Ju gjithashtu mund të përdorni operatorin "nabla" për operacionin:

Këtu merret parasysh se produkt vektorial operatorët kolinear është i barabartë me zero. Propozohet të merret i njëjti rezultat me diferencim të drejtpërdrejtë.

Nga rezultati i marrë mund të merret pasojë e rëndësishme. Konsideroni disa kurbë të mbyllur L dhe shtrini një sipërfaqe arbitrare mbi të S.

Duke përdorur teoremën e Stokes, ne mund të shkruajmë

Le të formulojmë rezultatin e marrë në formën e një teoreme:

Teorema 1. Qarkullimi fushë vektoriale përgjatë çdo konture të mbyllur është e barabartë me zero.

Përfundimi 1. Integrali lakor në gradientin e funksionit skalar nuk varet nga zgjedhja e rrugës së integrimit dhe përcaktohet plotësisht nga fillimi dhe pikat fundore linjat e integrimit.

Dëshmi. Le të bëjmë një vizatim.

Le të bëjmë transformimet më të thjeshta

Prandaj

Kjo do të thotë se integrandështë diferencial i plotë. Rrjedhimisht, vlera e integralit varet vetëm nga zgjedhja e pikave A dhe B:

Le të llogarisim operacionin. Për ta bërë këtë, ne përdorim të njohurit algjebër vektoriale formula për produktin e kryqëzuar të dyfishtë

Le ta rishkruajmë këtë formulë në një formë më të përshtatshme për ne

Transformimi bëhet në mënyrë që në formulat e mëtejshme operatori “nabla” të mos shfaqet në pozicionin e fundit. Për sa i përket operatorit "nabla" marrim

(Çfarë do të ndodhte nëse do të përdornim formulën e zakonshme për produktin e kryqëzuar të dyfishtë?)

Duke përdorur shënimin e operatorit Laplace, ne mund të shkruajmë

Ne kemi një sistem prej tre marrëdhëniesh diferenciale të shkruara për komponentët vektorial F.

Ne shikuam operacionet bazë diferenciale të rendit të dytë. Në të ardhmen do t'i përdorim ato për të zgjidhur probleme të ndryshme.

Formulat e Green

Le të marrim disa formula të tjera të përgjithshme, të cilat lidhen me vetitë funksione të ndryshme dhe përdoren gjerësisht në aplikime. Le të shkruajmë formulën Gauss-Ostrogradsky

Le të jenë dy arbitrare funksionet skalare. Le të vendosim

Pastaj merr formën teorema Gauss-Ostrogradsky

Ju mund të shkruani

Këtu futet shënimi

për derivatin e një funksioni në drejtim

Pas zëvendësimit të këtyre shprehjeve në formulën e modifikuar Gauss-Ostrogradsky, marrim

Kjo formulë quhet formula e parë e Green-it.

Në mënyrë të ngjashme, nëse vendosim

atëherë formula e parë e Green merr formën

Duke zbritur formulat përkatëse, marrim

Kjo formulë quhet formula e dytë e Green-it.

Duke përdorur formulat e Green-it, është e mundur të merren lidhje midis vlerave të funksionit në pikat e brendshme të vëllimit të zgjedhur dhe në kufijtë.

Teorema 1. Vlera e funksionit në pikë e brendshme rajoni T, i kufizuar nga sipërfaqja S, përcaktohet nga formula

distanca ndërmjet pikave dhe. Dëshmi. Konsideroni një pikë dhe rrethojeni me një të vogël sipërfaqe sferike rreze

1. Konceptet bazë të teorisë së fushës

Teoria e fushës qëndron në themel të shumë koncepteve fizika moderne, mekanika, matematika. Konceptet e tij kryesore janë gradienti, rrjedha, potenciali, rotori, divergjenca, qarkullimi, etj. Këto koncepte janë gjithashtu të rëndësishme në zotërimin e ideve bazë. analiza matematikore funksionet e shumë variablave.

Një fushë është një rajon G i hapësirës, në secilën pikë të së cilës përcaktohet vlera e një sasie të caktuar.

NË probleme fizike Zakonisht ekzistojnë dy lloje të sasive: skalarët dhe vektorët. Në përputhje me këtë, konsiderohen dy lloje fushash.

Nëse çdo pikë M e kësaj zone shoqërohet me një numër të caktuar U(M), ata thonë se në

zonës i jepet (përcaktohet) një fushë skalare. Shembuj të fushave skalare janë fusha e temperaturës brenda një trupi të nxehtë (në çdo pikë M të këtij trupi specifikohet temperatura përkatëse U (M), fusha

ndriçimi i krijuar nga çdo burim drite. Lëreni sistemin të fiksohet në hapësirë

koordinatat e pikës M në këtë sistem koordinativ. Vlerat e funksionitU(x,y,z) përkojnë me vlerat e fushësU(M),

prandaj për të ruhet i njëjti simbol.

Nëse çdo pikë M e kësaj zone shoqërohet me një vektor të caktuar (M), ata thonë se

specifikohet një fushë vektoriale. Një shembull i fushave vektoriale është fusha e shpejtësisë së një rrjedhe të palëvizshme të lëngut. Përkufizohet si më poshtë: le të mbushet rajoni G me lëng që rrjedh në secilën pikë me

disa shpejtësi v, pavarësisht nga koha (por

të ndryshme, në përgjithësi, në pika të ndryshme); Duke caktuar vectorv (M) në secilën pikë M nga G, marrim një fushë vektoriale të quajtur fusha e shpejtësisë.

Nëse a(M) është një fushë vektoriale në

hapësirë, pastaj duke marrë një sistem koordinativ fiks drejtkëndor kartezian në këtë hapësirë, ne mundemi

paraqesin a(M) si një treshe të renditur të skalarit

funksionet: a (M) = (P (x,y,z),Q (x,y,z),R (x,y,z)). Këto

Nëse funksioni U (M) (ose a (M)) nuk varet nga

koha, atëherë fusha skalare (vektoriale) quhet stacionare; një fushë që ndryshon me kalimin e kohës quhet jo-stacionare. Më poshtë do të shqyrtojmë vetëm fushat e palëvizshme.

2. Karakteristikat themelore të fushave skalare dhe vektoriale

Një vektor, koordinatat e të cilit janë vlerat e derivateve të pjesshme të funksionit U (x,y,z) në pikën

M (x,y,z) quhet gradient i funksionit dhe shënon

gradU (x,y,z), d.m.th.
	∂U(M)	∂U(M)	∂U(M)
gradU (x,y,z) =	∂U(M)	∂U(M)	∂U(M)
	∂x	∂ vit	∂z

Dihet se gradienti në pikën M cakton drejtimin e rritjes më të shpejtë në funksionin U (x,y,z). Ata thonë se fusha skalare U gjeneron

fusha e gradientit vektorial U.

Linja e gradientitfushë skalare U(M) quhet

çdo kurbë tangjenta e së cilës në çdo pikë është e drejtuar përgjatë gradU në atë pikë.

Kështu, linjat e gradientit të fushës janë ato linja përgjatë të cilave fusha ndryshon më shpejt.

Për të formuluar një veçori tjetër të gradientit, le të kujtojmë përkufizimin e një sipërfaqe të nivelit.

Sipërfaqja e nivelit funksionet (fushat)U =U (x,y,z)

është sipërfaqja në të cilën ruan funksioni (fusha). vlerë konstante. Ekuacioni i sipërfaqes së nivelit ka formën U (x,y,z) =C.

Kështu, në çdo pikë të fushës, gradienti drejtohet përgjatë sipërfaqes normale në atë të nivelit që kalon nëpër këtë pikë.

Rrjedha Π e fushës vektoriale = (P ,Q ,R ) përmes

sipërfaqja σ quhet integrale sipërfaqësore

∫∫ (P cosα + Q cosβ + R cosγ )dS

ose, shkurt, ∫∫ a n dS, ku përmes n = (cosα, cosβ, cosγ)

caktuar vektor njësi normale me sipërfaqen σ, duke përcaktuar anën e saj.

Divergjenca e fushës vektoriale (M) në
		a ns
i quajtur limit

	v→ 0
rajoni Ω G që përmban		pika M, dhe σ
rajoni Ω, i cili shënohet me diva(M).
Nëse private	derivatet		∂P,	∂Q,	∂R
			∂x	∂ vit	∂z

janë të vazhdueshme, pra

∂P+

∂Q+

∂R.

div a(M) =

∂x

∂ vit

∂z

Rotori (ose vorbulla) e fushës vektoriale = (P,Q,R)

quhet vektori tjetër

∂R

∂Q

∂P

∂R

∂Q

∂P

kalb a

∂ vit

∂z

∂x

∂ vit

Është i përshtatshëm për të shkruar curl të një fushe vektoriale në formë

përcaktor simbolik

kalb a =

∂x

∂ vit

∂z

ku nën shumëzimin e njërit prej simboleve

∂x

∂z

∂ vit

disa

kuptohet

ekzekutimi

të përshtatshme

operacionet

diferencimi

(Për shembull,

Q do të thotë

∂Q

∂x

Le të jetë L një kurbë e mbyllur në domenin Ω. Integrale

∫ P dx+ Q dy+ R dz

i quajtur qarkullimi i fushës = (P,Q,R)

përgjatë kurbës L dhe

shënohet me

∫ a d r,

d r = (dx, dy, dz) .

3. Formulat e Stokes dhe Ostrogradsky-Gauss

Le të shënojmë me L një kontur të caktuar të mbyllur dhe σ sipërfaqen e shtrirë nga kjo kontur.

Supozohet se zgjedhja e drejtimit në kontur është në përputhje me zgjedhjen e anës së sipërfaqes (kur përshkohet kontura në drejtimin e zgjedhur, ana e zgjedhur është në të majtë).

Formula e Stokes thotë se qarkullimi i një fushe vektoriale përgjatë një konture të caktuar është i barabartë me fluksin e rotorit të fushës vektoriale nëpër një sipërfaqe të shtrirë mbi këtë kontur.

Le të jetë tani Ω pak e mbyllur zonë e kufizuar, pasi σ është kufiri i kësaj zone. Atëherë është e drejtë

σ Ω

Kujtojmë se integrali i sipërfaqes në anën e majtë të formulës (5) është marrë sipas jashtë sipërfaqe σ.

Formula Ostrogradsky-Gauss nënkupton këtë integral i trefishtë mbi sipërfaqen nga divergjenca e fushës vektoriale e barabartë me rrjedhën të kësaj fushe përmes sipërfaqes që kufizon këtë zonë.

4. Operatori Hamilton. Disa lloje fushash skalare dhe vektoriale

Matematikani dhe mekaniku anglez Hamilton prezantoi operatorin diferencial vektorial


∂x	∂ vit	∂z

thirri operatorin nabla.

Duhet të theksohet menjëherë se analogjia midis një vektori simbolik dhe vektorëve "realë" nuk është

i plotë. Përkatësisht, formulat që përmbajnë një vektor simbolik janë të ngjashme me formulat e zakonshme të algjebrës vektoriale nëse nuk përmbajnë produkte variablave(skalare dhe vektoriale), domethënë derisa të duhet të aplikoni diferencimet e përfshira në operacione në produktin e sasive të ndryshueshme.

Përdorimi i vektorit nabla, gradienti skalar i fushës

Përshtatshmëria e prezantimit të një vektori simbolik qëndron në faktin se me ndihmën e tij është i përshtatshëm për të marrë dhe shkruar formula të ndryshme analiza vektoriale.

Le ta demonstrojmë këtë me shembuj.

Problemi 1. Vërtetoni se rotori i gradientit të fushës skalare U (M) është i barabartë me 0, domethënë rot(gradU) = 0.

Le ta vërtetojmë fillimisht këtë barazi pa përdorur operatorin Hamiltonian. Kështu,

rot(gradU) = kalb	∂U(M)	, ∂U (M) ,	∂U (M) =

	∂x	∂ vit	∂z

∂ ∂

= ∂ x∂ y∂ U∂ U

∂x∂v

∂z

∂U

∂z ∂y

∂x ∂z

∂y ∂z

∂z ∂x

∂z

∂y ∂x

∂x ∂v

k = 0,

meqenëse, sipas teoremës së Schwarz-it, derivatet e përzier të vazhdueshëm janë të barabartë.

Tani, duke përdorur formën e shkrimit të gradientit (7) dhe rotorit (9) përmes, kemi rot(gradU ) =× U .

Meqenëse vektori U (produkti i një vektori dhe skalarit U) është kolinear me vektorin, atëherë vektori i tyre

produkti është 0.

Detyra 2. Shkruani divergjencën e gradientit të fushës skalare div(gradU ) duke përdorur.

Duke formuar një divergjencë nga gradU, marrim

div(gradU) = div	∂ U s i + ∂ U s j +		∂ U k s =

∂x		∂ vit	∂z

= ∂ 2 U + ∂ 2 U + ∂ 2 U . ∂ x 2∂ y 2∂ z 2

Operatori	∂2	∂2	∂2	i quajtur operator
	∂x2	∂ viti 2	∂z 2

Laplace dhe shënohet me simbolin:

= ∂ 2+ ∂ 2+ ∂ 2. ∂ x 2∂ y 2∂ z 2

Meqenëse katrori skalar i një vektori e barabartë me katrorin moduli i tij, atëherë = 2. Kështu, div(gradU) =2 U.

Fusha vektoriale a (M) quhet potencial,

nëse mund të përfaqësohet si gradient i një fushe skalare U(M):

a = gradU .

Vetë fusha skalare U quhet fusha vektoriale potenciala.

Në mënyrë që fusha vektoriale a(M) të jetë

Domosdoshmëria e përmbushjes së barazisë (10) është vërtetuar (shih problemin 1 të diskutuar më lart).

Potenciali i fushës vektoriale mund të gjendet duke përdorur formulën


U (M) = ∫ P(x, y, z) dx+ ∫ Q(x0, y, z) dy+ ∫ R(x0, y0, z) dz+ C,

ku (x 0 , y 0 ,z 0 ) - pikë arbitrare zonat G.

Fusha vektoriale a(M), divergjenca e së cilës

identikisht i barabartë me zero, quhet solenoidal (tubular).

Për të formuluar një nga vetitë më të rëndësishme fushë solenoidale, ne prezantojmë konceptet e vijës vektoriale dhe tubit vektorial.

Një vijë L e shtrirë në G quhet vektor

drejtëz nëse në secilën pikë të kësaj drejtëze drejtimi i tangjentes në të përkon me drejtimin e fushës vektoriale në këtë pikë.

Dihet që një vijë vektoriale është një kurbë integrale e një sistemi ekuacionesh diferenciale

Në veçanti, nëse një fushë vektoriale është një fushë shpejtësie e një rrjedhe të palëvizshme të lëngut, atëherë linjat e saj vektoriale janë trajektoret e grimcave të lëngut.

Një tub vektorial është një grup i mbyllur Φ pikash në një rajon G, në të cilin është specifikuar një fushë vektoriale a (M), e tillë që kudo në sipërfaqen e tij kufitare, vektori normal n të jetë ortogonal me (M).

Një tub vektorial përbëhet nga vija të fushës vektoriale a(M). Një linjë vektoriale përmbahet tërësisht në Φ if

një pikë e drejtëzës përmbahet në Φ.

Intensiteti i tubit Φ në një seksion është fluksi i fushës (M) nëpër këtë seksion.

Nëse fusha është solenoidale, atëherë ligji i ruajtjes së intensitetit të tubit vektor është i kënaqur.

Për fushën e shpejtësisë v(M) të një lëngu të pakthyeshëm në mungesë të zhytësve dhe burimeve (d.m.th., nën kushtin divv(M) = 0), ligji i ruajtjes së intensitetit të vektorit

tubat mund të formulohen në këtë mënyrë: sasia e lëngut që rrjedh për njësi të kohës nëpër një seksion të një tubi vektor është e njëjtë për të gjitha seksionet e tij.

Më poshtë janë disa detyra tipike me zgjidhje.

Detyra 3. Gjeni sipërfaqet e nivelit të fushës skalare

U (M) = x2 + y2 − z.

sipërfaqet e nivelit janë një familje e paraboloideve eliptike, boshti i simetrisë së të cilëve është boshti Oz.

Detyra 4.

Në fushën skalare U (M ) = xy 2 + z 2 gjeni

gradient në pikën M 0 (2,1,− 1) .

Le të gjejmë vlerat

derivatet e pjesshme

U (M) në pikën M 0:

∂U

|M 0 =y 2 |M 0 = 12 = 1,

∂U

|M 0 = 2xy |M 0 = 2 2 1 = 4,

∂x

∂ vit

∂U

2 (− 1) =− 2.

∂z

Prandaj,

gradU (M 0 ) =s i + 4s j − 2k s .

Llogaritni divergjencën e një fushe vektoriale

a(M) = 2 xy2 i− yz j+ 3 z2 k

në pikën M 0 (1,− 2,1) .

P = 2xy 2 ,Q =− yz ,R = 3z 2 . Le të gjejmë vlerën

derivatet përkatëse të pjesshme në pikën M 0:

∂P|

2 y 2 |

2 (− 2)2 = 8,

∂Q

= − z |

= − 1,

∂x

∂ vit

Rotor (matematikë)

Rotor, ose vorbullështë një operator diferencial vektorial mbi një fushë vektoriale.

I caktuar

(në letërsinë në gjuhën ruse) ose

(në letërsinë angleze),

dhe gjithashtu si një shumëzim vektorial i operatorit diferencial me një fushë vektoriale:

Rezultati i veprimit të këtij operatori në një fushë vektoriale specifike F thirrur rotor fushor F ose me pak fjalë thjesht rotor F dhe paraqet një fushë të re vektoriale:

Fusha e kalbjes F(gjatësia dhe drejtimi i kalbjes së vektorit F në çdo pikë të hapësirës) karakterizon në një farë kuptimi komponentin rrotullues të fushës F përkatësisht në çdo pikë.

Imazhi intuitiv

Nëse v(x,y,z) është fusha e shpejtësisë së gazit (ose rrjedhjes së lëngut), atëherë kalb v- një vektor proporcional me vektorin e shpejtësisë këndore të një grimce pluhuri (ose topi) shumë të vogël dhe të lehtë të vendosur në rrjedhë (dhe të ngujuar nga lëvizja e gazit ose lëngut; megjithëse qendra e topit mund të fiksohet nëse dëshironi, si për sa kohë që mund të rrotullohet lirshëm rreth tij).

Konkretisht kalb v = 2 ω , Ku ω - kjo shpejtësi këndore.

Për një ilustrim të thjeshtë të këtij fakti, shihni më poshtë.

Kjo analogji mund të formulohet mjaft rreptësisht (shih më poshtë). Përkufizimi bazë përmes qarkullimit (i dhënë në paragrafin vijues) mund të konsiderohet i barabartë me atë të marrë në këtë mënyrë.

Përkufizimi matematik

Curl i një fushe vektoriale është një vektor projeksioni i të cilit në çdo drejtim nështë kufiri i lidhjes së qarkullimit të një fushe vektoriale përgjatë një konture L, e cila është skaji i zonës së sheshtë Δ S, pingul me këtë drejtim, me madhësinë e kësaj zone, kur dimensionet e zonës priren në zero, dhe zona në vetvete tkurret në një pikë:

Drejtimi i kalimit të konturit zgjidhet në mënyrë që, kur shikohet në drejtim, kontura L eci në drejtim të akrepave të orës.

Në tre dimensione Sistemi kartezian koordinon rotorin (siç përcaktohet më sipër) llogaritet si më poshtë (këtu F- tregon një fushë të caktuar vektoriale me komponentë karteziane dhe - vektorë njësi të koordinatave karteziane):

Për lehtësi, ne mund ta paraqesim zyrtarisht rotorin si një produkt vektorial të operatorit nabla (në të majtë) dhe fushës vektoriale:

(Barazia e fundit përfaqëson zyrtarisht produktin vektor si një përcaktues.)

Përkufizime të ngjashme

Një fushë vektoriale rotori i së cilës e barabartë me zero në çdo pikë quhet irrotacionale dhe është potencial. Meqenëse këto kushte janë të nevojshme dhe të mjaftueshme për njëra-tjetrën, të dy termat janë sinonime praktike. (Megjithatë, kjo është e vërtetë vetëm për rastin e fushave të përcaktuara në një domen thjesht të lidhur).

Për pak më shumë detaje rreth kushtëzimit të ndërsjellë të potencialit dhe natyrës irrotacionale të fushës, shih më poshtë (Vetitë themelore).

Përkundrazi, zakonisht quhet një fushë, kaçurrela e së cilës nuk është e barabartë me zero vorbull , një fushë e tillë nuk mund të jetë potenciale.

Përgjithësim

Përgjithësimi më i drejtpërdrejtë i rotorit siç zbatohet në fushat vektoriale (dhe pseudovektoriale) të përcaktuara në hapësirat me dimension arbitrar (me kusht që dimensioni i hapësirës të përputhet me dimensionin e vektorit të fushës) është si më poshtë:

me indekse m Dhe n nga 1 në dimensionin e hapësirës.

Kjo mund të shkruhet edhe si produkt i jashtëm:

Në këtë rast, rotori është një fushë tensore antisimetrike e valencës dy.

Në rastin e dimensionit 3, konvolucioni i këtij tensori me simbolin Levi-Civita jep përkufizimi i zakonshëm rotor tredimensional i dhënë në artikullin e mësipërm.

Për një hapësirë dy-dimensionale, përveç kësaj, nëse dëshirohet, mund të përdoret një formulë e ngjashme me një produkt pseudoskalar (një rotor i tillë do të jetë një pseudoskalar që përkon me projeksionin e produktit tradicional të vektorit mbi një bosht ortogonal me një dydimensionale të dhënë hapësira - nëse e konsiderojmë hapësirën dydimensionale të ngulitur në ndonjë hapësirë tredimensionale, në mënyrë që produkti tradicional vektorial të ketë kuptim).