të numërueshëm herë për m = 1, 2, 3, .... Si rezultat, ne do të marrim një fraktal që do të jetë i ngjashëm, deri në një transformim afinal (shtrirje, ngjeshje, rrotullim) të ndonjë prej pjesëve të tij që përmbahen në çdo shirit:

;

Si rezultat i ndërtimit të fraktalit, marrim funksionin
, të përcaktuara në një grup pikash

,
;
(*)

e cila është e dendur kudo në segment .

Çfarë vetish ka funksioni i ndërtuar?

në çdo pikë të formularit (*) ka ose një maksimum të rreptë ose një minimum të rreptë, d.m.th. funksionin g(x) nuk është askund monoton dhe ka grupe të dendura pikash ekstreme strikte në segment;

funksioni g(x) është i vazhdueshëm, madje në mënyrë uniforme i vazhdueshëm në bashkësinë e pikave (*);

funksioni i ndërtuar i vazhdueshëm në një segment nuk ka as derivate të njëanshëm në asnjë pikë të këtij segmenti;

Vetitë e mësipërme u vërtetuan në lëndën “Kapituj të zgjedhur të analizës matematikore”.

Në shembullin e konsideruar, ne supozuam parametrin . Duke ndryshuar vlerën e këtij parametri, ju mund të merrni familje të funksioneve me vetitë e tyre të veçanta.