30. Çfarë është proces i palëvizshëm?

Stacionariteti është veti e një procesi që të mos ndryshojë karakteristikat e tij me kalimin e kohës. Ka kuptim në disa fusha të shkencës. Stacionariteti i një procesi të rastësishëm nënkupton pandryshueshmërinë e modeleve të tij probabiliste me kalimin e kohës

Një seri kohore është zbatimi përfundimtar i një procesi stokastik: gjenerimi i një grupi variablash të rastësishëm Y(t).

Një proces stokastik mund të jetë i palëvizshëm dhe jo-stacionar. Procesi është i palëvizshëm nëse

1. Pritshmëria matematikore e vlerave të variablave nuk ndryshon.

2. Pritshmëria matematikore e variancave të variablave nuk ndryshon.

3. Nuk ka luhatje periodike.

Njohja e stacionaritetit:

1. Grafik: rritja ose ulja sistematike, valët dhe zonat me paqëndrueshmëri të lartë (dispersion) në një seri të gjatë janë menjëherë të dukshme.

2. Autokorrelacioni (zvogëlohet me rritjen e vonesës)

3. Testet e trendit: testimi i hipotezës se koeficienti në t është i barabartë me zero.

4. Testet speciale të përfshira në paketat softuerike Stata,

31.Vetitë e serive kohore.

Një model ekonometrik mund të ndërtohet duke përdorur tre lloje të dhënash hyrëse:

Të dhëna që karakterizojnë një koleksion objektesh të ndryshme në një moment (periudhë) të caktuar kohore: kryq sektorial të dhëna , “hapësinore”;

Të dhëna që karakterizojnë një objekt për një numër momentesh të njëpasnjëshme

(periudha) kohore: seritë kohore, koha seri ;

të dhëna që karakterizojnë një grup objektesh të ndryshme për një numër momentesh të njëpasnjëshme në kohë: panel të dhëna , "panel".

Seritë kohore - është një grup vlerash të çdo treguesi për disa momente (periudha) të njëpasnjëshme kohore. Formohet nën ndikim numër i madh faktorët që mund të ndahen në tre grupe:

Faktorët që formojnë trendin ( trend ) rresht;

faktorët që formojnë ciklike luhatjet e serive, për shembull sezonale, javore; Seritë e çmimeve në bursë karakterizohen nga lëkundjet jo periodike;

e rastit faktorët.

Modelet që ndërtohen duke përdorur të dhëna që karakterizojnë një objekt gjatë një numri periudhash të njëpasnjëshme quhen modele të serive kohore.

Çdo nivel i një serie kohore mund të formohet nga trendi i tyre (T), komponentët ciklikë ose sezonalë (S), si dhe komponentët e rastësishëm (E).

Modelet ku seritë kohore paraqiten si një shumë e komponentëve të listuar quhen shtues nëse në formën e produktit quhen modele shumëzuese.

Modeli aditiv ka formën: Y=T+S+E

Modeli shumëzues ka formën: Y=T*S*E

Ndërtimi i një modeli të serive kohore:

kryeni shtrirjen e serive kohore (për shembull, duke përdorur metodën e mesatares lëvizëse); 2. Llogaritni vlerat e komponentit sezonal; 3. Komponenti sezonal eliminohet dhe fitohet një rresht i përafruar; 4. Rreshtimi analitik i niveleve (T dhe E) dhe llogaritja e vlerave E kryhen duke përdorur ekuacionin e trendit që rezulton; 5. Llogaritni vlerat e T dhe E; 6. Llogaritni gabimet absolute dhe relative.

Ndërtimi i një funksioni analitik gjatë modelimit të një tendence në çdo problem ekonometrik në seri kohore quhet shtrirje analitike e një serie kohore dhe kryesisht përdoren funksionet e mëposhtme: linear, fuqi, hiperbolik, parabolik, etj.

Parametrat e trendit përcaktohen si në rastin e regresionit linear duke përdorur metodën OLS, ku koha është ndryshorja e pavarur dhe nivelet e serive kohore janë ndryshorja e varur. Kriteret e përzgjedhjes forma më e mirë shërben si trend vlera më e lartë koeficienti i përcaktimit, testet Fisher dhe Student.

Autokorrelacioni në mbetje është një korrelacion midis vlerave të mbetjeve për momentin aktual dhe atë të mëparshëm në kohë. Për të përcaktuar autokorrelacionin e mbetjeve, përdoret kriteri Durbin-Watson:

Një seri kohore është një variabël ekonomik i datës në pika të plota në kohën t. Ky variabël shërben si karakteristikë sasiore e një objekti të caktuar ekonomik, prandaj ndryshimi në këtë variabël me kalimin e kohës përcaktohet nga faktorë që ndikojnë në këtë objekt me kalimin e kohës.

Të gjithë faktorët ndahen në 3 klasa. Klasa 1: faktorë (ndikimet "laike"), ndikimi rezultues i të cilëve në një objekt të caktuar nuk ndryshon drejtimin e tij për një periudhë të gjatë kohore. Ato gjenerojnë një komponent (prirje ose tendencë) monotone. Klasa 2: faktorë (ndikimet ciklike), ndikimi i të cilëve rezultojnë në objekt bën një rreth të plotë gjatë një periudhe fikse kohore T. Klasa 3: faktorë (ndikime të rastësishme), ndikimi i të cilëve rezultojnë në objekt ndryshon drejtimin dhe intensitetin me shpejtësi të madhe. 3 Klasa e faktorëve ju lejon të interpretoni vlerën në çdo periudhë kohore si një ndryshore të rastësishme

Procesi i rastësishëm i palëvizshëm

një klasë e veçantë e rëndësishme e proceseve të rastësishme, e gjetur shpesh në aplikimet e teorisë së probabilitetit në degë të ndryshme të shkencës dhe teknologjisë natyrore. Procesi i rastësishëm X (t) quhet i palëvizshëm nëse e gjitha është karakteristikat probabilistike mos ndryshoni me kalimin e kohës t (kështu, për shembull, shpërndarja e probabilitetit të sasisë X (t) për të gjithë t është e njëjtë, dhe shpërndarja e përbashkët probabilitetet e vlerave X (t

varet vetëm nga kohëzgjatja e intervalit kohor t2≈t1, d.m.th., shpërndarjet e çifteve të sasive (X (t1), X (t2)) dhe (X (t1 + s), X (t2 + s)) janë identike për çdo t1, t2 dhe s, etj.).

Skema e S. s. fq përshkruan shumë me një përafrim të mirë fenomene reale, shoqëruar me luhatje të çrregullta. Për shembull, rryma e valëzuar ose tensioni brenda qark elektrik(“zhurma” elektrike) mund të konsiderohet si S. s. etj., nëse ky qark është në gjendje stacionare, d.m.th., nëse të gjitha karakteristikat e tij makroskopike dhe të gjitha kushtet që bëjnë që rryma të rrjedhë nëpër të nuk ndryshojnë në kohë; pulsimet e shpejtësisë në një pikë në një rrjedhë turbulente përfaqësojnë s.s. f., nëse nuk ndryshojnë kushtet e përgjithshme, duke gjeneruar rrjedhën në shqyrtim (d.m.th. rrjedha është e qëndrueshme), etj. Këta dhe shembuj të tjerë të S. s. Artikujt e gjetur në fizikë (në veçanti, gjeo- dhe astrofizikë), mekanikë dhe teknologji, stimuluan zhvillimin e kërkimit në fushën e sistemeve diellore. fq.; Në të njëjtën kohë, disa përgjithësime të konceptit të sistemeve shoqërore dolën gjithashtu të rëndësishme. (për shembull, koncepti i një procesi të rastësishëm me rritje të palëvizshme urdhër i dhënë, përgjithësoi S. s. dhe një fushë homogjene të rastësishme).

NË teoria matematikore S. s. Rolin kryesor e luajnë momentet e shpërndarjes së probabilitetit të vlerave të procesit X (t), të cilat janë më të thjeshtat. karakteristikat numerike këto shpërndarje. Momentet e dy porosive të para janë veçanërisht të rëndësishme: vlera mesatare e S. s. n EX (t) = m ≈ pritje matematikore ndryshorja e rastësishme X (t) dhe funksioni korrelativ i sistemit. p EX (t1) X (t2) = B (t2≈t1) ≈ pritshmëria matematikore e produktit X (t1) X (t2) (thjesht e shprehur në terma të variancës së vlerave X (t) dhe koeficienti i korrelacionit midis X (t1) dhe X (t2); Në shumë kërkime matematikore, kushtuar S. s. etj., në përgjithësi studiohen vetëm ato veti të tyre që përcaktohen plotësisht vetëm nga karakteristikat m dhe B (t) (të ashtuquajturat. teoria e korrelacionit S. s. fq.). Në këtë drejtim, proceset e rastësishme X (t), që kanë një vlerë mesatare konstante EX (t) = m dhe një funksion korrelacioni B (t2, t1) = EX (t1) X (t2), në varësi vetëm nga t2 ≈ t1, janë shpesh quhet C. Me. fq në në një kuptim të gjerë(dhe proceset më të veçanta të rastësishme, të gjitha karakteristikat e të cilave nuk ndryshojnë me kalimin e kohës, në këtë rast quhen procese të rastësishme në kuptimin e ngushtë).

Një vend i rëndësishëm në teorinë matematikore të shkencave shoqërore. zonat janë zënë nga studimet e bazuara në zgjerimin e procesit të rastësishëm X (t) dhe të tij funksioni i korrelacionit B (t2 ≈t1) = B (t) në integralin Furier, ose Fourier ≈ Stieltjes (shih integralin Furier). Rolin kryesor këtu e luan teorema e Khinchin-it, sipas së cilës funksioni korrelativ i sistemit. pika X (t) mund të paraqitet gjithmonë në formë

ku F (l) ≈ një funksion monotonik jo-zvogëlues l (dhe integrali në të djathtë ≈ është integrali Stieltjes); nëse B (t) zvogëlohet mjaft shpejt si |t|╝¥ (siç ndodh më shpesh në aplikacione, me kusht që me X (t) të nënkuptojmë ndryshimin X (t) ≈ m), atëherë integrali në pjesën e djathtë (1) kthehet në integralin e zakonshëm Furier:

ku f (l) = F▓(l) ≈ funksion jo negativ. Funksioni F(l) quhet funksion spektral i s.s. pika X (t), dhe funksioni F (l) [në rastet kur barazia (2) vlen] ≈ dendësia e tij spektrale. Nga teorema e Khinchin-it rrjedh gjithashtu se vetë procesi X (t) pranon një zbërthim spektral të formës

ku Z (l) ≈ një funksion i rastësishëm me rritje të pakorreluara, dhe integrali në të djathtë kuptohet si kufiri mesatar katror i sekuencës përkatëse të shumave integrale. Zbërthimi (3) jep bazën për të marrë në konsideratë çdo sistem sistemesh. pika X (t) si një mbivendosje e të pakorreluarve dridhjet harmonike frekuenca të ndryshme me amplituda dhe faza të rastësishme; në të njëjtën kohë funksioni spektral F(l) dhe dendësia spektrale f (l) përcaktoni shpërndarjen energji mesatare lëkundjet harmonike të përfshira në X (t) përgjatë spektrit të frekuencës l (dhe për rrjedhojë, në kërkimi i aplikuar funksioni f (l) shpesh quhet edhe spektri i energjisë ose spektri i fuqisë së sistemit. pika X (t)).

Identifikimi i konceptit të S. s. fq dhe marrja e rezultateve të para matematikore që lidhen me të janë meritë e E. E. Slutsky dhe datojnë në fund të viteve 20 dhe fillim të viteve 30. shekulli i 20-të Në të ardhmen punë e rëndësishme sipas teorisë së S. s. artikujt u kryen nga A. Ya Khinchin, A. N. Kolmogorov, G. Kramer, N. Wiener dhe të tjerë.

Lit.: Slutsky E. E., Izbr. tr., M., 1960; Khinchin A. Ya., Teoria e korrelacionit të proceseve stokastike stacionare, "Përparimet shkencat matematikore", 1938, shek. 5, f. 42≈51; Rozanov Yu., Proceset e rastësishme të palëvizshme, M., 1963; Prokhorov Yu V., Rozanov Yu., Teoria e probabilitetit. (Konceptet themelore. Teorema kufitare. Proceset e rastësishme), botimi i dytë, M., 1973; Gikhman I. I., Skorokhod A. V., Teoria e proceseve të rastësishme, vëll 1, M., 1971; Hennan E., Seritë Kohore Multivariate, përkth. nga anglishtja, M., 1974.

Një klasë e rëndësishme e proceseve të rastësishme janë stacionare procese të rastësishme, pra procese të rastësishme që nuk i ndryshojnë karakteristikat e tyre me kalimin e kohës. Ato kanë formën e lëkundjeve të rastësishme të vazhdueshme rreth një vlere mesatare. Këto janë: presioni i gazit në tubacionin e gazit, dridhjet e avionit gjatë "auto-fluturimit", luhatjet e tensionit në rrjeti elektrik etj.

Procesi i rastësishëm quheti palëvizshëm në në një kuptim të gjerë ,nëse pritshmëria e saj matematikore
ka numër konstant, dhe funksionin e korrelacionit
varet vetëm nga dallimi ndërmjet argumenteve, d.m.th.

Nga ky përkufizim rezulton se funksioni i korrelacionit të një procesi të palëvizshëm është një funksion i një argumenti: Kjo rrethanë shpesh thjeshton operacionet në proceset e rastësishme stacionare.

Procesi i rastësishëm quheti palëvizshëm në në kuptimin e ngushtë , nëse karakteristikat e tij nuk varen nga vlerat e argumenteve, por vetëm nga pozicioni i tyre relativ. Kjo do të thotë, funksioni i shpërndarjes së seksioneve tërthore të procesit duhet të plotësojë barazinë e mëposhtme:

për çdo

Vini re se nga stacionariteti i PS-së në kuptimin e ngushtë rezulton se ajo është e palëvizshme në kuptimin e gjerë, pohimi i kundërt nuk është i vërtetë;

Në atë që vijon, ne do të shqyrtojmë vetëm proceset e rastësishme stacionare në kuptimin e gjerë. Më pas, ne paraqesim vetitë kryesore të funksionit të korrelacionit të një procesi stacionar të rastësishëm (r.s.p.).

1. Dispersion s.s.p. është konstante dhe e barabartë me vlerën e funksionit të korrelacionit në zero, d.m.th.

Kjo është, në origjinën e koordinatave.

2. Funksioni i korrelacionit s.s.p. është një funksion çift, d.m.th.


3. Vlera absolute funksioni i korrelacionit s.s.p. nuk e kalon vlerën e saj në
, d.m.th.


Funksioni i korrelacionit të normalizuar r.s.p. është një funksion argument jo i rastësishëm , d.m.th.



Për më tepër, në përputhje me Vetinë 3, pabarazia qëndron


Shembulli 6. Jepet një funksion i rastësishëm,

ndryshore e rastësishme e shpërndarë në mënyrë uniforme, në interval


Vërtetoni këtë


Zgjidhje. Le të gjejmë pritshmërinë matematikore

Bazuar në përkufizimin e m.o. marrim (duke marrë parasysh shpërndarjen uniforme të r.v. , sipas gjendjes së kontrollit
)

Dhe


Prandaj,


Le të gjejmë funksionin e korrelacionit. Duke marrë parasysh se funksioni i përqendruar dhe i rastësishëm janë të barabartë (pasi
), d.m.th., atëherë sipas përkufizimit të funksionit të korrelacionit (shih paragrafin 16.5) kemi

,

sepse).

Ushtrimi. Tregoni se në kushtet e shembullit tonë ndodh

Pra, pritshmëria matematikore e r.v.
është një numër konstant për të gjitha vlerat e argumentit, dhe funksioni i korrelacionit të tij varet vetëm nga ndryshimi midis argumenteve. Prandaj,
funksion stacionar rastësor.

Vini re se, duke vënë
në funksionin e korrelacionit gjejmë variancën



Kështu, varianca mbetet konstante për të gjitha vlerat e argumentit, siç duhet të jetë për një funksion stacionar të rastësishëm.

Shumica e proceseve stacionare të rastësishme kanë të ashtuquajturat, të rëndësishme për praktikë, « pronë ergodike" , thelbi i të cilit është se nga një zbatim mjaft i gjatë, i veçantë i një procesi të caktuar, mund të gjykohen të gjitha vetitë e procesit si dhe nga çdo numër zbatimesh.

Me fjalë të tjera, karakteristikat individuale të s.s.p.
mund të përkufizohen si mesataret përkatëse kohore për një realizim të një kohëzgjatjeje mjaftueshëm të gjatë.

Marrëdhënia midis klasave të proceseve ergodike stacionare dhe të rastësishme mund të karakterizohet, për shembull, si në Figurën 61.

Oriz. 61 (Letër).

Një kusht i mjaftueshëm për një s.p ergodik.
në lidhje me pritjen matematikore dhe funksionin e korrelacionit është se funksioni i tij i korrelacionit tenton në zero në
.

Si vlerësime të karakteristikave të s.p.s ergodik. merrni vlerën mesatare të kohës:



Integralet në anën e djathtë të barazive llogariten afërsisht në praktikë.

Proceset e rastësishme
Dhe
quhen stacionare të lidhura, nëse funksioni i ndërlidhjes së tyre të ndërsjellë
varet vetëm nga ndryshimi
. Si shembull i një procesi të palëvizshëm, mund të marrim një lëkundje harmonike. Mund të tregohet se
A

Përkufizimi [ | ]

X t (⋅) : Ω → R , t ∈ T (\displaystyle X_(t)(\cdot)\colon \Omega \to \mathbb (R) ,\quad t\in T),

Ku T (\displaystyle T) quhet një grup arbitrar funksion i rastësishëm .

Terminologjia [ | ]

Ky klasifikim nuk është i rreptë. Në veçanti, termi "proces i rastësishëm" përdoret shpesh si një sinonim absolut për termin "funksion i rastësishëm".

Klasifikimi [ | ]

• Procesi i rastësishëm X (t) (\displaystyle X(t)) quhet proces diskrete në kohë, nëse sistemi në të cilin ndodh ndryshon gjendjen e tij vetëm në momente kohore t 1 , t 2 , … (\displaystyle \;t_(1),t_(2),\ldots ), numri i të cilave është i fundëm ose i numërueshëm. Procesi i rastësishëm quhet proces me kohë të vazhdueshme , nëse kalimi nga shteti në gjendje mund të ndodhë në çdo kohë.
• Procesi i rastësishëm quhet proces me gjendjet e vazhdueshme , nëse vlera e procesit të rastësishëm është e vazhdueshme ndryshore e rastësishme. Procesi i rastësishëm quhet proces i rastësishëm me gjendje diskrete, nëse vlera e procesit të rastësishëm është një ndryshore e rastësishme diskrete:
• Procesi i rastësishëm quhet stacionare, nëse të gjitha ligjet e shpërndarjes shumëdimensionale varen vetëm nga pozicioni relativ momente në kohë t 1 , t 2 , … , t n (\displaystyle \;t_(1),t_(2),\ldots ,t_(n)), por jo mbi vlerat e vetë këtyre sasive. Me fjalë të tjera, një proces i rastësishëm quhet i palëvizshëm nëse modelet e tij probabilistike janë konstante me kalimin e kohës. Ndryshe quhet jo të palëvizshme.
• Funksioni i rastësishëm quhet stacionare në një kuptim të gjerë, nëse pritja dhe varianca e tij matematikore janë konstante, dhe ACF varet vetëm nga diferenca midis momenteve kohore për të cilat merren ordinatat funksion i rastësishëm. Koncepti u prezantua nga A. Ya Khinchin.
• Një proces i rastësishëm quhet një proces me rritje të palëvizshme një rend të caktuar, nëse modelet probabilistike të një rritjeje të tillë janë konstante me kalimin e kohës. Procese të tilla u konsideruan nga Yaglom.
• Nëse ordinatat e një funksioni të rastësishëm i binden ligjit të shpërndarjes normale, atëherë thirret vetë funksioni normale.
• Funksionet e rastësishme, ligji i shpërndarjes së ordinatave të të cilave në një kohë të ardhshme përcaktohet plotësisht nga vlera e ordinatës së procesit në momenti aktual kohë dhe nuk varet nga vlerat ordinate të procesit në kohët e mëparshme quhen Markoviane.
• Procesi i rastësishëm quhet proces me rritje të pavarura, nëse për ndonjë grup t 1 , t 2 , … , t n (\stil ekrani t_(1),t_(2),\ldpika ,t_(n)), Ku n > 2 (\displaystyle n>2), A t 1< t 2 < … < t n {\displaystyle t_{1} , variabla të rastit (X t 2 − X t 1) (\shfaqja e stilit (X_(t_(2))-X_(t_(1)))), (X t 3 − X t 2) (\style ekrani (X_(t_(3))-X_(t_(2)))), … (\displaystyle \ldots), (X t n − X t n − 1) (\displaystyle (X_(t_(n))-X_(t_(n-1)))) kolektivisht të pavarur.
• Nëse, gjatë përcaktimit të funksioneve momentale të një procesi të rastësishëm të palëvizshëm, operacioni i mesatares mbi një grup statistikor mund të zëvendësohet nga mesatarizimi me kalimin e kohës, atëherë një proces i tillë i rastësishëm i palëvizshëm quhet ergodik .
• Ndër proceset e rastësishme, dallohen proceset e rastësishme impulsive.

Trajektorja e një procesi të rastësishëm[ | ]

Le të jepet një proces i rastësishëm ( X t ) t ∈ T (\style ekrani \(X_(t)\)_(t\në T)). Pastaj për çdo fikse t ∈ T (\stil ekrani t\në T) X t (\displaystyle X_(t))- një ndryshore e rastësishme e quajtur seksion kryq. Nëse rezultati elementar është i fiksuar ω ∈ Ω (\displaystyle \omega \në \Omega), Kjo X t: T → R (\displaystyle X_(t)\colon T\to \mathbb (R) )- funksioni i parametrit përcaktues t (\displaystyle t). Ky funksion quhet trajektorja ose zbatimi funksion i rastësishëm ( X t ) (\displaystyle \(X_(t)\)) | ]

Një proces i rastësishëm i palëvizshëm në kuptimin e ngushtë është një proces i rastësishëm për të cilin n-Densiteti i probabilitetit dimensional nuk do të ndryshojë nëse të gjitha mostrat e kohës zhvendosen me të njëjtën sasi:

Nëse zgjidhni, atëherë n-Densiteti i probabilitetit dimensional nuk do të varet nga origjina e kohës

Kështu, për një proces të palëvizshëm, densiteti i probabilitetit njëdimensional nuk varet fare nga koha, dhe densiteti dydimensional nuk varet veçmas nga t 1 dhe t 2, dhe nga ndryshimi i tyre

Nga ana tjetër, nga shprehjet (2.9) dhe (2.10) rrjedh se pritja matematikore dhe shpërndarja e një procesi të palëvizshëm nuk varen nga koha, dhe funksioni i korrelacionit varet nga t:

(2.11)

(2.12)

Nga (2.11), (2.12) dhe (2.13) rrjedh se pritshmëria matematikore është konstante dhe prandaj për një proces stacionar karakterizon komponentin konstant të procesit; qëndrueshmëria karakterizon faktin se në çdo moment të kohës t fuqia mesatare specifike e luhatjeve (d.m.th., fuqia e komponentit të ndryshueshëm) është e njëjtë; varësia nga do të thotë se për një proces stacionar nuk ka rëndësi se në cilat pika t 1 dhe t Janë marrë 2 seksione, ndryshimi midis tyre është i rëndësishëm .

Nëse kushti (2.7) nuk plotësohet, atëherë thirret procesi i rastësishëm jo të palëvizshme. Ndonjëherë stacionariteti gjykohet vetëm nga përmbushja e barazive (2.9), (2.10) dhe, në përputhje me rrethanat, (2.11) - (2.13). Ata thonë se nëse plotësohen barazitë (2.9) dhe (2.10), atëherë procesi është i palëvizshëm, pa u interesuar nëse kushti (2.7) plotësohet apo jo. Kjo qasje jep një interpretim më të gjerë të stacionaritetit.

Përkufizimi i një procesi të palëvizshëm në një kuptim të gjerë është më i pranueshëm për zgjidhjen e problemeve praktike, pasi është më e lehtë të merren të dhëna për densitetin e probabilitetit njëdimensional dhe dydimensional sesa për ato shumëdimensionale.

Në një kuptim të rreptë, fizikisht nuk ka procese të rastësishme të palëvizshme, pasi çdo proces duhet të fillojë në një moment të caktuar në të kaluarën dhe ndoshta të përfundojë në një moment në të ardhmen. Megjithatë, ka shumë situata fizike kur karakteristikat statistikore të procesit nuk ndryshojnë gjatë intervalit kohor të vëzhgimit. Në këto raste, supozimi i stacionaritetit çon në një model matematikor të përshtatshëm që është një përafrim mjaft i saktë i situatës reale.

Vetia ergodike e proceseve të rastësishme stacionare

Ndër të gjitha proceset stacionare ekziston një pjesë që ka veti ergodike. Le të shpjegojmë këtë pronë. Le të ketë një zbatim të gjatë x(t) proces i rastësishëm ( t). Ky zbatim përcaktohet në interval Le të gjejmë vlerën mesatare të këtij realizimi duke e mesatarizuar atë me kalimin e kohës për një interval mjaft të madh:

(2.14)

ku shiriti i tepërt nënkupton mesataren me kalimin e kohës, vlera mesatare është një vlerë konstante e pavarur nga t.

Në mënyrë të ngjashme, ju mund të gjeni vlerën mesatare të katrorit të luhatjeve dhe vlerën mesatare të produktit të luhatjeve të zhvendosur në lidhje me njëri-tjetrin nga intervali:

(2.15)

Në kuptimin e tyre fizik, sasitë (2.14) - (2.16) janë karakteristika numerike që përkojnë me vlerën mesatare, shpërndarjen dhe funksionin e korrelacionit të procesit (t). Megjithatë, ato janë marrë si rezultat i mesatares së një zbatimi të gjatë me kalimin e kohës x(t) ose funksionon prej tij.

Thuhet se ka një proces të palëvizshëm pronë ergodik, nëse me një probabilitet afër unitetit, karakteristikat numerike të marra si rezultat i mesatarizimit të një realizimi të gjatë me kalimin e kohës janë të barabarta me të njëjtat karakteristika të marra si rezultat i mesatares mbi ansamblin. Në këtë rast, mesatarja mbi një ansambël është përcaktimi i karakteristikave numerike duke përdorur densitetin e probabilitetit, domethënë duke përdorur formulat (2.11) - (2.13), pasi dendësia e probabilitetit karakterizon të gjithë popullsinë ose ansamblin e realizimeve.

Kështu, për një proces stacionar ergodik, barazitë janë të vlefshme:

, (2.17)

Fjala "ergodik" vjen nga greqishtja "ergon", që do të thotë "punë". Vetia ergodike është një hipotezë e përshtatshme pune për llogaritjen e karakteristikave numerike të një procesi të palëvizshëm kur disponohet një zbatim i gjatë i tij. Fizikisht, kjo justifikohet me faktin se një zbatim i gjatë mund të përmbajë informacion për të gjitha implementimet e këtij procesi të rastësishëm.

Vini re se stacionariteti i procesit është një kusht i domosdoshëm por i pamjaftueshëm për ergodicitetin. Kjo do të thotë se jo të gjitha proceset stacionare janë ergodike. Në përgjithësi, është e vështirë, nëse jo e pamundur, të vërtetohet se ergodiciteti është një supozim i vlefshëm për çdo proces fizik, pasi mund të vërehet vetëm një zbatim i këtij procesi. Megjithatë, zakonisht ka kuptim të supozohet se procesi është ergodik, përveç nëse ka argumente fizike bindëse kundër tij.