Kryeni një studim të plotë të këtyre funksioneve dhe ndërtoni grafikët e tyre. Ekzaminimi i plotë i funksionit dhe vizatimi i grafikut

Kryen hulumtim të plotë dhe vizatoni funksionin

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Shtrirja e funksionit. Meqenëse funksioni është një thyesë, ne duhet të gjejmë zerot e emëruesit.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Përjashtojmë pikën e vetme x=1x=1 nga fusha e përcaktimit të funksionit dhe marrim:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Le të studiojmë sjelljen e funksionit në afërsi të pikës së ndërprerjes. Le të gjejmë kufijtë e njëanshëm:

Meqenëse kufijtë janë të barabartë me pafundësinë, pika x=1x=1 është një ndërprerje e llojit të dytë, drejtëza x=1x=1 është një asimptotë vertikale.

3) Le të përcaktojmë pikat e kryqëzimit të grafikut të funksionit me boshtet e koordinatave.

Le të gjejmë pikat e kryqëzimit me boshtin e ordinatave OyOy, për të cilat barazojmë x=0x=0:

Kështu, pika e kryqëzimit me boshtin OyOy ka koordinata (0;8)(0;8).

Le të gjejmë pikat e kryqëzimit me boshtin e abshisave OxOx, për të cilat vendosim y=0y=0:

Ekuacioni nuk ka rrënjë, kështu që nuk ka pika kryqëzimi me boshtin OxOx.

Vini re se x2+8>0x2+8>0 për çdo xx. Prandaj, për x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) funksioni y>0y>0(merr vlerat pozitive, grafiku është mbi boshtin x), për funksionin x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funksioni nuk është as çift dhe as tek sepse:

5) Le të shqyrtojmë funksionin për periodicitetin. Funksioni nuk është periodik, pasi është një funksion racional thyesor.

6) Le të shqyrtojmë funksionin për ekstreme dhe monotoni. Për ta bërë këtë, gjejmë derivatin e parë të funksionit:

Le të barazojmë derivatin e parë me zero dhe të gjejmë pika të palëvizshme(në të cilën y′=0y′=0):

Ne morëm tre pika kritike: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Le të ndajmë të gjithë fushën e përkufizimit të funksionit në intervale me këto pika dhe të përcaktojmë shenjat e derivatit në çdo interval:

Për x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) derivati ​​y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Për x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) derivatin y′>0y′>0, funksioni rritet në këto intervale.

Në këtë rast, x=−2x=−2 është një pikë minimale lokale (funksioni zvogëlohet dhe më pas rritet), x=4x=4 është një pikë maksimale lokale (funksioni rritet dhe më pas zvogëlohet).

Le të gjejmë vlerat e funksionit në këto pika:

Kështu, pika minimale është (−2;4)(−2;4), pika maksimale është (4;−8)(4;−8).

7) Ne ekzaminojmë funksionin për përthyerje dhe konveksitet. Le të gjejmë derivatin e dytë të funksionit:

Le të barazojmë derivatin e dytë me zero:

Ekuacioni që rezulton nuk ka rrënjë, kështu që nuk ka pika lakimi. Për më tepër, kur x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 është i kënaqur, pra funksioni është konkav, kur x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) është i kënaqur me y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Le të shqyrtojmë sjelljen e funksionit në pafundësi, domethënë në .

Meqenëse kufijtë janë të pafund, nuk ka asimptota horizontale.

Le të përpiqemi të përcaktojmë asimptota të zhdrejta të formës y=kx+nga=kx+b. Ne llogarisim vlerat e k,bk,b duke përdorur formulat e njohura:

Ne zbuluam se funksioni ka një asimptotë të zhdrejtë y=−x−1y=−x−1.

9) Pikat shtesë. Le të llogarisim vlerën e funksionit në disa pika të tjera për të ndërtuar më saktë grafikun.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) Bazuar në të dhënat e marra, do të ndërtojmë një grafik, do ta plotësojmë me asimptota x=1x=1 (blu), y=−x−1y=−x−1 (jeshile) dhe do të shënojmë pikat karakteristike (prerja vjollce me ordinatën boshti, skajet portokalli, pikat shtesë të zeza):

Detyra 4: Probleme gjeometrike, ekonomike (nuk e kam idenë se çfarë, këtu është një përzgjedhje e përafërt e problemeve me zgjidhje dhe formula)

Shembulli 3.23. a

Zgjidhje. x Dhe y y
y = a - 2×a/4 =a/2. Meqenëse x = a/4 është e vetmja pikë kritike, le të kontrollojmë nëse shenja e derivatit ndryshon kur kalon në këtë pikë. Për xa/4 S "> 0, dhe për x >a/4 S"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Shembulli 3.24.

Zgjidhje.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Shembulli 3.22. Gjeni ekstremin e funksionit f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Zgjidhje. Meqenëse f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x‑2)(x - 3), atëherë pikat kritike të funksionit x 1 = 2 dhe x 2 = 3. Ekstrema mund të jetë vetëm në Pra, kur kalon në pikën x 1 = 2, derivati ​​ndryshon shenjën e tij nga plus në minus, atëherë në këtë pikë funksioni ka një maksimum kur kalon në pikën x 2 = 3 në plus, pra në pikën x 2 = 3 funksioni ka një minimum pasi të ketë llogaritur vlerat e funksionit në pika
x 1 = 2 dhe x 2 = 3, gjejmë ekstremin e funksionit: maksimumi f(2) = 14 dhe minimumi f(3) = 13.

Shembulli 3.23.Është e nevojshme të ndërtohet një zonë drejtkëndëshe pranë murit prej guri në mënyrë që të rrethohet nga tre anët me rrjetë teli dhe ana e katërt të jetë ngjitur me murin. Për këtë ka a metra lineare rrjetë. Në çfarë raporti aspekti do të ketë siti zonën më të madhe?

Zgjidhje. Le të shënojmë anët e platformës me x Dhe y. Zona e sitit është S = xy. Le y- kjo është gjatësia e anës ngjitur me murin. Pastaj, sipas kushtit, duhet të jetë barazia 2x + y = a. Prandaj y = a - 2x dhe S = x(a - 2x), ku
0 ≤ x ≤ a/2 (gjatësia dhe gjerësia e jastëkut nuk mund të jenë negative). S " = a - 4x, a - 4x = 0 në x = a/4, prej nga
y = a - 2×a/4 =a/2. Meqenëse x = a/4 është e vetmja pikë kritike, le të kontrollojmë nëse shenja e derivatit ndryshon kur kalon në këtë pikë. Për xa/4 S "> 0, dhe për x >a/4 S"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Shembulli 3.24. Kërkohet prodhimi i një depozite cilindrike të mbyllur me kapacitet V=16p ≈ 50 m 3 . Cilat duhet të jenë dimensionet e rezervuarit (rrezja R dhe lartësia H) në mënyrë që të përdoret sa më pak material për prodhimin e tij?

Zgjidhje. Sipërfaqja totale e cilindrit është S = 2pR(R+H). Dihet vëllimi i cilindrit V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Kjo do të thotë S(R) = 2p (R 2 +16/R). Gjejmë derivatin e këtij funksioni:
S "(R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S" (R) = 0 për R 3 = 8, pra,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Informacione të lidhura.

Pikat e referencës gjatë studimit të funksioneve dhe ndërtimit të grafikëve të tyre janë pikat karakteristike - pikat e ndërprerjes, ekstremit, lakimit, kryqëzimit me boshtet koordinative. Duke përdorur llogaritja diferencialeështë e mundur të përcaktohen tiparet karakteristike të ndryshimeve në funksione: rritje dhe ulje, maksimum dhe minimum, drejtimi i konveksitetit dhe konkavitetit të grafikut, prania e asimptotave.

Një skicë e grafikut të funksionit mund (dhe duhet) të vizatohet pasi të gjenden asimptotat dhe pikat ekstreme, dhe është e përshtatshme të plotësoni tabelën përmbledhëse të studimit të funksionit ndërsa studimi përparon.

Zakonisht përdoret skema e mëposhtme e studimit të funksionit.

1.Gjeni domenin e përkufizimit, intervalet e vazhdimësisë dhe pikat e ndërprerjes së funksionit.

2.Ekzaminoni funksionin për barazi ose çuditshmëri (simetria boshtore ose qendrore e grafikut.

3.Gjeni asimptota (vertikale, horizontale ose të zhdrejtë).

4.Gjeni dhe studioni intervalet e rritjes dhe uljes së funksionit, pikat ekstreme të tij.

5.Gjeni intervalet e konveksitetit dhe konkavitetit të kurbës, pikat e lakimit të saj.

6.Gjeni pikat e kryqëzimit të kurbës me boshtet e koordinatave, nëse ato ekzistojnë.

7.Hartoni një tabelë përmbledhëse të studimit.

8.Ndërtohet një grafik, duke marrë parasysh studimin e funksionit të kryer sipas pikave të përshkruara më sipër.

Shembull. Funksioni i eksplorimit

dhe ndërtoni grafikun e tij.

7. Të përpilojmë një tabelë përmbledhëse për studimin e funksionit, ku do të fusim të gjitha pikat karakteristike dhe intervalet ndërmjet tyre. Duke marrë parasysh paritetin e funksionit, marrim tabelën e mëposhtme:

Nëse problemi kërkon një studim të plotë të funksionit f (x) = x 2 4 x 2 - 1 me ndërtimin e grafikut të tij, atëherë do ta shqyrtojmë këtë parim në detaje.

Për të zgjidhur një problem të këtij lloji, duhet të përdorni vetitë dhe grafikët e kryesore funksionet elementare. Algoritmi i kërkimit përfshin hapat e mëposhtëm:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Gjetja e fushës së përkufizimit

Meqenëse hulumtimi kryhet në fushën e përcaktimit të funksionit, është e nevojshme të fillohet me këtë hap.

Shembulli 1

Për ky shembull përfshin gjetjen e zerove të emëruesit për t'i përjashtuar ato nga ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Si rezultat, ju mund të merrni rrënjë, logaritme, etj. Pastaj ODZ mund të kërkohet për një rrënjë të një shkalle çift të tipit g (x) 4 nga pabarazia g (x) ≥ 0, për logaritmin log a g (x) nga pabarazia g (x) > 0.

Studimi i kufijve të ODZ dhe gjetja e asimptotave vertikale

Ka asimptota vertikale në kufijtë e funksionit, kur kufijtë e njëanshëm në pika të tilla janë të pafundme.

Shembulli 2

Për shembull, merrni parasysh pikat kufitare të barabarta me x = ± 1 2.

Pastaj është e nevojshme të studiohet funksioni për të gjetur kufirin e njëanshëm. Atëherë marrim se: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Kjo tregon se kufijtë e njëanshëm janë të pafund, që do të thotë se drejtëzat x = ± 1 2 janë asimptota vertikale të grafikut.

Studimi i një funksioni dhe nëse është çift apo tek

Kur kushti y (- x) = y (x) plotësohet, funksioni konsiderohet çift. Kjo sugjeron që grafiku ndodhet në mënyrë simetrike në lidhje me Oy. Kur kushti y (- x) = - y (x) plotësohet, funksioni konsiderohet tek. Kjo do të thotë se simetria është relative me origjinën e koordinatave. Nëse të paktën një pabarazi nuk plotësohet, marrim një funksion të formës së përgjithshme.

Barazia y (- x) = y (x) tregon se funksioni është çift. Gjatë ndërtimit, është e nevojshme të merret parasysh se do të ketë simetri në lidhje me Oy.

Për të zgjidhur pabarazinë, përdoren intervalet e rritjes dhe zvogëlimit me kushtet f " (x) ≥ 0 dhe f " (x) ≤ 0, përkatësisht.

Përkufizimi 1

Pikat e palëvizshme- këto janë pikat që e kthejnë derivatin në zero.

Pikat kritike- Kjo pikat e brendshme nga fusha e përkufizimit ku derivati ​​i funksionit është zero ose nuk ekziston.

Kur merrni një vendim, duhet të merren parasysh shënimet e mëposhtme:

• për intervalet ekzistuese të pabarazive në rritje dhe në ulje të formës f " (x) > 0, pikat kritike nuk përfshihen në zgjidhje;
• pikat në të cilat funksioni është përcaktuar pa një derivat të fundëm duhet të përfshihen në intervalet e rritjes dhe zvogëlimit (për shembull, y = x 3, ku pika x = 0 e bën funksionin të përcaktuar, derivati ​​ka vlerën e pafundësisë në këtë pika, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 përfshihet në intervalin në rritje);
• Për të shmangur mosmarrëveshjet, rekomandohet përdorimi i literaturës matematikore të rekomanduar nga Ministria e Arsimit.

Përfshirja e pikave kritike në intervalet e rritjes dhe zvogëlimit nëse ato plotësojnë domenin e përcaktimit të funksionit.

Përkufizimi 2

Për Përcaktimi i intervaleve të rritjes dhe uljes së një funksioni, është e nevojshme të gjendet:

• derivat;
• pikat kritike;
• ndani domenin e përkufizimit në intervale duke përdorur pikat kritike;
• përcaktoni shenjën e derivatit në secilin nga intervalet, ku + është një rritje dhe - është një rënie.

Shembulli 3

Gjeni derivatin në domenin e përkufizimit f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Zgjidhje

Për të zgjidhur ju duhet:

• gjeni pika të palëvizshme, ky shembull ka x = 0;
• gjeni zerot e emëruesit, shembulli merr vlerën zero në x = ± 1 2.

Vendosim pika në boshtin e numrave për të përcaktuar derivatin në çdo interval. Për ta bërë këtë, mjafton të marrësh çdo pikë nga intervali dhe të kryesh një llogaritje. Në rezultat pozitiv Në grafik ne përshkruajmë +, që do të thotë se funksioni po rritet dhe - do të thotë se po zvogëlohet.

Për shembull, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, që do të thotë se intervali i parë në të majtë ka një shenjë +. Merrni parasysh vijën numerike.

Përgjigje:

• funksioni rritet në intervalin - ∞; - 1 2 dhe (- 1 2 ; 0 ] ;
• ka një ulje të intervalit [0; 1 2) dhe 1 2 ; + ∞ .

Në diagram, duke përdorur + dhe -, përshkruhen pozitiviteti dhe negativiteti i funksionit, dhe shigjetat tregojnë ulje dhe rritje.

Pikat ekstreme të një funksioni janë pikat ku përcaktohet funksioni dhe përmes të cilave derivati ​​ndryshon shenjën.

Shembulli 4

Nëse marrim parasysh një shembull ku x = 0, atëherë vlera e funksionit në të është e barabartë me f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Kur shenja e derivatit ndryshon nga + në - dhe kalon në pikën x = 0, atëherë pika me koordinata (0; 0) konsiderohet pika maksimale. Kur shenja ndryshon nga - në +, marrim një pikë minimale.

Konveksiteti dhe konkaviteti përcaktohen duke zgjidhur pabarazitë e formës f "" (x) ≥ 0 dhe f "" (x) ≤ 0. Më pak i përdorur është emri konveksitet poshtë në vend të konkavitetit, dhe konveksitet lart në vend të konveksitetit.

Përkufizimi 3

Për përcaktimi i intervaleve të konkavitetit dhe konveksitetit nevojshme:

• gjeni derivatin e dytë;
• gjeni zerot e funksionit të dytë derivat;
• ndani zonën e përkufizimit në intervale me pikat që shfaqen;
• përcaktoni shenjën e intervalit.

Shembulli 5

Gjeni derivatin e dytë nga fusha e përkufizimit.

Zgjidhje

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Gjejmë zerot e numëruesit dhe të emëruesit, ku në shembullin tonë kemi se zerot e emëruesit x = ± 1 2

Tani ju duhet të vendosni pikat boshti numerik dhe përcaktoni shenjën e derivatit të dytë nga çdo interval. Ne e kuptojmë atë

Përgjigje:

• funksioni është konveks nga intervali - 1 2 ; 1 2 ;
• funksioni është konkav nga intervalet - ∞ ; - 1 2 dhe 1 2; + ∞ .

Përkufizimi 4

Pika e lakimit– kjo është një pikë e formës x 0 ; f (x 0) . Kur ka një tangjente me grafikun e funksionit, atëherë kur kalon në x 0 funksioni ndryshon shenjën në të kundërtën.

Me fjalë të tjera, kjo është një pikë nëpër të cilën kalon derivati ​​i dytë dhe ndryshon shenjën, dhe në vetë pikat është e barabartë me zero ose nuk ekziston. Të gjitha pikat konsiderohen të jenë domeni i funksionit.

Në shembull, ishte e qartë se nuk kishte pika lakimi, pasi derivati ​​i dytë ndryshon shenjën ndërsa kalon nëpër pikat x = ± 1 2. Ata, nga ana tjetër, nuk përfshihen në fushën e përkufizimit.

Gjetja e asimptotave horizontale dhe të zhdrejta

Kur përcaktoni një funksion në pafundësi, duhet të kërkoni asimptota horizontale dhe të zhdrejta.

Përkufizimi 5

Asimptota të zhdrejta përshkruhen duke përdorur vija të drejta, dhënë nga ekuacioni y = k x + b, ku k = lim x → ∞ f (x) x dhe b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Për k = 0 dhe b jo të barabartë me pafundësinë, gjejmë se asimptota e zhdrejtë bëhet horizontale.

Me fjalë të tjera, asimptotat konsiderohen si vija të cilave grafiku i një funksioni afrohet në pafundësi. Kjo lehtëson ndërtimin e shpejtë të një grafiku funksioni.

Nëse nuk ka asimptota, por funksioni është i përcaktuar në të dyja pafundësitë, është e nevojshme të llogaritet kufiri i funksionit në këto pafundësi për të kuptuar se si do të sillet grafiku i funksionit.

Shembulli 6

Le ta konsiderojmë si shembull atë

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

është një asimptotë horizontale. Pasi të keni ekzaminuar funksionin, mund të filloni ta ndërtoni atë.

Llogaritja e vlerës së një funksioni në pikat e ndërmjetme

Për ta bërë grafikun më të saktë, rekomandohet të gjeni disa vlera funksioni në pikat e ndërmjetme.

Shembulli 7

Nga shembulli që shqyrtuam, është e nevojshme të gjejmë vlerat e funksionit në pikat x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Meqenëse funksioni është i barabartë, marrim që vlerat përkojnë me vlerat në këto pika, domethënë, marrim x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Le të shkruajmë dhe zgjidhim:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Për të përcaktuar maksimumin dhe minimumin e funksionit, pikat e lakimit dhe pikat e ndërmjetme, është e nevojshme të ndërtohen asimptota. Për përcaktim të përshtatshëm, regjistrohen intervalet e rritjes, zvogëlimit, konveksitetit dhe konkavitetit. Le të shohim foton më poshtë.

Është e nevojshme të vizatoni linja grafike nëpër pikat e shënuara, të cilat do t'ju lejojnë t'i afroheni asimptotave duke ndjekur shigjetat.

Kjo përfundon eksplorimin e plotë të funksionit. Ka raste të ndërtimit të disa funksioneve elementare për të cilat përdoren shndërrime gjeometrike.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Një nga detyrat më të rëndësishme llogaritja diferenciale është zhvillimi shembuj të zakonshëm studime të sjelljes së funksionit.

Nëse funksioni y=f(x) është i vazhdueshëm në intervalin , dhe derivati ​​i tij është pozitiv ose i barabartë me 0 në intervalin (a,b), atëherë y=f(x) rritet me (f"(x)0) Nëse funksioni y=f (x) është i vazhdueshëm në segmentin , dhe derivati ​​i tij është negativ ose i barabartë me 0 në intervalin (a,b), atëherë y=f(x) zvogëlohet me (f"(x)0. )

Intervalet në të cilat funksioni nuk zvogëlohet ose rritet quhen intervale të monotonitetit të funksionit. Natyra e monotonitetit të një funksioni mund të ndryshojë vetëm në ato pika të fushës së tij të përkufizimit në të cilat ndryshon shenja e derivatit të parë. Pikat në të cilat derivati ​​i parë i një funksioni zhduket ose ka një ndërprerje quhen kritike.

Teorema 1 (1 gjendje e mjaftueshme ekzistenca e një ekstremi).

Le të përcaktohet funksioni y=f(x) në pikën x 0 dhe le të ketë një fqinjësi δ>0 të tillë që funksioni të jetë i vazhdueshëm në interval dhe i diferencueshëm në intervalin (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , dhe derivati ​​i tij ruan një shenjë konstante në secilin prej këtyre intervaleve. Atëherë nëse në x 0 -δ,x 0) dhe (x 0 , x 0 +δ) shenjat e derivatit janë të ndryshme, atëherë x 0 është një pikë ekstreme, dhe nëse ato përkojnë, atëherë x 0 nuk është një pikë ekstreme. . Për më tepër, nëse, kur kalon në pikën x0, derivati ​​ndryshon shenjën nga plus në minus (në të majtë të x 0 f"(x)>0 është i kënaqur, atëherë x 0 është pika maksimale; nëse derivati ​​ndryshon shenjën nga minus në plus (në të djathtë të x 0 ekzekutuar f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Pikat maksimale dhe minimale quhen pikat ekstreme të funksionit, dhe maksimalet dhe minimumet e funksionit quhen vlera ekstreme të tij.

Teorema 2 (një shenjë e nevojshme e një ekstremi lokal).

Nëse funksioni y=f(x) ka një ekstrem në rrymën x=x 0, atëherë as f’(x 0)=0 ose f’(x 0) nuk ekziston.
Në pikat ekstreme të funksionit të diferencueshëm, tangjentja me grafikun e tij është paralele me boshtin Ox.

Algoritmi për studimin e një funksioni për një ekstrem:

1) Gjeni derivatin e funksionit.
2) Gjeni pikat kritike, d.m.th. pikat në të cilat funksioni është i vazhdueshëm dhe derivati ​​është zero ose nuk ekziston.
3) Konsideroni fqinjësinë e secilës pikë dhe shqyrtoni shenjën e derivatit majtas dhe djathtas të kësaj pike.
4) Përcaktoni koordinatat e pikave ekstreme për këtë, zëvendësoni vlerat e pikave kritike në këtë funksion. Duke përdorur kushte të mjaftueshme për ekstremin, nxirrni përfundimet e duhura.

Shembulli 18. Shqyrtoni funksionin y=x 3 -9x 2 +24x për një ekstrem

Zgjidhje.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Duke barazuar derivatin me zero, gjejmë x 1 =2, x 2 =4. Në këtë rast, derivati ​​përcaktohet kudo; Kjo do të thotë se përveç dy pikave të gjetura, nuk ka pika të tjera kritike.
3) Shenja e derivatit y"=3(x-2)(x-4) ndryshon në varësi të intervalit siç tregohet në figurën 1. Kur kalon në pikën x=2, derivati ​​ndryshon shenjën nga plus në minus, dhe kur kalon nëpër pikën x=4 - nga minus në plus.
4) Në pikën x=2 funksioni ka një maksimum y max =20, dhe në pikën x=4 - një minimum y min =16.

Teorema 3. (kushti i dytë i mjaftueshëm për ekzistencën e një ekstremi).

Le të jetë f"(x 0) dhe në pikën x 0 ekziston f""(x 0). Atëherë nëse f""(x 0)>0, atëherë x 0 është pika minimale, dhe nëse f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Në një segment, funksioni y=f(x) mund të arrijë vlerën më të vogël (y më së paku) ose më të madhe (y më të lartën) ose në pikat kritike të funksionit që shtrihen në intervalin (a;b), ose në skajet e segmentit.

Algoritmi për gjetjen e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni të vazhdueshëm y=f(x) në segment:

1) Gjeni f"(x).
2) Gjeni pikat në të cilat f"(x)=0 ose f"(x) nuk ekziston dhe zgjidhni prej tyre ato që shtrihen brenda segmentit.
3) Llogaritni vlerën e funksionit y=f(x) në pikat e marra në hapin 2), si dhe në skajet e segmentit dhe zgjidhni më të madhin dhe më të voglin prej tyre: ato janë, përkatësisht, më të mëdhenjtë (y vlerat më të mëdha) dhe më të vogla (y më pak) të funksionit në interval.

Shembulli 19. Gjeni vlerën më të madhe të funksionit të vazhdueshëm y=x 3 -3x 2 -45+225 në segment.

1) Kemi y"=3x 2 -6x-45 në segment
2) Derivati ​​y" ekziston për të gjitha x. Le të gjejmë pikat në të cilat y"=0; marrim:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) Llogaritni vlerën e funksionit në pikat x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Segmenti përmban vetëm pikën x=5. Më e madhja nga vlerat e gjetura të funksionit është 225, dhe më e vogla është numri 50. Pra, y max = 225, y min = 50.

Studimi i një funksioni në konveksitet

Figura tregon grafikët e dy funksioneve. E para prej tyre është konveks lart, e dyta është konveks poshtë.

Funksioni y=f(x) është i vazhdueshëm në segment dhe i diferencueshëm në intervalin (a;b), quhet konveks lart (poshtë) në këtë segment nëse, për axb, grafiku i tij nuk qëndron më i lartë (jo më i ulët) se tangjente e tërhequr në çdo pikë M 0 (x 0 ;f(x 0)), ku axb.

Teorema 4. Le të ketë funksioni y=f(x) një derivat të dytë në çdo pikë të brendshme x të segmentit dhe të jetë i vazhdueshëm në skajet e këtij segmenti. Atëherë nëse pabarazia f""(x)0 qëndron në intervalin (a;b), atëherë funksioni është konveks poshtë në intervalin ; nëse pabarazia f""(x)0 qëndron në intervalin (a;b), atëherë funksioni është konveks lart në .

Teorema 5. Nëse funksioni y=f(x) ka një derivat të dytë në intervalin (a;b) dhe nëse ndryshon shenjë kur kalon në pikën x 0, atëherë M(x 0 ;f(x 0)) është një pikë përkuljeje.

Rregulla për gjetjen e pikave të lakimit:

1) Gjeni pikat në të cilat f""(x) nuk ekziston ose zhduket.
2) Shqyrtoni shenjën f""(x) majtas dhe djathtas të secilës pikë të gjetur në hapin e parë.
3) Bazuar në teoremën 4, nxirrni një përfundim.

Shembulli 20. Gjeni pikat ekstreme dhe pikat e lakimit të grafikut të funksionit y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Kemi f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Natyrisht, f"(x)=0 kur x 1 =0, x 2 =1. Kur kalon në pikën x=0, derivati ​​ndryshon shenjën nga minus në plus, por kur kalon në pikën x=1 nuk ndryshon shenjë. Kjo do të thotë se x=0 është pika minimale (y min =12), dhe nuk ka ekstrem në pikën x=1. Më pas, gjejmë . Derivati ​​i dytë zhduket në pikat x 1 =1, x 2 =1/3. Shenjat e derivatit të dytë ndryshojnë si më poshtë: Në rreze (-∞;) kemi f""(x)>0, në intervalin (;1) kemi f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Prandaj, x= është pika e lakimit të grafikut të funksionit (kalimi nga konveksiteti poshtë në konveksitet lart) dhe x=1 është gjithashtu pika e përkuljes (kalimi nga konveksiteti lart në konveksitet poshtë). Nëse x=, atëherë y=; nëse, atëherë x=1, y=13.

Algoritmi për gjetjen e asimptotës së grafikut

I. Nëse y=f(x) si x → a, atëherë x=a është një asimptotë vertikale.
II. Nëse y=f(x) si x → ∞ ose x → -∞, atëherë y=A është një asimptotë horizontale.
III. Për të gjetur asimptotë e zhdrejtë ne përdorim algoritmin e mëposhtëm:
1) Llogaritni. Nëse kufiri ekziston dhe është i barabartë me b, atëherë y=b është një asimptotë horizontale; nëse , atëherë shkoni në hapin e dytë.
2) Llogaritni. Nëse ky kufi nuk ekziston, atëherë nuk ka asimptotë; nëse ekziston dhe është e barabartë me k, atëherë shkoni në hapin e tretë.
3) Llogaritni. Nëse ky kufi nuk ekziston, atëherë nuk ka asimptotë; nëse ekziston dhe është e barabartë me b, atëherë shkoni në hapin e katërt.
4) Shkruani ekuacionin e asimptotës së zhdrejtë y=kx+b.

Shembulli 21: Gjeni asimptotën për një funksion

1)
2)
3)
4) Ekuacioni i asimptotës së zhdrejtë ka formën

Skema për studimin e një funksioni dhe ndërtimin e grafikut të tij

I. Gjeni domenin e përkufizimit të funksionit.
II. Gjeni pikat e prerjes së grafikut të funksionit me boshtet e koordinatave.
III. Gjeni asimptota.
IV. Gjeni pikat e mundshme ekstreme.
V. Gjeni pikat kritike.
VI. Duke përdorur figurën ndihmëse, eksploroni shenjën e derivatit të parë dhe të dytë. Përcaktoni zonat e funksionit rritës dhe zbritës, gjeni drejtimin e konveksitetit të grafikut, pikat e skajeve dhe pikat e lakimit.
VII. Ndërtoni një grafik, duke marrë parasysh kërkimin e kryer në paragrafët 1-6.

Shembulli 22: Ndërtoni një grafik të funksionit sipas diagramit të mësipërm

Zgjidhje.
I. Fusha e një funksioni është bashkësia e të gjithë numrave realë përveç x=1.
II. Meqenëse ekuacioni x 2 +1=0 nuk ka rrënjë reale, grafiku i funksionit nuk ka pika të prerjes me boshtin Ox, por e pret boshtin Oy në pikën (0;-1).
III. Le të sqarojmë çështjen e ekzistencës së asimptotave. Le të studiojmë sjelljen e funksionit pranë pikës së ndërprerjes x=1. Meqenëse y → ∞ si x → -∞, y → +∞ si x → 1+, atëherë drejtëza x=1 është asimptota vertikale e grafikut të funksionit.
Nëse x → +∞(x → -∞), atëherë y → +∞(y → -∞); prandaj grafiku nuk ka asimptotë horizontale. Më tej, nga ekzistenca e kufijve

Duke zgjidhur ekuacionin x 2 -2x-1=0 marrim dy pika ekstreme të mundshme:
x 1 =1-√2 dhe x 2 =1+√2

V. Për të gjetur pikat kritike, llogarisim derivatin e dytë:

Meqenëse f""(x) nuk zhduket, nuk ka pika kritike.
VI. Le të shqyrtojmë shenjën e derivatit të parë dhe të dytë. Pikat e mundshme ekstreme që duhen marrë parasysh: x 1 =1-√2 dhe x 2 =1+√2, ndaje domenin e ekzistencës së funksionit në intervale (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) dhe (1+√2;+∞).

Në secilën prej këtyre intervaleve, derivati ​​ruan shenjën e tij: në të parën - plus, në të dytën - minus, në të tretën - plus. Sekuenca e shenjave të derivatit të parë do të shkruhet si më poshtë: +,-,+.
Ne gjejmë se funksioni rritet në (-∞;1-√2), zvogëlohet në (1-√2;1+√2) dhe rritet përsëri në (1+√2;+∞). Pikat ekstreme: maksimumi në x=1-√2, dhe f(1-√2)=2-2√2 minimumi në x=1+√2, dhe f(1+√2)=2+2√2. Në (-∞;1) grafiku është konveks lart, dhe në (1;+∞) është konveks poshtë.
VII Të bëjmë një tabelë të vlerave të fituara

VIII Në bazë të të dhënave të marra ndërtojmë një skicë të grafikut të funksionit

Le të studiojmë funksionin \(y= \frac(x^3)(1-x) \) dhe të ndërtojmë grafikun e tij.

1. Fusha e përkufizimit.
Fusha e përkufizimit të një funksioni (fraksioni) racional do të jetë: emëruesi nuk është i barabartë me zero, d.m.th. \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). Domeni $$D_f= (-\infty; 1) \kupa (1;+\infty)$$

2. Pikat e ndërprerjes së funksionit dhe klasifikimi i tyre.
Funksioni ka një pikë pushimi x = 1
Le të shqyrtojmë pikën x= 1. Le të gjejmë kufirin e funksionit në të djathtë dhe në të majtë të pikës së ndërprerjes, në të djathtë $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1 -x)) = -\infty $$ dhe në të majtë të pikës $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ Kjo është një pikë ndërprerjeje e llojit të dytë sepse kufijtë e njëanshëm janë të barabartë me \(\infty\).

Vija e drejtë \(x = 1\) është një asimptotë vertikale.

3. Pariteti i funksionit.
Ne kontrollojmë për barazi \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) funksioni nuk është as çift dhe as tek.

4. Zerot e funksionit (pikat e prerjes me boshtin Ox). Intervalet e shenjës konstante të një funksioni.
Funksioni zero ( pika e kryqëzimit me boshtin Ox): barazojmë \(y=0\), marrim \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \). Kurba ka një pikë kryqëzimi me boshtin Ox me koordinatat \((0;0)\).

Intervalet e shenjës konstante të një funksioni.
Në intervalet e konsideruara \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) kurba ka një pikë kryqëzimi me boshtin Ox, kështu që do të shqyrtojmë domenin e përkufizimit në tre intervale.

Le të përcaktojmë shenjën e funksionit në intervalet e fushës së përkufizimit:
intervali \((-\infty; 0) \) gjeni vlerën e funksionit në çdo pikë \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
intervali \((0; 1) \) gjejmë vlerën e funksionit në çdo pikë \(f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), në këtë interval funksioni është pozitive \(f(x) > 0 \), d.m.th. ndodhet mbi boshtin Ox.
intervali \((1;+\infty) \) gjeni vlerën e funksionit në çdo pikë \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Pikat e kryqëzimit me boshtin Oy: barazojmë \(x=0\), marrim \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\). Koordinatat e pikës së kryqëzimit me boshtin Oy \((0; 0)\)

6. Intervalet e monotonisë. Ekstrema e një funksioni.
Le të gjejmë pikat kritike (stacionare), për këtë gjejmë derivatin e parë dhe e barazojmë me zero $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1 -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ e barabartë me 0 $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Le të gjejmë vlerën e funksionit në këtë pikë \( f(0) = 0\) dhe \(f(\frac(3)(2)) = -6,75\). Ne morëm dy pika kritike me koordinatat \((0;0)\) dhe \((1.5;-6.75)\)

Intervalet e monotonisë.
Funksioni ka dy pika kritike (pikat e mundshme ekstreme), kështu që ne do të shqyrtojmë monotoninë në katër intervale:
intervali \((-\infty; 0) \) gjeni vlerën e derivatit të parë në çdo pikë të intervalit \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x )^2) >
intervali \((0;1)\) gjejmë vlerën e derivatit të parë në çdo pikë të intervalit \(f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , funksioni rritet gjatë këtij intervali.
intervali \((1;1.5)\) gjejmë vlerën e derivatit të parë në çdo pikë të intervalit \(f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , funksioni rritet gjatë këtij intervali.
intervali \((1.5; +\infty)\) gjeni vlerën e derivatit të parë në çdo pikë të intervalit \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

Ekstrema e një funksioni.

Gjatë studimit të funksionit, kemi marrë dy pika kritike (stacionare) në intervalin e fushës së përkufizimit. Le të përcaktojmë nëse ato janë ekstreme. Le të shqyrtojmë ndryshimin në shenjën e derivatit kur kalojmë nëpër pika kritike:

pika \(x = 0\) derivati ​​ndryshon shenjën me \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) - pika nuk është një ekstrem.
pika \(x = 1.5\) derivati ​​ndryshon shenjën me \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) - pika është një pikë maksimale.

7. Intervalet e konveksitetit dhe konkavitetit. Pikat e lakimit.

Për të gjetur intervalet e konveksitetit dhe konkavitetit, gjejmë derivatin e dytë të funksionit dhe e barazojmë me zero $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$barazohet me zero $$ \frac(2x(x^2-3x+3))((1 -x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Funksioni ka një pikë kritike e llojit të dytë me koordinata \((0;0)\).
Le të përcaktojmë konveksitetin në intervalet e fushës së përkufizimit, duke marrë parasysh një pikë kritike të llojit të dytë (pika e mundshme e lakimit).

intervali \((-\infty; 0)\) gjeni vlerën e derivatit të dytë në çdo pikë \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
intervali \((0; 1)\) gjejmë vlerën e derivatit të dytë në çdo pikë \(f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3) > 0 \), në këtë interval derivati ​​i dytë i funksionit është pozitiv \(f""(x) > 0 \) funksioni është konveks poshtë (konveks).
intervali \((1; \infty)\) gjeni vlerën e derivatit të dytë në çdo pikë \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Pikat e lakimit.

Le të shqyrtojmë ndryshimin në shenjën e derivatit të dytë kur kalojmë nëpër një pikë kritike të llojit të dytë:
Në pikën \(x =0\) derivati ​​i dytë ndryshon shenjën me \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\), grafiku i funksionit ndryshon konveksitetin, d.m.th. kjo është pika e lakimit me koordinatat \((0;0)\).

8. Asimptota.

Asimptotë vertikale. Grafiku i funksionit ka një asimptotë vertikale \(x =1\) (shih paragrafin 2).
Asimptotë e zhdrejtë.
Në mënyrë që grafiku i funksionit \(y= \frac(x^3)(1-x) \) në \(x \në \infty\) të ketë një asimptotë të pjerrët \(y = kx+b\) , është i nevojshëm dhe i mjaftueshëm , që të ketë dy kufij $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$e gjejmë $$ \lim_(x \to \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ dhe kufiri i dytë $$ \lim_(x \to +\infty)( f(x) - kx) = b$ $, sepse \(k = \infty\) - nuk ka asimptotë të zhdrejtë.

Asimptota horizontale: në mënyrë që të ekzistojë një asimptotë horizontale, është e nevojshme që të ketë një kufi $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ le ta gjejmë atë $$ \lim_(x \to +\infty )(\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\ pagim $$
Asimptotë horizontale Nr.

9. Grafiku i funksionit.