Vektor i amplitudës. Paraqitja grafike e dridhjeve harmonike

Shtimi i disa lëkundjeve të të njëjtit drejtim (ose, çfarë është i njëjtë, shtimi i disa funksionet harmonike) lehtësohet shumë dhe bëhet e qartë nëse lëkundjet përshkruhen grafikisht në formën e vektorëve në një rrafsh.

Le të marrim një bosht, të cilin do ta shënojmë si "x". Nga pika O, e marrë në bosht, në një kënd të barabartë me fazën fillestare të lëkundjeve, vizatojmë një vektor me gjatësi A (Fig. 8.3). Le të projektojmë vektorin A në boshtin x, marrim x 0 =A cos a është zhvendosja fillestare e pikës lëkundëse nga pozicioni i ekuilibrit. Le ta rrotullojmë këtë vektor në drejtim të kundërt të akrepave të orës me shpejtësi këndore w 0 . Pozicioni i këtij vektori në çdo kohë do të karakterizohet nga kënde të barabarta me:

w 0 t 1 +a; w 0 t 2 +a; w 0 t 3 +a; etj.

Dhe projeksioni i këtij vektori do të lëvizë përgjatë boshtit "x" në rangun nga –A në +A. Për më tepër, koordinata e këtij projeksioni do të ndryshojë me kalimin e kohës sipas ligjit:

.

Rrjedhimisht, projeksioni i fundit të vektorit në një bosht arbitrar do të kryejë një lëkundje harmonike me një amplitudë e barabartë me gjatësinë vektor, frekuencë rrethore e barabartë me shpejtësinë këndore të rrotullimit të vektorit dhe fazën fillestare e barabartë me këndin, e formuar nga një vektor me aks në momenti i fillimit koha.

Pra, një lëkundje harmonike mund të specifikohet duke përdorur një vektor, gjatësia e të cilit është e barabartë me amplituda e lëkundjes, dhe drejtimi i vektorit formon një kënd me boshtin "x" të barabartë me fazën fillestare të lëkundjes.

Le të shqyrtojmë shtimin e dy lëkundjeve harmonike të të njëjtit drejtim dhe të së njëjtës frekuencë. Zhvendosja e trupit oscilues “x” do të jetë shuma e zhvendosjeve x 1 dhe x 2, e cila do të shkruhet si më poshtë:

Le të paraqesim të dy lëkundjet duke përdorur vektorë dhe (Fig. 8.4) Duke përdorur rregullat për mbledhjen e vektorëve, ndërtojmë vektorin që rezulton. Projeksioni i këtij vektori në boshtin X do të jetë i barabartë me shumën e projeksioneve të vektorëve përmbledhës: x=x 1 +x 2. Prandaj, vektori përfaqëson dridhjen që rezulton. Ky vektor rrotullohet me të njëjtën shpejtësi këndore w 0 si vektorët dhe , kështu që lëvizja që rezulton do të jetë një lëkundje harmonike c me frekuencë w 0, amplitudë “a” dhe fazë fillestare a. Nga ndërtimi rezulton se

Pra, paraqitja e lëkundjeve harmonike me anë të vektorëve bën të mundur reduktimin e shtimit të disa lëkundjeve në veprimin e shtimit të vektorëve. Kjo metodë është më e thjeshtë dhe më e qartë sesa përdorimi i transformimeve trigonometrike.

Le të analizojmë shprehjen për amplitudë. Nëse diferenca fazore e të dy lëkundjeve a 2 - a 1 = 0, atëherë amplituda e lëkundjes që rezulton është e barabartë me shumën ( A 2 + A 1). Nëse diferenca fazore a 2 - a 1 = +p ose -p, d.m.th. lëkundjet janë në antifazë, atëherë amplituda e lëkundjes që rezulton është e barabartë me .

Nëse frekuencat e lëkundjeve x 1 dhe x 2 nuk janë të njëjta, vektorët dhe do të rrotullohen me me shpejtësi të ndryshme. Në këtë rast, vektori që rezulton pulson në madhësi dhe rrotullohet me një shpejtësi të ndryshueshme. Prandaj, lëvizja që rezulton do të jetë në këtë rast Jo Vetëm dridhje harmonike, por disa procese osciluese komplekse.

Dridhjet harmonike

Ato. në fakt, grafiku i sinusit merret nga rrotullimi i vektorit, i cili përshkruhet me formulën:

F(x) = Një mëkat (ωt + φ),

Ku A është gjatësia e vektorit (amplituda e lëkundjes), φ është këndi fillestar (faza) e vektorit në kohën zero, ω - shpejtësia këndore rrotullimi, i cili është i barabartë me:

ω=2 πf, ku f është frekuenca në Hertz.

Siç e shohim, duke ditur frekuencën, amplituda dhe këndin e sinjalit, mund të ndërtojmë një sinjal harmonik.

Magjia fillon kur rezulton se përfaqësimi i absolutisht çdo sinjali mund të përfaqësohet si një shumë (shpesh e pafundme) e sinusoideve të ndryshme. Me fjalë të tjera, në formën e një serie Furier.
Unë do të jap një shembull nga Wikipedia në anglisht. Le të marrim një sinjal me dhëmb sharrë si shembull.

Sinjali i rampës

Shuma e saj do të përfaqësohet me formulën e mëposhtme:

Nëse mbledhim një nga një, marrim fillimisht n=1, pastaj n=2, etj., do të shohim se si sinjali ynë harmonik sinusoidal shndërrohet gradualisht në sharrë:

Kjo ndoshta është ilustruar më bukur nga një program që gjeta në internet. U tha tashmë më lart se grafiku sinus është një projeksion i një vektori rrotullues, por ç'të themi për sinjalet më komplekse? Ky, çuditërisht, është një projeksion i shumë vektorëve rrotullues, ose më mirë shuma e tyre, dhe gjithçka duket kështu:

Sharrë për vizatim me vektor.

Në përgjithësi, unë rekomandoj të shkoni vetë në lidhje dhe të përpiqeni të luani vetë me parametrat dhe të shihni se si ndryshon sinjali. IMHO Unë kurrë nuk kam parë një lodër më vizuale për të kuptuar.

Duhet të theksohet gjithashtu se ekziston një procedurë e kundërt që ju lejon të merrni frekuencën, amplituda dhe fazën fillestare (kënd) nga një sinjal i caktuar, i cili quhet Transformimi Furier.

Zgjerimi i serive Furier të disa të njohurve funksionet periodike(nga këtu)

Nuk do të ndalem në të në detaje, por do të tregoj se si mund të zbatohet në jetë. Në bibliografi unë do të rekomandoj se ku mund të lexoni më shumë rreth materialit.

Le të kalojmë në ushtrime praktike!

Më duket se çdo student bën një pyetje ndërsa është ulur në një leksion, për shembull në matematikë: pse më duhen gjithë këto marrëzi? Dhe si rregull, pasi nuk ka gjetur një përgjigje në të ardhmen e parashikueshme, për fat të keq, ai humbet interesin për këtë temë. Kështu që unë do t'ju tregoj menjëherë përdorim praktik këtë njohuri, dhe ju vetë do ta zotëroni këtë njohuri :).

Unë do të zbatoj gjithçka më tej vetë. Unë bëra gjithçka, natyrisht, nën Linux, por nuk përdora ndonjë specifikë në teori, programi do të përpilohet dhe do të funksionojë nën platforma të tjera.

Së pari, le të shkruajmë një program për të gjeneruar një skedar audio. Skedari wav u mor si më i thjeshti. Ju mund të lexoni për strukturën e saj.
Shkurtimisht, struktura e një skedari wav përshkruhet si më poshtë: një kokë që përshkruan formatin e skedarit, dhe më pas ka (në rastin tonë) një grup të dhënash 16-bit (pointer) me një gjatësi prej: sampling_frequency*t sekonda ose 44100*t copa.

Një shembull është marrë për të krijuar një skedar zanor. E modifikova pak, korrigjova gabimet dhe versioni përfundimtar me modifikimet e mia është tani në Github këtu

Le të gjenerojmë një skedar zanor prej dy sekondash me një valë të pastër sinusale me një frekuencë prej 100 Hz. Për ta bërë këtë, ne modifikojmë programin si më poshtë:

#define S_RATE (44100) //frekuenca e kampionimit #define BUF_SIZE (S_RATE*10) /* 2 sekonda buffer */ …. int main(int argc, char * argv) ( ... amplituda notuese = 32000; //merr amplituda maksimale e mundshme float freq_Hz = 100; //frekuenca e sinjalit /* mbushja e tamponit me një valë sinusi */ për (i=0 i

Ju lutemi vini re se formula për sinusin e pastër korrespondon me atë që diskutuam më sipër. Amplituda prej 32000 (mund të ishte marrë 32767) korrespondon me vlerën që mund të marrë një numër 16-bit (nga minus 32767 në plus 32767).

Si rezultat, marrim skedarin e mëposhtëm (madje mund ta dëgjoni me çdo program riprodhues të zërit). Le të hapim këtë skedar të guximit dhe të shohim se grafiku i sinjalit në të vërtetë korrespondon me një valë të pastër sinus:

Sinus tub i pastër

Le të shohim spektrin e këtij sinusi (Analysis->Plot spectrum)

Grafiku i spektrit

Një kulm i qartë është i dukshëm në 100 Hz ( shkallë logaritmike). Çfarë është spektri? Kjo është karakteristika amplitudë-frekuencë. Ekziston gjithashtu një karakteristikë e frekuencës së fazës. Nëse ju kujtohet, thashë më lart se për të ndërtuar një sinjal duhet të dini frekuencën, amplituda dhe fazën e tij? Pra, ju mund t'i merrni këto parametra nga sinjali. NË në këtë rast Ne kemi një grafik të frekuencave që korrespondojnë me amplituda, dhe amplituda nuk është në njësi reale, por në Decibel.

Unë e kuptoj që për të shpjeguar se si funksionon programi, është e nevojshme të shpjegohet se çfarë është transformimi i shpejtë i Furierit, dhe ky është të paktën një artikull më shumë.

Së pari, le të ndajmë vargjet:

C = calloc(size_array*2, sizeof(float)); // grup i faktorëve të rrotullimit në = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //input array out = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //arresë dalëse

Më lejoni të them vetëm se në program ne lexojmë të dhëna në një grup me gjatësi size_array (të cilin e marrim nga kreu i skedarit wav).

Ndërsa(fread(&vlera,madhësia e(vlerës),1,wav)) (në[j]=(lundrues)vlera; j+=2; nëse (j > 2*madhësia_array) thyejnë; )

Array për konvertim i shpejtë Furieri duhet të jetë një sekuencë (re, im, re, im,… re, im), ku fft_size=1<< p - число точек БПФ. Объясняю нормальным языком:
është një grup numrash kompleksë. Madje kam frikë të imagjinoj se ku përdoret transformimi kompleks i Furierit, por në rastin tonë, pjesa jonë imagjinare është e barabartë me zero, dhe pjesa reale është e barabartë me vlerën e secilës pikë të grupit.
Një veçori tjetër e transformimit të shpejtë të Furierit është se ai llogarit vargje që janë shumëfisha të fuqive të dy. Si rezultat, ne duhet të llogarisim fuqinë minimale prej dy:

Int p2=(int)(log2(header.bytes_in_data/header.bytes_by_capture));

Logaritmi i numrit të bajteve në të dhëna pjesëtuar me numrin e bajteve në një pikë.

Pas kësaj, ne llogarisim faktorët e rrotullimit:

Fft_make(p2,c // funksioni për llogaritjen e faktorëve të rrotullimit për FFT (parametri i parë është një fuqi prej dy, i dyti është një grup i caktuar i faktorëve të rrotullimit).

Dhe ne ushqejmë grupin tonë të vetëm në transformatorin Fourier:

Fft_calc(p2, c, brenda, jashtë, 1); //(një do të thotë se po marrim një grup të normalizuar).

Në dalje marrim numra kompleks të formës (re, im, re, im,… re, im). Për ata që nuk e dinë se çfarë është një numër kompleks, unë do t'ju shpjegoj. Nuk është më kot që e nisa këtë artikull me një mori vektorësh rrotullues dhe një mori GIF. Pra, një vektor në planin kompleks përcaktohet nga koordinata reale a1 dhe koordinata imagjinare a2. Ose gjatësia (kjo është amplituda Am për ne) dhe këndi Psi (faza).

Vektori në planin kompleks

Ju lutemi vini re se size_array=2^p2. Pika e parë e grupit korrespondon me një frekuencë prej 0 Hz (konstante), pika e fundit korrespondon me frekuencën e kampionimit, përkatësisht 44100 Hz. Si rezultat, ne duhet të llogarisim frekuencën që korrespondon me secilën pikë, e cila do të ndryshojë nga frekuenca delta:

Double delta=((float)header.frequency)/(float)size_array; //frekuenca e kampionimit për madhësinë e grupit.

Shpërndarja e grupit të amplitudës:

Dyfishtë * përforcues; ampl = calloc(size_array*2, sizeof(double));

Dhe shikoni foton: amplituda është gjatësia e vektorit. Dhe ne kemi projeksionet e tij në boshtin real dhe imagjinar. Si rezultat, ne do të kemi një trekëndësh kënddrejtë, dhe këtu kujtojmë teoremën e Pitagorës dhe numërojmë gjatësinë e secilit vektor dhe e shkruajmë menjëherë në një skedar teksti:

Për(i=0;i<(size_array);i+=2) { fprintf(logfile,"%.6f %f\n",cur_freq, (sqrt(out[i]*out[i]+out*out))); cur_freq+=delta; }
Si rezultat, marrim një skedar diçka si kjo:

… 11.439514 10.943008 11.607742 56.649738 11.775970 15.652428 11.944199 21.872342 12.112427 30.635371 12.280655 30.329171 12.448883 11.932371 12.617111 20.777617 ...

Le te perpiqemi!

Tani ne ushqejmë programin që rezulton me atë skedar zanor sinus

./fft_an ../generate_wav/sin\ 100\ Hz.wav format: 16 bit, PCM i pakompresuar, kanali 1, frekuenca 44100, 88200 bajte për sekondë, 2 bit për kapje, 2 bit për mostër, 882000 bajte = të dhëna 441000 log2=18 grupi i madhësisë=262144 formati wav Max Freq = 99.928, amp =7216.136

Dhe marrim një skedar teksti të përgjigjes së frekuencës. Ne ndërtojmë grafikun e tij duke përdorur një gnuplot

Skript për ndërtimin:

#! /usr/bin/gnuplot -persist set terminal postscript eps me ngjyra të zgjeruara dalje e grupit të ngurtë "result.ps" #set terminal png madhësia 800, 600 #set output "result.png" set grid xtics ytics set log xy set xlabel "Freq, Hz" vendos etiketën "Amp, dB" vendos xrange #set yrange komplot "test.txt" duke përdorur titullin 1:2 "AFC" with lines linestyle 1 !}

Ju lutemi vini re kufizimin në skenar për numrin e pikave përgjatë X: vendosni xrange . Frekuenca jonë e kampionimit është 44100, dhe nëse kujtojmë teoremën e Kotelnikov, atëherë frekuenca e sinjalit nuk mund të jetë më e lartë se gjysma e frekuencës së kampionimit, prandaj nuk jemi të interesuar për një sinjal mbi 22050 Hz. Pse është kështu, ju këshilloj të lexoni në literaturë të specializuar.
Pra (rrotullimi i daulleve), ne ekzekutojmë skenarin dhe shohim:

Spektri i sinjalit tonë

Vini re kulmin e mprehtë në 100 Hz. Mos harroni se akset janë në një shkallë logaritmike! Leshi në të djathtë është ajo që unë mendoj se janë gabimet e transformimit të Fourierit (këtu vijnë në mendje dritaret).

Le të kënaqemi?

Eja! Le të shohim spektrat e sinjaleve të tjera!

Ka zhurmë përreth...

Double d_random(minim i dyfishtë, maksimumi i dyfishtë) (kthimi min + (maksimumi - min) / RAND_MAX * rand();

Do të gjenerojë një numër të rastësishëm brenda intervalit të caktuar. Si rezultat, kryesore do të duket kështu:

Int main(int argc, char * argv) ( int i; amplituda notuese = 32000; srand((int) koha e panënshkruar(0)); //inicializoni gjeneratorin e numrave të rastësishëm për (i=0; i

Le të krijojmë një skedar (unë rekomandoj ta dëgjoni). Le ta shohim me guxim.

Sinjalizoni me guxim

Le të shohim spektrin në programin e guximit.

Gama

Dhe le të shohim spektrin duke përdorur programin tonë:

Spektri ynë

Unë do të doja të tërhiqja vëmendjen tuaj për një fakt dhe veçori shumë interesante të zhurmës - ai përmban spektrat e të gjitha harmonive. Siç mund të shihet nga grafiku, spektri është mjaft i barabartë. Në mënyrë tipike, zhurma e bardhë përdoret për analizën e frekuencës së gjerësisë së brezit, siç janë pajisjet audio. Ekzistojnë lloje të tjera të zhurmës: rozë, blu dhe të tjera. Detyra e shtëpisë është të zbuloni se si ndryshojnë ato.

Po komposto?

Tani le të shohim një sinjal tjetër interesant - një gjarpërim. Unë dhashë më lart një tabelë zgjerimesh të sinjaleve të ndryshme në seritë Furier, ju shikoni se si zgjerohet gjarpërimi, shkruani në një copë letër dhe ne do të vazhdojmë.

Për të gjeneruar një valë katrore me një frekuencë prej 25 Hz, ne modifikojmë edhe një herë gjeneratorin tonë të skedarëve wav:

Int main(int argc, char * argv) ( int i; shkurt int meandr_value=32767; /* mbush buffer me një valë sinus */ për (i=0; i

Si rezultat, marrim një skedar audio (përsëri, ju këshilloj ta dëgjoni), të cilin duhet ta shikoni menjëherë me guxim

Madhëria e Tij - gjarpërimi ose gjarpërimi i një personi të shëndetshëm

Le të mos lodhemi dhe të hedhim një vështrim në spektrin e tij:

Spektri meander

Nuk është ende shumë e qartë se çfarë është... Le të hedhim një vështrim në harmonikat e para:

Harmonikët e parë

Është një çështje krejtësisht tjetër! Epo, le të shohim shenjën. Shikoni, ne kemi vetëm 1, 3, 5, etj., d.m.th. harmonike teke. Shohim që harmoniku ynë i parë është 25 Hz, i tjetri (i treti) është 75 Hz, pastaj 125 Hz, etj., ndërsa amplituda jonë gradualisht zvogëlohet. Teoria takohet me praktikën!
Tani vëmendje! Në jetën reale, një sinjal me valë katrore ka një shumë të pafund harmonish të frekuencave më të larta dhe më të larta, por si rregull, qarqet elektrike reale nuk mund të kalojnë frekuenca mbi një frekuencë të caktuar (për shkak të induktivitetit dhe kapacitetit të gjurmëve). Si rezultat, shpesh mund të shihni sinjalin e mëposhtëm në ekranin e oshiloskopit:

gjarpërimi i duhanpirësit

Kjo foto është njësoj si fotografia nga Wikipedia, ku për shembull një gjarpërim nuk janë marrë të gjitha frekuencat, por vetëm ato të parat.

Shuma e harmonikave të para dhe si ndryshon sinjali

Meandri përdoret gjithashtu në mënyrë aktive në inxhinierinë radio (duhet thënë se kjo është baza e të gjithë teknologjisë dixhitale), dhe ia vlen të kuptohet se me zinxhirë të gjatë mund të filtrohet në mënyrë që nëna të mos e njohë atë. Përdoret gjithashtu për të kontrolluar përgjigjen e frekuencës së pajisjeve të ndryshme. Një fakt tjetër interesant është se bllokuesit e televizorit funksiononin pikërisht në parimin e harmonikave më të larta, kur vetë mikroqarku gjeneronte një gjarpërim prej dhjetëra MHz, dhe harmonikat e tij më të larta mund të kishin frekuenca prej qindra MHz, pikërisht në frekuencën e funksionimit të televizorit, dhe harmonikat më të larta bllokuan me sukses sinjalin e transmetimit televiziv.

Në përgjithësi, tema e eksperimenteve të tilla është e pafundme, dhe tani mund ta vazhdoni vetë.

Libër

Për ata që nuk e kuptojnë se çfarë po bëjmë këtu, ose anasjelltas, për ata që e kuptojnë por duan ta kuptojnë edhe më mirë, si dhe për studentët që studiojnë DSP, e rekomandoj shumë këtë libër. Ky është një DSP për dummies, i cili është autori i këtij postimi. Atje, konceptet komplekse shpjegohen në një gjuhë të arritshme edhe për një fëmijë.

konkluzioni

Si përfundim, dua të them se matematika është mbretëresha e shkencave, por pa aplikim të vërtetë, shumë njerëz humbasin interesin për të. Shpresoj se ky postim do t'ju inkurajojë të studioni një temë kaq të mrekullueshme si përpunimi i sinjalit, dhe qarku analog në përgjithësi (fikni veshët në mënyrë që truri juaj të mos rrjedhë jashtë!). :)
Paç fat!

Etiketa:

Lëkundje harmonike x = a Cos(w t+ a) gjeometrikisht mund të përfaqësohet nga një projeksion në një drejtim arbitrar x vektor që rrotullohet rreth një boshti fiks me shpejtësi këndore w. Gjatësia e këtij vektori është e barabartë me amplituda e lëkundjes, dhe drejtimi i tij fillestar formohet me boshtin x kënd i barabartë me fazën fillestare të lëkundjes - a. Duke përdorur këtë interpretim gjeometrik, ne do të zgjidhim problemin e shtimit të dy lëkundjeve harmonike të së njëjtës frekuencë dhe drejtim.

x = x 1 + x 2 = a 1 Cos(w t+ a 1) + a 2 Cos(w t+ a 2).

Le të ndërtojmë një vektor (në një kënd a 1 me boshtin x), që përfaqëson dridhjen e parë. Le t'i shtojmë atij vektorin që formon një kënd a 2 me boshtin x(Fig. 12.8). Shuma e projeksioneve të këtyre vektorëve në bosht xështë e barabartë me projeksionin në këtë bosht të vektorit të barabartë me shumën dhe .

x = x 1 + x 2 .

Oriz. 12.8

Le ta sjellim këtë diagram vektorial në rrotullim me shpejtësi këndore w rreth një boshti që kalon nga origjina e koordinatave - pika O. Në këtë rast, barazia x = x 1 + x 2 do të mbetet i pandryshuar me kalimin e kohës, megjithëse vetë parashikimet x, x 1 dhe x 2 tani do të pulsojë sipas një ligji harmonik me të njëjtën frekuencë w dhe me faza fillestare a, a 1 dhe a 2 - respektivisht. Si rezultat i shtimit të dy dridhjeve:

x 1 = a 1 Cos(w t+ a 1) dhe x 2 = a 2 Cos(w t+ a 2) ndodh një lëkundje e re x = x 1 + x 2 =

= a Cos(w t+ a), frekuenca e së cilës - w - përkon me frekuencën e lëkundjeve të shtuara. Amplituda e saj është e barabartë me vlerën absolute të vektorit, dhe faza fillestare a, siç tregohet nga Fig. 12.8 është e barabartë me:

.

Për të llogaritur amplituda " A» lëkundje totale, ne përdorim teoremën e kosinusit:

Amplituda e lëkundjes që rezulton varet jo vetëm nga amplituda e lëkundjeve të shtuara A 1 dhe A 2, por edhe mbi diferencën në fazat e tyre fillestare. Lëkundje me amplitudë maksimale, A = a max = a 1 + a 2 ndodh kur shtohen lëkundjet në fazë, domethënë kur fazat e tyre fillestare përkojnë: a 1 = a 2.

Nëse diferenca e fazës (a 2 - a 1) = p, atëherë amplituda e lëkundjes totale do të jetë minimale a = a min = | a 1 – a 2 |. Nëse amplituda e lëkundjeve të tilla që ndodhin në antifazë janë të barabarta me ( a 1 = a 2), atëherë amplituda e lëkundjes totale do të jetë e barabartë me zero.

Ne shpesh do ta përdorim këtë metodë të diagrameve vektoriale në të ardhmen kur shtojmë jo vetëm lëkundjet, por edhe valët.

Leksioni 13 “Vibrimet mekanike”

Skica e ligjëratës

1. Energjia e një oshilatori harmonik.

2. Lëkundjet natyrore të amortizuara.

3. Dridhjet e detyruara. Rezonanca. Amplituda dhe faza e lëkundjeve të detyruara.

Zgjidhja e një numri çështjesh, në veçanti shtimi i disa lëkundjeve të të njëjtit drejtim (ose, çfarë është i njëjtë, shtimi i disa funksioneve harmonike), lehtësohet shumë dhe bëhet i qartë nëse lëkundjet përshkruhen grafikisht si vektorë në një aeroplan. Diagrami i përftuar në këtë mënyrë quhet diagram vektorial.

Marrim boshtin, të cilin e shënojmë me shkronjën x (Fig. 55.1). Nga pika O, e marrë në bosht, vizatojmë një vektor me gjatësi a, duke formuar një kënd a me boshtin.

Nëse e sjellim këtë vektor në rrotullim me shpejtësi këndore, atëherë projeksioni i fundit të vektorit do të lëvizë përgjatë boshtit x në intervalin nga -a në +a, dhe koordinata e këtij projeksioni do të ndryshojë me kalimin e kohës sipas ligjit.

Rrjedhimisht, projeksioni i fundit të vektorit mbi bosht do të kryejë një lëkundje harmonike me një amplitudë të barabartë me gjatësinë e vektorit, me një frekuencë rrethore të barabartë me shpejtësinë këndore të rrotullimit të vektorit dhe me një fazë fillestare të barabartë. në këndin e formuar nga vektori me boshtin në momentin fillestar të kohës.

Nga sa më sipër rezulton se një lëkundje harmonike mund të specifikohet duke përdorur një vektor, gjatësia e të cilit është e barabartë me amplituda e lëkundjes, dhe drejtimi i vektorit formon një kënd me boshtin x të barabartë me fazën fillestare të lëkundje.

Le të shqyrtojmë shtimin e dy lëkundjeve harmonike të të njëjtit drejtim dhe të së njëjtës frekuencë. Zhvendosja x e trupit oscilues do të jetë shuma e zhvendosjeve, e cila do të shkruhet si më poshtë:

Le të paraqesim të dy lëkundjet duke përdorur vektorë (Fig. 55.2). Le të ndërtojmë vektorin a që rezulton sipas rregullave të mbledhjes së vektorit.

Është e lehtë të shihet se projeksioni i këtij vektori në boshtin x është i barabartë me shumën e projeksioneve të vektorëve përmbledhës:

Prandaj, vektori a paraqet lëkundjen që rezulton. Ky vektor rrotullohet me të njëjtën shpejtësi këndore si vektorët në mënyrë që lëvizja që rezulton do të jetë një lëkundje harmonike me amplitudë frekuence a dhe fazë fillestare a. Nga ndërtimi duket qartë se

Pra, paraqitja e lëkundjeve harmonike me anë të vektorëve bën të mundur reduktimin e shtimit të disa lëkundjeve në veprimin e shtimit të vektorëve. Kjo teknikë është veçanërisht e dobishme, për shembull, në optikë, ku lëkundjet e dritës në një pikë të caktuar përcaktohen si rezultat i mbivendosjes së shumë lëkundjeve që arrijnë në një pikë të caktuar nga pjesë të ndryshme të frontit të valës.

Formulat (55.2) dhe (55.3) sigurisht që mund të merren duke shtuar shprehjet (55.1) dhe duke kryer transformimet përkatëse trigonometrike. Por metoda që kemi përdorur për të marrë këto formula është më e thjeshtë dhe më e qartë.

Le të analizojmë shprehjen (55.2) për amplitudë. Nëse diferenca e fazës ndërmjet të dy lëkundjeve është zero, amplituda e lëkundjes që rezulton është e barabartë me shumën e a dhe a. Nëse diferenca e fazës është e barabartë me ose, d.m.th., të dy lëkundjet janë në antifazë, atëherë amplituda e lëkundjes që rezulton është e barabartë me

Nëse frekuencat e lëkundjeve nuk janë të njëjta, vektorët a dhe do të rrotullohen me shpejtësi të ndryshme. Në këtë rast, vektori që rezulton a pulson në madhësi dhe rrotullohet me një shpejtësi të ndryshueshme. Rrjedhimisht, lëvizja që rezulton në këtë rast nuk do të jetë një lëkundje harmonike, por një proces oscilues kompleks.