Tema:Ekuacioni. Zgjidhja e ekuacioneve bazuar në marrëdhëniet midis veprimeve të mbledhjes dhe zbritjes. Term i panjohur.
Objektivi i mësimit: zhvillojnë aftësinë për të zgjidhur ekuacionet me term i panjohur bazuar në marrëdhëniet ndërmjet veprimeve të mbledhjes dhe zbritjes; zhvillimi i aftësive për të mbledhur dhe zbritur dhjetëshe; përsëritja e njohurive për forma gjeometrike; duke ushqyer interesin për matematikën.
Ecuria e mësimit
2.Përditësimi njohuri të sfondit, aftësitë dhe aftësitë.
1. Lojë “Trego shenjën”. Mësuesi/ja lexon problemat:
Bleva 10 zarfe pa pulla. Kam ngjitur pulla në 4 zarfe. Sa zarfe kanë mbetur pa pulla?
Albumi përmban 8 fotografi me ngjyra, dhe 3 më pak bardh e zi. Sa foto bardh e zi ka në album?
Kemi mbledhur 7 kanaçe me mjedra dhe 3 kanaçe me rrush pa fara. Sa kavanoza me manaferra keni mbledhur?
Buqeta përmban 5 karafila të verdhë dhe 8 të bardhë. Sa më pak karafila të verdhë?
Ka 8 ëmbëlsira në një kuti. Sa ëmbëlsira duhet të merren nga kutia në mënyrë që të mbeten 5 ëmbëlsira në të?
4 djem u larguan nga sheshi i patinazhit, 6 të tjerët vazhduan patinazhin. Sa djem ishin në fillim në pistën e patinazhit?
2. Në karta, gjeni ekuacionet midis hyrjeve dhe nënvizoni ato me një rresht (përgjatë një vizoreje). Ka një shënim në kartat.
4 + 5 = 9 7 – a = 3 6 + b x 4 4 + y = 6
3. Gjeni zgjidhjen e secilit ekuacion. Shkruani atë.
7 + x = 9 8 – y = 2 3 + a = 9
3. Studimi i materialit të ri.
P përgatitja për perceptimin e materialit të ri mësuesi
Bëni katër shembuj.
50 + 40 = 90 90 - 40 = 50
40 + 50 = 90 90 - 50 = 40
Pastaj zgjidhni ekuacionet.
50 + x = 90 x + 40 = 90
X=90 – 50 x= 90 - 40
X=40 x=50_____
50+40=90 50+40=90
Mund të gjendet rrënja e ekuacionit, ose mund të përdorni njohuri për marrëdhënien midis mbledhjes dhe zbritjes. Zgjidhja e ekuacionit duhet të kontrollohet. Nëse zbritni një term nga shuma, ju merrni një term tjetër.
4. Konsolidimi
Zdetyra 2 në fletore. Zgjidhini ekuacionet dhe kontrolloni.
Detyra 4 fq 187. çfarë formash shihni në figurë? Cilat ndërpriten?
5.Puna në një fletore. Nga 23
Detyra 3. zgjidhjen e një problemi me komentimin nga vendi
6. Punoni në një temë metodologjike. që synojnë zhvillimin të menduarit logjik. Mësoni të ndërtoni deklarata logjike.
Detyra 4 nga 24
Detyra 5. f 187. Cila dhuratë është më e rëndë? Cila është më e lehtë?
7. Detyrë shtëpie nga 23 z 1 8. Përmbledhje e mësimit
Mësimi 80-81. Tema: “Zgjidhja e ekuacioneve”
Qëllimet: të mësojnë të zgjidhin ekuacione me terma të panjohur; përsëris raportin e njësive të gjatësisë; konsolidoni aftësitë e llogaritjes në një kolonë; të zhvillojë aftësi të arsyetimit dhe të të menduarit logjik.
Rezultatet e planifikuara: nxënësit do të mësojnë të zgjidhin ekuacionet për të gjetur një term të panjohur; të kryejë llogaritjet me shkrim duke përdorur teknikat e mësuara; kuptojnë arsyet e suksesit/dështimit aktivitete edukative.
Ecuria e mësimit
I . Momenti organizativ
II . Përditësimi i njohurive
Diktim matematik
1. Sa është 67 më pak se 89? (Në 22.)
2. Zbrisni 4 dhjetëshe nga 7 dhjetëshe. (30.)
3. Rriteni 23 me 32. (55.)
4. Cilin numër zvogëlova me 27 dhe mora 23? (50.)
5. Sa duhet të rrisni 43 për të marrë 70? (Më 27.)
6. Zbrisni 10 nga shuma e numrave 9 dhe 6. (5.)
7. Cili numër duhet të zbritet nga 64 për të marrë 37? (27.)
8. Cilit numër i keni shtuar 0 dhe keni marrë 44? (44.)
9. Në 21 shtoni ndryshimin midis numrave 14 dhe 6. (29.) 10. Shuma e numrave 33, 16,4 dhe 27. (80.)
(Kontrollo. Vetë-vlerësim.)
III . Vetëvendosje për aktivitet
Bëni tre shembuj të tjerë duke përdorur këtë shembull. 6 + 4=10
(Mësuesi/ja shkruan shembuj në tabelë.) 4 + 6=10 10-4 = 6 10-6 = 4
Çfarë rregulli keni zbatuar gjatë krijimit të shembullit të mbivendosjes? (Shuma nuk ndryshon duke riorganizuar kushtet.)
Çfarë rregulli keni përdorur kur keni krijuar shembullin e zbritjes? (Nëse zbritni një term nga shuma, ju merrni një term tjetër.)
- Për të zbuluar temën e mësimit, zgjidhni fjalëkryqin.
1. Janë numerike dhe alfabetike. (Shprehje.)
2. Numrat që shtohen thirren. (Shtesa.)
3. Numri nga i cili duhet zbritur. (minuend.)
4. Shenja matematikore zbritje. (Minus.)
5. Barazi që përmban numër i panjohur. (Ekuacioni.)
6. Shuma e gjatësive të brinjëve të figurës. (Perimetri.)
7. Shprehje me shenjë plus. (Suma.)
8. Një hyrje që përmban një shenjë të barabartë. (Barazia.)
9. Së paku numër dyshifror. (Dhjetë.) 10. shkronja latine. (X.)
Çfarë ndodhi në rreshtin e theksuar? (Zgjidhja e ekuacioneve.)
Tema e mësimit: "Zgjidhja e ekuacioneve me një term të panjohur". Çfarë detyrash do t'i vendosim vetes?
IV . Punoni në temën e mësimit
1. Puno sipas tekstit shkollor
Shikoni domino në f. 7 tekste dhe shembuj të regjistruar krah për krah. Si merren shembujt e zbritjes? Çfarë rregulli keni përdorur për përpilimin e tyre? Përfundoni përfundimin. ( Për të gjetur termin e panjohur, duhet të zbritni termin e njohur nga shuma.)
№ 1 (fq. 7).(Performanca me gojë.)
№2 (fq. 7).(ekzekutimi kolektiv me shpjegim i detajuar.)
2. Zgjidhje e pavarur ekuacionet
Opsioni 1 Opsioni 2
x + 45 = 92 75 + x = 81
26+x = 50 x + 22 = 70
(Dy nxënës shkruajnë zgjidhjen në dërrasë. Kontrollo. Vetëvlerësim.)
Zgjidhja:
x + 45 = 92 75 + x = 81
x = 92-45 x = 81-75
x = 47 X= 6
26+x=50 x + 22 = 70
x = 50 – 26 x = 70 - 22
3. Punë sipas tekstit shkollor
№3 (fq. 7).(Performanca me gojë.)
№4 (fq. 7). (Vetëekzekutimi Për ata që kanë vështirësi mësuesja jep një kartë ndihme me një program zgjidhjeje.) 1) Sa gota mjedra mblodhi motra?
2) Sa gota me mjedra keni mbledhur së bashku (Kontrollo. Vetëvlerësim.)
V . Minuta e edukimit fizik
Unë jam duke ecur dhe ju po ecni - një, dy, tre. (Hapat në vend.)
Unë këndoj dhe ju këndoni - një, dy, tre. (Duartrokisni duart.)
Shkojmë dhe këndojmë - një, dy, tre. (Duke kërcyer në vend.)
Ne jetojmë shumë miq - një, dy, tre. (Hapat në vend.)
VI . Përforcimi i materialit të mësuar
Puna nga teksti shkollorNr. 1 (f. 14).
Cilat njësi gjatësie dini?
Sa milimetra janë në 1 cm? (ekzekutim i pavarur. Kontrollo.) Zgjidhja:
5 cm 3 mm = 53 mm
3 cm 8 mm = 38 mmNr. 2 (fq. 14).
(ekzekutim i pavarur. Kontrollo.)
1) Zgjidhja:
AB= 3 cm 5 mm, CD= 5 cm 5 mm;
5 cm 5 mm - 3 cm 5 mm = 2 cm.
Përgjigje: gjatësia e segmentit CD 2 cm më shumë se gjatësia e segmentit AB.
2) Zgjidhja: ECMO= 2 cm + 4 cm + 1 cm 5 mm = 7 cm 5 mm. Nr 3 (fq. 14).
(Zbatim i pavarur. Kontrollimi. Vetëvlerësimi.)
Zgjidhja:
2 cm = 20 mm
4 cm 2 mm > 40 mm 30 mm = 3 cm
4 cm 5 mm < 5 cm
VII . Reflektimi
(“Testoje veten” (Libër mësuesi, f. 7). Zbatim i pavarur. Test.)
Zgjidhja: 15+x = 35 x = 35-15 x = 20
VIII . Duke përmbledhur mësimin
Çfarë lloj ekuacionesh ju kujtuan sot?
Si të gjeni një term të panjohur?
Kush ka nevojë për ndihmë?
Detyrë shtëpie: Fletore pune: Nr 10, 11 (f. 6).
§ 1 Si të gjeni një term të panjohur
Si të gjeni rrënjën e një ekuacioni nëse një nga termat është i panjohur? Në këtë mësim do të shikojmë një metodë për zgjidhjen e ekuacioneve bazuar në marrëdhënien midis termave dhe vlerës së shumës.
Le ta zgjidhim këtë problem.
Në shtratin e luleve rriteshin 6 tulipanë të kuq dhe 3 të verdhë. Sa tulipanë kishte në shtratin e luleve? Le të shkruajmë zgjidhjen. Pra, u rritën 6 tulipanë të kuq dhe 3 të verdhë, prandaj, mund të shkruajmë shprehjen 6 + 3, pasi të kryejmë shtimin, marrim rezultatin - 9 tulipanë u rritën në shtratin e luleve.
Le të shkruajmë zgjidhjen. Pra, u rritën 6 tulipanë të kuq dhe 3 të verdhë, prandaj, mund të shkruajmë shprehjen 6 + 3, pasi të kryejmë shtimin, marrim rezultatin - 9 tulipanë u rritën në shtratin e luleve. 6 + 3 = 9.
Le të ndryshojmë gjendjen e problemit. Në shtratin e luleve rriteshin 9 tulipanë, 6 u zgjodhën. Sa tulipanë kanë mbetur?
Për të zbuluar se sa tulipanë kanë mbetur në shtratin e luleve, ju duhet numri total Janë 9 tulipanë, zbritni lulet e mbledhura, janë 6 prej tyre.
Bëjmë llogaritjet: 9-6 marrim rezultatin 3. Në shtratin e luleve kanë mbetur 3 tulipanë.
Le ta transformojmë këtë problem përsëri. U rritën 9 tulipanë, 3 u zgjodhën. Sa tulipanë kanë mbetur?
Zgjidhja do të duket kështu: nga numri i përgjithshëm i tulipanëve 9, ju duhet të zbrisni lulet e mbledhura, kanë mbetur 3 prej tyre.
Le t'i hedhim një vështrim nga afër barazitë dhe të përpiqemi të kuptojmë se si ato lidhen me njëra-tjetrën.
Siç mund ta shihni, këto barazi përmbajnë të njëjtat numra dhe veprime të anasjellta: mbledhje dhe zbritje.
Le të kthehemi te zgjidhja e problemit të parë dhe të shqyrtojmë shprehjen 6 + 3 = 9.
Le të kujtojmë se cilët numra quhen kur mbledhim:
6 është termi i parë
3 - mandati i dytë
9 - vlera e shumës
Tani le të mendojmë se si i kemi marrë diferencat 9 - 6 = 3 dhe 9 - 3 = 6?
Në barazinë 9 - 6 = 3, termi i parë6 është zbritur nga vlera e shumës9 dhe është marrë termi i dytë3.
Në barazinë 9 - 3 = 6, termi i dytë3 është zbritur nga vlera e shumës9 dhe është marrë termi i parë6.
Prandaj, nëse zbritni termin e parë nga vlera e shumës, ju merrni termin e dytë, dhe nëse zbritni termin e dytë nga vlera e shumës, merrni termin e parë.
Le të formulojmë rregull i përgjithshëm:
Për të gjetur termin e panjohur, duhet të zbritni termin e njohur nga vlera e shumës.
§ 2 Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve me një term të panjohur
Le të shohim ekuacionet me terma të panjohur dhe të përpiqemi të gjejmë rrënjët duke përdorur këtë rregull.
Le të zgjidhim ekuacionin X + 5 = 7.
Termi i parë në këtë ekuacion është i panjohur. Për ta gjetur atë, ne përdorim rregullin: për të gjetur i panjohur së pari termi X, është e nevojshme të zbritet termi i dytë 5 nga vlera e shumës 7.
Kjo do të thotë X = 7 - 5,
le të gjejmë ndryshimin 7 - 5 = 2, X = 2.
Le të kontrollojmë nëse e kemi gjetur saktë rrënjën e ekuacionit. Për të kontrolluar, duhet të zëvendësoni numrin 2 në vend të X në ekuacionin:
7 = 7 - morëm barazinë e saktë. Përfundojmë: numri 2 është rrënja e ekuacionit X+5=7.
Le të zgjidhim një ekuacion tjetër 8 + Y = 17.
Termi i dytë në këtë ekuacion është i panjohur.
Për ta gjetur atë, duhet të zbritni termin e parë 8 nga vlera e shumës 17.
Le të kontrollojmë: zëvendësojmë numrin 9 me Y. Marrim:
17 = 17 - morëm barazinë e saktë.
Prandaj, numri 9 është rrënja e ekuacionit 8 + Y = 17.
Pra, në mësim u njohëm me metodën e zgjidhjes së ekuacioneve bazuar në lidhjen midis termave dhe vlerës së shumës. Për të gjetur termin e panjohur, duhet të zbritni termin e njohur nga vlera e shumës.
Lista e literaturës së përdorur:
- I.I. Arginskaya, E.I. Ivanovskaya, S.N. Kormishina. Matematika: Teksti mësimor për klasën e dytë: Në orën 2. - Samara: Shtëpia botuese " Literaturë edukative»: Shtëpia botuese"Fedorov", 2012.
- Arginskaya I.I. Mbledhja e detyrave në matematikë për të pavarur, test dhe testet V shkollën fillore. - Samara: Korporata Fedorov, Shtëpia Botuese e Letërsisë Arsimore, 2006.
Imazhet e përdorura:
Ekuacionet janë një nga tema të vështira për asimilim, por në të njëjtën kohë janë të mjaftueshme mjet i fuqishëm për zgjidhjen e shumicës së problemeve.
Ekuacionet përdoren për të përshkruar procese të ndryshme, që ndodhin në natyrë. Ekuacionet përdoren gjerësisht në shkencat e tjera: ekonomi, fizikë, biologji dhe kimi.
NË këtë mësim Ne do të përpiqemi të kuptojmë thelbin e ekuacioneve më të thjeshta, të mësojmë të shprehim të panjohura dhe të zgjidhim disa ekuacione. Ndërsa mësoni materiale të reja, ekuacionet do të bëhen më komplekse, kështu që kuptimi i bazave është shumë i rëndësishëm.
Aftësitë paraprake Përmbajtja e mësimitÇfarë është një ekuacion?
Një ekuacion është një barazi që përmban një variabël vlerën e së cilës dëshironi ta gjeni. Kjo vlerë duhet të jetë e tillë që kur të zëvendësohet në ekuacioni origjinalështë marrë barazia e saktë numerike.
Për shembull, shprehja 2 + 2 = 4 është një barazi. Gjatë llogaritjes së anës së majtë, merret barazia e saktë numerike 4 = 4.
Por barazia është 2 + x= 4 është një ekuacion sepse përmban një ndryshore x, vlera e së cilës mund të gjendet. Vlera duhet të jetë e tillë që kur zëvendësohet kjo vlerë në ekuacionin origjinal, të merret barazia e saktë numerike.
Me fjalë të tjera, ne duhet të gjejmë një vlerë në të cilën shenja e barabartë do të justifikonte vendndodhjen e saj - ana e majtë duhet të jetë e barabartë me anën e djathtë.
Ekuacioni 2 + x= 4 është elementare. Vlera e ndryshueshme xështë e barabartë me numrin 2. Për asnjë vlerë tjetër nuk do të respektohet barazi
Ata thonë se numri 2 është rrënjë ose zgjidhja e ekuacionit 2 + x = 4
Rrënja ose zgjidhje e ekuacionit- kjo është vlera e ndryshores në të cilën ekuacioni kthehet në një barazi të vërtetë numerike.
Mund të ketë disa rrënjë ose fare. Zgjidhe ekuacionin do të thotë të gjesh rrënjët e tij ose të provosh se nuk ka rrënjë.
Ndryshorja e përfshirë në ekuacion quhet ndryshe i panjohur. Ju keni të drejtë ta quani atë siç preferoni. Këto janë sinonime.
Shënim. Fraza "zgjidh një ekuacion" flet vetë. Zgjidhja e një ekuacioni do të thotë "barazimi" i ekuacionit - duke e bërë atë të balancuar në mënyrë që ana e majtë të jetë e barabartë me anën e djathtë.
Shpreh një gjë përmes tjetrës
Studimi i ekuacioneve tradicionalisht fillon me të mësuarit për të shprehur një numër të përfshirë në një barazi përmes një numri të tjerëve. Le të mos e thyejmë këtë traditë dhe të bëjmë të njëjtën gjë.
Merrni parasysh shprehjen e mëposhtme:
8 + 2
Kjo shprehje është shuma e numrave 8 dhe 2. Kuptimi shprehje e dhënëështë e barabartë me 10
8 + 2 = 10
Ne morëm barazi. Tani mund të shprehni çdo numër nga kjo barazi përmes numrave të tjerë të përfshirë në të njëjtën barazi. Për shembull, le të shprehim numrin 2.
Për të shprehur numrin 2, duhet të bëni pyetjen: "çfarë duhet bërë me numrat 10 dhe 8 për të marrë numrin 2". Është e qartë se për të marrë numrin 2, duhet të zbritni numrin 8 nga numri 10.
Kjo është ajo që ne bëjmë. Shkruajmë numrin 2 dhe përmes shenjës së barazimit themi se për të marrë këtë numër 2 kemi zbritur numrin 8 nga numri 10:
2 = 10 − 8
Ne shprehëm numrin 2 nga barazia 8 + 2 = 10. Siç mund të shihet nga shembulli, nuk ka asgjë të komplikuar në lidhje me këtë.
Kur zgjidhni ekuacione, veçanërisht kur shprehni një numër në terma të të tjerëve, është e përshtatshme të zëvendësoni shenjën e barabartë me fjalën " ka" . Kjo duhet bërë mendërisht, dhe jo në vetë shprehjen.
Pra, duke shprehur numrin 2 nga barazia 8 + 2 = 10, kemi marrë barazinë 2 = 10 − 8. Kjo barazi mund të lexohet si më poshtë:
2 ka 10 − 8
Kjo është një shenjë = zëvendësohet me fjalën "është". Për më tepër, barazia 2 = 10 − 8 mund të përkthehet nga gjuha matematikore të plotë gjuha njerëzore. Pastaj mund të lexohet si më poshtë:
Numri 2 ka ndryshimi midis numrit 10 dhe numrit 8
Numri 2 ka ndryshimi midis numrit 10 dhe numrit 8.
Por ne do të kufizojmë veten vetëm në zëvendësimin e shenjës së barazisë me fjalën "është", dhe ne nuk do ta bëjmë gjithmonë këtë. Shprehjet elementare mund të kuptohen pa e përkthyer gjuhën matematikore në gjuhën njerëzore.
Le ta kthejmë barazinë që rezulton 2 = 10 − 8 në gjendjen e tij origjinale:
8 + 2 = 10
Le të shprehim numrin 8 këtë herë Çfarë duhet bërë me numrat e mbetur për të marrë numrin 8? Kjo është e drejtë, ju duhet të zbrisni 2 nga numri 10
8 = 10 − 2
Le ta kthejmë barazinë që rezulton 8 = 10 − 2 në gjendjen e tij origjinale:
8 + 2 = 10
Këtë herë do të shprehim numrin 10. Por rezulton se nuk ka nevojë të shprehet dhjetëshja, pasi tashmë është shprehur. Mjafton të ndërrojmë pjesët e majta dhe të djathta, atëherë marrim atë që na nevojitet:
10 = 8 + 2
Shembulli 2. Merrni parasysh barazinë 8 − 2 = 6
Le të shprehim numrin 8 nga kjo barazi Për të shprehur numrin 8, duhet të shtohen dy numrat e mbetur:
8 = 6 + 2
Le ta kthejmë barazinë që rezulton 8 = 6 + 2 në gjendjen e tij origjinale:
8 − 2 = 6
Le të shprehim numrin 2 nga kjo barazi Për të shprehur numrin 2, duhet të zbritni 6 nga 8
2 = 8 − 6
Shembulli 3. Konsideroni barazinë 3 × 2 = 6
Le të shprehim numrin 3. Për të shprehur numrin 3, duhet 6 pjesëtuar me 2
Le ta kthejmë barazinë që rezulton në gjendjen e tij origjinale:
3 × 2 = 6
Le të shprehim numrin 2 nga kjo barazi për të shprehur numrin 2, ju duhet 6 pjesëtuar me 3
Shembulli 4. Merrni parasysh barazinë
Le të shprehim numrin 15 nga kjo barazi për të shprehur numrin 15, duhet të shumëzoni numrat 3 dhe 5
15 = 3 × 5
Le ta kthejmë barazinë që rezulton 15 = 3 × 5 në gjendjen e tij origjinale:
Le të shprehim numrin 5 nga kjo barazi për të shprehur numrin 5, ju duhet 15 pjesëtuar me 3
Rregullat për gjetjen e të panjohurave
Le të shqyrtojmë disa rregulla për gjetjen e të panjohurave. Ato mund të jenë të njohura për ju, por nuk është e dëmshme t'i përsërisni përsëri. Në të ardhmen, ato mund të harrohen, pasi mësojmë të zgjidhim ekuacione pa zbatuar këto rregulla.
Le të kthehemi te shembulli i parë, të cilin e pamë në temën e mëparshme, ku në barazinë 8 + 2 = 10 na duhej të shprehnim numrin 2.
Në barazinë 8 + 2 = 10, numrat 8 dhe 2 janë termat, dhe numri 10 është shuma.
Për të shprehur numrin 2, bëmë si më poshtë:
2 = 10 − 8
Kjo do të thotë, nga shuma prej 10 ne zbritëm termin 8.
Tani imagjinoni që në barazinë 8 + 2 = 10, në vend të numrit 2 ka një ndryshore x
8 + x = 10
Në këtë rast, barazia 8 + 2 = 10 bëhet ekuacioni 8 + x= 10 dhe ndryshorja x term i panjohur
Detyra jonë është të gjejmë këtë term të panjohur, domethënë të zgjidhim ekuacionin 8 + x= 10 . Për të gjetur një term të panjohur, jepet rregulli i mëposhtëm:
Për të gjetur termin e panjohur, duhet të zbritni termin e njohur nga shuma.
Kjo është në thelb ajo që bëmë kur shprehëm dy në barazinë 8 + 2 = 10. Për të shprehur termin 2, ne zbritëm një term tjetër 8 nga shuma 10
2 = 10 − 8
Tani, për të gjetur termin e panjohur x, duhet të zbresim termin e njohur 8 nga shuma 10:
x = 10 − 8
Nëse llogaritni anën e djathtë të barazisë që rezulton, mund të zbuloni se me çfarë është e barabartë ndryshorja x
x = 2
Ne e kemi zgjidhur ekuacionin. Vlera e ndryshueshme xështë e barabartë me 2. Për të kontrolluar vlerën e një ndryshoreje x dërguar në ekuacionin origjinal 8 + x= 10 dhe zëvendësues x. Këshillohet ta bëni këtë me çdo ekuacion të zgjidhur, pasi nuk mund të jeni absolutisht i sigurt se ekuacioni është zgjidhur saktë:
Si rezultat
I njëjti rregull do të zbatohej nëse termi i panjohur ishte numri i parë 8.
x + 2 = 10
Në këtë ekuacion xështë termi i panjohur, 2 është termi i njohur, 10 është shuma. Për të gjetur një term të panjohur x, ju duhet të zbritni termin e njohur 2 nga shuma 10
x = 10 − 2
x = 8
Le të kthehemi te shembulli i dytë nga tema e mëparshme, ku në barazinë 8 − 2 = 6 ishte e nevojshme të shprehej numri 8.
Në barazinë 8 − 2 = 6, numri 8 është minuend, numri 2 është nëntrahni dhe numri 6 është diferenca
Për të shprehur numrin 8, bëmë si më poshtë:
8 = 6 + 2
Kjo do të thotë, ne kemi shtuar diferencën e 6 dhe kemi zbritur 2.
Tani imagjinoni që në barazinë 8 − 2 = 6, në vend të numrit 8, ka një ndryshore x
x − 2 = 6
Në këtë rast ndryshorja x merr rolin e të ashtuquajturit minuend i panjohur
Për të gjetur një minuend të panjohur, jepet rregulli i mëposhtëm:
Për të gjetur minuendin e panjohur, duhet t'i shtoni ndryshimit subtrahend.
Kjo është ajo që bëmë kur shprehëm numrin 8 në barazinë 8 − 2 = 6. Për të shprehur minuend-in e 8-së, ne i shtuam subtrahend-in e 2 diferencës së 6-së.
Tani, për të gjetur minuendin e panjohur x, ne duhet të shtojmë subtrahendin 2 në diferencën 6
x = 6 + 2
Nëse llogaritni anën e djathtë, mund të zbuloni se me çfarë është e barabartë ndryshorja x
x = 8
Tani imagjinoni që në barazinë 8 − 2 = 6, në vend të numrit 2, ka një ndryshore x
8 − x = 6
Në këtë rast ndryshorja x merr rolin nëntreg i panjohur
Për të gjetur një nëntokë të panjohur, jepet rregulli i mëposhtëm:
Për të gjetur subtrahendin e panjohur, duhet të zbrisni ndryshimin nga minuend.
Kjo është ajo që bëmë kur shprehëm numrin 2 në barazinë 8 − 2 = 6. Për të shprehur numrin 2, zbritëm ndryshimin 6 nga minuend 8.
Tani, për të gjetur nëntokën e panjohur x, përsëri duhet të zbritni diferencën 6 nga minuend 8
x = 8 − 6
Ne llogarisim anën e djathtë dhe gjejmë vlerën x
x = 2
Le të kthehemi te shembulli i tretë nga tema e mëparshme, ku në barazinë 3 × 2 = 6 u përpoqëm të shprehim numrin 3.
Në barazinë 3 × 2 = 6, numri 3 është shumëzuesi, numri 2 është shumëzuesi, numri 6 është prodhimi
Për të shprehur numrin 3 bëmë si më poshtë:
Kjo do të thotë, ne e ndajmë prodhimin e 6 me faktorin 2.
Tani imagjinoni që në barazinë 3 × 2 = 6, në vend të numrit 3 ka një ndryshore x
x× 2 = 6
Në këtë rast ndryshorja x merr rolin shumëzues i panjohur.
Për të gjetur një shumëzues të panjohur, jepet rregulli i mëposhtëm:
Për të gjetur një shumëzues të panjohur, duhet të ndani produktin me faktorin.
Kjo është ajo që bëmë kur shprehëm numrin 3 nga barazia 3 × 2 = 6. Ne e ndajmë produktin 6 me faktorin 2.
Tani për të gjetur shumëzuesin e panjohur x, ju duhet ta ndani produktin 6 me faktorin 2.
Llogaritja e anës së djathtë na lejon të gjejmë vlerën e një ndryshoreje x
x = 3
I njëjti rregull zbatohet nëse ndryshorja x ndodhet në vend të shumëzuesit, jo të shumëzuesit. Le të imagjinojmë që në barazinë 3 × 2 = 6, në vend të numrit 2 ka një ndryshore x.
Në këtë rast ndryshorja x merr rolin shumëzues i panjohur. Për të gjetur një faktor të panjohur, parashikohet e njëjta procedurë si për gjetjen e një shumëzuesi të panjohur, përkatësisht, pjesëtimi i produktit me një faktor të njohur:
Për të gjetur një faktor të panjohur, duhet të ndani produktin me shumëzuesin.
Kjo është ajo që bëmë kur shprehëm numrin 2 nga barazia 3 × 2 = 6. Më pas për të marrë numrin 2 ne e ndajmë prodhimin e 6 me shumëzuesin e tij 3.
Tani për të gjetur faktorin e panjohur x Ne e ndajmë prodhimin e 6 me shumëzuesin e 3.
Llogaritja e anës së djathtë të barazisë ju lejon të zbuloni se me çfarë është x
x = 2
Shumëzuesi dhe shumëzuesi së bashku quhen faktorë. Meqenëse rregullat për gjetjen e shumëzuesit dhe të shumëzuesit janë të njëjta, mund të formulojmë një rregull të përgjithshëm për gjetjen e një faktori të panjohur:
Për të gjetur një faktor të panjohur, duhet ta ndani produktin me faktorin e njohur.
Për shembull, le të zgjidhim ekuacionin 9 × x= 18. E ndryshueshme xështë një faktor i panjohur. Për të gjetur këtë faktor të panjohur, duhet të ndani produktin 18 me faktorin e njohur 9
Le të zgjidhim ekuacionin x× 3 = 27. E ndryshueshme xështë një faktor i panjohur. Për të gjetur këtë faktor të panjohur, duhet të ndani produktin 27 me faktorin e njohur 3
Kthehemi te shembulli i katërt nga tema e mëparshme, ku në një barazi na duhej të shprehnim numrin 15. Në këtë barazi, numri 15 është dividenti, numri 5 është pjesëtuesi dhe numri 3 është herësi.
Për të shprehur numrin 15 bëmë si më poshtë:
15 = 3 × 5
Kjo do të thotë, ne shumëzuam herësin e 3 me pjesëtuesin e 5.
Tani imagjinoni që në barazi, në vend të numrit 15, ka një ndryshore x
Në këtë rast ndryshorja x merr rolin divident i panjohur.
Për të gjetur një dividend të panjohur, jepet rregulli i mëposhtëm:
Për të gjetur dividentin e panjohur, duhet të shumëzoni herësin me pjesëtuesin.
Kështu bëmë kur shprehëm numrin 15 nga barazia. Për të shprehur numrin 15, shumëzojmë herësin e 3 me pjesëtuesin e 5.
Tani, për të gjetur dividentin e panjohur x, ju duhet të shumëzoni herësin 3 me pjesëtuesin 5
x= 3 × 5
x .
x = 15
Tani imagjinoni që në barazi, në vend të numrit 5, ka një ndryshore x .
Në këtë rast ndryshorja x merr rolin pjesëtues i panjohur.
Për të gjetur një pjesëtues të panjohur, jepet rregulli i mëposhtëm:
Kështu bëmë kur shprehëm numrin 5 nga barazia. Për të shprehur numrin 5, pjesëtojmë dividentin 15 me herësin 3.
Tani për të gjetur pjesëtuesin e panjohur x, ju duhet të pjesëtoni dividentin 15 me herësin 3
Le të llogarisim anën e djathtë të barazisë që rezulton. Në këtë mënyrë zbulojmë se me çfarë është e barabartë ndryshorja x .
x = 5
Pra, për të gjetur të panjohurat, ne studiuam rregullat e mëposhtme:
- Për të gjetur termin e panjohur, duhet të zbritni termin e njohur nga shuma;
- Për të gjetur minuendin e panjohur, duhet t'i shtoni ndryshimit subtrahend;
- Për të gjetur subtrahendin e panjohur, duhet të zbrisni ndryshimin nga minuend;
- Për të gjetur një shumëzues të panjohur, duhet të ndani produktin me faktorin;
- Për të gjetur një faktor të panjohur, duhet të ndani produktin me shumëzuesin;
- Për të gjetur një dividend të panjohur, duhet të shumëzoni herësin me pjesëtuesin;
- Për të gjetur një pjesëtues të panjohur, duhet të pjesëtoni dividentin me herësin.
Komponentët
Ne do t'i quajmë komponentë numrat dhe variablat e përfshirë në barazi
Pra, përbërësit e shtimit janë kushtet Dhe shuma
Komponentët e zbritjes janë minuend, nëntrup Dhe ndryshim
Komponentët e shumëzimit janë shumëfishues, faktor Dhe puna
Përbërësit e pjesëtimit janë dividenti, pjesëtuesi dhe herësi.
Varësisht se me cilët komponentë kemi të bëjmë, do të zbatohen rregullat përkatëse për gjetjen e të panjohurave. Këto rregulla i kemi studiuar në temën e mëparshme. Gjatë zgjidhjes së ekuacioneve, këshillohet që këto rregulla të njihen përmendësh.
Shembulli 1. Gjeni rrënjën e ekuacionit 45 + x = 60
45 - afati, x- term i panjohur, 60 - shuma. Kemi të bëjmë me komponentët e shtimit. Kujtojmë se për të gjetur termin e panjohur, duhet të zbritni termin e njohur nga shuma:
x = 60 − 45
Le të llogarisim anën e duhur dhe të marrim vlerën x e barabartë me 15
x = 15
Pra, rrënja e ekuacionit është 45 + x= 60 është e barabartë me 15.
Më shpesh, një term i panjohur duhet të reduktohet në një formë në të cilën mund të shprehet.
Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin
Këtu, ndryshe nga shembulli i mëparshëm, termi i panjohur nuk mund të shprehet menjëherë, pasi përmban një koeficient prej 2. Detyra jonë është ta sjellim këtë ekuacion në një formë në të cilën mund të shprehet x
NË në këtë shembull Kemi të bëjmë me përbërësit e mbledhjes - termat dhe shumën. 2 xështë termi i parë, 4 është termi i dytë, 8 është shuma.
Në këtë rast, termi 2 x përmban një variabël x. Pas gjetjes së vlerës së ndryshores x termi 2 x do të marrë një pamje tjetër. Prandaj, termi 2 x mund të merret plotësisht si një term i panjohur:
Tani zbatojmë rregullin për gjetjen e termit të panjohur. Zbrisni termin e njohur nga shuma:
Le të llogarisim anën e djathtë të ekuacionit që rezulton:
Kemi një ekuacion të ri. Tani kemi të bëjmë me komponentët e shumëzimit: shumëzuesin, shumëzuesin dhe produktin. 2 - shumëzues, x- shumëzues, 4 - produkt
Në këtë rast, ndryshorja x nuk është thjesht një shumëzues, por një shumëzues i panjohur
Për të gjetur këtë faktor të panjohur, duhet ta ndani produktin me shumëzuesin:
Le të llogarisim anën e djathtë dhe të marrim vlerën e ndryshores x
Për të kontrolluar, dërgoni rrënjën e gjetur në ekuacionin origjinal dhe zëvendësojeni x
Shembulli 3. Zgjidhe ekuacionin 3x+ 9x+ 16x= 56
Shprehni menjëherë të panjohurën xështë e ndaluar. Së pari ju duhet ta sillni këtë ekuacion në një formë në të cilën mund të shprehet.
Paraqesim në anën e majtë ekuacioni i dhënë:
Kemi të bëjmë me komponentët e shumëzimit. 28 - shumëzues, x- shumëzues, 56 - produkt. Në të njëjtën kohë xështë një faktor i panjohur. Për të gjetur një faktor të panjohur, duhet ta ndani produktin me shumëzuesin:
Nga këtu xështë e barabartë me 2
Ekuacionet ekuivalente
Në shembullin e mëparshëm, kur zgjidhet ekuacioni 3x + 9x + 16x = 56 , kemi sjellë terma të ngjashëm në anën e majtë të ekuacionit. Si rezultat, ne morëm një ekuacion të ri 28 x= 56 . Ekuacioni i vjetër 3x + 9x + 16x = 56 dhe ekuacioni i ri që rezulton 28 x= 56 quhet ekuacionet ekuivalente, pasi rrënjët e tyre përkojnë.
Ekuacionet quhen ekuivalente nëse rrënjët e tyre përkojnë.
Le ta kontrollojmë. Për ekuacionin 3x+ 9x+ 16x= 56 gjetëm rrënjën e barabartë me 2. Le ta zëvendësojmë fillimisht këtë rrënjë në ekuacion 3x+ 9x+ 16x= 56 , dhe më pas në ekuacionin 28 x= 56, e cila u përftua duke sjellë terma të ngjashëm në anën e majtë të ekuacionit të mëparshëm. Duhet të marrim barazitë e sakta numerike
Sipas rendit të veprimeve, së pari kryhet shumëzimi:
Le të zëvendësojmë rrënjën 2 në ekuacionin e dytë 28 x= 56
Shohim që të dy ekuacionet kanë të njëjtat rrënjë. Pra ekuacionet 3x+ 9x+ 16x= 6 dhe 28 x= 56 janë vërtet ekuivalente.
Për të zgjidhur ekuacionin 3x+ 9x+ 16x= 56 Ne përdorëm njërën prej tyre - reduktimin e termave të ngjashëm. Transformimi i saktë i identitetit të ekuacionit na lejoi të marrim ekuacionin ekuivalent 28 x= 56, e cila është më e lehtë për t'u zgjidhur.
Nga transformimet e identitetit për momentin ne dimë vetëm të zvogëlojmë thyesat, të shtojmë terma të ngjashëm, të nxjerrim shumëzues i përbashkët përtej kllapave, dhe gjithashtu hapni kllapat. Ka konvertime të tjera për të cilat duhet të jeni të vetëdijshëm. Por për ide e përgjithshme për transformimet identike të ekuacioneve, temat që kemi studiuar janë mjaft të mjaftueshme.
Le të shqyrtojmë disa transformime që na lejojnë të marrim ekuacionin ekuivalent
Nëse shtoni të njëjtin numër në të dy anët e ekuacionit, merrni një ekuacion të barabartë me atë të dhënë.
dhe në mënyrë të ngjashme:
Nëse zbrisni të njëjtin numër nga të dy anët e një ekuacioni, do të merrni një ekuacion të barabartë me atë të dhënë.
Me fjalë të tjera, rrënja e ekuacionit nuk do të ndryshojë nëse i njëjti numër i shtohet (ose i zbritet nga të dyja anët) të njëjtit numër.
Shembulli 1. Zgjidhe ekuacionin 
Zbrisni 10 nga të dyja anët e ekuacionit
Ne kemi ekuacionin 5 x= 10 . Kemi të bëjmë me komponentët e shumëzimit. Për të gjetur një faktor të panjohur x, ju duhet ta ndani produktin 10 me faktorin e njohur 5.
dhe zëvendësues x vlera e gjetur 2
Ne morëm barazinë e saktë numerike. Kjo do të thotë se ekuacioni është zgjidhur saktë.
Zgjidhja e ekuacionit ne zbritëm numrin 10 nga të dy anët e ekuacionit. Si rezultat, kemi marrë një ekuacion ekuivalent. Rrënja e këtij ekuacioni, si ekuacioni është gjithashtu e barabartë me 2
Shembulli 2. Zgjidh ekuacionin 4( x+ 3) = 16
Zbrisni numrin 12 nga të dyja anët e ekuacionit
Do të mbeten 4 në anën e majtë x, dhe në anën e djathtë numri 4
Ne kemi ekuacionin 4 x= 4. Kemi të bëjmë me komponentët e shumëzimit. Për të gjetur një faktor të panjohur x, ju duhet ta ndani produktin 4 me faktorin e njohur 4
Le të kthehemi në ekuacionin origjinal 4 ( x+ 3) = 16 dhe zëvendësim x vlera e gjetur 1
Ne morëm barazinë e saktë numerike. Kjo do të thotë se ekuacioni është zgjidhur saktë.
Zgjidhja e ekuacionit 4 ( x+ 3) = 16 kemi zbritur numrin 12 nga të dy anët e ekuacionit. Si rezultat, kemi marrë ekuacionin ekuivalent 4 x= 4. Rrënja e këtij ekuacioni, si ekuacioni 4 ( x+ 3) = 16 është gjithashtu e barabartë me 1
Shembulli 3. Zgjidhe ekuacionin 
Le të zgjerojmë kllapat në anën e majtë të barazisë:
Shtoni numrin 8 në të dy anët e ekuacionit
Le të paraqesim terma të ngjashëm në të dy anët e ekuacionit:
Do të mbeten 2 në anën e majtë x, dhe në anën e djathtë numri 9
Në ekuacionin që rezulton 2 x= 9 shprehim termin e panjohur x
Le të kthehemi te ekuacioni origjinal dhe zëvendësues x vlera e gjetur 4.5
Ne morëm barazinë e saktë numerike. Kjo do të thotë se ekuacioni është zgjidhur saktë.
Zgjidhja e ekuacionit ne shtuam numrin 8 në të dy anët e ekuacionit. Si rezultat, morëm një ekuacion të barabartë. Rrënja e këtij ekuacioni, si ekuacioni gjithashtu e barabartë me 4.5
Rregulli tjetër që na lejon të marrim një ekuacion ekuivalent është si më poshtë
Nëse zhvendosni një term në një ekuacion nga një pjesë në tjetrën, duke ndryshuar shenjën e tij, do të merrni një ekuacion të barabartë me atë të dhënë.
Kjo do të thotë, rrënja e ekuacionit nuk do të ndryshojë nëse kalojmë një term nga një pjesë e ekuacionit në tjetrin, duke ndryshuar shenjën e tij. Kjo veti është një nga më të rëndësishmet dhe nga ato që përdoret shpesh gjatë zgjidhjes së ekuacioneve.
Merrni parasysh ekuacionin e mëposhtëm:
Rrënja e këtij ekuacioni është e barabartë me 2. Le ta zëvendësojmë x këtë rrënjë dhe kontrolloni nëse barazia numerike është e saktë
Rezultati është një barazi e saktë. Kjo do të thotë se numri 2 është me të vërtetë rrënja e ekuacionit.
Tani le të përpiqemi të eksperimentojmë me termat e këtij ekuacioni, duke i zhvendosur ato nga një pjesë në tjetrën, duke ndryshuar shenjat.
Për shembull, termi 3 x ndodhet në anën e majtë të ekuacionit. Le ta zhvendosim atë në anën e djathtë, duke ndryshuar shenjën në të kundërtën:
Rezultati është një ekuacion 12 = 9x − 3x . në anën e djathtë të këtij ekuacioni:
xështë një faktor i panjohur. Le të gjejmë këtë faktor të njohur:
Nga këtu x= 2. Siç mund ta shihni, rrënja e ekuacionit nuk ka ndryshuar. Pra, ekuacionet janë 12 + 3 x = 9x Dhe 12 = 9x − 3x janë ekuivalente.
Në fakt, ky transformim është një metodë e thjeshtuar e transformimit të mëparshëm, ku i njëjti numër shtohet (ose zbritet) në të dy anët e ekuacionit.
Ne thamë se në ekuacionin 12 + 3 x = 9x termi 3 x u zhvendos në anën e djathtë, duke ndryshuar shenjën. Në realitet, ndodhi si vijon: termi 3 u zbrit nga të dy anët e ekuacionit x
Më pas janë dhënë terma të ngjashëm në anën e majtë dhe është marrë ekuacioni 12 = 9x − 3x. Pastaj u dhanë përsëri terma të ngjashëm, por në anën e djathtë, dhe u mor ekuacioni 12 = 6 x.
Por i ashtuquajturi "përkthim" është më i përshtatshëm për ekuacione të tilla, prandaj është bërë kaq i përhapur. Kur zgjidhim ekuacione, ne shpesh do të përdorim këtë transformim të veçantë.
Ekuacionet 12 + 3 janë gjithashtu ekuivalente x= 9x Dhe 3x− 9x= −12 . Këtë herë ekuacioni është 12 + 3 x= 9x termi 12 u zhvendos në anën e djathtë, dhe termi 9 x në të majtë. Nuk duhet të harrojmë se shenjat e këtyre kushteve u ndryshuan gjatë transferimit
Rregulli tjetër që na lejon të marrim një ekuacion ekuivalent është si më poshtë:
Nëse të dyja anët e ekuacionit shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër, jo të barabartë me zero, ju merrni një ekuacion të barabartë me atë të dhënë.
Me fjalë të tjera, rrënjët e një ekuacioni nuk do të ndryshojnë nëse të dy anët shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër. Ky veprim përdoret shpesh kur duhet të zgjidhni një ekuacion që përmban shprehjet thyesore.
Së pari, le të shohim shembuj në të cilët të dy anët e ekuacionit do të shumëzohen me të njëjtin numër.
Shembulli 1. Zgjidhe ekuacionin
Kur zgjidhen ekuacionet që përmbajnë shprehje thyesore, është zakon që fillimisht të thjeshtohet ekuacioni.
NË në këtë rast kemi të bëjmë pikërisht me një ekuacion të tillë. Për të thjeshtuar këtë ekuacion, të dyja anët mund të shumëzohen me 8:
Kujtojmë se për , duhet të shumëzojmë numëruesin e një thyese të dhënë me këtë numër. Kemi dy thyesa dhe secila prej tyre shumëzohet me numrin 8. Detyra jonë është të shumëzojmë numëruesit e thyesave me këtë numër 8
Tani ndodh pjesa interesante. Numëruesit dhe emëruesit e të dy thyesave përmbajnë një faktor 8, i cili mund të reduktohet me 8. Kjo do të na lejojë të heqim qafe shprehjen thyesore:
Si rezultat, ekuacioni më i thjeshtë mbetet
Epo, nuk është e vështirë të merret me mend se rrënja e këtij ekuacioni është 4
x vlera e gjetur 4
Rezultati është një barazi e saktë numerike. Kjo do të thotë se ekuacioni është zgjidhur saktë.
Gjatë zgjidhjes së këtij ekuacioni, ne i shumëzuam të dyja anët me 8. Si rezultat, morëm ekuacionin. Rrënja e këtij ekuacioni, ashtu si ekuacioni, është 4. Kjo do të thotë se këto ekuacione janë ekuivalente.
Faktori me të cilin shumëzohen të dyja anët e ekuacionit zakonisht shkruhet para pjesës së ekuacionit, dhe jo pas saj. Pra, duke zgjidhur ekuacionin, ne shumëzuam të dy anët me një faktor 8 dhe morëm hyrjen e mëposhtme:
Kjo nuk e ndryshoi rrënjën e ekuacionit, por nëse do ta kishim bërë këtë në shkollë, do të ishim qortuar, pasi në algjebër është zakon të shkruhet faktori para shprehjes me të cilën shumëzohet. Prandaj, është e këshillueshme që të rishkruhet shumëzimi i të dy anëve të ekuacionit me një faktor 8 si më poshtë:
Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin 
Në anën e majtë, faktorët e 15 mund të zvogëlohen me 15, dhe në anën e djathtë, faktorët e 15 dhe 5 mund të zvogëlohen me 5.
Le të hapim kllapat në anën e djathtë të ekuacionit:
Le të lëvizim termin x nga ana e majtë e ekuacionit në anën e djathtë, duke ndryshuar shenjën. Dhe ne zhvendosim termin 15 nga ana e djathtë e ekuacionit në anën e majtë, duke ndryshuar përsëri shenjën:
Ne paraqesim terma të ngjashëm në të dyja anët, marrim
Kemi të bëjmë me komponentët e shumëzimit. E ndryshueshme x
Le të kthehemi te ekuacioni origjinal dhe zëvendësues x vlera e gjetur 5
Rezultati është një barazi e saktë numerike. Kjo do të thotë se ekuacioni është zgjidhur saktë. Gjatë zgjidhjes së këtij ekuacioni, ne i shumëzuam të dyja anët me 15. Duke kryer më tej transformime identike, kemi marrë ekuacionin 10 = 2 x. Rrënja e këtij ekuacioni, si ekuacioni është e barabartë me 5. Kjo do të thotë se këto ekuacione janë ekuivalente.
Shembulli 3. Zgjidhe ekuacionin
Në anën e majtë mund të zvogëloni dy trefisha, dhe anën e djathtë do të jetë e barabartë me 18
Ekuacioni më i thjeshtë mbetet. Kemi të bëjmë me komponentët e shumëzimit. E ndryshueshme xështë një faktor i panjohur. Le të gjejmë këtë faktor të njohur:
Le të kthehemi në ekuacionin origjinal dhe të zëvendësojmë x vlera e gjetur 9
Rezultati është një barazi e saktë numerike. Kjo do të thotë se ekuacioni është zgjidhur saktë.
Shembulli 4. Zgjidhe ekuacionin 
Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me 6
Le të hapim kllapat në anën e majtë të ekuacionit. Në anën e djathtë, faktori 6 mund të ngrihet në numërues:
Le të zvogëlojmë atë që mund të reduktohet në të dyja anët e ekuacioneve:
Le të rishkruajmë atë që na ka mbetur:
Le të përdorim transferimin e termave. Termat që përmbajnë të panjohurën x, ne grupojmë në anën e majtë të ekuacionit, dhe termat pa të panjohura - në të djathtë:
Le të paraqesim terma të ngjashëm në të dyja pjesët:
Tani le të gjejmë vlerën e ndryshores x. Për ta bërë këtë, ndani produktin 28 me faktorin e njohur 7
Nga këtu x= 4.
Le të kthehemi te ekuacioni origjinal dhe zëvendësues x vlera e gjetur 4
Rezultati është një ekuacion numerik i saktë. Kjo do të thotë se ekuacioni është zgjidhur saktë.
Shembulli 5. Zgjidhe ekuacionin 
Le të hapim kllapat në të dy anët e ekuacionit ku është e mundur:
Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me 15
Le të hapim kllapat në të dy anët e ekuacionit:
Le të zvogëlojmë atë që mund të reduktohet në të dy anët e ekuacionit:
Le të rishkruajmë atë që na ka mbetur:
Le të zgjerojmë kllapat ku është e mundur:
Le të përdorim transferimin e termave. Ne grupojmë termat që përmbajnë të panjohurën në anën e majtë të ekuacionit dhe termat pa të panjohura në të djathtë. Mos harroni se gjatë transferimit, kushtet ndryshojnë shenjat e tyre në të kundërtën:
Le të paraqesim terma të ngjashëm në të dy anët e ekuacionit:
Le të gjejmë vlerën x
Përgjigja që rezulton mund të ndahet në një pjesë të tërë:
Le të kthehemi në ekuacionin origjinal dhe të zëvendësojmë x vlerë të gjetur
Ajo rezulton të jetë një shprehje mjaft e rëndë. Le të përdorim variabla. Le të vendosim anën e majtë të barazisë në një ndryshore A, dhe anën e djathtë të barazisë në një ndryshore B
Detyra jonë është të sigurohemi nëse ana e majtë është e barabartë me të djathtën. Me fjalë të tjera, provoni barazinë A = B
Le të gjejmë vlerën e shprehjes në ndryshoren A.
Vlera e ndryshueshme A barazohet . Tani le të gjejmë vlerën e ndryshores B. Kjo është vlera e anës së djathtë të barazisë sonë. Nëse është gjithashtu i barabartë, atëherë ekuacioni do të zgjidhet saktë
Shohim se vlera e ndryshores B, si dhe vlera e ndryshores A është . Kjo do të thotë që ana e majtë është e barabartë me anën e djathtë. Nga kjo arrijmë në përfundimin se ekuacioni është zgjidhur saktë.
Tani le të përpiqemi të mos shumëzojmë të dy anët e ekuacionit me të njëjtin numër, por të pjesëtojmë.
Merrni parasysh ekuacionin 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Le ta zgjidhim metoda e zakonshme: termat që përmbajnë të panjohura grupohen në anën e majtë të ekuacionit dhe termat pa të panjohura grupohen në të djathtë. Më pas, duke kryer transformimet e identitetit të njohur, gjejmë vlerën x
Në vend të kësaj, le të zëvendësojmë vlerën e gjetur 2 x në ekuacionin origjinal:
Tani le të përpiqemi të ndajmë të gjitha termat e ekuacionit 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 me një numër Vërejmë se të gjithë termat e këtij ekuacioni kanë një faktor të përbashkët prej 2. Ne e ndajmë secilin term me të.
Le të bëjmë një reduktim në çdo term:
Le të rishkruajmë atë që na ka mbetur:
Le ta zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur transformimet e njohura të identitetit:
Ne morëm rrënjën 2. Pra ekuacionet 15x+ 7x+ 7 = 35x− 20x+ 21 Dhe 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 janë ekuivalente.
Pjestimi i të dy anëve të ekuacionit me të njëjtin numër ju lejon të hiqni të panjohurën nga koeficienti. Në shembullin e mëparshëm kur morëm ekuacionin 7 x= 14, na duhej të pjesëtonim prodhimin 14 me faktorin e njohur 7. Por nëse do ta kishim çliruar të panjohurën nga faktori 7 në anën e majtë, rrënja do të ishte gjetur menjëherë. Për ta bërë këtë, mjaftonte të ndani të dyja palët me 7
Ne gjithashtu do ta përdorim këtë metodë shpesh.
Shumëzimi me minus një
Nëse të dyja anët e ekuacionit shumëzohen me minus një, ju merrni një ekuacion të barabartë me këtë.
Ky rregull rrjedh nga fakti që shumëzimi (ose pjesëtimi) i të dyja anëve të një ekuacioni me të njëjtin numër nuk e ndryshon rrënjën e ekuacionit të dhënë. Kjo do të thotë se rrënja nuk do të ndryshojë nëse të dyja pjesët e saj shumëzohen me -1.
Ky rregull ju lejon të ndryshoni shenjat e të gjithë komponentëve të përfshirë në ekuacion. Për çfarë është kjo? Përsëri, për të marrë një ekuacion ekuivalent që është më i lehtë për t'u zgjidhur.
Merrni parasysh ekuacionin. Pse e barabartë me rrënjën ky ekuacion?
Shtoni numrin 5 në të dy anët e ekuacionit
Le të shohim terma të ngjashëm:
Tani le të kujtojmë për. Cila është ana e majtë e ekuacionit? Ky është prodhimi i minus një dhe një ndryshoreje x
Domethënë, shenja minus përballë ndryshores x nuk i referohet vetë ndryshores x, por në një, të cilën nuk e shohim, pasi koeficienti 1 zakonisht nuk shkruhet. Kjo do të thotë që ekuacioni në fakt duket kështu:
Kemi të bëjmë me komponentët e shumëzimit. Për të gjetur X, ju duhet ta ndani produktin −5 me faktorin e njohur −1.
ose pjesëtoni të dyja anët e ekuacionit me -1, që është edhe më e thjeshtë
Pra, rrënja e ekuacionit është 5. Për të kontrolluar, le ta zëvendësojmë atë në ekuacionin origjinal. Mos harroni se në ekuacionin origjinal minusi është përpara ndryshores x i referohet një njësie të padukshme
Rezultati është një ekuacion numerik i saktë. Kjo do të thotë se ekuacioni është zgjidhur saktë.
Tani le të përpiqemi të shumëzojmë të dy anët e ekuacionit me minus një:
Pas hapjes së kllapave, shprehja formohet në anën e majtë, dhe ana e djathtë do të jetë e barabartë me 10
Rrënja e këtij ekuacioni, ashtu si ekuacioni, është 5
Kjo do të thotë që ekuacionet janë ekuivalente.
Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin
Në këtë ekuacion, të gjithë komponentët janë negativë. Është më i përshtatshëm të punosh me komponentë pozitivë sesa me negativë, kështu që le të ndryshojmë shenjat e të gjithë komponentëve të përfshirë në ekuacion. Për ta bërë këtë, shumëzoni të dyja anët e këtij ekuacioni me -1.
Është e qartë se kur shumëzohet me -1, çdo numër do të ndryshojë shenjën e tij në të kundërtën. Prandaj, procedura e shumëzimit me -1 dhe hapja e kllapave nuk përshkruhet në detaje, por përbërësit e ekuacionit me shenja të kundërta shënohen menjëherë.
Kështu, shumëzimi i një ekuacioni me -1 mund të shkruhet në detaje si më poshtë:
ose thjesht mund të ndryshoni shenjat e të gjithë komponentëve:
Rezultati do të jetë i njëjtë, por ndryshimi do të jetë se ne do të kursejmë kohë.
Pra, duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit me -1, marrim ekuacionin. Le ta zgjidhim këtë ekuacion. Zbrisni 4 nga të dyja anët dhe ndani të dyja anët me 3
Kur gjendet rrënja, ndryshorja zakonisht shkruhet në anën e majtë, dhe vlera e saj në të djathtë, që është ajo që bëmë.
Shembulli 3. Zgjidhe ekuacionin
Le të shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me −1. Atëherë të gjithë përbërësit do të ndryshojnë shenjat e tyre në ato të kundërta:
Zbrisni 2 nga të dy anët e ekuacionit që rezulton x dhe jepni terma të ngjashëm:
Le të shtojmë një në të dy anët e ekuacionit dhe të japim terma të ngjashëm: 
Barazohet me zero
Kohët e fundit mësuam se nëse zhvendosim një term në një ekuacion nga një pjesë në tjetrën, duke ndryshuar shenjën e tij, do të marrim një ekuacion të barabartë me atë të dhënë.
Çfarë ndodh nëse kaloni nga një pjesë në tjetrën jo vetëm një term, por të gjithë termat? Ashtu është, në pjesën ku janë hequr të gjitha termat do të mbetet zero. Me fjalë të tjera, nuk do të mbetet asgjë.
Si shembull, merrni parasysh ekuacionin. Le ta zgjidhim këtë ekuacion si zakonisht - ne do të grupojmë termat që përmbajnë të panjohura në një pjesë, dhe do t'i lëmë termat numerikë të lirë nga të panjohurat në tjetrën. Më pas, duke kryer transformimet e identitetit të njohur, gjejmë vlerën e ndryshores x
Tani le të përpiqemi të zgjidhim të njëjtin ekuacion duke barazuar të gjithë përbërësit e tij me zero. Për ta bërë këtë, ne lëvizim të gjitha termat nga ana e djathtë në të majtë, duke ndryshuar shenjat:
Le të paraqesim terma të ngjashëm në anën e majtë:
Shtoni 77 në të dyja anët dhe ndani të dyja anët me 7
Një alternativë ndaj rregullave për gjetjen e të panjohurave
Natyrisht, duke ditur për transformimet identike të ekuacioneve, nuk duhet të mësoni përmendësh rregullat për gjetjen e të panjohurave.
Për shembull, për të gjetur të panjohurën në ekuacion, ne e ndajmë produktin 10 me faktorin e njohur 2
Por nëse i ndani të dyja anët e ekuacionit me 2, rrënja do të gjendet menjëherë. Në anën e majtë të ekuacionit në numërues faktori 2 dhe në emërues faktori 2 do të zvogëlohet me 2. Dhe ana e djathtë do të jetë e barabartë me 5
Ekuacionet e formës i zgjidhëm duke shprehur termin e panjohur:
Por ju mund të përdorni transformimet identike që kemi studiuar sot. Në ekuacion, termi 4 mund të zhvendoset në anën e djathtë duke ndryshuar shenjën:
Në anën e majtë të ekuacionit, dy dyshe do të anulohen. Ana e djathtë do të jetë e barabartë me 2. Prandaj .
Ose mund të zbrisni 4 nga të dy anët e ekuacionit, atëherë do të merrnit sa vijon.
Në rastin e ekuacioneve të formës, është më e përshtatshme të ndahet produkti me një faktor të njohur. Le të krahasojmë të dyja zgjidhjet:
Zgjidhja e parë është shumë më e shkurtër dhe më e rregullt. Zgjidhja e dytë mund të shkurtohet ndjeshëm duke bërë ndarjen në kokën tuaj.
Megjithatë, është e nevojshme të njihni të dyja metodat dhe vetëm atëherë të përdorni atë që preferoni.
Kur ka disa rrënjë
Një ekuacion mund të ketë shumë rrënjë. Për shembull ekuacioni x(x+ 9) = 0 ka dy rrënjë: 0 dhe −9.
Në barazimin. x(x+ 9) = 0 ishte e nevojshme për të gjetur një vlerë të tillë x në të cilën ana e majtë do të ishte e barabartë me zero. Ana e majtë e këtij ekuacioni përmban shprehjet x Dhe (x+9), të cilët janë faktorë. Nga ligjet e produktit ne e dimë se një produkt është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero (ose faktori i parë ose i dyti).
Kjo është, në barazimin. x(x+ 9) = 0 barazia do të arrihet nëse x do të jetë e barabartë me zero ose (x+9) do të jetë e barabartë me zero.
x= 0 ose x + 9 = 0
Duke vendosur të dyja këto shprehje në zero, ne mund të gjejmë rrënjët e ekuacionit x(x+ 9) = 0. Rrënja e parë, siç shihet nga shembulli, u gjet menjëherë. Për të gjetur rrënjën e dytë ju duhet të zgjidhni ekuacioni elementar x+ 9 = 0. Është e lehtë të merret me mend se rrënja e këtij ekuacioni është −9. Kontrollimi tregon se rrënja është e saktë:
−9 + 9 = 0
Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin
Ky ekuacion ka dy rrënjë: 1 dhe 2. Ana e majtë ekuacioni është produkt i shprehjeve ( x− 1) dhe ( x− 2) . Dhe produkti është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero (ose faktori ( x− 1) ose faktori ( x − 2) ).
Le të gjejmë diçka të tillë x nën të cilat shprehjet ( x− 1) ose ( x− 2) bëhet zero:
Ne i zëvendësojmë vlerat e gjetura një nga një në ekuacionin origjinal dhe sigurohemi që për këto vlera ana e majtë të jetë e barabartë me zero:
Kur ka pafundësisht shumë rrënjë
Një ekuacion mund të ketë pafundësisht shumë rrënjë. Kjo do të thotë, duke zëvendësuar çdo numër në një ekuacion të tillë, marrim barazinë e saktë numerike.
Shembulli 1. Zgjidhe ekuacionin 
Rrënja e këtij ekuacioni është çdo numër. Nëse hapni kllapat në anën e majtë të ekuacionit dhe shtoni terma të ngjashëm, merrni barazinë 14 = 14. Kjo barazi do të merret për çdo x
Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin
Rrënja e këtij ekuacioni është çdo numër. Nëse hapni kllapat në anën e majtë të ekuacionit, merrni barazinë 10x + 12 = 10x + 12. Kjo barazi do të merret për çdo x
Kur nuk ka rrënjë
Ndodh gjithashtu që ekuacioni të mos ketë fare zgjidhje, domethënë të mos ketë rrënjë. Për shembull, ekuacioni nuk ka rrënjë, pasi për ndonjë vlerë x, ana e majtë e ekuacionit nuk do të jetë e barabartë me anën e djathtë. Për shembull, le . Atëherë ekuacioni do të marrë formën e mëposhtme
Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin
Le të zgjerojmë kllapat në anën e majtë të barazisë:
Le të shohim terma të ngjashëm:
Shohim që ana e majtë nuk është e barabartë me anën e djathtë. Dhe kjo do të jetë rasti për çdo vlerë y. Për shembull, le y = 3 .
Ekuacionet e shkronjave
Një ekuacion mund të përmbajë jo vetëm numra me ndryshore, por edhe shkronja.
Për shembull, formula për gjetjen e shpejtësisë është një ekuacion i mirëfilltë:
Ky ekuacion përshkruan shpejtësinë e një trupi gjatë lëvizjes së përshpejtuar në mënyrë të njëtrajtshme.
Një aftësi e dobishme është aftësia për të shprehur çdo komponent të përfshirë në një ekuacion shkronjash. Për shembull, për të përcaktuar distancën nga një ekuacion, duhet të shprehni variablin s .
Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me t
Variablat në anën e djathtë t le ta shkurtojmë t
Në ekuacionin që rezulton, ne shkëmbejmë anën e majtë dhe të djathtë:
Ne kemi një formulë për gjetjen e distancës, të cilën e kemi studiuar më parë.
Le të përpiqemi të përcaktojmë kohën nga ekuacioni. Për ta bërë këtë ju duhet të shprehni variablin t .
Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me t
Variablat në anën e djathtë t le ta shkurtojmë t dhe rishkruajmë atë që na ka mbetur:
Në ekuacionin që rezulton v×t = s ndani të dyja pjesët në v
Variablat në të majtë v le ta shkurtojmë v dhe rishkruajmë atë që na ka mbetur:
Ne kemi formulën për përcaktimin e kohës, të cilën e kemi studiuar më herët.
Supozoni se shpejtësia e trenit është 50 km/h
v= 50 km/h
Dhe distanca është 100 km
s= 100 km
Pastaj letra do të marrë formën e mëposhtme
Nga ky ekuacion mund të gjendet koha. Për ta bërë këtë ju duhet të jeni në gjendje të shprehni variablin t. Ju mund të përdorni rregullin për gjetjen e një pjesëtuesi të panjohur duke pjesëtuar dividentin me herësin dhe duke përcaktuar kështu vlerën e ndryshores t
ose mund të përdorni transformime identike. Së pari shumëzojini të dyja anët e ekuacionit me t
Më pas ndajmë të dyja anët me 50
Shembulli 2 x
Zbrisni nga të dyja anët e ekuacionit a
Le t'i ndajmë të dyja anët e ekuacionit me b
a + bx = c, atëherë do të kemi zgjidhje e gatshme. Do të jetë e mjaftueshme për ta zëvendësuar atë vlerat e kërkuara. Ato vlera që do të zëvendësohen me shkronjat a, b, c zakonisht quhet parametrave. Dhe ekuacionet e formës a + bx = c thirrur ekuacioni me parametra. Në varësi të parametrave, rrënja do të ndryshojë.
Le të zgjidhim ekuacionin 2 + 4 x= 10 . Duket si një ekuacion shkronjash a + bx = c. Në vend që të kryejmë transformime identike, mund të përdorim një zgjidhje të gatshme. Le të krahasojmë të dyja zgjidhjet:
Ne shohim se zgjidhja e dytë është shumë më e thjeshtë dhe më e shkurtër.
Për një zgjidhje të gatshme duhet të bëni shënim i vogël. Parametri b nuk duhet të jetë e barabartë me zero (b ≠ 0), meqë lejohet pjesëtimi me zero me.
Shembulli 3. Jepet një ekuacion fjalë për fjalë. Shprehni nga ky ekuacion x
Le të hapim kllapat në të dy anët e ekuacionit
Le të përdorim transferimin e termave. Parametrat që përmbajnë një ndryshore x, ne grupojmë në anën e majtë të ekuacionit, dhe parametrat e lirë nga kjo ndryshore - në të djathtë.
Në anën e majtë nxjerrim faktorin nga kllapat x
Le t'i ndajmë të dyja anët në shprehje a − b
Në anën e majtë, numëruesi dhe emëruesi mund të reduktohen me a − b. Kështu shprehet përfundimisht ndryshorja x
Tani, nëse hasim një ekuacion të formës a(x − c) = b(x + d), atëherë do të kemi një zgjidhje të gatshme. Do të jetë e mjaftueshme për të zëvendësuar vlerat e kërkuara në të.
Le të themi se na është dhënë ekuacioni 4(x− 3) = 2(x+ 4) . Duket si një ekuacion a(x − c) = b(x + d). Le ta zgjidhim në dy mënyra: duke përdorur transformime identike dhe duke përdorur një zgjidhje të gatshme:
Për lehtësi, le ta heqim atë nga ekuacioni 4(x− 3) = 2(x+ 4) vlerat e parametrave a, b, c, d . Kjo do të na lejojë të mos bëjmë një gabim kur zëvendësojmë:
Ashtu si në shembullin e mëparshëm, emëruesi këtu nuk duhet të jetë i barabartë me zero ( a − b ≠ 0) . Nëse hasim një ekuacion të formës a(x − c) = b(x + d) në të cilat parametrat a Dhe b do të jetë i njëjtë, mund të themi pa e zgjidhur se ky ekuacion nuk ka rrënjë, pasi diferenca numra të njëjtë e barabartë me zero.
Për shembull, ekuacioni 2(x − 3) = 2(x + 4)është një ekuacion i formës a(x − c) = b(x + d). Në barazimin. 2(x − 3) = 2(x + 4) parametrave a Dhe b identike. Nëse fillojmë ta zgjidhim, do të arrijmë në përfundimin se ana e majtë nuk do të jetë e barabartë me anën e djathtë:
Shembulli 4. Jepet një ekuacion fjalë për fjalë. Shprehni nga ky ekuacion x
Le të sjellim anën e majtë të ekuacionit në një emërues të përbashkët:
Shumëzojini të dyja anët me a
Në anën e majtë x le ta vendosim jashtë kllapave
Ndani të dyja anët me shprehjen (1 − a)
Ekuacione lineare me një të panjohur
Quhen ekuacionet e diskutuara në këtë mësim ekuacionet lineare të shkallës së parë me një të panjohur.
Nëse ekuacioni është dhënë në shkallën e parë, nuk përmban pjesëtim me të panjohurën, dhe gjithashtu nuk përmban rrënjë nga e panjohura, atëherë mund të quhet linear. Ne nuk i kemi studiuar ende fuqitë dhe rrënjët, kështu që për të mos e komplikuar jetën tonë, fjalën "lineare" do ta kuptojmë si "të thjeshtë".
Shumica e ekuacioneve të zgjidhura në këtë mësim përfundimisht rezultuan në një ekuacion të thjeshtë në të cilin ju duhej ta ndanit produktin me një faktor të njohur. Për shembull, ky është ekuacioni 2 ( x+ 3) = 16 . Le ta zgjidhim.
Le të hapim kllapat në anën e majtë të ekuacionit, marrim 2 x+ 6 = 16. Le të zhvendosim termin 6 në anën e djathtë, duke ndryshuar shenjën. Pastaj marrim 2 x= 16 − 6. Llogaritni anën e djathtë, marrim 2 x= 10. Për të gjetur x, pjestojeni produktin 10 me faktorin e njohur 2. Prandaj x = 5.
Ekuacioni 2 ( x+ 3) = 16 është lineare. Zbret në ekuacionin 2 x= 10, për të gjetur rrënjën e së cilës ishte e nevojshme të ndahej produkti me një faktor të njohur. Ky ekuacion më i thjeshtë quhet ekuacioni linear i shkallës së parë me një të panjohur in formë kanonike . Fjala "kanonike" është sinonim me fjalët "e thjeshtë" ose "normale".
Një ekuacion linear i shkallës së parë me një të panjohur në formë kanonike quhet ekuacion i formës sëpatë = b.
Ekuacioni ynë që rezulton 2 x= 10 është një ekuacion linear i shkallës së parë me një të panjohur në formë kanonike. Ky ekuacion ka shkallën e parë, një të panjohur, nuk përmban pjesëtim me të panjohurën dhe nuk përmban rrënjë nga e panjohura dhe paraqitet në formë kanonike, pra në formën më të thjeshtë në të cilën vlera mund të përcaktohet lehtësisht. x. Në vend të parametrave a Dhe b ekuacioni ynë përmban numrat 2 dhe 10. Por një ekuacion i tillë mund të përmbajë edhe numra të tjerë: pozitiv, negativ ose të barabartë me zero.
Nëse në një ekuacion linear a= 0 dhe b= 0, atëherë ekuacioni ka pafundësisht shumë rrënjë. Në të vërtetë, nëse a e barabartë me zero dhe b barazohet me zero, pastaj ekuacioni linear sëpatë= b do të marrë formën 0 x= 0. Për çdo vlerë x ana e majtë do të jetë e barabartë me anën e djathtë.
Nëse në një ekuacion linear a= 0 dhe b≠ 0, atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë. Në të vërtetë, nëse a e barabartë me zero dhe b e barabartë me çdo numër, jo e barabartë me zero, thuaj numrin 5, pastaj ekuacionin sëpatë = b do të marrë formën 0 x= 5 . Ana e majtë do të jetë zero, dhe ana e djathtë do të jetë pesë. Dhe zero nuk është e barabartë me pesë.
Nëse në një ekuacion linear a≠ 0, dhe b barazohet me çdo numër, atëherë ekuacioni ka një rrënjë. Përcaktohet duke ndarë parametrin b për parametër a
Në të vërtetë, nëse aështë e barabartë me një numër që nuk është zero, le të themi numri 3, dhe b i barabartë me një numër, le të themi numrin 6, atëherë ekuacioni do të marrë formën .
Nga këtu.
Ekziston një formë tjetër e shkrimit të një ekuacioni linear të shkallës së parë me një të panjohur. Duket kështu: sëpatë−b= 0. Ky është i njëjti ekuacion si sëpatë = b
Ju pëlqeu mësimi?
Bashkohuni me tonën grup i ri VKontakte dhe filloni të merrni njoftime për mësime të reja
