Le të jepet një fushë vektoriale e vazhdueshme a) k dhe një kontur i mbyllur me orientim L në një fushë G. Përkufizimi 1. Qarkullimi i një vektori a përgjatë një konture të mbyllur L quhet integral i linjës Lloji i dytë nga vektori a përgjatë konturit L Këtu dr është një vektor, gjatësia e të cilit është e barabartë me diferencialin e harkut L, dhe drejtimi përkon me drejtimin e tangjentes në L, op- Fig. 31 e përcaktuar nga orientimi i konturit (Fig. 31); simboli f do të thotë që integrali merret përgjatë konturit alternativ L. b Shembulli 1. njehsoni qarkullimin fushë vektoriale përgjatë elipsës L: Nga përkufizimi i qarkullimit kemi Ekuacionet parametrike të kësaj elipse kanë formën: , dhe, prandaj, . Duke i zëvendësuar këto shprehje në formulën (2), gjejmë Qarkullimin e fushës vektoriale. Rotori i një vektori Teorema e Stokes Rotori (vorteksi) i një fushe vektoriale Përkufizimi i pandryshueshëm i një rotori të një fushe Kuptimi fizik Rotori fushor Rregullat për llogaritjen e rotorit 8.1. Rotori (vorteksi) i një fushe vektoriale Konsideroni fushën e një vektori P, Q, R të të cilit janë të vazhdueshëm dhe kanë derivate të pjesshëm të vazhdueshëm të rendit të parë në lidhje me të gjitha argumentet e tyre. Përkufizimi 2. Rotori i vektorit "(M) është një vektor i shënuar me simbolin rot a dhe i përcaktuar me barazinë ose, në një formë simbolike, të lehtë për t'u mbajtur mend, kjo përcaktor zgjerohet nga elementët e rreshtit të parë. , ndërsa veprimet e shumëzimit të elementeve të rreshtit të dytë me elementet e rreshtit të tretë kuptohen si operacione diferencimi p.sh. Përkufizimi 3. Nëse në ndonjë fushë G kemi rot a = 0, atëherë fusha e vektorit a. në domenin G quhet irrotacion. Shembulli 2. Gjeni rotorin e vektorit 4 Sipas formulës (3) kemi Meqenëse rot a është vektor, mund të konsiderojmë një fushë vektoriale - fushën e rotorit të vektorit a. Duke supozuar se koordinatat e vektorit a kanë derivate të vazhdueshme të pjesshme të rendit të dytë, ne llogarisim divergjencën e rotacionit të vektorit a. Marrim Kështu, fusha e rrotullimit të vektorit është solenoidale. Teorema 7 (Stokes). Qarkullimi i vektorit a përgjatë një konture të mbyllur të orientuar L është i barabartë me fluksin e rotorit të këtij vektori nëpër çdo sipërfaqe E të shtrirë nga kontura L. Supozohet se koordinatat e vektorit a kanë derivate të pjesshme të vazhdueshme në një rajon G të hapësira që përmban sipërfaqen E, dhe që orientimi i vektorit njësi të pikës normale në sipërfaqen EC G të jetë i koordinuar me orientimin e konturit L në mënyrë që nga fundi i normës, qarku rreth konturit në një drejtim të caktuar. shihet se po zhvillohet në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Duke marrë parasysh këtë, dhe duke përdorur përkufizimin e një rotori (3), ne rishkruajmë formulën (4) në formën e mëposhtme: Le të shqyrtojmë së pari rastin kur një sipërfaqe e lëmuar E dhe kontura e saj L janë projektuar në mënyrë unike në rajonin D të xOy rrafshi dhe kufiri i tij - kontura A, përkatësisht (Fig. 32). Orientimi i konturit L krijon një orientim të caktuar të konturit A. Për saktësi, do të supozojmë se kontura L është e orientuar në mënyrë që sipërfaqja E të mbetet në të majtë, në mënyrë që vektori normal n në sipërfaqen E të jetë boshti Oz kënd akut 7 (koz 7 >0). Le të jetë ekuacioni i sipërfaqes E dhe funksioni φ(x)y) i vazhdueshëm dhe të ketë derivate të pjesshme të vazhdueshme gf dhe ^ në zonë e mbyllur D. Konsideroni Linjën integrale L që shtrihet në sipërfaqen E. Prandaj, duke përdorur ekuacionin e kësaj sipërfaqeje, mund ta zëvendësojmë r nën shenjën integrale me ^(x, y). Koordinatat e pikës së ndryshueshme të lakores A janë të barabarta me koordinatat e pikës përkatëse në lakoren L, dhe për këtë arsye integrimi mbi L mund të zëvendësohet me integrim mbi A. Le të zbatojmë formulën e Green-it për integralin në të djathtë. Tani kalojmë nga integrali mbi rajonin D në integralin mbi sipërfaqen E. Meqenëse dS = cos 7 da, atëherë nga formula (8) marrim se vektori normal n° në sipërfaqen E përcaktohet nga shprehja k. Nga këtu është e qartë se. Prandaj, barazia (9) mund të rishkruhet si vijon: Duke e konsideruar E një sipërfaqe të lëmuar që projekton në mënyrë unike në të tre planet koordinative, ne jemi të bindur në mënyrë të ngjashme për vlefshmërinë e formulave Qarkullimi i një fushe vektoriale. Rotori i një vektori Teorema e Stokes Rotori (vorteksi) i një fushe vektoriale Përkufizimi i pandryshueshëm i rotorit të një fushe Kuptimi fizik i rotorit të një fushe Rregullat për llogaritjen e rotorit Duke shtuar barazitë term pas termi, marrim formulën e Stokes ( 5), ose shkurtimisht, Vërejtje 1. Ne kemi treguar se fusha e rrotullimit të vektorit është solenoidale, dhe për këtë arsye, rrjedha e rrotullimit të vektorit nuk varet nga lloji i sipërfaqes E të shtrirë nga kontura L. Vërejtje 2 Formula (4) është nxjerrë nën supozimin se sipërfaqja £ është projektuar në mënyrë unike në të tre planet koordinative. Nëse ky kusht nuk plotësohet, atëherë e ndajmë £ në pjesë në mënyrë që çdo pjesë kusht të specifikuar të kënaqur, dhe më pas përdorim aditivitetin e integraleve. Shembulli 3. Llogaritni qarkullimin e një vektori përgjatë vijës 1) duke përdorur përkufizimin; 2) sipas teoremës së Stokes. 4 1) Le të përcaktojmë vijën L në mënyrë parametrike: Pastaj 2) Gjeni rrotullimin: Le të shtrijmë një pjesë të rrafshit në konturin L Pastaj. Përkufizimi invariant i rotorit të fushës Nga teorema e Stokes-it, mund të merret një përkufizim invariant i rotorit të fushës, që nuk lidhet me zgjedhjen e sistemit të koordinatave. Teorema 8. Projeksioni i rotorit a në asnjë drejtim nuk varet nga zgjedhja e sistemit të koordinatave dhe është i barabartë me dendësia e sipërfaqes qarkullimi i vektorit a përgjatë konturit të platformës, pingul me këtë drejtim, Këtu (E) është një platformë e sheshtë, pingul me vektorin l; 5 - zona e kësaj faqeje; L - kontura e sitit, e orientuar në mënyrë që anashkalimi i konturit të jetë i dukshëm nga fundi i vektorit n në të kundërt të akrepave të orës; (E) M do të thotë se zona (E) tkurret në pikën M, në të cilën merret parasysh kalbëzimi i vektorit a, dhe vektori normal n në këtë zonë mbetet i njëjtë gjatë gjithë kohës (Fig. 33). 4 Le të zbatojmë fillimisht teoremën e Stokes në qarkullimin (a,dr) të vektorit a, dhe më pas në atë që rezulton integral i dyfishtë- Teorema e vlerës mesatare: ku (produkti skalar merret në një pikë të mesme Mf të platformës (E)). Ndërsa zona (E) tërhiqet në pikën M, pika mesatare A/c tenton gjithashtu në pikën M dhe, për shkak të vazhdimësisë së supozuar të derivateve të pjesshme të koordinatave të vektorit a (dhe rrjedhimisht vazhdimësisë së rotacionit a), ne Meqenëse projeksioni i kalimit të vektorit a në një drejtim arbitrar nuk varet nga zgjedhja e sistemit të koordinatave, atëherë vetë rrotullimi i vektorit është i pandryshueshëm në lidhje me këtë zgjedhje. Nga këtu marrim përkufizimin e pandryshueshëm të rotorit të fushës: rotori i fushës është një vektor, gjatësia e të cilit është e barabartë me densitetin më të madh të qarkullimit të sipërfaqes në një pikë të caktuar, i drejtuar pingul me zonën në të cilën dendësia më e lartë arrihet qarkullimi; në këtë rast, orientimi i rrotullimit të vektorit është në përputhje me orientimin e konturit, në të cilin qarkullimi është pozitiv, sipas rregullit të vidës së djathtë. 8.3. Kuptimi fizik i një rotori fushor Lëreni një trup të ngurtë të rrotullohet përreth aks fiks I me shpejtësi këndore dhe. Pa humbje të përgjithshme, mund të supozojmë se boshti I përkon me boshtin Oz (Fig. 34). Le të jetë M(g) pika e trupit që studiohet, ku vektori i shpejtësisë këndore në rastin tonë është i barabartë me = wk, le të llogarisim vektorin v të shpejtësisë lineare të pikës M. Prandaj qarkullimi i fushës vektoriale . Rotori i një vektori Teorema e Stokes Rotori (vorbulla) i një fushe vektoriale Përkufizimi i pandryshueshëm i një rotori të një fushe Kuptimi fizik i rotorit të një fushe Rregullat për llogaritjen e rotorit Pra, vorbulla e një fushe me shpejtësi rrotulluese të ngurtaështë i njëjtë në të gjitha pikat e fushës, paralel me boshtin e rrotullimit dhe i barabartë me dyfishin e shpejtësisë këndore të rrotullimit. 8.4. Rregullat për llogaritjen e rotorit 1. Rotori vektor konstant c është i barabartë me vektorin zero, 2. Rotori ka vetinë e linearitetit të numrave konstante. 3. Rotori i produktit funksion skalar u(M) te vektori a(M) llogaritet me formulë

Le të jetë fusha një fushë e diferencueshme (d.m.th., projeksionet e vektorit të fushës në boshtet e koordinatave janë funksione të diferencueshme).

Përkufizimi. Fusha vektoriale e vorbullës (shënohet me kalb ) është një vektor projeksioni i të cilit në një vektor arbitrar
është përcaktuar si kufiri i raportit të qarkullimit të fushës përgjatë disa kontureve ( L), që përmban një pikë M, dhe shtrirë në një rrafsh pingul me vektorin
, në zonën e rajonit të kufizuar nga kjo kontur, me kusht që kjo kontur të kontraktohet në një pikë M, dhe zona e rajonit ( S) tenton në zero:

. (1.13)

Në hapësirën tredimensionale
nëpërmjet koordinatave vektoriale drejtkëndore karteziane
shprehet si më poshtë:

ose në një formë simbolike të lehtë për t'u mbajtur mend

. (1.15)

Teorema e Stokes. Lërini koordinatat e vektorit+

janë të vazhdueshme dhe kanë derivate të pjesshme të vazhdueshme. Pastaj qarkullimi i fushës vektoriale përgjatë një laku të mbyllur ( L) është e barabartë me fluksin e vorbullave të fushës nëpër një sipërfaqe arbitrare ( S), i shtrirë mbi këtë kontur:

. (1.16)

Supozohet se orientimi i konturit ( L) dhe sipërfaqet ( S) janë konsistente: me një kalim pozitiv të konturit, normalja drejtohet nga "këmbët në kokë".

Karakteristikat e rotorit: 1);

Përkufizimi. 2) . Fusha vektoriale quhet irrotacion në këtë rajon ( V

), Nëse. Shembulli 1.
.

Gjeni rotorin e vektorit të fushës së forcës së fushës magnetike
Zgjidhje.Vektor

në formë koordinative:

. Le të llogarisim rotorin duke përdorur formulën (1.15):
Fusha e tensionit

- fushë irrotacionale. Shembulli 2.
Llogaritni qarkullimin e vektorit
përgjatë konturit

1) drejtpërdrejt, 2) nga teorema e Stokes. R L vendim. 1) Kontur (
) – rrezja e rrethit , i shtrirë në aeroplan z
=3 (shih Fig. 5). Le të zgjedhim orientimin mbi të, siç tregohet në figurë. Ekuacionet e vijave parametrike
, Pra ,. Për qarkullimin e vektorit S kemi:. 2) Për të llogaritur qarkullimin duke përdorur teoremën e Stokes, ne zgjedhim një sipërfaqe ( L), i shtrirë mbi kontur ( S Natyrisht si ( L) merrni një rreth me një vijë ( ) kufiri i saj. Sipas orientimit të zgjedhur të konturit normal
në rreth është e nevojshme të merret e barabartë
. Le të llogarisim rotorin:
.

.

Nga teorema e Stokes

1.
;2.
;3.
;4.
;

5.
.

Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur

6.
; 7.
Gjeni linjat vektoriale të fushave të sheshta vektoriale:
;

8.
; 9.
,
;

10.
; 11. ; 12.
;

13.
, Gjeni linjat vektoriale:
- , Ku

14.
,
;15.
,
.

vektorë konstante.

16.
, (S Gjeni linjat vektoriale që kalojnë nëpër një pikë të caktuar:
,
.

17.
, (S Llogaritni fluksin e një fushe vektoriale duke përdorur një integral sipërfaqësor të llojit të parë:
): ana e sipërme e një trekëndëshi të kufizuar me plane
;

18.
,
): ana e jashtme e paraboloidit
, i kufizuar nga avioni
;

19.
, (S: sipërfaqja anësore e një cilindri rrethor
, i kufizuar me avionë

20.
, (S): ana e jashtme e pjesës së një paraboloidi
): ana e sipërme e një trekëndëshi të kufizuar me plane
;

21. , (S, i vendosur në oktantin e parë;
): sipërfaqja e përgjithshme e konit , i shtrirë në aeroplan= 0;

22.
, (S): një sipërfaqe e mbyllur e kufizuar nga një paraboloid
,
,
,
;

23.
, (S dhe aeroplan
.

): sipërfaqja e plotë e një piramide të kufizuar nga rrafshe

24.
, (S): sferë
Llogaritni rrjedhën duke përdorur metodën e projektimit në të tre planet koordinative.

25.
, (S): ana e sipërme e një rrethi të prerë në një kon

26. , (S në aeroplan
): ana e sipërme e trekëndëshit e fituar nga prerja e një rrafshi me plane koordinative;
): pjesë e avionit .

, i kufizuar nga një rreth

27.
, (S, në drejtim të vektorit

28.
, (S Përcaktoni fluksin e fushës duke përdorur formulën Gauss-Ostrogradsky:
,
,
;

29.
, (S dhe aeroplan
;

30.
, (S): një sipërfaqe arbitrare e mbyllur e lëmuar pjesë-pjesë;
): sipërfaqja e një kubi
): pjesë e një paraboloidi , u ndërpre me avion; V anën negative;

31.
, (S sëpata
,
,
,

;

32. , (S sëpata
,
;

33. , (S):;

Gjeni integralin linear të një vektori në rrafsh:

36.
gjysma e sipërme e elipsës
nga pika A(a,0), deri në pikën B(-a,0);

37. a) segment i drejtë O.B.; b) harku i një parabole
; c) harku i një parabole
; d) vijë e thyer OAB A, Ku (1.0); d) vijë e thyer Gjeni linjat vektoriale të fushave të sheshta vektoriale: OCB(0,1);

39. C

nga pika (-1, 1) në pikën (2, 2).

41.
,
Llogarit integralin e vijës:

44. segmenti drejtvizor nga pika (1,1,1) në pikën (4,4,4);

45. një segment i drejtë nga pika (0,0,0) në pikën (1,1,1).
Nisur nga tensioni fushë force. Gjeni punën e fushës kur masa lëviz m

,
përgjatë një kthese të spirales
nga pika B(deri në pikën t

46. =2);
Fusha e forcës formohet nga një forcë e barabartë në madhësi me distancën nga origjina e koordinatave deri në pikën e zbatimit të saj dhe e drejtuar drejt origjinës së koordinatave. Gjeni punën e bërë nga fusha për të lëvizur një masë njësi përgjatë harkut të një parabole
nga abshisa
.

deri në pikën e abshisë

47. Në problemat 47-51 gjeni qarkullimin në terren:

48.
në drejtim negativ; anën negative vijë e mbyllur e formuar nga segmente të boshteve koordinative Dhe Oy
,
dhe astroid të tjerë

51. , i shtrirë në kuadrantin e parë;
vijë kryqëzimi paraboloid

52. me plane koordinative (në oktantin e parë);
Një trup i ngurtë rrotullohet me një shpejtësi këndore konstante rreth boshtit Oz . Llogaritni qarkullimin e fushës së shpejtësisë lineare përgjatë një rrethi me rreze R

53. , qendra e të cilit shtrihet në boshtin e rrotullimit nëse rrafshi i rrethit është pingul me boshtin e rrotullimit (qarkullimi konsiderohet në drejtim të rrotullimit).
Gjeni një fushë pune kur lëvizni një pikë të njësisë së masës përgjatë një vije të mbyllur të përbërë nga tre segmente të drejta të shtrira plane koordinative

, duke prerë segmente të barabarta me unitet në boshtet koordinative.

54.
Gjeni divergjencën e fushave të mëposhtme:
. Në çfarë funksioni

55.
;56.
- do? shpejtësi lineare
pikat e lëngut rrotullues

57.
- shpejtësia këndore); forca e fushës magnetike,,J

58.
; 59.
;

60. – e përhershme;
Llogaritni

në pikën (1,-1,1).

64.
;

Gjeni rrjedhën e fushës vektoriale përmes sipërfaqeve të mbyllura të treguara: 1) drejtpërdrejt, 2) duke përdorur teoremën Gauss-Ostrogradsky në formulimin e vektorit:

73. 74.

75. Në problemet 73 dhe 74, llogaritni rotorin e fushave vektoriale të treguara: Tregoni se nëse vektori koordinon
.

76. kanë derivate të vazhdueshme të pjesshme të rendit të dytë, atëherë vijë e mbyllur e formuar nga segmente të boshteve koordinative Trego çfarë nëse
.

77. janë vektorë konstante, pra
.

78. janë vektorë konstante, pra
.

79. Tregojeni atë
Tregoni se një fushë vektoriale

80. është irrotacionale. Tregoni se rotori i fushës së shpejtësisë lineare
.

81. pikat e një trupi të ngurtë rrotullues është një vektor konstant i drejtuar paralelisht me boshtin e rrotullimit, madhësia e të cilit është e barabartë me dyfishin e shpejtësisë këndore të rrotullimit:
Cili duhet të jetë funksioni
?

Gjeni qarkullimin e fushës përgjatë kontureve të treguara 1) drejtpërdrejt, 2) duke përdorur teoremën e Stokes në formulimin e vektorit:

84.
përgjatë konturit të formuar nga kryqëzimi i rrafshit
me plane koordinative;

15.2. Raste të veçanta të fushave vektoriale. Operacionet e rendit të dytë

15.2.1. Fusha vektoriale e mundshme

Përkufizimi. 2) . quhet fushë potenciale nëse ka ndonjë funksion skalar
, gradienti i të cilit formon këtë fushë:

. (2.1)

Funksioni u quhet potenciali i fushës vektoriale .

Teorema. Në mënyrë që një fushë të jetë potenciale, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ajo të jetë irrotacionale:

. (2.2)

Formula (2.2) është një kriter për potencialin e një fushe vektoriale .

Vetitë e fushave të mundshme.

1) në rajonin e vazhdimësisë së potencialit fushor u integrali linear nuk varet nga rruga e integrimit dhe është i barabartë me shtimin potencial

2) qarkullimi (1.9) i vektorit përgjatë çdo konture të mbyllur që shtrihet tërësisht në rajonin e vazhdimësisë së fushës është e barabartë me zero:

. (2.4)

3) potencial
gjendet sipas formulës (2.3):

, (2.5)

ku ( A.M.) – një kurbë arbitrare që nënshtron pika A Dhe M. Nëse rruga ( A.M.) marrë në formën e një vije të thyer të përbërë nga segmente paralele me boshtet koordinative (numri i vijave të tilla të thyera është gjashtë), atëherë për të gjetur potencialin mund të përdoret një nga formulat që shprehin potencialin.
nëpërmjet integraleve të caktuar
;
):

Shembull. Kontrolloni që fusha vektoriale është potenciale dhe gjeni potencialin e saj.

Zgjidhje. Le të kompozojmë për të kësaj fushe kriteri i potencialit (2.2):

Fusha është potenciale. Le të gjejmë potencialin
sipas formulës (2.6): për pikënisje i përshtatshëm për të marrë pikë A(0,0,0):
.

Rotor (matematikë)

Rotor, ose vorbull- operator diferencial vektorial mbi një fushë vektoriale.

I caktuar

(në letërsinë në gjuhën ruse) ose

(në letërsinë angleze),

dhe gjithashtu si një shumëzim vektorial i operatorit diferencial me një fushë vektoriale:

Rezultati i veprimit të këtij operatori në një fushë vektoriale specifike F thirrur rotor fushor F ose me pak fjalë thjesht rotor F dhe paraqet një fushë të re vektoriale:

Fusha e kalbjes F(gjatësia dhe drejtimi i kalbjes së vektorit F në çdo pikë të hapësirës) karakterizon në një farë kuptimi komponentin rrotullues të fushës F përkatësisht në çdo pikë.

Imazhi intuitiv

Nëse v(x,y,z) është fusha e shpejtësisë së gazit (ose rrjedhjes së lëngut), atëherë kalb v- një vektor proporcional me vektorin e shpejtësisë këndore të një grimce pluhuri (ose topi) shumë të vogël dhe të lehtë të vendosur në rrjedhë (dhe të ngujuar nga lëvizja e gazit ose lëngut; megjithëse qendra e topit mund të fiksohet nëse dëshironi, si për sa kohë që mund të rrotullohet lirshëm rreth tij).

Konkretisht kalb v = 2 ω , Ku ω - kjo shpejtësi këndore.

Për një ilustrim të thjeshtë të këtij fakti, shihni më poshtë.

Kjo analogji mund të formulohet mjaft rreptësisht (shih më poshtë). Përkufizimi bazë përmes qarkullimit (i dhënë në paragrafin vijues) mund të konsiderohet i barabartë me atë të marrë në këtë mënyrë.

Përkufizimi matematik

Curl i një fushe vektoriale është një vektor projeksioni i të cilit në çdo drejtim nështë kufiri i lidhjes së qarkullimit të një fushe vektoriale përgjatë një konture L, e cila është skaji i zonës së sheshtë Δ S, pingul me këtë drejtim, me madhësinë e kësaj zone, kur dimensionet e zonës priren në zero, dhe zona në vetvete tkurret në një pikë:

Drejtimi i kalimit të konturit zgjidhet në mënyrë që, kur shikohet në drejtim, kontura L eci në drejtim të akrepave të orës.

Në tre dimensione Sistemi kartezian koordinon rotorin (siç përcaktohet më sipër) llogaritet si më poshtë (këtu F- tregon një fushë të caktuar vektoriale me komponentë karteziane dhe - vektorë njësi të koordinatave karteziane):

Për lehtësi, ne mund ta paraqesim zyrtarisht rotorin si një produkt vektorial të operatorit nabla (në të majtë) dhe fushës vektoriale:

(Barazia e fundit përfaqëson zyrtarisht produkt vektorial si përcaktues).

Përkufizime të ngjashme

Një fushë vektoriale rotori i së cilës e barabartë me zero në çdo pikë quhet irrotacionale dhe është potencial. Meqenëse këto kushte janë të nevojshme dhe të mjaftueshme për njëra-tjetrën, të dy termat janë sinonime praktike. (Megjithatë, kjo është e vërtetë vetëm për rastin e fushave të përcaktuara në një domen thjesht të lidhur).

Për pak më shumë detaje rreth kushtëzimit të ndërsjellë të potencialit dhe natyrës irrotacionale të fushës, shih më poshtë (Vetitë themelore).

Përkundrazi, zakonisht quhet një fushë, kaçurrela e së cilës nuk është e barabartë me zero vorbull , një fushë e tillë nuk mund të jetë potenciale.

Përgjithësim

Përgjithësimi më i drejtpërdrejtë i rotorit siç aplikohet në fushat vektoriale (dhe pseudovektoriale) të përcaktuara në hapësirat me dimension arbitrar (me kusht që dimensioni i hapësirës të përputhet me dimensionin e vektorit të fushës) është si vijon:

me indekse fushë force. Gjeni punën e fushës kur masa lëviz Dhe n nga 1 në dimensionin e hapësirës.

Kjo mund të shkruhet edhe si produkt i jashtëm:

Në këtë rast, rotori është një fushë tensore antisimetrike e valencës dy.

Në rastin e dimensionit 3, konvolucioni i këtij tensori me simbolin Levi-Civita jep përkufizimi i zakonshëm rotor tredimensional i dhënë në artikullin e mësipërm.

Për një hapësirë dy-dimensionale, përveç kësaj, nëse dëshirohet, mund të përdoret një formulë e ngjashme me një produkt pseudoskalar (një rotor i tillë do të jetë një pseudoskalar, që përkon me projeksionin e produktit tradicional të vektorit në boshtin ortogonal me dy- hapësira dimensionale - nëse e konsiderojmë hapësirën dydimensionale të ngulitur në një hapësirë tredimensionale, në mënyrë që produkti vektorial tradicional të ketë kuptim).

Teoria e fushës

Gjithashtu i njohur si analiza vektoriale. Dhe për disa, analiza vektoriale, e njohur si teoria e fushës =) Më në fund, arritëm në këtë temë interesante! matematikë e lartë Nuk mund ta quaj gjuhën të thjeshtë, megjithatë, në artikujt e ardhshëm do të përpiqem të arrij dy qëllime:

a) në mënyrë që të gjithë të kuptojnë se për çfarë është biseda;

b) dhe në mënyrë që "bedelet" të mësojnë të zgjidhin, të paktën, gjëra të thjeshta - të paktën në nivelin e detyrave që u ofrohen studentëve me kohë të pjesshme.

I gjithë materiali do të paraqitet në një stil popullor, dhe nëse keni nevojë për një më të rreptë dhe informacion të plotë, atëherë mund të merrni, për shembull, vëllimin e 3-të të Fichtenholtz-it ose të shikoni Wiki-n.

Dhe le të deshifrojmë menjëherë titullin. Në teori, unë mendoj se gjithçka është e qartë - në traditat më të mira faqen ne do të analizojmë bazat e saj dhe do të fokusohemi në praktikë. Epo, me çfarë e lidhni fjalën "fushë"?

Fushë me bar, fushë futbolli... Më shumë? Fusha e veprimtarisë, fusha e eksperimenteve. Pershendetje humaniste! …Nga kursi shkollor? Fushë elektrike, magnetike, elektromagnetike..., në rregull. Fusha gravitacionale e Tokës në të cilën gjendemi. E shkëlqyeshme! Pra, kush e tha këtë për fushën? e vlefshme Dhe numra komplekse? ...disa monstra janë mbledhur këtu! =) Fatmirësisht algjebër tashmë ka kaluar.

Në mësimet e ardhshme do të njihemi me një koncept specifik fusha, shembuj konkretë nga jeta, dhe gjithashtu mësoni të zgjidhni detyra tematike analiza vektoriale. Teoria e fushës studiohet më së miri, siç e merrni me mend saktë, në një fushë - natyrë, ku ka një pyll, një lumë, një liqen, një shtëpi fshati dhe i ftoj të gjithë të zhyten, nëse jo në realitetin e ngrohtë të verës, atëherë në kujtime të këndshme:

Fushat në kuptimin e konsideruar sot janë skalar Dhe vektoriale, dhe ne do të fillojmë me "blloqet e tyre ndërtimore".

Së pari, skalar. Shumë shpesh ky term identifikohet gabimisht me numri. Jo, gjërat janë pak më ndryshe: skalarështë një sasi, secila vlerë e së cilës mund të shprehet vetëm një numër. Ka shumë shembuj në fizikë: gjatësia, gjerësia, sipërfaqja, vëllimi, dendësia, temperatura, etj. E gjithë kjo sasitë skalare. Dhe, nga rruga, masa është gjithashtu një shembull.

Së dyti, vektoriale. Përkufizim algjebrik vektor që preka në mësimin rreth transformimet lineare dhe një nga mishërimet e tij private është thjesht e pamundur të mos e dish=) Tipike vektoriale shprehet dy ose më shumë numrat(me koordinatat tuaja). Dhe madje edhe për një vektor njëdimensional vetëm një numër jo mjaftueshëm– për arsye se vektori ka edhe drejtim. Dhe pika e aplikimit nëse vektori jo falas. Vektorët karakterizojnë fushat e forcës fizike, shpejtësinë dhe shumë sasi të tjera.

Epo, tani mund të filloni të korrni tranguj alumini:

Fushë skalar

Nëse secili ndonjë pikë zonat e hapësirës në përputhje një numër të caktuar(më shpesh reale), pastaj thonë se në këtë zonë jepet fushë skalare.

Konsideroni, për shembull, një pingul që buron nga toka rreze. Ngjitni një lopatë për qartësi =) Çfarë fusha skalare mund të pyes në këtë rreze? Gjëja e parë që të vjen në mendje është fusha e lartësisë– kur secilës pikë të traut i caktohet lartësia mbi nivelin e tokës. Ose, për shembull, fushë presioni atmosferik – këtu korrespondon çdo pikë e rrezes vlerë numerike presioni atmosferik në një pikë të caktuar.

Tani le t'i afrohemi liqenit dhe të vizatojmë mendërisht një aeroplan mbi sipërfaqen e tij. Nëse secila pikë e fragmentit të "ujit" të avionit lidhet me thellësinë e liqenit, atëherë, ju lutem, jepet fusha skalare. Në të njëjtat pika, mund të merrni parasysh sasi të tjera skalare, për shembull, temperaturën e sipërfaqes së ujit.

Prona më e rëndësishme fushë skalare është e tij pandryshueshmëria në raport me sistemin e koordinatave. Nëse përkthehet në gjuha njerëzore, atëherë pa marrë parasysh se nga cila anë shikojmë lopatën / liqenin - një fushë skalar (lartësia, thellësia, temperatura, etj.) kjo nuk do të ndryshojë. Për më tepër, fusha skalare, të themi, thellësia, mund të vendoset në një sipërfaqe tjetër, për shembull, në një sipërfaqe të përshtatshme hemisferën, ose direkt në sipërfaqe ujore. Pse jo? A nuk është e mundur të caktohet një numër në secilën pikë të hemisferës që ndodhet mbi liqen? Unë sugjerova rrafshimin vetëm për hir të lehtësisë.

Le të shtojmë edhe një koordinatë. Merrni një gur në dorë. Çdo pikë e këtij guri mund t'i caktohet asaj dendësia fizike . Dhe përsëri - pa marrë parasysh se në cilin sistem koordinativ e konsiderojmë, pavarësisht se si e kthejmë në dorë - fusha e densitetit skalar do të mbetet e pandryshuar. Megjithatë, disa njerëz mund ta kundërshtojnë këtë fakt =) I tillë është guri filozofik.

Me të pastër pikë matematikore vizion (përtej kuptimit fizik ose kuptimit tjetër privat) fushat skalare janë specifikuar tradicionalisht nga funksionet tona "të zakonshme". një , dy , tre Dhe më shumë sasi variablave. Në të njëjtën kohë, në teorinë e fushës përdoren gjerësisht atributet tradicionale të këtyre funksioneve, si p.sh fusha e përkufizimit, linjat dhe sipërfaqet e nivelit.

ME hapësirë tredimensionale gjithçka është e ngjashme:
– këtu, çdo pikë e lejuar në hapësirë shoqërohet me një vektor me fillim në një pikë të caktuar. “Pranueshmëria” përcaktohet nga domenet e përcaktimit të funksioneve, dhe nëse secila prej tyre është e përcaktuar për të gjitha “X”, “E”, “Z”, atëherë fusha vektoriale do të specifikohet në të gjithë hapësirën.

! Emërtimet : fushat vektoriale gjithashtu shënohen me shkronjën ose, dhe përbërësit e tyre me ose, përkatësisht.

Nga sa më sipër, ka qenë prej kohësh e qartë se, të paktën matematikisht, fushat skalare dhe vektoriale mund të përcaktohen në të gjithë hapësirën. Megjithatë, me të përshtatshme shembuj fizikë Unë isha ende i kujdesshëm, sepse koncepte të tilla si temperatura, gravitetit(ose të tjerët) në fund të fundit diku mund të mos ekzistojë fare. Por ky nuk është më tmerr, por Fantashkencë=) Dhe jo vetëm fantashkencë. Sepse era, si rregull, nuk fryn brenda gurëve.

Duhet theksuar se disa fusha vektoriale (fusha me të njëjtën shpejtësi) ndryshojnë me shpejtësi me kalimin e kohës, dhe për këtë arsye në shumë modelet fizike merrni parasysh një variabël shtesë të pavarur. Nga rruga, e njëjta gjë vlen edhe për fushat skalare - temperatura, në fakt, gjithashtu nuk është "ngrirë" në kohë.

Sidoqoftë, brenda kornizës së matematikës, ne do të kufizohemi në trinitetin dhe kur fusha të tilla "takohen" ne do të nënkuptojmë një moment të caktuar në kohë ose një kohë gjatë së cilës fusha nuk ka ndryshuar.

Linjat vektoriale

Nëse përshkruhen fusha skalare vijat dhe sipërfaqet e niveluara, atëherë mund të karakterizohet “forma” e fushës vektoriale vijat vektoriale. Shumë njerëz ndoshta e mbajnë mend këtë përvojën e shkollës: një magnet vendoset nën një fletë letre dhe sipër (le të shohim!) derdhen tallash hekuri, të cilat thjesht “rreshtohen” përgjatë vijave të fushës.

Do të përpiqem ta formuloj më thjesht: çdo pikë e një linje vektoriale është fillimi vektori i fushës, e cila shtrihet në tangjenten në një pikë të caktuar:

Natyrisht, vektorët e linjës në rast i përgjithshëm kanë gjatësi të ndryshme, kështu që në figurën e mësipërme, kur lëvizim nga e majta në të djathtë, gjatësia e tyre rritet - këtu mund të supozojmë se po i afrohemi, për shembull, një magneti. Në forcat e sigurisë fushat fizike linjat vektoriale quhen në atë mënyrë - linjat e energjisë. Një shembull tjetër, më i thjeshtë është fusha gravitacionale e Tokës: e saj linjat e energjisë përfaqësojnë rrezet me fillimin në qendër të planetit, dhe vektorët gravitetit të vendosura drejtpërdrejt në vetë rrezet.

Vijat vektoriale të fushave të shpejtësisë quhen linjat aktuale. Imagjinoni përsëri stuhi pluhuri– grimcat e pluhurit së bashku me molekulat e ajrit lëvizin përgjatë këtyre vijave. Ngjashëm me lumin: trajektoret përgjatë të cilave lëvizin molekulat e lëngut (dhe jo vetëm) - në fjalë për fjalë dhe ka linja rrjedhëse. Në përgjithësi, shumë koncepte të teorisë së fushës vijnë nga hidrodinamika, të cilat do t'i hasim më shumë se një herë.

Nëse një fushë vektoriale "e sheshtë" jepet nga një funksion jozero, atëherë linjat e fushës së saj mund të gjenden nga ekuacioni diferencial. Zgjidhje ekuacioni i dhënë grupe familjare vijat vektoriale në një rrafsh. Ndonjëherë në detyra është e nevojshme të vizatoni disa linja të tilla, të cilat zakonisht nuk shkaktojnë vështirësi - ne zgjodhëm disa vlera të përshtatshme të "tse", vizatuam disa hiperbolat, dhe porositni.

Situata me një fushë vektoriale hapësinore është më interesante. Linjat e saj të fushës përcaktohen nga relacionet . Këtu duhet të vendosim sistemi i dy ekuacioneve diferenciale dhe merrni dy familje sipërfaqet hapësinore. Vijat e kryqëzimit të këtyre familjeve do të jenë vija vektoriale hapësinore. Nëse të gjithë përbërësit ("pe", "ku", "er") janë jo zero, atëherë ka disa zgjidhje teknike. Unë nuk do t'i konsideroj të gjitha këto metoda. (sepse artikulli do të rritet në madhësi të pahijshme), por do të fokusohem në një rast të përbashkët të veçantë, kur një nga komponentët e fushës vektoriale është i barabartë me zero. Le të rendisim të gjitha opsionet menjëherë:

nëse , atëherë sistemi duhet të zgjidhet;
nëse , atëherë sistemi;
dhe nëse , atëherë .

Dhe për disa arsye ne nuk kemi pasur praktikë për një kohë të gjatë:

Shembulli 1

Gjeni linjat e fushës së fushës vektoriale

Zgjidhje: në këtë problem, prandaj ne e zgjidhim sistemi:

Kuptimi është shumë i thjeshtë. Pra, nëse një funksion specifikon një fushë skalare të thellësisë së liqenit, atëherë funksioni vektorial përkatës përcakton grupin jo të lirë vektorë, secili prej të cilëve tregon një drejtim rritje të shpejtë fund në një pikë ose në një tjetër dhe shpejtësia e kësaj rritjeje.

Nëse një funksion specifikon një fushë të temperaturës skalare të një rajoni të caktuar të hapësirës, atëherë fusha vektoriale përkatëse karakterizon drejtimin dhe shpejtësinë ngrohja më e shpejtë hapësirë në çdo pikë të kësaj zone.

Le të shohim gjeneralin problem matematike:

Shembulli 3

Jepet një fushë skalare dhe një pikë. Kërkohet:

1) kompozoni funksionin e gradientit të fushës skalare;

E cila është e barabartë me diferenca potenciale .

Me fjalë të tjera, në një fushë potenciale vetëm fillestari dhe pika fundore rrugës. Dhe nëse këto pika përkojnë, atëherë puna totale e forcave përgjatë një konture të mbyllur do të jetë e barabartë me zero:

Le të marrim një pendë nga toka dhe ta dorëzojmë në pikën e fillimit. Në këtë rast, trajektorja e lëvizjes sonë është përsëri arbitrare; madje mund ta lësh stilolapsin, ta marrësh sërish, etj.

Pse rezultati përfundimtar është zero?

A ra pendë nga pika "a" në pikën "b"? Ajo ra. Forca e gravitetit bëri punën.

A e goditi stilolapsi pikën "a" prapa? E kuptova. Kjo do të thotë se është bërë saktësisht e njëjta punë kundër gravitetit, dhe nuk ka rëndësi se çfarë "aventurash" dhe me çfarë forcash - edhe nëse era e shpërtheu.

Shënim : Në fizikë, shenja minus simbolizon drejtimin e kundërt.

Kështu, puna totale e bërë nga forcat është zero:

Siç e kam vërejtur tashmë, koncepti fizik dhe laik i punës janë të ndryshëm. Dhe ky ndryshim do t'ju ndihmojë të kuptoni mirë jo një pendë apo edhe një tullë, por, për shembull, një piano :)

Së bashku, ngrini pianon dhe uleni poshtë shkallëve. Tërhiqeni atë në rrugë. Sa të duash dhe ku të duash. Dhe nëse askush nuk e quajti budallain, kthejeni instrumentin. a keni punuar? Sigurisht. Deri në djersën e shtatë. Por nga pikëpamja e fizikës nuk është bërë asnjë punë.

Shprehja "ndryshim potencial" është joshëse për të folur më shumë për fushën e mundshme elektrostatike, por tronditja e lexuesve tuaj nuk është disi aspak njerëzore =) Për më tepër, ka shembuj të panumërt, sepse çdo fushë gradient është potencial, nga të cilat ka një qindarkë një duzinë.

Por është e lehtë të thuash "një monedhë një duzinë": këtu na jepet një fushë vektoriale - si të përcaktohet nëse është i mundshëm apo jo?

Rotori i fushës vektoriale

Ose ai vorbull komponent, i cili shprehet edhe me vektorë.

Le të marrim përsëri pendën në duar dhe ta dërgojmë me kujdes duke notuar poshtë lumit. Për pastërtinë e eksperimentit, do të supozojmë se është homogjen dhe simetrik në raport me qendrën e tij. Boshti ngjitet lart.

Le të shqyrtojmë fushë vektoriale shpejtësia aktuale dhe një pikë e caktuar në sipërfaqen e ujit mbi të cilën ndodhet qendra e pendës.

Nëse në në këtë pikë stilolapsi rrotullohet në drejtim të kundërt të akrepave të orës, atëherë ne do ta përputhim atë me atë në dalje jo të lirë vektor lart. Në të njëjtën kohë, sa më shpejt të rrotullohet stilolapsi, aq më i gjatë është ky vektor, ... për disa arsye më duket kaq i zi në rrezet e ndritshme të diellit ... Nëse rrotullimi ndodh në drejtim të akrepave të orës, atëherë vektori "duket" poshtë. Nëse stilolapsi nuk rrotullohet fare, atëherë vektori është zero.

Takohuni - kjo është ajo vektor i rotorit fusha vektoriale e shpejtësisë, karakterizon drejtimin e "rrotullimit" të lëngut brenda në këtë pikë Dhe shpejtësia këndore rrotullimi i stilolapsit (por jo drejtimi ose shpejtësia e vetë rrymës!).

Është absolutisht e qartë se të gjitha pikat e lumit kanë një vektor rrotullues (përfshirë ato "nën ujë"), pra, për fusha vektoriale e shpejtësisë së rrymës ne kemi përcaktuar një fushë të re vektoriale!

Nëse një fushë vektoriale jepet nga një funksion, atëherë fusha e saj e rotorit jepet si më poshtë funksioni vektor:

Për më tepër, nëse vektorët fusha e rotorit lumenjtë janë të mëdhenj në përmasa dhe priren të ndryshojnë drejtim, kjo nuk do të thotë aspak se po flasim për një lumë gjarpërues dhe të shqetësuar. (kthehu tek shembulli). Kjo situatë mund të vërehet edhe në një kanal të drejtë - kur, për shembull, shpejtësia është më e lartë në mes dhe më e ulët pranë brigjeve. Kjo do të thotë, gjenerohet rrotullimi i stilolapsit shpejtësi të ndryshme rrymat V fqinje linjat aktuale.

Nga ana tjetër, nëse vektorët e rotorit janë të shkurtër, atëherë mund të jetë një lumë malor "dredha-dredha"! Është e rëndësishme që në linjat e rrymës ngjitur shpejtësia e vetë rrymës (i shpejtë ose i ngadalshëm) ndryshonte pak.

Dhe së fundi, ne i përgjigjemi pyetjes së parashtruar më sipër: në çdo moment fushë potenciale rotori i tij është zero:

Ose më mirë, vektori zero.

Fusha potenciale quhet gjithashtu irrotacionale fushë.

Një rrjedhë "ideale", natyrisht, nuk ekziston, por mjaft shpesh mund të vërehet kjo fusha e shpejtësisë lumenjtë janë afër potencialit - ata notojnë me qetësi artikuj të ndryshëm dhe mos rrotullo, ...e prezantove edhe këtë foto? Sidoqoftë, ata mund të notojnë shumë shpejt, dhe përgjatë një kthese, dhe më pas ngadalësojnë, pastaj shpejtojnë - është e rëndësishme që shpejtësia e rrymës të jetë në linjat e rrymës ngjitur u ruajt konstante.

Dhe, sigurisht, fusha jonë e vdekshme gravitacionale. Për eksperimentin e ardhshëm, ndonjë mjaft i rëndë dhe objekt homogjen, për shembull, një libër i mbyllur, një kanaçe birre e pahapur, ose, meqë ra fjala, një tullë që ka pritur në krahë =) Kapni skajet e saj me duar, ngrijeni lart dhe lëshojeni me kujdes në rënia e lirë. Nuk do të rrotullohet. Dhe nëse po, atëherë kjo është "përpjekja juaj personale" ose tulla që morët ishte e gabuar. Mos u bëni dembel dhe kontrolloni këtë fakt! Vetëm mos hidhni asgjë nga dritarja, nuk është më pendë

Pas së cilës me ndërgjegje e pastër Dhe ton i rritur mund të ktheheni në detyra praktike:

Shembulli 5

Tregoni se një fushë vektoriale është potenciale dhe gjeni potencialin e saj

Zgjidhje: kushti tregon drejtpërdrejt potencialin e fushës dhe detyra jonë është ta vërtetojmë këtë fakt. Le të gjejmë funksionin e rotorit ose, siç thonë më shpesh, rotorin e një fushe të caktuar:

Për lehtësi, ne shkruajmë përbërësit e fushës:

dhe le të fillojmë t'i gjejmë ato derivatet e pjesshme- është i përshtatshëm për t'i "renditur" ato në një rend "rrotullues", nga e majta në të djathtë:
- Dhe menjëherë kontrollojeni atë (për të shmangur kryerjen e punëve shtesë në rast të një rezultati jo zero). Le të vazhdojmë: