Nyja e shumës. Pjesëtuesi më i madh i përbashkët (GCD): Përkufizimi, Shembujt dhe Vetitë

Llogaritësi online ju lejon të gjeni shpejt pjesëtuesin më të madh të përbashkët dhe shumëfishin më të vogël të përbashkët të dy dhe çdo numri tjetër të numrave.

Llogaritësi për gjetjen e GCD dhe LCM

Gjeni GCD dhe LOC

Gjetur GCD dhe LOC: 5806

Si të përdorni kalkulatorin

Futni numrat në fushën e hyrjes
Nëse futni karaktere të pasakta, fusha e hyrjes do të theksohet me të kuqe
klikoni butonin "Gjeni GCD dhe LOC".

Si të futni numra

Numrat futen të ndarë me një hapësirë, pikë ose presje
Gjatësia e numrave të futur nuk është e kufizuar, kështu që gjetja e GCD dhe LCM e numrave të gjatë nuk është e vështirë

Çfarë janë GCD dhe NOC?

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët disa numra është numri i plotë natyror më i madh me të cilin të gjithë numrat origjinal janë të pjesëtueshëm pa mbetje. Pjesëtuesi më i madh i përbashkët është shkurtuar si GCD.
Shumëfishi më pak i zakonshëm disa numra është nai numër më i vogël, i cili pjesëtohet me secilin nga numrat origjinal pa mbetje. Shumëfishi më i vogël i zakonshëm shkurtohet si NOC.

Si të kontrolloni nëse një numër pjesëtohet me një numër tjetër pa mbetje?

Për të zbuluar nëse një numër është i pjesëtueshëm me një tjetër pa mbetje, mund të përdorni disa veti të pjesëtueshmërisë së numrave. Më pas, duke i kombinuar, mund të kontrolloni pjesëtueshmërinë e disa prej tyre dhe kombinimet e tyre.

Disa shenja të pjesëtueshmërisë së numrave

1. Testi i pjesëtueshmërisë për një numër me 2
Për të përcaktuar nëse një numër është i pjesëtueshëm me dy (qoftë çift), mjafton të shikoni shifrën e fundit të këtij numri: nëse është e barabartë me 0, 2, 4, 6 ose 8, atëherë numri është çift, që do të thotë se pjesëtohet me 2.
Shembull: përcaktoni nëse numri 34938 është i pjesëtueshëm me 2.
Zgjidhja: Shiko tek shifra e fundit: 8 do të thotë se numri është i pjesëtueshëm me dy.

2. Testi i pjesëtueshmërisë për një numër me 3
Një numër pjesëtohet me 3 kur shuma e shifrave të tij pjesëtohet me tre. Kështu, për të përcaktuar nëse një numër është i pjesëtueshëm me 3, duhet të llogarisni shumën e shifrave dhe të kontrolloni nëse është i pjesëtueshëm me 3. Edhe nëse shuma e shifrave është shumë e madhe, mund të përsërisni të njëjtin proces përsëri.
Shembull: përcaktoni nëse numri 34938 është i pjesëtueshëm me 3.
Zgjidhja: Numërojmë shumën e numrave: 3+4+9+3+8 = 27. 27 pjesëtohet me 3, që do të thotë se numri pjesëtohet me tre.

3. Testi i pjesëtueshmërisë për një numër me 5
Një numër pjesëtohet me 5 kur shifra e fundit e tij është zero ose pesë.
Shembull: përcaktoni nëse numri 34938 është i pjesëtueshëm me 5.
Zgjidhja: shikoni shifrën e fundit: 8 do të thotë se numri NUK ndahet me pesë.

4. Testi i pjesëtueshmërisë për një numër me 9
Kjo shenjë është shumë e ngjashme me shenjën e pjesëtueshmërisë me tre: një numër pjesëtohet me 9 kur shuma e shifrave të tij pjesëtohet me 9.
Shembull: përcaktoni nëse numri 34938 është i pjesëtueshëm me 9.
Zgjidhja: Numërojmë shumën e numrave: 3+4+9+3+8 = 27. 27 pjesëtohet me 9, që do të thotë se numri pjesëtohet me nëntë.

Si të gjeni GCD dhe LCM të dy numrave

Si të gjeni gcd-në e dy numrave

Shumica në një mënyrë të thjeshtë Llogaritja e pjesëtuesit më të madh të përbashkët të dy numrave është të gjesh të gjithë pjesëtuesit e mundshëm të këtyre numrave dhe të zgjedhësh më të madhin prej tyre.

Le ta shqyrtojmë këtë metodë duke përdorur shembullin e gjetjes së GCD(28, 36):

Ne faktorizojmë të dy numrat: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
Ne gjejme faktorët e përbashkët, pra ata që kanë të dy numrat: 1, 2 dhe 2.
Ne llogarisim produktin e këtyre faktorëve: 1 2 2 = 4 - ky është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 28 dhe 36.

Si të gjeni LCM-në e dy numrave

Ka dy mënyra më të zakonshme për të gjetur shumëfishin më të vogël të dy numrave. Metoda e parë është që ju mund të shkruani shumëfishat e parë të dy numrave dhe më pas të zgjidhni një numër që do të jetë i përbashkët për të dy numrat dhe në të njëjtën kohë më i vogli. Dhe e dyta është të gjesh gcd-në e këtyre numrave. Le ta konsiderojmë vetëm atë.

Për të llogaritur LCM-në, duhet të llogaritni produktin e numrave origjinalë dhe më pas ta ndani atë me GCD-në e gjetur më parë. Le të gjejmë LCM për të njëjtët numra 28 dhe 36:

Gjeni prodhimin e numrave 28 dhe 36: 28·36 = 1008
GCD (28, 36), siç dihet tashmë, është e barabartë me 4
LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Gjetja e GCD dhe LCM për disa numra

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët mund të gjendet për disa numra, jo vetëm për dy. Për këtë qëllim, numrat që do të gjenden për pjesëtuesin më të madh të përbashkët faktorizohen në faktorë të thjeshtë, pastaj gjendet prodhimi i faktorëve të përbashkët. faktorët kryesorë këta numra. Ju gjithashtu mund të përdorni lidhjen e mëposhtme për të gjetur gcd-në e disa numrave: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Një marrëdhënie e ngjashme vlen për shumëfishin më të vogël të përbashkët: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Shembull: gjeni GCD dhe LCM për numrat 12, 32 dhe 36.

Së pari, le të faktorizojmë numrat: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
Le të gjejmë faktorët e përbashkët: 1, 2 dhe 2.
Produkti i tyre do të japë GCD: 1·2·2 = 4
Tani le të gjejmë LCM: për ta bërë këtë, së pari le të gjejmë LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
Për të gjetur LCM të të tre numrave, duhet të gjeni GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3, 36 = 1·2·2·3·3, GCD = 1·2· 2 3 = 12.
LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Një nga detyrat që paraqet problem për nxënësit e shkollave moderne, të cilët janë mësuar të përdorin kalkulatorë të integruar në pajisje në mënyrë të përshtatshme dhe të papërshtatshme, është gjetja e pjesëtuesit më të madh të përbashkët (GCD) të dy ose më shumë numrave.

Është e pamundur të zgjidhet ndonjë problem matematike, nëse nuk dihet se për çfarë po pyesin në të vërtetë. Për ta bërë këtë ju duhet të dini se çfarë do të thotë kjo apo ajo shprehje., përdoret në matematikë.

Duhet të dini:

Nëse një numër i caktuar mund të përdoret për numërim artikuj të ndryshëm, për shembull, nëntë shtylla, gjashtëmbëdhjetë shtëpi, atëherë është e natyrshme. Më i vogli prej tyre do të jetë një.
Kur një numër natyror pjesëtohet me një numër tjetër natyror, numri më i vogël thuhet se është pjesëtues i numrit më të madh.
Nëse dy ose më shumë numra të ndryshëm pjesëtohen me një numër të caktuar pa mbetje, atëherë thonë se ky i fundit do të jetë pjesëtuesi i tyre i përbashkët (CD).
Më i madhi nga OD-të quhet pjesëtuesi më i madh i përbashkët (GCD).
Në një rast të tillë, kur një numër ka vetëm dy pjesëtues natyror(vetë është një njësi), quhet e thjeshtë. Më i vogli prej tyre është dy, dhe është gjithashtu numri i vetëm çift në serinë e tyre.
Nëse dy numra kanë një pjesëtues të përbashkët maksimal prej një, atëherë ata do të jenë relativisht të thjeshtë.
Një numër që ka më shumë se dy pjesëtues quhet i përbërë.
Procesi i gjetjes së të gjithë faktorëve kryesorë që, kur shumëzohen së bashku, do të japin produktin vlera fillestare në matematikë quhet faktorizim. Për më tepër, faktorë të njëjtë në zgjerim mund të shfaqen më shumë se një herë.

Shënimet e mëposhtme pranohen në matematikë:

Pjesëtuesit D (45) = (1;3;5;9;45).
OD (8;18) = (1;2).
GCD (8; 18) = 2.

Mënyra të ndryshme për të gjetur GCD

Mënyra më e lehtë për t'iu përgjigjur pyetjes është si të gjeni gcd në rastin kur numri më i vogël është pjesëtues i atij më të madh. Do të jetë në një rast të tillë pjesëtuesi më i madh i përbashkët.

Për shembull, GCD (15;45) = 15, GCD (48;24) = 24.

Por raste të tilla në matematikë janë shumë të rralla, prandaj, për të gjetur GCD, përdoren teknika më komplekse, megjithëse kontrollimi i këtij opsioni para fillimit të punës rekomandohet ende shumë.

Mënyra e zbërthimit në faktorë të thjeshtë

Nëse keni nevojë të gjeni gcd-në e dy ose më shumë numrave të ndryshëm, mjafton që secili prej tyre të zbërthehet në faktorë të thjeshtë dhe më pas të kryhet procesi i shumëzimit të atyre prej tyre që janë të pranishëm në secilin prej numrave.

Shembulli 1

Le të shohim se si të gjejmë GCD 36 dhe 90:

36 = 1*2*2*3*3;
90 = 1*2*3*3*5;

GCD (36;90) = 1*2*3*3 = 18.

Tani le të shohim se si të gjejmë të njëjtën gjë V rasti i tre numrat, le të marrim si shembull 54; 162; 42.

Ne tashmë dimë se si të zbërthejmë 36, le të kuptojmë pjesën tjetër:

162 = 1*2*3*3*3*3;
42 = 1*2*3*7;

Kështu, gcd (36; 162; 42) = 1 * 2 * 3 = 6.

Duhet të theksohet se është plotësisht opsionale të shkruhet një njësi në zgjerim.

Le të shqyrtojmë një mënyrë si të faktorizohen thjesht në faktorët kryesorë, për këtë do të shkruajmë numrin që na nevojitet në të majtë, dhe në të djathtë do të shkruajmë faktorët kryesorë.

Kolonat mund të ndahen duke përdorur ose një shenjë ndarjeje ose një vijë të thjeshtë vertikale.

36/2 ne do të vazhdojmë procesin tonë të ndarjes;
18/2 më tej;
9/3 dhe përsëri;
3/3 tani është mjaft elementare;
1 - rezultati është gati.

Kërkohet 36 = 2*2*3*3.

Mënyra Euklidiane

Ky opsion ka qenë i njohur për njerëzimin që nga koha qytetërimi i lashtë grek, është më i thjeshtë në shumë mënyra, dhe i atribuohet matematikanit të madh Euklidit, megjithëse algoritme shumë të ngjashme janë përdorur më herët. Kjo metodë përdoret për të përdorur algoritmin e mëposhtëm, ndajmë numër më i madh me pjesën e mbetur për më pak. Pastaj e ndajmë pjesëtuesin tonë me pjesën e mbetur dhe vazhdojmë ta bëjmë këtë në një rreth derisa të ndodhë një ndarje e plotë. Vlera e fundit dhe rezulton të jetë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i dëshiruar.

Ja një shembull përdorimi të këtij algoritmi :

Le të përpiqemi të zbulojmë se çfarë kanë GCD 816 dhe 252:

816 / 252 = 3 dhe pjesa e mbetur është 60. Tani e ndajmë 252 me 60;
252 / 60 = 4 pjesa e mbetur këtë herë do të jetë 12. Le të vazhdojmë procesin tonë rrethor, të ndajmë gjashtëdhjetë me dymbëdhjetë;
60 / 12 = 5. Meqenëse këtë herë nuk kemi marrë asnjë mbetje, kemi një rezultat gati, dymbëdhjetë do të jetë vlera që kërkojmë.

Pra, në fund të procesit tonë morëm gcd (816;252) = 12.

Veprimet nëse është e nevojshme të përcaktohet GCD nëse specifikohen më shumë se dy vlera

Ne kemi kuptuar tashmë se çfarë të bëjmë në rastin kur ka dy numra të ndryshëm, tani do të mësojmë se si të veprojmë nëse ka ndonjë 3 ose më shumë.

Pavarësisht gjithë kompleksitetit të dukshëm, këtë detyrë nuk do të na shkaktojë më probleme. Tani zgjedhim dy numra dhe përcaktojmë vlerën që kërkojmë. Hapi tjetër është gjetja e gcd-së së rezultatit të marrë dhe e treta e vendos vlerat. Pastaj ne përsëri veprojmë sipas parimit të njohur tashmë për ne për të pestën e katërt dhe kështu me radhë.

konkluzioni

Pra, pavarësisht nga kompleksiteti në dukje i madh i detyrës së vendosur fillimisht para nesh, në fakt gjithçka është e thjeshtë, gjëja kryesore është të jesh në gjendje të kryesh me saktësi procesin e ndarjes dhe respektoni cilindo nga dy algoritmet e përshkruar më sipër.

Edhe pse të dyja metodat janë mjaft të pranueshme, në shkolla e mesme metoda e parë përdoret shumë më shpesh. Kjo për faktin se faktorizimi në faktorët kryesorë do të jetë i nevojshëm gjatë studimit të mëposhtëm temë edukative- përcaktimi i shumëfishit më të madh të përbashkët (LCM). Por ia vlen të përmendet edhe një herë se përdorimi i algoritmit Euklidian nuk mund të konsiderohet në asnjë mënyrë i gabuar.

Video

Me këtë video mund të mësoni se si të gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët.

Nuk morët përgjigje për pyetjen tuaj? Sugjeroni një temë për autorët.

Ky artikull i kushtohet çështjes së gjetjes së pjesëtuesit më të madh të përbashkët. Së pari do të shpjegojmë se çfarë është dhe do të japim disa shembuj, do të prezantojmë përkufizimet e pjesëtuesit më të madh të përbashkët të 2, 3 ose më shumë numrave dhe më pas do të fokusohemi në vetitë e përgjithshme këtë koncept dhe ne do t'i vërtetojmë ato.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Cilët janë pjesëtuesit e përbashkët

Për të kuptuar se cili është pjesëtuesi më i madh i përbashkët, së pari formulojmë se çfarë është në përgjithësi një pjesëtues i përbashkët për numrat e plotë.

Në artikullin për shumëfishat dhe pjesëtuesit, thamë se një numër i plotë ka gjithmonë disa pjesëtues. Këtu na interesojnë pjesëtuesit e një numri të caktuar numrash të plotë menjëherë, veçanërisht ata të përbashkët (identikë) për të gjithë. Le të shkruajmë përkufizimin bazë.

Përkufizimi 1

Pjesëtuesi i përbashkët i disa numrave të plotë është një numër që mund të jetë pjesëtues i secilit numër nga grupi i specifikuar.

Shembulli 1

Këtu janë shembuj të një pjesëtuesi të tillë: tre do të jenë një pjesëtues i përbashkët për numrat - 12 dhe 9, pasi barazitë 9 = 3 · 3 dhe − 12 = 3 · (− 4) janë të vërteta. Numrat 3 dhe - 12 kanë faktorë të tjerë të përbashkët, si 1, − 1 dhe − 3. Le të marrim një shembull tjetër. Katër numrat e plotë 3, − 11, − 8 dhe 19 do të kenë dy faktorë të përbashkët: 1 dhe - 1.

Duke ditur vetitë e pjesëtueshmërisë, mund të themi se çdo numër i plotë mund të ndahet me një dhe minus një, që do të thotë se çdo grup numrash të plotë do të ketë tashmë të paktën dy pjesëtues të përbashkët.

Gjithashtu vini re se nëse kemi një pjesëtues b të përbashkët për disa numra, atëherë të njëjtët numra mund të pjesëtohen me numër i kundërt, pra më - b. Në parim, ne mund të marrim vetëm pjesëtues pozitivë, atëherë të gjithë pjesëtuesit e zakonshëm do të jenë gjithashtu më të mëdhenj se 0. Kjo qasje mund të përdoret gjithashtu, por të injorohet plotësisht numrat negativë mos e bej.

Cili është pjesëtuesi më i madh i përbashkët (GCD)

Sipas vetive të pjesëtueshmërisë, nëse b është pjesëtues i një numri të plotë a që nuk është i barabartë me 0, atëherë moduli i b nuk mund të jetë më i madh se moduli i a, prandaj, çdo numër jo i barabartë me 0 ka numri përfundimtar ndarëse. Kjo do të thotë se numri i pjesëtuesve të përbashkët të disa numrave të plotë, të paktën njëri prej të cilëve është i ndryshëm nga zero, do të jetë gjithashtu i fundëm, dhe nga e gjithë bashkësia e tyre ne gjithmonë mund të zgjedhim numrin më të madh. numër i madh(ne folëm më parë për konceptin e numrit të plotë më të madh dhe më të vogël, ju këshillojmë ta përsërisni këtë material).

Në diskutime të mëtejshme do të supozojmë se të paktën një nga grupi i numrave për të cilin duhet të gjejmë pjesëtuesin më të madh të përbashkët do të jetë i ndryshëm nga 0. Nëse të gjithë janë të barabartë me 0, atëherë pjesëtuesi i tyre mund të jetë çdo numër i plotë, dhe meqenëse ka pafundësisht shumë prej tyre, ne nuk mund të zgjedhim më të madhin. Me fjalë të tjera, është e pamundur të gjesh pjesëtuesin më të madh të përbashkët për një grup numrash të barabartë me 0.

Le të kalojmë në formulimin e përkufizimit kryesor.

Përkufizimi 2

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i disa numrave është numri i plotë më i madh që i ndan të gjithë ata numra.

Me shkrim, pjesëtuesi më i madh i përbashkët më së shpeshti shënohet me shkurtesën GCD. Për dy numra mund të shkruhet si gcd (a, b).

Shembulli 2

Cili është një shembull i një gcd për dy numra të plotë? Për shembull, për 6 dhe - 15 do të ishte 3. Le ta justifikojmë këtë. Së pari, shkruajmë të gjithë pjesëtuesit e gjashtë: ± 6, ± 3, ± 1, dhe më pas të gjithë pjesëtuesit e pesëmbëdhjetë: ± 15, ± 5, ± 3 dhe ± 1. Pas kësaj, ne zgjedhim ato të zakonshmet: këto janë − 3, − 1, 1 dhe 3. Nga këto, ju duhet të zgjidhni numrin më të madh. Kjo do të jetë 3.

Për tre ose më shumë numra, përcaktimi i faktorit më të madh të përbashkët do të jetë pothuajse i njëjtë.

Përkufizimi 3

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i tre ose më shumë numrave do të jetë numri i plotë më i madh që do t'i ndajë të gjithë këta numra në të njëjtën kohë.

Për numrat a 1, a 2, ..., a n, është e përshtatshme të shënoni pjesëtuesin si GCD (a 1, a 2, ..., a n). Vetë vlera e pjesëtuesit shkruhet si GCD (a 1, a 2, ..., a n) = b.

Shembulli 3

Këtu janë shembuj të pjesëtuesit më të madh të përbashkët të disa numrave të plotë: 12, - 8, 52, 16. Do të jetë e barabartë me katër, që do të thotë se mund të shkruajmë se GCD (12, - 8, 52, 16) = 4.

Ju mund të kontrolloni saktësinë e këtij pohimi duke shkruar të gjithë pjesëtuesit e këtyre numrave dhe më pas duke zgjedhur më të madhin prej tyre.

Në praktikë, ka shpesh raste kur pjesëtuesi më i madh i përbashkët është i barabartë me një nga numrat. Kjo ndodh kur numri i dhënë ju mund t'i ndani të gjithë numrat e tjerë (në paragrafin e parë të artikullit ne dhamë një provë të kësaj deklarate).

Shembulli 4

Kështu, pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 60, 15 dhe - 45 është 15, pasi pesëmbëdhjetë është i pjesëtueshëm jo vetëm me 60 dhe - 45, por edhe me vetveten, dhe nuk ka pjesëtues më të madh për të gjithë këta numra.

Një rast i veçantë është krijuar reciprokisht numrat e thjeshtë. Ata janë numra të plotë me një pjesëtues më të madh të përbashkët prej 1.

Vetitë themelore të GCD dhe algoritmit Euklidian

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët ka disa vetitë karakteristike. Le t'i formulojmë ato në formën e teoremave dhe të vërtetojmë secilën prej tyre.

Vini re se këto veti janë formuluar për numra të plotë Mbi zero, dhe do të konsiderojmë vetëm pjesëtues pozitivë.

Përkufizimi 4

Numrat a dhe b kanë një pjesëtues më të madh të përbashkët të barabartë me gcd për b dhe a, domethënë gcd (a, b) = gcd (b, a). Kthimi i numrave nuk ndikon në rezultatin përfundimtar.

Kjo veti rrjedh nga vetë përkufizimi i GCD dhe nuk ka nevojë për prova.

Përkufizimi 5

Nëse numri a mund të pjesëtohet me numrin b, atëherë bashkësia e pjesëtuesve të përbashkët të këtyre dy numrave do të jetë e ngjashme me bashkësinë e pjesëtuesve të numrit b, domethënë gcd (a, b) = b.

Le ta vërtetojmë këtë deklaratë.

Dëshmia 1

Nëse numrat a dhe b kanë pjesëtues të përbashkët, atëherë secili prej tyre mund të ndahet me ta. Në të njëjtën kohë, nëse a është një shumëfish i b, atëherë çdo pjesëtues i b do të jetë gjithashtu pjesëtues i a, pasi pjesëtueshmëria ka një veti të tillë si kalueshmëria. Kjo do të thotë se çdo pjesëtues b do të jetë i përbashkët për numrat a dhe b. Kjo dëshmon se nëse mund të pjesëtojmë a me b, atëherë bashkësia e të gjithë pjesëtuesve të të dy numrave do të përkojë me bashkësinë e pjesëtuesve të një numri b. Dhe meqenëse pjesëtuesi më i madh i çdo numri është vetë ky numër, atëherë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave a dhe b do të jetë gjithashtu i barabartë me b, d.m.th. GCD (a , b) = b . Nëse a = b, atëherë gcd (a, b) = gcd (a, a) = gcd (b, b) = a = b, për shembull, gcd (132, 132) = 132.

Duke përdorur këtë veti, ne mund të gjejmë pjesëtuesin më të madh të përbashkët të dy numrave nëse njëri prej tyre mund të ndahet me tjetrin. Ky pjesëtues është i barabartë me njërin nga këta dy numra me të cilin mund të pjesëtohet numri i dytë. Për shembull, gcd (8, 24) = 8, pasi 24 është shumëfish i tetës.

Përkufizimi 6 Prova 2

Le të përpiqemi të vërtetojmë këtë pronë. Fillimisht kemi barazinë a = b q + c, dhe çdo pjesëtues i përbashkët i a dhe b do të pjesëtojë gjithashtu c, gjë që shpjegohet pronë përkatëse pjesëtueshmëria. Prandaj, çdo pjesëtues i përbashkët i b dhe c do të ndajë a. Kjo do të thotë se bashkësia e pjesëtuesve të përbashkët a dhe b do të përkojë me bashkësinë e pjesëtuesve b dhe c, duke përfshirë më të madhin prej tyre, që do të thotë se barazia gcd (a, b) = gcd (b, c) është e vërtetë.

Përkufizimi 7

Vetia e mëposhtme quhet algoritmi Euklidian. Me ndihmën e tij, ju mund të llogaritni pjesëtuesin më të madh të përbashkët të dy numrave, si dhe të provoni vetitë e tjera të GCD.

Përpara se të formuloni pronën, ju këshillojmë të përsërisni teoremën që vërtetuam në artikullin mbi ndarjen me një mbetje. Sipas tij, numri i pjesëtueshëm a mund të përfaqësohet si b · q + r, ku b këtu është pjesëtues, q është një numër i plotë (i quajtur edhe herës i paplotë), dhe r është një mbetje që plotëson kushtin 0 ≤ r ≤ b.

Le të themi se kemi dy numra të plotë më të mëdhenj se 0, për të cilët barazitë e mëposhtme do të jenë të vërteta:

a = b q 1 + r 1, 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

Këto barazi mbarojnë kur r k + 1 bëhet e barabartë me 0. Kjo do të ndodhë patjetër, pasi sekuenca b > r 1 > r 2 > r 3, ... është një seri numrash të plotë në rënie, që mund të përfshijë vetëm një numër të kufizuar të tyre. Kjo do të thotë se r k është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i a dhe b, domethënë r k = gcd (a, b).

Para së gjithash, ne duhet të vërtetojmë se r k është pjesëtuesi i përbashkët i numrave a dhe b, dhe pas kësaj, se r k nuk është thjesht një pjesëtues, por pjesëtuesi më i madh i përbashkët i dy numrave të dhënë.

Le të shohim listën e barazive më sipër, nga poshtë lart. Sipas barazisë së fundit,
r k − 1 mund të pjesëtohet me r k . Bazuar në këtë fakt, si dhe në vetinë e mëparshme të provuar të pjesëtuesit më të madh të përbashkët, mund të argumentohet se r k − 2 mund të pjesëtohet me r k , pasi
r k − 1 pjesëtohet me r k dhe r k pjesëtohet me r k .

Barazia e tretë nga poshtë na lejon të konkludojmë se r k − 3 mund të pjesëtohet me r k, etj. E dyta nga fundi është se b është i pjesëtueshëm me r k, dhe i pari është që a është i pjesëtueshëm me r k. Nga e gjithë kjo konkludojmë se r k është pjesëtues i përbashkët i a dhe b.

Tani le të vërtetojmë se r k = GCD (a , b) . Çfarë duhet të bëj? Tregoni se çdo pjesëtues i përbashkët i a dhe b do të ndajë r k. Le ta shënojmë r 0 .

Le të shohim të njëjtën listë të barazive, por nga lart poshtë. Bazuar në vetinë e mëparshme, mund të konkludojmë se r 1 është i pjesëtueshëm me r 0, që do të thotë se, sipas barazisë së dytë, r 2 pjesëtohet me r 0. Zbresim të gjitha barazitë dhe nga e fundit arrijmë në përfundimin se r k pjesëtohet me r 0 . Prandaj, r k = gcd (a , b) .

Duke marrë parasysh këtë veti, arrijmë në përfundimin se bashkësia e pjesëtuesve të përbashkët a dhe b është e ngjashme me bashkësinë e pjesëtuesve GCD të këtyre numrave. Kjo deklaratë, e cila është pasojë e algoritmit të Euklidianit, do të na lejojë të llogarisim të gjithë pjesëtuesit e përbashkët të dy numrave të dhënë.

Le të kalojmë te pronat e tjera.

Përkufizimi 8

Nëse a dhe b janë numra të plotë jo të barabartë me 0, atëherë duhet të ketë dy numra të tjerë të plotë u 0 dhe v 0 për të cilët barazia GCD (a, b) = a · u 0 + b · v 0 do të jetë e vlefshme.

Barazia e dhënë në pasqyrën e vetive është një paraqitje lineare e pjesëtuesit më të madh të përbashkët të a dhe b. Quhet relacioni Bezout dhe numrat u 0 dhe v 0 quhen koeficientë Bezout.

Dëshmia 3

Le ta vërtetojmë këtë pronë. Le të shkruajmë sekuencën e barazive duke përdorur algoritmin Euklidian:

Barazia e parë na tregon se r 1 = a − b · q 1 . Le të shënojmë 1 = s 1 dhe − q 1 = t 1 dhe ta rishkruajmë këtë barazi në formën r 1 = s 1 · a + t 1 · b. Këtu numrat s 1 dhe t 1 do të jenë numra të plotë. Barazia e dytë na lejon të konkludojmë se r 2 = b − r 1 · q 2 = b − (s 1 · a + t 1 · b) · q 2 = − s 1 · q 2 · a + (1 − t 1 · q 2) b . Le të shënojmë − s 1 · q 2 = s 2 dhe 1 − t 1 · q 2 = t 2 dhe të rishkruajmë barazinë si r 2 = s 2 · a + t 2 · b, ku s 2 dhe t 2 do të jenë gjithashtu numra të plotë. Kjo është për shkak se shuma e numrave të plotë, produkti dhe ndryshimi i tyre janë gjithashtu numra të plotë. Pikërisht në të njëjtën mënyrë marrim nga barazia e tretë r 3 = s 3 · a + t 3 · b, nga tjetra r 4 = s 4 · a + t 4 · b, etj. Në fund, arrijmë në përfundimin se r k = s k · a + t k · b për numrin e plotë s k dhe t k . Meqenëse r k = GCD (a, b), shënojmë s k = u 0 dhe t k = v 0. Si rezultat, mund të marrim një paraqitje lineare të GCD në formën e kërkuar: GCD (a, b) = a · u 0 + b · v 0.

Përkufizimi 9

GCD (m a, m b) = m GCD (a, b) për çdo vlera natyrore m.

Prova 4

Kjo pronë mund të justifikohet si më poshtë. Le të shumëzojmë të dyja anët e çdo barazie në algoritmin Euklidian me numrin m dhe të marrim se GCD (m · a, m · b) = m · r k, dhe r k është GCD (a, b). Kjo do të thotë gcd (m a, m b) = m gcd (a, b). Është kjo veti e pjesëtuesit më të madh të përbashkët që përdoret gjatë gjetjes së GCD duke përdorur metodën e faktorizimit.

Përkufizimi 10

Nëse numrat a dhe b kanë një pjesëtues të përbashkët p, atëherë gcd (a: p, b: p) = gcd (a, b): p. Në rastin kur p = GCD (a, b) marrim GCD (a: GCD (a, b), b: GCD (a, b) = 1, pra, numrat a: GCD (a, b) dhe b : GCD (a , b) janë relativisht të thjeshta.

Meqenëse a = p (a: p) dhe b = p (b: p), atëherë, bazuar në vetinë e mëparshme, mund të krijojmë barazi të formës gcd (a, b) = gcd (p (a: p), p · (b: p)) = p · GCD (a: p , b: p) , ndër të cilat prova do të jetë të kësaj pasurie. Ne e përdorim këtë deklaratë kur japim thyesat e zakonshme për të formë e pareduktueshme.

Përkufizimi 11

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i një 1, a 2, ..., a k do të jetë numri d k, i cili mund të gjendet duke llogaritur në mënyrë sekuenciale GCD (a 1, a 2) = d 2, GCD (d 2, a 3) = d 3 , GCD (d 3 , a 4) = d 4 , … , GCD (d k - 1 , a k) = d k .

Kjo veti është e dobishme kur gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët të tre ose më shumë numrave. Duke e përdorur atë, ju mund ta reduktoni këtë veprim në operacione me dy numra. Baza e tij është një përfundim nga algoritmi Euklidian: nëse grupi i pjesëtuesve të përbashkët a 1, a 2 dhe a 3 përputhet me grupin d 2 dhe a 3, atëherë ai do të përkojë gjithashtu me pjesëtuesit d 3. Pjesëtuesit e numrave a 1, a 2, a 3 dhe a 4 do të përkojnë me pjesëtuesit e d 3, që do të thotë se do të përkojnë edhe me pjesëtuesit e d 4, etj. Në fund, marrim se pjesëtuesit e përbashkët të numrave a 1, a 2, ..., a k do të përkojnë me pjesëtuesit d k, dhe meqenëse pjesëtuesi më i madh i numrit d k do të jetë vetë ky numër, atëherë GCD (a 1, a 2, ..., a k) = d k.

Kjo është gjithçka që do të dëshironim t'ju tregojmë për vetitë e pjesëtuesit më të madh të përbashkët.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Por shumë numra natyrorë janë gjithashtu të pjesëtueshëm me numra të tjerë natyrorë.

Për shembull:

Numri 12 pjesëtohet me 1, me 2, me 3, me 4, me 6, me 12;

Numri 36 pjesëtohet me 1, me 2, me 3, me 4, me 6, me 12, me 18, me 36.

Numrat me të cilët numri pjesëtohet me një të tërë (për 12 këto janë 1, 2, 3, 4, 6 dhe 12) quhen pjesëtuesit e numrave. Pjesëtues i një numri natyror a- është një numër natyror që pjesëton një numër të caktuar a pa lënë gjurmë. Një numër natyror që ka më shumë se dy pjesëtues quhet të përbëra. Ju lutemi vini re se numrat 12 dhe 36 kanë faktorë të përbashkët. Këta numra janë: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pjesëtuesi më i madh i këtyre numrave është 12.

Pjesëtues i përbashkët i dy numrave të dhënë a Dhe b- ky është numri me të cilin të dy numrat e dhënë ndahen pa mbetje a Dhe b. Pjesëtues i përbashkët i disa numrave (GCD)është një numër që shërben si pjesëtues për secilën prej tyre.

Shkurtimisht pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave a Dhe b shkruani kështu:

Shembull: GCD (12; 36) = 12.

Pjesëtuesit e numrave në shënimin e zgjidhjes tregojnë shkronje e madhe"D".

Shembull:

GCD (7; 9) = 1

Numrat 7 dhe 9 kanë vetëm një pjesëtues të përbashkët - numrin 1. Numrat e tillë quhen kryeministër reciprokchi slami.

Numrat e dyfishtë- këta janë numra natyrorë që kanë vetëm një pjesëtues të përbashkët - numrin 1. Gcd e tyre është 1.

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët (GCD), vetitë.

Vetia bazë: pjesëtuesi më i madh i përbashkët m Dhe nështë i pjesëtueshëm me çdo pjesëtues të përbashkët të këtyre numrave. Shembull: Për numrat 12 dhe 18, pjesëtuesi më i madh i përbashkët është 6; pjesëtohet me të gjithë pjesëtuesit e përbashkët të këtyre numrave: 1, 2, 3, 6.
Përfundimi 1: grup pjesëtuesish të përbashkët m Dhe n përkon me grupin e pjesëtuesve GCD( m, n).
Përfundimi 2: grup shumëfishësh të përbashkët m Dhe n përkon me grupin e LCM-ve të shumta ( m, n).

Kjo do të thotë, në veçanti, që për të reduktuar një thyesë në një formë të pakalueshme, duhet të ndani numëruesin dhe emëruesin e saj me gcd-në e tyre.

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave m Dhe n mund të përkufizohet si më i vogli element pozitiv grupi i të gjitha kombinimeve të tyre lineare:

dhe për këtë arsye e paraqesin atë si një kombinim linear numrash m Dhe n:

Ky raport quhet Lidhja e Bezout, dhe koeficientët u Dhe v — Koeficientët Bezout. Koeficientët Bezout llogariten në mënyrë efikase nga algoritmi i zgjeruar Euklidian. Kjo deklaratë përgjithësohet në grupe të numrave natyrorë - kuptimi i saj është se nëngrupi i grupit të krijuar nga grupi është ciklik dhe gjenerohet nga një element: GCD ( a 1 , a 2 , … , a n).

Llogaritni pjesëtuesin më të madh të përbashkët (GCD).

Mënyrat efikase për të llogaritur gcd-në e dy numrave janë Algoritmi Euklidian Dhe binarealgoritmi. Përveç kësaj, vlera e gcd ( m,n) mund të llogaritet lehtësisht nëse e dini zbërthimi kanonik numrat m Dhe n në faktorët kryesorë:

ku janë numra të thjeshtë të dallueshëm, dhe dhe janë numra të plotë jo-negativ (ato mund të jenë zero nëse numri i thjeshtë përkatës nuk është në zgjerim). Pastaj GCD ( m,n) dhe NOC ( m,n) shprehen me formulat:

Nëse ka më shumë se dy numra: , gcd-ja e tyre gjendet me në algoritmin e mëposhtëm:

- kjo është GCD e dëshiruar.

Gjithashtu, për të gjetur pjesëtuesi më i madh i përbashkët, mund të faktorizoni secilin nga numrat e dhënë në faktorë të thjeshtë. Pastaj shkruani veçmas vetëm ata faktorë që përfshihen në të gjithë numrat e dhënë. Pastaj i shumëzojmë numrat e shkruar së bashku - rezultati i shumëzimit është pjesëtuesi më i madh i përbashkët .

Le të shohim llogaritjen e pjesëtuesit më të madh të përbashkët hap pas hapi:

1. Zbërthejini pjesëtuesit e numrave në faktorë të thjeshtë:

Është i përshtatshëm për të shkruar llogaritjet duke përdorur një shirit vertikal. Në të majtë të rreshtit fillimisht shkruajmë dividentin, në të djathtë - pjesëtuesin. Më pas, në kolonën e majtë shkruajmë vlerat e koeficientëve. Le ta shpjegojmë menjëherë me një shembull. Le të faktorizojmë numrat 28 dhe 64 në faktorë të thjeshtë.