Parimi i veprimit më të vogël në teorinë kuantike të fushës. Si të filloni të ndiqni ligjin e përpjekjes më të vogël: Tre veprime të nevojshme

5. Parimi i veprimit më të vogël

Ekuacionet për dinamikën e një pike materiale në një fushë forcash me potencial mund të merren bazuar në parimin që pamje e përgjithshme quhet parimi i Hamiltonit, ose parimi i veprimit të palëvizshëm. Sipas këtij parimi, nga të gjitha lëvizjet e një pike materiale që mund të bëjë midis të njëjtit fillestar dhe pikat fundore gjatë së njëjtës periudhë kohore t2…t1, në realitet, ndodh ajo lëvizje për të cilën koha integrale nga t1 në t2 e diferencës midis energjive kinetike dhe potenciale të kësaj pike materiale merr ekstreme, d.m.th., minimale ose vlera maksimale. Duke përdorur metodat e njohura të llogaritjes së variacioneve, është e lehtë të tregohet se ekuacionet klasike të lëvizjes rrjedhin nga ky parim.

Sidomos forme e thjeshte pranon parimin e veprimit të palëvizshëm në rastin e veçantë por të rëndësishëm të fushave të forcës statike. Në këtë rast, ajo përkon me parimin e veprimit më të vogël të Maupertuis, sipas të cilit për rrugën aktuale të një pike materiale në një fushë force konservatore (d.m.th., jo e varur në mënyrë eksplicite nga koha), integrali i momentit të grimcës i marrë përgjatë një segmenti të trajektores ndërmjet çdo dy prej pikave të saj A dhe B është minimal në krahasim me të njëjtat integrale të marra përgjatë segmentet e kurbave të tjera, të tërhequra përmes pikave A dhe B. Parimi i Maupertuis-it mund të rrjedhë nga parimi i Hamiltonit. Mund të lidhet edhe me teorinë e Jacobit.

Kemi parë që në rastin e fushave statike, trajektoret në këtë teori mund të konsiderohen si kthesa ortogonale me disa familje sipërfaqesh. Arsyetimi i thjeshtë tregon se këto trajektore mund të përftohen nga kushti i minimalitetit të integralit që përkon me veprimin Maupertuis, domethënë integrali lakor i momentit përgjatë trajektores. Ky përfundim është shumë interesant, pasi tregon lidhjen që ekziston midis parimit të veprimit më të vogël dhe parimit të Fermatit për kohën minimale.

Në të vërtetë, ne kemi thënë tashmë se trajektoret në teorinë e Jacobi mund të konsiderohen si një analog i rrezeve të dritës në optikën gjeometrike. Një analizë e argumenteve të dhëna për të vërtetuar parimin e veprimit më të vogël tregon se ato janë plotësisht identike me ato që jepen në optikën gjeometrike për të justifikuar parimin e kohës minimale, ose parimin e Fermatit. Këtu është formulimi i tij: në një mjedis thyes, vetitë e të cilit nuk varen nga koha, një rreze drite që kalon nëpër pikat A dhe B zgjedh një rrugë të tillë që koha e nevojshme për të udhëtuar nga pika A në pikën B është minimale, dmth ndjek një kurbë që kthehet në minimum integrali lakor nga vlera reciproke shpejtësia e fazës përhapja e dritës. Tani ngjashmëritë midis parimit të Maupertuis dhe parimit të Fermatit janë të dukshme.

Megjithatë, ka një ndryshim të rëndësishëm midis tyre. Parimi i veprimit më të vogël integrand përkon me vrullin e grimcës dhe, kështu, integrali ka dimensionin e veprimit (produkt i energjisë dhe kohës ose momentit dhe rrugës). Në parim, integrandi i Fermatit, përkundrazi, është në përpjesëtim të zhdrejtë me shpejtësinë e përhapjes. Është për këtë arsye që analogjia midis këtyre dy parimeve për një kohë të gjatë u konsiderua thjesht formale, pa ndonjë justifikim të thellë fizik. Për më tepër, madje dukej se pikë fizike Nga pikëpamja, ekziston një ndryshim domethënës midis tyre, pasi momenti është drejtpërdrejt proporcional me shpejtësinë dhe, për rrjedhojë, integrani në parimin e Maupertuis përmban shpejtësinë në numërues, ndërsa në parimin e Fermatit është në emërues. Kjo rrethanë luajti rol i rendesishem në një epokë kur teoria e valës së dritës, e sjellë në jetë nga gjeniu i Fresnel, përfundoi fitoren e saj mbi teorinë e daljes. Besohej se, bazuar në varësive të ndryshme nga shpejtësia e integrandeve të përfshira në integralet Maupertuis dhe Fermat, mund të konkludojmë se eksperimentet e njohura të Foucault dhe Fizeau, sipas të cilave shpejtësia e dritës në ujë është më e vogël se shpejtësia e dritës në zbrazëti, ofrojnë të pakundërshtueshme dhe argumente vendimtare në favor të teoria e valës. Megjithatë, duke u mbështetur në këtë ndryshim dhe duke shpjeguar eksperimentet e Foucault dhe Fizeau si konfirmim të faktit të ekzistencës së valëve të dritës, ata supozuan se ishte mjaft e ligjshme të identifikohej shpejtësia e një pike materiale, e cila shfaqet në parimin Maupertuis, me shpejtësia e përhapjes së valëve të përfshira në integralin e Fermatit tregoi se çdo pikë materiale lëvizëse korrespondon me një valë, shpejtësia e përhapjes së së cilës ndryshon në proporcion të kundërt me shpejtësinë e grimcës. Vetëm mekanika valore hedh vërtet dritë mbi natyrën e marrëdhënies së thellë midis dy parimeve themelore dhe e zbuloi atë kuptimi fizik. Ai gjithashtu tregoi se eksperimenti i Fizeau nuk ishte aq vendimtar sa mendohej më parë. Megjithëse ai vërteton se përhapja e dritës është përhapja e valëve dhe se indeksi i thyerjes duhet të përcaktohet përmes shpejtësisë së përhapjes, ai nuk e përjashton aspak mundësinë e një strukture korpuskulare të dritës, me kusht që, natyrisht, të ketë një lidhje e përshtatshme midis valëve dhe grimcave të dritës. Megjithatë, kjo tashmë lidhet me gamën e çështjeve që do të diskutojmë më poshtë.

Duke krahasuar lëvizjen e një pike materiale në një fushë forcash që nuk varet nga koha me përhapjen e valëve në media thyes, gjendja e së cilës gjithashtu nuk varet nga koha, treguam se ekziston një analogji e caktuar midis parimeve. e Maupertuis dhe Fermat. Krahasimi i lëvizjes së një pike materiale në ndryshore në kohë fushat e forcës me përhapjen e valëve në mjedisin thyes me parametra që ndryshojnë në kohë, vërejmë se analogjia midis parimit të veprimit më të vogël në formën e tij të përgjithshme, të propozuar nga Hamilton, dhe parimit të Fermatit, i përgjithësuar në rastin e mediave thyes, gjendja e së cilës varet nga koha, ruhet në këtë, më shumë rast i përgjithshëm. Të mos ndalemi në këtë çështje. Për ne do të mjaftojë vetëm që kjo analogji midis dy parimeve bazë të mekanikës dhe optika gjeometrike zhvillohet jo vetëm në rastin e veçantë të fushave konstante të konsideruara më sipër, megjithëse shumë të rëndësishme, por edhe në rastin më të përgjithshëm të fushave të ndryshueshme.

Parimi i veprimit stacionar vlen edhe për sistemet pikat materiale. Për ta formuluar atë, është e përshtatshme për ne që të mbajmë një hapësirë konfigurimi që korrespondon me sistemin në shqyrtim. Si shembull, do të kufizohemi në rastin kur energjia potenciale e sistemit nuk varet në mënyrë eksplicite nga koha. Ky është, për shembull, rasti sistem i izoluar, e cila nuk preket forcat e jashtme, meqenëse energjia e saj potenciale reduktohet vetëm në energjinë e ndërveprimit dhe nuk varet në mënyrë të qartë nga koha. Në këtë rast, duke futur një hapësirë konfigurimi 3N-dimensionale dhe një vektor në këtë hapësirë, përbërësit 3N të të cilit përkojnë me përbërësit e vektorëve të momentit të N pikave materiale të sistemit, mund të formulohet parimi i veprimit më të vogël në formën Maupertuis. si në vazhdim. Trajektorja e pikës përfaqësuese të sistemit që kalon nëpër dy pikët e dhëna A dhe B në hapësirën e konfigurimit, e bën integralin lakor të vektorit 3N-dimensional të paraqitur më sipër, të marrë përgjatë segmentit të trajektores ndërmjet pikave A dhe B, minimal, krahasuar me të njëjtat integrale të marra përgjatë segmenteve të kthesave të tjera në hapësira e konfigurimit që kalon nëpër të njëjtat pika A dhe B. Ky parim mund të nxirret lehtësisht edhe nga teoria e Jacobit. Analogjia e saj me parimin e Fermatit rrjedh nga mundësia e paraqitjes së trajektoreve të një pike përfaqësuese në hapësirën e konfigurimit në formën e rrezeve të një vale që përhapet në këtë hapësirë. Pra, përsëri shohim se për sistemet e pikave materiale, kalimi nga mekanika klasike në mekanikën valore mund të kryhet vetëm brenda kornizës së hapësirës së konfigurimit abstrakt.

Nga libri Revolucioni në fizikë nga de Broglie Louis

1. Parimi i relativitetit Përpara se të flasim për zhvillimin e ideve tona rreth kuanteve, nuk mund të mos i kushtojmë një kapitull të shkurtër teorisë së relativitetit. Teoria e relativitetit dhe kuantet janë dy shtyllat e modernes fizikës teorike, dhe megjithëse ky libër ka të bëjë me teorinë

Nga libri Sekretet e hapësirës dhe kohës autor Komarov Victor

2. Teoria e rrezatimit të trupit të zi. Kuanti i veprimit Planck Fillimi i zhvillimit teoria kuantike hodhi themelet për punën e Max Planck të vitit 1900 mbi teorinë e rrezatimit të trupit të zi. Një përpjekje për të ndërtuar një teori të rrezatimit të trupit të zi bazuar në ligjet fizikës klasike drejtoj

Nga libri Rrufeja dhe Bubullima autor Stekolnikov I S

3. Zhvillimi i hipotezës së Plankut. Kuanti i veprimit Kur ndërtoni teorinë tuaj të ekuilibrit rrezatimi termik Planck u nis nga supozimi se materia është një koleksion oshilatorësh elektronikë, përmes të cilëve energjia shkëmbehet ndërmjet

Nga libri Teoria e Relativitetit për Miliona nga Gardner Martin

Nga libri Lëvizja. Nxehtësia autor Kitaygorodsky Alexander Isaakovich

3. Një pajisje për vëzhgimin e efekteve të rrymës elektrike - një elektroskop Për të zbuluar nëse një objekt është i ngarkuar me energji elektrike, ata përdorin një pajisje të thjeshtë të quajtur elektroskop. Elektroskopi bazohet në vetinë e energjisë elektrike që sapo u përmend.

Nga libri Historia e Laserit autor Bertolotti Mario

III. Veprimet e prodhuara nga rrufeja 1. Sa shpesh ndodh rrufeja? Stuhitë nuk ndodhin njësoj shpesh kudo në tokë Në disa vende të nxehta tropikale, ndodhin stuhi gjatë gjithë vitit- pothuajse cdo dite. Në vende të tjera të vendosura në rajonet veriore, ka stuhi

Nga libri Problemi atomik nga Ran Philip

Nga libri Mendja e re e mbretit [Për kompjuterët, të menduarit dhe ligjet e fizikës] nga Penrose Roger

Parimi i ekuivalencës B kapitulli i mëparshëm ne kemi gjetur një “pikëvështrim të arsyeshëm” për lëvizjen. Vërtetë, këndvështrimet "e arsyeshme" që ne i quajtëm sistemet inerciale, doli të jetë një grup i pafund Tani, të armatosur me njohuritë e ligjeve të lëvizjes, ne mundemi

Nga libri 6. Elektrodinamika autor Feynman Richard Phillips

Efikasiteti Duke përdorur makineri të ndryshme, mund të prodhohen burime energjie punë të ndryshme– Ngrini ngarkesat, lëvizni makineritë, transportoni mallra dhe njerëz Mund të llogarisni sasinë e energjisë së futur në makinë dhe vlerën e marrë prej saj

Nga libri i autorit

Parimi i përjashtimit Pavarësisht sukseseve të dukshme, në vitin 1924 teoria kuantike "e vjetër", e cila për disa vite të mëparshme dukej se ofronte metoda dhe parime të afta për të ndihmuar të paktën të siguronin bazën e fenomenologjisë atomike, u përball me

Nga libri i autorit

Kapitulli II Parimi i funksionimit të bombave bërthamore Duke kujtuar disa informacion i pergjithshem nga rajoni fizika bërthamore, ne mund të kalojmë në një ekspozitë të parimit të funksionimit të bombave bërthamore bombat bërthamore ndahen në dy grupe të mëdha: bomba të bazuara në reaksionet e ndarjes, të quajtura ndonjëherë

Nga libri i autorit

II. Mbrojtja nga efekt vdekjeprurës bombat bërthamore 1. Mbrojtja nga rrezatimi i dritës mbrojtje e besueshme nga rrezatimi i dritës është për të shmangur të qenit i befasuar nga blici. Ne kemi thënë tashmë se rrezatimi i dritës udhëton në një vijë të drejtë dhe

Nga libri i autorit

Kapitulli VIII Parimi i funksionimit dhe aftësitë e një reaktori bërthamor ) mbrojtëse

Nga libri i autorit

Kapitulli 19 PARIMI I EFEKTIT më të vogël Shtim i bërë pas një leksioni Kur isha në shkollë, mësuesi ynë i fizikës, i quajtur Bader, një herë më thirri pas mësimit dhe më tha: “Dukesh sikur je lodhur tmerrësisht nga gjithçka; dëgjoni një gjë interesante

Parimi i veprimit më të vogël është më i rëndësishmi në familje; ai është një nga dispozitat kryesore fizika moderne.

Formulimi i parë i parimit u dha (P. Maupertuis (frëngjisht)) në 1744. Prej këtu ai nxori ligjet e reflektimit dhe përthyerjes së dritës.

Parimi i veprimit më të vogël në mekanikën klasike

Le të kujtojmë së pari, duke përdorur shembullin sistemi fizik me një, ajo, për të cilën po flasim këtu, është, pra, një rregull që lidh një numër të caktuar me çdo funksion x(t). Veprimi duket si ky: S[x] = \int \mathcal(L)(x(t),\dot(x)(t),t) dt, Ku \mathcal(L)(x(t),\dot(x)(t),t) ka sisteme që varen nga trajektorja (d.m.th. koordinatat, e cila nga ana tjetër varet nga koha), e para në kohë, dhe gjithashtu mund të varet në mënyrë eksplicite nga .

Veprimi mund të llogaritet për një trajektore krejtësisht arbitrare, pavarësisht se sa "i egër" dhe "i panatyrshëm" mund të jetë. Megjithatë, në mesin e të gjithë grupit trajektoret e mundshme ka vetëm një rrugë përgjatë së cilës trupi do të shkojë në të vërtetë. Parimi i veprimit më të vogël i përgjigjet saktësisht pyetjes se si trupi do të lëvizë në të vërtetë:

trupi lëviz për të minimizuar veprimin.

Kjo do të thotë se nëse jepet Lagranzhi i sistemit, atëherë ne mund ta përdorim atë për të përcaktuar saktësisht se si do të lëvizë trupi.

Vini re se nëse ligji i lëvizjes mund të gjendet në parim nga kushtet e problemit, kjo automatikisht do të thotë se është e mundur të ndërtohet një funksion që merr një vlerë ekstreme për lëvizjen e vërtetë.

Ata i binden asaj, dhe për këtë arsye ky parim është një nga dispozitat kryesore të fizikës moderne. Ekuacionet e lëvizjes të marra me ndihmën e saj quhen ekuacionet Euler-Lagranzh.

Formulimi i parë i parimit u dha nga P. Maupertuis në vit, duke vënë në dukje menjëherë natyrën e tij universale, duke e konsideruar atë të zbatueshëm për optikën dhe mekanikën. Nga këtë parim ai nxori ligjet e reflektimit dhe thyerjes së dritës.

Histori

Maupertuis erdhi në këtë parim nga ndjenja se përsosja e Universit kërkon një ekonomi të caktuar në natyrë dhe kundërshton çdo shpenzim të padobishëm të energjisë. Lëvizja natyrale duhet të jetë e tillë që të bëjë një sasi minimale. Mjafton të gjente këtë vlerë, gjë që vazhdoi ta bënte. Ishte produkt i kohëzgjatjes (kohës) të lëvizjes brenda sistemit me dyfishin e vlerës, të cilën ne tani e quajmë energji kinetike e sistemit.

Euler (në "Réflexions sur quelques loix générales de la nature", 1748) miraton parimin e sasisë më të vogël të veprimit, duke e quajtur veprimin "përpjekje". Shprehja e tij në statikë korrespondon me atë që ne tani do ta quanim energji potenciale, kështu që deklarata e tij për veprimin më të vogël në statikë është ekuivalente me kushtin minimal energji potenciale për konfigurimin e ekuilibrit.

Në mekanikën klasike

Parimi i veprimit më të vogël shërben si bazë themelore dhe standarde e formulimeve Lagranzhiane dhe Hamiltoniane të mekanikës.

Së pari, le të shohim ndërtimin si kjo: Mekanika Lagranzhiane. Duke përdorur shembullin e një sistemi fizik me një shkallë lirie, le të kujtojmë se një veprim është funksional në lidhje me koordinatat (të përgjithësuara) (në rastin e një shkalle lirie - një koordinatë), domethënë shprehet përmes e tillë që çdo version i imagjinueshëm i funksionit shoqërohet me një numër të caktuar - një veprim (në këtë kuptim, mund të themi se veprimi si funksional është një rregull që lejon çdo funksioni i dhënë llogarit plotësisht një numër të caktuar- quhet edhe veprim). Veprimi duket si ky:

ku është Lagranzhi i sistemit, në varësi të koordinatës së përgjithësuar, derivati i parë i tij në lidhje me kohën, dhe gjithashtu, mundësisht, në mënyrë eksplicite në kohë. Nëse sistemi ka një numër më të madh të shkallëve të lirisë, atëherë Lagranzhi varet nga më shumë koordinatat e përgjithësuara dhe derivatet e tyre për herë të parë. Kështu, veprimi është një funksional skalar në varësi të trajektores së trupit.

Fakti që veprimi është skalar e bën të lehtë shkrimin e tij në çdo koordinatë të përgjithësuar, gjëja kryesore është që pozicioni (konfigurimi) i sistemit karakterizohet në mënyrë të paqartë prej tyre (për shembull, në vend të koordinatave karteziane, këto mund të jenë polare koordinatat, distancat ndërmjet pikave të sistemit, këndet ose funksionet e tyre etj. d.).

Veprimi mund të llogaritet për një trajektore krejtësisht arbitrare, pavarësisht se sa "i egër" dhe "i panatyrshëm" mund të jetë. Sidoqoftë, në mekanikën klasike, midis gjithë grupit të trajektoreve të mundshme, ekziston vetëm një përgjatë të cilit trupi do të shkojë në të vërtetë. Parimi i veprimit të palëvizshëm jep saktësisht përgjigjen në pyetjen se si trupi do të lëvizë në të vërtetë:

Kjo do të thotë që nëse jepet Lagranzhi i sistemit, atëherë duke përdorur llogaritjen e variacioneve mund të përcaktojmë saktësisht se si do të lëvizë trupi duke marrë fillimisht ekuacionet e lëvizjes - ekuacionet Euler-Lagranzh, dhe më pas duke i zgjidhur ato. Kjo lejon jo vetëm përgjithësimin serioz të formulimit të mekanikës, por edhe zgjedhjen e koordinatave më të përshtatshme për çdo problem specifik, pa u kufizuar në ato karteziane, të cilat mund të jenë shumë të dobishme për marrjen e ekuacioneve më të thjeshta dhe më të lehta të zgjidhura.

ku është funksioni Hamilton i këtij sistemi; - koordinatat (të përgjithësuara), - impulset e konjuguara (të përgjithësuara), që karakterizohen së bashku në secilën ky moment koha, gjendja dinamike e sistemit dhe, duke qenë secila në funksion të kohës, duke karakterizuar kështu evolucionin (lëvizjen) e sistemit. Në këtë rast, për të marrë ekuacionet e lëvizjes së sistemit në formën e ekuacioneve kanonike të Hamiltonit, është e nevojshme të ndryshohet veprimi i shkruar në këtë mënyrë në mënyrë të pavarur për të gjithë dhe .

Duhet të theksohet se nëse nga kushtet e problemit është e mundur në parim të gjendet ligji i lëvizjes, atëherë kjo është automatikisht Jo do të thotë se është e mundur të ndërtohet një funksional që merr vlerë stacionare me lëvizje të vërtetë. Një shembull do të ishte një lëvizje e përbashkët ngarkesat elektrike dhe monopolet - ngarkesat magnetike- në një fushë elektromagnetike. Ekuacionet e tyre të lëvizjes nuk mund të nxirren nga parimi i veprimit të palëvizshëm. Po kështu, disa sisteme Hamiltoniane kanë ekuacione të lëvizjes që nuk mund të nxirren nga ky parim.

Shembuj

Shembuj të parëndësishëm ndihmojnë për të vlerësuar përdorimin e parimit të funksionimit përmes ekuacioneve Euler-Lagrange. Grimcë e lirë(pesha m dhe shpejtësia v) në hapësirën Euklidiane lëviz në vijë të drejtë. Duke përdorur ekuacionet Euler-Lagrange, kjo mund të tregohet në koordinatat polare si më poshtë. Në mungesë të potencialit, funksioni i Lagranzhit është thjesht i barabartë me energjinë kinetike

V sistem ortogonal koordinatat

NË koordinatat polare energjia kinetike, dhe për këtë arsye funksioni Lagranzh bëhet

Përbërësit radialë dhe këndorë të ekuacioneve bëhen, përkatësisht:

Zgjidhja e këtyre dy ekuacioneve

Këtu është një shënim i kushtëzuar për integrimin pafundësisht të shumëfishtë funksional mbi të gjitha trajektoret x(t), dhe është konstanta e Planck-ut. Theksojmë se, në parim, veprimi në eksponencial shfaqet (ose mund të shfaqet) vetë kur studion operatorin e evolucionit në mekanikën kuantike, por për sistemet që kanë një analog të saktë klasik (jo kuantik), është saktësisht i barabartë me të zakonshmen. veprim klasik.

Analiza matematikore e kësaj shprehjeje në kufirin klasik - për mjaftueshëm të mëdha, domethënë për lëkundje shumë të shpejta të eksponencialit imagjinar - tregon se shumica dërrmuese e të gjitha trajektoreve të mundshme në këtë integral anulojnë njëra-tjetrën në kufi (formalisht për ). Pothuajse për çdo shteg ka një shteg në të cilin zhvendosja e fazës do të jetë saktësisht e kundërta, dhe ato do të shtojnë deri në zero kontribut. Vetëm ato trajektore për të cilat veprimi është afër vlerës ekstreme (për shumicën e sistemeve - në minimum) nuk zvogëlohen. Është e pastër fakt matematikor nga teoria e funksioneve të një ndryshoreje komplekse; Për shembull, metoda e fazës stacionare bazohet në të.

Si rezultat, grimca në marrëveshje të plotë me ligjet e mekanikës kuantike, ai lëviz njëkohësisht përgjatë të gjitha trajektoreve, por në kushte normale vetëm trajektoret afër stacionare (d.m.th., klasike) kontribuojnë në vlerat e vëzhguara. Sepse Mekanika kuantike shndërrohet në klasike në kufirin e energjive të larta, atëherë mund të supozojmë se kjo është derivimi mekanik kuantik parimi klasik stacionariteti i veprimit.

Në teorinë kuantike të fushës

Në teorinë kuantike të fushës zbatohet me sukses edhe parimi i veprimit të palëvizshëm. Dendësia Lagranzhiane këtu përfshin operatorët e fushave kuantike përkatëse. Edhe pse është më e saktë këtu në thelb (me përjashtim të kufirit klasik dhe pjesërisht kuazi-klasikëve) të mos flasim për parimin e stacionaritetit të veprimit, por për integrimin e Feynman përgjatë trajektoreve në një konfigurim ose hapësirë fazore këto fusha - duke përdorur densitetin Lagranzhian që sapo përmendëm.

Përgjithësime të mëtejshme

Më gjerësisht, një veprim kuptohet si një funksion që specifikon një hartë nga hapësira e konfigurimit në një grup numra realë dhe, në përgjithësi, nuk duhet të jetë integral, sepse veprimet jolokale janë parimisht të mundshme, të paktën në teori. Për më tepër, një hapësirë konfigurimi nuk është domosdoshmërisht një hapësirë funksioni sepse mund të ketë gjeometri jokomutative.

Shënime

Letërsia

Parimet variacionale të mekanikës. Shtu. artikuj nga klasikët e shkencës. Redaktuar nga Polak L.S. M.: Fizmatgiz. 1959.
Lanczos K. Parimet variacionale të mekanikës. - M.: Fizmatgiz. 1965.
Berdichevsky V. L. Parimet variacionale mekanike vazhdimësi. M.: Nauka, 1983. - 448 f.

Parimi i veprimit më të vogël, i formuluar për herë të parë pikërisht nga Jacobi, është i ngjashëm me parimin e Hamiltonit, por më pak i përgjithshëm dhe më i vështirë për t'u provuar. Ky parim është i zbatueshëm vetëm në rastin kur lidhjet dhe funksioni i forcës nuk varen nga koha dhe kur, për rrjedhojë, ekziston një integral i forcës së gjallë.

Ky integral ka formën:

Parimi i Hamiltonit i përmendur më sipër thotë se ndryshimi i integralit

është e barabartë me zero me kalimin e lëvizjes aktuale në çdo lëvizje tjetër pafundësisht të ngushtë që e transferon sistemin nga e njëjta pozicioni fillestar në të njëjtin pozicion përfundimtar në të njëjtën periudhë kohore.

Parimi i Jacobit, përkundrazi, shpreh një veti të lëvizjes që nuk varet nga koha. Jacobi e konsideron integralin

veprim përcaktues. Parimi që ai vendosi thotë se ndryshimi i këtij integrali është zero kur krahasojmë lëvizjen aktuale të sistemit me çdo lëvizje tjetër pafundësisht të ngushtë që e çon sistemin nga i njëjti pozicion fillestar në të njëjtin pozicion përfundimtar. Në këtë rast, ne nuk i kushtojmë vëmendje periudhës kohore të shpenzuar, por vëzhgojmë ekuacionin (1), d.m.th., ekuacionin e fuqisë punëtore me të njëjtën vlerë të konstantës h si në lëvizjen aktuale.

Ky kusht i domosdoshëm për një ekstrem çon, në përgjithësi, në një minimum të integralit (2), prandaj emri parimi i veprimit më të vogël. Kushti minimal duket të jetë më i natyrshëm, pasi vlera e T është në thelb pozitive, dhe për këtë arsye integrali (2) duhet të ketë domosdoshmërisht një minimum. Ekzistenca e një minimumi mund të vërtetohet rreptësisht nëse vetëm periudha kohore është mjaft e vogël. Prova e këtij pozicioni mund të gjendet në kursin e famshëm të Darboux mbi teorinë e sipërfaqes. Ne, megjithatë, nuk do ta paraqesim këtu dhe do të kufizohemi në nxjerrjen e kushtit

432. Vërtetimi i parimit të veprimit më të vogël.

Në llogaritja aktuale hasim një vështirësi që nuk është e pranishme në vërtetimin e teoremës së Hamiltonit. Variabla t nuk mbetet më e pavarur nga variacioni; prandaj variacionet e q i dhe q. janë të lidhura me ndryshimin e t nga një marrëdhënie komplekse që rrjedh nga ekuacioni (1). Mënyra më e thjeshtë për të kapërcyer këtë vështirësi është të ndryshoni variablin e pavarur, duke zgjedhur një, vlerat e të cilit bien midis kufijve konstantë që nuk varen nga koha. Le të jetë k një ndryshore e re e pavarur, kufijtë e së cilës supozohen të jenë të pavarur nga t. Kur lëvizni sistemin, parametrat dhe t do të jenë funksione të kësaj ndryshoreje

Lejo që shkronjat me numra të thjeshtë q të tregojnë derivate të parametrave q në lidhje me kohën.

Meqenëse lidhjet supozohen të jenë të pavarura nga koha, atëherë Koordinatat karteziane x, y, z janë funksione të q që nuk përmbajnë kohë. Prandaj, derivatet e tyre do të jenë funksione lineare homogjene të q dhe 7 do të jetë një formë kuadratike homogjene e q, koeficientët e së cilës janë funksione të q. Ne kemi

Për të dalluar derivatet e q në lidhje me kohën, shënojmë, duke përdorur kllapa, (q), derivatet e q të marra në lidhje me dhe të vendosura në përputhje me këtë.

atëherë do të kemi

dhe integrali (2), i shprehur përmes ndryshores së re të pavarur A, do të marrë formën;

Derivati mund të eliminohet duke përdorur teoremën e forcës së gjallë. Në të vërtetë, integrali i fuqisë punëtore do të jetë

Duke e zëvendësuar këtë shprehje në formulën për, ne reduktojmë integralin (2) në formë

Kështu, integrali që përcakton veprimin mori formën e tij përfundimtare (3). Ekziston një funksion integrues Rrenja katrore nga formë kuadratike nga vlerat

Le ta tregojmë atë ekuacionet diferenciale ekstremalet e integralit (3) janë pikërisht ekuacionet e Lagranzhit. Ekuacionet e ekstremaleve, bazuar në formulat e përgjithshme Llogaritja e variacioneve do të jetë:

Le të shumëzojmë ekuacionet me 2 dhe të bëjmë diferencime të pjesshme, duke marrë parasysh që nuk përmban, atëherë marrim, nëse nuk shkruajmë një indeks,

Këto janë ekuacione të ekstremaleve të shprehura përmes të pavarurit Detyrë e ndryshueshme tani është për t'u kthyer në variablin e pavarur

Meqenëse G është funksion homogjen i shkallës së dytë në dhe është një funksion homogjen i shkallës së parë, atëherë kemi

Nga ana tjetër, teorema e forcës së gjallë mund të zbatohet për faktorët e derivateve në ekuacionet e ekstremaleve, gjë që çon, siç e pamë më lart, në zëvendësimin

Si rezultat i të gjitha zëvendësimeve, ekuacionet e ekstremaleve reduktohen në formë

Kështu kemi arritur në ekuacionet e Lagranzhit.

433. Rasti kur nuk ka forca lëvizëse.

Në rast se forcat lëvizëse jo, ka një ekuacion për fuqinë punëtore dhe ne kemi

Kushti që integrali të jetë minimal është në këtë rastështë se vlera përkatëse -10 duhet të jetë më e vogla. Kështu, kur nuk ka forca lëvizëse, atëherë ndër të gjitha lëvizjet në të cilat fuqi punëtore mban të njëjtën gjë vlerën e dhënë, lëvizja aktuale është ajo që e çon sistemin nga pozicioni fillestar në pozicionin e tij përfundimtar në kohën më të shkurtër.

Nëse sistemi reduktohet në një pikë që lëviz në një sipërfaqe të palëvizshme, atëherë lëvizja aktuale, midis të gjitha lëvizjeve në sipërfaqe që ndodhin me të njëjtën shpejtësi, është lëvizja në të cilën pika lëviz nga pozicioni i saj fillestar në pozicionin përfundimtar në më e shkurtra

interval kohor. Me fjalë të tjera, një pikë përshkruan në sipërfaqe vija më e shkurtër ndërmjet dy pozicioneve të tij, pra një linje gjeodezike.

434. Shënim.

Parimi i veprimit më të vogël supozon se sistemi ka disa shkallë lirie, pasi nëse do të kishte vetëm një shkallë lirie, atëherë një ekuacion do të mjaftonte për të përcaktuar lëvizjen. Meqenëse lëvizja në këtë rast mund të përcaktohet plotësisht nga ekuacioni i forcës së gjallë, atëherë lëvizja aktuale do të jetë e vetmja që plotëson këtë ekuacion, dhe për këtë arsye nuk mund të krahasohet me asnjë lëvizje tjetër.

Formulimi më i përgjithshëm i ligjit të lëvizjes sistemet mekanike jepet nga i ashtuquajturi parimi i veprimit më të vogël (ose parimi i Hamiltonit). Sipas këtij parimi, çdo sistem mekanik karakterizohet nga një funksion specifik.

ose në shënim i shkurtër, dhe lëvizja e sistemit plotëson kushtin e mëposhtëm.

Lëreni sistemin të zërë pozicione të caktuara në momente kohore, të karakterizuara nga dy grupe vlerash koordinative (1) dhe më pas ndërmjet këtyre pozicioneve sistemi lëviz në atë mënyrë që integrali

kishte më së paku kuptimi i mundshëm. Funksioni L quhet funksion Lagranzh i këtij sistemi, dhe integrali (2.1) quhet veprim.

Fakti që funksioni i Lagranzhit përmban vetëm q dhe q, por jo derivate më të lartë, është shprehje e pohimit të mësipërm se gjendja mekanike përcaktohet plotësisht nga specifikimi i koordinatave dhe shpejtësive.

Le të kalojmë në nxjerrjen e ekuacioneve diferenciale, zgjidhjen e problemit mbi përcaktimin e minimumit të integralit (2.1). Për të thjeshtuar shkrimin e formulave, fillimisht le të supozojmë se sistemi ka vetëm një shkallë lirie, kështu që vetëm një funksion duhet të përcaktohet.

Le të jetë vetëm ai funksion për të cilin S ka një minimum. Kjo do të thotë se S rritet kur zëvendësohet nga ndonjë funksion i formës

ku është një funksion që është i vogël gjatë gjithë intervalit kohor nga deri në (quhet variacion i funksionit pasi në të gjitha funksionet e krahasuara (2.2) duhet të marrin të njëjtat vlera, atëherë duhet të jetë:

Ndryshimi në 5 kur q zëvendësohet me është dhënë nga diferenca

Zgjerimi i këtij dallimi në fuqi (në integrand) fillon me terma të rendit të parë. Një kusht i domosdoshëm minimaliteti i S) është zhdukja e grupit të këtyre termave; quhet variacioni i parë (ose zakonisht thjesht variacion) i integralit. Kështu, parimi i veprimit më të vogël mund të shkruhet si

ose, duke ndryshuar:

Duke vënë në dukje se ne integrojmë termin e dytë sipas pjesëve dhe marrim:

Por për shkak të kushteve (2.3), termi i parë në këtë shprehje zhduket. Ajo që mbetet është integrali, i cili duhet të jetë e barabartë me zero për vlera arbitrare. Kjo është e mundur vetëm nëse integrandi zhduket në mënyrë identike. Kështu marrim ekuacionin

Në prani të disa shkallëve të lirisë, parimi i veprimit më të vogël duhet të ndryshojë në mënyrë të pavarur funksione të ndryshme Natyrisht, atëherë do të marrim s ekuacionet e formës

Këto janë ekuacionet diferenciale të kërkuara; në mekanikë quhen ekuacione të Lagranzhit. Nëse dihet funksioni i Lagranzhit të një sistemi mekanik të caktuar, atëherë ekuacionet (2.6) vendosin lidhjen ndërmjet nxitimeve, shpejtësive dhe koordinatave, pra përfaqësojnë ekuacionet e lëvizjes së sistemit.

ME pikë matematikore Nga këndvështrimi, ekuacionet (2.6) përbëjnë një sistem ekuacionesh të rendit të dytë për funksione të panjohura. Vendim i përbashkët një sistem i tillë përmban konstante arbitrare. Për t'i përcaktuar ato dhe në këtë mënyrë përcaktim i plotë lëvizja e një sistemi mekanik kërkon njohuri kushtet fillestare, duke karakterizuar gjendjen e sistemit në një moment të caktuar kohor, për shembull njohuritë vlerat fillestare të gjitha koordinatat dhe shpejtësitë.

Sistemi mekanik le të përbëhet nga dy pjesë A dhe B, secila prej të cilave, duke qenë e mbyllur, do të kishte si funksion të Lagranzhit, përkatësisht, funksionet ? Pastaj, në kufi, kur pjesët janë të ndara aq larg sa ndërveprimi ndërmjet tyre mund të neglizhohet, funksioni Lagranzhian i të gjithë sistemit priret në kufi.

Kjo veti e aditivitetit të funksionit të Lagranzhit shpreh faktin se ekuacionet e lëvizjes së secilës prej pjesëve që nuk ndërveprojnë nuk mund të përmbajnë sasi të lidhura me pjesët e tjera të sistemit.

Është e qartë se shumëzimi i funksionit të Lagranzhit të një sistemi mekanik me një konstante arbitrare nuk ndikon në vetvete në ekuacionet e lëvizjes.

Nga këtu, me sa duket, mund të pasojë një pasiguri domethënëse: funksionet e Lagranzhit të sistemeve të ndryshme mekanike të izoluara mund të shumëzohen me çdo konstante të ndryshme. Vetia e aditivitetit eliminon këtë pasiguri - lejon vetëm shumëzimin e njëkohshëm të funksioneve Lagranzhiane të të gjitha sistemeve me të njëjtën konstante, e cila thjesht zbret në arbitraritetin natyror në zgjedhjen e njësive matëse të kësaj sasie fizike; Ne do t'i kthehemi kësaj çështjeje në §4.

Duhet bërë vërejtja e përgjithshme e mëposhtme. Le të shqyrtojmë dy funksione që ndryshojnë nga njëri-tjetri nga derivati total i kohës së çdo funksioni të koordinatave dhe kohës

Integralet (2.1) të llogaritura duke përdorur këto dy funksione lidhen me relacionin

d.m.th. ndryshojnë nga njëri-tjetri me një term shtesë që zhduket kur veprimi ndryshon, kështu që kushti përputhet me gjendjen dhe forma e ekuacioneve të lëvizjes mbetet e pandryshuar.

Kështu, funksioni i Lagranzhit përcaktohet vetëm deri në shtimin e derivatit total të çdo funksioni të koordinatave dhe kohës.