Ndërhyrja në sistemet e komunikimit përshkruhet me metodat e teorisë së proceseve të rastësishme.

Një funksion quhet i rastësishëm nëse, si rezultat i një eksperimenti, merr një formë ose një tjetër dhe nuk dihet paraprakisht se cila. Një proces i rastësishëm është një funksion i rastësishëm i kohës. Pamje specifike, i cili supozon një proces të rastësishëm si rezultat i një eksperimenti, quhet realizim i një procesi të rastësishëm.

Në Fig. Figura 1.19 tregon një grup prej disa (tre) zbatimesh të procesit të rastësishëm, , . Një koleksion i tillë quhet një ansambël realizimesh. Me një vlerë fikse të momentit të kohës në eksperimentin e parë marrim një vlerë specifike, në të dytin - , në të tretën - .

Procesi i rastësishëm është i natyrës së dyfishtë. Nga njëra anë, në çdo eksperiment specifik ai përfaqësohet nga zbatimi i tij - një funksion jo i rastësishëm i kohës. Nga ana tjetër, një proces i rastësishëm përshkruhet nga një grup variablat e rastësishëm.

Në të vërtetë, le të shqyrtojmë një proces të rastësishëm në një pikë fikse në kohë. Pastaj në çdo eksperiment ai merr një vlerë, dhe nuk dihet paraprakisht se cila. Kështu, një proces i rastësishëm i konsideruar në një pikë fikse në kohë është një ndryshore e rastësishme. Nëse regjistrohen dy momente kohore, atëherë në çdo eksperiment do të marrim dy vlera të dhe . Në këtë rast, shqyrtimi i përbashkët i këtyre vlerave çon në një sistem të dy variablave të rastësishëm. Kur analizojmë procese të rastësishme në N pika në kohë, arrijmë në një grup ose sistem N variablash të rastit. .

Pritshmëria matematikore, dispersioni dhe funksioni i korrelacionit të një procesi të rastësishëm Meqenëse një proces i rastësishëm i konsideruar në një pikë fikse në kohë është një ndryshore e rastësishme, mund të flasim për pritshmërinë dhe shpërndarjen matematikore të një procesi të rastësishëm.

, .

Ashtu si për një ndryshore të rastësishme, dispersioni karakterizon përhapjen e vlerave të një procesi të rastësishëm në lidhje me vlerën mesatare. Sa më shumë, aq më e madhe është mundësia e shumë pozitive dhe vlerat negative procesi. Një karakteristikë më e përshtatshme është mesatarja devijimi standard(RMS), i cili ka të njëjtin dimension si vetë procesi i rastësishëm.

Nëse një proces i rastësishëm përshkruan, për shembull, një ndryshim në distancën nga një objekt, atëherë pritshmëria matematikore është diapazoni mesatar në metra; dispersioni matet në metra katrorë, dhe Sco matet në metra dhe karakterizon përhapjen e vlerave të mundshme të diapazonit në lidhje me mesataren.

Mesatarja dhe varianca janë karakteristika shumë të rëndësishme që na lejojnë të gjykojmë sjelljen e një procesi të rastësishëm në një moment të caktuar kohor. Megjithatë, nëse është e nevojshme të vlerësohet "shkalla" e ndryshimit në një proces, atëherë vëzhgimet në një moment në kohë nuk janë të mjaftueshme. Për këtë qëllim përdoren dy ndryshore të rastësishme, të konsideruara së bashku. Ashtu si për ndryshoret e rastësishme, paraqitet një karakteristikë e lidhjes ose varësisë ndërmjet dhe. Për një proces të rastësishëm, kjo karakteristikë varet nga dy momente në kohë dhe quhet funksioni i korrelacionit: .

Proceset e rastit stacionare. Shumë procese në sistemet e kontrollit ndodhin në mënyrë uniforme me kalimin e kohës. Karakteristikat e tyre themelore nuk ndryshojnë. Procese të tilla quhen stacionare. Përkufizimi i saktë mund të jepet si më poshtë. Një proces i rastësishëm quhet i palëvizshëm nëse ka ndonjë prej tyre karakteristikat probabiliste nuk varen nga zhvendosja e origjinës së kohës. Për një proces të rastësishëm të palëvizshëm vlera e pritur, dispersioni dhe devijimi standard janë konstante: , .

Funksioni i korrelacionit procesi stacionar nuk varet nga origjina t, d.m.th. varet vetëm nga ndryshimi në kohë:

Funksioni i korrelacionit të një procesi të rastësishëm të palëvizshëm ka vetitë e mëposhtme:

1) ; 2) ; 3) .

Shpesh funksionet e korrelacionit të proceseve në sistemet e komunikimit kanë formën e treguar në Fig. 1.20.

Oriz. 1.20. Funksionet e korrelacionit të proceseve

Intervali kohor mbi të cilin funksioni i korrelacionit, d.m.th. Madhësia e lidhjes midis vlerave të një procesi të rastësishëm zvogëlohet me M herë, e quajtur intervali ose koha e korrelacionit të procesit të rastësishëm. Zakonisht ose. Mund të themi se vlerat e një procesi të rastësishëm që ndryshojnë në kohë nga intervali i korrelacionit janë të lidhura dobët me njëra-tjetrën.

Kështu, njohja e funksionit të korrelacionit ju lejon të gjykoni shkallën e ndryshimit të një procesi të rastësishëm.

Një karakteristikë tjetër e rëndësishme është spektri energjetik i një procesi të rastësishëm. Përkufizohet si transformimi Furier i funksionit të korrelacionit:

.

Natyrisht, transformimi i kundërt është gjithashtu i vlefshëm:

.

Spektri i energjisë tregon shpërndarjen e fuqisë së një procesi të rastësishëm, siç është ndërhyrja, në boshtin e frekuencës.

Kur analizohet një ACS, është shumë e rëndësishme të përcaktohen karakteristikat e një procesi të rastësishëm në daljen e një sistemi linear me karakteristika të njohura të procesit në hyrje të ACS. Le të supozojmë se sistemi linear jepet nga një pulsues përgjigje hapi. Pastaj sinjali i daljes në momentin e kohës përcaktohet nga integrali Duhamel:

,

ku është procesi në hyrje të sistemit. Për të gjetur funksionin e korrelacionit, shkruajmë dhe pas shumëzimit gjejmë pritjen matematikore

9. Funksioni i korrelacionit dhe vetitë kryesore të tij.

Për përshkrim i plotë proceset e rastësishme, futet koncepti i korrelacionit f-i.

e barabartë me pritjen matematikore, variancën, devijimin standard

Supozohet se ligji i shpërndarjes është normal. Grafikët tregojnë një ndryshim të mprehtë midis proceseve, pavarësisht nga karakteristikat e tyre të barabarta probabilistike.

Për shembull, gjurmimi i një aeroplani. Nëse ai është në pozicionin 1 në kohën t, atëherë pozicioni i tij i mundshëm 2 në momentin tjetër t 2 është i kufizuar, pra ngjarjet (x 1 ,t 1 ) dhe (x 2 ,t 2 ) nuk do të jenë të pavarura. Sa më inercial të jetë objekti që studiohet, aq më e madhe është kjo ndërvarësi ose korrelacion. Funksioni Corr shpreh matematikisht korrelacionin e dy funksioneve ose korrelacionin e një funksioni me vetveten (funksioni i autokorrigjimit). Funksioni përshkruhet si më poshtë:

ku t 1 dhe t 2 janë çdo moment në kohë, domethënë t 1 dhe t 2 T

korrelacioni - marrëdhënie statistikore dy ose më shumë ndryshore të rastit.

Funksioni i korrelacionit- një funksion i tillë jo i rastësishëm Rx (t 1 ,t 2 ) i dy argumenteve, i cili për çdo çift vlerash fikse të argumenteve t 1 dhe t 2 është i barabartë momenti i korrelacionit, që korrespondon me këto seksione të ndryshoreve të rastësishme x (t 1) dhe x (t 2).

Funksioni i korrelacionit është një funksion i kohës që specifikon korrelacionin në sisteme me procese të rastësishme.

Kur momentet t 1 dhe t 2 përputhen, funksioni i korrelacionit është i barabartë me dispersionin. Funksioni i korrelacionit të normalizuar llogaritet duke përdorur formulën:

Vetitë e funksioneve të korrelacionit

1. Funksioni i korrelacionit R x (t 1 ,t 2 ) është simetrik në lidhje me argumentet e tij:

në përputhje me përcaktimin e funksionit të korrelacionit X(t).

2. Kur shtohet në një funksion të rastësishëm X (t) e një termi arbitrar jo të rastësishëm

(t), funksioni i korrelacionit Z (t) X (t) (t),

atëherë R z (t 1 ,t 2 ) =R x (t 1 ,t 2 ).

3. Kur shumëzohet një funksion i rastësishëm X (t) me një faktor arbitrar jo të rastësishëm ψ(t), funksioni i korrelacionit R x (t 1,t 2) shumëzohet me ψ(t 1)ψ(t 2).

Pritshmëria dhe shpërndarja janë karakteristika të rëndësishme të një procesi të rastësishëm, por ato nuk ofrojnë njohuri të mjaftueshme për natyrën e zbatimeve individuale të një procesi të rastësishëm. Kjo mund të shihet nga Fig. 9.3, i cili tregon zbatimin e dy proceseve të rastësishme, krejtësisht të ndryshme në strukturën e tyre, megjithëse kanë

të njëjtat vlera të pritjes dhe variancës matematikore. Vijat e ndërprera në Fig. Figura 9.3 tregon vlerat për proceset e rastësishme.

Procesi i treguar në Fig. 9.3, a, nga një seksion në tjetrin vazhdon relativisht pa probleme, dhe procesi në Fig. 9.3, b ka ndryshueshmëri të fortë nga seksioni në seksion Prandaj, lidhja statistikore midis seksioneve në rastin e parë është më e madhe se në rastin e dytë, por kjo nuk mund të përcaktohet as nga pritshmëria matematikore dhe as nga dispersioni.

Në një farë mase karakterizojnë strukturën e brendshme proces i rastësishëm, d.m.th. merr parasysh marrëdhënien midis vlerave të procesit të rastësishëm në momente të ndryshme koha ose, me fjalë të tjera, për të marrë parasysh shkallën e ndryshueshmërisë së procesit të rastësishëm, është e nevojshme të futet koncepti i funksionit të korrelacionit (autokorrelacionit) të procesit të rastësishëm.

Funksioni korrelativ i një procesi të rastësishëm quhet një funksion jo i rastësishëm i dy argumenteve i cili, për çdo çift vlerash të zgjedhura arbitrarisht të argumenteve (çaste kohore), është i barabartë me pritshmërinë matematikore të produktit të dy ndryshoreve të rastësishme të seksioneve përkatëse të rastit. procesi:

ku është dendësia dydimensionale e probabilitetit; - proces i rastësishëm i përqendruar; - pritshmëria matematikore (vlera mesatare) e një procesi të rastësishëm.

Proceset e ndryshme të rastësishme, në varësi të mënyrës se si ndryshojnë karakteristikat e tyre statistikore me kalimin e kohës, ndahen në stacionare dhe jo-stacionare. Ndani stacionaritetin në në kuptimin e ngushtë dhe stacionariteti në në një kuptim të gjerë.

Stacionare në kuptimin e ngushtë quhet një proces i rastësishëm nëse funksionet e tij të shpërndarjes n-dimensionale dhe densiteti i probabilitetit për çdo kohë nuk varen nga zhvendosja e të gjitha pikave

Përgjatë boshtit të kohës të njëjtën madhësi dmth.

Kjo do të thotë që të dy proceset kanë të njëjtat veti statistikore për cilindo, domethënë karakteristikat statistikore të një procesi të rastësishëm të palëvizshëm janë konstante me kalimin e kohës.

Një proces i rastësishëm i palëvizshëm është një lloj analog i një procesi të qëndrueshëm në sistemet përcaktuese. Çdo proces tranzicioni nuk është i palëvizshëm.

Stacionare në një kuptim të gjerëështë një proces i rastësishëm, pritshmëria matematikore e të cilit është konstante:

dhe funksioni i korrelacionit varet vetëm nga një variabël - dallimet në argumente në këtë rast funksioni i korrelacionit shënohet me

Proceset që janë të palëvizshme në kuptimin e ngushtë janë domosdoshmërisht stacionare në kuptimin e gjerë; megjithatë, deklarata e kundërt është, në përgjithësi, e rreme.

Koncepti i një procesi të rastësishëm, i palëvizshëm në kuptimin e gjerë, prezantohet kur vetëm pritshmëria matematikore dhe funksioni i korrelacionit përdoren si karakteristika statistikore të një procesi të rastësishëm. Pjesa e teorisë së proceseve të rastësishme që përshkruan vetitë e një procesi të rastësishëm përmes pritshmërisë së tij matematikore dhe funksionit të korrelacionit quhet teoria e korrelacionit.

Për një proces të rastësishëm me ligj normal shpërndarja, pritshmëria matematikore dhe funksioni i korrelacionit përcaktojnë plotësisht densitetin e probabilitetit të tij n-dimensionale.

Prandaj, për proceset normale të rastësishme konceptet e stacionaritetit në kuptimin e gjerë dhe të ngushtë përkojnë.

Teoria e proceseve stacionare është zhvilluar plotësisht dhe lejon llogaritje relativisht të thjeshta për shumë raste praktike. Prandaj, ndonjëherë këshillohet të bëhet supozimi i stacionaritetit edhe për ato raste kur procesi i rastësishëm, megjithëse jo i palëvizshëm, gjatë periudhës së konsideruar të funksionimit të sistemit, karakteristikat statistikore të sinjaleve nuk kanë kohë të ndryshojnë ndjeshëm. Në atë që vijon, përveç rasteve kur përcaktohet ndryshe, do të merren parasysh proceset e rastësishme që janë të palëvizshme në kuptimin e gjerë.

Kur studiojmë procese të rastësishme që janë të palëvizshme në kuptimin e gjerë, ne mund të kufizohemi në marrjen në konsideratë vetëm të proceseve me një pritje matematikore (vlerë mesatare) të barabartë me zero, d.m.th., pasi një proces i rastësishëm me një pritje matematikore jo zero përfaqësohet si shumë të një procesi me një pritshmëri matematikore zero dhe një vlerë konstante jo të rastësishme (të rregullt) të barabartë me pritshmërinë matematikore të këtij procesi (shih më poshtë § 9.6).

Kur shprehja për funksionin e korrelacionit

Në teorinë e proceseve të rastësishme, përdoren dy koncepte të vlerave mesatare. Koncepti i parë i vlerës mesatare është vlera mesatare mbi një grup (ose pritshmëri matematikore), e cila përcaktohet në bazë të vëzhgimit të grupit të realizimeve të një procesi të rastësishëm në të njëjtën pikë kohore. Vlera mesatare mbi një grup zakonisht shënohet me një vijë të valëzuar mbi shprehjen që përshkruan funksionin e rastësishëm:

NË rast i përgjithshëm mesatarja e vendosur është funksion i kohës

Një koncept tjetër i vlerës mesatare është vlera mesatare me kalimin e kohës, e cila përcaktohet në bazë të vëzhgimit të një zbatimi të veçantë të një procesi të rastësishëm gjatë një periudhe kohore.

një kohë mjaft e gjatë T. Vlera mesatare me kalimin e kohës tregohet me një vijë të drejtë mbi shprehjen përkatëse të funksionit të rastit dhe përcaktohet nga formula:

nëse ekziston ky kufi.

Mesatarja kohore është përgjithësisht e ndryshme për realizimet individuale të grupit që përcaktojnë procesin e rastësishëm. Në përgjithësi, për të njëjtin proces të rastësishëm, vlerat e vendosura mesatare dhe mesatare kohore janë të ndryshme. Megjithatë, ekziston një klasë e proceseve të rastësishme stacionare, të quajtura ergodike, për të cilat mesatarja mbi grupin është e barabartë me mesataren me kalimin e kohës, d.m.th.

Funksioni i korrelacionit të një procesi të rastësishëm stacionar ergodik zvogëlohet pafundësisht në vlerë absolute si

Megjithatë, duhet të kihet parasysh se jo çdo proces i rastësishëm i palëvizshëm është ergodik, për shembull, një proces i rastësishëm, çdo zbatim i të cilit është konstant në kohë (Fig. 9.4) është i palëvizshëm, por jo ergodik. Në këtë rast, vlerat mesatare të përcaktuara nga një zbatim dhe nga përpunimi i zbatimeve të shumta nuk përkojnë. Në rastin e përgjithshëm, i njëjti proces i rastësishëm mund të jetë ergodik në lidhje me disa karakteristikat statistikore dhe jo-ergodik në lidhje me të tjerët. Në vijim, do të supozojmë se kushtet e ergodicitetit janë të kënaqura në lidhje me të gjitha karakteristikat statistikore.

Prona ergodicitetit ka një shumë të madhe rëndësi praktike. Për përcaktimin vetitë statistikore Disa objekte, nëse është e vështirë të kryhet vëzhgimi i njëkohshëm i tyre në një moment të zgjedhur në mënyrë arbitrare (për shembull, nëse ka një prototip), ai mund të zëvendësohet nga vëzhgimi afatgjatë i një objekti. Me fjalë të tjera, një zbatim i veçantë i rastit ergodik

procesi për një periudhë të pafund kohore përcakton plotësisht të gjithë procesin e rastësishëm me implementimet e tij të pafundme. Në fakt, ky fakt qëndron në themel të metodës së përshkruar më poshtë përcaktim eksperimental funksioni i korrelacionit të një procesi të rastësishëm të palëvizshëm sipas një zbatimi.

Siç mund të shihet nga (9.25), funksioni i korrelacionit është vlera mesatare mbi grupin. Për proceset e rastësishme ergodike, funksioni i korrelacionit mund të përkufizohet si mesatarja kohore e produktit, d.m.th.

ku është ndonjë zbatim i një procesi të rastësishëm; x është vlera mesatare me kalimin e kohës, e përcaktuar nga (9.28).

Nëse vlera mesatare e një procesi të rastësishëm është zero, atëherë

Bazuar në vetinë e ergodicitetit, mund të shpërndahet [shih. (9.19)] përkufizohet si mesatarja kohore e katrorit të procesit të rastësishëm të përqendruar, d.m.th.

Krahasimi i shprehjeve (9.30) dhe (9.32) mund të vërtetojë shumë lidhje e rëndësishme ndërmjet funksionit të shpërndarjes dhe korrelacionit - shpërndarja e një procesi të rastësishëm të palëvizshëm është e barabartë me vlerën fillestare të funksionit të korrelacionit:

Nga (9.33) është e qartë se shpërndarja e një procesi të rastësishëm të palëvizshëm është konstante, dhe për këtë arsye devijimi standard është konstant:

Vetitë statistikore të lidhjes ndërmjet dy proceseve të rastësishme mund të karakterizohen nga një funksion korrelacioni i ndërsjellë i cili, për çdo çift vlerash argumentesh të zgjedhura në mënyrë arbitrare, është i barabartë me

Për proceset e rastësishme ergodike, në vend të (9.35) mund të shkruajmë

ku janë respektivisht ndonjë realizim i proceseve të rastësishme stacionare.

Funksioni i ndërlidhjes karakterizon marrëdhënien e ndërsjellë statistikore të dy proceseve të rastësishme në momente të ndryshme kohore, të ndara nga njëri-tjetri me një periudhë kohe. Vlera e karakterizon këtë marrëdhënie në të njëjtën kohë.

Nga (9.36) rrjedh se

Nëse proceset e rastësishme nuk janë të lidhura statistikisht me njëra-tjetrën dhe kanë e barabartë me zero vlerat mesatare, atëherë funksioni i tyre i ndërlidhjes për të gjithë është i barabartë me zero. Megjithatë dalje e kundërt se nëse funksioni i ndërlidhjes është i barabartë me zero, atëherë proceset janë të pavarura, mund të bëhen vetëm në në disa raste(në veçanti, për proceset me një ligj të shpërndarjes normale), forca e përgjithshme ligj i anasjelltë nuk ka.

Vini re se funksionet e korrelacionit mund të llogariten edhe për funksione kohore jo të rastësishme (të rregullta). Megjithatë, kur ata flasin për funksionin e korrelacionit të një funksioni të rregullt, kjo kuptohet thjesht si rezultat i një funksioni formal

duke aplikuar në një funksion të rregullt një operacion të shprehur nga një integral:

Le të paraqesim disa veti themelore të funksioneve të korrelacionit

1. Vlera fillestare e funksionit të korrelacionit [shih (9.33)] është e barabartë me variancën e procesit të rastësishëm:

2. Vlera e funksionit të korrelacionit nuk mund ta kalojë atë për asnjë vlera fillestare, d.m.th.

Për ta vërtetuar këtë, merrni parasysh pabarazinë e dukshme nga e cila rrjedh

Ne gjejmë vlerat mesatare me kalimin e kohës nga të dyja anët e pabarazisë së fundit:

Kështu, marrim pabarazinë

3. Funksioni i korrelacionit është funksion çift, d.m.th.

Kjo rrjedh nga vetë përkufizimi i funksionit të korrelacionit. Vërtet,

prandaj, në grafik, funksioni i korrelacionit është gjithmonë simetrik me ordinatën.

4. Funksioni korrelativ i shumës së proceseve të rastësishme përcaktohet nga shprehja

ku janë funksionet e ndërlidhjes

Vërtet,

5. Funksioni i korrelacionit vlerë konstante e barabartë me katrorin e kësaj vlere konstante (Fig. 9.5, a), që rrjedh nga vetë përkufizimi i funksionit të korrelacionit:

6. Funksioni i korrelacionit të një funksioni periodik, për shembull, është një valë kosinus (Fig. 9-5, 5), d.m.th.

që kanë të njëjtën frekuencë si dhe të pavarur nga zhvendosja fazore

Për ta vërtetuar këtë, vini re se kur gjeni funksionet e korrelacionit funksionet periodike mund të përdorni barazinë e mëposhtme:

ku është periudha e funksionit

Barazia e fundit fitohet pas zëvendësimit të integralit me kufijtë nga -T në T në T me shumën e integraleve individuale me kufij nga deri në , ku dhe duke përdorur periodicitetin e integrantëve.

Më pas, duke marrë parasysh sa më sipër, marrim t.

7. Funksioni i korrelacionit të një funksioni kohor të zgjeruar në një seri Furier:

Oriz. 9.5 (shih skanimin)

bazuar në sa më sipër, ka formën e mëposhtme:

8. Një funksion tipik korrelacioni i një procesi të rastësishëm stacionar ka formën e treguar në Fig. 9.6. Mund të përafrohet me shprehjen analitike të mëposhtme:

Me rritjen, lidhja midis tyre dobësohet dhe funksioni i korrelacionit bëhet më i vogël. Në Fig. 9.5, b, c tregojnë, për shembull, dy funksione korrelacioni dhe dy realizime përkatëse të një procesi të rastësishëm. Është e lehtë të shihet se funksioni i korrelacionit i korrespondon një procesi të rastësishëm me më shumë strukturë e imët, zvogëlohet më shpejt Me fjalë të tjera, aq më shumë frekuencave të larta janë të pranishme në një proces të rastësishëm, aq më shpejt zvogëlohet funksioni përkatës i korrelacionit.

Ndonjëherë ka funksione korrelacioni që mund të përafrohen nga shprehja analitike

ku është shpërndarja; - parametri i dobësimit; - frekuenca rezonante.

Funksionet e korrelacionit të këtij lloji kanë, për shembull, procese të rastësishme të tilla si turbulenca atmosferike, zbehja e sinjalit të radarit, dridhje këndore e një objektivi, etj. Shprehjet (9.45) dhe (9.46) shpesh përdoren për të përafruar funksionet e korrelacionit të marra si rezultat i përpunimit. të dhëna eksperimentale.

9. Funksioni i korrelacionit të një procesi të rastësishëm stacionar, mbi të cilin mbivendoset një komponent periodik me frekuencë, do të përmbajë gjithashtu një komponent periodik të së njëjtës frekuencë.

Kjo rrethanë mund të përdoret si një nga mënyrat për të zbuluar "periodicitetin e fshehur" në proceset e rastësishme, të cilat mund të mos zbulohen në shikim të parë në të dhënat individuale të zbatimit të një procesi të rastësishëm.

Në Fig. 9.7, ku tregohet funksioni i korrelacionit që korrespondon me komponentin e rastësishëm. Për të identifikuar komponentin periodik të fshehur (ky problem lind, për shembull, kur identifikohet një sinjal i vogël i dobishëm në sfondin e zhurmës së madhe), është më mirë të përcaktohet funksioni i korrelacionit për vlera të mëdha kur sinjali i rastësishëm tashmë është i lidhur relativisht dobët dhe komponenti i rastësishëm ka pak efekt në formën e funksionit të korrelacionit.

Funksioni korrelativ i një procesi të palëvizshëm

Funksioni i korrelacionit procesi i rastësishëm përkufizohet si pritshmëria matematikore e produktit të dy seksioneve të përqendruara të procesit, të marra në momente t 1 dhe t 2. Në këtë rast, pritshmëria matematikore llogaritet duke përdorur një densitet probabiliteti dy-dimensional . Për një proces të rastësishëm të palëvizshëm, densiteti i probabilitetit dy-dimensional dhe, në përputhje me rrethanat, funksioni i korrelacionit nuk varen nga t 1 dhe t 2 veçmas, por vetëm nga ndryshimi i tyre = t 2 - t 1 . Në përputhje me këtë, funksioni korrelativ i një procesi të palëvizshëm përcaktohet nga shprehja

(3.1)

ku është pritshmëria matematikore e një procesi të palëvizshëm; X 1 , X 2 - vlerat e mundshme proces i rastësishëm, përkatësisht, nganjëherë t 1 , t 2 ; = t 2 – t 1 - intervali kohor midis seksioneve; - dendësia dydimensionale e probabilitetit të një procesi të palëvizshëm. Shprehja e dytë për të marra nga zbulimi kllapa katrore shprehja e parë dhe duke marrë parasysh vetitë e pritshmërisë matematikore.

NË literaturë shkencore dhe teknike një karakteristikë e tillë e një procesi të rastësishëm përdoret gjithashtu si funksioni i kovariancës K (t), që kuptohet si pritshmëri matematikore e produktit të dy vlerave të procesit, të marra përkatësisht në momente t 1 dhe t 2:

(3.2)

kështu që raporti është i drejtë

(3.3)

Nëse , pastaj konceptet Dhe përputhen. Nëse ai gjithashtu ka veti ergodike, atëherë funksioni i korrelacionit mund të përcaktohet nga një zbatim i gjatë:

(3.4)

Ku T- intervali i vëzhgimit të një realizimi të vetëm x(t) procesi ; - i njëjti zbatim x(t), u vonua për një kohë.

Formula (3.4) mund të përdoret si bazë për ndërtimin Skema strukturore një pajisje që mat funksionin e korrelacionit, e quajtur korrelometër. Për të ndërtuar një korrelometër, kërkohet një shumëzues, një pajisje vonese me një kohë vonese të ndryshueshme dhe një integrues (Fig. 3.1). Kjo pajisje mat ose varësisht nëse është zero apo jo.

Funksioni i korrelacionit i një procesi të rastësishëm të palëvizshëm, si funksioni korrelativ i një procesi të rastësishëm në përgjithësi, është funksion real argument. Ku karakterizon nga dy anë. Së pari, përcakton fuqinë specifike mesatare të luhatjeve. A Së dyti, na lejon të gjykojmë shkallën lidhje lineare ndërmjet dy seksioneve të një procesi të rastësishëm të ndarë nga njëri-tjetri me një interval kohor. Dimensioni përkon me dimensionin e katrorit të procesit të rastit. Le të shqyrtojmë vetitë e funksionit të korrelacionit.

1. Funksioni i korrelacionit në = 0 është i barabartë me variancën e procesit

(3.5)

Kjo veti rrjedh drejtpërdrejt nga formula (3.1), nëse vendosim = 0 në të.

2. Funksioni korrelativ i një procesi stacionar është madje funksion argumenti:

(3.6)

Kjo veti rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi i një procesi të palëvizshëm, për të cilin nuk janë vlerat e momenteve dhe t 2, dhe distanca në kohë e një seksioni nga një tjetër |t 2 -t 1 |.

3. Funksioni i korrelacionit për cilindo t nuk mund të tejkalojë vlerën e tij në = 0:

(3.7)

Kjo pronë fizikisht do të thotë se shkallën më të madhe Lidhja lineare sigurohet ndërmjet të njëjtit seksion, pra në =0. Vërtetë, nëse është një proces periodik, atëherë mund të ketë një tjetër, në përpjesëtim me periudhën e procesit, për të cilin ka një lidhje të rreptë funksionale midis dhe . Prandaj, në rastin e përgjithshëm, jo ​​vetëm pabarazia, por edhe barazia mund të plotësohet në formulën (3.7).

4. Funksioni i korrelacionit mund të paraqitet si

(3.8)

Ku r(t) funksioni i korrelacionit të normalizuar, i cili ka kuptimin e një koeficienti korrelacioni në varësi dhe të përmbajtur brenda

. (3.9)

Karakterizon vetëm shkallën e lidhjes lineare ndërmjet seksioneve të një procesi të rastësishëm të marrë përmes intervalit. Nga ana tjetër, shpërndarja e një procesi karakterizon vetëm fuqinë mesatare specifike të luhatjeve të një procesi të rastësishëm.

FUNKSIONI KORELACIONI

proces real i rastësishëm - argumente t,. të përcaktuara nga barazia

Në mënyrë që K. f. është përcaktuar, duhet të supozohet se procesi X(t) ka një sekondë të fundme. përkufizohet në mënyrë krejtësisht të ngjashme. funksioni i rastësishëm i përcaktuar në një grup të natyrës arbitrare, në veçanti K. f. fushë e rastësishme kur T - një nëngrup i një hapësire me dimensione të fundme. Nëse është shumëdimensionale (), atëherë K. f. thirrur funksioni me vlerë matrice

Funksioni i ndërlidhjes së proceseve X i(t) , Xj(t).

K. f. është karakteristikë e rëndësishme proces i rastësishëm. Nëse X(t) - Procesi Gaussian, pastaj K. f. NË( t, s dhe vlera (d.m.th., momenti i parë dhe i dytë) përcaktojnë në mënyrë unike shpërndarjet me dimensione të fundme, dhe rrjedhimisht procesin në tërësi. Në rastin e përgjithshëm, dy momentet e para janë dukshëm të pamjaftueshme për një përshkrim të plotë të një procesi të rastësishëm. Për shembull, i njëjti K. f. kanë një trajektore Gaussian trajektoret e të cilave janë të vazhdueshme, dhe të ashtuquajturat. sinjal telegrafi - pika Markoviane proces i palëvizshëm , duke marrë dy vlera ±1. Megjithatë, K.f. përcakton veti të rëndësishme procesi - i ashtuquajturi vetitë e rendit të dytë (d.m.th., të shprehura në terma të momenteve të dyta). Për shkak të kësaj, dhe gjithashtu për shkak të saj, thjeshtësi relative metodat e korrelacionit përdoren gjerësisht si në teorinë e proceseve të rastësishme ashtu edhe në statistikat e saj. aplikacionet (shih).

Korrelogrami Nëse R(t).është shtesë e vazhdueshme në t= 0 , (që korrespondon me vazhdimësinë mesatare katrore të procesit X(t))

Se ku është finalja pozitive; këtu l përshkon të gjithë vijën reale nëse T= (rasti i "kohës së vazhdueshme"), ose nëse T= (..., - 1, 0, 1, . . .) (rasti i “kohës diskrete”). Masa quhet masë spektrale e një procesi të rastësishëm. Kështu, korrelacioni dhe vetitë spektrale procesi i rastësishëm i palëvizshëm rezulton të jetë i lidhur ngushtë; për shembull, shkalla e uljes së korrelacioneve në korrespondon me shkallën e butësisë dendësia spektrale

NË e kështu me radhë. mekanika statistikore K. f. thirrur gjithashtu e përbashkët r( x 1, ..., x t ).gjetja e grimcave të ndryshme të sistemit në shqyrtim në pika..., x 1, x t

;bashkësia e këtyre funksioneve përcakton në mënyrë unike pikën përkatëse. Ndezur. : Dub J., Proceset probabilistic, trans. nga anglishtja, M., 1956; L o e në M., Teoria e Probabilitetit, përkth. nga anglishtja, M., 1962; Gikhman I.I., Skorokhod A.V., Hyrje në teorinë e proceseve të rastësishme, M., 1965.

A. S. Kholevo. Enciklopedi matematikore. - M.: Enciklopedia Sovjetike

.

I. M. Vinogradov. 1977-1985. Shihni se çfarë është "FUNKSIONI KORELACION" në fjalorë të tjerë: funksioni i korrelacionit - PKD. funksioni i autokorrelacionit Funksion i barabartë me vlerën mesatare të produktit të komponentit të ndryshueshëm sinjal i rastësishëm dhe i njëjti komponent variabël, por i vonuar nga

Funksioni i korrelacionit është një funksion i kohës ose koordinatave hapësinore që specifikon korrelacionin në sisteme me procese të rastësishme. Korrelacioni i varur nga koha i dy funksioneve të rastësishëm X(t) dhe Y(t) përcaktohet si: , ku kllapat këndore ... ... Wikipedia

NË fizika statistikore funksioni që përcakton probabilitetin lidhet. rregullimi i një kompleksi prej s çdo molekule të lëngshme ose të gazit; në s=2 K.f. thirrur çift ​​ose binare. Shfaqja e korrelacioneve në renditjen e molekulave të mediumit është për faktin se në afërsi të... Enciklopedi fizike

Funksioni i procesit të rastësishëm B (s, t) = M[ X (s) MX (s)].*, s, [këtu MX (t) është momenti i parë i procesit, * do të thotë konjugim kompleks; supozohet se. Kur procesi vektorial K. f. i quajtur korrel... Enciklopedi fizike- 1. Një funksion i barabartë me vlerën mesatare të produktit të komponentit të ndryshueshëm të një sinjali të rastësishëm dhe të njëjtit komponent të ndryshueshëm, por i vonuar me një kohë të caktuar, i përdorur në dokument: GOST 16465 70 Sinjalet matëse të inxhinierisë radio. Fjalori i telekomunikacionit

Shihni funksionin e korrelacionit të një procesi të rastësishëm. Fjalori gjeologjik: në 2 vëllime. M.: Nedra. Redaktuar nga K. N. Paffengoltz et al. 1978 ... Enciklopedia gjeologjike

Funksioni korrelativ i një procesi të rastësishëm- 16. Funksioni korrelativ i një procesi të rastit Një funksion i dy ndryshoreve t dhe u, i barabartë me funksionin e kovariancës së një procesi të rastësishëm të përqendruar Rξ (t, u) = M([ξ(t) m1]×[ξ(u) m2]), t,uЄT Burimi ... Fjalor-libër referues i termave të dokumentacionit normativ dhe teknik

Funksioni i korrelacionit të normalizuar- 25. Funksioni i korrelacionit të normalizuar NDP. Funksioni i koeficientit të korrelacionit, e barabartë me raportin funksioni i korrelacionit të një sinjali të rastësishëm me variancën e tij